Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo em que Aquiles percorre essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.
Esse raciocínio se tornou um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam no momento, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.
Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo desacelera até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.
Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".
Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:
No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.
Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.
Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:
Uma flecha voadora é imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.
Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará) . O que quero salientar em particular é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são duas coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.
quarta-feira, 4 de julho de 2018
Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.
Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.
Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.
Por mais que os matemáticos se escondam atrás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria dos conjuntos matemáticos aos próprios matemáticos.
Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos toda a quantia para ele e colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele só receberá o restante das contas quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.
Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que elas não podem ser consideradas elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático lembrará freneticamente da física: moedas diferentes têm quantidades diferentes de sujeira, a estrutura cristalina e o arranjo dos átomos para cada moeda são únicos ...
E agora eu tenho a pergunta mais interessante: onde está o limite além do qual elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.
Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos falar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.
Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".
domingo, 18 de março de 2018
A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.
Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.
Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.
1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.
2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.
3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.
4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.
A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.
Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Assim, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. Com um grande número de 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.
Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como se encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe desse resultados completamente diferentes.
Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.
O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-las, isso não tem nada a ver com matemática.
O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.
Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?
Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.
Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,
Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:
Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não considero essa garota uma tola que não sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.
1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.
Tópico da lição: "A ordem de execução de ações em expressões sem colchetes e com colchetes.
O objetivo da lição: criar condições para consolidar as habilidades para aplicar o conhecimento sobre a ordem de execução das ações em expressões sem colchetes e com colchetes em várias situações, a capacidade de resolver problemas com uma expressão.
Lições objetivas.
Educacional:
Consolidar o conhecimento dos alunos sobre as regras de execução de ações em expressões sem colchetes e com colchetes; formar sua capacidade de usar essas regras ao calcular expressões específicas; melhorar as habilidades de computação; repita os casos tabulares de multiplicação e divisão;
Em desenvolvimento:
Desenvolver habilidades computacionais, raciocínio lógico, atenção, memória, habilidades cognitivas dos alunos,
habilidades de comunicação;
Educacional:
Cultivar uma atitude tolerante para com o outro, cooperação mútua,
cultura de comportamento em sala de aula, precisão, independência, para cultivar o interesse pela matemática.
UUD formado:
UUD regulamentar:
trabalhar de acordo com o plano proposto, instruções;
apresentar suas hipóteses com base em material didático;
exercer o autocontrole.
UUD Cognitivo:
conheça a ordem das operações:
ser capaz de explicar seu conteúdo;
compreender a regra da ordem das ações;
encontre os valores das expressões de acordo com as regras da ordem de execução;
ações, usando tarefas de texto para isso;
escreva a solução do problema com uma expressão;
aplicar regras para a ordem das ações;
ser capaz de aplicar os conhecimentos adquiridos na realização de trabalhos de controlo.
UUD comunicativo:
ouvir e compreender a fala dos outros;
expressar seus pensamentos com integridade e precisão suficientes;
permitir a possibilidade de diferentes pontos de vista, esforçar-se para compreender a posição do interlocutor;
trabalhar em equipe de diferentes conteúdos (par, pequeno grupo, turma inteira), participar de discussões, trabalhar em duplas;
UUD pessoal:
estabelecer uma relação entre a finalidade da atividade e seu resultado;
definir regras de conduta comuns a todos;
expressar a capacidade de autoavaliação com base no critério de sucesso nas atividades educativas.
Resultado planejado:
Sujeito:
Conheça as regras para ordenar ações.
Ser capaz de explicar o seu conteúdo.
Ser capaz de resolver problemas usando expressões.
Pessoal:
Ser capaz de realizar autoavaliação com base no critério de sucesso das atividades educativas.
Metaassunto:
Ser capaz de determinar e formular o objetivo da aula com a ajuda de um professor; pronunciar a sequência de ações na lição; trabalhar de acordo com um plano coletivo; avaliar a correcção da acção ao nível de uma avaliação retrospectiva adequada; planeje sua ação de acordo com a tarefa; efetuar os ajustes necessários à ação após a sua conclusão, com base na sua avaliação e tendo em conta a natureza dos erros cometidos; fazer um palpite UUD regulamentar ).
