Conteúdo da lição

Somando frações com os mesmos denominadores

A adição de frações é de dois tipos:

1. Somando frações com os mesmos denominadores
2. Adicionando frações com denominadores diferentes

Vamos começar adicionando frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos adicionar as frações e . Adicionamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza a pizza, você obtém pizza:

Exemplo 2 Adicione frações e .

A resposta é uma fração imprópria. Se o fim da tarefa chegar, é costume se livrar das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela. No nosso caso, a parte inteira é alocada facilmente - dois dividido por dois é igual a um:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, obterá uma pizza inteira:

Exemplo 3. Adicione frações e .

Novamente, adicione os numeradores e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, você obterá pizzas:

Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador mantido inalterado:

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, receberá 1 pizza inteira e mais pizzas.

Como você pode ver, adicionar frações com os mesmos denominadores não é difícil. Basta entender as seguintes regras:

1. Para somar frações com o mesmo denominador, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;

Adicionando frações com denominadores diferentes

Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores dessas frações devem ser os mesmos. Mas nem sempre são iguais.

Por exemplo, frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.

Mas frações não podem ser somadas de uma só vez, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje consideraremos apenas um deles, pois o restante dos métodos pode parecer complicado para um iniciante.

A essência deste método está no fato de que o primeiro (LCM) dos denominadores de ambas as frações é procurado. Então o LCM é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o LCM é dividido pelo denominador da segunda fração e o segundo fator adicional é obtido.

Em seguida, os numeradores e denominadores das frações são multiplicados por seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações.

Exemplo 1. Adicione frações e

Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6

LCM (2 e 3) = 6

Agora de volta às frações e . Primeiro, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração e obtemos o primeiro fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, temos 2.

O número 2 resultante é o primeiro fator adicional. Escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, temos 3.

O número 3 resultante é o segundo fator adicional. Escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da segunda fração e escrevemos o fator adicional encontrado acima dela:

Agora estamos todos prontos para adicionar. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais:

Olhe atentamente para o que chegamos. Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Assim termina o exemplo. Para adicioná-lo acontece.

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de uma pizza:

A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo as frações e para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).

O primeiro desenho mostra uma fração (quatro peças de seis) e a segunda foto mostra uma fração (três peças de seis). Juntando essas peças, obtemos (sete peças de seis). Esta fração está incorreta, então destacamos a parte inteira nela. O resultado foi (uma pizza inteira e outra sexta pizza).

Observe que pintamos este exemplo com muitos detalhes. Nas instituições de ensino não é costume escrever de forma tão detalhada. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais a eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Enquanto na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:

Mas há também o outro lado da moeda. Se notas detalhadas não forem feitas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então perguntas do tipo “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.

Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:

1. Encontre o MMC dos denominadores das frações;
2. Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração;
3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais;
4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione sua parte inteira;

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão .

Vamos usar as instruções acima.

Etapa 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações

Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4

Etapa 2. Divida o LCM pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração

Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Divida 12 por 2, obtemos 6. Obtemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a terceira fração:

Etapa 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais

Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos nossos fatores adicionais:

Etapa 4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta adicionar essas frações. Adicionar:

A adição não coube em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é transferida para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início de uma nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.

Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira nela

Nossa resposta é uma fração imprópria. Devemos destacar toda a parte dela. Destacamos:

Obteve uma resposta

Subtração de frações com os mesmos denominadores

Existem dois tipos de subtração de fração:

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores
2. Subtração de frações com denominadores diferentes

Primeiro, vamos aprender a subtrair frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador o mesmo.

Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão . Para resolver este exemplo, é necessário subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 2 Encontre o valor da expressão.

Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador inalterado:

Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Do numerador da primeira fração, você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:

Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:

1. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
2. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira nela.

Subtração de frações com denominadores diferentes

Por exemplo, uma fração pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm os mesmos denominadores. Mas uma fração não pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).

O denominador comum é encontrado de acordo com o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Então o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido, que é escrito sobre a primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido, que é escrito sobre a segunda fração.

As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações.

Exemplo 1 Encontre o valor de uma expressão:

Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12

LCM (3 e 4) = 12

Agora de volta às frações e

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escrevemos o quatro sobre a primeira fração:

Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, temos 3. Escreva um triplo sobre a segunda fração:

Agora estamos todos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos completar este exemplo até o final:

Obteve uma resposta

Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas.

