Se a aceleração de um ponto material é zero em todos os momentos, então a velocidade de seu movimento é constante em magnitude e direção. A trajetória neste caso é uma linha reta. O movimento de um ponto material sob as condições formuladas é chamado de retilíneo uniforme. Com o movimento retilíneo, a componente centrípeta da aceleração está ausente e, como o movimento é uniforme, a componente tangencial da aceleração é zero.

Se a aceleração permanece constante no tempo (), então o movimento é chamado igualmente variável ou irregular. O movimento uniformemente variável pode ser acelerado uniformemente se a > 0, e igualmente lento se a< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

onde v o - velocidade inicial em t=0, v - velocidade no instante t.

De acordo com a fórmula (1.4) ds = vdt. Então

Como para movimento uniforme a = const, então

(1.8)

As fórmulas (1.7) e (1.8) são válidas não apenas para o movimento retilíneo uniformemente variável (não uniforme), mas também para a queda livre de um corpo e para o movimento de um corpo lançado para cima. Nos dois últimos casos, um \u003d g \u003d 9,81 m / s 2.

Para movimento retilíneo uniforme v = v o = const, a = 0, e a fórmula (1.8) assume a forma s = vt.

O movimento circular é o caso mais simples de movimento curvilíneo. A velocidade v de movimento de um ponto material ao longo de um círculo é chamada linear. Com uma velocidade linear módulo constante, o movimento em um círculo é uniforme. Não há aceleração tangencial de um ponto material durante o movimento uniforme ao longo de um círculo e t \u003d 0. Isso significa que não há mudança no módulo de velocidade. A mudança no vetor velocidade linear na direção é caracterizada pela aceleração normal, e n ¹ 0. Em cada ponto da trajetória circular, o vetor a n é direcionado ao longo do raio até o centro do círculo.

e n \u003d v 2 / R, m / s 2. (1.9)

A aceleração resultante é de fato centrípeta (normal), pois em Dt->0 Dj também tende a zero (Dj->0) e os vetores e serão direcionados ao longo do raio do círculo para seu centro.

Junto com a velocidade linear v, o movimento uniforme de um ponto material ao longo de um círculo é caracterizado por uma velocidade angular. A velocidade angular é a razão do ângulo de rotação Dj do raio vetor para o intervalo de tempo durante o qual esta rotação ocorreu,

Rad/s (1,10)

Para movimento irregular, o conceito de velocidade angular instantânea é usado

.

O intervalo de tempo t, durante o qual o ponto material faz uma revolução completa ao redor da circunferência, é chamado de período de rotação, e o recíproco do período é a frequência de rotação: n \u003d 1 / T, s -1.

Por um período, o ângulo de rotação do vetor de raio de um ponto material é 2π rad, portanto, Dt \u003d T, de onde o período de rotação e a velocidade angular são uma função do período ou frequência de rotação

Sabe-se que com um movimento uniforme de um ponto material ao longo de um círculo, o caminho percorrido por ele depende do tempo de movimento e da velocidade linear: s = vt, m. O caminho que um ponto material percorre ao longo de um círculo com raio R , para um período, é igual a 2πR. O tempo necessário para isso é igual ao período de rotação, ou seja, t \u003d T. E, portanto,

2πR = vT, m (1,11)

e v = 2nR/T = 2πnR, m/s. Como o ângulo de rotação do vetor raio de um ponto material durante o período de rotação T é igual a 2π, então, com base em (1.10), com Dt = T, . Substituindo em (1.11), obtemos e daqui encontramos a relação entre a velocidade linear e angular

A velocidade angular é uma grandeza vetorial. O vetor velocidade angular é direcionado a partir do centro do círculo ao longo do qual o ponto material se move com velocidade linear v, perpendicular ao plano do círculo de acordo com a regra do parafuso direito.

Com o movimento não uniforme de um ponto material ao longo de um círculo, as velocidades lineares e angulares mudam. Por analogia com a aceleração linear, neste caso, introduz-se o conceito de aceleração angular média e instantânea: . A relação entre as acelerações tangencial e angular tem a forma .

A ação de uma força sobre um corpo, em alguns casos, pode levar a uma mudança apenas no módulo do vetor velocidade desse corpo e, em outros, a uma mudança na direção da velocidade. Vamos mostrar isso com exemplos.

A Figura 34, a mostra uma bola sobre a mesa no ponto A. A bola está amarrada a uma das extremidades do cordão de borracha. A segunda extremidade da corda está presa à mesa no ponto O. Se a bola for movida para o ponto B, a corda se esticará. Neste caso, uma força elástica F aparecerá nela, agindo sobre a bola e tendendo a devolvê-la à sua posição original.

Se agora soltarmos a bola, então sob a ação da força F ela acelerará em direção ao ponto A. Nesse caso, a velocidade da bola em qualquer ponto da trajetória (por exemplo, no ponto C) é codirigida com a força elástica e a aceleração resultante da ação dessa força. Nesse caso, apenas o módulo do vetor velocidade da bola muda, enquanto a direção do vetor velocidade permanece inalterada e a bola se move em linha reta.