Ser capaz de formular seus pensamentos oralmente; ouvir e compreender a fala dos outros; acordar em conjunto as regras de comportamento e comunicação na escola e segui-las ( UUD comunicativo ).
Ser capaz de navegar em seu sistema de conhecimento: distinguir o novo do já conhecido com a ajuda de um professor; Adquira novos conhecimentos: encontre respostas para perguntas usando um livro didático, sua experiência de vida e informações recebidas na lição (UUD cognitivo ).
Durante as aulas
1. Momento organizacional.
Para tornar nossa lição mais brilhante,
Vamos compartilhar o bem.
Estenda as palmas das mãos
Coloque seu amor neles
E sorriam um para o outro.
Pegue seus empregos.
Eles abriram cadernos, anotaram a data e os trabalhos de aula.
2. Atualização do conhecimento.
Na lição, teremos que considerar em detalhes a ordem em que as operações aritméticas são executadas em expressões sem colchetes e com colchetes.
Contagem verbal.
Encontre o jogo de resposta certa.
(Cada aluno tem uma folha com números)
Eu leio as tarefas e você, tendo concluído as ações em sua mente, deve riscar o resultado, ou seja, a resposta, com uma cruz.
Eu concebi um número, subtraí 80 dele, obtive 18. Que número eu concebi? (98)
Eu concebi um número, adicionei 12 a ele, obtive 70. Que número eu concebi? (58)
O primeiro termo é 90, o segundo termo é 12. Encontre a soma. (102)
Conecte seus resultados.
Qual geometria você conseguiu? (Triângulo)
Conte-nos o que você sabe sobre essa figura geométrica. (Tem 3 lados, 3 topos, 3 cantos)
Continuamos a trabalhar no cartão.
Encontre a diferença entre os números 100 e 22 . (78)
Reduziu 99, subtraiu 19. Encontre a diferença. (80).
Pegue o número 25 4 vezes. (100)
Desenhe mais 1 triângulo dentro do triângulo, conectando os resultados.
Quantos triângulos você conseguiu? (5)
3. Trabalhe no tópico da lição. Observando a mudança no valor de uma expressão dependendo da ordem em que as operações aritméticas são executadas
Na vida, constantemente realizamos algum tipo de ação: caminhamos, estudamos, lemos, escrevemos, contamos, sorrimos, brigamos e fazemos as pazes. Realizamos essas etapas em uma ordem diferente. Às vezes eles podem ser trocados, às vezes não. Por exemplo, indo para a escola de manhã, você pode primeiro fazer exercícios e depois arrumar a cama ou vice-versa. Mas você não pode ir à escola primeiro e depois vestir roupas.
E em matemática, é necessário realizar operações aritméticas em uma determinada ordem?
Vamos checar
Vamos comparar as expressões:
8-3+4 e 8-3+4
Vemos que ambas as expressões são exatamente iguais.
Vamos executar ações em uma expressão da esquerda para a direita e em outra da direita para a esquerda. Os números podem indicar a ordem em que as ações são executadas (Fig. 1).
Arroz. 1. Procedimento
Na primeira expressão, primeiro realizaremos a operação de subtração e, em seguida, adicionaremos o número 4 ao resultado.
Na segunda expressão, primeiro encontramos o valor da soma e, em seguida, subtraímos o resultado 7 de 8.
Vemos que os valores das expressões são diferentes.
Vamos concluir: A ordem em que as operações aritméticas são executadas não pode ser alterada..
Ordem aritmética em expressões sem colchetes
Vamos aprender a regra para realizar operações aritméticas em expressões sem colchetes.
Se a expressão sem colchetes incluir apenas adição e subtração, ou apenas multiplicação e divisão, as ações serão executadas na ordem em que foram escritas.
Vamos praticar.
Considere a expressão
Esta expressão tem apenas operações de adição e subtração. Essas ações são chamadas ações do primeiro passo.
Realizamos ações da esquerda para a direita em ordem (Fig. 2).
Arroz. 2. Procedimento
Considere a segunda expressão
Nesta expressão, existem apenas operações de multiplicação e divisão - Estas são as ações do segundo passo.
Realizamos ações da esquerda para a direita em ordem (Fig. 3).
