Neste tópico, analisaremos as fórmulas que podem ser obtidas usando o segundo limite notável (localiza-se o tópico dedicado diretamente ao segundo limite notável). Deixe-me lembrá-lo de duas formulações do segundo limite notável que serão necessárias nesta seção: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ e $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Normalmente dou fórmulas sem provas, mas para esta página, acho que vou abrir uma exceção. O fato é que a prova das consequências do segundo limite notável contém alguns truques que são úteis na solução direta de problemas. Bem, e, de um modo geral, é desejável saber como esta ou aquela fórmula é provada. Isso permite que você entenda melhor sua estrutura interna, bem como os limites de aplicabilidade. Mas como as provas podem não interessar a todos os leitores, vou escondê-las sob as notas após cada corolário.

Consequência nº 1

\begin(equação) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(equação)

Prova do corolário nº 1: mostrar\ocultar

Como para $x\to 0$ temos $\ln(1+x)\to 0$, então no limite considerado existe uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. Para revelar essa incerteza, vamos representar a expressão $\frac(\ln(1+x))(x)$ da seguinte forma: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Agora vamos adicionar o fator $\frac(1)(x)$ à potência de $(1+x)$ e aplicar o segundo limite notável:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ para\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Novamente temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Vamos confiar na fórmula que já provamos. Como $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, então $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Consequência #2

\begin(equação) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(equação)

Prova do corolário nº 2: mostrar\ocultar

Como para $x\to 0$ temos $e^x-1\to 0$, então no limite considerado existe uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Para revelar essa incerteza, vamos mudar a variável, denotando $t=e^x-1$. Desde $x\to 0$, então $t\to 0$. Além disso, da fórmula $t=e^x-1$ obtemos: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \direita|=\esquerda | \begin(alinhado) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (alinhado) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Novamente temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Vamos confiar na fórmula que já provamos. Como $a^x=e^(x\ln a)$, então:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Consequência nº 3

\begin(equação) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(equação)

Prova do corolário nº 3: mostrar\ocultar

Novamente, estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Como $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, obtemos:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Exemplo 1

Calcule o limite $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Para divulgar essa incerteza, usaremos a fórmula . Para ajustar nosso limite a esta fórmula, deve-se ter em mente que as expressões na potência do número $e$ e no denominador devem corresponder. Em outras palavras, o seno no denominador não tem lugar. O denominador deve ser $9x$. Além disso, ao resolver este exemplo, o primeiro limite notável será usado.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Responda: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Exemplo #2

Calcule o limite $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$ (lembre-se que $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Para divulgar essa incerteza, usaremos a fórmula . Primeiro, vamos levar em conta que $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (veja a lista de funções trigonométricas). Agora $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, então o denominador deve ser $-2\sin^2 \frac(x ) (2)$ (para ajustar nosso exemplo a ). Na outra solução, o primeiro limite notável será usado.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Responda: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Agora, tranquilos, passamos à consideração limites maravilhosos.
parece .

Em vez da variável x, várias funções podem estar presentes, o principal é que elas tendem a 0.

Precisamos calcular o limite

Como você pode ver, esse limite é muito semelhante ao primeiro notável, mas isso não é totalmente verdade. Em geral, se você notar o pecado no limite, deve pensar imediatamente se é possível usar o primeiro limite notável.

De acordo com nossa regra nº 1, substituímos x por zero:

Recebemos incerteza.

Agora vamos tentar organizar independentemente o primeiro limite notável. Para fazer isso, vamos realizar uma combinação simples:

Então, organizamos o numerador e o denominador para destacar 7x. O conhecido limite notável já apareceu. É aconselhável realçá-lo ao decidir:

Substituímos a solução do primeiro exemplo notável e obtemos:

Simplifique a fração:

Resposta: 7/3.

Como você pode ver, tudo é muito simples.

Tem o formulário , onde e = 2,718281828… é um número irracional.

Em vez da variável x, várias funções podem estar presentes, o principal é que elas tendem a .

Precisamos calcular o limite

Aqui vemos a presença de um grau sob o sinal de limite, o que significa que o segundo limite notável pode ser aplicado.

