GRADUAÇÃO COM UM INDICADOR RACIONAL,

FUNÇÃO DE ENERGIA IV

§ 79. Extraindo raízes de uma obra e um quociente

Teorema 1. Raiz P a potência do produto dos números positivos é igual ao produto das raízes P -º grau dos fatores, ou seja, quando uma > 0, b > 0 e natural P

n √ab = n √uma n √b . (1)

Prova. Lembre-se que a raiz P ª potência de um número positivo ab existe um número positivo P -º grau do qual é igual a ab . Portanto, provar a igualdade (1) é o mesmo que provar a igualdade

(n √uma n √b ) n = ab .

Pela propriedade do grau do produto

(n √uma n √b ) n = (n √uma ) n (n √b ) n =.

Mas por definição da raiz P º grau ( n √uma ) n = uma , (n √b ) n = b .

Então ( n √uma n √b ) n = ab . O teorema foi provado.

Requerimento uma > 0, b > 0 é essencial apenas para P , pois para negativo uma e b e até mesmo P raízes n √uma e n √b não definido. Se P ímpar, então a fórmula (1) é válida para qualquer uma e b (positivos e negativos).

Exemplos: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

A fórmula (1) é útil no cálculo das raízes, quando a expressão da raiz é representada como um produto de quadrados exatos. Por exemplo,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Provamos o Teorema 1 para o caso em que o sinal do radical no lado esquerdo da fórmula (1) é o produto de dois números positivos. De fato, este teorema é verdadeiro para qualquer número de fatores positivos, isto é, para qualquer k > 2:

Consequência. Lendo essa identidade da direita para a esquerda, obtemos a seguinte regra para multiplicar raízes com os mesmos expoentes;

Para multiplicar raízes com os mesmos expoentes, basta multiplicar as expressões de raiz, deixando o expoente da raiz igual.

Por exemplo, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Teorema 2. Raiz Pª potência de uma fração cujo numerador e denominador são números positivos é igual ao quociente da divisão da raiz de mesmo grau do numerador pela raiz de mesmo grau do denominador, ou seja, quando uma > 0 e b > 0

(2)

Provar a igualdade (2) significa mostrar que

De acordo com a regra de elevar uma fração a uma potência e determinar a raiz n º grau temos:

Assim, o teorema é provado.

Requerimento uma > 0 e b > 0 é essencial apenas para P . Se P ímpar, então a fórmula (2) também é verdadeira para valores negativos uma e b .

Consequência. Identidade de leitura da direita para a esquerda, obtemos a seguinte regra para dividir raízes com os mesmos expoentes:

Para dividir raízes com os mesmos expoentes, basta dividir as expressões de raiz, deixando o expoente da raiz igual.

Por exemplo,

Exercícios

554. Onde na prova do Teorema 1 usamos o fato de que uma e b positivo?

Por que com um estranho P fórmula (1) também é verdadeira para números negativos uma e b ?

Em que valores X os dados de igualdade estão corretos (Nº 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - um ) 3 = (√ x - um ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Calcule:

a) √ 173 2 - 52 2 ; dentro) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 205 cm e um dos catetos mede 84 cm. Encontre o outro cateto.

563. Quantas vezes:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - qualquer número. 558. X > 0. 559. X > uma . 560. X - qualquer número. 563. a) Três vezes.

Nesta seção, consideraremos raízes quadradas aritméticas.

No caso de uma expressão radical literal, assumiremos que as letras contidas sob o sinal da raiz denotam números não negativos.

1. A raiz do trabalho.

Vamos considerar tal exemplo.

Por outro lado, note que o número 2601 é o produto de dois fatores, dos quais a raiz é facilmente extraída:

Pegue a raiz quadrada de cada fator e multiplique essas raízes:

Obtivemos os mesmos resultados quando extraímos a raiz do produto sob a raiz e quando extraímos a raiz de cada fator separadamente e multiplicamos os resultados.

Em muitos casos, a segunda maneira de encontrar o resultado é mais fácil, pois você precisa extrair a raiz dos números menores.

Teorema 1. Para extrair a raiz quadrada do produto, você pode extraí-la de cada fator separadamente e multiplicar os resultados.

Vamos provar o teorema para três fatores, ou seja, vamos provar a validade da igualdade:

Faremos a prova por verificação direta, com base na definição da raiz aritmética. Digamos que precisamos provar a igualdade:

(A e B são números não negativos). Pela definição de raiz quadrada, isso significa que

Portanto, basta elevar ao quadrado o lado direito da igualdade que está sendo provada e certificar-se de que a expressão raiz do lado esquerdo seja obtida.