Arroz. 3. Procedimento
Em que ordem as operações aritméticas são executadas se a expressão contém não apenas adição e subtração, mas também multiplicação e divisão?
Se a expressão sem colchetes incluir não apenas adição e subtração, mas também multiplicação e divisão, ou ambas as operações, primeiro execute a multiplicação e a divisão em ordem (da esquerda para a direita) e, em seguida, a adição e a subtração.
Considere uma expressão.
Raciocinamos assim. Esta expressão contém as operações de adição e subtração, multiplicação e divisão. Agimos de acordo com a regra. Primeiro, executamos em ordem (da esquerda para a direita) a multiplicação e a divisão e, em seguida, a adição e a subtração. Vamos expor o procedimento.
Vamos calcular o valor da expressão.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
Ordem de execução de operações aritméticas em expressões com colchetes
Em que ordem as operações aritméticas são executadas se a expressão contém parênteses?
Se a expressão contiver parênteses, o valor das expressões entre parênteses será calculado primeiro.
Considere uma expressão.
30 + 6 * (13 - 9)
Vemos que nessa expressão há uma ação entre colchetes, o que significa que vamos realizar essa ação primeiro, depois, na ordem, multiplicação e adição. Vamos expor o procedimento.
30 + 6 * (13 - 9)
Vamos calcular o valor da expressão.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
A regra para realizar operações aritméticas em expressões sem colchetes e com colchetes
Como raciocinar para estabelecer corretamente a ordem das operações aritméticas em uma expressão numérica?
Antes de prosseguir com os cálculos, é necessário considerar a expressão (descobrir se ela contém colchetes, quais ações ela possui) e somente depois disso realizar as ações na seguinte ordem:
1. ações escritas entre colchetes;
2. multiplicação e divisão;
3. adição e subtração.
O diagrama irá ajudá-lo a lembrar desta regra simples (Fig. 4).
Arroz. 4. Procedimento
4. Consolidação Cumprimento das tarefas de treinamento para a regra aprendida
Vamos praticar.
Considere as expressões, estabeleça a ordem das operações e realize os cálculos.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Vamos seguir as regras. A expressão 43 - (20 - 7) +15 possui operações entre parênteses, assim como operações de adição e subtração. Vamos definir o curso de ação. O primeiro passo é realizar a ação entre parênteses e, em seguida, da esquerda para a direita, subtração e adição.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
A expressão 32 + 9 * (19 - 16) possui operações entre parênteses, bem como operações de multiplicação e adição. De acordo com a regra, primeiro realizamos a ação entre colchetes, depois a multiplicação (o número 9 é multiplicado pelo resultado obtido pela subtração) e a adição.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
Na expressão 2*9-18:3 não há colchetes, mas há operações de multiplicação, divisão e subtração. Agimos de acordo com a regra. Primeiro, realizamos a multiplicação e a divisão da esquerda para a direita e, em seguida, do resultado obtido pela multiplicação, subtraímos o resultado obtido pela divisão. Ou seja, a primeira ação é a multiplicação, a segunda é a divisão e a terceira é a subtração.
2*9-18:3=18-6=12
Vamos descobrir se a ordem das ações nas expressões a seguir está definida corretamente.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Raciocinamos assim.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
Não há colchetes nesta expressão, o que significa que primeiro realizamos a multiplicação ou divisão da esquerda para a direita, depois adição ou subtração. Nesta expressão, a primeira ação é a divisão, a segunda é a multiplicação. A terceira ação deve ser adição, a quarta - subtração. Conclusão: a ordem das ações está definida corretamente.
Encontre o valor desta expressão.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Continuamos discutindo.
A segunda expressão tem colchetes, o que significa que primeiro executamos a ação entre colchetes, depois da esquerda para a direita a multiplicação ou divisão, adição ou subtração. Verificamos: a primeira ação está entre colchetes, a segunda é a divisão, a terceira é a adição. Conclusão: a ordem das ações está definida incorretamente. Corrija os erros, encontre o valor da expressão.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
Essa expressão também tem colchetes, o que significa que primeiro realizamos a ação entre colchetes, depois da esquerda para a direita a multiplicação ou divisão, adição ou subtração. Verificamos: a primeira ação está entre colchetes, a segunda é a multiplicação, a terceira é a subtração. Conclusão: a ordem das ações está definida incorretamente. Corrija os erros, encontre o valor da expressão.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Vamos completar a tarefa.
