De fato, as fórmulas (1) e (2) são um pequeno registro da probabilidade condicional baseada na tabela de contingência de características. Voltemos ao exemplo considerado (Fig. 1). Digamos que sabemos que uma certa família vai comprar uma TV widescreen. Qual é a probabilidade de que essa família realmente compre tal TV?

Arroz. 1. Comportamento do comprador de TV widescreen

Nesse caso, precisamos calcular a probabilidade condicional P (a compra foi feita | a compra foi planejada). Como sabemos que uma família está planejando comprar, o espaço amostral não consiste em todas as 1.000 famílias, mas apenas naquelas que planejam comprar uma TV widescreen. Das 250 famílias desse tipo, 200 realmente compraram essa TV. Portanto, a probabilidade de uma família realmente comprar uma TV widescreen, se planejasse fazê-lo, pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

P (compra realizada | compra planejada) = número de famílias planejando e comprando uma TV widescreen / número de famílias planejando comprar uma TV widescreen = 200 / 250 = 0,8

O mesmo resultado é dado pela fórmula (2):

onde é o evento MASé que a família planeja comprar uma TV widescreen, e o evento NO- que ela vai realmente comprá-lo. Substituindo dados reais na fórmula, temos:

árvore de decisão

Na fig. 1 famílias foram divididas em quatro categorias: as que planejaram comprar uma TV widescreen e as que não compraram, e as que compraram tal TV e as que não compraram. Uma classificação semelhante pode ser feita usando uma árvore de decisão (Fig. 2). A árvore mostrada na fig. 2 tem duas filiais, correspondendo a famílias que planejaram adquirir uma TV widescreen e famílias que não o fizeram. Cada uma dessas filiais é dividida em duas filiais adicionais, correspondentes às famílias que compraram e não compraram uma TV widescreen. As probabilidades escritas nas extremidades dos dois ramos principais são as probabilidades incondicionais de eventos MAS e MAS'. As probabilidades escritas nas extremidades dos quatro ramos adicionais são as probabilidades condicionais de cada combinação de eventos MAS e NO. As probabilidades condicionais são calculadas dividindo a probabilidade conjunta dos eventos pela probabilidade incondicional correspondente de cada um deles.

Arroz. 2. Árvore de decisão

Por exemplo, para calcular a probabilidade de uma família comprar uma TV widescreen, se planejava fazê-lo, deve-se determinar a probabilidade do evento compra planejada e concluída, e depois divida pela probabilidade do evento compra planejada. Movendo-se ao longo da árvore de decisão mostrada na Fig. 2, obtemos a seguinte resposta (semelhante à anterior):

Independência estatística

No exemplo da compra de uma TV widescreen, a probabilidade de uma família selecionada aleatoriamente comprar uma TV widescreen, dado que planejava fazê-lo, é 200/250 = 0,8. Lembre-se de que a probabilidade incondicional de uma família selecionada aleatoriamente comprar uma TV widescreen é 300/1000 = 0,3. Disso decorre uma conclusão muito importante. A informação a priori de que a família estava planejando uma compra afeta a probabilidade da compra em si. Em outras palavras, esses dois eventos dependem um do outro. Em contraste com este exemplo, existem eventos estatisticamente independentes cujas probabilidades não dependem umas das outras. A independência estatística é expressa pela identidade: P(A|B) = P(A), Onde P(A|B)- probabilidade do evento MAS supondo que um evento ocorreu NO, P(A)é a probabilidade incondicional do evento A.

Observe que os eventos MAS e NO P(A|B) = P(A). Se na tabela de contingência de recursos, que tem um tamanho de 2 × 2, esta condição é satisfeita para pelo menos uma combinação de eventos MAS e NO, será válido para qualquer outra combinação. No nosso exemplo, os eventos compra planejada e compra concluída não são estatisticamente independentes porque as informações sobre um evento afetam a probabilidade de outro.

Vejamos um exemplo que mostra como testar a independência estatística de dois eventos. Vamos perguntar a 300 famílias que compraram uma TV widescreen se estão satisfeitas com a compra (Fig. 3). Determine se o grau de satisfação com a compra e o tipo de TV estão relacionados.

Arroz. 3. Dados de satisfação do cliente para TVs widescreen

De acordo com esses dados,

Ao mesmo tempo,

P (cliente satisfeito) = 240 / 300 = 0,80

Portanto, a probabilidade de que o cliente esteja satisfeito com a compra e que a família tenha comprado uma HDTV é igual, e esses eventos são estatisticamente independentes, pois não estão relacionados entre si.

