Primeiro nível
Progressão aritmética. Teoria detalhada com exemplos (2019)
Sequência numérica
Então vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos quiser (no nosso caso, eles). Não importa quantos números escrevamos, sempre podemos dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica:
Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:
O número atribuído é específico para apenas um número de sequência. Em outras palavras, não há números de três segundos na sequência. O segundo número (como o número -th) é sempre o mesmo.
O número com o número é chamado de -th membro da sequência.
Normalmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .
No nosso caso: 
Digamos que temos uma sequência numérica na qual a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo: 
etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio já no século VI e foi entendido em um sentido mais amplo como uma sequência numérica infinita. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, na qual os antigos gregos estavam envolvidos.
Esta é uma sequência numérica, cada membro do qual é igual ao anterior, somado com o mesmo número. Esse número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é denotado.
Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:
a)
b)
c)
d)
Entendi? Compare nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
não é progressão aritmética - a, d.
Vamos retornar à progressão dada () e tentar encontrar o valor de seu º membro. Existe dois maneira de encontrá-lo.
1. Método
Podemos somar ao valor anterior do número da progressão até chegarmos ao º termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir - apenas três valores:
Assim, o -ésimo membro da progressão aritmética descrita é igual a.
2. Método
E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? A soma nos levaria mais de uma hora, e não é fato que não teríamos cometido erros ao somar os números.
É claro que os matemáticos inventaram uma maneira pela qual você não precisa adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Olhe atentamente para a imagem desenhada ... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:
Por exemplo, vamos ver o que compõe o valor do -th membro desta progressão aritmética: 
Em outras palavras:
Tente encontrar independentemente dessa maneira o valor de um membro dessa progressão aritmética.
Calculado? Compare suas entradas com a resposta:
Preste atenção que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando somamos sucessivamente os membros de uma progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula - nós a trazemos para uma forma geral e obtemos:
|
Equação de progressão aritmética. |
As progressões aritméticas são crescentes ou decrescentes.
Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:
descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:
A fórmula derivada é usada no cálculo de termos em termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos conferir na prática.
Temos uma progressão aritmética composta pelos seguintes números:
Desde então:
Assim, ficamos convencidos de que a fórmula funciona tanto na progressão aritmética decrescente quanto na progressão aritmética crescente.
Tente encontrar os membros -th e -th dessa progressão aritmética por conta própria.
Vamos comparar os resultados:
Propriedade de progressão aritmética
Vamos complicar a tarefa - derivamos a propriedade de uma progressão aritmética.
Suponha que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
É fácil, você diz, e comece a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:
Seja, a, então:
Absolutamente certo. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que estamos procurando. Se a progressão é representada por pequenos valores, então não há nada complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense, é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e vamos tentar trazê-lo agora.
Denotamos o termo desejado da progressão aritmética como conhecemos a fórmula para encontrá-lo - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, então:
- o membro anterior da progressão é:
- o próximo termo da progressão é:
Vamos somar os membros anteriores e seguintes da progressão:
Acontece que a soma dos membros anteriores e subsequentes da progressão é duas vezes o valor do membro da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um membro de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário somá-los e dividir por.
Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos corrigir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, porque não é nada difícil.
Bem feito! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula, que, segundo a lenda, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o "rei dos matemáticos" - Carl Gauss, facilmente deduziu por si mesmo...
Quando Carl Gauss tinha 9 anos, o professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, pediu a seguinte tarefa na aula: "Calcule a soma de todos os números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive. " Qual foi a surpresa do professor quando um de seus alunos (foi Karl Gauss) depois de um minuto deu a resposta correta para a tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário após longos cálculos receberam o resultado errado ...
O jovem Carl Gauss notou um padrão que você pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética composta por -ti membros: Precisamos encontrar a soma dos membros dados da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se precisarmos encontrar a soma de seus termos na tarefa, como Gauss estava procurando?
Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe atentamente os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles. 
