Instrução

Antes de iniciar a prova, certifique-se de que as linhas estejam no mesmo plano e possam ser desenhadas nele. O método mais simples de prova é o método de medição com uma régua. Para fazer isso, use uma régua para medir a distância entre as linhas retas em vários lugares o mais distantes possível. Se a distância permanecer a mesma, as linhas dadas são paralelas. Mas esse método não é preciso o suficiente, por isso é melhor usar outros métodos.

Desenhe uma terceira linha de modo que ela cruze as duas linhas paralelas. Forma quatro cantos externos e quatro internos com eles. Considere cantos internos. Aqueles que se encontram através da linha secante são chamados de cruzados. Aqueles que estão de um lado são chamados de unilaterais. Usando um transferidor, meça os dois cantos diagonais internos. Se forem iguais, as retas serão paralelas. Em caso de dúvida, meça os ângulos internos unilaterais e some os valores resultantes. As linhas serão paralelas se a soma dos ângulos internos unilaterais for igual a 180º.

Se você não tiver um transferidor, use um quadrado de 90º. Use-o para construir uma perpendicular a uma das linhas. Depois disso, continue esta perpendicular de tal forma que ela cruze outra linha. Usando o mesmo quadrado, verifique em que ângulo essa perpendicular o cruza. Se este ângulo também for igual a 90º, então as linhas são paralelas entre si.

Caso as linhas sejam dadas no sistema de coordenadas cartesianas, encontre suas guias ou vetores normais. Se esses vetores são, respectivamente, colineares entre si, então as linhas são paralelas. Traga a equação das retas para uma forma geral e encontre as coordenadas do vetor normal de cada uma das retas. Suas coordenadas são iguais aos coeficientes A e B. Caso a razão das coordenadas correspondentes dos vetores normais seja a mesma, eles são colineares e as linhas são paralelas.

Por exemplo, linhas retas são dadas pelas equações 4x-2y+1=0 e x/1=(y-4)/2. A primeira equação é de forma geral, a segunda é canônica. Traga a segunda equação para uma forma geral. Use a regra de conversão de proporção para isso e você terminará com 2x=y-4. Após a redução a uma forma geral, obtenha 2x-y + 4 = 0. Como a equação geral para qualquer linha é escrita Ax + Vy + C = 0, então para a primeira linha: A = 4, B = 2, e para a segunda linha A = 2, B = 1. Para a primeira coordenada direta do vetor normal (4;2), e para a segunda - (2;1). Encontre a razão das coordenadas correspondentes dos vetores normais 4/2=2 e 2/1=2. Esses números são iguais, o que significa que os vetores são colineares. Como os vetores são colineares, as linhas são paralelas.

Este artigo é sobre linhas paralelas e sobre linhas paralelas. Em primeiro lugar, é dada a definição de linhas paralelas no plano e no espaço, é introduzida a notação, são apresentados exemplos e ilustrações gráficas de linhas paralelas. Além disso, são analisados ​​os sinais e condições de paralelismo de linhas retas. Em conclusão, são apresentadas soluções para problemas típicos de provar o paralelismo de linhas retas, que são dadas por algumas equações de uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano e no espaço tridimensional.

Navegação da página.

Linhas paralelas - informações básicas.

Definição.

Duas linhas em um plano são chamadas paralelo se não tiverem pontos comuns.

Definição.

Duas linhas em três dimensões são chamadas paralelo se estiverem no mesmo plano e não tiverem pontos em comum.

Observe que a cláusula "se estiverem no mesmo plano" na definição de linhas paralelas no espaço é muito importante. Vamos esclarecer este ponto: duas linhas retas no espaço tridimensional que não têm pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas, mas são enviesadas.

Aqui estão alguns exemplos de linhas paralelas. As bordas opostas da folha do caderno ficam em linhas paralelas. As linhas retas ao longo das quais o plano da parede da casa intercepta os planos do teto e do piso são paralelas. As ferrovias em terreno plano também podem ser consideradas linhas paralelas.

O símbolo "" é usado para denotar linhas paralelas. Ou seja, se as linhas a e b forem paralelas, você poderá escrever brevemente a b.

Observe que se as linhas a e b são paralelas, então podemos dizer que a linha a é paralela à linha b, e também que a linha b é paralela à linha a.

Vamos dar voz a uma afirmação que desempenha um papel importante no estudo das retas paralelas no plano: por um ponto que não pertence a uma reta dada, passa a única reta paralela à reta dada. Essa afirmação é aceita como um fato (não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria) e é chamada de axioma das linhas paralelas.

Para o caso no espaço, o teorema é verdadeiro: por qualquer ponto do espaço que não esteja em uma linha dada, passa uma única linha paralela à dada. Este teorema pode ser facilmente provado usando o axioma de linhas paralelas acima (você pode encontrar sua prova no livro de geometria 10-11 classe, que está listado no final do artigo na bibliografia).

Para o caso no espaço, o teorema é verdadeiro: por qualquer ponto do espaço que não esteja em uma linha dada, passa uma única linha paralela à dada. Este teorema é facilmente provado usando o axioma das linhas paralelas dado acima.

Paralelismo de linhas - sinais e condições de paralelismo.

Um sinal de linhas paralelasé uma condição suficiente para linhas paralelas, ou seja, tal condição, cujo cumprimento garante linhas paralelas. Em outras palavras, o cumprimento desta condição é suficiente para afirmar o fato de que as linhas são paralelas.

