Sejam conhecidas suas probabilidades e as correspondentes probabilidades condicionais. Então a probabilidade do evento ocorrer é:

Essa fórmula é chamada fórmulas de probabilidade total. Nos livros didáticos, é formulado por um teorema, cuja demonstração é elementar: de acordo com álgebra de evento, (evento aconteceu e ou aconteceu um evento e depois veio o evento ou aconteceu um evento e depois veio o evento ou …. ou aconteceu um evento e evento seguido). Já que as hipóteses são incompatíveis, e o evento é dependente, então de acordo com teorema da adição para as probabilidades de eventos incompatíveis (Primeiro passo) e o teorema da multiplicação de probabilidades de eventos dependentes (segundo passo):

Provavelmente, muitos antecipam o conteúdo do primeiro exemplo =)

Onde quer que você cuspa - em todos os lugares a urna:

Tarefa 1

Há três urnas idênticas. A primeira urna contém 4 bolas brancas e 7 pretas, a segunda urna contém apenas bolas brancas e a terceira urna contém apenas bolas pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e uma bola é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de que essa bola seja preta?

Solução: considere o evento - uma bola preta será retirada de uma urna selecionada aleatoriamente. Este evento pode ocorrer como resultado da implementação de uma das seguintes hipóteses:
– a 1ª urna será selecionada;
– será escolhida a 2ª urna;
– será escolhida a 3ª urna.

Como a urna é escolhida ao acaso, a escolha de qualquer uma das três urnas igualmente possível, Consequentemente:

Observe que as hipóteses acima formam grupo completo de eventos, ou seja, de acordo com a condição, uma bola preta pode aparecer apenas dessas urnas e, por exemplo, não voar de uma mesa de bilhar. Vamos fazer uma verificação intermediária simples:
Bom, vamos em frente:

A primeira urna contém 4 bolas brancas + 7 pretas = 11 bolas, cada definição clássica:
é a probabilidade de tirar uma bola preta em condição que a 1ª urna será selecionada.

A segunda urna contém apenas bolas brancas, então se escolhido o aparecimento de uma bola preta torna-se impossível: .

E, por fim, na terceira urna há apenas bolas pretas, o que significa que a Probabilidade Condicional a extração da bola preta será (o evento é certo).

é a probabilidade de que uma bola preta seja retirada de uma urna escolhida aleatoriamente.

Responda:

O exemplo analisado novamente sugere o quão importante é ENTENDER A CONDIÇÃO. Vamos pegar os mesmos problemas com urnas e bolas - com sua semelhança externa, os métodos de resolução podem ser completamente diferentes: em algum lugar é necessário aplicar apenas definição clássica de probabilidade, em algum lugar eventos independente, em algum lugar dependente, e em algum lugar estamos falando de hipóteses. Ao mesmo tempo, não há um critério formal claro para escolher um caminho de solução - você quase sempre precisa pensar sobre isso. Como melhorar suas habilidades? Resolvemos, resolvemos e resolvemos de novo!

Tarefa 2

Existem 5 rifles diferentes no campo de tiro. As probabilidades de acertar o alvo para um determinado atirador são respectivamente iguais a 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 e 0,4. Qual é a probabilidade de acertar o alvo se o atirador disparar um tiro de um rifle selecionado aleatoriamente?

Solução curta e resposta no final da lição.

Na maioria dos problemas temáticos, as hipóteses não são, obviamente, igualmente prováveis:

Tarefa 3

Existem 5 rifles na pirâmide, três dos quais estão equipados com uma mira óptica. A probabilidade de o atirador acertar o alvo ao ser disparado de um rifle com mira telescópica é de 0,95; para um rifle sem mira telescópica, essa probabilidade é de 0,7. Encontre a probabilidade de que o alvo seja atingido se o atirador disparar um tiro de um rifle tirado ao acaso.

Solução: neste problema, o número de rifles é exatamente o mesmo do anterior, mas há apenas duas hipóteses:
- o atirador escolherá um rifle com mira óptica;
- o atirador selecionará um rifle sem mira telescópica.
Por definição clássica de probabilidade: .
Ao controle:

Considere o evento: - o atirador atinge o alvo com um rifle selecionado aleatoriamente.
Por condição: .

De acordo com a fórmula de probabilidade total:

Responda: 0,85

Na prática, uma maneira abreviada de projetar uma tarefa, com a qual você também está familiarizado, é bastante aceitável:

Solução: de acordo com a definição clássica: são as probabilidades de escolher um rifle com e sem mira óptica, respectivamente.

Por condição, – probabilidades de acertar o alvo com os respectivos tipos de fuzis.

De acordo com a fórmula de probabilidade total:
é a probabilidade de o atirador acertar o alvo com um rifle selecionado aleatoriamente.