Tentou? O que você notou? Corretamente! Suas somas são iguais
Agora responda, quantos desses pares haverá na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números, isso é.
Com base no fato de que a soma de dois membros de uma progressão aritmética é igual, e pares iguais semelhantes, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:
Em alguns problemas, não sabemos o º termo, mas sabemos a diferença de progressão. Tente substituir na fórmula da soma, a fórmula do º membro.
O que você conseguiu?
Bem feito! Agora vamos voltar ao problema que foi dado a Carl Gauss: calcule por si mesmo qual é a soma dos números a partir do -th e a soma dos números a partir do -th.
Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi assim que você decidiu?
De fato, a fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética foi provada pelo antigo cientista grego Diofante no século III e, durante todo esse tempo, pessoas espirituosas usaram as propriedades de uma progressão aritmética com força e principal.
Por exemplo, imagine o Egito Antigo e o maior edifício da época - a construção de uma pirâmide... A figura mostra um lado dela. 
Onde está a progressão aqui, você diz? Olhe atentamente e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada fileira da parede da pirâmide. 
Por que não uma progressão aritmética? Conte quantos blocos são necessários para construir uma parede se blocos de tijolos forem colocados na base. Espero que você não conte movendo o dedo pelo monitor, você se lembra da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?
Nesse caso, a progressão fica assim:
Diferença de progressão aritmética.
O número de membros de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (contamos o número de blocos de 2 maneiras).
Método 1.
Método 2.
E agora você também pode calcular no monitor: compare os valores obtidos com o número de blocos que estão em nossa pirâmide. Concordou? Muito bem, você dominou a soma dos º termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide a partir dos blocos da base, mas a partir de? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com essa condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:
Treino
Tarefas:
- Masha está ficando em forma para o verão. A cada dia ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha vai agachar em semanas se ela fez agachamento no primeiro treino.
- Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
- Ao armazenar toras, os lenhadores os empilham de tal forma que cada camada superior contém uma tora a menos que a anterior. Quantas toras estão em uma alvenaria, se a base da alvenaria for toras.
Respostas:
- Vamos definir os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
(semanas = dias).Responda: Em duas semanas, Masha deve agachar uma vez por dia.
- Primeiro número ímpar, último número.
Diferença de progressão aritmética.
O número de números ímpares em - metade, no entanto, verifique esse fato usando a fórmula para encontrar o -ésimo membro de uma progressão aritmética:Os números contêm números ímpares.
Substituímos os dados disponíveis na fórmula:Responda: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual a.
- Lembre-se do problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , como cada camada superior é reduzida em um log, há apenas um monte de camadas, ou seja.
Substitua os dados na fórmula:Responda: Há troncos na alvenaria.
Resumindo
- - uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Está aumentando e diminuindo.
- Encontrando a fórmulaº membro de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
- Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde - o número de números na progressão.
- A soma dos membros de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:
, onde é o número de valores.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO
Sequência numérica
Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos você quiser. Mas você sempre pode dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica.
Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número único.
Em outras palavras, cada número pode ser associado a um determinado número natural, e apenas um. E não atribuiremos esse número a nenhum outro número deste conjunto.
O número com o número é chamado de -th membro da sequência.
Normalmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .
É muito conveniente que o -ésimo membro da sequência possa ser dado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula
define a sequência:
E a fórmula é a seguinte sequência:
Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença). Ou (, diferença).
fórmula do enésimo termo
Chamamos de fórmula recorrente uma fórmula na qual, para descobrir o -ésimo termo, você precisa conhecer o anterior ou vários anteriores:
Para encontrar, por exemplo, o º termo da progressão usando tal fórmula, temos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:
Bem, agora está claro qual é a fórmula?
Em cada linha, somamos, multiplicamos por algum número. Para que? Muito simples: este é o número do membro atual menos:
Muito mais confortável agora, certo? Verificamos:
Decida por si mesmo:
Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.