Existem também condições necessárias e suficientes para linhas paralelas no plano e no espaço tridimensional.

Vamos explicar o significado da frase "condição necessária e suficiente para linhas paralelas".

Já tratamos da condição suficiente para linhas paralelas. E qual é a "condição necessária para linhas paralelas"? Pelo nome “necessário” fica claro que o cumprimento desta condição é necessário para que as linhas sejam paralelas. Em outras palavras, se a condição necessária para linhas paralelas não for satisfeita, então as linhas não são paralelas. Nesse caminho, condição necessária e suficiente para que as linhas sejam paralelasé uma condição, cujo cumprimento é necessário e suficiente para linhas paralelas. Ou seja, por um lado, isso é um sinal de linhas paralelas e, por outro lado, essa é uma propriedade que as linhas paralelas possuem.

Antes de declarar a condição necessária e suficiente para que as linhas sejam paralelas, é útil relembrar algumas definições auxiliares.

linha secanteé uma linha que intercepta cada uma das duas linhas não coincidentes dadas.

Na interseção de duas linhas de uma secante, oito linhas não desdobradas são formadas. O assim chamado deitado transversalmente, correspondente e cantos de um lado. Vamos mostrá-los no desenho.

Teorema.

Se duas linhas retas em um plano são cruzadas por uma secante, então para seu paralelismo é necessário e suficiente que os ângulos cruzados sejam iguais, ou os ângulos correspondentes sejam iguais, ou a soma dos ângulos laterais seja igual a 180 graus .

Vamos mostrar uma ilustração gráfica dessa condição necessária e suficiente para retas paralelas no plano.

Você pode encontrar provas dessas condições para linhas paralelas em livros de geometria para as séries 7-9.

Observe que essas condições também podem ser usadas no espaço tridimensional - o principal é que as duas linhas e a secante estão no mesmo plano.

Aqui estão mais alguns teoremas que são frequentemente usados ​​para provar o paralelismo de linhas.

Teorema.

Se duas retas em um plano são paralelas a uma terceira reta, então elas são paralelas. A prova desta característica segue do axioma das linhas paralelas.

Existe uma condição semelhante para linhas paralelas no espaço tridimensional.

Teorema.

Se duas linhas no espaço são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas. A prova desta característica é considerada nas aulas de geometria do 10º ano.

Vamos ilustrar os teoremas sonoros.

Vamos dar mais um teorema que nos permite provar o paralelismo de retas no plano.

Teorema.

Se duas retas em um plano são perpendiculares a uma terceira reta, então elas são paralelas.

Existe um teorema semelhante para linhas no espaço.

Teorema.

Se duas linhas no espaço tridimensional são perpendiculares ao mesmo plano, então elas são paralelas.

Façamos um desenho correspondente a esses teoremas.

Todos os teoremas formulados acima, sinais e condições necessárias e suficientes são perfeitamente adequados para provar o paralelismo de linhas retas por métodos de geometria. Isto é, para provar o paralelismo de duas linhas dadas, é necessário mostrar que elas são paralelas à terceira linha, ou mostrar a igualdade de ângulos cruzados, etc. Muitos desses problemas são resolvidos nas aulas de geometria no ensino médio. No entanto, deve-se notar que em muitos casos é conveniente usar o método das coordenadas para provar o paralelismo de linhas em um plano ou no espaço tridimensional. Vamos formular as condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas que são dadas em um sistema de coordenadas retangulares.

Paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares.

Nesta seção do artigo, formularemos condições necessárias e suficientes para linhas paralelas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equações que determinam essas linhas, e também daremos soluções detalhadas para problemas típicos.

Vamos começar com a condição de paralelismo de duas linhas no plano no sistema de coordenadas retangulares Oxy. Sua prova é baseada na definição do vetor diretor da linha e na definição do vetor normal da linha no plano.

Teorema.

Para que duas linhas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores de direção dessas linhas sejam colineares, ou os vetores normais dessas linhas sejam colineares, ou o vetor de direção de uma linha seja perpendicular à normal vetor da segunda linha.

Obviamente, a condição de paralelismo de duas retas no plano se reduz a (vetores de direção de retas ou vetores normais de retas) ou a (vetor de direção de uma reta e vetor normal de segunda reta). Assim, se e são os vetores de direção das linhas a e b, e e são os vetores normais das retas a e b, respectivamente, então a condição necessária e suficiente para as retas paralelas a e b pode ser escrita como , ou , ou , onde t é algum número real. Por sua vez, as coordenadas dos vetores direcionadores e (ou) normais das retas aeb são encontradas a partir das equações conhecidas das retas.

Em particular, se a linha a no sistema de coordenadas retangulares Oxy no plano define a equação geral da linha da forma , e a reta b - , então os vetores normais dessas linhas têm coordenadas e respectivamente, e a condição de paralelismo das linhas a e b será escrita como .

Se a reta a corresponde à equação da reta com o coeficiente de inclinação da forma . Portanto, se as linhas retas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são paralelas e podem ser dadas por equações de linhas retas com coeficientes de inclinação, então os coeficientes de inclinação das linhas serão iguais. E vice-versa: se linhas retas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares podem ser dadas pelas equações de uma linha reta com coeficientes de inclinação iguais, então essas linhas retas são paralelas.