Regra de multiplicação de probabilidade

A fórmula para calcular a probabilidade condicional permite determinar a probabilidade de um evento conjunto A e B. Resolvendo a fórmula (1)

em relação à probabilidade conjunta P(A e B), obtemos a regra geral para multiplicação de probabilidades. Probabilidade do evento A e Bé igual à probabilidade do evento MAS desde que o evento NO NO:

(3) P(A e B) = P(A|B) * P(B)

Considere, por exemplo, 80 famílias que compraram uma HDTV widescreen (Figura 3). A tabela mostra que 64 famílias estão satisfeitas com a compra e 16 não. Suponha que duas famílias sejam selecionadas aleatoriamente entre elas. Determine a probabilidade de que ambos os compradores fiquem satisfeitos. Usando a fórmula (3), obtemos:

P(A e B) = P(A|B) * P(B)

onde é o evento MASé que a segunda família está satisfeita com sua compra, e o evento NO- que a primeira família está satisfeita com a compra. A probabilidade de que a primeira família esteja satisfeita com sua compra é de 64/80. No entanto, a probabilidade de que a segunda família também esteja satisfeita com sua compra depende da resposta da primeira família. Caso a primeira família não seja devolvida à amostra após a pesquisa (seleção sem devolução), o número de respondentes cai para 79. Se a primeira família ficou satisfeita com sua compra, a probabilidade de a segunda família também ficar satisfeita é de 63/ 79, visto que apenas 63 permaneceram na amostra famílias satisfeitas com sua compra. Assim, substituindo dados específicos na fórmula (3), obtemos a seguinte resposta:

P(A e B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Portanto, a probabilidade de ambas as famílias estarem satisfeitas com suas compras é de 63,8%.

Suponha que após a pesquisa, a primeira família seja devolvida à amostra. Determine a probabilidade de ambas as famílias ficarem satisfeitas com sua compra. Nesse caso, as probabilidades de ambas as famílias ficarem satisfeitas com a compra são as mesmas e iguais a 64/80. Portanto, P(A e B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Assim, a probabilidade de ambas as famílias estarem satisfeitas com suas compras é de 64,0%. Este exemplo mostra que a escolha da segunda família não depende da escolha da primeira. Assim, substituindo na fórmula (3) a probabilidade condicional P(A|B) probabilidade P(A), obtemos uma fórmula para multiplicar as probabilidades de eventos independentes.

Regra para multiplicar as probabilidades de eventos independentes. Se os eventos MAS e NO são estatisticamente independentes, a probabilidade de um evento A e Bé igual à probabilidade do evento MAS multiplicado pela probabilidade do evento NO.

(4) P(A e B) = P(A)P(B)

Se esta regra for verdadeira para eventos MAS e NO, o que significa que são estatisticamente independentes. Assim, existem duas maneiras de determinar a independência estatística de dois eventos:

1. Desenvolvimentos MAS e NO são estatisticamente independentes entre si se e somente se P(A|B) = P(A).
2. Desenvolvimentos MAS e B são estatisticamente independentes entre si se e somente se P(A e B) = P(A)P(B).

Se na tabela de contingência de recursos, que tem um tamanho de 2 × 2, uma dessas condições for satisfeita para pelo menos uma combinação de eventos MAS e B, será válido para qualquer outra combinação.

Probabilidade incondicional de um evento elementar

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

onde os eventos B 1 , B 2 , … B k são mutuamente exclusivos e exaustivos.

Ilustramos a aplicação desta fórmula no exemplo da Fig.1. Usando a fórmula (5), obtemos:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Onde P(A)- a probabilidade de a compra ter sido planejada, P(B1)- a probabilidade de que a compra seja feita, P(B2)- a probabilidade de que a compra não seja feita.

TEOREMA DE BAYES

A probabilidade condicional de um evento leva em consideração a informação de que algum outro evento ocorreu. Essa abordagem pode ser usada tanto para refinar a probabilidade, levando em consideração as informações recém-recebidas, quanto para calcular a probabilidade de que o efeito observado seja resultado de alguma causa específica. O procedimento para refinar essas probabilidades é chamado de teorema de Bayes. Foi desenvolvido pela primeira vez por Thomas Bayes no século 18.

Suponha que a empresa mencionada acima esteja pesquisando o mercado para um novo modelo de TV. No passado, 40% das TVs criadas pela empresa eram bem-sucedidas e 60% dos modelos não eram reconhecidos. Antes de anunciar o lançamento de um novo modelo, os profissionais de marketing pesquisam cuidadosamente o mercado e capturam a demanda. No passado, o sucesso de 80% dos modelos que receberam reconhecimento foi previsto com antecedência, enquanto 30% das previsões favoráveis ​​acabaram sendo erradas. Para o novo modelo, o departamento de marketing deu uma previsão favorável. Qual é a probabilidade de um novo modelo de TV estar em demanda?

O teorema de Bayes pode ser derivado das definições de probabilidade condicional (1) e (2). Para calcular a probabilidade Р(В|А), usamos a fórmula (2):

e substitua em vez de P(A e B) o valor da fórmula (3):

P(A e B) = P(A|B) * P(B)

Substituindo a fórmula (5) em vez de P(A), obtemos o teorema de Bayes:

onde os eventos B 1 , B 2 , ... B k são mutuamente exclusivos e exaustivos.