Esta é a versão detalhada da solução. Estando na escola, teríamos que resolver este exemplo de uma forma mais curta. Tal solução ficaria assim:

A redução de frações e a um denominador comum também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo essas frações para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas nas mesmas frações (reduzidas ao mesmo denominador):

O primeiro desenho mostra uma fração (oito peças de doze), e a segunda foto mostra uma fração (três peças de doze). Ao cortar três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão

Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).

Encontre o MMC dos denominadores dessas frações.

Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração.

Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Divida 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a primeira fração:

Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos sobre a segunda fração:

Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Divida 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a terceira fração:

Agora tudo está pronto para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:

Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos terminar este exemplo.

A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:

A resposta acabou sendo uma fração correta, e tudo parece nos convém, mas é muito complicado e feio. Devemos facilitar. O que pode ser feito? Você pode reduzir essa fração.

Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (mdc) os números 20 e 30.

Então, encontramos o MDC dos números 20 e 30:

Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e denominador da fração pelo MDC encontrado, ou seja, por 10

Obteve uma resposta

Multiplicando uma fração por um número

Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador o mesmo.

Exemplo 1. Multiplique a fração pelo número 1.

Multiplique o numerador da fração pelo número 1

A entrada pode ser entendida como demorando metade 1 vez. Por exemplo, se você pegar pizza 1 vez, você ganha pizza

Pelas leis da multiplicação, sabemos que se o multiplicando e o multiplicador forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como , o produto ainda será igual a . Novamente, a regra para multiplicar um inteiro e uma fração funciona:

Esta entrada pode ser entendida como tendo metade da unidade. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e levarmos metade, teremos pizza:

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da fração por 4

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

A expressão pode ser entendida como tendo dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você comer pizzas 4 vezes, você ganha duas pizzas inteiras.

E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador em lugares, obtemos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela.

Exemplo 1 Encontre o valor da expressão.

Obteve uma resposta. É desejável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:

A expressão pode ser entendida como tirar uma pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:

Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir essa metade em três partes iguais:

E pegue dois desses três pedaços:

Nós vamos pegar pizza. Lembre-se de como é uma pizza dividida em três partes:

Uma fatia desta pizza e as duas fatias que tiramos terão as mesmas dimensões:

Em outras palavras, estamos falando do mesmo tamanho de pizza. Portanto, o valor da expressão é

Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão

Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:

A resposta acabou sendo uma fração correta, mas será boa se for reduzida. Para reduzir essa fração, você precisa dividir o numerador e o denominador dessa fração pelo máximo divisor comum (MDC) dos números 105 e 450.

Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:

Agora dividimos o numerador e o denominador de nossa resposta ao MDC que encontramos agora, ou seja, por 15

Representando um inteiro como uma fração

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como . A partir disso, o cinco não mudará seu significado, pois a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isso, como você sabe, é igual a cinco:

Números reversos

Agora vamos nos familiarizar com um tópico muito interessante em matemática. Chama-se "números reversos".

Definição. Reverter para númerouma é o número que, multiplicado poruma dá uma unidade.

Vamos substituir nesta definição em vez de uma variável uma número 5 e tente ler a definição:

Reverter para número 5 é o número que, multiplicado por 5 dá uma unidade.

É possível encontrar um número que, quando multiplicado por 5, dê um? Acontece que você pode. Vamos representar cinco como uma fração:

Em seguida, multiplique essa fração por ela mesma, apenas troque o numerador e o denominador. Em outras palavras, vamos multiplicar a fração por ela mesma, apenas invertida:

Qual será o resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obtemos um:

Isso significa que o inverso do número 5 é o número, pois quando 5 é multiplicado por um, obtém-se um.

O recíproco também pode ser encontrado para qualquer outro inteiro.

Você também pode encontrar o recíproco para qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.

Divisão de uma fração por um número

Digamos que temos meia pizza:

Vamos dividi-lo igualmente entre dois. Quantas pizzas cada um receberá?

Pode-se ver que após dividir metade da pizza, foram obtidos dois pedaços iguais, cada um dos quais compõe uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.

A divisão de frações é feita usando recíprocos. Os recíprocos permitem que você substitua a divisão pela multiplicação.

Para dividir uma fração por um número, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor.

Usando esta regra, vamos escrever a divisão da nossa metade da pizza em duas partes.

