Com este serviço, você pode encontrar o maior e o menor valor de uma função uma variável f(x) com o desenho da solução em Word. Se a função f(x,y) for dada, portanto, é necessário encontrar o extremo da função de duas variáveis ​​. Você também pode encontrar os intervalos de aumento e diminuição da função.

Encontre o maior e o menor valor de uma função

y=

no segmento [ ;]

Incluir Teoria

Regras de entrada de função:

Uma condição necessária para um extremo de uma função de uma variável

A equação f "0 (x *) \u003d 0 é uma condição necessária para o extremo de uma função de uma variável, ou seja, no ponto x * a primeira derivada da função deve desaparecer. Ela seleciona pontos estacionários x c nos quais a função não aumenta e não diminui.

Uma condição suficiente para um extremo de uma função de uma variável

Seja f 0 (x) duas vezes diferenciável em relação a x pertencente ao conjunto D . Se no ponto x * a condição for atendida:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Então o ponto x * é o ponto do mínimo local (global) da função.

Se no ponto x * a condição for atendida:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Esse ponto x * é um máximo local (global).

Exemplo 1. Encontre os maiores e menores valores da função: no segmento .
Decisão.

O ponto crítico é um x 1 = 2 (f'(x)=0). Este ponto pertence ao segmento . (O ponto x=0 não é crítico, pois 0∉).
Calculamos os valores da função nas extremidades do segmento e no ponto crítico.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Resposta: f min = 5 / 2 para x=2; f max = 9 em x = 1

Exemplo #2. Usando derivadas de ordem superior, encontre o extremo da função y=x-2sin(x) .
Decisão.
Encontre a derivada da função: y’=1-2cos(x) . Vamos encontrar os pontos críticos: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Encontramos y''=2sin(x), calculamos , então x= π / 3 +2πk, k∈Z são os pontos mínimos da função; , então x=- π / 3 +2πk, k∈Z são os pontos de máximo da função.

Exemplo #3. Investigue a função extrema na vizinhança do ponto x=0.
Decisão. Aqui é necessário encontrar os extremos da função. Se o extremo x=0 , descubra seu tipo (mínimo ou máximo). Se entre os pontos encontrados não houver x = 0, calcule o valor da função f(x=0).
Deve-se notar que quando a derivada de cada lado de um dado ponto não muda de sinal, as situações possíveis não se esgotam mesmo para funções diferenciáveis: pode acontecer que para uma vizinhança arbitrariamente pequena de um lado do ponto x 0 ou em ambos os lados, a derivada muda de sinal. Nesses pontos, é preciso aplicar outros métodos para estudar funções ao extremo.

Do ponto de vista prático, o mais interessante é o uso da derivada para encontrar o maior e o menor valor de uma função. Com o que está conectado? Maximizar lucros, minimizar custos, determinar a carga ótima dos equipamentos... Ou seja, em muitas áreas da vida, é preciso resolver o problema de otimizar alguns parâmetros. E este é o problema de encontrar os maiores e menores valores da função.

Deve-se notar que o maior e o menor valor de uma função geralmente é procurado em algum intervalo X , que é todo o domínio da função ou parte do domínio. O próprio intervalo X pode ser um segmento de linha, um intervalo aberto , um intervalo infinito.

Neste artigo, falaremos sobre encontrar os maiores e menores valores de uma função explicitamente dada de uma variável y=f(x) .

Navegação da página.

O maior e o menor valor de uma função - definições, ilustrações.

Detenhamo-nos brevemente nas principais definições.

O maior valor da função , que para qualquer a desigualdade é verdadeira.

O menor valor da função y=f(x) no intervalo X é chamado de tal valor , que para qualquer a desigualdade é verdadeira.

Essas definições são intuitivas: o maior (menor) valor de uma função é o maior (menor) valor aceito no intervalo considerado com a abcissa.

Pontos estacionários são os valores do argumento em que a derivada da função desaparece.

