IV Yakovlev | Materiais sobre matemática | MathUs.ru
Progressão aritmética
Uma progressão aritmética é um tipo especial de sequência. Portanto, antes de definir uma progressão aritmética (e depois geométrica), precisamos discutir brevemente o importante conceito de uma sequência numérica.
Subsequência
Imagine um dispositivo na tela do qual determinados números são exibidos um após o outro. Digamos 2; 7; treze; 1; 6; 0; 3; : : : Tal conjunto de números é apenas um exemplo de uma sequência.
Definição. Uma sequência numérica é um conjunto de números em que a cada número pode ser atribuído um número único (ou seja, colocado em correspondência com um único número natural)1. O número com o número n é chamado de enésimo membro da sequência.
Assim, no exemplo acima, o primeiro número tem o número 2, que é o primeiro membro da sequência, que pode ser denotado por a1 ; o número cinco tem o número 6 que é o quinto membro da sequência, que pode ser denotado a5 . Em geral, o enésimo membro de uma sequência é denotado por um (ou bn , cn , etc.).
Uma situação muito conveniente é quando o enésimo membro da sequência pode ser especificado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula an = 2n 3 especifica a sequência: 1; 1; 3; 5; 7; : : : A fórmula an = (1)n define a sequência: 1; 1; 1; 1; : : :
Nem todo conjunto de números é uma sequência. Assim, um segmento não é uma sequência; contém ¾muitos' números para serem renumerados. O conjunto R de todos os números reais também não é uma sequência. Esses fatos são comprovados no curso da análise matemática.
Progressão aritmética: definições básicas
Agora estamos prontos para definir uma progressão aritmética.
Definição. Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo (a partir do segundo) é igual à soma do termo anterior e algum número fixo (chamado de diferença da progressão aritmética).
Por exemplo, sequência 2; 5; oito; onze; : : : é uma progressão aritmética com primeiro termo 2 e diferença 3. Sequência 7; 2; 3; oito; : : : é uma progressão aritmética com primeiro termo 7 e diferença 5. Sequência 3; 3; 3; : : : é uma progressão aritmética com diferença zero.
Definição equivalente: Uma sequência an é chamada de progressão aritmética se a diferença an+1 an for uma constante (não dependente de n).
Diz-se que uma progressão aritmética é crescente se sua diferença for positiva e decrescente se sua diferença for negativa.
1 E aqui está uma definição mais concisa: uma sequência é uma função definida no conjunto dos números naturais. Por exemplo, a sequência de números reais é a função f: N! R.
Por padrão, as sequências são consideradas infinitas, ou seja, contendo um número infinito de números. Mas ninguém se preocupa em considerar também sequências finitas; de fato, qualquer conjunto finito de números pode ser chamado de sequência finita. Por exemplo, a sequência final 1; 2; 3; 4; 5 consiste em cinco números.
Fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética
É fácil entender que uma progressão aritmética é completamente determinada por dois números: o primeiro termo e a diferença. Portanto, surge a pergunta: como, conhecendo o primeiro termo e a diferença, encontrar um termo arbitrário de uma progressão aritmética?
Não é difícil obter a fórmula desejada para o enésimo termo de uma progressão aritmética. Deixe um
progressão aritmética com diferença d. Nós temos: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Em particular, escrevemos: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
e agora fica claro que a fórmula para an é: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Tarefa 1. Na progressão aritmética 2; 5; oito; onze; : : : encontre a fórmula do enésimo termo e calcule o centésimo termo.
Decisão. Pela fórmula (1) temos:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Propriedade e sinal da progressão aritmética
propriedade de uma progressão aritmética. Na progressão aritmética an para qualquer
Em outras palavras, cada membro da progressão aritmética (a partir do segundo) é a média aritmética dos membros vizinhos.
Prova. Nós temos: | ||||
a n 1+ a n+1 | (um d) + (um + d) | |||
que é o que era necessário.
Mais geralmente, a progressão aritmética an satisfaz a igualdade
a n = a n k+ a n+k
para qualquer n > 2 e qualquer k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Acontece que a fórmula (2) não é apenas uma condição necessária, mas também suficiente para que uma sequência seja uma progressão aritmética.
Sinal de uma progressão aritmética. Se a igualdade (2) vale para todo n > 2, então a sequência an é uma progressão aritmética.
Prova. Vamos reescrever a fórmula (2) da seguinte forma:
a na n 1= a n+1a n:
Isso mostra que a diferença an+1 an não depende de n, e isso significa apenas que a sequência an é uma progressão aritmética.
A propriedade e o sinal de uma progressão aritmética podem ser formulados como uma afirmação; por conveniência, faremos isso para três números (essa é a situação que geralmente ocorre em problemas).
Caracterização de uma progressão aritmética. Três números a, b, c formam uma progressão aritmética se e somente se 2b = a + c.
Problema 2. (Moscow State University, Faculdade de Economia, 2007) Três números 8x, 3x2 e 4 na ordem especificada formam uma progressão aritmética decrescente. Encontre x e escreva a diferença dessa progressão.
Decisão. Pela propriedade de uma progressão aritmética, temos:
2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Se x = 1, obtém-se uma progressão decrescente de 8, 2, 4 com uma diferença de 6. Se x = 5, obtém-se uma progressão crescente de 40, 22, 4; este caso não funciona.
Resposta: x = 1, a diferença é 6.