Como sempre, usaremos a regra número 1 - substituir em vez de x:

Pode-se ver que para x a base do grau é , e o expoente é 4x > , ou seja. obtemos uma incerteza da forma:

Vamos usar o segundo limite maravilhoso para revelar nossa incerteza, mas primeiro precisamos organizá-lo. Como você pode ver, é necessário obter presença no indicador, para o qual elevamos a base à potência de 3x e, ao mesmo tempo, à potência de 1/3x, para que a expressão não mude:

Não se esqueça de destacar nosso maravilhoso limite:

Estes são realmente limites maravilhosos!
Se você tiver alguma dúvida sobre primeiro e segundo limites maravilhosos sinta-se à vontade para perguntar a eles nos comentários.
Responderemos a todos o mais breve possível.

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Existem vários limites maravilhosos, mas os mais famosos são o primeiro e o segundo limites maravilhosos. A coisa notável sobre esses limites é que eles são amplamente utilizados e podem ser usados ​​para encontrar outros limites encontrados em vários problemas. Isto é o que faremos na parte prática desta lição. Para resolver problemas reduzindo ao primeiro ou segundo limite notável, não é necessário divulgar as incertezas contidas neles, pois os valores desses limites há muito são deduzidos por grandes matemáticos.

O primeiro limite notável chamado de limite da razão do seno de um arco infinitamente pequeno para o mesmo arco, expresso em medida radiano:

Vamos passar para a resolução de problemas no primeiro limite notável. Nota: se uma função trigonométrica está abaixo do sinal de limite, este é um sinal quase certo de que esta expressão pode ser reduzida ao primeiro limite notável.

Exemplo 1 Encontre o limite.

Solução. Substituição x zero leva à incerteza:

.

O denominador é um seno, portanto, a expressão pode ser reduzida ao primeiro limite notável. Vamos começar a transformação:

.

No denominador - o seno de três x, e no numerador há apenas um x, o que significa que você precisa obter três x no numerador. Para que? Para apresentar 3 x = uma e obter a expressão.

E chegamos a uma variação do primeiro limite notável:

porque não importa qual letra (variável) nesta fórmula é em vez de X.

Multiplicamos x por três e imediatamente dividimos:

.

De acordo com o primeiro limite notável observado, substituímos a expressão fracionária:

Agora podemos finalmente resolver este limite:

.

Exemplo 2 Encontre o limite.

Solução. A substituição direta novamente leva à incerteza "zero dividido por zero":

.

Para obter o primeiro limite notável, é necessário que o x sob o sinal do seno no numerador e apenas o x no denominador tenham o mesmo coeficiente. Seja este coeficiente igual a 2. Para fazer isso, vamos imaginar o coeficiente atual em x conforme abaixo, realizando ações com frações, obtemos:

.

Exemplo 3 Encontre o limite.

Solução. Ao substituir, obtemos novamente a incerteza "zero dividido por zero":

.

Você provavelmente já entendeu que da expressão original você pode obter o primeiro limite maravilhoso multiplicado pelo primeiro limite maravilhoso. Para fazer isso, decompomos os quadrados do x no numerador e o seno no denominador nos mesmos fatores e, para obter os mesmos coeficientes para o x e o seno, dividimos o x no numerador por 3 e imediatamente multiplique por 3. Obtemos:

.

Exemplo 4 Encontre o limite.

Solução. Novamente obtemos a incerteza "zero dividido por zero":

.

Podemos obter a razão dos dois primeiros limites notáveis. Dividimos o numerador e o denominador por x. Então, para que os coeficientes em senos e em x coincidam, multiplicamos o x superior por 2 e imediatamente dividimos por 2, e multiplicamos o x inferior por 3 e imediatamente dividimos por 3. Obtemos:

Exemplo 5 Encontre o limite.

Solução. E novamente, a incerteza de "zero dividido por zero":

Lembramos da trigonometria que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, e o cosseno de zero é igual a um. Fazemos transformações e obtemos:

.

Exemplo 6 Encontre o limite.

Solução. A função trigonométrica sob o sinal de limite sugere novamente a ideia de aplicar o primeiro limite notável. Nós o representamos como a razão entre seno e cosseno.