Responda: 0,85

A seguinte tarefa para uma solução independente:

Tarefa 4

O motor opera em três modos: normal, forçado e ralenti. No modo inativo, a probabilidade de falha é 0,05, no modo normal - 0,1 e no modo forçado - 0,7. 70% do tempo o motor funciona em modo normal e 20% em modo forçado. Qual é a probabilidade de falha do motor durante a operação?

Apenas no caso, deixe-me lembrá-lo - para obter as probabilidades, as porcentagens devem ser divididas por 100. Tenha muito cuidado! De acordo com minhas observações, as condições dos problemas para a fórmula de probabilidade total são muitas vezes tentadas a confundir-se; e eu escolhi especificamente esse exemplo. Vou te contar um segredo - quase me confundi =)

Solução no final da aula (formulada de forma curta)

Problemas para fórmulas de Bayes

O material está intimamente relacionado com o conteúdo do parágrafo anterior. Deixe o evento ocorrer como resultado da implementação de uma das hipóteses . Como determinar a probabilidade de que uma determinada hipótese tenha ocorrido?

Em condição aquele evento já aconteceu, probabilidades de hipóteses superestimado segundo as fórmulas que receberam o nome do padre inglês Thomas Bayes:

- a probabilidade de que a hipótese tenha ocorrido;
- a probabilidade de que a hipótese tenha ocorrido;
…
é a probabilidade de a hipótese ser verdadeira.

À primeira vista, parece um completo absurdo - por que recalcular as probabilidades das hipóteses, se elas já são conhecidas? Mas na verdade há uma diferença:

- isto é a priori(estimado antes da testes) probabilidades.

- isto é a posteriori(estimado depois testes) as probabilidades das mesmas hipóteses, recalculadas em conexão com "circunstâncias recém-descobertas" - levando em consideração o fato de que o evento ocorrido.

Vejamos essa diferença com um exemplo específico:

Tarefa 5

O armazém recebeu 2 lotes de produtos: o primeiro - 4.000 peças, o segundo - 6.000 peças. A porcentagem média de produtos não padronizados no primeiro lote é de 20% e no segundo - 10%. Retirado aleatoriamente do armazém, o produto acabou sendo padrão. Encontre a probabilidade de que seja: a) do primeiro lote, b) do segundo lote.

Primeira parte soluções consiste em usar a fórmula de probabilidade total. Em outras palavras, os cálculos são realizados sob a suposição de que o teste ainda não produzido e evento "o produto ficou padrão" até chegar.

Vamos considerar duas hipóteses:
- um produto retirado ao acaso será do 1º lote;
- um produto retirado ao acaso será do 2º lote.

Total: 4.000 + 6.000 = 10.000 itens em estoque. De acordo com a definição clássica:
.

Ao controle:

Considere o evento dependente: – um item retirado aleatoriamente do depósito vai ser padrão.

No primeiro lote 100% - 20% = 80% de produtos padrão, portanto: em condição que pertence à 1ª parte.

Da mesma forma, no segundo lote 100% - 10% = 90% de produtos padrão e é a probabilidade de que um item selecionado aleatoriamente no depósito seja um item padrão em condição que pertence à 2ª parte.

De acordo com a fórmula de probabilidade total:
é a probabilidade de que um produto escolhido aleatoriamente do armazém seja um produto padrão.

Parte dois. Suponha que um produto retirado aleatoriamente do armazém se torne padrão. Esta frase é expressa diretamente na condição, e afirma o fato de que o evento ocorrido.

Pelas fórmulas de Bayes:

a) - a probabilidade de o produto padrão selecionado pertencer ao 1º lote;

b) - a probabilidade de o produto padrão selecionado pertencer ao 2º lote.

Depois reavaliação hipóteses, é claro, ainda se formam grupo completo:
(exame;-))

Responda:

Ivan Vasilyevich, que mudou novamente de profissão e se tornou diretor da fábrica, nos ajudará a entender o significado da reavaliação das hipóteses. Ele sabe que hoje a 1ª loja embarcou 4.000 itens para o armazém, e a 2ª loja - 6.000 produtos, e ele vem certificar-se disso. Suponha que todos os produtos sejam do mesmo tipo e estejam no mesmo recipiente. Naturalmente, Ivan Vasilyevich calculou anteriormente que o produto que ele agora removerá para verificação provavelmente será produzido pela 1ª oficina e com probabilidade pela segunda. Mas depois que o item selecionado se torna padrão, ele exclama: “Que parafuso legal! - foi bastante divulgado pela 2ª oficina. Assim, a probabilidade da segunda hipótese é superestimada para melhor , e a probabilidade da primeira hipótese é subestimada: . E essa superestimação não é irracional - afinal, a 2ª oficina não apenas produziu mais produtos, mas também funciona 2 vezes melhor!