A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética
A lenda conta que certa vez o professor disse às crianças para encontrarem a soma dos números de 1 a 100 e sentou-se para ler o jornal em silêncio. No entanto, em poucos minutos, um menino disse que havia resolvido o problema. Era Carl Friedrich Gauss, de 9 anos, mais tarde um dos maiores matemáticos da história.
A ideia do pequeno Gauss foi esta. Deixe ser
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Vamos escrever esta soma na ordem inversa:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
e adicione estas duas fórmulas:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Cada termo entre parênteses é igual a 101, e existem 100 desses termos no total.
2S = 101 100 = 10100;
Usamos essa ideia para derivar a fórmula da soma
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Uma modificação útil da fórmula (3) é obtida substituindo a fórmula pelo enésimo termo an = a1 + (n 1)d nele:
2a1 + (n 1)d | |||||
Tarefa 3. Encontre a soma de todos os números positivos de três dígitos divisíveis por 13.
Decisão. Os números de três algarismos que são múltiplos de 13 formam uma progressão aritmética com o primeiro termo 104 e a diferença 13; O enésimo termo desta progressão é:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Vamos descobrir quantos membros nossa progressão contém. Para isso, resolvemos a desigualdade:
um 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; nº 6 69:
Portanto, há 69 membros em nossa progressão. De acordo com a fórmula (4), encontramos a quantidade necessária:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Por exemplo, a sequência \(2\); \(5\); \(oito\); \(onze\); \(14\)… é uma progressão aritmética, pois cada elemento seguinte difere do anterior por três (pode ser obtido do anterior somando três):
Nesta progressão, a diferença \(d\) é positiva (igual a \(3\)) e, portanto, cada termo seguinte é maior que o anterior. Essas progressões são chamadas aumentando.
No entanto, \(d\) também pode ser um número negativo. por exemplo, em progressão aritmética \(16\); \(dez\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… a diferença de progressão \(d\) é igual a menos seis.
E neste caso, cada próximo elemento será menor que o anterior. Essas progressões são chamadas diminuindo.
Notação de progressão aritmética
A progressão é indicada por uma pequena letra latina.
Os números que formam uma progressão são chamados membros(ou elementos).
Eles são denotados pela mesma letra que a progressão aritmética, mas com um índice numérico igual ao número do elemento em ordem.
Por exemplo, a progressão aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consiste nos elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e assim por diante.
Em outras palavras, para a progressão \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Resolvendo problemas em uma progressão aritmética
Em princípio, as informações acima já são suficientes para resolver praticamente qualquer problema de progressão aritmética (incluindo os oferecidos no OGE).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições \(b_1=7; d=4\). Encontre \(b_5\).
Decisão:
Responda: \(b_5=23\)
Exemplo (OGE).
Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são dados: \(62; 49; 36…\) Encontre o valor do primeiro termo negativo dessa progressão.
Decisão:
|
Recebemos os primeiros elementos da sequência e sabemos que é uma progressão aritmética. Ou seja, cada elemento difere do vizinho pelo mesmo número. Descubra qual subtraindo o anterior do próximo elemento: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Agora podemos restaurar nossa progressão para o elemento desejado (primeiro negativo). |
|
|
Preparar. Você pode escrever uma resposta. |
Responda: \(-3\)
Exemplo (OGE).
Vários elementos sucessivos de uma progressão aritmética são dados: \(...5; x; 10; 12,5...\) Encontre o valor do elemento denotado pela letra \(x\).
Decisão:
|
|
Para encontrar \(x\), precisamos saber o quanto o próximo elemento difere do anterior, ou seja, a diferença de progressão. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos conhecidos: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
E agora encontramos o que procuramos sem problemas: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Preparar. Você pode escrever uma resposta. |
Responda: \(7,5\).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas seguintes condições: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encontre a soma dos seis primeiros termos desta progressão.
Decisão:
|
Precisamos encontrar a soma dos seis primeiros termos da progressão. Mas não sabemos seus significados, recebemos apenas o primeiro elemento. Portanto, primeiro calculamos os valores por sua vez, usando o que nos foi dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
O valor solicitado foi encontrado. |
Responda: \(S_6=9\).
Exemplo (OGE).
Em progressão aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encontre a diferença dessa progressão.
Decisão:
Responda: \(d=7\).
Fórmulas importantes de progressão aritmética
Como você pode ver, muitos problemas de progressão aritmética podem ser resolvidos simplesmente entendendo o principal - que uma progressão aritmética é uma cadeia de números, e cada próximo elemento nesta cadeia é obtido adicionando o mesmo número ao anterior (a diferença da progressão).
No entanto, às vezes há situações em que é muito inconveniente resolver "na testa". Por exemplo, imagine que no primeiro exemplo, precisamos encontrar não o quinto elemento \(b_5\), mas o tricentésimo octogésimo sexto \(b_(386)\). O que é isso, nós \ (385 \) vezes para adicionar quatro? Ou imagine que no penúltimo exemplo você precisa encontrar a soma dos primeiros setenta e três elementos. Contar é confuso...
Portanto, nesses casos, eles não resolvem “na testa”, mas usam fórmulas especiais derivadas de progressão aritmética. E as principais são a fórmula do enésimo termo da progressão e a fórmula da soma \(n\) dos primeiros termos.
Fórmula para o \(n\)º membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro membro da progressão;
\(n\) – número do elemento requerido;
\(a_n\) é um membro da progressão com o número \(n\).