Vamos organizar a ordem das ações na expressão usando a regra estudada (Fig. 5).
Arroz. 5. Procedimento
Não vemos valores numéricos, portanto não poderemos encontrar o significado das expressões, mas praticaremos a aplicação da regra aprendida.
Agimos de acordo com o algoritmo.
A primeira expressão tem parênteses, então a primeira ação está entre parênteses. Em seguida, da esquerda para a direita, multiplicação e divisão, depois da esquerda para a direita, subtração e adição.
A segunda expressão também contém colchetes, o que significa que realizamos a primeira ação entre colchetes. Depois disso, da esquerda para a direita, multiplicação e divisão, depois disso - subtração.
Vamos nos verificar (Fig. 6).
Arroz. 6. Procedimento
5. Resumindo.
Hoje, na lição, nos familiarizamos com a regra da ordem de execução de ações em expressões sem colchetes e com colchetes. No decorrer das tarefas, determinamos se o significado das expressões depende da ordem em que as operações aritméticas são executadas, descobrimos se a ordem das operações aritméticas difere em expressões sem colchetes e com colchetes, praticamos a aplicação da regra aprendida, pesquisamos e corrigiu os erros cometidos na determinação da ordem das ações.
E ao calcular os valores das expressões, as ações são executadas em uma determinada ordem, ou seja, você deve observar ordem de ações.
Neste artigo, descobriremos quais ações devem ser executadas primeiro e quais depois delas. Vamos começar com os casos mais simples, quando a expressão contém apenas números ou variáveis conectadas por mais, menos, multiplicar e dividir. A seguir, explicaremos qual ordem de execução das ações deve ser seguida nas expressões com colchetes. Finalmente, considere a sequência na qual as ações são executadas em expressões contendo potências, raízes e outras funções.
Navegação da página.
Primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração
A escola oferece os seguintes uma regra que determina a ordem em que as ações são executadas em expressões sem parênteses:
- as ações são executadas em ordem da esquerda para a direita,
- onde a multiplicação e a divisão são realizadas primeiro, e depois a adição e a subtração.
A regra declarada é percebida com bastante naturalidade. A execução de ações em ordem da esquerda para a direita é explicada pelo fato de que é costume mantermos registros da esquerda para a direita. E o fato de a multiplicação e a divisão serem realizadas antes da adição e subtração é explicada pelo significado que essas ações carregam em si mesmas.
Vejamos alguns exemplos da aplicação desta regra. Por exemplo, usaremos as expressões numéricas mais simples para não nos distrairmos com os cálculos, mas para nos concentrarmos na ordem em que as ações são executadas.
Exemplo.
Siga os passos 7−3+6.
Decisão.
A expressão original não contém parênteses, nem contém multiplicação e divisão. Portanto, devemos executar todas as ações na ordem da esquerda para a direita, ou seja, primeiro subtraímos 3 de 7, obtemos 4, depois adicionamos 6 à diferença resultante 4, obtemos 10.
Resumidamente, a solução pode ser escrita da seguinte forma: 7−3+6=4+6=10 .
Responda:
7−3+6=10 .
Exemplo.
Indique a ordem em que as ações são executadas na expressão 6:2·8:3 .
Decisão.
Para responder à pergunta do problema, vamos recorrer à regra que indica a ordem em que as ações são executadas em expressões sem colchetes. A expressão original contém apenas as operações de multiplicação e divisão, e de acordo com a regra, elas devem ser realizadas na ordem da esquerda para a direita.
Responda:
Inicialmente 6 dividido por 2, este quociente é multiplicado por 8, por fim, o resultado é dividido por 3.
Exemplo.
Calcule o valor da expressão 17−5·6:3−2+4:2 .
Decisão.
Primeiro, vamos determinar em que ordem as ações na expressão original devem ser executadas. Inclui multiplicação e divisão e adição e subtração. Primeiro, da esquerda para a direita, você precisa realizar a multiplicação e a divisão. Então, multiplicamos 5 por 6, obtemos 30, dividimos esse número por 3, obtemos 10. Agora dividindo 4 por 2, obtemos 2. Substituímos o valor encontrado 10 em vez de 5 6:3 na expressão original e o valor 2 em vez de 4:2, temos 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Não há multiplicação e divisão na expressão resultante, portanto, resta executar as ações restantes na ordem da esquerda para a direita: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Responda:
17−5 6:3−2+4:2=7 .