Você diz, subjetivismo puro? Em parte - sim, aliás, o próprio Bayes interpretou a posteriori probabilidades como nível de confiança. No entanto, nem tudo é tão simples - há um grão objetivo na abordagem bayesiana. Afinal, a probabilidade de o produto ser padrão (0,8 e 0,9 para a 1ª e 2ª lojas, respectivamente) isto é preliminares(a priori) e médio estimativas. Mas, falando filosoficamente, tudo flui, tudo muda, inclusive as probabilidades. É bem possível que na hora do estudo 2ª loja mais bem-sucedida aumentou a porcentagem de produtos padrão (e/ou 1ª loja reduzida), e se você verificar mais ou todos os 10 mil itens em estoque, os valores superestimados estarão muito mais próximos da verdade.

A propósito, se Ivan Vasilyevich extrair uma peça não padronizada, vice-versa - ele "suspeitará" a 1ª loja mais e menos - a segunda. Sugiro que você verifique por si mesmo:

Tarefa 6

O armazém recebeu 2 lotes de produtos: o primeiro - 4.000 peças, o segundo - 6.000 peças. A porcentagem média de produtos não padronizados no primeiro lote é de 20%, no segundo - 10%. Um produto retirado ao acaso do armazém acabou por ser não padrão. Encontre a probabilidade de que seja: a) do primeiro lote, b) do segundo lote.

A condição será distinguida por duas letras, que destaquei em negrito. O problema pode ser resolvido do zero ou você pode usar os resultados de cálculos anteriores. Na amostra, realizei uma solução completa, mas para evitar uma sobreposição formal com a Tarefa nº 5, o evento “Um produto retirado aleatoriamente do armazém será fora do padrão” marcado com .

O esquema bayesiano de reavaliação de probabilidades é encontrado em todos os lugares e também é ativamente explorado por vários tipos de golpistas. Considere uma sociedade anônima de três letras que se tornou um nome familiar, que atrai depósitos da população, supostamente os investe em algum lugar, paga dividendos regularmente etc. O que está acontecendo? Dia após dia, mês após mês, e cada vez mais novos fatos, veiculados por meio de propaganda e boca a boca, só aumentam o nível de confiança na pirâmide financeira (reavaliação Bayesiana posterior devido a eventos passados!). Ou seja, aos olhos dos depositantes, há um aumento constante na probabilidade de "este é um escritório sério"; enquanto a probabilidade da hipótese oposta (“estes são golpistas regulares”), é claro, diminui e diminui. O resto, eu acho, é claro. Vale ressaltar que a reputação conquistada dá aos organizadores tempo para se esconder com sucesso de Ivan Vasilyevich, que ficou não apenas sem um lote de parafusos, mas também sem calças.

Voltaremos a exemplos não menos interessantes um pouco mais tarde, mas, por enquanto, talvez o caso mais comum com três hipóteses seja o próximo:

Tarefa 7

As lâmpadas elétricas são fabricadas em três fábricas. A 1ª planta produz 30% do número total de lâmpadas, a 2ª - 55% e a 3ª - o restante. Os produtos da 1ª fábrica contêm 1% de lâmpadas defeituosas, a 2ª - 1,5%, a 3ª - 2%. A loja recebe produtos das três fábricas. A lâmpada que comprei veio com defeito. Qual é a probabilidade de que tenha sido produzido pela planta 2?

Observe que em problemas de fórmulas de Bayes na condição necessariamente algum o que aconteceu um evento, neste caso, a compra de uma lâmpada.

Os eventos aumentaram e soluçãoé mais conveniente organizar em um estilo "rápido".

O algoritmo é exatamente o mesmo: na primeira etapa, encontramos a probabilidade de que a lâmpada comprada vai ser defeituoso.

Usando os dados iniciais, traduzimos as porcentagens em probabilidades:
são as probabilidades de que a lâmpada seja produzida pela 1ª, 2ª e 3ª fábricas, respectivamente.
Ao controle:

Da mesma forma: - as probabilidades de fabricação de uma lâmpada defeituosa para as respectivas fábricas.

De acordo com a fórmula de probabilidade total:

- a probabilidade de que a lâmpada comprada esteja com defeito.

Passo dois. Deixe a lâmpada comprada estar com defeito (o evento aconteceu)

Pela fórmula de Bayes:
- a probabilidade de que a lâmpada defeituosa adquirida seja fabricada pela segunda fábrica

Responda:

Por que a probabilidade inicial da 2ª hipótese aumentou após a reavaliação? Afinal, a segunda fábrica produz lâmpadas de qualidade média (a primeira é melhor, a terceira é pior). Então por que aumentou a posteriori a probabilidade de que a lâmpada defeituosa seja da 2ª fábrica? Isso não se deve mais à "reputação", mas ao tamanho. Como a fábrica nº 2 produziu o maior número de lâmpadas, eles a culpam (pelo menos subjetivamente): “provavelmente, esta lâmpada defeituosa é de lá”.

É interessante notar que as probabilidades da 1ª e 3ª hipóteses foram superestimadas nas direções esperadas e se tornaram iguais:

Ao controle: , que deveria ser verificado.

