Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada a equação geral de uma reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - a linha passa pela origem

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Ox

A equação de uma linha reta pode ser apresentada de várias formas, dependendo de quaisquer condições iniciais dadas.

Equação de uma linha reta por um ponto e um vetor normal

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B) é perpendicular à linha dada pela equação Ax + By + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto A(1, 2) perpendicular a (3, -1).

Solução. Em A = 3 e B = -1, compomos a equação de uma linha reta: 3x - y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C, substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. 3 - 2 + C = 0, portanto, C = -1 . Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma reta que passa por dois pontos

Sejam dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) no espaço, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No plano, a equação da reta escrita acima é simplificada:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1 se x 1 = x 2.

Fração = k é chamada fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta a partir de um ponto e uma inclinação

Se o total Ax + Wu + C = 0 levar à forma:

e designar , então a equação resultante é chamada equação de uma reta com inclinaçãok.

Equação de uma linha reta com um vetor ponto e direção

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode inserir a atribuição de uma linha reta através de um ponto e um vetor direcionador de uma linha reta.

Definição. Cada vetor diferente de zero (α 1, α 2), cujos componentes satisfazem a condição A α 1 + B α 2 = 0, é chamado de vetor diretor da linha

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Ax + By + C = 0. De acordo com a definição, os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma linha reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. para x = 1, y = 2 obtemos C / A = -3, ou seja. equação desejada:

Equação de uma linha reta em segmentos

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por –C, obtemos: ou

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente umaé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo x, e b- a coordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.

Exemplo. Dada a equação geral da reta x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta nos segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta

Se ambos os lados da equação Ax + Vy + C = 0 são multiplicados pelo número , que é chamado fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

equação normal de uma reta. O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplo. Dada a equação geral da linha 12x - 5y - 65 = 0. É necessário escrever vários tipos de equações para esta linha.

a equação desta reta em segmentos:

a equação desta linha com a inclinação: (dividir por 5)

; cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Exemplo. A linha reta corta segmentos positivos iguais nos eixos coordenados. Escreva a equação de uma reta se a área do triângulo formado por esses segmentos for 8 cm 2.

Solução. A equação da reta tem a forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplo. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto A (-2, -3) e pela origem.

Solução. A equação de uma reta tem a forma: , onde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ângulo entre linhas em um plano

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

.

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 . Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. As linhas retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB são proporcionais. Se também С 1 = λС, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de interseção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.

Equação de uma linha que passa por um ponto dado perpendicular a uma linha dada

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for fornecido, a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 será definida como

.

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicular a uma linha reta dada. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3 x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π/4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Solução. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Solução. Encontramos a equação do lado AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: onde b = 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos. No artigo" " Prometi a você analisar a segunda maneira de resolver os problemas apresentados para encontrar a derivada, com um determinado gráfico de função e uma tangente a esse gráfico. Vamos explorar este método em , não perca! Por que próximo?

O fato é que aí será usada a fórmula da equação de uma reta. Claro, pode-se simplesmente mostrar esta fórmula e aconselhá-lo a aprendê-la. Mas é melhor explicar de onde vem (como é derivado). É necessário! Se você esquecer, restaure-o rapidamentenão será difícil. Tudo é detalhado abaixo. Então, temos dois pontos A no plano coordenado(x 1; y 1) e B (x 2; y 2), uma linha reta é traçada através dos pontos indicados:

Aqui está a fórmula direta:

*Ou seja, ao substituir as coordenadas específicas dos pontos, obtemos uma equação da forma y=kx+b.

** Se esta fórmula for simplesmente “memorizada”, então há uma alta probabilidade de se confundir com índices quando X. Além disso, os índices podem ser denotados de diferentes maneiras, por exemplo:

Por isso é importante entender o significado.

Agora a derivação desta fórmula. Tudo é muito simples!