Se a linha a e a linha b em um sistema de coordenadas retangulares definem as equações canônicas da linha no plano da forma e , ou equações paramétricas de uma linha reta em um plano da forma e respectivamente, então os vetores de direção dessas linhas têm coordenadas e , e a condição de paralelismo para as linhas aeb é escrita como .

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Exemplo.

As linhas são paralelas? e ?

Solução.

Reescrevemos a equação de uma reta em segmentos na forma de uma equação geral de uma reta: . Agora podemos ver que é o vetor normal da linha reta , e é o vetor normal da linha reta. Esses vetores não são colineares, pois não existe um número real t para o qual a igualdade ( ). Consequentemente, a condição necessária e suficiente para o paralelismo das linhas no plano não é satisfeita, portanto, as linhas dadas não são paralelas.

Responda:

Não, as linhas não são paralelas.

Exemplo.

São retas e paralelas?

Solução.

Trazemos a equação canônica de uma reta para a equação de uma reta com inclinação: . Obviamente, as equações das retas e não são as mesmas (neste caso, as retas dadas seriam as mesmas) e as inclinações das retas são iguais, portanto, as retas originais são paralelas.

A segunda solução.

Primeiro, vamos mostrar que as retas originais não coincidem: pegue qualquer ponto da reta, por exemplo, (0, 1), as coordenadas deste ponto não satisfazem a equação da reta, portanto, as retas não coincidem. Agora vamos verificar o cumprimento da condição de paralelismo dessas linhas. O vetor normal da linha é o vetor , e o vetor de direção da linha é o vetor . Vamos calcular e: . Consequentemente, os vetores e são perpendiculares, o que significa que a condição necessária e suficiente para o paralelismo das linhas dadas é satisfeita. Portanto, as retas são paralelas.

Responda:

As linhas dadas são paralelas.

Para provar o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional, a seguinte condição necessária e suficiente é usada.

Teorema.

Para que linhas não coincidentes sejam paralelas no espaço tridimensional, é necessário e suficiente que seus vetores de direção sejam colineares.

Assim, se as equações das linhas em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional são conhecidas e você precisa responder à pergunta se essas linhas são paralelas ou não, você precisa encontrar as coordenadas dos vetores de direção dessas linhas e verificar o cumprimento da condição de colinearidade dos vetores de direção. Em outras palavras, se e - vetores de direção de linhas retas uma dada linhas têm coordenadas e . Porque , então . Assim, a condição necessária e suficiente para que duas linhas sejam paralelas no espaço é satisfeita. Isso prova o paralelismo das linhas e .

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Grades 7 - 9: um livro para instituições de ensino.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Livro didático para 10-11 anos do ensino médio.
• Pogorelov A.V., Geometria. Livro didático para as séries 7-11 de instituições de ensino.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemática Superior. Volume Um: Elementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analítica.

Neste artigo, falaremos sobre linhas paralelas, daremos definições, designaremos os sinais e condições do paralelismo. Para maior clareza do material teórico, utilizaremos ilustrações e a solução de exemplos típicos.

Definição 1

Linhas paralelas no plano são duas retas no plano que não possuem pontos comuns.

Definição 2

Linhas paralelas no espaço 3D- duas retas no espaço tridimensional que se encontram no mesmo plano e não possuem pontos comuns.

Deve-se notar que, para determinar linhas paralelas no espaço, é extremamente importante o esclarecimento “no mesmo plano”: duas linhas no espaço tridimensional que não possuem pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas, mas cruzadas.

Para denotar linhas paralelas, é comum usar o símbolo ∥ . Isto é, se as linhas a e b dadas são paralelas, esta condição deve ser resumidamente escrita da seguinte forma: a ‖ b . Verbalmente, o paralelismo das linhas é indicado da seguinte forma: as linhas a e b são paralelas, ou a linha a é paralela à linha b, ou a linha b é paralela à linha a.

Vamos formular uma afirmação que desempenha um papel importante no tema em estudo.

Axioma

Por um ponto que não pertence a uma reta dada, existe apenas uma reta paralela à reta dada. Esta afirmação não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria.

No caso do espaço, o teorema é verdadeiro:

Teorema 1

Por qualquer ponto do espaço que não pertença a uma determinada linha, haverá apenas uma linha paralela à dada.

Este teorema é fácil de provar com base no axioma acima (programa de geometria para graus 10-11).

O sinal de paralelismo é uma condição suficiente sob a qual as linhas paralelas são garantidas. Em outras palavras, o cumprimento desta condição é suficiente para confirmar o fato do paralelismo.

Em particular, existem condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas no plano e no espaço. Vamos explicar: necessário significa a condição, cujo cumprimento é necessário para linhas paralelas; se não for satisfeito, as linhas não são paralelas.

Resumindo, uma condição necessária e suficiente para o paralelismo de linhas é tal condição, cuja observância é necessária e suficiente para que as linhas sejam paralelas entre si. Por um lado, isso é um sinal de paralelismo, por outro lado, uma propriedade inerente às linhas paralelas.

Antes de dar uma formulação precisa das condições necessárias e suficientes, lembramos mais alguns conceitos adicionais.

Definição 3

linha secanteé uma linha que intercepta cada uma das duas linhas não coincidentes dadas.

