Na matemática e na física, estudantes e alunos muitas vezes se deparam com tarefas para grandezas vetoriais e para realizar várias operações nelas. Qual é a diferença entre grandezas vetoriais e grandezas escalares que nos são familiares, cuja única característica é um valor numérico? Porque eles têm direção.
O uso de grandezas vetoriais é explicado mais claramente na física. Os exemplos mais simples são as forças (força de atrito, força elástica, peso), velocidade e aceleração, pois além dos valores numéricos também possuem uma direção de ação. Para comparação, vamos tomar exemplo escalar: pode ser a distância entre dois pontos ou a massa do corpo. Por que é necessário realizar operações em quantidades vetoriais, como adição ou subtração? Isso é necessário para poder determinar o resultado da ação de um sistema vetorial composto por 2 ou mais elementos.
Definições de matemática vetorial
Vamos apresentar as principais definições usadas ao realizar operações lineares.
- Um vetor é um segmento direcionado (com um ponto inicial e um ponto final).
- O comprimento (módulo) é o comprimento do segmento direcionado.
- Os vetores colineares são dois vetores que são paralelos à mesma linha ou estão simultaneamente sobre ela.
- Os vetores de direção oposta são chamados de colineares e, ao mesmo tempo, direcionados em direções diferentes. Se sua direção coincide, então eles são co-direcionais.
- Os vetores são iguais quando são codirecionais e têm o mesmo valor absoluto.
- A soma de dois vetores uma e bé um vetor c, cujo início coincide com o início do primeiro e o fim - com o final do segundo, desde que b começa no mesmo ponto em que termina uma.
- Diferença de vetor uma e b chame o valor uma e ( - b ), Onde ( - b ) - oposto ao vetor b. Além disso, a definição da diferença de dois vetores pode ser dada da seguinte forma: pela diferença c vetores de casal uma e b chame isso c, que, quando adicionado ao subtraendo b forma uma redução uma.
Método Analítico
O método analítico consiste em obter as coordenadas da diferença de acordo com a fórmula sem construção. É possível realizar um cálculo para um espaço plano (bidimensional), volumétrico (tridimensional) ou n-dimensional.
Para espaço bidimensional e quantidades vetoriais uma {a₁;a₂) e b {b₁;b₂} os cálculos ficarão assim: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.
No caso de adicionar uma terceira coordenada, o cálculo será realizado de forma semelhante, e para uma {a₁;a₂; a₃) e b {b₁;b₂; b₃) as coordenadas da diferença também serão obtidas por subtração aos pares: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.
Calculando a diferença graficamente
Para traçar a diferença graficamente, você deve usar a regra do triângulo. Para fazer isso, você deve executar a seguinte sequência de ações:
- Para as coordenadas fornecidas, construa os vetores para os quais você precisa encontrar a diferença.
- Combine suas extremidades (ou seja, construa dois segmentos direcionados iguais aos dados, que terminarão no mesmo ponto).
- Conecte os inícios de ambos os segmentos direcionados e indique a direção; o resultante começará no mesmo ponto em que o vetor sendo minuendo começou e terminará no ponto inicial do vetor sendo subtraído.
O resultado da operação de subtração é mostrado na figura abaixo..
Há também um método para construir uma diferença, um pouco diferente do anterior. Sua essência está na aplicação do teorema sobre a diferença de vetores, que é formulado da seguinte forma: para encontrar a diferença de um par de segmentos direcionados, basta encontrar a soma do primeiro deles com o segmento oposto ao segundo. O algoritmo de construção ficará assim:
- Construir segmentos direcionados iniciais.
- O que é subtraendo deve ser refletido, ou seja, construir um segmento de direção oposta e igual; então combine seu início com o reduzido.
- Construa a soma: conecte o início do primeiro segmento com o final do segundo.
O resultado desta decisão é mostrado na figura:
Solução de problemas
Para consolidar a habilidade, analisaremos várias tarefas nas quais é necessário calcular a diferença analiticamente ou graficamente.
Tarefa 1. Existem 4 pontos no plano: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Determine as coordenadas do vetor q = AB - CD, e também calcule seu comprimento.