Por que precisamos de pontos estacionários ao encontrar os maiores e menores valores? A resposta a esta questão é dada pelo teorema de Fermat. Segue-se deste teorema que se uma função diferenciável tem um extremo (mínimo local ou máximo local) em algum ponto, então este ponto é estacionário. Assim, a função geralmente assume seu valor máximo (menor) no intervalo X em um dos pontos estacionários desse intervalo.

Além disso, uma função geralmente pode assumir os maiores e menores valores em pontos onde a primeira derivada dessa função não existe e a própria função é definida.

Vamos responder imediatamente a uma das perguntas mais comuns sobre este tema: "É sempre possível determinar o maior (menor) valor de uma função"? Não nem sempre. Às vezes, os limites do intervalo X coincidem com os limites do domínio da função, ou o intervalo X é infinito. E algumas funções no infinito e nos limites do domínio de definição podem assumir valores infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Nesses casos, nada pode ser dito sobre o maior e o menor valor da função.

Para maior clareza, damos uma ilustração gráfica. Olhe para as fotos - e muito ficará claro.

No segmento

Na primeira figura, a função recebe o maior (max y ) e o menor (min y ) em pontos estacionários dentro do segmento [-6;6] .

Considere o caso mostrado na segunda figura. Altere o segmento para . Neste exemplo, o menor valor da função é obtido em um ponto estacionário e o maior - em um ponto com uma abcissa correspondente ao limite direito do intervalo.

Na figura nº 3, os pontos de fronteira do segmento [-3; 2] são as abcissas dos pontos correspondentes ao maior e ao menor valor da função.

Na faixa aberta

Na quarta figura, a função assume os valores maior (max y ) e menor (min y ) em pontos estacionários dentro do intervalo aberto (-6;6) .

No intervalo , nenhuma conclusão pode ser tirada sobre o maior valor.

No infinito

No exemplo mostrado na sétima figura, a função toma o maior valor (max y ) em um ponto estacionário com a abcissa x=1 , e o menor valor (min y ) é alcançado no limite direito do intervalo. No infinito menos, os valores da função se aproximam assintoticamente de y=3 .

No intervalo, a função não atinge nem o menor nem o maior valor. Como x=2 tende para a direita, os valores da função tendem a menos infinito (a linha reta x=2 é uma assíntota vertical), e como a abcissa tende a mais infinito, os valores da função se aproximam assintoticamente de y=3 . Uma ilustração gráfica deste exemplo é mostrada na Figura 8.

Algoritmo para encontrar os maiores e menores valores de uma função contínua no segmento.

Escrevemos um algoritmo que nos permite encontrar o maior e o menor valor de uma função em um segmento.

1. Encontramos o domínio da função e verificamos se ele contém o segmento inteiro.
2. Encontramos todos os pontos nos quais a primeira derivada não existe e que estão contidos no segmento (geralmente esses pontos ocorrem em funções com um argumento sob o sinal do módulo e em funções de potência com um expoente fracionário-racional). Se não houver tais pontos, vá para o próximo ponto.
3. Determinamos todos os pontos estacionários que se enquadram no segmento. Para fazer isso, igualamos a zero, resolvemos a equação resultante e escolhemos as raízes apropriadas. Se não houver pontos estacionários ou nenhum deles cair no segmento, vá para a próxima etapa.
4. Calculamos os valores da função nos pontos estacionários selecionados (se houver), em pontos onde a primeira derivada não existe (se houver), e também em x=a e x=b .
5. A partir dos valores obtidos da função, selecionamos o maior e o menor - serão os valores máximo e menor desejados da função, respectivamente.

Vamos analisar o algoritmo ao resolver um exemplo para encontrar os maiores e menores valores de uma função em um segmento.

Exemplo.

Encontre o maior e o menor valor de uma função

• no segmento;
• no intervalo [-4;-1] .

Decisão.

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, exceto o zero, ou seja, . Ambos os segmentos se enquadram no domínio da definição.