Vamos introduzir a seguinte notação: evento S - A televisão está em demanda, evento S' - TV não está em demanda, evento F - prognóstico favorável, evento F' - Prognóstico pobre. Digamos que P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Aplicando o teorema de Bayes, temos:

A probabilidade de demanda por um novo modelo de TV, sujeito a uma previsão favorável, é de 0,64. Assim, a probabilidade de falta de demanda na condição de uma previsão favorável é de 1–0,64=0,36. O processo de cálculo é mostrado na fig. quatro.

Arroz. 4. (a) Cálculos Bayesianos para estimar a probabilidade de demanda de TV; (b) Árvore de decisão para pesquisar a demanda por um novo modelo de TV

Vamos considerar um exemplo de aplicação do teorema de Bayes para diagnósticos médicos. A probabilidade de uma pessoa sofrer de uma determinada doença é de 0,03. Um exame médico permite verificar se é assim. Se uma pessoa está realmente doente, a probabilidade de um diagnóstico preciso (afirmar que uma pessoa está doente quando está realmente doente) é de 0,9. Se uma pessoa é saudável, a probabilidade de um diagnóstico falso positivo (afirmar que uma pessoa está doente quando está saudável) é 0,02. Digamos que um teste médico deu positivo. Qual é a probabilidade de que a pessoa esteja realmente doente? Qual é a probabilidade de um diagnóstico preciso?

Vamos introduzir a seguinte notação: evento D - o homem está doente, evento D' - a pessoa é saudável, evento T - diagnóstico positivo, evento T' - o diagnóstico é negativo. Segue das condições do problema que Р(D) = 0,03, P(D') = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Aplicando a fórmula (6), obtemos:

A probabilidade de uma pessoa com diagnóstico positivo estar realmente doente é de 0,582 (veja também a Fig. 5). Observe que o denominador da fórmula de Bayes é igual à probabilidade de um diagnóstico positivo, ou seja, 0,0464.

como categoria ontológica reflete a medida da possibilidade do surgimento de qualquer entidade em quaisquer condições. Ao contrário das interpretações matemáticas e lógicas desse conceito, a ontológica V. não se associa à necessidade de uma expressão quantitativa. O valor de V. é revelado no contexto da compreensão do determinismo e da natureza do desenvolvimento em geral.

Ótima definição

Definição incompleta ↓

PROBABILIDADE

um conceito que caracteriza as quantidades. uma medida da possibilidade do aparecimento de um determinado evento em um determinado momento. condições. Em ciência conhecimento existem três interpretações de V. O conceito clássico de V., que surgiu da matemática. análise do jogo e mais amplamente desenvolvido por B. Pascal, J. Bernoulli e P. Laplace, considera V. como a razão do número de casos favoráveis ​​para o número total de todos igualmente possíveis. Por exemplo, ao lançar um dado com 6 lados, espera-se que cada um deles dê um V igual a 1/6, pois nenhum lado tem vantagens sobre o outro. Essa simetria dos resultados da experiência é especialmente levada em consideração na organização de jogos, mas é relativamente rara no estudo de eventos objetivos na ciência e na prática. Clássico A interpretação de V. deu lugar à estatística. os conceitos de V., no centro dos quais são válidos. observação do aparecimento de um determinado evento durante a duração. experiência em condições precisamente fixas. A prática confirma que quanto mais frequentemente um evento ocorre, maior o grau de possibilidade objetiva de sua ocorrência, ou V. Portanto, a estatística. A interpretação de V. baseia-se no conceito de relaciona. frequências, um corte pode ser determinado empiricamente. V. como teórico. o conceito nunca coincide com uma frequência empiricamente determinada, no entanto, de muitas maneiras. casos, praticamente difere pouco do relativo. frequência encontrada como resultado da duração. observações. Muitos estatísticos consideram V. como um "duplo" se refere. frequência, a borda é determinada por estatística. estudo de resultados observacionais

ou experimentos. Menos realista foi a definição de V. no que se refere ao limite. frequências de eventos de massa, ou coletivos, propostos por R. Mises. Como um desenvolvimento adicional da abordagem de frequência para V., uma interpretação disposicional, ou de propensão, de V. é apresentada (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). De acordo com essa interpretação, V. caracteriza a propriedade de gerar condições, por exemplo. experimentar. instalação, para obter uma sequência de eventos aleatórios massivos. É esta atitude que dá origem ao físico disposições, ou predisposições, V. to-rykh pode ser verificada por meio de relativo. frequências.

Estatística A interpretação de V. domina a científica. conhecimento, porque reflete o específico. a natureza dos padrões inerentes aos fenômenos de massa de natureza aleatória. Em muitos aspectos físicos, biológicos, econômicos, demográficos e outros processos sociais, é necessário levar em conta a ação de muitos fatores aleatórios, to-rye são caracterizados por uma frequência estável. Identificação desta frequência e quantidades estáveis. sua avaliação com a ajuda de V. permite revelar a necessidade, que perpassa a ação cumulativa de muitos acidentes. É aí que a dialética da transformação do acaso em necessidade encontra sua manifestação (ver F. Engels, no livro: K. Marx e F. Engels, Soch., vol. 20, pp. 535-36).