By the way, sobre subestimado e superestimado:

Tarefa 8

No grupo de alunos, 3 pessoas têm alto nível de formação, 19 pessoas têm nível médio e 3 pessoas têm nível baixo. As probabilidades de aprovação no exame para estes alunos são respectivamente: 0,95; 0,7 e 0,4. Sabe-se que alguns alunos passaram no exame. Qual é a probabilidade de que:

a) estava muito bem preparado;
b) foi moderadamente preparado;
c) estava mal preparado.

Realizar cálculos e analisar os resultados da reavaliação das hipóteses.

A tarefa está próxima da realidade e é especialmente plausível para um grupo de alunos em tempo parcial, onde o professor praticamente não conhece as habilidades deste ou daquele aluno. Nesse caso, o resultado pode causar consequências bastante inesperadas. (especialmente para exames no 1º semestre). Se um aluno mal preparado tiver a sorte de conseguir um bilhete, é provável que o professor o considere um bom aluno ou mesmo um aluno forte, o que trará bons dividendos no futuro (claro, você precisa “aumentar a fasquia” e manter sua imagem). Se um aluno estudou, lotou, repetiu por 7 dias e 7 noites, mas ele simplesmente teve azar, então outros eventos podem se desenvolver da pior maneira possível - com inúmeras repetições e equilíbrio à beira da partida.

Escusado será dizer que a reputação é o capital mais importante, não é por acaso que muitas corporações carregam os nomes de seus fundadores, que lideraram o negócio há 100-200 anos e ficaram famosos por sua reputação impecável.

Sim, a abordagem bayesiana é subjetiva até certo ponto, mas... é assim que a vida funciona!

Vamos consolidar o material com um exemplo industrial final, no qual falarei sobre as sutilezas técnicas da solução que ainda não foram encontradas:

Tarefa 9

Três oficinas da fábrica produzem peças do mesmo tipo, que são montadas em um recipiente comum para montagem. Sabe-se que a primeira oficina produz 2 vezes mais peças que a segunda e 4 vezes mais que a terceira. Na primeira oficina, o defeito é de 12%, na segunda - 8%, na terceira - 4%. Para controle, uma parte é retirada do recipiente. Qual é a probabilidade de ser defeituosa? Qual é a probabilidade de que a peça defeituosa extraída tenha sido produzida pela 3ª oficina?

Taki Ivan Vasilyevich está a cavalo novamente =) O filme deve ter um final feliz =)

Solução: em contraste com as Tarefas No. 5-8, uma pergunta é explicitamente feita aqui, que é resolvida usando a fórmula de probabilidade total. Mas, por outro lado, a condição é um pouco “criptografada”, e a habilidade escolar para compor as equações mais simples nos ajudará a resolver esse rebus. Para "x" é conveniente tomar o menor valor:

Seja a parcela das peças produzidas pela terceira oficina.

De acordo com a condição, a primeira oficina produz 4 vezes mais do que a terceira oficina, então a participação da 1ª oficina é de .

Além disso, a primeira oficina produz 2 vezes mais produtos do que a segunda oficina, o que significa que a participação desta última: .

Vamos fazer e resolver a equação:

Assim: - as probabilidades de que a peça retirada do container tenha sido liberada pela 1ª, 2ª e 3ª oficinas, respectivamente.

Ao controle: . Além disso, não será supérfluo olhar novamente para a frase “Sabe-se que a primeira oficina produz produtos 2 vezes mais que a segunda oficina e 4 vezes mais que a terceira oficina” e certifique-se de que as probabilidades obtidas realmente correspondem a esta condição.

Para "X" inicialmente era possível tirar a parte da 1ª ou a parte da 2ª loja - as probabilidades sairão as mesmas. Mas, de uma forma ou de outra, a seção mais difícil já foi aprovada e a solução está no caminho certo:

Da condição encontramos:
- a probabilidade de fabricar uma peça defeituosa para as oficinas correspondentes.

De acordo com a fórmula de probabilidade total:
é a probabilidade de que uma parte extraída aleatoriamente do recipiente não seja padrão.

Pergunta dois: qual é a probabilidade de que a peça defeituosa extraída tenha sido produzida pela 3ª oficina? Esta questão pressupõe que a peça já foi removida e está com defeito. Reavaliamos a hipótese usando a fórmula de Bayes:
é a probabilidade desejada. Bastante esperado - afinal, a terceira oficina produz não apenas a menor parcela de peças, mas também lidera em qualidade!

Neste caso, tive que simplificar a fração de quatro andares, o que em problemas com fórmulas de Bayes deve ser feito com bastante frequência. Mas para esta lição, de alguma forma, acidentalmente peguei exemplos em que muitos cálculos podem ser feitos sem frações comuns.