A partir do artigo acima, você pode descobrir qual é o limite e com o que é comido - isso é MUITO importante. Por quê? Você pode não entender o que são determinantes e resolvê-los com sucesso, você pode não entender nada do que é uma derivada e encontrá-los nos "cinco". Mas se você não entender o que é um limite, será difícil resolver tarefas práticas. Além disso, não será supérfluo se familiarizar com as amostras do design de decisões e minhas recomendações para o design. Todas as informações são apresentadas de forma simples e acessível.

E para os propósitos desta lição, precisamos dos seguintes materiais metodológicos: Limites notáveis e Fórmulas trigonométricas. Eles podem ser encontrados na página. É melhor imprimir os manuais - é muito mais conveniente, além disso, eles geralmente precisam ser acessados ​​offline.

O que é notável sobre limites maravilhosos? A notabilidade desses limites está no fato de que eles foram provados pelas maiores mentes de matemáticos famosos, e descendentes agradecidos não precisam sofrer de limites terríveis com uma pilha de funções trigonométricas, logaritmos e graus. Ou seja, ao encontrar os limites, usaremos resultados prontos que foram comprovados teoricamente.

Existem vários limites notáveis, mas na prática, os alunos de meio período em 95% dos casos têm dois limites notáveis: Primeiro limite maravilhoso, O segundo limite maravilhoso. Note-se que estes são nomes estabelecidos historicamente, e quando, por exemplo, falam do “primeiro limite maravilhoso”, querem dizer com isso uma coisa muito específica, e não algum limite aleatório tirado do teto.

Primeiro limite maravilhoso

Considere o seguinte limite: (ao invés da letra nativa “he” usarei a letra grega “alpha”, isso é mais conveniente em termos de apresentação do material).

De acordo com nossa regra para encontrar limites (veja o artigo Limites. Exemplos de soluções) tentamos substituir zero na função: no numerador obtemos zero (o seno de zero é zero), no denominador, obviamente, também zero. Assim, estamos diante de uma indeterminação da forma, que, felizmente, não precisa ser divulgada. No curso da análise matemática, é provado que:

Esse fato matemático é chamado Primeiro limite maravilhoso. Não darei uma prova analítica do limite, mas consideraremos seu significado geométrico na lição sobre funções infinitesimais.

Muitas vezes, em tarefas práticas, as funções podem ser organizadas de maneira diferente, isso não muda nada:

– o mesmo primeiro limite maravilhoso.

Mas você não pode reorganizar o numerador e o denominador! Se um limite é dado na forma , então ele deve ser resolvido da mesma forma, sem reorganizar nada.

Na prática, não apenas uma variável pode atuar como parâmetro, mas também uma função elementar, uma função complexa. Só é importante que ele tenda a zero.

Exemplos:
, , ,

Aqui , , , , e tudo está zumbindo - o primeiro limite maravilhoso é aplicável.

E aqui está a próxima entrada - heresia:

Por quê? Como o polinômio não tende a zero, tende a cinco.

A propósito, a questão é para preenchimento, mas qual é o limite ? A resposta pode ser encontrada no final da lição.

Na prática, nem tudo é tão tranquilo, quase nunca um aluno será oferecido para resolver um limite grátis e obter um crédito fácil. Hmmm... Estou escrevendo estas linhas, e um pensamento muito importante me veio à mente - afinal, parece ser melhor lembrar de cor as definições e fórmulas matemáticas “livres”, isso pode ser de uma ajuda inestimável na prova, quando a questão será decidida entre “dois” e “três”, e o professor decide fazer ao aluno alguma pergunta simples ou se oferecer para resolver o exemplo mais simples (“talvez ele (a) ainda saiba o quê?!”).

Vamos aos exemplos práticos:

Exemplo 1

Encontre o limite

Se notarmos um seno no limite, isso deve nos levar imediatamente a pensar na possibilidade de aplicar o primeiro limite notável.

Primeiro, tentamos substituir 0 na expressão sob o sinal de limite (fazemos isso mentalmente ou em um rascunho):

Então, temos uma indeterminação da forma , sua certifique-se de indicar ao tomar uma decisão. A expressão sob o sinal de limite parece o primeiro limite maravilhoso, mas não é bem isso, está sob o seno, mas no denominador.