O raciocínio lógico ou indutivo caracteriza a relação entre as premissas e a conclusão do raciocínio não demonstrativo e, em particular, do raciocínio indutivo. Ao contrário da dedução, as premissas da indução não garantem a verdade da conclusão, mas apenas a tornam mais ou menos plausível. Essa credibilidade, com premissas formuladas com precisão, às vezes pode ser estimada com a ajuda de V. O valor desse V. na maioria das vezes é determinado por comparação. conceitos (maior que, menor ou igual a), e às vezes de forma numérica. Lógica a interpretação é frequentemente usada para analisar o raciocínio indutivo e construir vários sistemas de lógica probabilística (R. Carnap, R. Jeffrey). Na semântica conceitos lógicos. V. é frequentemente definido como o grau de confirmação de uma afirmação por outras (por exemplo, a hipótese de seus dados empíricos).

Em conexão com o desenvolvimento de teorias de tomada de decisão e jogos, os chamados. interpretação personalista de V. Embora V. neste caso expresse o grau de crença do sujeito e a ocorrência de um determinado evento, os próprios V. devem ser escolhidos de tal forma que os axiomas do cálculo de V. sejam satisfeitos. Portanto, V. com tal interpretação expressa não tanto o grau de fé subjetiva como racional. Consequentemente, as decisões tomadas com base em tal V. serão racionais, pois não levam em conta o psicológico. características e inclinações do sujeito.

Da epistemologia t. sp. diferença entre estatística., lógico. e interpretações personalistas de V. reside no fato de que, se a primeira caracteriza as propriedades e relações objetivas dos fenômenos de massa de natureza aleatória, as duas últimas analisam as características do subjetivo, cognoscente. atividades humanas em condições de incerteza.

PROBABILIDADE

um dos conceitos mais importantes da ciência, caracterizando uma visão sistêmica especial do mundo, sua estrutura, evolução e cognição. A especificidade da visão probabilística do mundo é revelada pela inclusão dos conceitos de acaso, independência e hierarquia (idéias de níveis na estrutura e determinação dos sistemas) entre os conceitos básicos do ser.

As ideias sobre probabilidade originaram-se na antiguidade e relacionavam-se com as características do nosso conhecimento, enquanto se reconhecia a presença do conhecimento probabilístico, que difere do conhecimento confiável e do falso. O impacto da ideia de probabilidade no pensamento científico, no desenvolvimento do conhecimento, está diretamente relacionado ao desenvolvimento da teoria da probabilidade como disciplina matemática. A origem da doutrina matemática da probabilidade remonta ao século XVII, quando o desenvolvimento do núcleo de conceitos que permitem. características quantitativas (numéricas) e expressando uma ideia probabilística.

Aplicações intensivas de probabilidade ao desenvolvimento do conhecimento ficam no 2º andar. 19- 1º andar. século 20 A probabilidade entrou nas estruturas de ciências fundamentais da natureza como a física estatística clássica, a genética, a teoria quântica, a cibernética (teoria da informação). Assim, a probabilidade personifica esse estágio no desenvolvimento da ciência, que agora é definida como ciência não clássica. Para revelar a novidade, características do modo de pensar probabilístico, é necessário proceder à análise do tema da teoria das probabilidades e dos fundamentos de suas múltiplas aplicações. A teoria da probabilidade é geralmente definida como uma disciplina matemática que estuda as leis dos fenômenos aleatórios de massa sob certas condições. Aleatoriedade significa que dentro da estrutura do caráter de massa, a existência de cada fenômeno elementar não depende e não é determinada pela existência de outros fenômenos. Ao mesmo tempo, a própria natureza massiva dos fenômenos tem uma estrutura estável, contém certas regularidades. Um fenômeno de massa é estritamente dividido em subsistemas, e o número relativo de fenômenos elementares em cada um dos subsistemas (frequência relativa) é muito estável. Esta estabilidade é comparada com a probabilidade. Um fenômeno de massa como um todo é caracterizado por uma distribuição de probabilidades, ou seja, a atribuição de subsistemas e suas probabilidades correspondentes. A linguagem da teoria da probabilidade é a linguagem das distribuições de probabilidade. Assim, a teoria da probabilidade é definida como a ciência abstrata de operar com distribuições.

A probabilidade deu origem na ciência a ideias sobre regularidades estatísticas e sistemas estatísticos. Estes últimos são sistemas formados por entidades independentes ou quase independentes, sua estrutura é caracterizada por distribuições de probabilidade. Mas como é possível formar sistemas a partir de entidades independentes? Costuma-se supor que para formar sistemas que tenham características integrais, é necessário que existam ligações suficientemente estáveis ​​entre seus elementos que cimentam os sistemas. A estabilidade dos sistemas estatísticos é dada pela presença de condições externas, o ambiente externo, forças externas e não internas. A própria definição de probabilidade é sempre baseada no estabelecimento das condições para a formação do fenômeno de massa inicial. Outra ideia importante que caracteriza o paradigma probabilístico é a ideia de hierarquia (subordinação). Essa ideia expressa a relação entre as características dos elementos individuais e as características integrais dos sistemas: as últimas, por assim dizer, são construídas sobre as primeiras.