Arroz. 34. Se a velocidade do corpo e a força que atua sobre ele são direcionadas ao longo de uma linha reta, então o corpo se move retilíneo, e se elas são direcionadas ao longo de linhas que se cruzam, o corpo se move curvilínea

Agora considere um exemplo em que, sob a ação de uma força elástica, a bola se move curvilínea (ou seja, a trajetória de seu movimento é uma linha curva). A Figura 34, b mostra a mesma bola em uma corda de borracha, no ponto A. Vamos empurrar a bola para o ponto B, ou seja, dar-lhe uma velocidade inicial perpendicular ao segmento O A. Se nenhuma força agiu sobre a bola, então ele reteria a magnitude e a direção da velocidade resultante (lembre-se do fenômeno da inércia). Mas, movendo-se para o ponto B, a bola se afasta do ponto O e estica ligeiramente a corda. Portanto, uma força elástica F surge na corda, buscando encurtá-la ao seu comprimento original e ao mesmo tempo aproximar a bola do ponto O. movimento muda ligeiramente, então ele se move ao longo de uma trajetória curvilínea AC. Em qualquer ponto da trajetória (por exemplo, no ponto C), a velocidade da bola v e a força F são direcionadas ao longo de linhas de interseção: a velocidade é tangencial à trajetória e a força é direcionada para o ponto O.

Os exemplos considerados mostram que a ação de uma força sobre um corpo pode levar a resultados diferentes dependendo da direção dos vetores velocidade e força.

Se a velocidade do corpo e a força que atua sobre ele são direcionadas ao longo de uma linha reta, então o corpo se move retilíneo, e se eles são direcionados ao longo de linhas que se cruzam, então o corpo se move curvilínea.

A afirmação inversa também é verdadeira: se o corpo se move de forma curvilínea, isso significa que algum tipo de força atua sobre ele, mudando a direção da velocidade, e em cada ponto a força e a velocidade são direcionadas ao longo de linhas retas que se cruzam.

Existem inúmeras trajetórias curvilíneas diferentes. Mas muitas vezes linhas curvas, como a linha ABCDEF (Fig. 35), podem ser representadas como um conjunto de arcos de círculos de raios diferentes.

Arroz. 35. A trajetória ABCDEF pode ser representada como um conjunto de arcos de círculos de diferentes raios

Portanto, em muitos casos, o estudo do movimento curvilíneo de um corpo é reduzido ao estudo de seu movimento em círculo.

Questões

1. Considere a Figura 34 e responda às perguntas: sob a influência de que força a bola adquire velocidade e se move do ponto B para o ponto A? O que causou esse poder? Qual é a direção da aceleração, a velocidade da bola e a força que atua sobre ela? Qual é a trajetória da bola?
2. Considere a Figura 34, C responda às perguntas: por que a força elástica surgiu na corda e como ela é direcionada em relação à própria corda? O que se pode dizer sobre a direção da velocidade da bola e a força elástica da corda que age sobre ela? Como a bola se move - reta ou curva?
3. Sob que condição um corpo se move em linha reta sob a ação de uma força, e sob que condição ele se move em direção curvilínea?

Exercício 17

Com a ajuda desta lição, você poderá estudar independentemente o tópico “Movimento retilíneo e curvilíneo. O movimento de um corpo em um círculo com uma velocidade de módulo constante. Primeiro, caracterizamos o movimento retilíneo e curvilíneo considerando como o vetor velocidade e a força aplicada ao corpo estão relacionados nesses tipos de movimento. Em seguida, consideramos um caso especial quando o corpo se move ao longo de um círculo com uma velocidade módulo constante.

Na lição anterior, consideramos questões relacionadas à lei da gravitação universal. O tópico da lição de hoje está intimamente relacionado a esta lei, vamos nos voltar para o movimento uniforme de um corpo em um círculo.

Antes dissemos que movimento - esta é uma mudança na posição de um corpo no espaço em relação a outros corpos ao longo do tempo. O movimento e a direção do movimento são caracterizados, entre outras coisas, pela velocidade. A mudança na velocidade e o próprio tipo de movimento estão associados à ação de uma força. Se uma força atua sobre um corpo, então o corpo muda sua velocidade.

Se a força é direcionada paralelamente ao movimento do corpo, então tal movimento será para a frente(Figura 1).

Arroz. 1. Movimento retilíneo

curvilíneo haverá tal movimento quando a velocidade do corpo e a força aplicada a esse corpo forem direcionadas uma em relação à outra em um determinado ângulo (Fig. 2). Neste caso, a velocidade mudará sua direção.

Arroz. 2. Movimento curvilíneo

Então, ao movimento retilíneo o vetor velocidade é direcionado na mesma direção que a força aplicada ao corpo. MAS movimento curvilíneoé tal movimento quando o vetor velocidade e a força aplicada ao corpo estão localizados em algum ângulo entre si.