Intersectando duas linhas retas, a secante forma oito ângulos não expandidos. Para formular a condição necessária e suficiente, usaremos tipos de ângulos como cruzados, correspondentes e unilaterais. Vamos demonstrá-los na ilustração:

Teorema 2

Se duas retas em um plano interceptam uma secante, então, para que as retas dadas sejam paralelas, é necessário e suficiente que os ângulos cruzados sejam iguais, ou os ângulos correspondentes sejam iguais, ou a soma dos ângulos laterais seja igual a 180 graus.

Vamos ilustrar graficamente a condição necessária e suficiente para linhas paralelas no plano:

A comprovação dessas condições está presente no programa de geometria para os graus 7-9.

Em geral, essas condições também se aplicam ao espaço tridimensional, desde que as duas linhas e a secante pertençam ao mesmo plano.

Vamos apontar mais alguns teoremas que são frequentemente usados ​​para provar o fato de que as retas são paralelas.

Teorema 3

Em um plano, duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. Esta característica é provada com base no axioma do paralelismo mencionado acima.

Teorema 4

No espaço tridimensional, duas linhas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

A prova do atributo é estudada no programa de geometria do 10º ano.

Damos uma ilustração desses teoremas:

Vamos indicar mais um par de teoremas que provam o paralelismo de retas.

Teorema 5

Em um plano, duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos formular um similar para um espaço tridimensional.

Teorema 6

No espaço tridimensional, duas linhas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.

Vamos ilustrar:

Todos os teoremas, sinais e condições acima permitem provar convenientemente o paralelismo das linhas pelos métodos da geometria. Ou seja, para provar o paralelismo das retas, pode-se mostrar que os ângulos correspondentes são iguais, ou demonstrar o fato de que duas retas dadas são perpendiculares à terceira, e assim por diante. Mas notamos que muitas vezes é mais conveniente usar o método das coordenadas para provar o paralelismo de linhas em um plano ou em um espaço tridimensional.

Paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares

Em um determinado sistema de coordenadas retangulares, uma linha reta é determinada pela equação de uma linha reta em um plano de um dos tipos possíveis. Da mesma forma, uma linha reta dada em um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional corresponde a algumas equações de uma linha reta no espaço.

Vamos escrever as condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equação que descreve as linhas dadas.

Vamos começar com a condição de linhas paralelas no plano. Baseia-se nas definições do vetor de direção da linha e do vetor normal da linha no plano.

Teorema 7

Para que duas linhas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores de direção das linhas dadas sejam colineares, ou os vetores normais das linhas dadas sejam colineares, ou o vetor de direção de uma linha seja perpendicular ao vetor normal da outra reta.

Torna-se óbvio que a condição de linhas paralelas no plano é baseada na condição de vetores colineares ou na condição de perpendicularidade de dois vetores. Ou seja, se a → = (a x , a y) eb → = (b x , b y) são os vetores de direção das linhas a e b ;

e n b → = (n b x , n b y) são vetores normais das linhas a e b , então escrevemos a condição necessária e suficiente acima como segue: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y ou n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y ou a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , onde t é algum número real. As coordenadas dos vetores diretores ou diretos são determinadas pelas equações dadas das linhas. Vamos considerar os principais exemplos.

1. A linha a em um sistema de coordenadas retangulares é determinada pela equação geral da linha: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linha b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Então os vetores normais das linhas dadas terão coordenadas (A 1 , B 1) e (A 2 , B 2) respectivamente. Escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. A reta a é descrita pela equação de uma reta com inclinação da forma y = k 1 x + b 1 . Linha reta b - y \u003d k 2 x + b 2. Então os vetores normais das linhas dadas terão coordenadas (k 1 , - 1) e (k 2 , - 1), respectivamente, e escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Assim, se linhas paralelas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são dadas por equações com coeficientes de inclinação, então os coeficientes de inclinação das linhas dadas serão iguais. E a afirmação inversa é verdadeira: se linhas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são determinadas pelas equações de uma linha com os mesmos coeficientes de inclinação, então essas linhas dadas são paralelas.

1. As linhas a e b em um sistema de coordenadas retangulares são dadas pelas equações canônicas da linha no plano: x - x 1 a x = y - y 1 a y e x - x 2 b x = y - y 2 b y ou as equações paramétricas da linha no plano: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y ex = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Então os vetores de direção das linhas dadas serão: a x , a y e b x , b y respectivamente, e escrevemos a condição de paralelismo da seguinte forma:

a x = t b x a y = t por y

Vejamos exemplos.

Exemplo 1

Dadas duas linhas: 2 x - 3 y + 1 = 0 e x 1 2 + y 5 = 1 . Você precisa determinar se eles são paralelos.

Solução

Escrevemos a equação de uma linha reta em segmentos na forma de uma equação geral:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vemos que n a → = (2 , - 3) é o vetor normal da linha 2 x - 3 y + 1 = 0 , e n b → = 2 , 1 5 é o vetor normal da linha x 1 2 + y 5 = 1.

Os vetores resultantes não são colineares, porque não existe tal valor de t para o qual a igualdade seja verdadeira:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Assim, a condição necessária e suficiente de paralelismo de linhas no plano não é satisfeita, o que significa que as linhas dadas não são paralelas.

Responda: as linhas dadas não são paralelas.

Exemplo 2

Dadas as linhas y = 2 x + 1 ex 1 = y - 4 2 . Eles são paralelos?