A importância dos métodos probabilísticos na cognição reside no fato de que eles nos permitem explorar e expressar teoricamente os padrões de estrutura e comportamento de objetos e sistemas que têm uma estrutura hierárquica de "dois níveis".

A análise da natureza da probabilidade é baseada em sua frequência, interpretação estatística. Ao mesmo tempo, por muito tempo, tal compreensão da probabilidade dominou na ciência, que foi chamada de probabilidade lógica ou indutiva. A probabilidade lógica está interessada em questões sobre a validade de um julgamento individual separado sob certas condições. É possível avaliar o grau de confirmação (confiabilidade, verdade) de uma conclusão indutiva (conclusão hipotética) de forma quantitativa? No curso da formação da teoria da probabilidade, essas questões foram discutidas repetidamente e começaram a falar sobre os graus de confirmação de conclusões hipotéticas. Essa medida de probabilidade é determinada pelas informações à disposição de uma determinada pessoa, sua experiência, visões de mundo e mentalidade psicológica. Em todos esses casos, a magnitude da probabilidade não é passível de medidas estritas e está praticamente fora da competência da teoria da probabilidade como uma disciplina matemática consistente.

Uma interpretação objetiva e de frequência da probabilidade foi estabelecida na ciência com considerável dificuldade. Inicialmente, a compreensão da natureza da probabilidade foi fortemente influenciada por aquelas visões filosóficas e metodológicas que eram características da ciência clássica. Historicamente, a formação dos métodos probabilísticos na física ocorreu sob a influência decisiva das ideias da mecânica: os sistemas estatísticos eram tratados simplesmente como mecânicos. Como os problemas correspondentes não foram resolvidos por métodos estritos da mecânica, surgiram afirmações de que o apelo a métodos probabilísticos e regularidades estatísticas é o resultado da incompletude de nosso conhecimento. Na história do desenvolvimento da física estatística clássica, inúmeras tentativas foram feitas para substanciar isso com base na mecânica clássica, mas todas falharam. A base da probabilidade é que ela expressa as características da estrutura de uma certa classe de sistemas, além dos sistemas mecânicos: o estado dos elementos desses sistemas é caracterizado pela instabilidade e uma natureza especial (não redutível à mecânica) das interações .

A entrada da probabilidade na cognição leva à negação do conceito de determinismo rígido, à negação do modelo básico de ser e cognição desenvolvido no processo de formação da ciência clássica. Os modelos básicos representados pelas teorias estatísticas são de natureza diferente e mais geral: incluem as ideias de aleatoriedade e independência. A ideia de probabilidade está ligada à divulgação da dinâmica interna de objetos e sistemas, que não pode ser completamente determinada por condições e circunstâncias externas.

O conceito de uma visão probabilística do mundo, baseado na absolutização de ideias sobre independência (como antes, o paradigma da determinação rígida), agora revelou suas limitações, o que afeta mais fortemente a transição da ciência moderna para métodos analíticos de estudo complexo sistemas organizados e os fundamentos físicos e matemáticos dos fenômenos de auto-organização.

Ótima definição

Definição incompleta ↓

Probabilidade evento é a razão entre o número de resultados elementares que favorecem um determinado evento e o número de todos os resultados igualmente possíveis da experiência em que esse evento pode ocorrer. A probabilidade de um evento A é denotada por P(A) (aqui P é a primeira letra da palavra francesa probabilite - probabilidade). De acordo com a definição
(1.2.1)
onde é o número de resultados elementares que favorecem o evento A; - o número de todos os resultados elementares igualmente possíveis da experiência, formando um grupo completo de eventos.
Essa definição de probabilidade é chamada de clássica. Ela surgiu no estágio inicial do desenvolvimento da teoria das probabilidades.

A probabilidade de um evento tem as seguintes propriedades:
1. A probabilidade de um determinado evento é igual a um. Vamos designar um determinado evento pela letra . Para um determinado evento, portanto,
(1.2.2)
2. A probabilidade de um evento impossível é zero. Denotamos o evento impossível pela letra. Para um evento impossível, portanto
(1.2.3)
3. A probabilidade de um evento aleatório é expressa como um número positivo menor que um. Como as desigualdades , ou são satisfeitas para um evento aleatório, então
(1.2.4)
4. A probabilidade de qualquer evento satisfaz as desigualdades
(1.2.5)
Isso decorre das relações (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplo 1 Uma urna contém 10 bolas de mesmo tamanho e peso, das quais 4 são vermelhas e 6 são azuis. Uma bola é retirada da urna. Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja azul?