Como não há pontos “a” e “be” na condição, é melhor fornecer a resposta com comentários de texto:

Responda: - a probabilidade de que a peça retirada do contêiner seja defeituosa; - a probabilidade de que a peça defeituosa extraída tenha sido liberada pela 3ª oficina.

Como você pode ver, os problemas da fórmula de probabilidade total e fórmulas de Bayes são bastante simples e, provavelmente, por isso muitas vezes tentam complicar a condição, que já mencionei no início do artigo.

Exemplos adicionais estão no arquivo com soluções prontas para F.P.V. e fórmulas de Bayes, além disso, provavelmente há quem deseje conhecer mais profundamente esse tema em outras fontes. E o tópico é realmente muito interessante - o que vale sozinho paradoxo de bayes, que corrobora o conselho cotidiano de que, se uma pessoa é diagnosticada com uma doença rara, faz sentido que ela realize um segundo e até dois exames independentes repetidos. Parece que eles fazem isso apenas por desespero... - mas não! Mas não vamos falar de coisas tristes.

é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente passar no exame.
Deixe o aluno passar no exame. Pelas fórmulas de Bayes:
a) - a probabilidade de que o aluno que passou no exame tenha se preparado muito bem. A probabilidade inicial objetiva é superestimada, pois quase sempre alguns "médios" têm sorte com as perguntas e respondem com muita firmeza, o que dá a impressão errônea de uma preparação impecável.
b) é a probabilidade de que o aluno que passou no exame foi moderadamente preparado. A probabilidade inicial acaba por ser ligeiramente superestimada, porque alunos com um nível médio de preparação são geralmente a maioria, além disso, o professor incluirá aqui “alunos excelentes” respondidos sem sucesso e, ocasionalmente, um aluno com desempenho ruim que teve muita sorte com um bilhete.
dentro) - a probabilidade de o aluno aprovado no exame ter sido mal preparado. A probabilidade inicial foi superestimada para pior. Não é surpreendente.
Exame:
Responda :

O corolário de ambos os teoremas principais - o teorema da adição de probabilidade e o teorema da multiplicação de probabilidade - é a chamada fórmula de probabilidade total.

Seja necessário determinar a probabilidade de algum evento que possa ocorrer junto com um dos eventos:

formando um grupo completo de eventos incompatíveis. Chamaremos esses eventos de hipóteses.

Vamos provar que neste caso

, (3.4.1)

Essa. a probabilidade de um evento é calculada como a soma dos produtos da probabilidade de cada hipótese e a probabilidade do evento sob esta hipótese.

A fórmula (3.4.1) é chamada de fórmula de probabilidade total.

Prova. Como as hipóteses formam um grupo completo, o evento só pode aparecer em combinação com qualquer uma dessas hipóteses:

Como as hipóteses são inconsistentes, as combinações também incompatível; aplicando o teorema da adição a eles, temos:

Aplicando o teorema da multiplicação ao evento, temos:

,

Q.E.D.

Exemplo 1. Existem três urnas de aparência idêntica; a primeira urna contém duas bolas brancas e uma preta; no segundo - três brancos e um preto; no terceiro - duas bolas brancas e duas pretas. Alguém escolhe uma das urnas ao acaso e tira uma bola dela. Encontre a probabilidade de que essa bola seja branca.

Solução. Vamos considerar três hipóteses:

Escolha da primeira urna,

Escolha da segunda urna,

Escolha da terceira urna

e o evento é o aparecimento de uma bola branca.

Como as hipóteses, de acordo com a condição do problema, são igualmente prováveis, então

.

As probabilidades condicionais do evento sob essas hipóteses são respectivamente iguais:

De acordo com a fórmula de probabilidade total

.

Exemplo 2. Três tiros simples são disparados contra uma aeronave. A probabilidade de acertar com o primeiro tiro é 0,4, com o segundo - 0,5, com o terceiro 0,7. Três acertos são obviamente suficientes para desabilitar uma aeronave; com um acerto, a aeronave falha com probabilidade de 0,2, com dois acertos, com probabilidade de 0,6. Encontre a probabilidade de que, como resultado de três tiros, a aeronave seja colocada fora de ação.

Solução. Vamos considerar quatro hipóteses:

Nem um único projétil atingiu o avião,

Um projétil atingiu o avião

O avião foi atingido por dois projéteis.

Três projéteis atingiram o avião.

Usando os teoremas de adição e multiplicação, encontramos as probabilidades destas hipóteses:

As probabilidades condicionais do evento (falha da aeronave) sob essas hipóteses são:

Aplicando a fórmula de probabilidade total, temos:

Observe que a primeira hipótese não pôde ser levada em consideração, pois o termo correspondente na fórmula de probabilidade total se anula. Isso geralmente é feito ao aplicar a fórmula de probabilidade total, considerando não o conjunto completo de hipóteses inconsistentes, mas apenas aquelas sob as quais um determinado evento é possível.