Considere um caso especial de movimento curvilíneo, quando o corpo se move em círculo com velocidade constante em valor absoluto. Quando um corpo se move em círculo com velocidade constante, apenas a direção da velocidade muda. Módulo permanece constante, mas a direção da velocidade muda. Tal mudança na velocidade leva à presença de uma aceleração no corpo, que é chamada de centrípeto.

Arroz. 6. Movimento ao longo de um caminho curvo

Se a trajetória do movimento do corpo é uma curva, então ela pode ser representada como um conjunto de movimentos ao longo de arcos de círculos, como mostrado na Fig. 6.

Na fig. 7 mostra como a direção do vetor velocidade muda. A velocidade durante esse movimento é direcionada tangencialmente ao círculo ao longo do arco do qual o corpo se move. Assim, sua direção está em constante mudança. Mesmo que a velocidade do módulo permaneça constante, uma mudança na velocidade leva a uma aceleração:

Nesse caso aceleração será direcionado para o centro do círculo. Por isso é chamado de centrípeto.

Por que a aceleração centrípeta é direcionada para o centro?

Lembre-se de que, se um corpo se move ao longo de uma trajetória curva, sua velocidade é tangencial. A velocidade é uma grandeza vetorial. Um vetor tem um valor numérico e uma direção. A velocidade à medida que o corpo se move continuamente muda sua direção. Ou seja, a diferença de velocidades em diferentes pontos no tempo não será igual a zero (), ao contrário de um movimento uniforme retilíneo.

Então, temos uma mudança na velocidade ao longo de um certo período de tempo. A relação com é a aceleração. Chegamos à conclusão de que, mesmo que a velocidade não varie em valor absoluto, um corpo que realiza movimento uniforme em círculo tem uma aceleração.

Para onde essa aceleração é direcionada? Considere a Fig. 3. Algum corpo se move curvilínea (em um arco). A velocidade do corpo nos pontos 1 e 2 é tangencial. O corpo se move uniformemente, ou seja, os módulos das velocidades são iguais: , mas as direções das velocidades não coincidem.

Arroz. 3. Movimento do corpo em círculo

Subtraia a velocidade de e obtenha o vetor . Para fazer isso, você precisa conectar os inícios de ambos os vetores. Em paralelo, movemos o vetor para o início do vetor . Construímos até um triângulo. O terceiro lado do triângulo será o vetor de diferença de velocidade (Fig. 4).

Arroz. 4. Vetor de diferença de velocidade

O vetor é direcionado para o círculo.

Considere um triângulo formado pelos vetores velocidade e pelo vetor diferença (Fig. 5).

Arroz. 5. Triângulo formado por vetores de velocidade

Este triângulo é isósceles (os módulos de velocidade são iguais). Portanto, os ângulos na base são iguais. Vamos escrever a equação para a soma dos ângulos de um triângulo:

Descubra para onde a aceleração é direcionada em um determinado ponto da trajetória. Para fazer isso, começamos a aproximar o ponto 2 do ponto 1. Com uma diligência tão ilimitada, o ângulo tenderá a 0 e o ângulo - a. O ângulo entre o vetor de mudança de velocidade e o próprio vetor de velocidade é . A velocidade é direcionada tangencialmente e o vetor de mudança de velocidade é direcionado para o centro do círculo. Isso significa que a aceleração também é direcionada para o centro do círculo. É por isso que essa aceleração é chamada centrípeto.

Como encontrar a aceleração centrípeta?

Considere a trajetória ao longo da qual o corpo se move. Neste caso, trata-se de um arco de círculo (Fig. 8).

Arroz. 8. Movimento do corpo em círculo

A figura mostra dois triângulos: um triângulo formado pelas velocidades e um triângulo formado pelos raios e o vetor deslocamento. Se os pontos 1 e 2 estiverem muito próximos, o vetor deslocamento será o mesmo que o vetor caminho. Ambos os triângulos são isósceles com os mesmos ângulos de vértice. Portanto, os triângulos são semelhantes. Isso significa que os lados correspondentes dos triângulos estão na mesma proporção:

O deslocamento é igual ao produto da velocidade pelo tempo: . Substituindo esta fórmula, você pode obter a seguinte expressão para a aceleração centrípeta:

Velocidade angular denotado pela letra grega ômega (ω), indica em que ângulo o corpo gira por unidade de tempo (Fig. 9). Esta é a magnitude do arco, em graus, percorrido pelo corpo em algum tempo.

Arroz. 9. Velocidade angular

Observe que, se um corpo rígido gira, a velocidade angular para qualquer ponto desse corpo será um valor constante. O ponto está mais próximo do centro de rotação ou mais distante - não importa, ou seja, não depende do raio.