Encontramos a derivada da função em relação a:

Obviamente, a derivada da função existe em todos os pontos dos segmentos e [-4;-1] .

Pontos estacionários são determinados a partir da equação. A única raiz real é x=2. Este ponto estacionário cai no primeiro segmento.

Para o primeiro caso, calculamos os valores da função nas extremidades do segmento e em um ponto estacionário, ou seja, para x=1 , x=2 e x=4 :

Portanto, o maior valor da função é alcançado em x=1, e o menor valor – em x=2.

Para o segundo caso, calculamos os valores da função apenas nas extremidades do segmento [-4;-1] (já que não contém nenhum ponto estacionário):

Na prática, é bastante comum usar a derivada para calcular o maior e o menor valor de uma função. Realizamos essa ação quando descobrimos como minimizar custos, aumentar lucros, calcular a carga ideal na produção etc., ou seja, nos casos em que é necessário determinar o valor ideal de um parâmetro. Para resolver esses problemas corretamente, é preciso ter um bom entendimento do que são o maior e o menor valor de uma função.

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Normalmente definimos esses valores dentro de algum intervalo x , que por sua vez pode corresponder a todo o escopo da função ou parte dela. Pode ser um segmento [ a ; b ] , e intervalo aberto (a ; b ), (a ; b ] , [ a ; b) , intervalo infinito (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b ) ou intervalo infinito - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Neste artigo, descreveremos como o maior e o menor valor de uma função explicitamente dada com uma variável y=f(x) y = f (x) é calculado.

Definições básicas

Começamos, como sempre, pela formulação das principais definições.

Definição 1

O maior valor da função y = f (x) em algum intervalo x é o valor m a x y = f (x 0) x ∈ X , que, para qualquer valor x x ∈ X , x ≠ x 0, faz a desigualdade f (x ) ≤ f (x 0) .

Definição 2

O menor valor da função y = f (x) em algum intervalo x é o valor m i n x ∈ X y = f (x 0) , que, para qualquer valor x ∈ X , x ≠ x 0, faz a desigualdade f(X f(x) ≥ f(x0) .

Essas definições são bastante óbvias. Pode ser ainda mais simples dizer isso: o maior valor de uma função é seu maior valor em um intervalo conhecido na abscissa x 0, e o menor é o menor valor aceito no mesmo intervalo em x 0.

Definição 3

Pontos estacionários são tais valores do argumento da função em que sua derivada se torna 0.

Por que precisamos saber o que são pontos estacionários? Para responder a esta pergunta, precisamos lembrar o teorema de Fermat. Segue-se que um ponto estacionário é um ponto no qual o extremo de uma função diferenciável está localizado (ou seja, seu mínimo ou máximo local). Consequentemente, a função assumirá o menor ou o maior valor em um determinado intervalo exatamente em um dos pontos estacionários.

Outra função pode assumir o maior ou menor valor naqueles pontos em que a própria função é definida e sua primeira derivada não existe.

A primeira pergunta que surge ao estudar este tópico é: em todos os casos, podemos determinar o valor máximo ou mínimo de uma função em um determinado intervalo? Não, não podemos fazer isso quando os limites do intervalo dado coincidem com os limites do domínio de definição, ou se estamos lidando com um intervalo infinito. Acontece também que uma função em um determinado intervalo ou no infinito assumirá valores infinitamente pequenos ou infinitamente grandes. Nestes casos, não é possível determinar o maior e/ou menor valor.

Esses momentos ficarão mais compreensíveis após a imagem nos gráficos:

A primeira figura nos mostra uma função que assume os maiores e menores valores (m a x y e m i n y) em pontos estacionários localizados no intervalo [ - 6 ; 6].

Vamos examinar em detalhes o caso indicado no segundo gráfico. Vamos alterar o valor do segmento para [ 1 ; 6] e obtemos que o maior valor da função será alcançado no ponto com a abcissa no limite direito do intervalo e o menor - no ponto estacionário.