Então, você precisa dividir a fração pelo número 2. Aqui o dividendo é uma fração e o divisor é 2.

Para dividir uma fração pelo número 2, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor 2. O inverso do divisor 2 é uma fração. Então você precisa multiplicar por

Uma das ciências mais importantes, cuja aplicação pode ser vista em disciplinas como química, física e até biologia, é a matemática. O estudo desta ciência permite desenvolver algumas qualidades mentais, melhorar a capacidade de concentração. Um dos tópicos que merecem atenção especial na disciplina "Matemática" é a adição e subtração de frações. Muitos alunos têm dificuldade para estudar. Talvez nosso artigo ajude a entender melhor esse tópico.

Como subtrair frações cujos denominadores são iguais

Frações são os mesmos números com os quais você pode realizar várias ações. Sua diferença dos inteiros está na presença de um denominador. É por isso que ao realizar ações com frações, você precisa estudar alguns de seus recursos e regras. O caso mais simples é a subtração de frações ordinárias, cujos denominadores são representados como o mesmo número. Não será difícil realizar esta ação se você conhecer uma regra simples:

• Para subtrair o segundo de uma fração, é necessário subtrair o numerador da fração a ser subtraída do numerador da fração reduzida. Escrevemos esse número no numerador da diferença e deixamos o denominador o mesmo: k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemplos de subtração de frações cujos denominadores são iguais

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Do numerador da fração reduzida "7" subtrair o numerador da fração subtraída "3", obtemos "4". Escrevemos esse número no numerador da resposta e colocamos no denominador o mesmo número que estava nos denominadores da primeira e da segunda frações - "19".

A imagem abaixo mostra mais alguns exemplos desse tipo.

Considere um exemplo mais complexo onde frações com os mesmos denominadores são subtraídas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Do numerador da fração reduzida "29", subtraindo, por sua vez, os numeradores de todas as frações subsequentes - "3", "8", "2", "7". Como resultado, obtemos o resultado "9", que escrevemos no numerador da resposta, e no denominador escrevemos o número que está nos denominadores de todas essas frações - "47".

Adição de frações com o mesmo denominador

A adição e a subtração de frações ordinárias são realizadas de acordo com o mesmo princípio.

• Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar os numeradores. O número resultante é o numerador da soma, e o denominador permanece o mesmo: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vamos ver como fica em um exemplo:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Ao numerador do primeiro termo da fração - "1" - adicionamos o numerador do segundo termo da fração - "2". O resultado - "3" - é escrito no numerador da quantidade, e o denominador é deixado o mesmo que estava presente nas frações - "4".

Frações com denominadores diferentes e sua subtração

Já consideramos a ação com frações que têm o mesmo denominador. Como você pode ver, conhecer regras simples, resolver esses exemplos é bastante fácil. Mas e se você precisar realizar uma ação com frações com denominadores diferentes? Muitos estudantes do ensino médio ficam confusos com esses exemplos. Mas mesmo aqui, se você conhece o princípio da solução, os exemplos não serão mais difíceis para você. Há também uma regra aqui, sem a qual a solução de tais frações é simplesmente impossível.

Para subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador menor.



Falaremos com mais detalhes sobre como fazer isso.

Propriedade de fração

Para reduzir várias frações ao mesmo denominador, você precisa usar a propriedade principal da fração na solução: depois de dividir ou multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número, você obtém uma fração igual à dada.

Assim, por exemplo, a fração 2/3 pode ter denominadores como "6", "9", "12", etc., ou seja, pode se parecer com qualquer número que seja múltiplo de "3". Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador por "2", obtemos uma fração de 4/6. Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador da fração original por "3", obtemos 6/9 e, se realizarmos uma ação semelhante com o número "4", obtemos 8/12. Em uma equação, isso pode ser escrito como:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Como trazer várias frações para o mesmo denominador

Considere como reduzir várias frações ao mesmo denominador. Por exemplo, pegue as frações mostradas na figura abaixo. Primeiro você precisa determinar qual número pode se tornar o denominador de todos eles. Para facilitar, vamos decompor os denominadores disponíveis em fatores.