Os triângulos ABE e ACF são semelhantes em termos de um ângulo agudo (o primeiro sinal da semelhança de triângulos retângulos). Segue-se que as razões dos elementos correspondentes são iguais, ou seja:

Agora, simplesmente expressamos esses segmentos em termos da diferença nas coordenadas dos pontos:

Obviamente, não haverá erro se você escrever os relacionamentos dos elementos em uma ordem diferente (o principal é manter a correspondência):

O resultado é a mesma equação de uma linha reta. É tudo!

Ou seja, não importa como os próprios pontos (e suas coordenadas) sejam designados, entendendo essa fórmula, você sempre encontrará a equação de uma reta.

A fórmula pode ser deduzida usando as propriedades dos vetores, mas o princípio de derivação será o mesmo, pois falaremos sobre a proporcionalidade de suas coordenadas. Neste caso, a mesma semelhança de triângulos retângulos funciona. Na minha opinião, a conclusão descrita acima é mais compreensível)).

Visualize a saída via coordenadas vetoriais >>>

Seja uma linha reta construída no plano coordenado que passa por dois pontos dados A (x 1; y 1) e B (x 2; y 2). Vamos marcar um ponto arbitrário C na linha com coordenadas ( x; y). Também denotamos dois vetores:

Sabe-se que para vetores situados em linhas paralelas (ou em uma linha), suas coordenadas correspondentes são proporcionais, ou seja:

- escrevemos a igualdade das razões das coordenadas correspondentes:

Considere um exemplo:

Encontre a equação de uma linha reta que passa por dois pontos com coordenadas (2;5) e (7:3).

Você não pode nem construir a linha em si. Aplicamos a fórmula:

É importante que você capte a correspondência ao elaborar a proporção. Você não pode errar se escrever:

Resposta: y=-2/5x+29/5 vai y=-0,4x+5,8

Para garantir que a equação resultante seja encontrada corretamente, verifique-a - substitua as coordenadas dos dados na condição dos pontos. Você deve obter igualdades corretas.

Isso é tudo. Espero que o material tenha sido útil para você.

Atenciosamente, Alexandre.

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Propriedades de uma reta na geometria euclidiana.

Existem infinitas linhas que podem ser traçadas através de qualquer ponto.

Por quaisquer dois pontos não coincidentes, há apenas uma linha reta.

Duas linhas não coincidentes no plano se cruzam em um único ponto ou são

paralelo (segue do anterior).

No espaço tridimensional, existem três opções para a posição relativa de duas linhas:

• linhas se cruzam;

• linhas retas são paralelas;

• linhas retas se cruzam.

Em linha reta linha- curva algébrica de primeira ordem: no sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta

é dado no plano por uma equação de primeiro grau (equação linear).

Equação geral de uma reta.

Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e constante A, B não é igual a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada em geral

equação da reta. Dependendo dos valores das constantes A, B e A PARTIR DE Os seguintes casos especiais são possíveis:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- a linha passa pela origem

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- linha reta paralela ao eixo Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- linha reta paralela ao eixo UO

. B = C = 0, A ≠ 0- a linha coincide com o eixo UO

. A = C = 0, B ≠ 0- a linha coincide com o eixo Oh

A equação de uma linha reta pode ser representada de várias formas, dependendo de qualquer

condições iniciais.

Equação de uma reta por um ponto e um vetor normal.

Definição. Em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas, um vetor com componentes (A, B)

perpendicular à reta dada pela equação

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma reta que passa por um ponto A(1, 2) perpendicular ao vetor (3, -1).

Solução. Vamos compor em A \u003d 3 e B \u003d -1 a equação da linha reta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar o coeficiente C

substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. Obtemos: 3 - 2 + C = 0, portanto

C = -1. Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos.

Sejam dados dois pontos no espaço M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M2 (x 2, y 2 , z 2), então equação de linha reta,

passando por estes pontos:

Se algum dos denominadores for igual a zero, o numerador correspondente deve ser igual a zero. No

plano, a equação de uma linha reta escrita acima é simplificada:

E se x 1 ≠ x 2 e x = x 1, E se x 1 = x 2 .

Fração = k chamado fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta por um ponto e uma inclinação.