Exemplo 3. A operação do motor é controlada por dois reguladores. Um certo período de tempo é considerado, durante o qual é desejável garantir uma operação sem problemas do motor. Se ambos os reguladores estiverem presentes, o motor falha com probabilidade , se apenas o primeiro deles estiver funcionando, com probabilidade , se apenas o segundo estiver funcionando, se ambos os reguladores falharem, com probabilidade . O primeiro dos reguladores tem confiabilidade, o segundo -. Todos os elementos falham independentemente uns dos outros. Encontre a confiabilidade total (probabilidade de operação sem falhas) do motor.

Formulário de eventos grupo completo, se pelo menos um deles ocorrer necessariamente como resultado do experimento e forem inconsistentes aos pares.

Vamos supor que o evento UMA só pode ocorrer em conjunto com um dos vários eventos incompatíveis em pares que formam um grupo completo. Vamos chamar os eventos eu= 1, 2,…, n) hipóteses experiência adicional (a priori). A probabilidade de ocorrência do evento A é determinada pela fórmula probabilidade total :

Exemplo 16 São três urnas. A primeira urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas, a segunda urna contém 4 bolas brancas e 4 pretas e a terceira urna contém 8 bolas brancas. Uma das urnas é escolhida ao acaso (isso pode significar, por exemplo, que uma seleção é feita a partir de uma urna auxiliar contendo três bolas numeradas 1, 2 e 3). Uma bola é retirada ao acaso desta urna. Qual é a probabilidade de ser preto?

Solução. Evento UMA– bola preta é sorteada. Se fosse conhecido de qual urna a bola é retirada, então a probabilidade necessária poderia ser calculada de acordo com a definição clássica de probabilidade. Vamos introduzir suposições (hipóteses) sobre qual urna é escolhida para extrair a bola.

A bola pode ser retirada da primeira urna (hipótese ), ou da segunda (hipótese ), ou da terceira (hipótese ). Como há chances iguais de escolher qualquer uma das urnas, então .

Daí segue que

Exemplo 17. As lâmpadas elétricas são fabricadas em três fábricas. A primeira planta produz 30% do total de lâmpadas elétricas, a segunda - 25%,
e o terceiro para o resto. Os produtos da primeira fábrica contêm 1% de lâmpadas elétricas defeituosas, a segunda - 1,5%, a terceira - 2%. A loja recebe produtos das três fábricas. Qual é a probabilidade de que uma lâmpada comprada em uma loja seja defeituosa?

Solução. As suposições devem ser inseridas quanto à fábrica em que a lâmpada foi fabricada. Sabendo disso, podemos encontrar a probabilidade de que seja defeituoso. Vamos introduzir a notação para eventos: UMA– a lâmpada elétrica adquirida apresentou defeito, – a lâmpada foi fabricada pela primeira fábrica, – a lâmpada foi fabricada pela segunda fábrica,
– a lâmpada é fabricada pela terceira fábrica.

A probabilidade desejada é encontrada pela fórmula de probabilidade total:

Fórmula de Bayes. Seja um grupo completo de eventos incompatíveis aos pares (hipóteses). MASé um evento aleatório. Então,

A última fórmula que permite superestimar as probabilidades das hipóteses após o resultado do teste ser conhecido, como resultado do qual o evento A apareceu, é chamado Fórmula de Bayes .

Exemplo 18. Uma média de 50% dos pacientes com a doença são internados em um hospital especializado Para, 30% com doença eu, 20 % –
com doença M. A probabilidade de uma cura completa da doença Ké igual a 0,7 para doenças eu e M essas probabilidades são respectivamente 0,8 e 0,9. O paciente internado no hospital recebeu alta saudável. Encontre a probabilidade de que esse paciente tenha a doença K.

Solução. Apresentamos hipóteses: - o paciente sofria de uma doença Para eu, o paciente sofria da doença M.

Então, pela condição do problema, temos . Vamos apresentar um evento MAS O paciente internado no hospital recebeu alta saudável. Por condição

Pela fórmula da probabilidade total, temos:

Fórmula de Bayes.

Exemplo 19. Sejam cinco bolas na urna e todas as suposições sobre o número de bolas brancas são igualmente prováveis. Uma bola é retirada ao acaso da urna e ela é branca. Qual é a suposição mais provável sobre a composição inicial da urna?

Solução. Seja a hipótese de que na urna de bolas brancas , ou seja, é possível fazer seis suposições. Então, pela condição do problema, temos .

Vamos apresentar um evento MAS Uma bola branca sorteada aleatoriamente. Vamos calcular. Como , então pela fórmula de Bayes temos:

Assim, a hipótese é a mais provável, pois .

Exemplo 20. Dois dos três elementos de operação independente do dispositivo de computação falharam. Encontre a probabilidade de falha do primeiro e segundo elementos se as probabilidades de falha do primeiro, segundo e terceiro elementos forem respectivamente iguais a 0,2; 0,4 e 0,3.