Solução:
O primeiro termo é igual. e qual é a diferença? E aqui está o que:
(afinal, chama-se diferença porque é igual à diferença dos membros sucessivos da progressão).
Então a fórmula é:
Então o centésimo termo é:
Qual é a soma de todos os números naturais de a?
Segundo a lenda, o grande matemático Carl Gauss, sendo um menino de 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele notou que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do 3º a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números, isto é. Então,
A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:
Exemplo:
Encontre a soma de todos os múltiplos de dois dígitos.
Solução:
O primeiro número é este. Cada próximo é obtido adicionando um número ao anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.
A fórmula para o º termo desta progressão é:
Quantos termos estão na progressão se todos eles devem ter dois dígitos?
Muito fácil: .
O último termo da progressão será igual. Então a soma:
Responda: .
Agora decida você mesmo:
- Todos os dias o atleta corre 1m a mais que no dia anterior. Quantos quilômetros ele correrá em semanas se ele correu km m no primeiro dia?
- Um ciclista percorre mais quilômetros por dia do que o anterior. No primeiro dia ele viajou km. Quantos dias ele tem que dirigir para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia da viagem?
- O preço de uma geladeira na loja é reduzido na mesma quantidade todos os anos. Determine quanto o preço de um refrigerador diminuiu a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois foi vendido por rublos.
Respostas:
- O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
.
Responda: - Aqui é dado:, é necessário encontrar.
Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
.
Substitua os valores:A raiz obviamente não se encaixa, então a resposta.
Vamos calcular a distância percorrida no último dia usando a fórmula do -th termo:
(km).
Responda: - Dado: . Achar: .
Não fica mais fácil:
(esfregar).
Responda:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL
Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre os números adjacentes é a mesma e igual.
A progressão aritmética é crescente () e decrescente ().
Por exemplo:
A fórmula para encontrar o n-ésimo membro de uma progressão aritmética
é escrito como uma fórmula, onde é o número de números na progressão.
Propriedade dos membros de uma progressão aritmética
Fica fácil encontrar um membro da progressão se seus membros vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.
A soma dos membros de uma progressão aritmética
Existem duas maneiras de encontrar a soma:
Onde é o número de valores.
Onde é o número de valores.
Por exemplo, a sequência \(2\); \(5\); \(oito\); \(onze\); \(14\)… é uma progressão aritmética, pois cada elemento seguinte difere do anterior por três (pode ser obtido do anterior somando três):
Nesta progressão, a diferença \(d\) é positiva (igual a \(3\)) e, portanto, cada termo seguinte é maior que o anterior. Essas progressões são chamadas aumentando.
No entanto, \(d\) também pode ser um número negativo. Por exemplo, em progressão aritmética \(16\); \(dez\); \(quatro\); \(-2\); \(-8\)… a diferença de progressão \(d\) é igual a menos seis.
E neste caso, cada próximo elemento será menor que o anterior. Essas progressões são chamadas diminuindo.
Notação de progressão aritmética
A progressão é indicada por uma pequena letra latina.
Os números que formam uma progressão são chamados membros(ou elementos).
Eles são denotados pela mesma letra que a progressão aritmética, mas com um índice numérico igual ao número do elemento em ordem.
Por exemplo, a progressão aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consiste nos elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e assim por diante.
Em outras palavras, para a progressão \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Resolvendo problemas em uma progressão aritmética
Em princípio, as informações acima já são suficientes para resolver praticamente qualquer problema de progressão aritmética (incluindo os oferecidos no OGE).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições \(b_1=7; d=4\). Encontre \(b_5\).
Solução:
Responda: \(b_5=23\)
Exemplo (OGE).
Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são dados: \(62; 49; 36…\) Encontre o valor do primeiro termo negativo dessa progressão.
Solução:
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Recebemos os primeiros elementos da sequência e sabemos que é uma progressão aritmética. Ou seja, cada elemento difere do vizinho pelo mesmo número. Descubra qual subtraindo o anterior do próximo elemento: \(d=49-62=-13\). |
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Agora podemos restaurar nossa progressão para o elemento desejado (primeiro negativo). |
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Preparar. Você pode escrever uma resposta. |
Responda: \(-3\)
Exemplo (OGE).