Solução. Primeiro você precisa encontrar as coordenadas AB e CD. Para fazer isso, subtraia as coordenadas dos pontos iniciais das coordenadas dos pontos finais. Por AB o começo é UMA(1; -3), e o final - B(0; 4). Calcule as coordenadas do segmento direcionado:
AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}
Um cálculo semelhante é feito para CD:
CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}
Agora, conhecendo as coordenadas, você pode encontrar a diferença dos vetores. A fórmula para a solução analítica de problemas planos foi considerada anteriormente: para c = uma- b as coordenadas parecem ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Para um caso específico, você pode escrever:
q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}
Para encontrar o comprimento q, usamos a fórmula | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
Tarefa 2. A figura mostra os vetores m, nep.
É necessário construir diferenças para eles: p- n; m- n; m-n- pág. Descubra qual deles tem o menor módulo.
Solução. A tarefa requer três construções. Vejamos cada parte da tarefa com mais detalhes.
Parte 1. Para retratar p-n, Vamos usar a regra do triângulo. Para fazer isso, usando a tradução paralela, conectamos os segmentos de modo que seu ponto final coincida. Agora vamos conectar os pontos iniciais e definir a direção. No nosso caso, o vetor diferença começa no mesmo lugar que o subtraído. n.
Parte 2. Vamos retratar m-n. Agora para a solução usamos o teorema da diferença de vetores. Para fazer isso, construa um vetor oposto n, e, em seguida, encontrar a sua soma com m. O resultado ficará assim:
Parte 3 Para encontrar a diferença m-n-p, dividir a expressão em duas etapas. Como leis semelhantes às leis da aritmética se aplicam à álgebra vetorial, as seguintes opções são possíveis:
- m-(n+p): neste caso, a soma é construída primeiro n+p, que é então subtraído de m;
- (m-n)-p: aqui primeiro você precisa encontrar m-n, e então subtraia dessa diferença p;
- (m-p)-n: a primeira ação é determinada m-p, após o qual do resultado você precisa subtrair n.
Como na parte anterior do problema já encontramos a diferença m-n, só podemos subtrair dele p. Vamos construir a diferença de dois vetores dados usando o teorema da diferença. A resposta é mostrada na imagem abaixo (vermelho indica o resultado intermediário e verde indica o resultado final).
Resta determinar qual dos segmentos tem o menor módulo. Lembre-se de que os conceitos de comprimento e módulo na matemática vetorial são idênticos. Estime visualmente os comprimentos p- n, m-n e m-n-p. Obviamente, a resposta na última parte do problema é a mais curta e tem o menor módulo, ou seja, m-n-p.
Soma de vetores. O comprimento do vetor. Caros amigos, existe um grupo de tarefas com vetores nos tipos de exame de retaguarda. Tarefas de uma gama bastante ampla (é importante conhecer os fundamentos teóricos). A maioria é resolvida oralmente. As perguntas estão relacionadas a encontrar o comprimento de um vetor, a soma (diferença) de vetores, o produto escalar. Existem também muitas tarefas, na solução das quais é necessário realizar ações com as coordenadas dos vetores.
A teoria por trás dos vetores é simples e deve ser bem compreendida. Neste artigo, analisaremos as tarefas associadas a encontrar o comprimento de um vetor, bem como a soma (diferença) dos vetores. Alguns pontos teóricos:
Conceito de vetor
Um vetor é um segmento de linha direcionado.
Todos os vetores que têm a mesma direção e são iguais em comprimento são iguais.
*Todos os quatro vetores acima são iguais!
Ou seja, se usarmos a translação paralela para mover o vetor que nos foi dado, sempre obteremos um vetor igual ao original. Assim, pode haver um número infinito de vetores iguais.
Notação vetorial
Um vetor pode ser denotado por letras maiúsculas latinas, por exemplo:
Com esta forma de notação, a letra que denota o início do vetor é escrita primeiro, depois a letra que denota o fim do vetor.
Outro vetor é denotado por uma letra do alfabeto latino (maiúsculo):
Uma designação sem setas também é possível:
A soma dos dois vetores AB e BC será o vetor AC.
Está escrito como AB + BC \u003d AC.
Esta regra é chamada - regra do triângulo.
Ou seja, se tivermos dois vetores - vamos chamá-los condicionalmente (1) e (2), e o final do vetor (1) coincidir com o início do vetor (2), então a soma desses vetores será um vetor cujo início coincide com o início do vetor (1) e o final coincide com o final do vetor (2).