A unidade de medida neste caso será graus por segundo (), ou radianos por segundo (). Muitas vezes a palavra "radiano" não é escrita, mas simplesmente escrita. Por exemplo, vamos descobrir qual é a velocidade angular da Terra. A Terra faz uma rotação completa em uma hora, e neste caso podemos dizer que a velocidade angular é igual a:

Preste também atenção à relação entre as velocidades angulares e lineares:

A velocidade linear é diretamente proporcional ao raio. Quanto maior o raio, maior a velocidade linear. Assim, afastando-se do centro de rotação, aumentamos nossa velocidade linear.

Deve-se notar que o movimento em um círculo com velocidade constante é um caso especial de movimento. No entanto, o movimento circular também pode ser irregular. A velocidade pode mudar não só no sentido e permanecer a mesma em valor absoluto, mas também no seu valor, ou seja, além de mudar o sentido, há também uma mudança no módulo de velocidade. Neste caso, estamos falando do chamado movimento circular acelerado.

O que é um radiano?

Existem duas unidades para medir ângulos: graus e radianos. Na física, como regra, a medida em radianos de um ângulo é a principal.

Vamos construir um ângulo central , que se baseia em um arco de comprimento .

movimento mecânico. Relatividade do movimento mecânico. Sistema de referência

O movimento mecânico é entendido como uma mudança ao longo do tempo na posição relativa dos corpos ou suas partes no espaço: por exemplo, o movimento dos corpos celestes, flutuações na crosta terrestre, correntes aéreas e marítimas, o movimento de aeronaves e veículos, máquinas e mecanismos, deformação de elementos estruturais e estruturas, movimento de líquidos e gases, etc.

Relatividade do movimento mecânico

Estamos familiarizados com a relatividade do movimento mecânico desde a infância. Então, sentados em um trem e observando um trem se afastando, que anteriormente estava em uma linha paralela, muitas vezes não podemos determinar qual dos trens realmente começou a se mover. E aqui deve ser imediatamente esclarecido: mover-se em relação a quê? Em relação à Terra, é claro. Porque começamos a nos mover em relação ao trem vizinho, independentemente de qual dos trens iniciou seu movimento em relação à Terra.

A relatividade do movimento mecânico está na relatividade das velocidades de movimento dos corpos: as velocidades dos corpos em relação a diferentes sistemas de referência serão diferentes (a velocidade de uma pessoa movendo-se em um trem, vapor, avião será diferente tanto em magnitude quanto em direção, dependendo de qual sistema de referência essas velocidades são determinadas: no referencial associado a um veículo em movimento ou a uma Terra estacionária).

As trajetórias do movimento do corpo em diferentes referenciais também serão diferentes. Assim, por exemplo, gotas de chuva caindo verticalmente no chão deixarão um rastro na forma de jatos oblíquos na janela de um trem em movimento. Da mesma forma, qualquer ponto na hélice giratória de uma aeronave voadora ou de um helicóptero descendo ao solo descreve um círculo em relação à aeronave e uma curva muito mais complexa - uma hélice em relação à Terra. Assim, no movimento mecânico, a trajetória do movimento também é relativa.

O caminho percorrido pelo corpo também depende do referencial. Voltando ao mesmo passageiro sentado no trem, entendemos que a distância percorrida por ele em relação ao trem durante a viagem é igual a zero (se ele não deslocou o vagão) ou, em qualquer caso, muito menor que a distância que ele cobriu junto com o trem em relação à Terra. Assim, no movimento mecânico, o caminho também é relativo.

A consciência da relatividade do movimento mecânico (isto é, o fato de que o movimento de um corpo pode ser considerado em diferentes referenciais) levou à transição do sistema geocêntrico do mundo de Ptolomeu para o sistema heliocêntrico de Copérnico. Ptolomeu, seguindo o movimento do Sol e das estrelas no céu observados desde os tempos antigos, colocou a Terra imóvel no centro do Universo com o resto dos corpos celestes girando em torno dela. Copérnico também acreditava que a Terra e outros planetas giram em torno do Sol e simultaneamente em torno de seus eixos.

Assim, a mudança no sistema de referência (a Terra - no sistema geocêntrico do mundo e o Sol - no heliocêntrico) levou a um sistema heliocêntrico muito mais progressivo, o que permite resolver muitos problemas científicos e aplicados da astronomia e mudar a visão da humanidade sobre o Universo.

O sistema de coordenadas $X, Y, Z$, o corpo de referência ao qual está conectado e o dispositivo de medição do tempo (relógio) formam um quadro de referência, em relação ao qual o movimento do corpo é considerado.

corpo de referência um corpo é chamado, em relação ao qual uma mudança na posição de outros corpos no espaço é considerada.

O sistema de referência pode ser escolhido arbitrariamente. Nos estudos cinemáticos, todos os referenciais são iguais. Em problemas de dinâmica, quaisquer referenciais em movimento arbitrário também podem ser usados, mas referenciais inerciais são mais convenientes, pois as características de movimento neles têm uma forma mais simples.

Ponto material

Um ponto material é um objeto de tamanho desprezível, com massa.