O denominador da fração 1/2 e a fração 2/3 não podem ser fatorados. O denominador de 7/9 tem dois fatores 7/9 = 7/(3 x 3), o denominador da fração 5/6 = 5/(2 x 3). Agora você precisa determinar quais fatores serão os menores para todas essas quatro frações. Como a primeira fração tem o número “2” no denominador, significa que ela deve estar presente em todos os denominadores, na fração 7/9 existem duas triplas, o que significa que elas também devem estar presentes no denominador. Diante do exposto, determinamos que o denominador consiste em três fatores: 3, 2, 3 e é igual a 3 x 2 x 3 = 18.



Considere a primeira fração - 1/2. Seu denominador contém "2", mas não há um único "3", mas deve haver dois. Para fazer isso, multiplicamos o denominador por dois triplos, mas, de acordo com a propriedade da fração, devemos multiplicar o numerador por dois triplos:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 18/09.

Da mesma forma, realizamos ações com as frações restantes.

• 2/3 - falta um três e um dois no denominador:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 18/12.
• 7/9 ou 7/(3 x 3) - faltam dois no denominador:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ou 5/(2 x 3) - falta um triplo no denominador:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Tudo junto fica assim:



Como subtrair e adicionar frações com denominadores diferentes

Como mencionado acima, para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador e, em seguida, usar as regras para subtração de frações com o mesmo denominador, que já foram descritas.

Considere isso com um exemplo: 18/04 - 15/03.

Encontrando múltiplos de 18 e 15:

• O número 18 consiste em 3 x 2 x 3.
• O número 15 consiste em 5 x 3.
• O múltiplo comum consistirá dos seguintes fatores 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Depois de encontrado o denominador, é necessário calcular um fator que será diferente para cada fração, ou seja, o número pelo qual será necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador. Para fazer isso, dividimos o número encontrado (múltiplo comum) pelo denominador da fração para a qual fatores adicionais precisam ser determinados.

• 90 dividido por 15. O número resultante "6" será um multiplicador para 3/15.
• 90 dividido por 18. O número resultante "5" será um multiplicador para 4/18.

O próximo passo em nossa solução é trazer cada fração para o denominador "90".

Já discutimos como isso é feito. Vamos ver como isso está escrito em um exemplo:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Se frações com números pequenos, você pode determinar o denominador comum, como no exemplo mostrado na imagem abaixo.



Produzidos de forma semelhante e com denominadores diferentes.

Subtração e tendo partes inteiras

Subtração de frações e sua adição, já analisamos em detalhes. Mas como subtrair se a fração tem uma parte inteira? Novamente, vamos usar algumas regras:

• Converta todas as frações que têm uma parte inteira em impróprias. Em palavras simples, remova a parte inteira. Para fazer isso, o número da parte inteira é multiplicado pelo denominador da fração, o produto resultante é adicionado ao numerador. O número que será obtido após essas ações é o numerador de uma fração imprópria. O denominador permanece inalterado.
• Se as frações tiverem denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo.
• Efetue adição ou subtração com os mesmos denominadores.
• Ao receber uma fração imprópria, selecione a parte inteira.



Existe outra maneira pela qual você pode adicionar e subtrair frações com partes inteiras. Para isso, as ações são realizadas separadamente com partes inteiras, e separadamente com frações, e os resultados são registrados em conjunto.



O exemplo acima consiste em frações que têm o mesmo denominador. Caso os denominadores sejam diferentes, eles devem ser reduzidos ao mesmo e, em seguida, seguir os passos mostrados no exemplo.

Subtraindo frações de um número inteiro

Outra das variedades de ações com frações é o caso em que a fração deve ser subtraída de À primeira vista, tal exemplo parece difícil de resolver. No entanto, tudo é muito simples aqui. Para resolvê-lo, é necessário converter um inteiro em uma fração, e com tal denominador, que está na fração a ser subtraída. Em seguida, realizamos uma subtração semelhante à subtração com os mesmos denominadores. Por exemplo, fica assim:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A subtração de frações dadas neste artigo (6º ano) é a base para a resolução de exemplos mais complexos, que são considerados nas aulas subsequentes. O conhecimento deste tópico é usado posteriormente para resolver funções, derivadas e assim por diante. Portanto, é muito importante entender e entender as ações com frações discutidas acima.

Aqui vamos entender como subtração de frações comuns. Primeiro, obtemos a regra para subtrair frações com os mesmos denominadores. Em seguida, considere a subtração de frações com denominadores diferentes e dê exemplos de subtração com soluções detalhadas. Depois disso, vamos nos concentrar em subtrair uma fração de um número natural e subtrair um número de uma fração. Em conclusão, mostraremos como a subtração de frações ordinárias é realizada usando as propriedades dessa ação.