Se a equação geral de uma reta Ah + Wu + C = 0 trazer para o formulário:

e designar , então a equação resultante é chamada

equação de uma linha reta com inclinação k.

A equação de uma linha reta em um ponto e um vetor diretor.

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode entrar na tarefa

uma linha reta que passa por um ponto e um vetor direcional de uma linha reta.

Definição. Todo vetor diferente de zero (α 1 , α 2), cujos componentes satisfazem a condição

Aα 1 + Bα 2 = 0 chamado vetor de direção da reta.

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Vamos procurar a equação da linha reta desejada na forma: Ax + Por + C = 0. De acordo com a definição,

os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

no x=1, y=2 Nós temos C/A = -3, ou seja equação desejada:

x + y - 3 = 0

Equação de uma linha reta em segmentos.

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por -C, obtemos:

ou onde

O significado geométrico dos coeficientes é que o coeficiente a é a coordenada do ponto de interseção

reta com eixo Oh, uma b- a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo UO.

Exemplo. A equação geral de uma reta é dada x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta linha reta em segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta.

Se ambos os lados da equação Ah + Wu + C = 0 dividir por número , que é chamado

fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equação normal de uma reta.

O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que µ * C< 0.

R- o comprimento da perpendicular baixada da origem até a linha,

uma φ - o ângulo formado por esta perpendicular com a direção positiva do eixo Oh.

Exemplo. Dada a equação geral de uma linha reta 12x - 5a - 65 = 0. Necessário para escrever vários tipos de equações

esta linha reta.

A equação desta linha reta em segmentos:

A equação desta linha com inclinação: (dividir por 5)

Equação de uma reta:

cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda linha reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, linhas retas,

paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Ângulo entre linhas em um plano.

Definição. Se duas linhas são dadas y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas

será definido como

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares

E se k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direto Ah + Wu + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelos quando os coeficientes são proporcionais

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Se também С 1 \u003d λС, então as linhas coincidem. Coordenadas do ponto de intersecção de duas linhas

são encontrados como uma solução para o sistema de equações dessas linhas.

A equação de uma reta que passa por um ponto dado é perpendicular a uma reta dada.

Definição. Uma linha que passa por um ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y = kx + b

representado pela equação:

A distância de um ponto a uma linha.

Teorema. Se for dado um ponto M(x 0, y 0), então a distância até a linha Ah + Wu + C = 0 definido como:

Prova. Deixe o ponto M 1 (x 1, y 1)- a base da perpendicular caiu do ponto M para um dado

direto. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

Coordenadas x 1 e 1 pode ser encontrada como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por um ponto dado M 0 perpendicularmente

dada linha. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Este artigo continua o tópico da equação de uma linha reta em um plano: considere esse tipo de equação como a equação geral de uma linha reta. Vamos definir um teorema e dar sua prova; Vamos descobrir o que é uma equação geral incompleta de uma linha reta e como fazer transições de uma equação geral para outros tipos de equações de uma linha reta. Consolidaremos toda a teoria com ilustrações e resolução de problemas práticos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Seja um sistema de coordenadas retangular O x y dado no plano.

Teorema 1

Qualquer equação do primeiro grau, com a forma A x + B y + C \u003d 0, onde A, B, C são alguns números reais (A e B não são iguais a zero ao mesmo tempo) define uma linha reta em um sistema de coordenadas retangulares no plano. Por sua vez, qualquer linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano é determinada por uma equação que tem a forma A x + B y + C = 0 para um determinado conjunto de valores A, B, C.

Prova

Este teorema consiste em dois pontos, vamos provar cada um deles.

1. Vamos provar que a equação A x + B y + C = 0 define uma linha no plano.

Seja algum ponto M 0 (x 0 , y 0) cujas coordenadas correspondem à equação A x + B y + C = 0 . Assim: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia dos lados esquerdo e direito das equações A x + B y + C \u003d 0 os lados esquerdo e direito da equação A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obtemos uma nova equação que se parece com A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . É equivalente a A x + B y + C = 0 .