Conclusão: se temos dois vetores no plano, sempre podemos encontrar sua soma. Usando a tradução paralela, você pode mover qualquer um desses vetores e conectar seu início ao fim de outro. Por exemplo:
Vamos mover o vetor b, ou de outra forma - vamos construir igual a ele:
Como é encontrada a soma de vários vetores? Pelo mesmo princípio:
* * *
regra do paralelogramo
Esta regra é uma consequência do anterior.
Para vetores de origem comum, sua soma é representada pela diagonal do paralelogramo construído sobre esses vetores.
Vamos construir um vetor igual ao vetor b de modo que seu início coincida com o fim do vetor uma, e podemos construir um vetor que será sua soma:
Algumas informações mais importantes necessárias para resolver problemas.
Um vetor igual em comprimento ao original, mas com direção oposta, também é denotado, mas tem o sinal oposto:
Esta informação é extremamente útil para resolver problemas em que se trata de encontrar a diferença de vetores. Como você pode ver, a diferença de vetores é a mesma soma em uma forma modificada.
Sejam dados dois vetores, encontre sua diferença:
Construímos um vetor oposto ao vetor b e encontramos a diferença.
Coordenadas vetoriais
Para encontrar as coordenadas vetoriais, você precisa subtrair as coordenadas iniciais correspondentes das coordenadas finais:
Ou seja, as coordenadas do vetor são um par de números.
Se um
E as coordenadas dos vetores se parecem com:
Então c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2
Se um
Então c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2
Módulo vetorial
O módulo de um vetor é seu comprimento, determinado pela fórmula:
A fórmula para determinar o comprimento de um vetor se as coordenadas de seu início e fim são conhecidas:
Considere as tarefas:
Os dois lados do retângulo ABCD são 6 e 8. As diagonais se cruzam no ponto O. Encontre o comprimento da diferença entre os vetores AO e BO.
Vamos encontrar um vetor que será o resultado de AO - VO:
AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB
Ou seja, a diferença entre os vetores AO e VO será um vetor AB. E seu comprimento é oito.
Diagonais de losango ABCD são 12 e 16. Encontre o comprimento do vetor AB + AD.
Vamos encontrar um vetor que será a soma dos vetores AD e AB BC é igual ao vetor AD . Então AB+AD=AB+BC=AC
AC é o comprimento da diagonal do losango CA, é igual a 16.As diagonais do losango ABCD se cruzam em um ponto O e são iguais a 12 e 16. Encontre o comprimento do vetor AO + BO.
Vamos encontrar um vetor que será a soma dos vetores AO e BO BO é igual ao vetor OD,
AD é o comprimento do lado do losango. O problema se reduz a encontrar a hipotenusa em um triângulo retângulo AOD. Vamos calcular as pernas:
De acordo com o teorema de Pitágoras:
As diagonais do losango ABCD se cruzam no ponto O e são iguais a 12 e 16. Encontre o comprimento do vetor AO –BO.
Vamos encontrar um vetor que será o resultado de AO - VO:
AB é o comprimento do lado do losango. O problema se reduz a encontrar a hipotenusa AB em um triângulo retângulo AOB. calcule as pernas:
De acordo com o teorema de Pitágoras:
Os lados de um triângulo regular ABC são 3.
Encontre o comprimento do vetor AB -AC.
Vamos encontrar o resultado da diferença de vetores:
CB é igual a três, porque a condição diz que o triângulo é equilátero e seus lados são iguais a 3.27663. Encontre o comprimento do vetor a (6; 8).
27664. Encontre o quadrado do comprimento do vetor AB.
As grandezas matemáticas ou físicas podem ser representadas como grandezas escalares (valor numérico) ou grandezas vetoriais (magnitude e direção no espaço).
Um vetor é um segmento de reta direcionado, para o qual é indicado qual de seus pontos de fronteira é o início e qual é o fim. Assim, existem dois componentes no vetor - este é o seu comprimento e direção.
A imagem do vetor no desenho.
Ao trabalhar com vetores, um certo sistema de coordenadas cartesianas é frequentemente introduzido no qual as coordenadas do vetor são determinadas pela decomposição em vetores de base:
Para um vetor localizado no espaço de coordenadas (x,y,z) e saindo da origem
A distância entre o início e o fim de um vetor é chamada de comprimento, e o símbolo do módulo é usado para denotar o comprimento do vetor (seu valor absoluto).