Solução

Vamos transformar a equação canônica da linha reta x 1 \u003d y - 4 2 na equação de uma linha reta com inclinação:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vemos que as equações das retas y = 2 x + 1 e y = 2 x + 4 não são as mesmas (se fosse de outra forma, as retas seriam as mesmas) e as inclinações das retas são iguais, o que significa que as retas dadas são paralelas.

Vamos tentar resolver o problema de forma diferente. Primeiro, verificamos se as linhas dadas coincidem. Usamos qualquer ponto da linha y \u003d 2 x + 1, por exemplo, (0, 1), as coordenadas deste ponto não correspondem à equação da linha x 1 \u003d y - 4 2, o que significa que as linhas não coincidem.

O próximo passo é determinar o cumprimento da condição de paralelismo para as linhas dadas.

O vetor normal da reta y = 2 x + 1 é o vetor n a → = (2 , - 1) , e o vetor direcional da segunda reta dada é b → = (1 , 2) . O produto escalar desses vetores é zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Assim, os vetores são perpendiculares: isso nos demonstra o cumprimento da condição necessária e suficiente para que as linhas originais sejam paralelas. Aqueles. as linhas dadas são paralelas.

Responda: essas linhas são paralelas.

Para provar o paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional, a seguinte condição necessária e suficiente é usada.

Teorema 8

Para que duas linhas não coincidentes no espaço tridimensional sejam paralelas, é necessário e suficiente que os vetores de direção dessas linhas sejam colineares.

Aqueles. para determinadas equações de retas no espaço tridimensional, a resposta à pergunta: são paralelas ou não, é encontrada determinando as coordenadas dos vetores de direção das retas dadas, bem como verificando a condição de sua colinearidade. Em outras palavras, se a → = (a x, a y, a z) e b → = (b x, b y, b z) são os vetores de direção das linhas a e b, respectivamente, então para que sejam paralelas, a existência de tal número real t é necessário, de modo que a igualdade vale:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Exemplo 3

Dadas as linhas x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ex = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . É necessário provar o paralelismo dessas linhas.

Solução

As condições do problema são as equações canônicas de uma reta no espaço e as equações paramétricas de outra reta no espaço. Vetores de direção a → e b → as linhas dadas possuem coordenadas: (1 , 0 , - 3) e (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , então a → = 1 2 b → .

Portanto, a condição necessária e suficiente para linhas paralelas no espaço é satisfeita.

Responda: o paralelismo das linhas dadas é provado.

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

Linhas paralelas. Propriedades e sinais de linhas paralelas

1. Axioma da paralela. Através de um dado ponto, no máximo uma linha reta pode ser traçada paralela ao dado.

2. Se duas retas são paralelas à mesma reta, então elas são paralelas entre si.

3. Duas linhas perpendiculares à mesma linha são paralelas.

4. Se duas linhas paralelas são intersectadas por uma terceira, então os ângulos internos cruzados formados ao mesmo tempo são iguais; ângulos correspondentes são iguais; os ângulos internos unilaterais somam 180°.

5. Se na intersecção de duas retas a terceira forma ângulos internos iguais, então as retas são paralelas.

6. Se na intersecção de duas linhas a terceira forma ângulos correspondentes iguais, então as linhas são paralelas.

7. Se na interseção de duas linhas da terceira, a soma dos ângulos laterais internos for 180 °, as linhas serão paralelas.

teorema de Tales. Se segmentos iguais são dispostos em um lado do ângulo e linhas retas paralelas são desenhadas através de suas extremidades, cruzando o segundo lado do ângulo, então segmentos iguais também serão depositados no segundo lado do ângulo.

Teorema sobre segmentos proporcionais. Linhas retas paralelas que cruzam os lados do ângulo cortam segmentos proporcionais sobre elas.

Triângulo. Sinais de igualdade de triângulos.

1. Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

2. Se o lado e dois ângulos adjacentes a ele de um triângulo são respectivamente iguais ao lado e dois ângulos adjacentes a ele de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

3. Se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então os triângulos são congruentes.

Sinais de igualdade de triângulos retângulos

1. Em duas pernas.

2. Ao longo da perna e hipotenusa.

3. Por hipotenusa e ângulo agudo.

4. Ao longo da perna e um ângulo agudo.

O teorema da soma dos ângulos de um triângulo e suas consequências

1. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

2. O ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos internos não adjacentes a ele.

3. A soma dos ângulos internos de um n-gon convexo é

4. A soma dos ângulos externos de um ga-gon é 360°.

5. Ângulos com lados mutuamente perpendiculares são iguais se forem ambos agudos ou ambos obtusos.

6. O ângulo entre as bissetrizes de ângulos adjacentes é de 90°.

7. As bissetrizes de ângulos laterais internos com linhas paralelas e uma secante são perpendiculares.

As principais propriedades e sinais de um triângulo isósceles

1. Os ângulos na base de um triângulo isósceles são iguais.

2. Se dois ângulos de um triângulo são iguais, então é isósceles.

3. Em um triângulo isósceles, a mediana, a bissetriz e a altura traçada à base são as mesmas.

4. Se qualquer par de segmentos da tripla - mediana, bissetriz, altura - coincide em um triângulo, então é isósceles.

A desigualdade triangular e suas consequências

1. A soma de dois lados de um triângulo é maior que seu terceiro lado.

2. A soma dos links da linha quebrada é maior que o segmento que liga o início

o primeiro link com o final do último.