Apliquemos este raciocínio à prova da igualdade (1). Vamos ao quadrado do lado direito; mas o produto está do lado direito, e para elevar o produto ao quadrado, basta elevar ao quadrado cada fator e multiplicar os resultados (ver § 40);

Descobriu-se uma expressão radical, de pé do lado esquerdo. Portanto, a igualdade (1) é verdadeira.

Provamos o teorema para três fatores. Mas o raciocínio permanecerá o mesmo se houver 4 e assim por diante fatores sob a raiz. O teorema é verdadeiro para qualquer número de fatores.

O resultado é facilmente encontrado oralmente.

2. A raiz da fração.

Calcular

Exame.

Por outro lado,

Vamos provar o teorema.

Teorema 2. Para extrair a raiz de uma fração, você pode extrair a raiz separadamente do numerador e do denominador e dividir o primeiro resultado pelo segundo.

É necessário provar a validade da igualdade:

Para a prova, aplicamos o método em que o teorema anterior foi provado.

Vamos ao quadrado do lado direito. Terá:

Temos a expressão radical no lado esquerdo. Portanto, a igualdade (2) é verdadeira.

Então provamos as seguintes identidades:

e formulou as regras correspondentes para extrair a raiz quadrada do produto e do quociente. Algumas vezes ao realizar transformações é necessário aplicar essas identidades, lendo-as “da direita para a esquerda”.

Reorganizando os lados esquerdo e direito, reescrevemos as identidades provadas da seguinte forma:

Para multiplicar as raízes, você pode multiplicar as expressões radicais e extrair a raiz do produto.

Para separar as raízes, você pode dividir as expressões radicais e extrair a raiz do quociente.

3. A raiz do grau.

Calcular

Neste artigo, analisaremos os principais propriedades da raiz. Vamos começar com as propriedades da raiz quadrada aritmética, dar suas formulações e dar provas. Depois disso, vamos lidar com as propriedades da raiz aritmética do enésimo grau.

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Propriedades da raiz quadrada

Nesta seção, vamos lidar com os seguintes principais propriedades da raiz quadrada aritmética:

Em cada uma das igualdades escritas, as partes esquerda e direita podem ser trocadas, por exemplo, a igualdade pode ser reescrita como . Nesta forma "inversa", as propriedades da raiz quadrada aritmética são aplicadas quando simplificação de expressões com a mesma frequência que na forma "direta".

A prova das duas primeiras propriedades é baseada na definição da raiz quadrada aritmética e em . E para justificar a última propriedade da raiz quadrada aritmética, é preciso lembrar.

Então vamos começar com prova da propriedade da raiz quadrada aritmética do produto de dois números não negativos: . Para isso, de acordo com a definição da raiz quadrada aritmética, basta mostrar que é um número não negativo cujo quadrado é igual a a b . Vamos fazê-lo. O valor da expressão é não negativo como o produto de números não negativos. A propriedade do grau do produto de dois números nos permite escrever a igualdade , e uma vez que pela definição da raiz quadrada aritmética e , então .

Da mesma forma, prova-se que a raiz quadrada aritmética do produto de k fatores não negativos a 1 , a 2 , …, a k é igual ao produto das raízes quadradas aritméticas desses fatores. Sério, . Segue desta igualdade que .

Aqui estão alguns exemplos: e .

Agora vamos provar propriedade da raiz quadrada aritmética de um quociente: . A propriedade do quociente de potência natural nos permite escrever a igualdade , uma , enquanto houver um número não negativo. Esta é a prova.

Por exemplo, e .

É hora de desmontar propriedade da raiz quadrada aritmética do quadrado de um número, na forma de igualdade escreve-se como . Para provar isso, considere dois casos: para a≥0 e para a<0 .

É óbvio que para a≥0 a igualdade é verdadeira. Também é fácil ver que para um<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 e (−a) 2 =a 2 . Por isso, , que deveria ser provado.

aqui estão alguns exemplos: e .

A propriedade da raiz quadrada que acabamos de provar nos permite justificar o seguinte resultado, onde a é qualquer número real e m é qualquer um. De fato, a propriedade de exponenciação nos permite substituir o grau a 2 m pela expressão (a m) 2 , então .

Por exemplo, e .

Propriedades da raiz n

Vamos primeiro listar os principais propriedades das raízes n:

Todas as igualdades escritas permanecem válidas se os lados esquerdo e direito forem trocados nelas. Nesta forma, eles também são frequentemente usados, principalmente na simplificação e transformação de expressões.

A prova de todas as propriedades sonoras da raiz baseia-se na definição da raiz aritmética do grau n, nas propriedades do grau e na definição do módulo do número. Vamos prová-los em ordem de prioridade.

Vamos começar com a prova propriedades da raiz n de um produto . Para a e b não-negativos, o valor da expressão também é não-negativo, assim como o produto de números não-negativos. A propriedade do produto das potências naturais nos permite escrever a igualdade . Por definição da raiz aritmética do grau n e, portanto, . Isso prova a propriedade considerada da raiz.