A princípio, para não confundir a ordem de execução das ações ao calcular o valor de uma expressão, é conveniente colocar números acima dos sinais das ações correspondentes à ordem em que são executadas. Para o exemplo anterior, ficaria assim: .
A mesma ordem de operações - primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração - deve ser seguida ao trabalhar com expressões literais.
Etapas 1 e 2
Em alguns livros didáticos de matemática, há uma divisão das operações aritméticas em operações de primeira e segunda etapas. Vamos lidar com isso.
Definição.
Ações do primeiro passo são chamados de adição e subtração, e multiplicação e divisão são chamados ações do segundo passo.
Nesses termos, a regra do parágrafo anterior, que determina a ordem em que as ações são executadas, será escrita da seguinte forma: se a expressão não contiver colchetes, então, da esquerda para a direita, as ações da segunda etapa ( multiplicação e divisão) são realizadas primeiro, depois as ações do primeiro estágio (adição e subtração).
Ordem de execução de operações aritméticas em expressões com colchetes
As expressões geralmente contêm parênteses para indicar a ordem em que as ações devem ser executadas. Nesse caso uma regra que especifica a ordem em que as ações são executadas em expressões com colchetes, é formulado da seguinte forma: primeiro, as ações entre parênteses são executadas, enquanto a multiplicação e a divisão também são realizadas na ordem da esquerda para a direita, depois a adição e a subtração.
Assim, as expressões entre parênteses são consideradas como componentes da expressão original, e a ordem das ações já conhecidas por nós é preservada nelas. Considere as soluções dos exemplos para maior clareza.
Exemplo.
Execute as etapas fornecidas 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Decisão.
A expressão contém colchetes, então vamos primeiro realizar as operações nas expressões entre colchetes. Vamos começar com a expressão 7−2 3 . Nele, você deve primeiro realizar a multiplicação, e só depois a subtração, temos 7−2 3=7−6=1 . Passamos para a segunda expressão entre colchetes 6−4. Há apenas uma ação aqui - subtração, nós a executamos 6−4=2 .
Substituímos os valores obtidos na expressão original: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. Na expressão resultante, primeiro realizamos a multiplicação e a divisão da esquerda para a direita, depois a subtração, obtemos 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Sobre isso, todas as ações são concluídas, seguimos a seguinte ordem de execução: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Vamos escrever uma solução curta: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
Responda:
5+(7−2 3)(6−4):2=6 .
Acontece que uma expressão contém colchetes dentro de colchetes. Você não deve ter medo disso, você só precisa aplicar consistentemente a regra sonora para executar ações em expressões com colchetes. Vamos mostrar uma solução de exemplo.
Exemplo.
Execute as ações na expressão 4+(3+1+4·(2+3)) .
Decisão.
Esta é uma expressão com colchetes, o que significa que a execução das ações deve começar com a expressão entre colchetes, ou seja, com 3+1+4 (2+3) . Essa expressão também contém parênteses, portanto, primeiro você deve executar ações neles. Vamos fazer isso: 2+3=5 . Substituindo o valor encontrado, obtemos 3+1+4 5 . Nesta expressão, primeiro realizamos a multiplicação, depois a adição, temos 3+1+4 5=3+1+20=24 . O valor inicial, após substituir este valor, assume a forma 4+24 , e resta apenas completar as ações: 4+24=28 .
Responda:
4+(3+1+4 (2+3))=28 .
Em geral, quando parênteses dentro de parênteses estão presentes em uma expressão, geralmente é conveniente começar com os parênteses internos e ir até os externos.
Por exemplo, digamos que precisamos realizar operações na expressão (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Primeiro, realizamos ações entre colchetes internos, já que 4−6:2=4−3=1 , depois disso a expressão original terá a forma (4+(4+1)−1)−1 . Novamente, realizamos a ação nos colchetes internos, pois 4+1=5 , então chegamos à seguinte expressão (4+5−1)−1 . Novamente, realizamos as ações entre parênteses: 4+5−1=8 , enquanto chegamos à diferença 8−1 , que é igual a 7 .