Vários elementos sucessivos de uma progressão aritmética são dados: \(...5; x; 10; 12,5...\) Encontre o valor do elemento denotado pela letra \(x\).
Solução:
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Para encontrar \(x\), precisamos saber o quanto o próximo elemento difere do anterior, ou seja, a diferença de progressão. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos conhecidos: \(d=12.5-10=2.5\). |
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E agora encontramos o que procuramos sem problemas: \(x=5+2.5=7.5\). |
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Preparar. Você pode escrever uma resposta. |
Responda: \(7,5\).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas seguintes condições: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encontre a soma dos seis primeiros termos desta progressão.
Solução:
|
Precisamos encontrar a soma dos seis primeiros termos da progressão. Mas não sabemos seus significados, recebemos apenas o primeiro elemento. Portanto, primeiro calculamos os valores por sua vez, usando o que nos foi dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
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\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
O valor solicitado foi encontrado. |
Responda: \(S_6=9\).
Exemplo (OGE).
Em progressão aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encontre a diferença dessa progressão.
Solução:
Responda: \(d=7\).
Fórmulas importantes de progressão aritmética
Como você pode ver, muitos problemas de progressão aritmética podem ser resolvidos simplesmente entendendo o principal - que uma progressão aritmética é uma cadeia de números, e cada próximo elemento nesta cadeia é obtido adicionando o mesmo número ao anterior (a diferença da progressão).
No entanto, às vezes há situações em que é muito inconveniente resolver "na testa". Por exemplo, imagine que no primeiro exemplo, precisamos encontrar não o quinto elemento \(b_5\), mas o tricentésimo octogésimo sexto \(b_(386)\). O que é isso, nós \ (385 \) vezes para adicionar quatro? Ou imagine que no penúltimo exemplo você precisa encontrar a soma dos primeiros setenta e três elementos. Contar é confuso...
Portanto, nesses casos, eles não resolvem “na testa”, mas usam fórmulas especiais derivadas de progressão aritmética. E as principais são a fórmula do enésimo termo da progressão e a fórmula da soma \(n\) dos primeiros termos.
Fórmula para o \(n\)º membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro membro da progressão;
\(n\) – número do elemento requerido;
\(a_n\) é um membro da progressão com o número \(n\).
Essa fórmula nos permite encontrar rapidamente pelo menos o tricentésimo, até mesmo o milionésimo elemento, conhecendo apenas o primeiro e a diferença de progressão.
Exemplo.
A progressão aritmética é dada pelas condições: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encontre \(b_(246)\).
Solução:
Responda: \(b_(246)=1850\).
A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), onde
\(a_n\) é o último termo somado;
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições \(a_n=3.4n-0.6\). Encontre a soma dos primeiros \(25\) termos dessa progressão.
Solução:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Para calcular a soma dos primeiros vinte e cinco elementos, precisamos saber o valor do primeiro e do vigésimo quinto termo. |
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\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Agora vamos encontrar o vigésimo quinto termo substituindo vinte e cinco em vez de \(n\). |
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\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Bem, agora calculamos a quantidade necessária sem problemas. |
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
A resposta está pronta. |
Responda: \(S_(25)=1090\).
Para a soma \(n\) dos primeiros termos, você pode obter outra fórmula: você só precisa \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) em vez de \(a_n\) substitua pela fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nós temos:
A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), onde
\(S_n\) – a soma necessária \(n\) dos primeiros elementos;
\(a_1\) é o primeiro termo a ser somado;
\(d\) – diferença de progressão;
\(n\) - o número de elementos na soma.
Exemplo.
Encontre a soma dos primeiros termos \(33\)-ex da progressão aritmética: \(17\); \(15,5\); \(quatorze\)…
Solução:
Responda: \(S_(33)=-231\).