Vetores localizados na mesma linha ou em linhas paralelas são chamados colineares. O vetor nulo é considerado colinear a qualquer vetor. Entre os vetores colineares, distinguem-se vetores igualmente direcionados (codirigido) e direcionados opostamente. Os vetores são chamados coplanares se estiverem no mesmo plano ou em linhas retas paralelas ao mesmo plano.
1. Comprimento vetorial (módulo vetorial)
O comprimento de um vetor determina seu valor escalar e depende de suas coordenadas, mas não depende de sua direção. O comprimento de um vetor (ou módulo de um vetor) é calculado usando a raiz quadrada aritmética da soma dos quadrados das coordenadas (componentes) do vetor (é usada a regra para calcular a hipotenusa em um triângulo retângulo, onde o próprio vetor torna-se a hipotenusa).
Através das coordenadas, o módulo do vetor é calculado da seguinte forma:
Para um vetor localizado no espaço de coordenadas (x,y) e saindo da origem
Para um vetor localizado no espaço de coordenadas (x, y, z) e saindo da origem, a fórmula será semelhante à fórmula da diagonal de um paralelepípedo retangular, pois o vetor no espaço ocupa a mesma posição em relação à coordenada machados.
2. Ângulo entre vetores
O ângulo entre dois vetores plotados a partir de um ponto é o menor ângulo pelo qual um dos vetores deve ser girado em torno de sua origem até a posição do segundo vetor. O ângulo entre os vetores é determinado usando uma expressão para determinar o produto escalar dos vetores
Assim, o cosseno do ângulo entre os vetores é igual à razão entre o produto escalar e o produto dos comprimentos ou módulos dos vetores. Esta fórmula pode ser usada se os comprimentos dos vetores e seu produto escalar são conhecidos, ou os vetores são dados por coordenadas em um sistema de coordenadas retangular em um plano ou no espaço na forma: e .
Se os vetores A e B são dados no espaço tridimensional e as coordenadas de cada um deles são dadas na forma: e , então o ângulo entre os vetores é determinado pela seguinte expressão:
Deve-se notar que o ângulo entre os vetores e também pode ser determinado aplicando o teorema do cosseno para um triângulo: o quadrado de qualquer lado do triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto de esses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
onde AB, OA, OB é o lado correspondente do triângulo.
Teorema do cosseno para um triângulo
No que diz respeito ao cálculo vetorial, esta fórmula será reescrita da seguinte forma:
Assim, o ângulo entre os vetores e é determinado pela seguinte expressão:
onde e é o módulo (comprimento) do vetor, e é o módulo (comprimento) do vetor, que é determinado pela diferença de dois vetores. As incógnitas que entram na equação são determinadas pelas coordenadas dos vetores e .
3. Adição de vetores
A adição de dois vetores e (a soma de dois vetores) é a operação de cálculo do vetor , cujos elementos são todos iguais à soma aos pares dos elementos correspondentes dos vetores e . Se os vetores são dados em um sistema de coordenadas retangular soma de vetores
Graficamente, com posição de dois vetores livres pode ser realizado tanto de acordo com a regra de um triângulo quanto de acordo com a regra de um paralelogramo.
Adição de dois vetores
A adição de dois vetores deslizantes é definida apenas no caso em que as linhas em que estão localizados se cruzam. A adição de dois vetores fixos é definida apenas se eles tiverem uma origem comum.
regra do triângulo.
Para somar dois vetores e de acordo com a regra do triângulo, ambos os vetores são transferidos paralelamente a si mesmos para que o início de um deles coincida com o final do outro. Então o vetor soma é dado pelo terceiro lado do triângulo formado, e seu início coincide com o início do primeiro vetor e o final com o final do segundo vetor.
onde é o ângulo entre os vetores quando o início de um coincide com o final do outro.
regra do paralelogramo.
Para adicionar dois vetores e de acordo com a regra do paralelogramo, ambos os vetores são transferidos paralelamente a si mesmos para que seus inícios coincidam. Então o vetor soma é dado pela diagonal do paralelogramo construído sobre eles, vindo de sua origem comum.