O conceito de "ponto material" é introduzido para descrever (com a ajuda de fórmulas matemáticas) o movimento mecânico dos corpos. Isso é feito porque é mais fácil descrever o movimento de um ponto do que de um corpo real, cujas partículas, além disso, podem se mover em velocidades diferentes (por exemplo, durante a rotação do corpo ou deformações).

Se um corpo real é substituído por um ponto material, a massa desse corpo é atribuída a esse ponto, mas suas dimensões são desprezadas e, ao mesmo tempo, a diferença nas características do movimento de seus pontos (velocidades, acelerações , etc.), se houver, é desprezado. Em que casos isso pode ser feito?

Quase qualquer corpo pode ser considerado um ponto material, se as distâncias percorridas pelos pontos do corpo forem muito grandes em relação às suas dimensões.

Por exemplo, a Terra e outros planetas são considerados pontos materiais ao estudar seu movimento ao redor do Sol. Nesse caso, as diferenças no movimento de vários pontos de qualquer planeta, causadas por sua rotação diária, não afetam as grandezas que descrevem o movimento anual.

Portanto, se no movimento estudado de um corpo sua rotação em torno de um eixo pode ser desprezada, tal corpo pode ser representado como um ponto material.

No entanto, ao resolver problemas relacionados à rotação diária dos planetas (por exemplo, ao determinar o nascer do sol em diferentes locais da superfície do globo), não faz sentido considerar um planeta como um ponto material, pois o resultado da problema depende do tamanho deste planeta e da velocidade de movimento dos pontos em sua superfície.

É legítimo considerar uma aeronave como um ponto material se, por exemplo, for necessário determinar a velocidade média de seu movimento no caminho de Moscou a Novosibirsk. Mas ao calcular a força de resistência do ar que atua em uma aeronave em voo, ela não pode ser considerada um ponto material, pois a força de arrasto depende do tamanho e da forma da aeronave.

Se um corpo se move para frente, mesmo que suas dimensões sejam comparáveis ​​às distâncias que ele percorre, esse corpo pode ser considerado um ponto de massa (já que todos os pontos do corpo se movem da mesma maneira).

Em conclusão, podemos dizer: um corpo cujas dimensões podem ser desprezadas nas condições do problema em consideração pode ser considerado um ponto material.

Trajetória

Uma trajetória é uma linha (ou, como dizem, uma curva) que um corpo descreve ao se mover em relação a um corpo de referência selecionado.

Só faz sentido falar de trajetória quando o corpo pode ser representado como um ponto material.

As trajetórias podem ter formas diferentes. Às vezes é possível julgar a forma da trajetória pelo traço aparente deixado por um corpo em movimento, por exemplo, um avião voando ou um meteoro correndo pelo céu noturno.

A forma da trajetória depende da escolha do corpo de referência. Por exemplo, em relação à Terra, a trajetória da Lua é um círculo, em relação ao Sol - uma linha de forma mais complexa.

Ao estudar o movimento mecânico, como regra, a Terra é considerada um corpo de referência.

Métodos para especificar a posição de um ponto e descrever seu movimento

A posição de um ponto no espaço é especificada de duas maneiras: 1) usando coordenadas; 2) usando o vetor raio.

A posição de um ponto com a ajuda de coordenadas é dada por três projeções do ponto $x, y, z$ nos eixos do sistema de coordenadas cartesianas $ОХ, ОУ, OZ$, conectado com o corpo de referência. Para isso, a partir do ponto A é necessário baixar as perpendiculares no plano $YZ$ (coordenada $x$), $XZ$ (coordenada $y$), $XY$ (coordenada $z$), respectivamente. Está escrito assim: $A(x, y, z)$. Para o caso específico, $(x=6, y=10,2, z= 4,5$), o ponto $A$ é denotado por $A(6; 10; 4,5)$.

Pelo contrário, se forem fornecidos valores específicos das coordenadas de um ponto em um determinado sistema de coordenadas, para visualizar o próprio ponto, é necessário plotar os valores das coordenadas nos eixos correspondentes ($x$ no eixo $OX$, etc.) e construir um paralelepípedo nestes três segmentos perpendiculares entre si. Seu vértice, oposto à origem $O$ e situado na diagonal do paralelepípedo, será o ponto desejado $A$.

Se um ponto se move dentro de um determinado plano, basta traçar dois eixos de coordenadas através dos pontos escolhidos no corpo de referência: $ОХ$ e $ОУ$. Então a posição do ponto no plano é determinada por duas coordenadas $x$ e $y$.

Se o ponto se move ao longo de uma linha reta, basta definir um eixo de coordenadas OX e direcioná-lo ao longo da linha de movimento.

A definição da posição do ponto $A$ usando o vetor raio é feita conectando o ponto $A$ com a origem $O$. O segmento direcionado $OA = r↖(→)$ é chamado de vetor raio.

Vetor de raioé um vetor que liga a origem à posição de um ponto em um ponto arbitrário no tempo.