Nesses casos, precisamos organizar o primeiro limite maravilhoso por conta própria, usando um dispositivo artificial. A linha de raciocínio pode ser a seguinte: “sob o seno temos, o que significa que também precisamos entrar no denominador”.
E isso é feito de forma muito simples:

Ou seja, o denominador é multiplicado artificialmente neste caso por 7 e dividido pelo mesmo sete. Agora, o registro assumiu uma forma familiar.
Quando a tarefa é elaborada à mão, é aconselhável marcar o primeiro limite maravilhoso com um simples lápis:

O que aconteceu? De fato, a expressão circulada se transformou em uma unidade e desapareceu no produto:

Agora resta apenas se livrar da fração de três andares:

Quem esqueceu a simplificação das frações de vários andares, atualize o material no livro de referência Fórmulas matemáticas da escola quente .

Preparar. Resposta final:

Se você não quiser usar marcas de lápis, a solução pode ser formatada assim:

“

Usamos o primeiro limite notável

“

Exemplo 2

Encontre o limite

Novamente vemos uma fração e um seno no limite. Tentamos substituir zero no numerador e denominador:

De fato, temos incerteza e, portanto, precisamos tentar organizar o primeiro limite notável. Na lição Limites. Exemplos de soluções consideramos a regra de que, quando temos incerteza, precisamos fatorar o numerador e o denominador em fatores. Aqui - a mesma coisa, apresentaremos os graus como um produto (multiplicadores):

Da mesma forma que no exemplo anterior, delineamos com um lápis os limites maravilhosos (aqui há dois deles) e indicamos que eles tendem a um:

Na verdade, a resposta está pronta:

Nos exemplos a seguir, não farei arte no Paint, penso em como elaborar corretamente uma solução em um notebook - você já entendeu.

Exemplo 3

Encontre o limite

Substituímos zero na expressão sob o sinal de limite:

Obteve-se uma incerteza que precisa ser divulgada. Se houver uma tangente no limite, quase sempre ela é convertida em seno e cosseno de acordo com a conhecida fórmula trigonométrica (a propósito, eles fazem o mesmo com a cotangente, veja o material metodológico Fórmulas trigonométricas quentes Na página Fórmulas matemáticas, tabelas e materiais de referência).

Nesse caso:

O cosseno de zero é igual a um, e é fácil se livrar dele (não esqueça de marcar que tende a um):

Assim, se no limite o cosseno é um MULTIPLICADOR, então, grosso modo, ele deve ser transformado em unidade, que desaparece no produto.

Aqui tudo ficou mais simples, sem multiplicações e divisões. O primeiro limite notável também se transforma em unidade e desaparece no produto:

Como resultado, o infinito é obtido, acontece.

Exemplo 4

Encontre o limite

Tentamos substituir zero no numerador e denominador:

Incerteza obtida (cosseno de zero, como lembramos, é igual a um)

Usamos a fórmula trigonométrica. Tome nota! Por alguma razão, os limites usando esta fórmula são muito comuns.

Retiramos os multiplicadores constantes além do ícone de limite:

Vamos organizar o primeiro limite notável:

Aqui temos apenas um limite maravilhoso, que se transforma em um e desaparece no produto:

Vamos nos livrar dos três andares:

O limite está realmente resolvido, indicamos que o seno restante tende a zero:

Exemplo 5

Encontre o limite

Este exemplo é mais complicado, tente descobrir você mesmo:

Alguns limites podem ser reduzidos ao 1º limite notável alterando a variável, você pode ler sobre isso um pouco mais adiante no artigo Métodos de resolução de limites.

O segundo limite maravilhoso

Na teoria da análise matemática está provado que:

Esse fato é chamado segundo limite notável.

Referência: é um número irracional.

Não apenas uma variável pode atuar como parâmetro, mas também uma função complexa. Só é importante que se esforce para o infinito.

Exemplo 6

Encontre o limite

Quando a expressão sob o sinal de limite está no poder - este é o primeiro sinal de que você precisa tentar aplicar o segundo limite maravilhoso.

Mas primeiro, como sempre, tentamos substituir um número infinitamente grande na expressão, de acordo com qual princípio isso é feito, foi analisado na lição Limites. Exemplos de soluções.