Nesta lição, o procedimento para realizar operações aritméticas em expressões sem colchetes e com colchetes é considerado em detalhes. Os alunos têm a oportunidade de, durante a realização de tarefas, determinar se o significado das expressões depende da ordem em que as operações aritméticas são executadas, descobrir se a ordem das operações aritméticas difere em expressões sem colchetes e com colchetes, praticar a aplicação a regra aprendida, para encontrar e corrigir erros cometidos na determinação da ordem das ações.
Na vida, constantemente realizamos algum tipo de ação: caminhamos, estudamos, lemos, escrevemos, contamos, sorrimos, brigamos e fazemos as pazes. Realizamos essas etapas em uma ordem diferente. Às vezes eles podem ser trocados, às vezes não. Por exemplo, indo para a escola de manhã, você pode primeiro fazer exercícios e depois arrumar a cama ou vice-versa. Mas você não pode ir à escola primeiro e depois vestir roupas.
E em matemática, é necessário realizar operações aritméticas em uma determinada ordem?
Vamos checar
Vamos comparar as expressões:
8-3+4 e 8-3+4
Vemos que ambas as expressões são exatamente iguais.
Vamos executar ações em uma expressão da esquerda para a direita e em outra da direita para a esquerda. Os números podem indicar a ordem em que as ações são executadas (Fig. 1).
Arroz. 1. Procedimento
Na primeira expressão, primeiro realizaremos a operação de subtração e, em seguida, adicionaremos o número 4 ao resultado.
Na segunda expressão, primeiro encontramos o valor da soma e, em seguida, subtraímos o resultado 7 de 8.
Vemos que os valores das expressões são diferentes.
Vamos concluir: A ordem em que as operações aritméticas são executadas não pode ser alterada..
Vamos aprender a regra para realizar operações aritméticas em expressões sem colchetes.
Se a expressão sem colchetes incluir apenas adição e subtração, ou apenas multiplicação e divisão, as ações serão executadas na ordem em que foram escritas.
Vamos praticar.
Considere a expressão
Esta expressão tem apenas operações de adição e subtração. Essas ações são chamadas ações do primeiro passo.
Realizamos ações da esquerda para a direita em ordem (Fig. 2).
Arroz. 2. Procedimento
Considere a segunda expressão
Nesta expressão, existem apenas operações de multiplicação e divisão - Estas são as ações do segundo passo.
Realizamos ações da esquerda para a direita em ordem (Fig. 3).
Arroz. 3. Procedimento
Em que ordem as operações aritméticas são executadas se a expressão contém não apenas adição e subtração, mas também multiplicação e divisão?
Se a expressão sem colchetes incluir não apenas adição e subtração, mas também multiplicação e divisão, ou ambas as operações, primeiro execute a multiplicação e a divisão em ordem (da esquerda para a direita) e, em seguida, a adição e a subtração.
Considere uma expressão.
Raciocinamos assim. Esta expressão contém as operações de adição e subtração, multiplicação e divisão. Agimos de acordo com a regra. Primeiro, executamos em ordem (da esquerda para a direita) a multiplicação e a divisão e, em seguida, a adição e a subtração. Vamos expor o procedimento.
Vamos calcular o valor da expressão.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
Em que ordem as operações aritméticas são executadas se a expressão contém parênteses?
Se a expressão contiver parênteses, o valor das expressões entre parênteses será calculado primeiro.
Considere uma expressão.
30 + 6 * (13 - 9)
Vemos que nessa expressão há uma ação entre colchetes, o que significa que vamos realizar essa ação primeiro, depois, na ordem, multiplicação e adição. Vamos expor o procedimento.
30 + 6 * (13 - 9)
Vamos calcular o valor da expressão.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Como raciocinar para estabelecer corretamente a ordem das operações aritméticas em uma expressão numérica?
Antes de prosseguir com os cálculos, é necessário considerar a expressão (descobrir se ela contém colchetes, quais ações ela possui) e somente depois disso realizar as ações na seguinte ordem:
1. ações escritas entre colchetes;
2. multiplicação e divisão;
3. adição e subtração.