Um ponto é dado por um vetor de raio se seu comprimento (módulo) e direção no espaço são conhecidos, ou seja, os valores de suas projeções $r_x, r_y, r_z$ nos eixos coordenados $OX, OY, OZ$, ou o ângulos entre o vetor raio e os eixos coordenados. Para o caso de movimento em um plano, temos:

Aqui $r=|r↖(→)|$ é o módulo do vetor raio $r↖(→), r_x$ e $r_y$ são suas projeções nos eixos coordenados, todas as três quantidades são escalares; xxy - coordenadas do ponto A.

As últimas equações demonstram a conexão entre os métodos de coordenadas e vetoriais para especificar a posição de um ponto.

O vetor $r↖(→)$ também pode ser decomposto em componentes ao longo dos eixos $X$ e $Y$, ou seja, representado como a soma de dois vetores:

$r↖(→)=r↖(→)_x+r↖(→)_y$

Assim, a posição de um ponto no espaço é dada por suas coordenadas ou pelo vetor raio.

Métodos para descrever o movimento de um ponto

De acordo com os métodos de especificação de coordenadas, o movimento de um ponto pode ser descrito: 1) de forma coordenada; 2) de forma vetorial.

Com o método de coordenadas para descrever (ou definir) o movimento, a mudança nas coordenadas de um ponto ao longo do tempo é escrita como funções de todas as três coordenadas do tempo:

As equações são chamadas de equações cinemáticas de movimento de um ponto, escritas em forma de coordenadas. Conhecendo as equações cinemáticas do movimento e as condições iniciais (ou seja, a posição do ponto no momento inicial), é possível determinar a posição do ponto em qualquer momento.

Com o método vetorial para descrever o movimento de um ponto, a mudança em sua posição com o tempo é dada pela dependência do vetor raio no tempo:

$r↖(→)=r↖(→)(t)$

A equação é uma equação de movimento pontual escrita na forma vetorial. Se for conhecido, então para qualquer momento de tempo é possível calcular o vetor raio de um ponto, ou seja, determinar sua posição (como no caso do método de coordenadas). Assim, definir três equações escalares é equivalente a definir uma equação vetorial.

Para cada caso de movimento, a forma das equações será bem definida. Se a trajetória do ponto é uma linha reta, o movimento é chamado de retilíneo, e se a curva é curvilínea.

Movimento e caminho

Movimento em mecânica é um vetor que conecta as posições de um ponto em movimento no início e no final de um determinado período de tempo.

O conceito de vetor de deslocamento é introduzido para resolver o problema da cinemática - para determinar a posição de um corpo (ponto) no espaço em um determinado tempo, se sua posição inicial for conhecida.

Na fig. o vetor $(M_1M_2)↖(-)$ conecta duas posições do ponto móvel - $M_1$ e $M_2$ nos momentos $t_1$ e $t_2$, respectivamente, e, segundo a definição, é um vetor de deslocamento. Se o ponto $M_1$ é dado pelo vetor raio $r↖(→)_1$, e o ponto $M_2$ é dado pelo vetor raio $r↖(→)_2$, então, como pode ser visto na figura, o vetor deslocamento é igual à diferença desses dois vetores , ou seja, a mudança no vetor raio ao longo do tempo $∆t=t_2-t_1$:

$∆r↖(→)=r↖(→)_2-r↖(→)_1$.

A adição de deslocamentos (por exemplo, em duas seções vizinhas da trajetória) $∆r↖(→)_1$ e $∆r↖(→)_2$ é realizada de acordo com a regra de adição vetorial:

$∆r=∆r↖(→)_2+∆r↖(→)_1$

O caminho é o comprimento da seção da trajetória percorrida por um ponto material em um determinado período de tempo. O módulo do vetor deslocamento geralmente não é igual ao comprimento do caminho percorrido pelo ponto no tempo $∆t$ (a trajetória pode ser curvilínea e, além disso, o ponto pode mudar a direção do movimento).

O módulo do vetor deslocamento é igual ao caminho apenas para movimento retilíneo em uma direção. Se a direção do movimento retilíneo muda, a magnitude do vetor de deslocamento é menor que o caminho.

Com o movimento curvilíneo, o módulo do vetor deslocamento também é menor que a trajetória, pois a corda é sempre menor que o comprimento do arco que ela subtende.

Velocidade do ponto do material

A velocidade caracteriza a velocidade com que ocorrem quaisquer mudanças no mundo ao nosso redor (o movimento da matéria no espaço e no tempo). O movimento de um pedestre na calçada, o vôo de um pássaro, a propagação do som, ondas de rádio ou luz no ar, o fluxo de água de um cano, o movimento das nuvens, a evaporação da água, o aquecimento de um ferro - todos esses fenômenos são caracterizados por uma certa velocidade.

No movimento mecânico dos corpos, a velocidade caracteriza não apenas a velocidade, mas também a direção do movimento, ou seja, é grandeza vetorial.