Na terceira figura, as abcissas dos pontos representam os pontos limites do segmento [ - 3 ; 2]. Eles correspondem ao maior e menor valor da função dada.

Agora vamos olhar para a quarta foto. Nela, a função toma m a x y (o maior valor) e m i n y (o menor valor) em pontos estacionários no intervalo aberto (- 6 ; 6) .

Se tomarmos o intervalo [ 1 ; 6) , então podemos dizer que o menor valor da função sobre ela será alcançado em um ponto estacionário. Não saberemos o valor máximo. A função poderia ter o maior valor em x igual a 6 se x = 6 pertencesse ao intervalo. É este caso que é mostrado na Figura 5.

No gráfico 6, esta função adquire o menor valor na borda direita do intervalo (- 3 ; 2 ] , e não podemos tirar conclusões definitivas sobre o maior valor.

Na figura 7, vemos que a função terá m a x y no ponto estacionário, tendo uma abcissa igual a 1 . A função atinge seu valor mínimo no limite do intervalo no lado direito. No infinito menos, os valores da função se aproximarão assintoticamente de y = 3 .

Se tomarmos um intervalo x ∈ 2 ; + ∞ , então veremos que a função dada não assumirá nem o menor nem o maior valor. Se x tende a 2, então os valores da função tenderão a menos infinito, pois a linha reta x = 2 é uma assíntota vertical. Se a abcissa tende a mais infinito, então os valores da função se aproximarão assintoticamente de y = 3. Este é o caso mostrado na Figura 8.

Neste parágrafo, daremos uma sequência de ações que devem ser executadas para encontrar o maior ou o menor valor de uma função em um determinado intervalo.

1. Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. Vamos verificar se o segmento especificado na condição está incluído nela.
2. Agora vamos calcular os pontos contidos neste segmento em que a primeira derivada não existe. Na maioria das vezes, eles podem ser encontrados em funções cujo argumento é escrito sob o sinal de módulo, ou em funções de potência, cujo expoente é um número fracionalmente racional.
3. Em seguida, descobrimos quais pontos estacionários caem em um determinado segmento. Para fazer isso, você precisa calcular a derivada da função, igualá-la a 0 e resolver a equação resultante e, em seguida, escolher as raízes apropriadas. Se não obtivermos um único ponto estacionário ou eles não se enquadrarem em um determinado segmento, prosseguimos para a próxima etapa.
4. Vamos determinar quais valores a função assumirá nos pontos estacionários fornecidos (se houver), ou naqueles pontos onde a primeira derivada não existe (se houver), ou calculamos os valores para x = a e x = b.
5. 5. Temos uma série de valores de função, dos quais agora precisamos escolher o maior e o menor. Este será o maior e o menor valor da função que precisamos encontrar.

Vamos ver como aplicar este algoritmo corretamente ao resolver problemas.

Exemplo 1

Doença: a função y = x 3 + 4 x 2 é dada. Determine seu maior e menor valor nos segmentos [ 1 ; 4] e [-4; - 1 ] .

Decisão:

Vamos começar encontrando o domínio desta função. Nesse caso, será o conjunto de todos os números reais, exceto 0 . Em outras palavras, D(y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Ambos os segmentos especificados na condição estarão dentro da área de definição.

Agora calculamos a derivada da função de acordo com a regra de diferenciação de uma fração:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Aprendemos que a derivada da função existirá em todos os pontos dos segmentos [ 1 ; 4] e [-4; - 1 ] .

Agora precisamos determinar os pontos estacionários da função. Vamos fazer isso com a equação x 3 - 8 x 3 = 0. Ele tem apenas uma raiz real, que é 2. Será um ponto estacionário da função e cairá no primeiro segmento [ 1 ; 4].

Vamos calcular os valores da função nas extremidades do primeiro segmento e no ponto dado, ou seja, para x = 1 , x = 2 e x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Obtivemos que o maior valor da função m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 será alcançado em x = 1 , e o menor m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – em x = 2 .