Imediatamente, notamos que neste artigo falaremos apenas sobre subtrair uma fração menor de uma fração maior. Outros casos são discutidos no artigo subtração de números racionais.

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Subtração de frações com os mesmos denominadores

Para começar, vamos dar um exemplo que nos permitirá entender como o subtração de frações de mesmo denominador.

Suponha que houvesse cinco oitavos de uma maçã no prato, ou seja, 5/8 da maçã, após o que dois oitavos foram retirados. De acordo com o significado de subtração (veja a ideia geral de subtração), a ação especificada é descrita da seguinte forma: . É claro que, neste caso, 5−2=3 oitavos de uma maçã permanecem no prato. Ou seja, .

O exemplo considerado ilustra regra para subtrair frações com o mesmo denominador: ao subtrair frações com os mesmos denominadores, o numerador do subtraendo é subtraído do numerador do minuendo, e o denominador permanece o mesmo.

A regra sonora com a ajuda de letras é escrita da seguinte forma: . Usaremos esta fórmula ao subtrair frações com os mesmos denominadores.

Considerar exemplos de subtração de frações com os mesmos denominadores.

Exemplo.

Subtraia a fração comum 17/15 da fração comum 24/15.

Decisão.

Os denominadores das frações subtraídas são iguais. O numerador do minuendo é 24 , e o numerador do subtraendo é 17 , sua diferença é 7 (24−17=7 se necessário, veja a subtração de números naturais). Portanto, subtraindo frações com os mesmos denominadores 24/15 e 17/15 dá uma fração 7/15.

Uma versão curta da solução se parece com isso: .

Responda:

.

Se possível, é necessário reduzir a fração e (ou) selecionar a parte inteira da fração imprópria, que é obtida subtraindo-se frações com denominadores iguais.

Exemplo.

Calcule a diferença.

Decisão.

Usamos a fórmula para subtrair frações com os mesmos denominadores: .

Obviamente, o numerador e o denominador da fração resultante são divisíveis por 2 (veja), ou seja, 22/12 é uma fração reduzida. Reduzindo esta fração por 2, chegamos à fração 11/6.

Fração 11/6 está incorreto (veja frações próprias e impróprias). Portanto, é necessário selecionar a parte inteira dele: .

Então, a diferença calculada de frações com os mesmos denominadores é .

Aqui está toda a solução: .

Responda:

.

Subtração de frações com denominadores diferentes

A subtração de frações com denominadores diferentes é reduzida à subtração de frações com denominadores iguais. Para fazer isso, basta trazer frações com denominadores diferentes para um denominador comum.

Então para gastar subtração de frações com denominadores diferentes, necessário:

• reduzir frações a um denominador comum (geralmente frações levam ao menor denominador comum);
• Subtraia as frações resultantes com os mesmos denominadores.

Considerar exemplos de subtração de frações com denominadores diferentes.

Exemplo.

Subtraia da fração comum 2/9 a fração comum 1/15.

Decisão.

Como os denominadores das frações a serem subtraídas são diferentes, primeiro realizamos a redução das frações ao menor denominador comum: como LCM(9, 15)=45, então o fator adicional da fração 2/9 é o número 45: 9=5, e o fator adicional da fração é 1/15 é o número 45:15=3 , então e .

Resta subtrair a fração 3/45 da fração 10/45, obtemos , que nos dá a diferença necessária de frações com denominadores diferentes.

Resumidamente, a solução é escrita da seguinte forma: .

Responda:

Não devemos esquecer a redução da fração obtida após a subtração, bem como a seleção da parte inteira.

Exemplo.

Subtraia a fração 7/36 da fração 19/9.

Decisão.

Depois de reduzir frações com denominadores diferentes ao menor denominador comum 36, temos as frações 76/9 e 7/36. Calculamos a diferença: .

A fração resultante é redutível, após sua redução por 3, obtemos 23/12. E esta fração está incorreta, tendo separado a parte inteira dela, temos .

Vamos juntar todas as ações realizadas ao subtrair as frações originais com denominadores diferentes:.

Responda:

.