A velocidade $υ↖(→)$ de um ponto é o limite da razão entre o deslocamento $∆r↖(→)$ e o intervalo de tempo $∆t$ durante o qual esse deslocamento ocorreu, pois $∆t$ tende a zero (ou seja, a derivada $∆r↖(→)$ em $t$):

$υ↖(→)=(lim)↙(∆t→0)(∆r↖(→))/(∆t)=r↖(→)_1"$

As componentes do vetor velocidade ao longo dos eixos $X, Y, Z$ são definidas de forma semelhante:

$υ↖(→)_x=(lim)↙(∆t→0)(∆x)/(∆t)=x"; υ_y=y"; υ_z=z"$

O conceito de velocidade definido desta forma também é chamado de velocidade instantânea. Esta definição de velocidade é válida para qualquer tipo de movimento - desde curvilíneo desigual a retilíneo uniforme. Quando se fala em velocidade durante o movimento irregular, entende-se como velocidade instantânea. Esta definição implica diretamente na natureza vetorial da velocidade, uma vez que em movimento- grandeza vetorial. O vetor velocidade instantânea $υ↖(→)$ é sempre direcionado tangencialmente à trajetória do movimento. Indica a direção em que o corpo se moveria se, a partir do momento $t$, cessasse a ação de quaisquer outros corpos sobre ele.

velocidade média

A velocidade média de um ponto é introduzida para caracterizar o movimento não uniforme (isto é, movimento com velocidade variável) e é definida de duas maneiras.

1. A velocidade média do ponto $υ_(av)$ é igual à razão entre todo o caminho $∆s$ percorrido pelo corpo e todo o tempo de movimento $∆t$:

$υ↖(→)_(av)=(∆s)/(∆t)$

Com esta definição, a velocidade média é um escalar, pois a distância percorrida (distância) e o tempo são grandezas escalares.

Essa definição dá uma ideia de velocidade média no trecho de trajetória (velocidade média no solo).

2. A velocidade média de um ponto é igual à razão entre o movimento do ponto e o intervalo de tempo durante o qual esse movimento ocorreu:

$υ↖(→)_(av)=(∆r↖(→))/(∆t)$

A velocidade média de movimento é uma grandeza vetorial.

Para o movimento curvilíneo não uniforme, tal definição da velocidade média nem sempre permite determinar, mesmo aproximadamente, as velocidades reais ao longo do caminho do ponto. Por exemplo, se um ponto se moveu ao longo de um caminho fechado por algum tempo, seu deslocamento é zero (mas a velocidade é claramente diferente de zero). Nesse caso, é melhor usar a primeira definição da velocidade média.

De qualquer forma, deve-se distinguir entre essas duas definições de velocidade média e saber qual delas está sendo discutida.

A lei da adição de velocidades

A lei da adição de velocidades estabelece uma conexão entre os valores da velocidade de um ponto material em relação a diferentes sistemas de referência que se movem um em relação ao outro. Na física não relativística (clássica), quando as velocidades consideradas são pequenas em comparação com a velocidade da luz, a lei de adição de velocidade de Galileu é válida, expressa pela fórmula:

$υ↖(→)_2=υ↖(→)_1+υ↖(→)$

onde $υ↖(→)_2$ e $υ↖(→)_1$ são as velocidades de um corpo (ponto) em relação a dois referenciais inerciais - um referencial estacionário $K_2$ e um referencial $K_1$ em movimento com uma velocidade $υ↖(→ )$ em relação a $K_2$.

A fórmula pode ser obtida somando os vetores de deslocamento.

Para maior clareza, considere o movimento de um barco com velocidade $υ↖(→)_1$ em relação a um rio (sistema de referência $K_1$), cujas águas se movem com velocidade $υ↖(→)$ em relação à margem ( sistema de referência $K_2$).

Os vetores de deslocamento do barco em relação à água $∆r↖(→)_1$, o rio em relação à costa $∆r↖(→)$ e o vetor de deslocamento total do barco em relação à costa $∆r↖ (→)_2$ são mostrados na Fig..

Matematicamente:

$∆r↖(→)_2=∆r↖(→)_1+∆r↖(→)$

Dividindo ambos os lados da equação pelo intervalo de tempo $∆t$, temos:

$(∆r↖(→)_2)/(∆t)=(∆r↖(→)_1)/(∆t)+(∆r↖(→))/(∆t)$

Nas projeções do vetor velocidade nos eixos coordenados, a equação tem a forma:

$υ_(2x)=υ_(1x)+υ_x,$

$υ_(2y)=υ_(1y)+υ_y.$

As projeções de velocidade são adicionadas algebricamente.