O diagrama irá ajudá-lo a lembrar desta regra simples (Fig. 4).
Arroz. 4. Procedimento
Vamos praticar.
Considere as expressões, estabeleça a ordem das operações e realize os cálculos.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Vamos seguir as regras. A expressão 43 - (20 - 7) +15 possui operações entre parênteses, assim como operações de adição e subtração. Vamos definir o curso de ação. O primeiro passo é realizar a ação entre parênteses e, em seguida, da esquerda para a direita, subtração e adição.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
A expressão 32 + 9 * (19 - 16) possui operações entre parênteses, bem como operações de multiplicação e adição. De acordo com a regra, primeiro realizamos a ação entre colchetes, depois a multiplicação (o número 9 é multiplicado pelo resultado obtido pela subtração) e a adição.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
Na expressão 2*9-18:3 não há colchetes, mas há operações de multiplicação, divisão e subtração. Agimos de acordo com a regra. Primeiro, realizamos a multiplicação e a divisão da esquerda para a direita e, em seguida, do resultado obtido pela multiplicação, subtraímos o resultado obtido pela divisão. Ou seja, a primeira ação é a multiplicação, a segunda é a divisão e a terceira é a subtração.
2*9-18:3=18-6=12
Vamos descobrir se a ordem das ações nas expressões a seguir está definida corretamente.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Raciocinamos assim.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
Não há colchetes nesta expressão, o que significa que primeiro realizamos a multiplicação ou divisão da esquerda para a direita, depois adição ou subtração. Nesta expressão, a primeira ação é a divisão, a segunda é a multiplicação. A terceira ação deve ser adição, a quarta - subtração. Conclusão: a ordem das ações está definida corretamente.
Encontre o valor desta expressão.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Continuamos discutindo.
A segunda expressão tem colchetes, o que significa que primeiro executamos a ação entre colchetes, depois da esquerda para a direita a multiplicação ou divisão, adição ou subtração. Verificamos: a primeira ação está entre colchetes, a segunda é a divisão, a terceira é a adição. Conclusão: a ordem das ações está definida incorretamente. Corrija os erros, encontre o valor da expressão.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
Essa expressão também tem colchetes, o que significa que primeiro realizamos a ação entre colchetes, depois da esquerda para a direita a multiplicação ou divisão, adição ou subtração. Verificamos: a primeira ação está entre colchetes, a segunda é a multiplicação, a terceira é a subtração. Conclusão: a ordem das ações está definida incorretamente. Corrija os erros, encontre o valor da expressão.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Vamos completar a tarefa.
Vamos organizar a ordem das ações na expressão usando a regra estudada (Fig. 5).
Arroz. 5. Procedimento
Não vemos valores numéricos, portanto não poderemos encontrar o significado das expressões, mas praticaremos a aplicação da regra aprendida.
Agimos de acordo com o algoritmo.
A primeira expressão tem parênteses, então a primeira ação está entre parênteses. Em seguida, da esquerda para a direita, multiplicação e divisão, depois da esquerda para a direita, subtração e adição.
A segunda expressão também contém colchetes, o que significa que realizamos a primeira ação entre colchetes. Depois disso, da esquerda para a direita, multiplicação e divisão, depois disso - subtração.
Vamos nos verificar (Fig. 6).
Arroz. 6. Procedimento
Hoje, na lição, nos familiarizamos com a regra da ordem de execução de ações em expressões sem colchetes e com colchetes.
Bibliografia
- MI. Moro, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 1. - M.: "Iluminismo", 2012.
- MI. Moro, M. A. Bantova e outros Matemática: Livro didático. Grau 3: em 2 partes, parte 2. - M.: "Iluminismo", 2012.
- MI. Moreau. Aulas de matemática: orientações para professores. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
- Documento normativo. Monitorização e avaliação dos resultados da aprendizagem. - M.: "Iluminismo", 2011.
- "Escola da Rússia": Programas para o ensino fundamental. - M.: "Iluminismo", 2011.
- SI. Volkov. Matemática: Trabalho de teste. Grau 3 - M.: Educação, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testes. - M.: "Exame", 2012.
- Festival.1setembro.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- Openclass.ru ().