O segundo segmento não inclui nenhum ponto estacionário, portanto, precisamos calcular os valores da função apenas nas extremidades do segmento fornecido:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Assim, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Responda: Para o segmento [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , para o segmento [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Ver foto:

Antes de aprender este método, recomendamos que você revise como calcular corretamente o limite unilateral e o limite no infinito, bem como aprenda os métodos básicos para encontrá-los. Para encontrar o maior e/ou menor valor de uma função em um intervalo aberto ou infinito, realizamos os seguintes passos em sequência.

1. Primeiro você precisa verificar se o intervalo dado será um subconjunto do domínio da função dada.
2. Vamos determinar todos os pontos que estão contidos no intervalo requerido e nos quais a primeira derivada não existe. Geralmente eles ocorrem em funções onde o argumento está incluído no sinal do módulo e em funções de potência com um expoente fracionalmente racional. Se esses pontos estiverem ausentes, você poderá prosseguir para a próxima etapa.
3. Agora determinamos quais pontos estacionários caem em um determinado intervalo. Primeiro, igualamos a derivada a 0, resolvemos a equação e encontramos raízes adequadas. Se não tivermos um único ponto estacionário ou eles não se enquadrarem em um determinado intervalo, procederemos imediatamente a outras ações. Eles são determinados pelo tipo de intervalo.

• Se o intervalo se parece com [ a ; b) , então precisamos calcular o valor da função no ponto x = a e o limite unilateral lim x → b - 0 f (x) .
• Se o intervalo tem a forma (a ; b ] , então precisamos calcular o valor da função no ponto x = b e o limite unilateral lim x → a + 0 f (x) .
• Se o intervalo tem a forma (a ; b) , então precisamos calcular os limites laterais lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Se o intervalo se parece com [ a ; + ∞) , então é necessário calcular o valor no ponto x = a e o limite para mais infinito lim x → + ∞ f (x) .
• Se o intervalo se parece com (- ∞ ; b ] , calculamos o valor no ponto x = b e o limite em menos infinito lim x → - ∞ f (x) .
• Se - ∞ ; b , então consideramos o limite unilateral lim x → b - 0 f (x) e o limite no infinito menos lim x → - ∞ f (x)
• Se - ∞ ; + ∞ , então consideramos os limites para menos e mais infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Ao final, você precisa tirar uma conclusão com base nos valores obtidos​​da função e nos limites. Há muitas opções aqui. Portanto, se o limite unilateral é igual a menos infinito ou mais infinito, fica imediatamente claro que nada pode ser dito sobre o menor e o maior valor da função. Abaixo vamos considerar um exemplo típico. Descrições detalhadas ajudarão você a entender o que é o quê. Se necessário, você pode retornar às figuras 4 - 8 na primeira parte do material.

Exemplo 2

Condição: dada uma função y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcule seu maior e menor valor nos intervalos - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Decisão

Em primeiro lugar, encontramos o domínio da função. O denominador da fração é um trinômio quadrado, que não deve ir para 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Obtivemos o escopo da função, à qual pertencem todos os intervalos especificados na condição.

Agora vamos derivar a função e obter:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Consequentemente, as derivadas de uma função existem em todo o domínio de sua definição.

Vamos passar para encontrar pontos estacionários. A derivada da função torna-se 0 em x = - 1 2 . Este é um ponto estacionário que está nos intervalos (- 3 ; 1 ] e (- 3 ; 2) .

Vamos calcular o valor da função em x = - 4 para o intervalo (- ∞ ; - 4 ] , bem como o limite em menos infinito:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Como 3 e 1 6 - 4 > - 1 , então m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Isso não nos permite determinar exclusivamente o menor valor da função. Podemos apenas concluir que existe um limite abaixo de - 1 , pois é desse valor que a função se aproxima assintoticamente em menos infinito.