Solução. O evento "a bola sorteada ficou azul" será denotado pela letra A. Este teste tem 10 resultados elementares igualmente possíveis, dos quais 6 favorecem o evento A. De acordo com a fórmula (1.2.1), obtemos

Exemplo 2 Todos os números naturais de 1 a 30 são escritos em cartões idênticos e colocados em uma urna. Depois de misturar bem as cartas, uma carta é removida da urna. Qual é a probabilidade de que o número da carta retirada seja um múltiplo de 5?

Solução. Denote por A o evento "o número na carta retirada é um múltiplo de 5". Nesta tentativa, existem 30 resultados elementares igualmente possíveis, dos quais 6 resultados favorecem o evento A (números 5, 10, 15, 20, 25, 30). Consequentemente,

Exemplo 3 Dois dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. Encontre a probabilidade do evento B, consistindo no fato de que as faces superiores dos cubos terão um total de 9 pontos.

Solução. Existem 6 2 = 36 resultados elementares igualmente possíveis neste teste. O evento B é favorecido por 4 resultados: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), então

Exemplo 4. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 10. Qual é a probabilidade de que este número seja primo?

Solução. Denote pela letra C o evento "o número escolhido é primo". Neste caso, n = 10, m = 4 (primos 2, 3, 5, 7). Portanto, a probabilidade desejada

Exemplo 5 Duas moedas simétricas são lançadas. Qual é a probabilidade de que ambas as moedas tenham dígitos nas faces superiores?

Solução. Vamos denotar pela letra D o evento "havia um número no lado superior de cada moeda". Existem 4 resultados elementares igualmente possíveis neste teste: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A notação (G, C) significa que na primeira moeda há um brasão, na segunda - um número). O evento D é favorecido por um resultado elementar (C, C). Como m = 1, n = 4, então

Exemplo 6 Qual é a probabilidade de que os dígitos em um número de dois dígitos escolhido aleatoriamente sejam os mesmos?

Solução. Números de dois dígitos são números de 10 a 99; há 90 desses números no total. 9 números têm os mesmos dígitos (estes são os números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Como neste caso m = 9, n = 90, então
,
onde A é o evento "número com os mesmos dígitos".

Exemplo 7 Das letras da palavra diferencial uma letra é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que esta letra seja: a) uma vogal b) uma consoante c) uma letra h?

Solução. Existem 12 letras na palavra diferencial, das quais 5 são vogais e 7 são consoantes. Cartas h esta palavra não. Vamos denotar os eventos: A - "vogal", B - "consoante", C - "letra h". O número de resultados elementares favoráveis: - para o evento A, - para o evento B, - para o evento C. Desde n \u003d 12, então
, e .

Exemplo 8 Dois dados são lançados, o número de pontos na face superior de cada dado é anotado. Encontre a probabilidade de que ambos os dados tenham o mesmo número de pontos.

Solução. Denotamos este evento pela letra A. O evento A é favorecido por 6 resultados elementares: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). No total, existem resultados elementares igualmente possíveis que formam um grupo completo de eventos, neste caso n=6 2 =36. Então a probabilidade desejada

Exemplo 9 O livro tem 300 páginas. Qual é a probabilidade de que uma página aberta aleatoriamente tenha um número de sequência múltiplo de 5?

Solução. Segue-se das condições do problema que haverá n = 300 de todos os resultados elementares igualmente possíveis que formam um grupo completo de eventos, dos quais m = 60 favorecem a ocorrência do evento especificado. De fato, um número que é múltiplo de 5 tem a forma 5k, onde k é um número natural, e , de onde . Consequentemente,
, onde A - o evento "page" tem um número de sequência que é múltiplo de 5".

Exemplo 10. Dois dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. O que é mais provável de obter um total de 7 ou 8?

Solução. Vamos designar os eventos: A - "caíram 7 pontos", B - "caíram 8 pontos". O evento A é favorecido por 6 resultados elementares: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), e o evento B - por 5 resultados: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Existem n = 6 2 = 36 de todos os resultados elementares igualmente possíveis. e .

Então, P(A)>P(B), ou seja, obter um total de 7 pontos é um evento mais provável do que obter um total de 8 pontos.

Tarefas

1. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 30. Qual é a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 3?
2. Na urna uma vermelho e b bolas azuis do mesmo tamanho e peso. Qual é a probabilidade de que uma bola retirada aleatoriamente dessa urna seja azul?
3. É escolhido ao acaso um número que não exceda 30. Qual é a probabilidade de que esse número seja um divisor de zo?
4. Na urna uma azul e b bolas vermelhas do mesmo tamanho e peso. Uma bola é retirada desta urna e colocada de lado. Esta bola é vermelha. Em seguida, outra bola é retirada da urna. Encontre a probabilidade de que a segunda bola também seja vermelha.
5. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 50. Qual é a probabilidade de que este número seja primo?
6. Três dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. O que é mais provável - obter um total de 9 ou 10 pontos?
7. Três dados são lançados, a soma dos pontos perdidos é calculada. O que é mais provável de obter um total de 11 (evento A) ou 12 pontos (evento B)?

