Seja dada alguma sequência de números renumerados x 1 , x 2 ,..., x n ,... ., que denotamos brevemente ou (x n ) . Esta sequência pode ser escrita como uma função do número n: x n =f(n) , ou x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..

Qualquer sequência será especificada se a regra para a formação de seus membros for especificada. A sequência é geralmente dada por fórmulas como x n = f(n) ou x n = f(x n-1) , x n = f(x n-1 , x n-2) etc., onde .

Exemplo.Sequência 2, 4, 8, 16, .. . dado pela fórmula x n =2 n ; progressão geométrica a 1 , a 2 ,..., a n , .. . pode ser definido pela fórmula a n =a 1 q n-1 ou a n =a n-1 q ; Números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . são definidos pelas fórmulas x n =x n-1 +x n-2 , n=3, 4, .. ., x 1 =1 , x 2 =1 .

Gráfico de sequência numérica(x n ) é formado por um conjunto de pontos M n (n;f(n)) no plano nOx, ou seja, gráfico de sequência numérica consiste em pontos discretos.

A sequência (x n ) é chamada crescente se a condição da forma for satisfeita.

A sequência (x n ) é chamada decrescente se a condição da forma for satisfeita.

A sequência (x n ) é chamada não crescente se a condição da forma for satisfeita.

A sequência (x n ) é chamada não decrescente se a seguinte condição for atendida: .

Essas sequências são chamadas de monotônicas. As sequências restantes não são monotônicas.

O próximo é chamado sequência sem fim quaisquer objetos da mesma natureza.

Exemplo.Série de números - série de números. Algumas das funções - faixa funcional.

A ordem dos elementos de uma série é significativa. Alterando a ordem, obtemos outra linha dos mesmos elementos.

Estamos interessados ​​aqui apenas na série numérica e sua soma, que ainda é escrita formalmente (não construtivamente, não formalizada), ou seja, a soma de todos os membros de alguma sequência numérica infinita u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., ou u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Esta série pode ser escrita de forma compacta como

Sinal - sinal "sigma" ou o sinal da soma, soma seqüencial de todos os elementos u n do limite inferior n=1 (indicado na parte inferior, pode ser finito ou infinito negativo) até o limite superior (indicado na parte superior, pode ser qualquer número, maior ou igual ao limite inferior, bem como infinito positivo).

Os números u n (n=1, 2, .. .) são chamados membros da série, e u n é o membro comum da série.

Exemplo.Num curso de matemática escolar, uma progressão geométrica infinitamente decrescente é dada a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .

Exemplo. Série harmônica de números- série do formulário: . Abaixo vamos considerá-lo com mais detalhes.

A série numérica será considerada dada, ou seja, cada um de seus elementos será determinado de forma única se a regra para encontrar seu membro comum for especificada ou alguma função numérica argumento natural , ou u n = f(n) .

Exemplo.Se , então a série é dada , ou em notação compacta:

Se dado série harmônica de números, então seu termo comum pode ser escrito como , e a própria série pode ser escrita como

Vamos dar a definição de uma soma finita de uma série e uma sequência de tais somas finitas.

A soma final dos n primeiros termos da série é chamada de n-ésima soma parcial e é denotada por S n :

Essa soma é encontrada de acordo com as regras usuais para somar números. Existem infinitas dessas somas, ou seja, para cada série, pode-se considerar uma série composta de somas parciais: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . ou uma sequência de somas parciais construídas para esta série: .

A sequência é limitada a partir de cima, se houver um número M comum para todos os membros da sequência, que não seja excedido por todos os membros da sequência, ou seja, se a seguinte condição for satisfeita:

A sequência de números é limitada a partir de baixo, se houver um número comum m para todos os membros da sequência, que excede todos os membros da sequência, ou seja, se a condição for atendida:

A sequência de números é limitada se houver números m e M que sejam comuns a todos os membros da sequência e satisfaçam a condição:

O número a é chamado o limite da sequência numérica(x n ) , se houver um número tão pequeno que todos os membros da sequência, exceto algum número finito dos primeiros membros, caiam na vizinhança - do número a , isto é, no final, eles se condensam em torno do ponto um. Assim, todos os pontos x i , i=N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, .. devem cair no intervalo. sequências. Neste caso, o número N 0 depende do número escolhido, ou seja, (Fig. 7.1) .