Essa fórmula nos permite encontrar rapidamente pelo menos o tricentésimo, até mesmo o milionésimo elemento, conhecendo apenas o primeiro e a diferença de progressão.
Exemplo.
A progressão aritmética é dada pelas condições: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encontre \(b_(246)\).
Decisão:
Responda: \(b_(246)=1850\).
A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), onde
\(a_n\) é o último termo somado;
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições \(a_n=3.4n-0.6\). Encontre a soma dos primeiros \(25\) termos dessa progressão.
Decisão:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Para calcular a soma dos primeiros vinte e cinco elementos, precisamos saber o valor do primeiro e do vigésimo quinto termo. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Agora vamos encontrar o vigésimo quinto termo substituindo vinte e cinco em vez de \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Bem, agora calculamos a quantidade necessária sem problemas. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
A resposta está pronta. |
Responda: \(S_(25)=1090\).
Para a soma \(n\) dos primeiros termos, você pode obter outra fórmula: você só precisa \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) em vez de \(a_n\) substitua pela fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nós temos:
A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), onde
\(S_n\) – a soma necessária \(n\) dos primeiros elementos;
\(a_1\) é o primeiro termo a ser somado;
\(d\) – diferença de progressão;
\(n\) - o número de elementos na soma.
Exemplo.
Encontre a soma dos primeiros termos \(33\)-ex da progressão aritmética: \(17\); \(15,5\); \(quatorze\)…
Decisão:
Responda: \(S_(33)=-231\).
Problemas de progressão aritmética mais complexos
Agora você tem todas as informações necessárias para resolver quase qualquer problema de progressão aritmética. Vamos terminar o tópico considerando problemas nos quais você precisa não apenas aplicar fórmulas, mas também pensar um pouco (em matemática, isso pode ser útil ☺)
Exemplo (OGE).
Encontre a soma de todos os termos negativos da progressão: \(-19,3\); \(-dezenove\); \(-18,7\)…
Decisão:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
A tarefa é muito semelhante à anterior. Começamos a resolver da mesma maneira: primeiro encontramos \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Agora substituiríamos \(d\) na fórmula da soma ... e aqui aparece uma pequena nuance - não sabemos \(n\). Em outras palavras, não sabemos quantos termos precisarão ser adicionados. Como descobrir? Vamos pensar. Pararemos de adicionar elementos quando chegarmos ao primeiro elemento positivo. Ou seja, você precisa descobrir o número desse elemento. Como? Vamos escrever a fórmula para calcular qualquer elemento de uma progressão aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para o nosso caso. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Precisamos que \(a_n\) seja maior que zero. Vamos descobrir para que \(n\) isso vai acontecer. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Dividimos ambos os lados da desigualdade por \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Transferimos menos um, não esquecendo de mudar os sinais |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Informática... |
|
|
\(n>65.333…\) |
…e acontece que o primeiro elemento positivo terá o número \(66\). Assim, o último negativo tem \(n=65\). Apenas no caso, vamos dar uma olhada. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Assim, precisamos adicionar os primeiros elementos \(65\). |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
A resposta está pronta. |
Responda: \(S_(65)=-630,5\).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encontre a soma do elemento \(26\)th ao \(42\) inclusive.
Decisão:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Neste problema, você também precisa encontrar a soma dos elementos, mas começando não do primeiro, mas do \(26\)th. Não temos uma fórmula para isso. Como decidir? |
|
|
Para nossa progressão \(a_1=-33\), e a diferença \(d=4\) (afinal, adicionamos quatro ao elemento anterior para encontrar o próximo). Sabendo disso, encontramos a soma dos primeiros \(42\)-uh elementos. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Agora a soma dos primeiros \(25\)-ésimos elementos. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
E, finalmente, calculamos a resposta. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Responda: \(S=1683\).
Para uma progressão aritmética, existem várias outras fórmulas que não consideramos neste artigo devido à sua baixa utilidade prática. No entanto, você pode encontrá-los facilmente.
A soma de uma progressão aritmética.
A soma de uma progressão aritmética é uma coisa simples. Tanto no significado quanto na fórmula. Mas há todos os tipos de tarefas neste tópico. Do elementar ao bastante sólido.
Primeiro, vamos lidar com o significado e a fórmula da soma. E então decidiremos. Para seu próprio prazer.) O significado da soma é tão simples quanto abaixar. Para encontrar a soma de uma progressão aritmética, basta adicionar cuidadosamente todos os seus membros. Se esses termos forem poucos, você pode adicionar sem nenhuma fórmula. Mas se houver muito, ou muito... a adição é chata.) Nesse caso, a fórmula salva.
A fórmula da soma é simples:
Vamos descobrir que tipo de letras estão incluídas na fórmula. Isso vai esclarecer muito.
S n é a soma de uma progressão aritmética. Resultado da adição tudo membros, com primeiro em último.É importante. Some exatamente tudo membros seguidos, sem intervalos e saltos. E, exatamente, a partir de primeiro. Em problemas como encontrar a soma do terceiro e oitavo termos, ou a soma dos termos cinco ao vigésimo, a aplicação direta da fórmula será decepcionante.)
um 1 - primeiro integrante da progressão. Tudo é claro aqui, é simples primeiro número da linha.
a- último integrante da progressão. O último número da linha. Não é um nome muito familiar, mas, quando aplicado à quantidade, é muito adequado. Então você vai ver por si mesmo.
n é o número do último membro. É importante entender que na fórmula esse número coincide com o número de termos adicionados.