Respostas

1. 1/3. 2 . b/(uma+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(uma+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - a probabilidade de obter 9 pontos no total; p 2 \u003d 27/216 - a probabilidade de obter 10 pontos no total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Perguntas

1. O que é chamado de probabilidade de um evento?
2. Qual é a probabilidade de um determinado evento?
3. Qual é a probabilidade de um evento impossível?
4. Quais são os limites da probabilidade de um evento aleatório?
5. Quais são os limites da probabilidade de qualquer evento?
6. Qual definição de probabilidade é chamada de clássica?

Um profissional melhor deve ser bem versado em probabilidades, de forma rápida e correta avaliar a probabilidade de um evento por um coeficiente e, se necessário, poder converter probabilidades de um formato para outro. Neste manual, falaremos sobre quais são os tipos de coeficientes, além de usar exemplos, analisaremos como você pode calcular a probabilidade de um coeficiente conhecido e vice versa.

Quais são os tipos de coeficientes?

Existem três tipos principais de probabilidades oferecidas pelas casas de apostas: probabilidades decimais, probabilidades fracionárias(Inglês e probabilidades americanas. As probabilidades mais comuns na Europa são decimais. As probabilidades americanas são populares na América do Norte. As probabilidades fracionárias são o tipo mais tradicional, elas refletem imediatamente informações sobre quanto você precisa apostar para obter uma determinada quantia.

Probabilidades decimais

Decimais ou então eles são chamados probabilidades europeias- Este é o formato de número usual, representado por uma fração decimal com precisão de centésimos e às vezes até milésimos. Um exemplo de uma odd decimal é 1,91. Calcular o seu lucro com odds decimais é muito fácil, basta multiplicar o valor da sua aposta por essa odd. Por exemplo, na partida "Manchester United" - "Arsenal", a vitória do "MU" é definida com um coeficiente - 2,05, um empate é estimado com um coeficiente - 3,9 e a vitória do "Arsenal" é igual a - 2,95. Digamos que estamos confiantes de que o United vencerá e aposte $ 1.000 neles. Então nossa renda possível é calculada da seguinte forma:

2.05 * $1000 = $2050;

Não é realmente tão difícil? Da mesma forma, o rendimento possível é calculado ao apostar no empate e na vitória do Arsenal.

Empate: 3.9 * $1000 = $3900;
Vitória do Arsenal: 2.95 * $1000 = $2950;

Como calcular a probabilidade de um evento por probabilidades decimais?

Imagine agora que precisamos determinar a probabilidade de um evento pelas probabilidades decimais que a casa de apostas definiu. Isso também é muito fácil de fazer. Para fazer isso, dividimos a unidade por esse coeficiente.

Vamos pegar os dados que já temos e calcular a probabilidade de cada evento:

Vitória do Manchester United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Empate: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Vitória do Arsenal: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Odds fracionárias (inglês)

Como o nome implica coeficiente fracionário representado por uma fração ordinária. Um exemplo de odd inglesa é 5/2. No numerador da fração há um número que é o valor potencial de ganhos líquidos, e no denominador há um número que indica o valor que deve ser apostado para receber esses ganhos. Simplificando, temos que apostar $ 2 dólares para ganhar $ 5. As probabilidades de 3/2 significam que, para obter $ 3 de ganhos líquidos, teremos que apostar $ 2.

Como calcular a probabilidade de um evento por odds fracionárias?

A probabilidade de um evento por coeficientes fracionários também não é difícil de calcular, basta dividir o denominador pela soma do numerador e denominador.

Para a fração 5/2, calculamos a probabilidade: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Para a fração 3/2, calculamos a probabilidade:

probabilidades americanas

probabilidades americanas impopular na Europa, mas muito impopular na América do Norte. Talvez esse tipo de coeficiente seja o mais difícil, mas isso é apenas à primeira vista. Na verdade, não há nada complicado neste tipo de coeficientes. Agora vamos dar uma olhada em tudo em ordem.

A principal característica das probabilidades americanas é que elas podem ser positivo, e negativo. Um exemplo de probabilidades americanas é (+150), (-120). As probabilidades americanas (+150) significam que, para ganhar $ 150, precisamos apostar $ 100. Em outras palavras, um multiplicador americano positivo reflete o lucro líquido potencial em uma aposta de US$ 100. O coeficiente americano negativo reflete o valor da aposta que deve ser feita para receber um ganho líquido de $ 100. Por exemplo, o coeficiente (-120) nos diz que apostando $120 ganharemos $100.

Como calcular a probabilidade de um evento usando as probabilidades americanas?

A probabilidade de um evento de acordo com as probabilidades americanas é calculada de acordo com as seguintes fórmulas:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), onde M é um coeficiente americano negativo;
100/(P+100), onde P é um coeficiente americano positivo;

Por exemplo, temos um coeficiente (-120), então a probabilidade é calculada da seguinte forma:

(-(M))/((-(M)) + 100); substituímos o valor (-120) em vez de "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Assim, a probabilidade de um evento com coeficiente americano (-120) é de 54,5%.