Problemas de progressão aritmética mais complexos
Agora você tem todas as informações necessárias para resolver quase qualquer problema de progressão aritmética. Vamos terminar o tópico considerando problemas nos quais você precisa não apenas aplicar fórmulas, mas também pensar um pouco (em matemática, isso pode ser útil ☺)
Exemplo (OGE).
Encontre a soma de todos os termos negativos da progressão: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Solução:
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\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
A tarefa é muito semelhante à anterior. Começamos a resolver da mesma maneira: primeiro encontramos \(d\). |
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\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Agora substituiríamos \(d\) na fórmula da soma ... e aqui aparece uma pequena nuance - não sabemos \(n\). Em outras palavras, não sabemos quantos termos precisarão ser adicionados. Como descobrir? Vamos pensar. Pararemos de adicionar elementos quando chegarmos ao primeiro elemento positivo. Ou seja, você precisa descobrir o número desse elemento. Como? Vamos escrever a fórmula para calcular qualquer elemento de uma progressão aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para o nosso caso. |
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\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
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\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Precisamos que \(a_n\) seja maior que zero. Vamos descobrir para que \(n\) isso vai acontecer. |
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\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
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\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Dividimos ambos os lados da desigualdade por \(0,3\). |
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\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Transferimos menos um, não esquecendo de mudar os sinais |
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\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Informática... |
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\(n>65.333…\) |
…e acontece que o primeiro elemento positivo terá o número \(66\). Assim, o último negativo tem \(n=65\). Apenas no caso, vamos dar uma olhada. |
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\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Assim, precisamos adicionar os primeiros elementos \(65\). |
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\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
A resposta está pronta. |
Responda: \(S_(65)=-630,5\).
Exemplo (OGE).
A progressão aritmética é dada pelas condições: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encontre a soma do elemento \(26\)th ao \(42\) inclusive.
Solução:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Neste problema, você também precisa encontrar a soma dos elementos, mas começando não do primeiro, mas do \(26\)th. Não temos uma fórmula para isso. Como decidir? |
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|
Para nossa progressão \(a_1=-33\), e a diferença \(d=4\) (afinal, adicionamos quatro ao elemento anterior para encontrar o próximo). Sabendo disso, encontramos a soma dos primeiros \(42\)-uh elementos. |
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\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Agora a soma dos primeiros \(25\)-ésimos elementos. |
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\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
E, finalmente, calculamos a resposta. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Responda: \(S=1683\).
Para uma progressão aritmética, existem várias outras fórmulas que não consideramos neste artigo devido à sua baixa utilidade prática. No entanto, você pode encontrá-los facilmente.
Antes de começarmos a decidir problemas de progressão aritmética, considere o que é uma sequência numérica, já que uma progressão aritmética é um caso especial de uma sequência numérica.
Uma sequência numérica é um conjunto numérico, cada elemento do qual tem seu próprio número de série. Os elementos deste conjunto são chamados membros da sequência. O número ordinal de um elemento de sequência é indicado por um índice:
O primeiro elemento da sequência;
O quinto elemento da sequência;
- "nésimo" elemento da sequência, i.e. o elemento "em pé na fila" no número n.
Existe uma dependência entre o valor de um elemento de sequência e seu número ordinal. Portanto, podemos considerar uma sequência como uma função cujo argumento é o número ordinal de um elemento da sequência. Em outras palavras, pode-se dizer que a sequência é uma função do argumento natural:
A sequência pode ser especificada de três maneiras:
1 . A sequência pode ser especificada usando uma tabela. Nesse caso, simplesmente definimos o valor de cada membro da sequência.
Por exemplo, Alguém decidiu fazer o gerenciamento pessoal do tempo e, para começar, calcular quanto tempo ele gasta no VKontakte durante a semana. Ao escrever a hora em uma tabela, ele obterá uma sequência composta por sete elementos:
A primeira linha da tabela contém o número do dia da semana, a segunda - o tempo em minutos. Vemos isso, ou seja, na segunda-feira Alguém gastou 125 minutos no VKontakte, ou seja, na quinta-feira - 248 minutos e, ou seja, na sexta-feira, apenas 15.