A equação resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 é uma condição necessária e suficiente para a perpendicularidade dos vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ). Assim, o conjunto de pontos M (x, y) define em um sistema de coordenadas retangular uma linha reta perpendicular à direção do vetor n → = (A, B) . Podemos supor que não é assim, mas então os vetores n → = (A, B) e M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) não seriam perpendiculares, e a igualdade A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 não seria verdade.

Portanto, a equação A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 define uma certa linha em um sistema de coordenadas retangulares no plano e, portanto, a equação equivalente A x + B y + C \u003d 0 define a mesma linha. Assim provamos a primeira parte do teorema.

1. Vamos provar que qualquer linha reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano pode ser dada por uma equação de primeiro grau A x + B y + C = 0 .

Vamos definir uma linha reta a em um sistema de coordenadas retangulares no plano; ponto M 0 (x 0 , y 0) por onde passa esta reta, assim como o vetor normal desta reta n → = (A , B) .

Deixe também existir algum ponto M (x , y) - um ponto flutuante da linha. Neste caso, os vetores n → = (A , B) e M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) são perpendiculares entre si, e seu produto escalar é zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Vamos reescrever a equação A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definir C: C = - A x 0 - B y 0 e finalmente obter a equação A x + B y + C = 0 .

Então, provamos a segunda parte do teorema e provamos o teorema inteiro como um todo.

Definição 1

Uma equação que parece A x + B y + C = 0 - isto é equação geral de uma reta em um plano em um sistema de coordenadas retangularesOxy.

Com base no teorema provado, podemos concluir que uma linha reta dada em um plano em um sistema de coordenadas retangulares fixo e sua equação geral estão inextricavelmente ligadas. Em outras palavras, a linha original corresponde à sua equação geral; a equação geral de uma linha reta corresponde a uma determinada linha reta.

Também segue da prova do teorema que os coeficientes A e B para as variáveis ​​x e y são as coordenadas do vetor normal da reta, que é dado pela equação geral da reta A x + B y + C = 0 .

Considere um exemplo específico da equação geral de uma linha reta.

Seja dada a equação 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a uma linha reta em um sistema de coordenadas retangular dado. O vetor normal desta reta é o vetor n → = (2 , 3) ​​. Desenhe uma determinada linha reta no desenho.

Pode-se argumentar também o seguinte: a reta que vemos no desenho é determinada pela equação geral 2 x + 3 y - 2 = 0, pois as coordenadas de todos os pontos de uma determinada reta correspondem a essa equação.

Podemos obter a equação λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 multiplicando ambos os lados da equação geral da reta por um número diferente de zero λ. A equação resultante é equivalente à equação geral original, portanto, descreverá a mesma linha no plano.

Definição 2

Equação geral completa de uma linha reta- uma equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, na qual os números A, B, C são diferentes de zero. Caso contrário, a equação é incompleto.

Analisemos todas as variações da equação geral incompleta da reta.

1. Quando A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, a equação geral se torna B y + C \u003d 0. Tal equação geral incompleta define uma linha reta no sistema de coordenadas retangulares O x y que é paralela ao eixo O x, pois para qualquer valor real de x, a variável y assumirá o valor -C.B. Em outras palavras, a equação geral da linha A x + B y + C \u003d 0, quando A \u003d 0, B ≠ 0, define o lugar geométrico dos pontos (x, y) cujas coordenadas são iguais ao mesmo número -C.B.
2. Se A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral se torna y \u003d 0. Tal equação incompleta define o eixo x O x .
3. Quando A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obtemos uma equação geral incompleta A x + C \u003d 0, definindo uma linha reta paralela ao eixo y.
4. Seja A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, então a equação geral incompleta terá a forma x \u003d 0, e esta é a equação da linha de coordenadas O y.
5. Finalmente, quando A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, a equação geral incompleta assume a forma A x + B y \u003d 0. E esta equação descreve uma linha reta que passa pela origem. De fato, o par de números (0 , 0) corresponde à igualdade A x + B y = 0 , pois A · 0 + B · 0 = 0 .

