Entre os inúmeros cálculos feitos para calcular certas quantidades de várias é encontrar a hipotenusa do triângulo. Lembre-se que um triângulo é um poliedro com três ângulos. Abaixo estão várias maneiras de calcular a hipotenusa de vários triângulos.

Primeiro, vamos ver como encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo. Para quem esqueceu, um triângulo retângulo é um triângulo com um ângulo de 90 graus. O lado de um triângulo que está no lado oposto do ângulo reto é chamado de hipotenusa. Além disso, é o maior lado do triângulo. Dependendo dos valores conhecidos, o comprimento da hipotenusa é calculado da seguinte forma:

• Os comprimentos das pernas são conhecidos. A hipotenusa neste caso é calculada usando o teorema de Pitágoras, que é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se considerarmos um triângulo retângulo BKF, onde BK e KF são catetos, e FB é a hipotenusa, então FB2= BK2+ KF2. Do exposto, segue-se que, ao calcular o comprimento da hipotenusa, é necessário elevar ao quadrado cada um dos valores das pernas por sua vez. Em seguida, some os números e tire a raiz quadrada do resultado.

Considere um exemplo: Dado um triângulo com um ângulo reto. Uma perna tem 3 cm, a outra 4 cm. Encontre a hipotenusa. A solução se parece com isso.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extraia e obtenha FB=5cm.

• Perna conhecida (BK) e o ângulo adjacente a ela, que é formado pela hipotenusa e esta perna. Como encontrar a hipotenusa de um triângulo? Vamos denotar o ângulo conhecido como α. De acordo com a propriedade que diz que a razão entre o comprimento do cateto e o comprimento da hipotenusa é igual ao cosseno do ângulo entre este cateto e a hipotenusa. Considerando um triângulo, isso pode ser escrito da seguinte forma: FB= BK*cos(α).
• A perna (KF) e o mesmo ângulo α são conhecidos, só que agora já será oposto. Como encontrar a hipotenusa neste caso? Vamos nos voltar para as mesmas propriedades de um triângulo retângulo e descobrir que a razão entre o comprimento do cateto e o comprimento da hipotenusa é igual ao seno do ângulo oposto ao cateto. Ou seja, FB= KF * sen (α).

Vejamos um exemplo. Dado o mesmo triângulo retângulo BKF com hipotenusa FB. Deixe o ângulo F igual a 30 graus, o segundo ângulo B corresponde a 60 graus. A perna BK também é conhecida, cujo comprimento corresponde a 8 cm. Você pode calcular o valor desejado da seguinte maneira:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Conhecido por (R), circunscrito a um triângulo com um ângulo reto. Como encontrar a hipotenusa ao considerar tal problema? Das propriedades de um círculo circunscrito em torno de um triângulo com um ângulo reto, sabe-se que o centro de tal círculo coincide com o ponto da hipotenusa dividindo-o ao meio. Em termos simples, o raio corresponde a metade da hipotenusa. Portanto, a hipotenusa é igual a dois raios. FB=2*R. Se for dado um problema semelhante, no qual não se conhece o raio, mas a mediana, deve-se prestar atenção à propriedade de um círculo circunscrito em torno de um triângulo com um ângulo reto, que diz que o raio é igual à mediana desenhada para a hipotenusa. Usando todas essas propriedades, o problema é resolvido da mesma maneira.

Se a questão é como encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, é necessário recorrer ao mesmo teorema de Pitágoras. Mas, antes de mais nada, lembre-se que um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados idênticos. No caso de um triângulo retângulo, os catetos são os mesmos lados. Temos FB2= BK2+ KF2, mas como BK= KF temos o seguinte: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Como você pode ver, conhecendo o teorema de Pitágoras e as propriedades de um triângulo retângulo, resolver problemas em que é necessário calcular o comprimento da hipotenusa é muito simples. Se for difícil lembrar de todas as propriedades, aprenda fórmulas prontas, substituindo valores conhecidos nos quais você pode calcular o comprimento necessário da hipotenusa.

Conhecendo um dos catetos de um triângulo retângulo, você pode encontrar o segundo cateto e a hipotenusa usando relações trigonométricas - o seno e a tangente de um ângulo conhecido. Como a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa é igual ao seno desse ângulo, portanto, para encontrar a hipotenusa, o cateto deve ser dividido pelo seno do ângulo. a/c=sen⁡α c=a/sen⁡α

A segunda perna pode ser encontrada a partir da tangente do ângulo conhecido, como a razão entre a perna conhecida e a tangente. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Para calcular o ângulo desconhecido em um triângulo retângulo, você precisa subtrair o ângulo α de 90 graus. β=90°-α

O perímetro e a área de um triângulo retângulo através da perna e o ângulo oposto a ele podem ser expressos substituindo as expressões obtidas anteriormente para a segunda perna e a hipotenusa nas fórmulas. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sen⁡α =a tan⁡α sen⁡α+a sen⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Você também pode calcular a altura através de relações trigonométricas, mas já no triângulo retângulo interno com lado a, que ele forma. Para fazer isso, você precisa do lado a, como a hipotenusa de tal triângulo, multiplicado pelo seno do ângulo β ou pelo cosseno de α, pois de acordo com as identidades trigonométricas eles são equivalentes. (fig. 79.2) h=a cos⁡α