Vamos definir o conceito último membro a. Pergunta de preenchimento: que tipo de membro último, se dado sem fim progressão aritmética?
Para uma resposta segura, você precisa entender o significado elementar de uma progressão aritmética e... leia a tarefa com atenção!)
Na tarefa de encontrar a soma de uma progressão aritmética, o último termo sempre aparece (direta ou indiretamente), que deve ser limitado. Caso contrário, uma quantidade finita e específica simplesmente não existe. Para a solução, não importa que tipo de progressão é dada: finita ou infinita. Não importa como é dado: por uma série de números, ou pela fórmula do enésimo membro.
O mais importante é entender que a fórmula funciona do primeiro termo da progressão até o termo com o número n. Na verdade, o nome completo da fórmula se parece com isso: a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. O número desses primeiros membros, ou seja, n, é determinado exclusivamente pela tarefa. Na tarefa, muitas vezes, toda essa informação valiosa é criptografada, sim... Mas nada, nos exemplos abaixo vamos revelar esses segredos.)
Exemplos de tarefas para a soma de uma progressão aritmética.
Antes de mais nada, informações úteis:
A principal dificuldade em tarefas para a soma de uma progressão aritmética é a determinação correta dos elementos da fórmula.
Os autores das atribuições criptografam esses mesmos elementos com imaginação sem limites.) O principal aqui é não ter medo. Entendendo a essência dos elementos, basta decifrá-los. Vamos dar uma olhada em alguns exemplos em detalhes. Vamos começar com uma tarefa baseada em um GIA real.
1. A progressão aritmética é dada pela condição: a n = 2n-3,5. Encontre a soma dos 10 primeiros termos.
Bom trabalho. Fácil.) Para determinar a quantidade de acordo com a fórmula, o que precisamos saber? Primeiro membro um 1, último termo a, sim o número do último termo n.
Onde obter o último número de membro n? Sim, no mesmo lugar, na condição! Diz encontrar a soma primeiros 10 membros. Bem, qual será o número último, décimo membro?) Você não vai acreditar, o número dele é o décimo!) Portanto, em vez de a vamos substituir na fórmula um 10, mas ao invés n- dez. Novamente, o número do último membro é o mesmo que o número de membros.
Resta determinar um 1 e um 10. Isso é facilmente calculado pela fórmula do enésimo termo, que é dada na declaração do problema. Não sabe como fazer? Visite a lição anterior, sem isso - nada.
um 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
um 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Descobrimos o significado de todos os elementos da fórmula para a soma de uma progressão aritmética. Resta substituí-los e contar:
Isso é tudo o que há para isso. Resposta: 75.
Outra tarefa baseada no GIA. Um pouco mais complicado:
2. Dada uma progressão aritmética (a n), cuja diferença é 3,7; a 1 \u003d 2.3. Encontre a soma dos 15 primeiros termos.
Imediatamente escrevemos a fórmula da soma:
Esta fórmula nos permite encontrar o valor de qualquer membro pelo seu número. Estamos procurando uma substituição simples:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Resta substituir todos os elementos da fórmula pela soma de uma progressão aritmética e calcular a resposta:
Resposta: 423.
A propósito, se na fórmula da soma em vez de a basta substituir a fórmula do enésimo termo, temos:
Damos semelhantes, obtemos uma nova fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética:
 |
Como você pode ver, o enésimo termo não é necessário aqui. a. Em algumas tarefas, essa fórmula ajuda muito, sim... Você pode lembrar dessa fórmula. E você pode simplesmente retirá-lo no momento certo, como aqui. Afinal, a fórmula da soma e a fórmula do enésimo termo devem ser lembradas de todas as maneiras.)
Agora a tarefa na forma de uma criptografia curta):
3. Encontre a soma de todos os números positivos de dois dígitos que são múltiplos de três.
Quão! Sem primeiro membro, sem último, sem progressão alguma... Como viver!?
Você terá que pensar com a cabeça e retirar da condição todos os elementos da soma de uma progressão aritmética. O que são números de dois dígitos - nós sabemos. Eles consistem em dois números.) Que número de dois dígitos primeiro? 10, presumivelmente.) última coisa número de dois dígitos? 99, claro! Os de três dígitos o seguirão ...
Múltiplos de três... Hm... Estes são números que são divisíveis por três, aqui! Dez não é divisível por três, 11 não é divisível... 12... é divisível! Então, algo está surgindo. Você já pode escrever uma série de acordo com a condição do problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Esta série será uma progressão aritmética? Certamente! Cada termo difere do anterior estritamente por três. Se 2, ou 4, for adicionado ao termo, digamos, o resultado, ou seja, um novo número não será mais dividido por 3. Você pode determinar imediatamente a diferença da progressão aritmética para a pilha: d = 3.Útil!)
Assim, podemos anotar com segurança alguns parâmetros de progressão:
Qual será o número núltimo membro? Quem pensa que 99 está fatalmente enganado... Números - eles sempre seguem em uma fila, e nossos membros saltam sobre os três primeiros. Eles não combinam.
Há duas soluções aqui. Uma maneira é para o super trabalhador. Você pode pintar a progressão, toda a série de números e contar o número de termos com o dedo.) A segunda maneira é para os pensativos. Você precisa se lembrar da fórmula para o enésimo termo. Se a fórmula for aplicada ao nosso problema, obtemos que 99 é o trigésimo membro da progressão. Aqueles. n = 30.