Vamos ilustrar graficamente todos os tipos acima da equação geral incompleta de uma linha reta.

Exemplo 1

Sabe-se que a reta dada é paralela ao eixo y e passa pelo ponto 2 7 , - 11 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.

Solução

Uma linha reta paralela ao eixo y é dada por uma equação da forma A x + C \u003d 0, na qual A ≠ 0. A condição também especifica as coordenadas do ponto através do qual a linha passa, e as coordenadas deste ponto correspondem às condições da equação geral incompleta A x + C = 0 , ou seja, a igualdade está correta:

A 2 7 + C = 0

É possível determinar C a partir dele dando a A algum valor diferente de zero, por exemplo, A = 7 . Nesse caso, obtemos: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conhecemos os dois coeficientes A e C, substituímos na equação A x + C = 0 e obtemos a equação necessária da reta: 7 x - 2 = 0

Responda: 7 x - 2 = 0

Exemplo 2

O desenho mostra uma linha reta, é necessário anotar sua equação.

Solução

O desenho dado nos permite obter facilmente os dados iniciais para resolver o problema. Vemos no desenho que a reta dada é paralela ao eixo O x e passa pelo ponto (0,3).

A linha reta, que é paralela à abcissa, é determinada pela equação geral incompleta B y + С = 0. Encontre os valores de B e C. As coordenadas do ponto (0, 3), uma vez que uma determinada linha reta passa por ele, satisfará a equação da linha reta B y + С = 0, então a igualdade é válida: В · 3 + С = 0. Vamos definir B para algum valor diferente de zero. Digamos B \u003d 1, neste caso, da igualdade B · 3 + C \u003d 0 podemos encontrar C: C \u003d - 3. Usando os valores conhecidos de B e C, obtemos a equação necessária da linha reta: y - 3 = 0.

Responda: y - 3 = 0 .

Equação geral de uma linha reta que passa por um ponto dado do plano

Deixe a linha dada passar pelo ponto M 0 (x 0, y 0), então suas coordenadas correspondem à equação geral da linha, ou seja. a igualdade é verdadeira: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Subtraia os lados esquerdo e direito desta equação dos lados esquerdo e direito da equação geral completa da linha reta. Obtemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, esta equação é equivalente à geral original, passa pelo ponto M 0 (x 0, y 0) e tem um vetor normal n → \u003d (A, B) .

O resultado que obtivemos permite escrever a equação geral de uma reta com as coordenadas conhecidas do vetor normal da reta e as coordenadas de um determinado ponto dessa reta.

Exemplo 3

Dado um ponto M 0 (- 3, 4) através do qual a linha passa, e o vetor normal desta linha n → = (1 , - 2) . É necessário escrever a equação de uma dada reta.

Solução

As condições iniciais nos permitem obter os dados necessários para compilar a equação: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Então:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

O problema poderia ter sido resolvido de outra forma. A equação geral de uma linha reta tem a forma A x + B y + C = 0 . O vetor normal dado permite obter os valores dos coeficientes A e B , então:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Agora vamos encontrar o valor de C, usando o ponto M 0 (- 3, 4) dado pela condição do problema, por onde passa a reta. As coordenadas deste ponto correspondem à equação x - 2 · y + C = 0 , ou seja. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Portanto C = 11. A equação de linha reta necessária assume a forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Responda: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplo 4

Dada uma linha 2 3 x - y - 1 2 = 0 e um ponto M 0 sobre esta linha. Apenas a abcissa deste ponto é conhecida e é igual a - 3. É necessário determinar a ordenada do ponto dado.

Solução

Vamos definir a designação das coordenadas do ponto M 0 como x 0 e y 0 . Os dados iniciais indicam que x 0 \u003d - 3. Como o ponto pertence a uma determinada reta, então suas coordenadas correspondem à equação geral dessa reta. Então a seguinte igualdade será verdadeira:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defina y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Responda: - 5 2

Transição da equação geral de uma reta para outros tipos de equações de uma reta e vice-versa

Como sabemos, existem vários tipos de equação da mesma reta no plano. A escolha do tipo de equação depende das condições do problema; é possível escolher o que for mais conveniente para sua solução. É aqui que a habilidade de converter uma equação de um tipo em uma equação de outro tipo é muito útil.