Solução. Denotado por MAS evento - dois elementos falharam. As seguintes hipóteses podem ser feitas:

- o primeiro e o segundo elementos falharam e o terceiro elemento pode ser reparado. Como os elementos funcionam independentemente, o teorema da multiplicação se aplica:

Exemplo 1. Uma empresa fabricante de computadores obtém as mesmas peças de três fornecedores. O primeiro fornece 50% de todos os componentes, o segundo - 20%, o terceiro - 30% das peças.
Sabe-se que a qualidade das peças fornecidas é diferente e, nos produtos do primeiro fornecedor, o percentual de defeitos é de 4%, o segundo - 5%, o terceiro - 2%. Determine a probabilidade de que uma peça selecionada aleatoriamente de todas as recebidas seja defeituosa.

Solução. Vamos denotar os eventos: A - "item selecionado com defeito", H i - "item selecionado recebido do i-ésimo fornecedor", i =1, 2, 3 Hipóteses H 1 , H 2 , H 3 formam um grupo completo de eventos incompatíveis. Por condição
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H 3) = 0,02

De acordo com a fórmula de probabilidade total (1.11), a probabilidade do evento A é igual a
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02=0,036
A probabilidade de que uma peça escolhida ao acaso seja defeituosa é 0,036.

Deixe o evento A já ter ocorrido nas condições do exemplo anterior: a peça selecionada acabou sendo defeituosa. Qual é a probabilidade de que tenha sido recebido do primeiro fornecedor? A resposta a esta pergunta é dada pela fórmula de Bayes.
Iniciamos a análise de probabilidades apenas com valores preliminares, a priori, das probabilidades dos eventos. Em seguida, foi feito um experimento (uma parte foi selecionada) e recebemos informações adicionais sobre o evento de nosso interesse. Com essas novas informações, podemos refinar os valores das probabilidades anteriores. Os novos valores das probabilidades dos mesmos eventos já serão probabilidades a posteriori (pós-experimentais) das hipóteses (Fig. 1.5).

Esquema de reavaliação de hipóteses
Seja o evento A realizado apenas em conjunto com uma das hipóteses H 1 , H 2 , …, H n (grupo completo de eventos incompatíveis). Denotamos probabilidades a priori das hipóteses P(H i) probabilidades condicionais do evento A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Se o experimento já foi realizado e como resultado dele ocorreu o evento A, então as probabilidades a posteriori das hipóteses serão as probabilidades condicionais P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Na notação do exemplo anterior, P(H 1 |A) é a probabilidade de que a peça selecionada, que se revelou defeituosa, tenha sido recebida do primeiro fornecedor.
Estamos interessados ​​na probabilidade do evento H k |A Considere a ocorrência conjunta dos eventos H k e A, ou seja, o evento AH k . Sua probabilidade pode ser encontrada de duas maneiras, usando as fórmulas de multiplicação (1.5) e (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Equacione as partes certas dessas fórmulas
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

portanto, a probabilidade posterior da hipótese H k é

O denominador é a probabilidade total do evento A. Substituindo em vez de P(A) seu valor de acordo com a fórmula de probabilidade total (1.11), obtemos:
(1.12)
A fórmula (1.12) é chamada Fórmula de Bayes e é usado para reavaliar as probabilidades de hipóteses.
Nas condições do exemplo anterior, encontramos a probabilidade de que a peça defeituosa tenha sido recebida do primeiro fornecedor. Vamos resumir em uma tabela as probabilidades a priori das hipóteses P(H i) conhecidas por nós pela condição, as probabilidades condicionais P(A|H i) as probabilidades conjuntas calculadas no processo de resolver P(AH i) = P(H i) P(A|H i) e calculado pela fórmula (1.12) probabilidades a posteriori P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Tabela 1.3).

Tabela 1.3 - Reavaliação das hipóteses

Hipóteses Oi	Probabilidades
	Anterior P(H i)	Condicional P(A|H i)	Junta P(AH i)	A posteriori P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - peça recebida do primeiro fornecedor	0.5	0.04	0.02
H 2 - peça recebida de um segundo fornecedor	0.2	0.05	0.01
H 3 - peça recebida de terceiro fornecedor	0.3	0.02	0.006
Soma	1.0	-	0.036	1

Considere a última linha desta tabela. A segunda coluna contém a soma das probabilidades de eventos incompatíveis H 1 , H 2 , H 3 formando um grupo completo:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
Na quarta coluna, o valor em cada linha (probabilidades conjuntas) é obtido pela regra de multiplicação de probabilidades multiplicando os valores correspondentes na segunda e terceira colunas, e na última linha 0,036 é a probabilidade total do evento A (pela fórmula de probabilidade total).
Na coluna 5, as probabilidades posteriores das hipóteses são calculadas usando a fórmula de Bayes (1.12):