Arroz. 7.1.

Matematicamente, a existência de um limite de sequência pode ser escrita como:

Este fato é escrito brevemente como ou , e diga que converge para o número a . Se a sequência não tem limite, ela é chamada de divergente.

Segue diretamente da definição do limite: se descartamos, adicionamos ou alteramos um número finito de membros da sequência, a convergência não é violada (ou seja, se a sequência original converge, então a sequência modificada converge) e a limites das sequências original e resultante serão iguais.

Exemplo.Assuma isso , onde , ou seja , , . Este fato é facilmente comprovado, mas por enquanto o tomamos como um fato comprovado. Então , : . Encontre o valor do número (se tal número existir). Considerar . A seguinte relação é verdadeira:

Então, se pegarmos um número , então a desigualdade será satisfeita. Por exemplo, com o valor , obtemos o número N 0 =99 , ou seja, |x n -1|<0,01 . Чем меньше значение - тем больше значение N 0 . Например, если , то N 0 =999 .

Agora damos duas definições equivalentes do limite da função: usando o limite da sequência e usando a correspondência de pequenas vizinhanças do argumento e o valor da função. A validade de uma definição implica a validade de outra. Deixe a função y=f(x) ser definida , exceto talvez o ponto x=x 0 , que é o ponto limite de D(f) . Neste ponto, a função pode estar indefinida (indefinida) ou pode ter uma pausa.

Se a sequência converge para zero:

então ela é chamada de sequência infinitesimal. Diz-se também que seu termo comum está em uma quantidade infinitesimal. As sequências (84.3) e (84.4) são infinitesimais.

Se aplicarmos a formulação do conceito de limite ao caso de uma sequência infinitesimal, ou seja, ao caso em que o limite é zero, chegamos à seguinte definição de sequência infinitesimal (equivalente à dada acima): uma sequência é chamada infinitesimal se para qualquer dado existe tal número N, que para todos haverá uma desigualdade

Vamos formular alguns teoremas úteis sobre sequências infinitesimais (e provar o primeiro deles como exemplo).

Teorema 1. A soma de duas ou mais sequências infinitesimais é uma sequência infinitesimal.

Realizamos a prova para o caso da soma de duas sequências. Sejam as sequências infinitesimais. Se for a sequência obtida por sua adição, então também será infinitesimal. De fato, seja dado um número positivo arbitrário E. Devido ao fato de ser infinitamente pequeno, existe um número N tal que será menor que o número em . Da mesma forma, para a segunda sequência, pode-se especificar um número (geralmente diferente) tal que para , temos Agora, se maior que o maior dos números , então simultaneamente

Mas então, pela propriedade "o módulo da soma não excede a soma dos módulos" (item 74, propriedade 13), encontramos

o que prova a afirmação exigida: a sequência infinitesimal é lida como “o maior dos dois números N e .

Teorema 2. O produto de uma sequência limitada e uma sequência convergente para zero é uma sequência convergente para zero.

Deste teorema, em particular, segue-se que o produto de um valor constante por um infinitesimal, assim como o produto de vários infinitesimais entre si, é uma quantidade infinitesimal. De fato, um valor constante é sempre um valor limitado. O mesmo se aplica ao infinitesimal. Portanto, por exemplo, o produto de dois infinitesimais pode ser interpretado como o produto de um infinitesimal por um limitado.

Teorema 3. O quociente de dividir uma sequência que converge para zero por uma sequência que tem um limite diferente de zero é uma sequência que converge para zero.

O seguinte teorema permite o uso de infinitesimais nas provas de teoremas sobre limites (Teoremas 6-8).

Teorema 4. O termo comum de uma sequência que tem limite pode ser representado como a soma desse limite e uma quantidade infinitesimal.