Primeiro, considere a transição da equação geral da forma A x + B y + C = 0 para a equação canônica x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Se A ≠ 0, então transferimos o termo B y para o lado direito da equação geral. No lado esquerdo, tiramos A dos colchetes. Como resultado, obtemos: A x + C A = - B y .

Esta igualdade pode ser escrita como uma proporção: x + C A - B = y A .

Se B ≠ 0, deixamos apenas o termo A x no lado esquerdo da equação geral, transferimos os outros para o lado direito, obtemos: A x \u003d - B y - C. Tiramos - B dos colchetes, então: A x \u003d - B y + C B.

Vamos reescrever a igualdade como uma proporção: x - B = y + C B A .

Claro, não há necessidade de memorizar as fórmulas resultantes. Basta conhecer o algoritmo de ações durante a transição da equação geral para a canônica.

Exemplo 5

A equação geral da linha 3 y - 4 = 0 é dada. Ele precisa ser convertido em uma equação canônica.

Solução

Escrevemos a equação original como 3 y - 4 = 0 . Em seguida, agimos de acordo com o algoritmo: o termo 0 x permanece no lado esquerdo; e no lado direito tiramos - 3 entre colchetes; obtemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Vamos escrever a igualdade resultante como uma proporção: x - 3 = y - 4 3 0 . Assim, obtivemos uma equação da forma canônica.

Resposta: x - 3 = y - 4 3 0.

Para transformar a equação geral de uma linha reta em paramétricas, primeiro, é realizada a transição para a forma canônica e, em seguida, a transição da equação canônica da linha reta para equações paramétricas.

Exemplo 6

A linha reta é dada pela equação 2 x - 5 y - 1 = 0 . Escreva as equações paramétricas desta reta.

Solução

Vamos fazer a transição da equação geral para a canônica:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Agora vamos tomar ambas as partes da equação canônica resultante igual a λ, então:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Responda:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

A equação geral pode ser convertida na equação de uma linha reta com inclinação y \u003d k x + b, mas somente quando B ≠ 0. Para a transição do lado esquerdo, deixamos o termo B y , o restante é transferido para a direita. Obtemos: B y = - A x - C . Vamos dividir ambas as partes da igualdade resultante por B , que é diferente de zero: y = - A B x - C B .

Exemplo 7

A equação geral de uma linha reta é dada: 2 x + 7 y = 0 . Você precisa converter essa equação em uma equação de inclinação.

Solução

Vamos realizar as ações necessárias de acordo com o algoritmo:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Responda: y = - 2 7 x .

A partir da equação geral de uma linha reta, basta obter uma equação em segmentos da forma x a + y b \u003d 1. Para fazer essa transição, transferimos o número C para o lado direito da igualdade, dividimos ambas as partes da igualdade resultante por - С e, finalmente, transferimos os coeficientes das variáveis ​​x e y para os denominadores:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplo 8

É necessário converter a equação geral da reta x - 7 y + 1 2 = 0 na equação da reta em segmentos.

Solução

Vamos mover 1 2 para o lado direito: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Divida por -1/2 ambos os lados da equação: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Responda: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Em geral, a transição inversa também é fácil: de outros tipos de equações para a geral.

A equação de uma reta em segmentos e a equação com inclinação podem ser facilmente convertidas em uma geral simplesmente coletando todos os termos do lado esquerdo da equação:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

A equação canônica é convertida para a geral de acordo com o seguinte esquema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Para passar do paramétrico, primeiro é realizada a transição para o canônico e depois para o geral:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplo 9

As equações paramétricas da reta x = - 1 + 2 · λ y = 4 são dadas. É necessário escrever a equação geral desta reta.