Uma característica do segundo intervalo é que ele não possui um único ponto estacionário e nem um único limite estrito. Portanto, não podemos calcular o maior ou o menor valor da função. Ao definir o limite em menos infinito e como o argumento tende a -3 no lado esquerdo, obtemos apenas o intervalo de valores:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Isso significa que os valores da função estarão localizados no intervalo - 1; +∞

Para encontrar o valor máximo da função no terceiro intervalo, determinamos seu valor no ponto estacionário x = - 1 2 se x = 1 . Também precisamos saber o limite unilateral para o caso em que o argumento tende a - 3 no lado direito:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 anos (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Descobriu-se que a função terá o maior valor em um ponto estacionário m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quanto ao menor valor, não podemos determiná-lo. saber , é a presença de um limite inferior a - 4 .

Para o intervalo (- 3 ; 2), vamos pegar os resultados do cálculo anterior e mais uma vez calcular a que o limite unilateral é igual quando tende a 2 do lado esquerdo:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Portanto, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , e o menor valor não pode ser determinado, e os valores da função são limitados a partir de baixo pelo número - 4 .

Com base no que fizemos nos dois cálculos anteriores, podemos afirmar que no intervalo [ 1 ; 2) a função terá o maior valor em x = 1, e é impossível encontrar o menor.

No intervalo (2 ; + ∞), a função não atingirá nem o maior nem o menor valor, ou seja. levará valores do intervalo - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tendo calculado qual será o valor da função em x = 4 , descobrimos que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , e a função dada em mais infinito se aproximará assintoticamente da reta y = - 1 .

Vamos comparar o que obtivemos em cada cálculo com o gráfico da função dada. Na figura, as assíntotas são mostradas por linhas pontilhadas.

Isso é tudo o que queríamos falar sobre encontrar o maior e o menor valor de uma função. Essas sequências de ações que fornecemos ajudarão você a fazer os cálculos necessários da maneira mais rápida e simples possível. Mas lembre-se de que muitas vezes é útil descobrir primeiro em quais intervalos a função diminuirá e em quais aumentará, após o que outras conclusões podem ser tiradas. Assim, você pode determinar com mais precisão o maior e o menor valor da função e justificar os resultados.

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Muitas vezes, em física e matemática, é necessário encontrar o menor valor de uma função. Como fazer isso, agora vamos dizer.

Como encontrar o menor valor de uma função: instrução

1. Para calcular o menor valor de uma função contínua em um determinado intervalo, você precisa seguir este algoritmo:
2. Encontre a derivada de uma função.
3. Encontre em um determinado segmento os pontos em que a derivada é igual a zero, bem como todos os pontos críticos. Então descubra os valores da função nesses pontos, ou seja, resolva a equação onde x é igual a zero. Descubra qual dos valores é o menor.
4. Descubra qual valor a função tem nas extremidades. Determine o menor valor da função nesses pontos.
5. Compare os dados recebidos com o menor valor. O menor dos números recebidos será o menor valor da função.

Observe que, caso uma função em um segmento não tenha os menores pontos, isso significa que ela aumenta ou diminui nesse segmento. Portanto, o menor valor deve ser calculado nos segmentos finitos da função.

Em todos os outros casos, o valor da função é calculado de acordo com um determinado algoritmo. Em cada etapa do algoritmo, você precisará resolver uma equação linear simples com uma raiz. Resolva a equação usando o desenho para evitar erros.

Como encontrar o menor valor de uma função em um segmento semiaberto? Em um período semi-aberto ou aberto da função, o menor valor deve ser encontrado da seguinte maneira. Nas extremidades do valor da função, calcule o limite unilateral da função. Em outras palavras, resolva uma equação na qual os pontos de tendência são dados pelos valores a+0 e b+0, onde aeb são os nomes dos pontos críticos.

Agora você sabe como encontrar o menor valor de uma função. O principal é fazer todos os cálculos corretamente, com precisão e sem erros.

Deixe a função y=f(X) contínua no segmento [ a, b]. Como se sabe, tal função atinge seus valores máximo e mínimo nesse intervalo. A função pode tomar esses valores tanto em um ponto interior do segmento [ a, b], ou no limite do segmento.