Esta propriedade é provada de forma semelhante para o produto de k fatores: para números não negativos a 1 , a 2 , …, a n e .

Aqui estão exemplos de uso da propriedade da raiz do enésimo grau do produto: e .

Vamos provar propriedade raiz do quociente. Para a≥0 e b>0, a condição é satisfeita, e .

Vamos mostrar exemplos: e .

Nós seguimos em frente. Vamos provar propriedade da raiz n de um número elevado a n. Ou seja, provaremos que para qualquer a real e m natural. Para a≥0 temos e , o que prova a igualdade , e a igualdade obviamente. Para<0 имеем и (a última transição é válida devido à propriedade da potência com um expoente par), o que prova a igualdade , e é verdade devido ao fato de que ao falar sobre a raiz de um grau ímpar, tomamos para qualquer número não negativo c .

Aqui estão alguns exemplos de uso da propriedade raiz analisada: e .

Prosseguimos para a prova da propriedade da raiz a partir da raiz. Vamos trocar as partes direita e esquerda, ou seja, vamos provar a validade da igualdade , que significará a validade da igualdade original. Para um número não negativo a, a raiz quadrada da forma é um número não negativo. Lembrando a propriedade de elevar uma potência a uma potência, e usando a definição da raiz, podemos escrever uma cadeia de igualdades da forma . Isso prova a propriedade considerada de uma raiz de uma raiz.

A propriedade de uma raiz de uma raiz de uma raiz é provada de forma semelhante, e assim por diante. Sério, .

Por exemplo, e .

Vamos provar o seguinte propriedade de redução do expoente da raiz. Para isso, em virtude da definição da raiz, basta mostrar que existe um número não negativo que, elevado à potência de n m, é igual a a m . Vamos fazê-lo. É claro que se o número a é não negativo, então a raiz n-ésima do número a é um número não negativo. Em que , o que completa a prova.

Aqui está um exemplo de uso da propriedade raiz analisada: .

Vamos provar a seguinte propriedade, a propriedade da raiz do grau da forma . É óbvio que para a≥0 o grau é um número não negativo. Além disso, sua enésima potência é igual a a m , de fato, . Isso prova a propriedade considerada do grau.

Por exemplo, .

Vamos continuar. Vamos provar que para quaisquer números positivos a e b para os quais a condição a , ou seja, a≥b . E isso contradiz a condição a

Por exemplo, damos a desigualdade correta .

Finalmente, resta provar a última propriedade da raiz n. Vamos primeiro provar a primeira parte desta propriedade, ou seja, vamos provar que para m>n e 0 . Então, devido às propriedades de um grau com um expoente natural, a desigualdade , ou seja, a n ≤ a m . E a desigualdade resultante para m>n e 0

Da mesma forma, por contradição, prova-se que para m>n e a>1 a condição é satisfeita.

Vamos dar exemplos da aplicação da propriedade provada da raiz em números concretos. Por exemplo, as desigualdades e são verdadeiras.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro para 8 células. instituições educacionais.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11 de instituições educacionais gerais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).

Informações do assunto: Apresente o teorema da raiz quadrada para frações. Consolidação dos conhecimentos adquiridos pelos alunos sobre os temas: “Raiz quadrada aritmética”, “Raiz quadrada de um grau”, “Raiz quadrada de um produto”. Fortalecimento das habilidades de contagem rápida.

Atividade-comunicação: desenvolvimento e formação das habilidades dos alunos de raciocínio lógico, fala correta e competente, reação rápida.

Orientado para o valor: despertar o interesse dos alunos no estudo deste tema e deste assunto. A capacidade de aplicar os conhecimentos adquiridos em atividades práticas e em outras disciplinas.

1. Repita a definição da raiz quadrada aritmética.

2. Repita o teorema da raiz quadrada do grau.

3. Repita o teorema da raiz quadrada do produto.

4. Desenvolver habilidades de contagem oral.

5. Preparar os alunos para estudar o tema “raiz quadrada de uma fração” e dominar o material da geometria.

6. Conte sobre a história da origem da raiz aritmética.

Materiais e equipamentos didáticos: mapa de aula didático (Anexo 1), lousa, giz, cartões para tarefas individuais (tendo em conta as habilidades individuais dos alunos), cartões para contagem oral, cartões para trabalhos independentes.

Durante as aulas:

1. Momento organizacional: anotar o tema da aula, definindo a meta e os objetivos da aula (para os alunos).

Lição do tópico: A raiz quadrada de uma fração.

O objetivo da lição: hoje na lição vamos repetir a definição da raiz quadrada aritmética, o teorema da raiz quadrada do grau e a raiz quadrada do produto. E vamos nos familiarizar com o teorema da raiz quadrada de uma fração.