Prova. Seja uma sequência tal que

Da definição do limite segue:

para todos satisfazendo a desigualdade Denote e então obtemos que para os valores indicados será

ou seja, que existe uma quantidade infinitesimal. Mas

e isso prova nosso teorema.

Verna e reverso

Teorema 5. Se um termo comum de uma sequência difere de algum valor constante por um valor infinitesimal, então essa constante é o limite dessa sequência.

Consideramos agora as regras para passar ao limite formuladas nos três teoremas a seguir.

Teorema 6. O limite da soma de duas ou mais sequências que têm um limite é igual à soma desses limites:

Prova. Sejam sequências tais que

Então, com base no Teorema 4, podemos escrever:

onde estão algumas sequências infinitesimais. Vamos somar as duas últimas igualdades:

O valor como a soma de duas constantes aeb é constante, e como a soma de duas sequências infinitesimais, de acordo com o Teorema 1, existe uma sequência infinitesimal. A partir disso e do Teorema 5 concluímos que

e isso deveria ser provado.

A prova que fizemos agora pode ser facilmente generalizada para o caso de uma soma algébrica de qualquer número de sequências dadas.

Seja o preço de algum ativo no momento atual r igual a S(T) . O preço de exercício de uma opção de compra sobre este ativo com tempo de expiração T é igual a K. Vamos calcular o preço desta opção no tempo t. Divida o intervalo de tempo [r, T] em n períodos de mesma duração (T - t)/n. O cálculo do preço da opção de compra é realizado dentro da estrutura do modelo de precificação de opção binomial de n períodos e, em seguida, seu limite é encontrado em n -> oo.
Assim, o preço da opção no modelo binomial de n períodos é determinado pela fórmula (3.12). De acordo com a definição, jo tende a In [K/(S(t)dn))/ln(m/d) como m i —» oo. Pela fórmula integral de Moivre-Laplace
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
s/npq J \ l/np"q
onde Ф(х) = ^ dt - função de distribuição normal.
Usando a definição (3.16) dos números e ad, obtemos que η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
Onde
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
A fórmula encontrada (3.17) para o preço da opção de compra é chamada de fórmula Black-Scholes.
A prova da fórmula (3.17) usa a expansão do expoente na série
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Substituindo e e d da fórmula (3.17) na igualdade (3.8), que determina os números р id, temos:
erAt - comeu/Sh-
R
Expandindo os exponenciais em uma série de acordo com a fórmula (3.18) e desprezando os termos que são pequenos em comparação com At, obtemos
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t= 1 I ~ t=
2al/M 2al/M
Se não houver incerteza de preço de mercado, então o preço do ativo S satisfaz a equação
AS = fiSAt, (2.1)
onde At é suficientemente pequeno. Como At -> 0 equação (2.1) torna-se diferencial
S" = /J.S.
Sua solução S(T) = S(0)emT determina o preço S(T) do ativo no tempo T.
Na prática, no entanto, sempre há incerteza sobre o preço de um ativo. Para descrever a incerteza, são consideradas as funções de tempo, que são variáveis ​​aleatórias para cada valor do argumento. Esta propriedade define um processo aleatório.
Um processo aleatório w(t) é chamado de Wiener se r(0) = 0 e as variáveis ​​aleatórias w(t\ + s) - w(t\) e w(t2 + s) - w(t2) têm uma distribuição normal com expectativa zero e com variância igual a s e são independentes para quaisquer t\, t2, s formando intervalos não sobrepostos (ti,ti + s) e (t2,t2 + s).
O gráfico do processo de Wiener pode ser obtido, por exemplo, como segue. Fixamos algum número h > 0 e definimos uma família de variáveis ​​aleatórias Wh(t) nos momentos t = 0, h, 2h,.... Defina Wh(0) = 0. Diferença AWh = Wh((k+l) h) - Wh(kh) é uma variável aleatória e é dada pela tabela: AWh -6 6 P 1/2 1/2 moedas. Então a expectativa matemática da variável aleatória AWh é M(AI//1) = 0, e a variância D(AWh) = S2. O número d é igual a Vh para que a variância ~D(AWh) seja igual a h.
Acontece que o processo de Wiener w(t) é obtido a partir da família de variáveis ​​aleatórias Wh(t) como h -> 0. A passagem para o limite em si é bastante difícil e não é considerada aqui. Portanto, o gráfico da família Wh (t) para h pequeno é uma boa aproximação do processo de Wiener. Por exemplo, para uma representação visual do processo de Wiener em um segmento, basta tomar h = 0,01.
No caso mais simples, quando /x = 0, ou seja, o mercado de ações não cresce e não diminui em média, assume-se que
AS = aAS Aw,
onde w(t) é um processo de Wiener e a > 0 é algum número positivo. O fato de incrementos no preço de um ativo serem proporcionais ao preço expressa a suposição natural de que a incerteza da expressão (S(t + At) - S(t))/S(t) não depende de S. Isso significa que o investidor não tem certeza se você obtém uma parte do lucro a um preço de ativo de $ 20 e a um preço de ativo de $ 100.
O modelo de comportamento do preço dos ativos é geralmente determinado pela equação
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
O coeficiente a, que é uma unidade de incerteza, é chamado de volatilidade.
2.2.