Subtração de um número natural de uma fração ordinária

Subtraindo um número natural de uma fração pode ser reduzido à subtração de frações ordinárias. Para fazer isso, basta representar um número natural como uma fração com denominador 1. Vamos dar uma olhada em uma solução de exemplo.

Exemplo.

Subtraia o número 3 da fração 83/21.

Decisão.

Como o número 3 é igual à fração 3/1, então.

Responda:

No entanto, é mais conveniente subtrair um número natural de uma fração imprópria representando a fração como um número misto. Vamos mostrar a solução do exemplo anterior desta forma.

Subtraindo uma fração de um número natural

Subtraindo uma fração de um número natural pode ser reduzido à subtração de frações ordinárias, representando um número natural como uma fração. Vamos analisar a solução de um exemplo que ilustra essa abordagem.

Exemplo.

Subtraia a fração comum 5/3 do número natural 7.

Decisão.

Representamos o número 7 como uma fração 7/1, após o que realizamos a subtração: .

Tendo selecionado a parte inteira da fração resultante, obtemos a resposta final.

Responda:

No entanto, existe uma maneira mais racional de subtrair uma fração de um número natural. Suas vantagens são especialmente visíveis quando o número natural a ser reduzido e o denominador da fração a ser subtraída são números grandes. Tudo isso será visto a partir dos exemplos abaixo.

Se a fração subtraída estiver correta, o número natural reduzido pode ser substituído pela soma de dois números, um dos quais é igual a um, subtrair a fração correta de um e concluir o cálculo.

Exemplo.

Subtraia a fração comum 13/62 do número natural 1065.

Decisão.

A fração ordinária subtraída está correta. Vamos substituir o número 1065 pela soma 1064+1 e obter . Resta calcular o valor da expressão resultante (falaremos mais sobre o cálculo de tais expressões em).

Devido às propriedades da subtração, a expressão resultante pode ser reescrita como . Calcule o valor da diferença entre parênteses, substituindo a unidade por uma fração 1/1, temos . Por isso, . Isso completa a subtração da fração 13/62 do número natural 1065.

Aqui está toda a solução:

E agora, para comparação, vamos mostrar com quais números teríamos que trabalhar se decidíssemos reduzir a subtração dos números originais à subtração de frações:

Responda:

.

Se a fração a ser subtraída estiver incorreta, ela poderá ser substituída por um número misto e, em seguida, subtrair o número misto de um número natural.

Observação! Antes de escrever uma resposta final, veja se consegue reduzir a fração que recebeu.

Subtração de frações com os mesmos denominadores exemplos:

,

,

Subtraindo uma fração própria de um.

Se for necessário subtrair da unidade uma fração correta, a unidade é convertida para a forma de uma fração imprópria, seu denominador é igual ao denominador da fração subtraída.

Um exemplo de subtração de uma fração própria de uma unidade:

O denominador da fração a ser subtraída = 7 , ou seja, representamos a unidade como uma fração imprópria 7/7 e subtraímos de acordo com a regra de subtração de frações com os mesmos denominadores.

Subtrair uma fração própria de um número inteiro.

Regras para subtrair frações - correto de inteiro (número natural):

• Traduzimos as frações dadas, que contêm uma parte inteira, em impróprias. Obtemos termos normais (não importa se eles têm denominadores diferentes), que consideramos de acordo com as regras dadas acima;
• Em seguida, calculamos a diferença das frações que recebemos. Como resultado, quase encontraremos a resposta;
• Realizamos a transformação inversa, ou seja, nos livramos da fração imprópria - selecionamos a parte inteira na fração.

Subtraia uma fração própria de um número inteiro: representamos um número natural como um número misto. Aqueles. pegamos uma unidade em um número natural e a traduzimos na forma de uma fração imprópria, o denominador é o mesmo da fração subtraída.

Exemplo de subtração de fração:

No exemplo, substituímos a unidade por uma fração imprópria 7/7 e em vez de 3 anotamos um número misto e subtraímos uma fração da parte fracionária.

Subtração de frações com denominadores diferentes.

Ou, dito de outra forma, subtração de frações diferentes.

Regra para subtração de frações com denominadores diferentes. Para subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário, primeiro, trazer essas frações para o menor denominador comum (LCD), e só depois subtrair como com frações com denominadores iguais.

O denominador comum de várias frações é MMC (mínimo múltiplo comum) números naturais que são os denominadores das frações dadas.