3. Em frente ao ângulo maior do triângulo está o lado maior.

4. Contra o lado maior do triângulo encontra-se um ângulo maior.

5. A hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que o cateto.

6. Se perpendicular e inclinado são desenhados de um ponto para uma linha reta, então

1) as perpendiculares são mais curtas que as inclinadas;

2) uma inclinação maior corresponde a uma projeção maior e vice-versa.

A linha do meio do triângulo.

O segmento de reta que liga os pontos médios dos dois lados de um triângulo é chamado de linha média do triângulo.

Teorema da linha média do triângulo.

A linha mediana do triângulo é paralela ao lado do triângulo e igual à metade dele.

Teoremas da mediana do triângulo

1. As medianas de um triângulo se cruzam em um ponto e o dividem na proporção de 2:1, contando de cima para baixo.

2. Se a mediana de um triângulo for igual à metade do lado para o qual foi desenhado, então o triângulo é retângulo.

3. A mediana de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice do ângulo reto é igual à metade da hipotenusa.

Propriedade das mediatrizes dos lados de um triângulo. As mediatrizes perpendiculares aos lados do triângulo se cruzam em um ponto, que é o centro do círculo circunscrito ao triângulo.

Teorema da altitude do triângulo. As linhas que contêm as alturas do triângulo se cruzam em um ponto.

Teorema da bissetriz do triângulo. As bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto, que é o centro do círculo inscrito no triângulo.

Propriedade da bissetriz de um triângulo. A bissetriz de um triângulo divide seu lado em segmentos proporcionais aos outros dois lados.

Sinais de semelhança de triângulos

1. Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente iguais a dois ângulos de outro, então os triângulos são semelhantes.

2. Se dois lados de um triângulo são respectivamente proporcionais a dois lados de outro, e os ângulos entre esses lados são iguais, então os triângulos são semelhantes.

3. Se os três lados de um triângulo são respectivamente proporcionais aos três lados de outro, então os triângulos são semelhantes.

Áreas de triângulos semelhantes

1. A razão das áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado do coeficiente de similaridade.

2. Se dois triângulos têm ângulos iguais, suas áreas estão relacionadas como os produtos dos lados que cercam esses ângulos.

Em um triângulo retângulo

1. O cateto de um triângulo retângulo é igual ao produto da hipotenusa pelo seno do oposto ou cosseno do ângulo agudo adjacente a este cateto.

2. O cateto de um triângulo retângulo é igual ao outro cateto multiplicado pela tangente do oposto ou pela cotangente do ângulo agudo adjacente a este cateto.

3. O cateto de um triângulo retângulo oposto a um ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa.

4. Se o cateto de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa, então o ângulo oposto a esse cateto é 30°.

5. R = ; g \u003d, onde a, b são catetos e c é a hipotenusa de um triângulo retângulo; r e R são os raios dos círculos inscritos e circunscritos, respectivamente.

O teorema de Pitágoras e a recíproca do teorema de Pitágoras

1. O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.

2. Se o quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados de seus outros dois lados, então o triângulo é retângulo.

Médias proporcionais em um triângulo retângulo.

A altura de um triângulo retângulo, desenhado a partir do vértice do ângulo reto, é a média proporcional às projeções dos catetos na hipotenusa, e cada cateto é a média proporcional à hipotenusa e sua projeção na hipotenusa.

Razões métricas em um triângulo

1. Teorema dos cossenos. O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados sem dobrar o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

2. Corolário do teorema do cosseno. A soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de todos os seus lados.

3. Fórmula da mediana de um triângulo. Se m é a mediana do triângulo desenhado no lado c, então m = onde a e b são os lados restantes do triângulo.

4. Teorema do seno. Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

5. Teorema do seno generalizado. A razão entre um lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é igual ao diâmetro do círculo que circunscreve o triângulo.

Fórmulas de área de triângulo

1. A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura.

2. A área de um triângulo é igual à metade do produto de seus dois lados pelo seno do ângulo entre eles.

3. A área de um triângulo é igual ao produto de seu semiperímetro e o raio do círculo inscrito.

4. A área de um triângulo é igual ao produto de seus três lados dividido por quatro vezes o raio do círculo circunscrito.

5. Fórmula de Heron: S=, onde p é o semiperímetro; a, b, c - lados do triângulo.

Elementos de um triângulo equilátero. Sejam h, S, r, R a altura, a área, os raios dos círculos inscritos e circunscritos de um triângulo equilátero de lado a. Então
Quadriláteros

Paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares.

Propriedades e características de um paralelogramo.

1. A diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos iguais.

2. Lados opostos de um paralelogramo são iguais em pares.

3. Os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais em pares.

4. As diagonais do paralelogramo interceptam e bissetam o ponto de interseção.

5. Se os lados opostos de um quadrilátero são iguais em pares, então esse quadrilátero é um paralelogramo.

6. Se dois lados opostos de um quadrilátero são iguais e paralelos, então esse quadrilátero é um paralelogramo.

7. Se as diagonais de um quadrilátero são bissectadas pelo ponto de interseção, então esse quadrilátero é um paralelogramo.

Propriedade dos pontos médios dos lados de um quadrilátero. Os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero são os vértices de um paralelogramo cuja área é metade da área do quadrilátero.

Retângulo. Um retângulo é um paralelogramo com um ângulo reto.