As probabilidades posteriores P(H 2 |A) e P(H 3 |A) são calculadas de forma semelhante, sendo o numerador da fração as probabilidades conjuntas registradas nas linhas correspondentes da coluna 4, e o denominador sendo a probabilidade total do evento A registrado na última linha da coluna 4.
A soma das probabilidades das hipóteses após o experimento é igual a 1 e está escrita na última linha da quinta coluna.
Assim, a probabilidade de que a peça defeituosa tenha sido recebida do primeiro fornecedor é 0,555. A probabilidade pós-experimental é maior que a a priori (devido ao grande volume de oferta). A probabilidade pós-experimental de que a peça defeituosa tenha sido recebida do segundo fornecedor é de 0,278 e também é maior que a pré-experimental (devido ao grande número de rejeições). A probabilidade pós-experimental de que uma peça defeituosa tenha sido obtida de um terceiro fornecedor é 0,167.

Exemplo #3. Existem três urnas idênticas; a primeira urna contém duas bolas brancas e uma preta; no segundo, três brancos e um negro; no terceiro - duas bolas brancas e duas pretas. Para o experimento, uma urna é escolhida ao acaso e uma bola é retirada dela. Encontre a probabilidade de que essa bola seja branca.
Solução. Vamos considerar três hipóteses: H 1 - a primeira urna é escolhida, H 2 - a segunda urna é escolhida, H 3 - a terceira urna é escolhida e o evento A - a bola branca é retirada.
Como as hipóteses são igualmente prováveis ​​pela condição do problema, então

As probabilidades condicionais do evento A sob essas hipóteses são respectivamente iguais:
De acordo com a fórmula de probabilidade total

Exemplo #4. Há 19 fuzis na pirâmide, 3 deles com mira óptica. O atirador, atirando de um rifle com mira óptica, pode acertar o alvo com uma probabilidade de 0,81, e atirando de um rifle sem mira óptica, com uma probabilidade de 0,46. Encontre a probabilidade de que o atirador atinja o alvo atirando de um rifle selecionado aleatoriamente.
Solução. Aqui o primeiro teste é uma escolha aleatória de rifle, o segundo é o tiro ao alvo. Considere os seguintes eventos: A - o atirador acertará o alvo; H 1 - o atirador levará um rifle com mira óptica; H 2 - o atirador levará um rifle sem mira óptica. Usamos a fórmula de probabilidade total. Nós temos

Considerando que os rifles são selecionados um de cada vez, e usando a fórmula clássica de probabilidade, temos: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
As probabilidades condicionais são dadas no enunciado do problema: P(A|H 1) = 0;81 e P(A|H 2) = 0;46. Consequentemente,

Exemplo número 5. De uma urna contendo 2 bolas brancas e 3 pretas, duas bolas são retiradas ao acaso e 1 bola branca é adicionada à urna. Encontre a probabilidade de que uma bola retirada ao acaso seja branca.
Solução. O evento “uma bola branca é sorteada” será denotado por A. O evento H 1 - duas bolas brancas são retiradas ao acaso; H 2 - duas bolas pretas foram retiradas ao acaso; H 3 - uma bola branca e uma bola preta foram sorteadas. Então as probabilidades das hipóteses apresentadas

As probabilidades condicionais sob essas hipóteses são respectivamente iguais: P(A|H 1) = 1/4 - a probabilidade de tirar uma bola branca se houver atualmente uma bola branca e três pretas na urna, P(A|H 2) = 3/4 - probabilidade de tirar uma bola branca se houver atualmente três bolas brancas e uma preta na urna, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - probabilidade de tirar uma bola branca se houver duas bolas brancas e uma preta na urna no momento duas bolas pretas. De acordo com a fórmula de probabilidade total

Exemplo número 6. Dois tiros são disparados contra o alvo. A probabilidade de acertar com o primeiro tiro é de 0,2, com o segundo - 0,6. A probabilidade de destruir o alvo com um acerto é de 0,3, com dois - 0,9. Encontre a probabilidade de que o alvo seja destruído.
Solução. Seja o evento A o objetivo é destruído. Para fazer isso, basta acertar com um tiro em dois ou acertar o alvo em sequência com dois tiros sem errar. Vamos levantar hipóteses: H 1 - os dois tiros acertam o alvo. Então P(H1) = 0,2 0,6 = 0;12. H 2 - na primeira ou na segunda vez que uma falha foi cometida. Então P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. A hipótese H 3 - ambos os tiros foram errados - não é levada em consideração, pois a probabilidade de destruir o alvo é zero. Então as probabilidades condicionais são respectivamente iguais: a probabilidade de destruir o alvo sob a condição de ambos os tiros bem sucedidos é P(A|H 1) = 0,9, e a probabilidade de destruir o alvo sob a condição de apenas um tiro bem sucedido é P( A|H 2) = 0,3. Então a probabilidade de destruir o alvo de acordo com a fórmula de probabilidade total é igual a.