Velocidade relativa

Segue-se da lei da adição de velocidades que se dois corpos se movem no mesmo referencial com velocidades $υ↖(→)_1$ e $υ↖(→)_2$, então a velocidade do primeiro corpo em relação ao segundo $υ↖(→) _(12)$ é igual à diferença nas velocidades desses corpos:

$υ↖(→)_(12)=υ↖(→)_1-υ↖(→)_2$

Assim, quando os corpos se movem em uma direção (ultrapassagem), o módulo da velocidade relativa é igual à diferença de velocidades e, quando se movem na direção oposta, é a soma das velocidades.

Aceleração do ponto material

A aceleração é um valor que caracteriza a taxa de variação da velocidade. Via de regra, o movimento é desigual, ou seja, ocorre em uma velocidade variável. Em algumas partes da trajetória, o corpo pode ter uma velocidade maior, em outras - menor. Por exemplo, um trem saindo de uma estação se move cada vez mais rápido ao longo do tempo. Aproximando-se da estação, ele, ao contrário, desacelera seu movimento.

Aceleração (ou aceleração instantânea) é uma grandeza física vetorial igual ao limite da razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo durante o qual esta variação ocorreu, quando $∆t$ tende a zero, (isto é, a derivada de $υ ↖(→)$ em relação a $ t$):

$a↖(→)=lim↙(∆t→0)(∆υ↖(→))/(∆t)=υ↖(→)_t"$

Os componentes de $a↖(→) (a_x, a_y, a_z)$ ​​são respectivamente:

$a_x=υ_x";a_y=υ_y";a_z=υ_z"$

A aceleração, como a mudança de velocidade, é direcionada para a concavidade da trajetória e pode ser decomposta em dois componentes - tangencial- tangencial à trajetória do movimento - e normal- perpendicular ao caminho.

De acordo com isso, a projeção da aceleração $а_х$ na tangente à trajetória é chamada tangente, ou tangencial aceleração, a projeção de $a_n$ na normal - normal, ou aceleração centrípeta.

A aceleração tangencial determina a quantidade de mudança no valor numérico da velocidade:

$a_t=lim↙(∆t→0)(∆υ)/(∆t)$

A aceleração normal ou centrípeta caracteriza a mudança na direção da velocidade e é determinada pela fórmula:

onde R é o raio de curvatura da trajetória em seu ponto correspondente.

O módulo de aceleração é determinado pela fórmula:

$a=√(a_t^2+a_n^2)$

No movimento retilíneo, a aceleração total $a$ é igual à tangencial $a=a_t$, já que a centrípeta $a_n=0$.

A unidade SI de aceleração é a aceleração na qual a velocidade de um corpo varia 1 m/s a cada segundo. Esta unidade é designada 1 m/s 2 e é chamada de "metro por segundo ao quadrado".

Movimento retilíneo uniforme

O movimento de um ponto é chamado de uniforme se ele percorre caminhos iguais em quaisquer intervalos de tempo iguais.

Por exemplo, se um carro percorre 20 km a cada quarto de hora (15 minutos), 40 km a cada meia hora (30 minutos), 80 km a cada hora (60 minutos), etc., esse movimento é considerado uniforme. Com movimento uniforme, o valor numérico (módulo) da velocidade do ponto $υ$ é um valor constante:

$υ=|υ↖(→)|=const$

O movimento uniforme pode ocorrer tanto ao longo de uma trajetória curvilínea quanto retilínea.

A lei do movimento uniforme de um ponto é descrita pela equação:

onde $s$ é a distância medida ao longo do arco da trajetória a partir de algum ponto da trajetória tomada como origem; $t$ - tempo de um ponto em um caminho; $s_0$ - o valor de $s$ no momento inicial $t=0$.

O caminho percorrido por um ponto no tempo $t$ é determinado pela soma $υt$.

Movimento retilíneo uniforme- este é um movimento em que o corpo se move com uma velocidade constante em módulo e direção:

$υ↖(→)=const$

A velocidade do movimento retilíneo uniforme é um valor constante e pode ser definida como a razão entre o movimento de um ponto e o período de tempo durante o qual esse movimento ocorreu:

$υ↖(→)=(∆r↖(→))/(∆t)$

Módulo desta velocidade

$υ=(|∆r↖(→)|)/(∆t)$

significado é a distância $s=|∆r↖(→)|$ percorrida pelo ponto no tempo $∆t$.

A velocidade de um corpo em movimento retilíneo uniforme é um valor igual à razão entre a trajetória $s$ e o tempo durante o qual esta trajetória foi percorrida:

O deslocamento durante o movimento uniforme retilíneo (ao longo do eixo X) pode ser calculado pela fórmula:

onde $υ_x$ é a projeção da velocidade no eixo X. Assim, a lei do movimento retilíneo uniforme tem a forma:

Se no momento inicial $x_0=0$, então

O gráfico da velocidade versus o tempo é uma linha reta paralela ao eixo x, e a distância percorrida é a área sob essa linha reta.

O gráfico da trajetória em função do tempo é uma linha reta, cujo ângulo de inclinação para o eixo do tempo $Ot$ é tanto maior quanto maior for a velocidade do movimento uniforme. A tangente deste ângulo é igual à velocidade.