Mais sobre o tópico de transição de limite:

1. A transição para uma economia de mercado está associada à transição para um sistema de gestão moderno, cujo objeto principal é a organização (empresa) e dentro dela - o trabalhador, o trabalhador.
2. Valor limite (valor limite de um indicador econômico)

A mecânica quântica contém o clássico como um caso limite. Coloca-se a questão de como se faz esta passagem ao limite.

Na mecânica quântica, um elétron é descrito por uma função de onda que determina vários valores de sua coordenada; a única coisa que sabemos até agora sobre essa função é que ela é uma solução de alguma equação diferencial parcial linear. Na mecânica clássica, no entanto, um elétron é considerado uma partícula material que se move ao longo de uma trajetória que é completamente determinada pelas equações de movimento. Uma relação análoga, em certo sentido, à relação entre a mecânica quântica e a clássica ocorre na eletrodinâmica entre a óptica ondulatória e a geométrica. Na óptica ondulatória, as ondas eletromagnéticas são descritas por vetores de campos elétricos e magnéticos que satisfazem um determinado sistema de equações diferenciais lineares (equações de Maxwell). Na óptica geométrica, a propagação da luz ao longo de certas trajetórias - raios é considerada.

Tal analogia permite concluir que a passagem ao limite da mecânica quântica para a mecânica clássica ocorre de forma semelhante à transição da óptica ondulatória para a geométrica.

Recordemos como se realiza matematicamente esta última transição (ver II, § 53). Seja e um dos componentes do campo em uma onda eletromagnética. Pode ser representado como e - com amplitude real a e fase (a última é chamada de eikonal em óptica geométrica). O caso limite da ótica geométrica corresponde a pequenos comprimentos de onda, que são expressos matematicamente por uma grande quantidade de mudança em pequenas distâncias; isto significa, em particular, que a fase pode ser considerada grande em seu valor absoluto.

Assim, partimos da suposição de que o caso limite da mecânica clássica corresponde na mecânica quântica a funções de onda da forma , onde a é uma função que muda lentamente e assume grandes valores. Como se sabe, em mecânica a trajetória das partículas pode ser determinada a partir do princípio variacional, segundo o qual a chamada ação 5 de um sistema mecânico deve ser mínima (princípio da menor ação). Na óptica geométrica, o caminho dos raios é determinado pelo chamado princípio de Fermat, segundo o qual o "comprimento do caminho óptico" do feixe, ou seja, a diferença entre suas fases no final e no início do caminho, deve ser mínimo.