Vejamos a fórmula para a soma de uma progressão aritmética:
Olhamos e nos alegramos.) Retiramos tudo o que era necessário para calcular o valor da condição do problema:
um 1= 12.
um 30= 99.
S n = S 30.
O que resta é aritmética elementar. Substitua os números na fórmula e calcule:
Resposta: 1665
Outro tipo de quebra-cabeças populares:
4. Uma progressão aritmética é dada:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Encontre a soma dos termos do vigésimo ao trigésimo quarto.
Nós olhamos para a fórmula da soma e... ficamos chateados.) A fórmula, deixe-me lembrá-lo, calcula a soma desde o primeiro membro. E no problema você precisa calcular a soma desde o vigésimo... A fórmula não vai funcionar.
Você pode, é claro, pintar toda a progressão em uma linha e colocar os membros de 20 a 34. Mas ... de alguma forma, isso acaba estupidamente e por muito tempo, certo?)
Existe uma solução mais elegante. Vamos dividir nossa série em duas partes. A primeira parte vai do primeiro ao décimo nono mandato. Segunda parte - vinte a trinta e quatro.É claro que se calcularmos a soma dos termos da primeira parte S 1-19, vamos adicioná-lo à soma dos membros da segunda parte S 20-34, obtemos a soma da progressão do primeiro termo ao trigésimo quarto S 1-34. Assim:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Isso mostra que para encontrar a soma S 20-34 pode ser feito por simples subtração
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Ambas as somas do lado direito são consideradas desde o primeiro membro, ou seja a fórmula de soma padrão é bastante aplicável a eles. Estamos começando?
Extraímos os parâmetros de progressão da condição da tarefa:
d = 1,5.
um 1= -21,5.
Para calcular as somas dos primeiros 19 e dos primeiros 34 termos, precisaremos dos 19º e 34º termos. Nós os contamos de acordo com a fórmula do enésimo termo, como no problema 2:
um 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
um 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Não sobrou nada. Subtraia a soma de 19 termos da soma de 34 termos:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Resposta: 262,5
Uma observação importante! Há um recurso muito útil para resolver esse problema. Em vez de cálculo direto o que você precisa (S 20-34), nós contamos o que, ao que parece, não é necessário - S 1-19. E então eles determinaram S 20-34, descartando o desnecessário do resultado completo. Essa "finta com as orelhas" geralmente salva em quebra-cabeças malignos.)
Nesta lição, examinamos problemas para os quais basta entender o significado da soma de uma progressão aritmética. Bem, você precisa conhecer algumas fórmulas.)
Conselho prático:
Ao resolver qualquer problema para a soma de uma progressão aritmética, recomendo escrever imediatamente as duas fórmulas principais deste tópico.
Fórmula do enésimo termo:
Essas fórmulas lhe dirão imediatamente o que procurar, em que direção pensar para resolver o problema. Ajuda.
E agora as tarefas para solução independente.
5. Encontre a soma de todos os números de dois dígitos que não são divisíveis por três.
Legal?) A dica está escondida na nota do problema 4. Bem, o problema 3 vai ajudar.
6. A progressão aritmética é dada pela condição: a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Encontre a soma dos primeiros 24 termos.
Incomum?) Esta é uma fórmula recorrente. Você pode ler sobre isso na lição anterior. Não ignore o link, esses quebra-cabeças são frequentemente encontrados no GIA.
7. Vasya economizou dinheiro para o feriado. Tanto quanto 4550 rublos! E decidi dar à pessoa mais amada (eu) alguns dias de felicidade). Viva lindamente sem negar nada a si mesmo. Gaste 500 rublos no primeiro dia e gaste 50 rublos a mais em cada dia subsequente do que no anterior! Até o dinheiro acabar. Quantos dias de felicidade Vasya teve?
É difícil?) Uma fórmula adicional da tarefa 2 ajudará.
Respostas (em desordem): 7, 3240, 6.
Se você gosta deste site...
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")
Uma progressão aritmética é uma série de números em que cada número é maior (ou menor) que o anterior na mesma quantidade.
Este tópico é muitas vezes difícil e incompreensível. Índices de letras, o enésimo termo da progressão, a diferença da progressão - tudo isso é um pouco confuso, sim ... Vamos descobrir o significado da progressão aritmética e tudo funcionará imediatamente.)
O conceito de progressão aritmética.
A progressão aritmética é um conceito muito simples e claro. Dúvida? Em vão.) Veja por si mesmo.
Vou escrever uma série inacabada de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Você pode estender esta linha? Quais serão os próximos números, depois dos cinco? Todo mundo... uh..., resumindo, todo mundo vai descobrir que os números 6, 7, 8, 9, etc. vão mais longe.
Vamos complicar a tarefa. Eu dou uma série inacabada de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Você pode pegar o padrão, estender a série e nomear sétimo número da linha?
Se você descobriu que esse número é 20 - parabenizo você! Você não só sentiu pontos-chave de uma progressão aritmética, mas também os usou com sucesso nos negócios! Se você não entendeu, continue lendo.
Agora vamos traduzir os pontos-chave das sensações para a matemática.)
Primeiro ponto chave.
A progressão aritmética lida com séries de números. Isso é confuso no início. Estamos acostumados a resolver equações, construir gráficos e tudo mais... E depois estender a série, encontrar o número da série...