Solução

Vamos fazer a transição de equações paramétricas para canônicas:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Vamos passar de canônico para geral:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Responda: s - 4 = 0

Exemplo 10

A equação de uma linha reta nos segmentos x 3 + y 1 2 = 1 é dada. É necessário realizar a transição para a forma geral da equação.

Solução:

Vamos apenas reescrever a equação na forma necessária:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Responda: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Elaboração de uma equação geral de uma linha reta

Acima, dissemos que a equação geral pode ser escrita com as coordenadas conhecidas do vetor normal e as coordenadas do ponto pelo qual a reta passa. Tal linha reta é definida pela equação A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . No mesmo local analisamos o exemplo correspondente.

Agora vamos ver exemplos mais complexos nos quais, primeiro, é necessário determinar as coordenadas do vetor normal.

Exemplo 11

Dada uma reta paralela à reta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Também conhecido é o ponto M 0 (4 , 1) através do qual passa a linha dada. É necessário escrever a equação de uma dada reta.

Solução

As condições iniciais nos dizem que as retas são paralelas, então, como vetor normal da reta cuja equação precisa ser escrita, tomamos o vetor diretor da reta n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Agora conhecemos todos os dados necessários para compor a equação geral de uma reta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Responda: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplo 12

A reta dada passa pela origem perpendicular à reta x - 2 3 = y + 4 5 . É necessário escrever a equação geral de uma dada reta.

Solução

O vetor normal da linha dada será o vetor diretor da linha x - 2 3 = y + 4 5 .

Então n → = (3 , 5) . A linha reta passa pela origem, ou seja, pelo ponto O (0, 0). Vamos compor a equação geral de uma dada reta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Responda: 3 x + 5 y = 0 .

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A linha que passa pelo ponto K(x 0; y 0) e paralela à linha y = kx + a é encontrada pela fórmula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Onde k é a inclinação da linha reta.

Fórmula alternativa:
A reta que passa pelo ponto M 1 (x 1 ; y 1) e paralela à reta Ax+By+C=0 é representada pela equação

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto K( ;) paralela à reta y = x + .

Exemplo 1. Componha a equação de uma reta que passa pelo ponto M 0 (-2,1) e ao mesmo tempo:
a) paralela à reta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular à linha 2x+3y -7 = 0.
Solução . Vamos representar a equação da inclinação como y = kx + a . Para isso, vamos transferir todos os valores exceto y para o lado direito: 3y = -2x + 7 . Então dividimos o lado direito pelo coeficiente 3 . Obtemos: y = -2/3x + 7/3
Encontre a equação NK que passa pelo ponto K(-2;1) paralelo à reta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Substituindo x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, obtemos:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
ou
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ou 3y + 2x +1 = 0

Exemplo #2. Escreva a equação de uma reta paralela à reta 2x + 5y = 0 e formando, junto com os eixos coordenados, um triângulo cuja área é 5.
Solução . Como as retas são paralelas, a equação da reta desejada é 2x + 5y + C = 0. A área de um triângulo retângulo, onde aeb são seus catetos. Encontre os pontos de interseção da linha desejada com os eixos coordenados:
;
.
Então, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Substituindo na fórmula da área: . Obtemos duas soluções: 2x + 5y + 10 = 0 e 2x + 5y - 10 = 0 .

Exemplo #3. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 5) e a reta paralela 5x-7y-4=0 .
Solução. Esta linha reta pode ser representada pela equação y = 5/7 x – 4/7 (aqui a = 5/7). A equação da linha desejada é y - 5 = 5/7 (x - (-2)), ou seja 7(y-5)=5(x+2) ou 5x-7y+45=0 .

Exemplo #4. Resolvendo o exemplo 3 (A=5, B=-7) usando a fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplo número 5. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto (-2;5) e uma reta paralela 7x+10=0.
Solução. Aqui A=7, B=0. A fórmula (2) dá 7(x+2)=0, i.e. x+2=0. A fórmula (1) não é aplicável, pois esta equação não pode ser resolvida em relação a y (esta reta é paralela ao eixo y).