Lições objetivas:

1) repetir com a ajuda da contagem mental as definições da raiz quadrada e os teoremas sobre a raiz quadrada do grau e do produto;

2) durante a contagem oral, alguns caras completam tarefas em cartões;

3) explicação do novo material;

4) antecedentes históricos;

5) realização de tarefas de trabalho independente (na forma de teste).

2. Levantamento frontal:

1) contagem verbal: extraia a raiz quadrada das seguintes expressões:

a) usando a definição da raiz quadrada, calcule:;;; ;

b) valores tabulares: ; ;;;;; ;

c) a raiz quadrada do produto ;;;;

d) a raiz quadrada do grau;;;;; ;

e) retirar o fator comum entre parênteses:;; ;.

2) trabalho individual em cartões: Anexo 2.

3. Verifique D/Z:

4. Explicação do novo material:

Escreva uma tarefa para os alunos no quadro de acordo com as opções “calcular a raiz quadrada de uma fração”:

Opção 1: =

Opção 2: =

Se os caras completaram a primeira tarefa: pergunte como eles fizeram isso?

Opção 1: apresentado em forma de quadrado e recebido. Faça uma conclusão.

Opção 2: apresentou o numerador e denominador utilizando a definição do título no formulário e recebido.

Dê mais exemplos, por exemplo, calcule a raiz quadrada de uma fração; ; .

Faça uma analogia na forma literal:

Digite o teorema.

Teorema. Se a é maior ou igual a 0, c é maior que 0, então a raiz da fração a / b é igual à fração em que o numerador é a raiz de a e o denominador é a raiz de b, ou seja. A raiz de uma fração é igual à raiz do numerador dividida pela raiz do denominador.

Vamos provar que 1) a raiz de a dividida pela raiz de c é maior ou igual a 0

Prova. 1) Porque a raiz de a é maior ou igual a 0 e a raiz de c é maior que 0, então a raiz de a dividida pela raiz de c é maior ou igual a 0.

2)

5. Consolidação de novo material: do livro de texto de Sh. A. Alimov: n° 362 (1.3); Nº 363 (2.3); Nº 364 (2,4); №365 (2.3)

6. Referência histórica.

A raiz aritmética vem da palavra latina radix - raiz, radicalis - raiz

A partir do século 13, matemáticos italianos e outros europeus denotaram a raiz com a palavra latina radix (abreviada como r). Em 1525, no livro de H. Rudolph "Contando rápido e bonito com a ajuda de regras hábeis de álgebra, geralmente chamado Koss", apareceu a designação V para a raiz quadrada; a raiz cúbica foi denotada VVV. Em 1626, o matemático holandês A. Girard introduziu as designações V, VV, VVV, etc., que logo foram suplantadas pelo sinal r, enquanto uma linha horizontal foi colocada acima da expressão radical. A designação moderna da raiz apareceu pela primeira vez no livro Geometria de René Descartes, publicado em 1637.

8. Dever de casa: nº 362 (2,4); Nº 363 (1,4); Nº 364 (1,3); №365 (1.4)

A raiz quadrada de a é um número cujo quadrado é a. Por exemplo, os números -5 e 5 são as raízes quadradas do número 25. Ou seja, as raízes da equação x^2=25 são as raízes quadradas do número 25. Agora você precisa aprender a trabalhar com o operação de raiz quadrada: estude suas propriedades básicas.

A raiz quadrada do produto

√(a*b)=√a*√b

A raiz quadrada do produto de dois números não negativos é igual ao produto das raízes quadradas desses números. Por exemplo, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

É importante entender que esta propriedade também se aplica ao caso em que a expressão radical é o produto de três, quatro, etc. multiplicadores não negativos.

Às vezes, há outra formulação dessa propriedade. Se aeb são números não negativos, então vale a seguinte igualdade: √(a*b) =√a*√b. Não há absolutamente nenhuma diferença entre eles, você pode usar um ou outro texto (qual é mais conveniente de lembrar).

A raiz quadrada de uma fração

Se a>=0 e b>0, então a seguinte igualdade é verdadeira:

√(a/b)=√a/√b.

Por exemplo, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Esta propriedade também tem uma formulação diferente, na minha opinião, mais conveniente de lembrar.
A raiz quadrada do quociente é igual ao quociente das raízes.

Vale a pena notar que essas fórmulas funcionam tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda. Ou seja, se necessário, podemos representar o produto das raízes como a raiz do produto. O mesmo vale para a segunda propriedade.

Como você pode ver, essas propriedades são muito convenientes e eu gostaria de ter as mesmas propriedades para adição e subtração:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Mas infelizmente tais propriedades são quadradas não tem raízes, e entao não pode ser feito em cálculos..