Propriedades e sinais de um retângulo.

1. As diagonais de um retângulo são iguais.

2. Se as diagonais de um paralelogramo são iguais, então este paralelogramo é um retângulo.

Quadrado. Um quadrado é um retângulo com todos os lados iguais.

Losango. Um losango é um quadrilátero cujos lados são todos iguais.

Propriedades e sinais de um losango.

1. As diagonais do losango são perpendiculares.

2. As diagonais de um losango bissetam seus vértices.

3. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares, então este paralelogramo é um losango.

4. Se as diagonais de um paralelogramo dividem seus ângulos pela metade, então esse paralelogramo é um losango.

Trapézio. Um trapézio é um quadrilátero em que apenas dois lados opostos (bases) são paralelos. A linha mediana de um trapézio é um segmento que liga os pontos médios de lados não paralelos (lados laterais).

1. A linha mediana do trapézio é paralela às bases e igual à sua meia soma.

2. O segmento que liga os pontos médios das diagonais do trapézio é igual à meia diferença das bases.

Propriedade notável de um trapézio. O ponto de interseção das diagonais do trapézio, o ponto de interseção das extensões dos lados e os pontos médios das bases estão na mesma linha reta.

trapézio isósceles. Um trapézio é chamado isósceles se seus lados são iguais.

Propriedades e sinais de um trapézio isósceles.

1. Os ângulos na base de um trapézio isósceles são iguais.

2. As diagonais de um trapézio isósceles são iguais.

3. Se os ângulos na base do trapézio são iguais, então é isósceles.

4. Se as diagonais de um trapézio são iguais, então ele é isósceles.

5. A projeção do lado lateral de um trapézio isósceles sobre a base é igual à meia diferença das bases, e a projeção da diagonal é metade da soma das bases.

Fórmulas para a área de um quadrilátero

1. A área de um paralelogramo é igual ao produto da base pela altura.

2. A área de um paralelogramo é igual ao produto de seus lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles.

3. A área de um retângulo é igual ao produto de seus dois lados adjacentes.

4. A área de um losango é metade do produto de suas diagonais.

5. A área de um trapézio é igual ao produto da metade da soma das bases pela altura.

6. A área de um quadrilátero é igual à metade do produto de suas diagonais pelo seno do ângulo entre elas.

7. Fórmula de Heron para um quadrilátero em torno do qual um círculo pode ser descrito:

S \u003d, onde a, b, c, d são os lados desse quadrilátero, p é o semiperímetro e S é a área.

Números semelhantes

1. A razão dos elementos lineares correspondentes de figuras semelhantes é igual ao coeficiente de semelhança.

2. A razão das áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado do coeficiente de similaridade.

polígono regular.

Seja a n o lado de um n-gon regular, e r n e R n sejam os raios dos círculos inscritos e circunscritos. Então

Círculo.

Um círculo é o lugar geométrico dos pontos de um plano que estão à mesma distância positiva de um determinado ponto, chamado centro do círculo.

Propriedades básicas de um círculo

1. O diâmetro perpendicular à corda divide a corda e os arcos que ela subtrai pela metade.

2. Um diâmetro que passa pelo meio de uma corda que não é um diâmetro é perpendicular a essa corda.

3. A mediana perpendicular à corda passa pelo centro do círculo.

4. Cordas iguais são removidas do centro do círculo a distâncias iguais.

5. As cordas de um círculo equidistantes do centro são iguais.

6. O círculo é simétrico em relação a qualquer um de seus diâmetros.

7. Os arcos de um círculo entre cordas paralelas são iguais.

8. Dos dois acordes, o que está menos distante do centro é maior.

9. O diâmetro é a maior corda de um círculo.

Tangente ao círculo. Uma linha que tem um único ponto em comum com um círculo é chamada de tangente ao círculo.

1. A tangente é perpendicular ao raio traçado ao ponto de contato.

2. Se a linha a que passa por um ponto do círculo é perpendicular ao raio desenhado para esse ponto, então a linha a é tangente ao círculo.

3. Se as linhas que passam pelo ponto M tocam o círculo nos pontos A e B, então MA = MB e ﮮAMO = ﮮBMO, onde o ponto O é o centro do círculo.

4. O centro de um círculo inscrito em um ângulo está na bissetriz desse ângulo.

círculo tangente. Diz-se que dois círculos se tocam se tiverem um único ponto comum (ponto tangente).

1. O ponto de contato de dois círculos está em sua linha de centros.

2. Círculos de raios r e R com centros O 1 e O 2 se tocam externamente se e somente se R + r \u003d O 1 O 2.

3. Círculos de raios r e R (r

4. Círculos com centros O 1 e O 2 se tocam externamente no ponto K. Alguma linha reta toca esses círculos em diferentes pontos A e B e cruza com uma tangente comum passando pelo ponto K no ponto C. Então ﮮAK B \u003d 90 ° e ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. O segmento da tangente externa comum a dois círculos tangentes de raios r e R é igual ao segmento da tangente interna comum entre as externas comuns. Ambos os segmentos são iguais.

Ângulos associados a um círculo

1. O valor do arco de um círculo é igual ao valor do ângulo central baseado nele.

2. Um ângulo inscrito é igual à metade da magnitude angular do arco sobre o qual se apoia.

3. Os ângulos inscritos com base no mesmo arco são iguais.

4. O ângulo entre as cordas que se cruzam é ​​igual à metade da soma dos arcos opostos cortados pelas cordas.

5. O ângulo entre duas secantes que se cruzam fora do círculo é igual à meia diferença dos arcos cortados pelas secantes no círculo.