Para encontrar os maiores e menores valores de uma função no segmento [ a, b] necessário:

1) encontre os pontos críticos da função no intervalo ( a, b);

2) calcule os valores da função nos pontos críticos encontrados;

3) calcule os valores da função nas extremidades do segmento, ou seja, para x=uma e x = b;

4) de todos os valores calculados da função, escolha o maior e o menor.

Exemplo. Encontre os maiores e menores valores de uma função

no segmento.

Encontrando pontos críticos:

Esses pontos estão dentro do segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

no ponto x= 3 e no ponto x= 0.

Investigação de uma função para a convexidade e um ponto de inflexão.

Função y = f (x) chamado convexo entre (uma, b) , se seu gráfico está sob uma tangente traçada em qualquer ponto desse intervalo, e é chamado convexo para baixo (côncavo) se seu gráfico estiver acima da tangente.

O ponto na transição através do qual a convexidade é substituída pela concavidade ou vice-versa é chamado ponto de inflexão.

Algoritmo para estudar a convexidade e o ponto de inflexão:

1. Encontre os pontos críticos de segunda espécie, ou seja, os pontos em que a segunda derivada é igual a zero ou não existe.

2. Coloque os pontos críticos na reta numérica, dividindo-a em intervalos. Encontre o sinal da segunda derivada em cada intervalo; se , então a função é convexa para cima, se, então a função é convexa para baixo.

3. Se, ao passar por um ponto crítico de segunda espécie, muda de sinal e neste ponto a segunda derivada é igual a zero, então este ponto é a abcissa do ponto de inflexão. Encontre sua ordenada.

Assíntotas do gráfico de uma função. Investigação de uma função em assíntotas.

Definição. A assíntota do gráfico de uma função é chamada Em linha reta, que tem a propriedade de que a distância de qualquer ponto do gráfico a esta linha tende a zero com uma remoção ilimitada do ponto do gráfico da origem.

Existem três tipos de assíntotas: vertical, horizontal e inclinada.

Definição. Chamado direto assíntota vertical gráfico de função y = f(x), se pelo menos um dos limites laterais da função neste ponto é igual ao infinito, que é

onde é o ponto de descontinuidade da função, ou seja, não pertence ao domínio de definição.

Exemplo.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - ponto de ruptura.

Definição. Em linha reta y=UMA chamado assíntota horizontal gráfico de função y = f(x) em , se

Exemplo.

x
y

Definição. Em linha reta y=kx +b (k≠ 0) é chamado assíntota oblíqua gráfico de função y = f(x) onde

Esquema geral para o estudo de funções e plotagem.

Algoritmo de pesquisa de funçãoy = f(x) :

1. Encontre o domínio da função D (y).

2. Encontre (se possível) os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados (com x= 0 e em y = 0).

3. Investigue para funções pares e ímpares ( y (‒ x) = y (x) ‒ paridade; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ ímpar).

4. Encontre as assíntotas do gráfico da função.

5. Encontre intervalos de monotonicidade da função.

6. Encontre os extremos da função.

7. Encontre os intervalos de convexidade (concavidade) e pontos de inflexão do gráfico da função.

8. Com base na pesquisa realizada, construa um gráfico da função.

Exemplo. Investigue a função e trace seu gráfico.

1) D (y) =

x= 4 - ponto de ruptura.

2) Quando x = 0,

(0; – 5) – ponto de interseção com oi.

No y = 0,

3) y(‒ x)= função geral (nem par nem ímpar).

4) Investigamos assíntotas.

a) verticais

b) horizontais

c) encontre assíntotas oblíquas onde

‒equação assíntota oblíqua

5) Nesta equação, não é necessário encontrar intervalos de monotonicidade da função.

6)

Esses pontos críticos dividem todo o domínio da função no intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) e (10; +∞). É conveniente apresentar os resultados obtidos na forma da tabela a seguir.