Por exemplo, temos um coeficiente (+150), então a probabilidade é calculada da seguinte forma:

100/(P+100); substituímos o valor (+150) em vez de "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Assim, a probabilidade de um evento com coeficiente americano (+150) é de 40%.

Como, conhecendo a porcentagem de probabilidade, traduzi-la em um coeficiente decimal?

Para calcular o coeficiente decimal para uma porcentagem conhecida de probabilidade, você precisa dividir 100 pela probabilidade de um evento em porcentagem. Por exemplo, se a probabilidade de um evento for 55%, o coeficiente decimal dessa probabilidade será igual a 1,81.

100 / 55% = 1,81

Como, conhecendo a porcentagem de probabilidade, traduzi-la em um coeficiente fracionário?

Para calcular um coeficiente fracionário de uma porcentagem conhecida de probabilidade, você precisa subtrair um da divisão de 100 pela probabilidade de um evento em porcentagem. Por exemplo, temos uma porcentagem de probabilidade de 40%, então o coeficiente fracionário dessa probabilidade será igual a 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
O coeficiente fracionário é 1,5/1 ou 3/2.

Como, conhecendo a porcentagem de probabilidade, traduzi-la em um coeficiente americano?

Se a probabilidade de um evento for superior a 50%, o cálculo é feito de acordo com a fórmula:

- ((V) / (100 - V)) * 100, onde V é a probabilidade;

Por exemplo, temos uma probabilidade de 80% de um evento, então o coeficiente americano dessa probabilidade será igual a (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Se a probabilidade de um evento for inferior a 50%, o cálculo é feito de acordo com a fórmula:

((100 - V) / V) * 100, onde V é a probabilidade;

Por exemplo, se tivermos uma porcentagem de probabilidade de um evento de 20%, o coeficiente americano dessa probabilidade será igual a (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Como converter o coeficiente para outro formato?

Há momentos em que é necessário converter coeficientes de um formato para outro. Por exemplo, temos um coeficiente fracionário 3/2 e precisamos convertê-lo para decimal. Para converter probabilidades fracionárias em probabilidades decimais, primeiro determinamos a probabilidade de um evento com probabilidades fracionárias e, em seguida, convertemos essa probabilidade em probabilidades decimais.

A probabilidade de um evento com coeficiente fracionário de 3/2 é de 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Agora traduzimos a probabilidade de um evento em um coeficiente decimal, para isso dividimos 100 pela probabilidade de um evento em porcentagem:

100 / 40% = 2.5;

Assim, uma odd fracionária de 3/2 é igual a uma odd decimal de 2,5. De maneira semelhante, por exemplo, as probabilidades americanas são convertidas em fracionárias, decimais em americanas, etc. A parte mais difícil de tudo isso são apenas os cálculos.

Entendo que todos querem saber com antecedência como um evento esportivo vai terminar, quem vai ganhar e quem vai perder. Com essas informações, você pode apostar em eventos esportivos sem medo. Mas é possível e, em caso afirmativo, como calcular a probabilidade de um evento?

A probabilidade é um valor relativo, portanto não pode falar com precisão sobre nenhum evento. Este valor permite analisar e avaliar a necessidade de apostar numa determinada competição. A definição de probabilidades é toda uma ciência que requer estudo e compreensão cuidadosos.

Coeficiente de probabilidade na teoria da probabilidade

Nas apostas desportivas, existem várias opções para o resultado da competição:

• vitória do primeiro time;
• vitória do segundo time;
• empate;
• total

Cada resultado da competição tem sua própria probabilidade e frequência com que esse evento ocorrerá, desde que preservadas as características iniciais. Como mencionado anteriormente, é impossível calcular com precisão a probabilidade de qualquer evento - pode ou não coincidir. Assim, sua aposta pode ganhar ou perder.

Não pode haver uma previsão exata de 100% dos resultados da competição, pois muitos fatores influenciam o resultado da partida. Naturalmente, as casas de apostas não sabem o resultado da partida com antecedência e apenas assumem o resultado, tomando uma decisão em seu sistema de análise e oferecendo certas probabilidades para apostas.

Como calcular a probabilidade de um evento?

Digamos que as probabilidades da casa de apostas sejam de 2,1/2 - obtemos 50%. Acontece que o coeficiente 2 é igual à probabilidade de 50%. Pelo mesmo princípio, você pode obter uma taxa de probabilidade de equilíbrio - 1 / probabilidade.

Muitos jogadores pensam que depois de algumas derrotas repetidas, uma vitória definitivamente acontecerá - esta é uma opinião errônea. A probabilidade de ganhar uma aposta não depende do número de perdas. Mesmo que você jogue várias caras seguidas em um jogo de moedas, a probabilidade de dar coroa permanece a mesma - 50%.