6. O ângulo entre a tangente e a corda traçada a partir do ponto de contato é igual à metade do valor angular do arco cortado na circunferência por essa corda.

Propriedades dos acordes circulares

1. A linha de centros de dois círculos que se cruzam é ​​perpendicular à sua corda comum.

2. Os produtos dos comprimentos dos segmentos das cordas AB e CD do círculo que se cruzam no ponto E são iguais, ou seja, AE EB \u003d CE ED.

Círculos inscritos e circunscritos

1. Os centros dos círculos inscritos e circunscritos de um triângulo regular coincidem.

2. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa.

3. Se um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero, então as somas de seus lados opostos são iguais.

4. Se um quadrilátero pode ser inscrito em um círculo, então a soma de seus ângulos opostos é 180°.

5. Se a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero é 180°, então um círculo pode ser circunscrito ao seu redor.

6. Se um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então o lado lateral do trapézio é visível do centro do círculo em ângulo reto.

7. Se um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então o raio do círculo é a média proporcional aos segmentos nos quais o ponto tangente divide o lado lateral.

8. Se um círculo pode ser inscrito em um polígono, então sua área é igual ao produto do semiperímetro do polígono pelo raio desse círculo.

O teorema da tangente e secante e seu corolário

1. Se uma tangente e uma secante são desenhadas de um ponto ao círculo, então o produto de toda a secante por sua parte externa é igual ao quadrado da tangente.

2. O produto da secante inteira por sua parte externa para um dado ponto e um dado círculo é constante.

A circunferência de um círculo de raio R é C = 2πR

CAPÍTULO III.
LINHAS PARALELAS

§ 35. SINAIS DE PARALELIDADE DE DUAS LINHAS DIRETAS.

O teorema de que duas perpendiculares a uma reta são paralelas (§ 33) dá um sinal de que duas retas são paralelas. É possível derivar sinais mais gerais de paralelismo de duas linhas.

1. O primeiro sinal de paralelismo.

Se, na intersecção de duas linhas com uma terceira, os ângulos internos são iguais, então essas linhas são paralelas.

Deixe as linhas AB e CD interceptarem a linha EF e / 1 = / 2. Pegue o ponto O - o meio do segmento KL da secante EF (Fig. 189).

Soltemos a perpendicular OM do ponto O até a linha AB e continuemos até que ela intercepte a linha CD, AB_|_MN. Vamos provar que CD_|_MN.
Para fazer isso, considere dois triângulos: MOE e NOK. Esses triângulos são iguais entre si. De fato: / 1 = / 2 pela condição do teorema; OK = OL - por construção;
/ MOL = / NOK como cantos verticais. Assim, o lado e dois ângulos adjacentes a ele de um triângulo são respectivamente iguais ao lado e dois ângulos adjacentes a ele de outro triângulo; Consequentemente, /\ MOL = /\ NOK e, portanto,
/ OVM = / sei mas / O LMO é direto, portanto, e / KNO também é direto. Assim, as retas AB e CD são perpendiculares à mesma reta MN, portanto são paralelas (§ 33), o que deveria ser provado.

Observação. A interseção das linhas MO e CD pode ser estabelecida girando o triângulo MOL em torno do ponto O em 180°.

2. O segundo sinal de paralelismo.

Vejamos se as retas AB e CD são paralelas se, na interseção de sua terceira reta EF, os ângulos correspondentes forem iguais.

Deixe alguns ângulos correspondentes serem iguais, por exemplo / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, pois os cantos são verticais; significa, / 2 será igual / 1. Mas os ângulos 2 e 1 são ângulos transversais internos, e já sabemos que se na interseção de duas retas por uma terceira, os ângulos transversais internos são iguais, então essas retas são paralelas. Portanto, AB || CD.

Se na interseção de duas linhas da terceira os ângulos correspondentes são iguais, essas duas linhas são paralelas.

A construção de linhas paralelas com a ajuda de uma régua e um triângulo de desenho é baseada nessa propriedade. Isto se faz do seguinte modo.

Vamos prender o triângulo à régua como mostrado no desenho 191. Vamos mover o triângulo de modo que um de seus lados deslize ao longo da régua e desenhar várias linhas retas ao longo de qualquer outro lado do triângulo. Essas linhas serão paralelas.

3. O terceiro sinal de paralelismo.

Deixe-nos saber que na interseção de duas linhas AB e CD pela terceira linha, a soma de quaisquer ângulos internos de um lado é igual a 2 d(ou 180°). As linhas AB e CD serão paralelas neste caso (Fig. 192).

Deixar / 1 e / 2 ângulos laterais internos e somar 2 d.
Mas / 3 + / 2 = 2d como ângulos adjacentes. Consequentemente, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Daqui / 1 = / 3, e esses cantos estão internamente cruzados. Portanto, AB || CD.

Se na intersecção de duas linhas por uma terceira, a soma dos ângulos laterais internos é igual a 2 d, então as duas retas são paralelas.

Um exercício.

Prove que as retas são paralelas:
a) se os ângulos transversais externos forem iguais (Fig. 193);
b) se a soma dos ângulos externos unilaterais for 2 d(diabo 194).