A mediana da hipotenusa é igual à metade da hipotenusa ou do cateto conhecido a dividido por dois senos α. Para encontrar as medianas das pernas, trazemos as fórmulas para a forma apropriada para o lado e os ângulos conhecidos. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sen⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sen^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Como a bissetriz de um ângulo reto em um triângulo é o produto de dois lados pela raiz de dois, dividido pela soma desses lados, substituindo um dos catetos pela razão do cateto conhecido pela tangente, obtemos o seguinte expressão. Da mesma forma, substituindo a razão na segunda e terceira fórmulas, pode-se calcular as bissetrizes dos ângulos α e β. (fig.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(um sen⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(um sen⁡α+a)

A linha do meio corre paralela a um dos lados do triângulo, enquanto forma outro triângulo retângulo semelhante com os mesmos ângulos, no qual todos os lados têm metade do tamanho do original. Com base nisso, as linhas do meio podem ser encontradas usando as seguintes fórmulas, conhecendo apenas a perna e o ângulo oposto a ela. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sen⁡α)

O raio do círculo inscrito é igual à diferença entre os catetos e a hipotenusa, dividido por dois, e para encontrar o raio do círculo circunscrito, você precisa dividir a hipotenusa por dois. Substituímos a segunda perna e a hipotenusa pelas razões da perna a para o seno e a tangente, respectivamente. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sen⁡α+a sen⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Antes de encontrar a hipotenusa de um triângulo, você precisa descobrir quais características essa figura possui. Vamos considerar os principais:

1. Em um triângulo retângulo, ambos os ângulos agudos somam 90º.
2. Uma perna oposta a um ângulo de 30º será igual a ½ da hipotenusa.
3. Se o cateto for igual a ½ do valor da hipotenusa, então o segundo ângulo terá o mesmo valor - 30º.

Existem várias maneiras de encontrar a hipotenusa em um triângulo retângulo. A solução mais simples é o cálculo através das pernas. Digamos que você conheça os valores dos catetos dos lados A e B. Então o teorema de Pitágoras vem em socorro, nos dizendo que se elevarmos o valor de cada cateto e somarmos os dados obtidos, descobriremos qual é a hipotenusa é. Assim, só precisamos extrair o valor da raiz quadrada:

Por exemplo, se a perna A = 3 cm e a perna B = 4 cm, o cálculo ficaria assim:

Como encontrar a hipotenusa através de um ângulo?

Outra maneira de ajudar a descobrir o que a hipotenusa em um triângulo retângulo é igual a calcular através de um determinado ângulo. Para fazer isso, precisamos derivar o valor através da fórmula do seno. Suponha que sabemos o valor da perna (A) e o valor do ângulo oposto (α). Então toda a solução está em uma fórmula: С=А/sin(α).

Por exemplo, se o comprimento do cateto for 40 cm e o ângulo for 45°, então o comprimento da hipotenusa pode ser derivado da seguinte forma:

Você também pode determinar o valor desejado através do cosseno de um determinado ângulo. Suponha que conhecemos o valor de uma perna (B) e um ângulo agudo incluído (α). Então é necessária uma fórmula para resolver o problema: С=В/ cos(α).

Por exemplo, se o comprimento da perna for 50 cm e o ângulo for 45°, então a hipotenusa pode ser calculada da seguinte forma:

Assim, examinamos as principais maneiras de descobrir a hipotenusa em um triângulo. No decorrer da resolução da tarefa, é importante se concentrar nos dados disponíveis, pois encontrar o valor desconhecido será bastante simples. Você precisa conhecer apenas algumas fórmulas e o processo de resolução de problemas se tornará simples e agradável.

Instrução

Os ângulos opostos aos catetos a e b serão denotados por A e B, respectivamente. A hipotenusa, por definição, é o lado de um triângulo retângulo que é oposto ao ângulo reto (ao mesmo tempo, a hipotenusa forma ângulos agudos com outros lados do triângulo). Vamos denotar o comprimento da hipotenusa por s.

Você vai precisar de:
Calculadora.

Use a seguinte expressão para a perna: a=sqrt(c^2-b^2), se você souber os valores da hipotenusa e da outra perna. Esta expressão é derivada do teorema de Pitágoras, que afirma que o quadrado da hipotenusa de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos. O operador sqrt significa tirar a raiz quadrada. O sinal "^2" significa elevar à segunda potência.

Use a fórmula a=c*sinA se você conhece a hipotenusa (c) e o ângulo oposto ao cateto desejado (designamos esse ângulo como A).
Use a expressão a=c*cosB para encontrar o cateto se você conhece a hipotenusa (c) e o ângulo adjacente ao cateto desejado (designamos esse ângulo como B).
Calcule a perna usando a fórmula a = b * tgA no caso em que a perna b e o ângulo oposto à perna desejada são dados (concordamos em denotar esse ângulo A).