O módulo (comprimento) do vetor soma é determinado pelo teorema do cosseno:
onde é o ângulo entre os vetores que saem do mesmo ponto.
Observação:
Como você pode ver, dependendo do ângulo escolhido, o sinal na frente do cosseno do ângulo muda na fórmula para determinar o módulo (comprimento) do vetor soma.
4. Diferença de vetores
A diferença de vetores e (subtração de vetores) é a operação de calcular um vetor cujos elementos são iguais à diferença de pares dos elementos correspondentes dos vetores e . Se os vetores são dados em um sistema de coordenadas retangular diferença vetorial e pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Na forma gráfica, a diferença dos vetores e é a soma do vetor e do vetor oposto ao vetor, ou seja, 
Diferença de dois vetores livres
A diferença de dois vetores livres na forma gráfica pode ser determinada tanto pela regra do triângulo quanto pela regra do paralelogramo. O módulo (comprimento) do vetor diferença é determinado pelo teorema do cosseno. Dependendo do ângulo usado na fórmula, o sinal na frente do cosseno muda (discutido anteriormente).
5. Produto escalar de vetores
O produto escalar de dois vetores é um número real igual ao produto dos comprimentos dos vetores multiplicados pelo cosseno do ângulo entre eles. O produto escalar de vetores e é indicado por uma das seguintes notações ou ou e é determinado pela fórmula:
onde são os comprimentos dos vetores e, respectivamente, e é o cosseno do ângulo entre os vetores.
Produto escalar de dois vetores
O produto escalar também pode ser calculado através das coordenadas de vetores em um sistema de coordenadas retangulares em um plano ou no espaço.
O produto escalar de dois vetores em um plano ou no espaço tridimensional em um sistema de coordenadas retangulares é a soma dos produtos das coordenadas correspondentes dos vetores e .
Assim, para vetores e em um plano em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, a fórmula para calcular o produto escalar é a seguinte:
Para um espaço tridimensional, a fórmula para calcular o produto escalar de vetores e tem a seguinte forma:
Propriedades do produto escalar.
1. A propriedade de comutatividade do produto escalar
2. A propriedade de distributividade do produto escalar
3. Propriedade associativa do produto escalar (associatividade)
onde é um número real arbitrário.
Deve-se observar que no caso de:
Se o produto escalar for positivo, então o ângulo entre os vetores é agudo (menos de 90 graus);
Se o produto escalar for negativo, então o ângulo entre os vetores é obtuso (maior que 90 graus);
Se o produto escalar for 0, então os vetores são ortogonais (que são perpendiculares entre si);
Se o produto escalar é igual ao produto dos comprimentos dos vetores, então esses vetores são colineares entre si (paralelos).
6. Produto vetorial de vetores
Um produto vetorial de dois vetores é um vetor para o qual as seguintes condições são atendidas:
1. o vetor é ortogonal (perpendicular) ao plano dos vetores e ;
Muitas quantidades físicas são completamente determinadas pela atribuição de algum número. Estes são, por exemplo, volume, massa, densidade, temperatura corporal, etc. Tais quantidades são chamadas de escalares. Por esse motivo, os números às vezes são chamados de escalares. Mas também existem quantidades que são determinadas definindo não apenas um número, mas também uma certa direção. Por exemplo, quando um corpo se move, deve-se indicar não apenas a velocidade com que o corpo se move, mas também a direção do movimento. Da mesma forma, ao estudar a ação de qualquer força, é necessário indicar não apenas o valor dessa força, mas também a direção de sua ação. Tais quantidades são chamadas vetor. Para descrevê-los, foi introduzido o conceito de vetor, que se mostrou útil para a matemática.
Definição de vetor
Qualquer par ordenado de pontos A a B no espaço define segmento direcionado, ou seja segmento de linha junto com a direção dada nele. Se o ponto A é o primeiro, então ele é chamado de início do segmento direcionado e o ponto B é chamado de final. A direção do segmento é a direção do início ao fim.
Definição
Um segmento direcionado é chamado de vetor.
Vamos denotar o vetor pelo símbolo \(\overrightarrow(AB) \), onde a primeira letra significa o início do vetor e a segunda - seu fim.
Um vetor cujo início e fim são iguais é chamado zero e é denotado por \(\vec(0) \) ou apenas 0.