Trabalho de casa
1. Determine a ordem das ações nessas expressões. Descubra o significado das expressões.
2. Determine em qual expressão esta ordem de ações é executada:
1. multiplicação; 2. divisão;. 3. adição; 4. subtração; 5. adição. Encontre o valor desta expressão.
3. Componha três expressões nas quais a seguinte ordem de ações seja executada:
1. multiplicação; 2. adição; 3. subtração
1. adição; 2. subtração; 3. adição
1. multiplicação; 2. divisão; 3. adição
Descubra o significado dessas expressões.
A escola primária está chegando ao fim, em breve a criança entrará no mundo profundo da matemática. Mas já neste período, o aluno se depara com as dificuldades da ciência. Ao realizar uma tarefa simples, a criança fica confusa, perdida, o que leva a uma nota negativa pelo trabalho realizado. Para evitar esses problemas, ao resolver exemplos, você precisa ser capaz de navegar na ordem em que precisa resolver o exemplo. Distribuindo ações incorretamente, a criança não executa a tarefa corretamente. O artigo revela as regras básicas para resolver exemplos que contêm toda a gama de cálculos matemáticos, incluindo colchetes. A ordem das ações em matemática 4º ano regras e exemplos.
Antes de completar a tarefa, peça ao seu filho para numerar as ações que ele vai realizar. Se você tiver alguma dificuldade, por favor, ajude.
Algumas regras a seguir ao resolver exemplos sem colchetes:
Se uma tarefa precisa executar uma série de ações, você deve primeiro realizar a divisão ou multiplicação. Todas as ações são executadas durante a escrita. Caso contrário, o resultado da solução não será correto.
Se no exemplo for necessário executar, executamos na ordem, da esquerda para a direita.
27-5+15=37 (ao resolver o exemplo, somos guiados pela regra. Primeiro, realizamos a subtração, depois a adição).
Ensine seu filho a sempre planejar e numerar as ações a serem realizadas.
As respostas para cada ação resolvida estão escritas acima do exemplo. Assim, será muito mais fácil para a criança navegar pelas ações.
Considere outra opção onde é necessário distribuir as ações em ordem:
Como você pode ver, ao resolver, a regra é observada, primeiro procuramos o produto, depois disso - a diferença.
São exemplos simples que requerem atenção para serem resolvidos. Muitas crianças caem em estupor ao ver uma tarefa em que não há apenas multiplicação e divisão, mas também parênteses. Um aluno que não sabe a ordem de execução das ações tem dúvidas que o impedem de completar a tarefa.
Como dito na regra, primeiro encontramos uma obra ou um particular, e depois todo o resto. Mas então há colchetes! Como proceder neste caso?
Resolvendo exemplos com colchetes
Vamos a um exemplo específico:
- Ao realizar esta tarefa, primeiro encontre o valor da expressão entre colchetes.
- Comece com a multiplicação e depois some.
- Após a resolução da expressão entre colchetes, passamos para as ações fora deles.
- De acordo com a ordem das operações, o próximo passo é a multiplicação.
- A etapa final será.
Como você pode ver no exemplo ilustrativo, todas as ações são numeradas. Para consolidar o tópico, convide a criança a resolver vários exemplos por conta própria:
A ordem em que o valor da expressão deve ser avaliada já está definida. A criança só terá que executar a decisão diretamente.
Vamos complicar a tarefa. Deixe a criança encontrar o significado das expressões por conta própria.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Ensine seu filho a resolver todas as tarefas em uma versão de rascunho. Neste caso, o aluno terá a oportunidade de corrigir a decisão errada ou borrões. Não são permitidas correções na pasta de trabalho. Ao fazer tarefas por conta própria, as crianças veem seus erros.
Os pais, por sua vez, devem prestar atenção aos erros, ajudar a criança a entendê-los e corrigi-los. Não carregue o cérebro do aluno com grandes volumes de tarefas. Com tais ações, você vencerá o desejo de conhecimento da criança. Deve haver um senso de proporção em tudo.
Dar um tempo. A criança deve se distrair e descansar das aulas. A principal coisa a lembrar é que nem todo mundo tem uma mentalidade matemática. Talvez um filósofo famoso cresça do seu filho.