Observação:
Se em sua tarefa a perna não for encontrada por nenhum dos métodos descritos, provavelmente ela poderá ser reduzida a um deles.

Dicas úteis:
Todas essas expressões são obtidas a partir das conhecidas definições de funções trigonométricas, portanto, mesmo que você tenha esquecido uma delas, sempre poderá derivá-la rapidamente com operações simples. Além disso, é útil conhecer os valores das funções trigonométricas para os ângulos mais típicos 30, 45, 60, 90, 180 graus.

Use uma calculadora para encontrar a raiz quadrada da diferença entre a hipotenusa ao quadrado e o cateto conhecido, também ao quadrado. A perna é chamada de lado de um triângulo retângulo adjacente ao ângulo reto. Esta expressão é derivada do teorema de Pitágoras, que afirma que o quadrado da hipotenusa de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Antes de olharmos para as várias maneiras de encontrar uma perna em um triângulo retângulo, vamos fazer algumas anotações. Verifique qual dos casos listados corresponde à condição do seu problema e, dependendo disso, siga o parágrafo correspondente. Descubra quais quantidades no triângulo em consideração são conhecidas por você. Use a seguinte expressão para calcular a perna: a=sqrt(c^2-b^2), se você souber os valores da hipotenusa e da outra perna.

As relações entre os lados e os ângulos desta figura geométrica são discutidas em detalhes na disciplina matemática de trigonometria. Para aplicar esta equação, você precisa saber o comprimento de quaisquer dois lados de um triângulo retângulo.

Calcule o comprimento de um dos catetos, se as dimensões da hipotenusa e do outro cateto forem conhecidas. Se a hipotenusa e um dos ângulos agudos adjacentes a ela forem dados no problema, use as tabelas de Bradys.

O triângulo interno será semelhante ao externo, pois as linhas medianas são paralelas aos catetos e à hipotenusa e iguais às suas metades, respectivamente. Como a hipotenusa é desconhecida, para encontrar a linha média M_c, você precisa substituir o radical do teorema de Pitágoras.

A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo. Fica em frente ao ângulo reto. O comprimento da hipotenusa pode ser encontrado de várias maneiras. Se o comprimento de ambos os catetos é conhecido, então seu tamanho é calculado pelo teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados dos dois catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Sabendo que a soma de todos os ângulos é 180°, subtraímos o ângulo reto e o já conhecido.

Ao calcular os parâmetros de um triângulo retângulo, é importante prestar atenção aos valores conhecidos e resolver o problema usando a fórmula mais simples. Primeiro, vamos lembrar o que é um triângulo retângulo. Um triângulo retângulo é uma figura geométrica de três segmentos que conectam pontos que não estão na mesma linha reta, e um dos ângulos dessa figura é de 90 graus. Existem várias maneiras de descobrir o comprimento da perna.

Fórmula: c²=a²+b², onde c é a hipotenusa, a e b são os catetos

Se conhecemos a hipotenusa e o cateto, podemos encontrar o comprimento do cateto desconhecido usando o teorema de Pitágoras. Soa assim: "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Existem quatro opções para encontrar a perna usando funções trigonométricas: por seno, cosseno, tangente, cotangente. O seno de um ângulo (sen) é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Fórmula: sin \u003d a / c, onde a é a perna oposta ao ângulo dado e c é a hipotenusa.

As propriedades incomuns dos triângulos retângulos foram descobertas pelo antigo cientista grego Pitágoras, que descobriu que o quadrado da hipotenusa em tais triângulos é igual à soma dos quadrados dos catetos

A altitude é a perpendicular de qualquer vértice de um triângulo ao lado oposto (ou sua extensão, para um triângulo com um ângulo obtuso). As alturas de um triângulo se cruzam em um ponto, que é chamado de ortocentro. Se for um triângulo retângulo arbitrário, então não há dados suficientes.

Além disso, é útil conhecer os valores das funções trigonométricas para os ângulos mais típicos 30, 45, 60, 90, 180 graus. Se as condições especificarem as dimensões dos catetos, encontre o comprimento da hipotenusa. Na vida, muitas vezes temos que enfrentar problemas de matemática: na escola, na universidade e depois ajudando nosso filho com a lição de casa.

Em seguida, transformamos a fórmula e obtemos: a=sen*c

Para resolver os problemas, a tabela abaixo nos ajudará. Vamos considerar essas opções. Um caso especial interessante é quando um dos ângulos agudos é igual a 30 graus.

Pessoas de certas profissões encontrarão matemática diariamente.

Também é possível encontrar uma perna desconhecida se qualquer outro lado e qualquer ângulo agudo de um triângulo retângulo forem conhecidos. Encontre o lado de um triângulo retângulo usando o teorema de Pitágoras. Além disso, os lados de um triângulo retângulo podem ser encontrados usando várias fórmulas, dependendo do número de variáveis ​​conhecidas.