É fácil ver que quando a base do grau e o expoente - , ou seja, há uma incerteza da forma:

Essa incerteza só é revelada com a ajuda do segundo limite notável. Mas, como muitas vezes acontece, o segundo limite maravilhoso não está em uma bandeja de prata, e deve ser organizado artificialmente. Você pode raciocinar da seguinte forma: neste exemplo, o parâmetro significa que também precisamos organizar no indicador. Para fazer isso, elevamos a base a uma potência e, para que a expressão não mude, elevamos a uma potência:

Quando a tarefa é elaborada à mão, marcamos com um lápis:

Quase tudo está pronto, o terrível grau se transformou em uma linda carta:

Ao mesmo tempo, o próprio ícone de limite é movido para o indicador:

Exemplo 7

Encontre o limite

Atenção! Este tipo de limite é muito comum, por favor estude este exemplo com muito cuidado.

Tentamos substituir um número infinitamente grande na expressão sob o sinal de limite:

O resultado é uma incerteza. Mas o segundo limite notável se aplica à incerteza da forma. O que fazer? Você precisa converter a base do grau. Argumentamos assim: no denominador temos , o que significa que também precisamos organizar no numerador.

Encontre limites maravilhososé difícil não só para muitos alunos do primeiro, segundo ano de estudo que estudam a teoria dos limites, mas também para alguns professores.

Fórmula do primeiro limite notável

Consequências do primeiro limite notável escreva as fórmulas
1. 2. 3. 4. Mas, por si só, as fórmulas gerais de limites notáveis ​​não ajudam ninguém em um exame ou prova. A linha inferior é que as tarefas reais são construídas de modo que as fórmulas escritas acima ainda precisam ser alcançadas. E a maioria dos alunos que faltam às aulas, estudam este curso por correspondência ou têm professores que nem sempre entendem o que estão explicando, não conseguem calcular os exemplos mais elementares com limites notáveis. A partir das fórmulas do primeiro limite notável, vemos que elas podem ser usadas para investigar incertezas como zero dividido por zero para expressões com funções trigonométricas. Consideremos primeiro uma série de exemplos sobre o primeiro limite notável e, em seguida, estudaremos o segundo limite notável.

Exemplo 1. Encontre o limite da função sin(7*x)/(5*x)
Solução: Como você pode ver, a função abaixo do limite está próxima do primeiro limite notável, mas o limite da própria função definitivamente não é igual a um. Em tais atribuições aos limites, deve-se destacar no denominador uma variável com o mesmo coeficiente que está contida na variável sob o seno. Nesse caso, divida e multiplique por 7

Para alguns, esse detalhamento parecerá supérfluo, mas para a maioria dos alunos que têm dificuldade em dar limites, ajudará a entender melhor as regras e aprender o material teórico.
Além disso, se houver uma forma inversa da função - este também é o primeiro limite maravilhoso. E tudo porque o limite maravilhoso é igual a um

A mesma regra se aplica às consequências de 1 limite notável. Portanto, se lhe perguntarem "Qual é o primeiro limite maravilhoso?" Você deve responder sem hesitação que é uma unidade.

Exemplo 2. Encontre o limite da função sin(6x)/tan(11x)
Solução: Para entender o resultado final, escrevemos a função na forma

Para aplicar as regras do limite notável multiplique e divida por fatores

Em seguida, escrevemos o limite do produto de funções em termos do produto dos limites

Sem fórmulas complicadas, encontramos o limite de algumas funções trigonométricas. Para aprender fórmulas simples, tente descobrir e encontrar o limite em 2 e 4, a fórmula do corolário 1 do limite maravilhoso. Vamos considerar tarefas mais complexas.

Exemplo 3. Calcular limite (1-cos(x))/x^2
Solução: Ao verificar por substituição, obtemos a incerteza 0/0 . Muitos não sabem como reduzir tal exemplo a 1 limite maravilhoso. Aqui você deve usar a fórmula trigonométrica

Neste caso, o limite será transformado em uma forma clara

Conseguimos reduzir a função ao quadrado de um limite notável.

Exemplo 4. Encontre o limite
Solução: Ao substituir, obtemos a singularidade familiar 0/0 . No entanto, a variável se aproxima de Pi, não de zero. Portanto, para aplicar o primeiro limite notável, realizaremos tal mudança na variável x, de modo que a nova variável vá para zero. Para fazer isso, denotamos o denominador como a nova variável Pi-x=y

Assim, usando a fórmula trigonométrica, que é dada na tarefa anterior, o exemplo é reduzido a 1 limite notável.