2 . A sequência pode ser especificada usando a enésima fórmula de membro.
Nesse caso, a dependência do valor de um elemento de sequência em seu número é expressa diretamente como uma fórmula.
Por exemplo, se , então
Para encontrar o valor de um elemento de sequência com um determinado número, substituímos o número do elemento na fórmula do enésimo membro.
Fazemos o mesmo se precisarmos encontrar o valor de uma função se o valor do argumento for conhecido. Substituímos o valor do argumento na equação da função:
Se, por exemplo, 
, então
Mais uma vez, observo que em uma sequência, ao contrário de uma função numérica arbitrária, apenas um número natural pode ser um argumento.
3 . A sequência pode ser especificada usando uma fórmula que expressa a dependência do valor do membro da sequência com o número n do valor dos membros anteriores. Nesse caso, não basta saber apenas o número de um membro da sequência para encontrar seu valor. Precisamos especificar o primeiro membro ou os primeiros membros da sequência.
Por exemplo, considere a sequência 
, 
Podemos encontrar os valores dos membros de uma sequência em sequência, a partir do terceiro:
Ou seja, cada vez que encontrarmos o valor do enésimo membro da sequência, voltamos aos dois anteriores. Essa forma de sequenciamento é chamada recorrente, da palavra latina recorrente- volte.
Agora podemos definir uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é um caso especial simples de uma sequência numérica.
Progressão aritmética é chamada de sequência numérica, cada membro do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com o mesmo número.
O número é chamado a diferença de uma progressão aritmética. A diferença de uma progressão aritmética pode ser positiva, negativa ou zero.
If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} aumentando.
Por exemplo, 2; 5; oito; onze;...
Se , então cada termo da progressão aritmética é menor que o anterior, e a progressão é minguante.
Por exemplo, 2; -1; -quatro; -7;...
Se , então todos os membros da progressão são iguais ao mesmo número, e a progressão é estacionário.
Por exemplo, 2;2;2;2;...
A principal propriedade de uma progressão aritmética:
Vamos olhar para a imagem.
Nós vemos que
, e ao mesmo tempo
Somando essas duas igualdades, obtemos:
.
Divida os dois lados da equação por 2:
Assim, cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética de dois vizinhos:
Além disso, porque
, e ao mesmo tempo
, então
, e, portanto
Cada membro da progressão aritmética começando com title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
ª fórmula do membro.
Vemos que para os membros da progressão aritmética, as seguintes relações são válidas:
e finalmente
Obtemos fórmula do enésimo termo.
IMPORTANTE! Qualquer membro de uma progressão aritmética pode ser expresso em termos de e . Conhecendo o primeiro termo e a diferença de uma progressão aritmética, você pode encontrar qualquer um de seus membros.
A soma de n membros de uma progressão aritmética.
Em uma progressão aritmética arbitrária, as somas dos termos igualmente espaçados dos extremos são iguais entre si:
Considere uma progressão aritmética com n membros. Deixe a soma de n membros desta progressão ser igual a .
Organize os termos da progressão primeiro em ordem crescente de números e depois em ordem decrescente:
Vamos emparelhar:
A soma em cada parêntese é , o número de pares é n.
Nós temos:
Então, a soma de n membros de uma progressão aritmética pode ser encontrada usando as fórmulas:
Considerar Resolvendo problemas de progressão aritmética.
1 . A sequência é dada pela fórmula do enésimo termo: . Prove que esta sequência é uma progressão aritmética.
Vamos provar que a diferença entre dois membros adjacentes da sequência é igual ao mesmo número.
Obtivemos que a diferença de dois membros adjacentes da sequência não depende de seu número e é uma constante. Portanto, por definição, essa sequência é uma progressão aritmética.