Com base nessa analogia, podemos afirmar que a fase da função de onda no caso limite clássico deve ser proporcional à ação mecânica S do sistema físico em consideração, ou seja, deve ser . O coeficiente de proporcionalidade é chamado de constante de Plant e é denotado pela letra . Tem a dimensão da ação (porque é adimensional) e é igual a

Assim, a função de onda de um sistema físico "quase clássico" (ou, como dizem, semiclássico) tem a forma

A constante de Planck desempenha um papel fundamental em todos os fenômenos quânticos. Seu valor relativo (comparado a outras grandezas da mesma dimensão) determina o “grau de quantumidade” deste ou daquele sistema físico. A transição da mecânica quântica para a clássica corresponde a uma grande fase e pode ser formalmente descrita como uma transição para um limite (assim como a transição da onda para a óptica geométrica corresponde a uma transição para o limite de comprimento de onda zero,

Esclarecemos a forma limite da função de onda, mas ainda resta a questão de como ela está relacionada ao movimento clássico ao longo de uma trajetória. No caso geral, o movimento descrito pela função de onda não se transforma em movimento ao longo de uma certa trajetória. Sua conexão com o movimento clássico está no fato de que, se em algum momento inicial a função de onda, e com ela a distribuição de probabilidade das coordenadas, for dada, então no futuro essa distribuição “se moverá” como deveria ser de acordo com as leis de mecânica clássica (para mais detalhes, ver final do § 17).

Para obter movimento ao longo de uma certa trajetória, é necessário partir de uma função de onda de forma especial, visivelmente diferente de zero apenas em uma seção muito pequena do espaço (o chamado pacote de ondas), as dimensões dessa seção pode tender a zero junto com d. Então pode-se argumentar que no caso semiclássico o pacote de ondas se moverá no espaço ao longo da trajetória clássica da partícula.

Finalmente, os operadores da mecânica quântica no limite devem ser reduzidos simplesmente à multiplicação pela quantidade física correspondente.

Alguma função f tenderá para o número A quando x tende para o ponto x0 quando a diferença f(x) - A for arbitrariamente pequena. Em outras palavras, a expressão |f(x) –A| torna-se menor do que qualquer número fixo pré-atribuído h > 0, à medida que o módulo do incremento do argumento |∆x| diminui.

Limitar transição

Encontrar este número A a partir da função f é chamado passagem ao limite. No curso escolar, a passagem ao limite se dará em dois casos principais.

1. Passando ao limite em relação a ∆f/∆x ao encontrar a derivada.

2. Ao determinar a continuidade de uma função.

Continuidade da função

Uma função é dita contínua em x0 se f(x) tende a f(x0) como x tende a x0. Neste caso: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Isso significa que |∆f| será pequeno para |∆x| pequeno. Em palavras, pequenas mudanças no argumento correspondem a pequenas mudanças no valor da função.

As funções encontradas em um curso de matemática escolar, por exemplo, uma função linear, uma função quadrática, uma função de potência e outras, são contínuas em todos os pontos da área em que são definidas. Para essas funções, os gráficos são representados como linhas curvas contínuas.

Esse fato é a base do método de construção do gráfico de uma função "por pontos", que costumamos usar. Mas antes de usá-lo, é necessário descobrir se a função em consideração é realmente contínua. Para casos simples, isso pode ser feito com base na definição de continuidade que demos acima.

Por exemplo: provaremos que uma função linear é contínua em todos os pontos da reta real y = k*x + b.

Por definição, precisamos mostrar que |∆f| torna-se menor que qualquer número pré-atribuído h>0, para |∆x| pequeno

|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.

Se tomarmos |∆x| >h/|k| para k diferente de zero, então |∆f| será menor do que qualquer h>0, o que deveria ser provado.

Regras de limitação

Ao usar a operação de transição de limite, as seguintes regras devem ser seguidas.

1. Se a função f é contínua no ponto x0, então ∆f tende a zero como ∆x tende a zero.

2. Se a função f tem uma derivada no ponto x0, então ∆f/∆x tende a f'(x0) como ∆x tende a zero.

3. Seja f(x) tendendo para A, g(x) tendendo para B como x tende para x0. Então:

f(x) + g(x) tende a A + B;