Exemplo 5 Calcular Limite
Solução: A princípio não está claro como simplificar os limites. Mas se há um exemplo, então deve haver uma resposta. O fato de a variável ir para a unidade dá, ao substituir, uma singularidade da forma zero multiplicado por infinito, então a tangente deve ser substituída pela fórmula

Depois disso, obtemos a incerteza desejada 0/0. Em seguida, realizamos uma mudança de variáveis ​​no limite e usamos a periodicidade da cotangente

As últimas substituições nos permitem usar o Corolário 1 do limite notável.

O segundo limite notável é igual ao expoente

Este é um clássico ao qual em problemas reais nem sempre é fácil chegar aos limites.
Para os cálculos você vai precisar limites são consequências do segundo limite notável:
1. 2. 3. 4.
Graças ao segundo limite notável e suas consequências, pode-se explorar incertezas como zero dividido por zero, um elevado ao infinito e infinito dividido por infinito, e até no mesmo grau.

Vamos começar com alguns exemplos simples.

Exemplo 6 Encontrar o limite de uma função
Solução: Aplicar diretamente 2 limites maravilhosos não funcionará. Primeiro você precisa girar o indicador para que ele tenha a forma inversa do termo entre parênteses

Esta é a técnica de redução ao 2 limite notável e, de fato, a derivação da fórmula 2 da consequência do limite.

Exemplo 7 Encontrar o limite de uma função
Solução: Temos tarefas para a fórmula 3 do corolário 2 do limite notável. A substituição zero dá uma singularidade da forma 0/0. Para aumentar o limite sob a regra, giramos o denominador para que a variável tenha o mesmo coeficiente que no logaritmo

Também é fácil de entender e realizar no exame. As dificuldades dos alunos em calcular os limites começam com as seguintes tarefas.

Exemplo 8 Calcular limite de função[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solução: Temos uma singularidade do tipo 1 elevado a infinito. Se você não acredita em mim, pode substituir infinito em vez de “x” em todos os lugares e ver por si mesmo. Para aumentar sob a regra, dividimos o numerador pelo denominador entre colchetes, para isso primeiro realizamos as manipulações

Substitua a expressão no limite e transforme-a no limite 2 maravilhoso

O limite é o expoente à potência de 10. Constantes que são termos com uma variável entre colchetes e o grau não contribuem com nenhum "tempo" - isso deve ser lembrado. E se os professores lhe perguntarem - "Por que você não liga o indicador?" (Para este exemplo em x-3 ), então diga que "Quando a variável tende ao infinito, então adicione 100 a ela, ou subtraia 1000, e o limite permanecerá o mesmo!".
Existe uma segunda maneira de calcular limites desse tipo. Falaremos sobre isso na próxima tarefa.

Exemplo 9 Encontre o limite
Solução: Agora retiramos a variável do numerador e do denominador e transformamos uma característica em outra. Para obter o valor final, usamos a fórmula do Corolário 2 do limite notável

Exemplo 10 Encontrar o limite de uma função
Solução: Nem todos podem encontrar o limite fornecido. Para aumentar o limite para 2, imagine que sin (3x) é uma variável, e você precisa girar o expoente

Em seguida, escrevemos o indicador como um grau em um grau


Os argumentos intermediários são descritos entre parênteses. Como resultado do uso do primeiro e do segundo limites maravilhosos, obtivemos o expoente ao cubo.

Exemplo 11. Calcular limite de função sin(2*x)/log(3*x+1)
Solução: Temos uma incerteza da forma 0/0. Além disso, vemos que a função deve ser convertida para o uso de ambos os limites maravilhosos. Vamos realizar as transformações matemáticas anteriores

Além disso, sem dificuldade, o limite assume o valor

É assim que você se sentirá à vontade em testes, testes, módulos se aprender a pintar funções rapidamente e reduzi-las ao primeiro ou segundo limite maravilhoso. Se for difícil para você memorizar os métodos acima para encontrar os limites, você sempre poderá solicitar um trabalho de controle sobre os limites.
Para isso, preencha o formulário, especifique os dados e anexe um arquivo com exemplos. Já ajudamos muitos alunos - também podemos ajudar você!