Tudo bem. É só que as progressões são o primeiro contato com um novo ramo da matemática. A seção se chama "Série" e trabalha com séries de números e expressões. Acostume-se.)
Segundo ponto chave.
Em uma progressão aritmética, qualquer número difere do anterior pela mesma quantidade.
No primeiro exemplo, essa diferença é uma. Qualquer que seja o número escolhido, é um a mais que o anterior. No segundo - três. Qualquer número é três vezes maior que o anterior. Na verdade, é este momento que nos dá a oportunidade de pegar o padrão e calcular os números subsequentes.
Terceiro ponto chave.
Esse momento não é marcante, sim... Mas muito, muito importante. Ali está ele: cada número de progressão está em seu lugar. Há o primeiro número, há o sétimo, há o quadragésimo quinto, e assim por diante. Se você confundi-los ao acaso, o padrão desaparecerá. A progressão aritmética também desaparecerá. É apenas uma série de números.
Esse é o ponto.
É claro que novos termos e notações aparecem no novo tópico. Eles precisam saber. Caso contrário, você não entenderá a tarefa. Por exemplo, você tem que decidir algo como:
Escreva os primeiros seis termos da progressão aritmética (a n) se a 2 = 5, d = -2,5.
Inspira?) Cartas, alguns índices... E a tarefa, aliás, não poderia ser mais fácil. Você só precisa entender o significado dos termos e notação. Agora vamos dominar este assunto e retornar à tarefa.
Termos e designações.
Progressão aritméticaé uma série de números em que cada número é diferente do anterior pela mesma quantidade.
Esse valor é chamado . Vamos lidar com esse conceito com mais detalhes.
Diferença de progressão aritmética.
Diferença de progressão aritméticaé a quantidade pela qual qualquer número de progressão mais o anterior.
Um ponto importante. Por favor, preste atenção na palavra "mais". Matematicamente, isso significa que cada número de progressão é obtido adicionando a diferença de uma progressão aritmética para o número anterior.
Para calcular, digamos segundo números da linha, é necessário primeiro número adicionar esta mesma diferença de uma progressão aritmética. Para cálculo quinto- a diferença é necessária adicionar para quarto bem, etc
Diferença de progressão aritmética talvez positivo então cada número da série será real mais do que o anterior. Essa progressão é chamada aumentando. Por exemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aqui cada número é adicionando número positivo, +5 ao anterior.
A diferença pode ser negativo então cada número da série será menor que o anterior. Essa progressão é chamada (você não vai acreditar!) diminuindo.
Por exemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aqui cada número é obtido também adicionando ao número anterior, mas já negativo, -5.
A propósito, ao trabalhar com uma progressão, é muito útil determinar imediatamente sua natureza - se está aumentando ou diminuindo. Ajuda muito encontrar seu rumo na decisão, detectar seus erros e corrigi-los antes que seja tarde demais.
Diferença de progressão aritmética geralmente indicado pela letra d.
Como encontrar d? Muito simples. É necessário subtrair de qualquer número da série anterior número. Subtrair. By the way, o resultado da subtração é chamado de "diferença".)
Vamos definir, por exemplo, d para uma progressão aritmética crescente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Pegamos qualquer número da linha que queremos, por exemplo, 11. Subtrai dela o número anterior Essa. oito:
Essa é a resposta correta. Para esta progressão aritmética, a diferença é três.
Você pode simplesmente pegar qualquer número de progressões, Porque para uma progressão específica d-sempre o mesmo. Pelo menos em algum lugar no início da linha, pelo menos no meio, pelo menos em qualquer lugar. Você não pode pegar apenas o primeiro número. Só porque o primeiro número nenhum anterior.)
Aliás, sabendo disso d=3, encontrar o sétimo número desta progressão é muito simples. Adicionamos 3 ao quinto número - obtemos o sexto, será 17. Adicionamos três ao sexto número, obtemos o sétimo número - vinte.
Vamos definir d para uma progressão aritmética decrescente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Relembro que, independentemente dos sinais, para determinar d necessário de qualquer número tirar o anterior. Escolhemos qualquer número de progressão, por exemplo -7. Seu número anterior é -2. Então:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
A diferença de uma progressão aritmética pode ser qualquer número: inteiro, fracionário, irracional, qualquer.
Outros termos e designações.
Cada número da série é chamado membro de uma progressão aritmética.
Cada membro da progressão tem o seu número. Os números estão estritamente em ordem, sem nenhum truque. Primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Por exemplo, na progressão 2, 5, 8, 11, 14, ... dois é o primeiro membro, cinco é o segundo, onze é o quarto, bem, você entende ...) Por favor, entenda claramente - os próprios números pode ser absolutamente qualquer, inteiro, fracionário, negativo, o que for, mas numeração- estritamente em ordem!
Como escrever uma progressão na forma geral? Sem problemas! Cada número da série é escrito como uma letra. Para denotar uma progressão aritmética, como regra, a letra é usada uma. O número do membro é indicado pelo índice no canto inferior direito. Os membros são escritos separados por vírgulas (ou ponto e vírgula), assim:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
um 1é o primeiro número um 3- terceiro, etc Nada complicado. Você pode escrever esta série brevemente assim: (a).
Existem progressões finito e infinito.
final a progressão tem um número limitado de membros. Cinco, trinta e oito, tanto faz. Mas é um número finito.