Atenção! Se na fração final o numerador e o denominador tiverem fatores comuns, então a fração deve ser reduzida. Uma fração imprópria é melhor representada como uma fração mista. Deixar o resultado da subtração sem reduzir a fração sempre que possível é uma solução inacabada para o exemplo!

Procedimento para subtração de frações com denominadores diferentes.

• encontre o MMC para todos os denominadores;
• coloque multiplicadores adicionais para todas as frações;
• multiplique todos os numeradores por um fator adicional;
• escrevemos os produtos resultantes no numerador, assinando um denominador comum em todas as frações;
• subtrair os numeradores das frações, assinando o denominador comum sob a diferença.

Da mesma forma, a adição e a subtração de frações são realizadas na presença de letras no numerador.

Subtração de frações, exemplos:

Subtracção de fracções mistas.

No subtração de frações mistas (números) separadamente, a parte inteira é subtraída da parte inteira e a parte fracionária é subtraída da parte fracionária.

A primeira opção é subtrair frações mistas.

Se as partes fracionárias o mesmo denominadores e numerador da parte fracionária do minuendo (subtraímos dele) ≥ o numerador da parte fracionária do subtraendo (subtraímos).

Por exemplo:

A segunda opção é subtrair frações mistas.

Quando as partes fracionárias vários denominadores. Para começar, reduzimos as partes fracionárias a um denominador comum e, em seguida, subtraímos a parte inteira do inteiro e a fracionária da fracionária.

Por exemplo:

A terceira opção é subtrair frações mistas.

A parte fracionária do minuendo é menor que a parte fracionária do subtraendo.

Exemplo:

Porque partes fracionárias têm denominadores diferentes, o que significa que, como na segunda opção, primeiro trazemos frações ordinárias para um denominador comum.

O numerador da parte fracionária do minuendo é menor que o numerador da parte fracionária do subtraendo.3 < 14. Então, pegamos uma unidade da parte inteira e trazemos essa unidade para a forma de uma fração imprópria com o mesmo denominador e numerador = 18.

No numerador do lado direito, escrevemos a soma dos numeradores, depois abrimos os colchetes no numerador do lado direito, ou seja, multiplicamos tudo e damos semelhantes. Não abrimos colchetes no denominador. É costume deixar o produto nos denominadores. Nós temos:

Ações com frações.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Então, o que são frações, tipos de frações, transformações - lembramos. Vamos abordar a questão principal.

O que você pode fazer com frações? Sim, tudo é igual aos números comuns. Adicionar, subtrair, multiplicar, dividir.

Todas essas ações com decimal operações com frações não são diferentes de operações com inteiros. Na verdade, é para isso que eles servem, decimal. A única coisa é que você precisa colocar a vírgula corretamente.

números mistos, como eu disse, são de pouca utilidade para a maioria das ações. Eles ainda precisam ser convertidos em frações ordinárias.

E aqui estão as ações com frações ordinárias será mais inteligente. E muito mais importante! Deixe-me lembrá-lo: todas as ações com expressões fracionárias com letras, senos, incógnitas e assim por diante não são diferentes das ações com frações comuns! As operações com frações ordinárias são a base de toda a álgebra. É por esta razão que vamos analisar toda essa aritmética em grande detalhe aqui.

Adição e subtração de frações.

Todos podem somar (subtrair) frações com os mesmos denominadores (eu realmente espero!). Bem, deixe-me lembrá-lo que estou completamente esquecido: ao adicionar (subtrair), o denominador não muda. Os numeradores são somados (subtraídos) para dar o numerador do resultado. Tipo:

Em suma, em termos gerais:

E se os denominadores forem diferentes? Então, usando a propriedade principal da fração (aqui veio a calhar novamente!), fazemos os denominadores iguais! Por exemplo:

Aqui tivemos que fazer a fração 4/10 da fração 2/5. Apenas com o objetivo de tornar os denominadores iguais. Observo, por precaução, que 2/5 e 4/10 são a mesma fração! Apenas 2/5 é desconfortável para nós, e 4/10 não é nada.

A propósito, essa é a essência da resolução de qualquer tarefa em matemática. Quando estamos fora desconfortável expressões fazem o mesmo, mas mais conveniente para resolver.