A distância entre o início e o fim de um vetor é chamada de grandes e denotado por \(|\overrightarrow(AB)| \) ou \(|\vec(a)| \).
Os vetores \(\vec(a) \) e \(\vec(b) \) são chamados colinear se estiverem na mesma linha ou em linhas paralelas. Os vetores colineares podem ser direcionados da mesma forma ou opostos.
Agora podemos formular o importante conceito da igualdade de dois vetores.
Definição
Os vetores \(\vec(a) \) e \(\vec(b) \) são chamados iguais (\(\vec(a) = \vec(b) \)) se forem colineares, tiverem a mesma direção, e seus comprimentos são iguais.
Na fig. 1, vetores desiguais são mostrados à esquerda e vetores iguais \(\vec(a) \) e \(\vec(b) \) são mostrados à direita. Segue-se da definição de igualdade de vetores que se um dado vetor for movido paralelamente a si mesmo, então um vetor igual ao dado será obtido. A este respeito, os vetores em geometria analítica são chamados gratuitamente.
Projeção de um vetor em um eixo
Seja o eixo \(u\) e algum vetor \(\overrightarrow(AB)\) dados no espaço. Vamos desenhar pelos pontos A e B no plano perpendicular ao eixo \(u\). Vamos denotar por A "e B" os pontos de intersecção desses planos com o eixo (ver Figura 2).
A projeção do vetor \(\overrightarrow(AB) \) no eixo \(u\) é o valor A"B" do segmento direcionado A"B" no eixo \(u\). Lembre-se que
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , se a direção \(\overrightarrow(A"B") \) for a mesma que a direção do eixo \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) se a direção de \(\overrightarrow(A"B") \) for oposta à direção do eixo \(u \),
A projeção do vetor \(\overrightarrow(AB) \) no eixo \(u \) é denotada da seguinte forma: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).
Teorema
A projeção do vetor \(\overrightarrow(AB) \) no eixo \(u \) é igual ao comprimento do vetor \(\overrightarrow(AB) \) vezes o cosseno do ângulo entre o vetor \( \overrightarrow(AB) \) e o eixo \( u \) , ou seja.
Comente
Seja \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) e algum eixo \(u \) ser dado. Aplicando a fórmula do teorema a cada um desses vetores, obtemos
Projeções vetoriais em eixos de coordenadas
Seja um sistema de coordenadas retangular Oxyz e um vetor arbitrário \(\overrightarrow(AB) \) ser dado no espaço. Seja, ainda, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). As projeções X, Y, Z do vetor \(\overrightarrow(AB) \) nos eixos coordenados chamam-no coordenadas. Ao mesmo tempo que escrevem
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Teorema
Quaisquer que sejam dois pontos A(x 1 ; y 1 ; z 1) e B(x 2 ; y 2 ; z 2), as coordenadas do vetor \(\overrightarrow(AB) \) são definidas pelas seguintes fórmulas :
X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1
Comente
Se o vetor \(\overrightarrow(AB) \) sair da origem, ou seja, x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, então as coordenadas X, Y, Z do vetor \(\overrightarrow(AB) \) são iguais às coordenadas de seu final:
X=x, Y=y, Z=z.
Cossenos de direção vetorial
Seja um vetor arbitrário \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); assumimos que \(\vec(a) \) deixa a origem e não está em nenhum plano coordenado. Vamos desenhar através do ponto A planos perpendiculares aos eixos. Juntamente com os planos de coordenadas, eles formam um paralelepípedo retangular, cuja diagonal é o segmento OA (ver figura).
Sabe-se da geometria elementar que o quadrado do comprimento da diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à soma dos quadrados dos comprimentos de suas três dimensões. Consequentemente,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2\)
Mas \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); assim obtemos
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2\)
ou
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Esta fórmula expressa o comprimento de um vetor arbitrário em termos de suas coordenadas.
Denote por \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) os ângulos entre o vetor \(\vec(a) \) e os eixos coordenados. Das fórmulas para a projeção do vetor no eixo e o comprimento do vetor, obtemos
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) são chamados cossenos de direção do vetor \(\vec(a) \).
Quadrando os lados esquerdo e direito de cada uma das igualdades anteriores e somando os resultados, temos
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
Essa. a soma dos quadrados dos cossenos de direção de qualquer vetor é igual a um.