Sem fim progressão - tem um número infinito de membros, como você pode imaginar.)
Você pode escrever uma progressão final através de uma série como esta, todos os membros e um ponto no final:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Ou assim, se houver muitos membros:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Em uma entrada curta, você terá que indicar adicionalmente o número de membros. Por exemplo (para vinte membros), assim:
(a n), n = 20
Uma progressão infinita pode ser reconhecida pelas reticências no final da linha, como nos exemplos desta lição.
Agora você já pode resolver tarefas. As tarefas são simples, puramente para entender o significado da progressão aritmética.
Exemplos de tarefas para progressão aritmética.
Vamos dar uma olhada na tarefa acima:
1. Escreva os primeiros seis membros da progressão aritmética (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.
Traduzimos a tarefa em linguagem compreensível. Dada uma progressão aritmética infinita. O segundo número desta progressão é conhecido: a 2 = 5. Diferença de progressão conhecida: d = -2,5. Precisamos encontrar o primeiro, terceiro, quarto, quinto e sexto membros desta progressão.
Para maior clareza, vou escrever uma série de acordo com a condição do problema. Os primeiros seis membros, onde o segundo membro é cinco:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
um 3 = um 2 + d
Substituímos na expressão a 2 = 5 e d=-2,5. Não se esqueça do menos!
um 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
O terceiro termo é menor que o segundo. Tudo é lógico. Se o número for maior que o anterior negativo valor, então o próprio número será menor que o anterior. A progressão está diminuindo. Ok, vamos levar isso em consideração.) Consideramos o quarto membro da nossa série:
um 4 = um 3 + d
um 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
um 5 = um 4 + d
um 5=0+(-2,5)= - 2,5
um 6 = um 5 + d
um 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Assim, os termos do terceiro ao sexto foram calculados. Isso resultou em uma série:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Resta encontrar o primeiro termo um 1 segundo o conhecido segundo. Este é um passo na outra direção, para a esquerda.) Daí, a diferença da progressão aritmética d não deve ser adicionado um 2, uma Leve embora:
um 1 = um 2 - d
um 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Isso é tudo o que há para isso. Resposta da tarefa:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
De passagem, observo que resolvemos essa tarefa recorrente maneira. Esta palavra terrível significa, apenas, a busca de um membro da progressão pelo número anterior (adjacente). Outras formas de trabalhar com progressão serão discutidas posteriormente.
Uma conclusão importante pode ser tirada dessa tarefa simples.
Lembrar:
Se conhecermos pelo menos um membro e a diferença de uma progressão aritmética, podemos encontrar qualquer membro dessa progressão.
Lembrar? Esta simples conclusão permite-nos resolver a maioria dos problemas do curso escolar sobre este tema. Todas as tarefas giram em torno de três parâmetros principais: membro de uma progressão aritmética, diferença de uma progressão, número de um membro de uma progressão. Tudo.
É claro que toda álgebra anterior não é cancelada.) Desigualdades, equações e outras coisas são anexadas à progressão. Mas de acordo com a progressão- tudo gira em torno de três parâmetros.
Por exemplo, considere algumas tarefas populares sobre este tópico.
2. Escreva a progressão aritmética final como uma série se n=5, d=0,4 e a 1=3,6.
Tudo é simples aqui. Tudo já está dado. Você precisa se lembrar de como os membros de uma progressão aritmética são calculados, contados e anotados. É aconselhável não pular as palavras na condição de tarefa: "final" e " n=5". Para não contar até ficar completamente azul de cara.) Existem apenas 5 (cinco) membros nesta progressão:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
um 4 = um 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
um 5 = um 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Resta anotar a resposta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Outra tarefa:
3. Determine se o número 7 será membro de uma progressão aritmética (a n) se a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hum... Quem sabe? Como definir algo?
Como-como... Sim, anote a progressão em forma de série e veja se haverá um sete ou não! Acreditamos:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
um 4 = um 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Agora vê-se claramente que somos apenas sete escorregou entre 6,5 e 7,7! O sete não entrou em nossa série de números e, portanto, o sete não será membro da progressão dada.
Resposta: não.
E aqui está uma tarefa baseada em uma versão real do GIA:
4. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; quinze; X; nove; 6; ...
Aqui está uma série sem fim e sem começo. Sem números de membros, sem diferença d. Tudo bem. Para resolver o problema, basta entender o significado de uma progressão aritmética. Vamos ver e ver o que podemos descobrir desta linha? Quais são os parâmetros dos três principais?
Números de membros? Não há um único número aqui.
Mas há três números e - atenção! - palavra "consecutivo" em condição. Isso significa que os números estão estritamente em ordem, sem lacunas. Há dois nesta fileira? vizinho números conhecidos? Sim, eu tenho! Estes são 9 e 6. Assim podemos calcular a diferença de uma progressão aritmética! Subtraímos dos seis anterior número, ou seja nove:
Restam espaços vazios. Qual será o número anterior para x? Quinze. Então x pode ser facilmente encontrado por simples adição. Para 15 adicione a diferença de uma progressão aritmética:
Isso é tudo. Responda: x=12
Nós mesmos resolvemos os seguintes problemas. Nota: estes quebra-cabeças não são para fórmulas. Puramente para entender o significado de uma progressão aritmética.) Nós apenas escrevemos uma série de números-letras, olhamos e pensamos.