Outro exemplo:

A situação é semelhante. Aqui fazemos 48 de 16. Por simples multiplicação por 3. Tudo está claro. Mas aqui nos deparamos com algo como:

Como ser?! É difícil fazer um nove de um sete! Mas somos espertos, conhecemos as regras! Vamos transformar cada fração de modo que os denominadores sejam iguais. Isso é chamado de "reduzir a um denominador comum":

Quão! Como eu sabia sobre 63? Muito simples! 63 é um número que é divisível por 7 e 9 ao mesmo tempo. Tal número sempre pode ser obtido multiplicando os denominadores. Se multiplicarmos algum número por 7, por exemplo, o resultado certamente será dividido por 7!

Se você precisar somar (subtrair) várias frações, não há necessidade de fazê-lo aos pares, passo a passo. Você só precisa encontrar o denominador que é comum a todas as frações e trazer cada fração para esse mesmo denominador. Por exemplo:

E qual será o denominador comum? Você pode, é claro, multiplicar 2, 4, 8 e 16. Obtemos 1024. Pesadelo. É mais fácil estimar que o número 16 é perfeitamente divisível por 2, 4 e 8. Portanto, é fácil obter desses números 16. Esse número será o denominador comum. Vamos transformar 1/2 em 16/8, 3/4 em 16/12 e assim por diante.

Aliás, se tomarmos 1024 como denominador comum, tudo dará certo também, no final tudo será reduzido. Só que nem todos chegarão a esse fim, por conta dos cálculos...

Resolva o exemplo você mesmo. Não é um logaritmo... Deve ser 29/16.

Então, com a adição (subtração) de frações fica claro, espero? Claro, é mais fácil trabalhar em uma versão reduzida, com multiplicadores adicionais. Mas esse prazer está disponível para aqueles que trabalharam honestamente nas séries mais baixas ... E não se esqueceram de nada.

E agora faremos as mesmas ações, mas não com frações, mas com expressões fracionárias. Novos rakes serão encontrados aqui, sim ...

Então, precisamos adicionar duas expressões fracionárias:

Precisamos igualar os denominadores. E só com a ajuda multiplicação! Então a propriedade principal da fração diz. Portanto, não posso adicionar um a x na primeira fração do denominador. (Mas isso seria bom!). Mas se você multiplicar os denominadores, veja, tudo vai crescer junto! Então anotamos, a linha da fração, deixamos um espaço vazio em cima, depois somamos, e escrevemos o produto dos denominadores abaixo, para não esquecer:

E, claro, não multiplicamos nada do lado direito, não abrimos colchetes! E agora, olhando para o denominador comum do lado direito, pensamos: para obter o denominador x (x + 1) na primeira fração, precisamos multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por (x + 1) . E na segunda fração - x. Você consegue isso:

Observação! Os parênteses estão aqui! Este é o ancinho que muitos pisam. Não entre colchetes, é claro, mas sua ausência. Os parênteses aparecem porque multiplicamos o todo numerador e o todo denominador! E não suas peças individuais...

No numerador do lado direito, escrevemos a soma dos numeradores, tudo é como em frações numéricas, então abrimos os colchetes no numerador do lado direito, ou seja. multiplique tudo e dê like. Você não precisa abrir os colchetes nos denominadores, não precisa multiplicar nada! Em geral, nos denominadores (qualquer) o produto é sempre mais agradável! Nós temos:

Aqui temos a resposta. O processo parece longo e difícil, mas depende da prática. Resolva exemplos, acostume-se, tudo se tornará simples. Aqueles que dominaram as frações no tempo previsto, fazem todas essas operações com uma mão, na máquina!

E mais uma nota. Muitos lidam com frações, mas apegam-se a exemplos com inteira números. Tipo: 2 + 1/2 + 3/4= ? Onde prender um deuce? Não há necessidade de prender em qualquer lugar, você precisa fazer uma fração de um deuce. Não é fácil, é muito simples! 2=2/1. Assim. Qualquer número inteiro pode ser escrito como uma fração. O numerador é o próprio número, o denominador é um. 7 é 7/1, 3 é 3/1 e assim por diante. É o mesmo com as letras. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, etc. E então trabalhamos com essas frações de acordo com todas as regras.

Bem, na adição - subtração de frações, o conhecimento foi atualizado. Transformações de frações de um tipo para outro - repetidas. Você também pode verificar. Vamos resolver um pouco?)

Calcular:

Respostas (em desordem):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplicação / divisão de frações - na próxima lição. Há também tarefas para todas as ações com frações.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

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