Operações lineares sobre vetores e suas principais propriedades
Operações lineares em vetores são as operações de adição e subtração de vetores e multiplicação de vetores por números.Adição de dois vetores
Sejam dados dois vetores \(\vec(a) \) e \(\vec(b) \). A soma \(\vec(a) + \vec(b) \) é um vetor que vai do início do vetor \(\vec(a) \) até o final do vetor \(\vec(b) \) desde que o vetor \(\vec(b) \) seja anexado ao final do vetor \(\vec(a) \) (veja a figura).Comente
A ação de subtrair vetores é o oposto da ação de adição, ou seja, a diferença \(\vec(b) - \vec(a) \) dos vetores \(\vec(b) \) e \(\vec(a) \) é o vetor que, junto com o vetor \( \vec(a) ) \) dá o vetor \(\vec(b) \) (veja a figura).
Comente
Tendo determinado a soma de dois vetores, pode-se encontrar a soma de qualquer número de vetores dados. Seja, por exemplo, dados três vetores \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Somando \(\vec(a) \) e \(\vec(b) \), obtemos o vetor \(\vec(a) + \vec(b) \). Agora, adicionando o vetor \(\vec(c) \) a ele, obtemos o vetor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
O produto de um vetor por um número
Seja um vetor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) e um número \(\lambda \neq 0 \) O produto \(\lambda \vec(a) \) é um vetor colinear ao vetor \(\vec(a) \), tem comprimento igual a \(|\lambda| |\vec(a)| \), e uma direção igual ao vetor \(\vec(a) \) se \(\lambda > 0 \), e o oposto se \(\lambda (0) \) pelo número \(\lambda \neq 0 \) pode ser expresso da seguinte forma: se \(|\lambda| >1 \), então ao multiplicar o vetor \(\vec(a) \) pelo número \( \lambda \) o vetor \( \vec(a) \) é "esticado" por \(\lambda \) vezes, e se \(|\lambda| 1 \).Se \(\lambda =0 \) ou \(\vec(a) = \vec(0) \), então o produto \(\lambda \vec(a) \) é considerado igual ao vetor zero.
Comente
Usando a definição de multiplicação de um vetor por um número, é fácil provar que se os vetores \(\vec(a) \) e \(\vec(b) \) são colineares e \(\vec(a) \neq \vec(0) \), então existe (e apenas um) número \(\lambda \) tal que \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Propriedades básicas de operações lineares
1. Propriedade comutativa da adição
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Propriedade associativa da adição
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Propriedade associativa da multiplicação
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Propriedade distributiva em relação à soma dos números
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Propriedade distributiva em relação à soma de vetores
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b))) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Comente
Essas propriedades das operações lineares são de fundamental importância, pois permitem realizar operações algébricas ordinárias sobre vetores. Por exemplo, devido às propriedades 4 e 5, é possível realizar a multiplicação de um polinômio escalar por um polinômio vetorial "termo a termo".
Teoremas de projeção vetorial
Teorema
A projeção da soma de dois vetores em um eixo é igual à soma de suas projeções neste eixo, ou seja,
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
O teorema pode ser generalizado para o caso de qualquer número de termos.
Teorema
Ao multiplicar o vetor \(\vec(a) \) pelo número \(\lambda \), sua projeção no eixo também é multiplicada por este número, ou seja, \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)
Consequência
Se \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1)\) e \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2)\), então
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Consequência
Se \(\vec(a) = (x;y;z) \), então \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) para qualquer número \(\lambda \)
A partir daqui é fácil deduzir condição de colinearidade de dois vetores em coordenadas.
De fato, a igualdade \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) é equivalente às igualdades \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) ou
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) ou seja os vetores \(\vec(a) \) e \(\vec(b) \) são colineares se e somente se suas coordenadas são proporcionais.
Decomposição de um vetor em termos de uma base
Sejam os vetores \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) os vetores unitários dos eixos coordenados, ou seja. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), e cada um deles é igualmente direcionado com o eixo de coordenadas correspondente (veja a figura). Um triplo de vetores \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) é chamado base.
O seguinte teorema é válido.
Teorema
Qualquer vetor \(\vec(a) \) pode ser expandido exclusivamente na base \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), ou seja. apresentado na forma
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
onde \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) são alguns números. 