5. Encontre o primeiro termo positivo da progressão aritmética se a 5 = -3; d = 1,1.
6. Sabe-se que o número 5,5 é membro da progressão aritmética (a n), onde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine o número n deste termo.
7. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Encontre um 3 .
8. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.
9. O trem começou a se mover da estação, aumentando gradativamente sua velocidade em 30 metros por minuto. Qual será a velocidade do trem em cinco minutos? Dê sua resposta em km/h.
10. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 5; a 6 = -5. Encontre um 1.
Respostas (em desordem): 7,7; 7,5; 9,5; nove; 0,3; 4.
Deu tudo certo? Incrível! Você pode aprender progressão aritmética em um nível superior nas lições a seguir.
Não deu tudo certo? Sem problemas. Na Seção Especial 555, todos esses problemas são divididos em pedaços.) E, claro, é descrita uma técnica prática simples que imediatamente destaca a solução de tais tarefas de forma clara, clara, como na palma da sua mão!
A propósito, no quebra-cabeça sobre o trem, existem dois problemas nos quais as pessoas costumam tropeçar. Um - puramente por progressão, e o segundo - comum a qualquer tarefa em matemática e física também. Esta é uma tradução de dimensões de uma para outra. Mostra como esses problemas devem ser resolvidos.
Nesta lição, examinamos o significado elementar de uma progressão aritmética e seus principais parâmetros. Isso é suficiente para resolver quase todos os problemas sobre este tópico. Adicionar d aos números, escreva uma série, tudo será decidido.
A solução finger funciona bem para peças muito curtas da série, como nos exemplos desta lição. Se a série for mais longa, os cálculos se tornam mais difíceis. Por exemplo, se estiver no problema 9 da pergunta, substitua "cinco minutos" no "trinta e cinco minutos" o problema se tornará muito pior.)
E também há tarefas que são simples em sua essência, mas totalmente absurdas em termos de cálculos, por exemplo:
Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
E o que, vamos adicionar 1/6 muitas, muitas vezes?! É possível se matar!?
Você pode.) Se você não conhece uma fórmula simples pela qual você pode resolver essas tarefas em um minuto. Esta fórmula estará na próxima lição. E esse problema está resolvido lá. Em um minuto.)
Se você gosta deste site...
A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)
Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
você pode se familiarizar com funções e derivadas.
Instrução
Uma progressão aritmética é uma sequência da forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Etapa número d progressões. Obviamente, o total de um enésimo termo arbitrário da aritmética progressões tem a forma: An = A1+(n-1)d. Então, conhecendo um dos membros progressões, membro progressões e passo progressões, pode ser , ou seja, o número do termo de progressão. Obviamente, será determinado pela fórmula n = (An-A1+d)/d.
Seja conhecido agora o m-ésimo termo progressões e algum outro membro progressões- n-th, mas n , como no caso anterior, mas sabe-se que n e m não coincidem.Passo progressões pode ser calculado pela fórmula: d = (An-Am)/(n-m). Então n = (An-Am+md)/d.
Se a soma de vários elementos de uma aritmética progressões, bem como seu primeiro e último , então o número desses elementos também pode ser determinado. progressões será igual a: S = ((A1+An)/2)n. Então n = 2S/(A1+An) são chdenov progressões. Usando o fato de que An = A1+(n-1)d, esta fórmula pode ser reescrita como: n = 2S/(2A1+(n-1)d). A partir disso, pode-se expressar n resolvendo uma equação quadrática.
Uma sequência aritmética é um conjunto ordenado de números, cada membro dos quais, exceto o primeiro, difere do anterior pela mesma quantidade. Essa constante é chamada de diferença da progressão ou seu passo e pode ser calculada a partir dos membros conhecidos da progressão aritmética.
Instrução
Se os valores do primeiro e do segundo ou qualquer outro par de termos vizinhos são conhecidos das condições do problema, para calcular a diferença (d), basta subtrair o termo anterior do próximo termo. O valor resultante pode ser positivo ou negativo - depende se a progressão está aumentando. Na forma geral, escreva a solução para um par arbitrário (aᵢ e aᵢ₊₁) de membros vizinhos da progressão da seguinte forma: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Para um par de membros de tal progressão, um dos quais é o primeiro (a₁), e o outro é qualquer outro escolhido arbitrariamente, pode-se também fazer uma fórmula para encontrar a diferença (d). No entanto, neste caso, o número de série (i) de um membro escolhido arbitrário da sequência deve ser conhecido. Para calcular a diferença, some os dois números e divida o resultado pelo número ordinal de um termo arbitrário reduzido por um. Em geral, escreva esta fórmula da seguinte forma: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Se, além de um membro arbitrário da progressão aritmética com número ordinal i, outro membro com número ordinal u for conhecido, altere a fórmula do passo anterior de acordo. Nesse caso, a diferença (d) da progressão será a soma desses dois termos dividida pela diferença em seus números ordinais: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
A fórmula para calcular a diferença (d) torna-se um pouco mais complicada se, nas condições do problema, o valor de seu primeiro membro (a₁) e a soma (Sᵢ) de um dado número (i) dos primeiros membros da sequência aritmética são dadas. Para obter o valor desejado, divida a soma pelo número de termos que a compuseram, subtraia o valor do primeiro número da sequência e dobre o resultado. Divida o valor resultante pelo número de termos que compuseram a soma reduzida por um. Em geral, escreva a fórmula para calcular o discriminante da seguinte forma: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