2 . Dada uma progressão aritmética -31; -27;...
a) Encontre os 31 termos da progressão.
b) Determine se o número 41 está incluído nesta progressão.
a) Nós vemos que ;
Vamos escrever a fórmula para o enésimo termo da nossa progressão.
No geral 
No nosso caso 
, é por isso 
Nós temos:
b) Suponha que o número 41 seja um membro da sequência. Vamos encontrar o número dele. Para isso, resolvemos a equação:
Temos um valor natural de n, portanto, sim, o número 41 é um membro da progressão. Se o valor encontrado de n não fosse um número natural, então responderíamos que o número 41 NÃO é um membro da progressão.
3 . a) Entre os números 2 e 8, insira 4 números para que eles, juntamente com os números dados, formem uma progressão aritmética.
b) Encontre a soma dos termos da progressão resultante.
a) Vamos inserir quatro números entre os números 2 e 8:
Temos uma progressão aritmética, na qual existem 6 termos. 
Vamos encontrar a diferença dessa progressão. Para fazer isso, usamos a fórmula para o enésimo termo:
Agora ficou fácil encontrar os valores dos números:
3,2; 4,4; 5,6; 6,8
b) 
Resposta: a) sim; b) 30
4. O caminhão transporta um lote de brita pesando 240 toneladas, aumentando diariamente a taxa de transporte no mesmo número de toneladas. Sabe-se que no primeiro dia foram transportadas 2 toneladas de entulho. Determine quantas toneladas de brita foram transportadas no décimo segundo dia se todo o trabalho foi concluído em 15 dias.
De acordo com a condição do problema, a quantidade de brita que o caminhão transporta aumenta a cada dia na mesma proporção. Portanto, estamos lidando com uma progressão aritmética.
Formulamos este problema em termos de uma progressão aritmética.
Durante o primeiro dia foram transportadas 2 toneladas de brita: a_1=2.
Todo o trabalho foi concluído em 15 dias: .
O caminhão transporta um lote de brita pesando 240 toneladas:
Precisamos encontrar.
Primeiro, vamos encontrar a diferença de progressão. Vamos usar a fórmula para a soma de n membros da progressão.
No nosso caso:
IV Yakovlev | Materiais sobre matemática | MathUs.ru
Progressão aritmética
Uma progressão aritmética é um tipo especial de sequência. Portanto, antes de definir uma progressão aritmética (e depois geométrica), precisamos discutir brevemente o importante conceito de uma sequência numérica.
Subsequência
Imagine um dispositivo na tela do qual alguns números são exibidos um após o outro. Digamos 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Tal conjunto de números é apenas um exemplo de uma sequência.
Definição. Uma sequência numérica é um conjunto de números em que a cada número pode ser atribuído um número único (ou seja, colocado em correspondência com um único número natural)1. O número com o número n é chamado de enésimo membro da sequência.
Assim, no exemplo acima, o primeiro número tem o número 2, que é o primeiro membro da sequência, que pode ser denotado por a1 ; o número cinco tem o número 6 que é o quinto membro da sequência, que pode ser denotado a5 . Em geral, o enésimo membro de uma sequência é denotado por um (ou bn , cn , etc.).
Uma situação muito conveniente é quando o enésimo membro da sequência pode ser especificado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula an = 2n 3 especifica a sequência: 1; 1; 3; 5; 7; : : : A fórmula an = (1)n define a sequência: 1; 1; 1; 1; : : :
Nem todo conjunto de números é uma sequência. Assim, um segmento não é uma sequência; contém ¾muitos' números para serem renumerados. O conjunto R de todos os números reais também não é uma sequência. Esses fatos são comprovados no curso da análise matemática.
Progressão aritmética: definições básicas
Agora estamos prontos para definir uma progressão aritmética.
Definição. Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo (a partir do segundo) é igual à soma do termo anterior e algum número fixo (chamado de diferença da progressão aritmética).
Por exemplo, sequência 2; 5; oito; onze; : : : é uma progressão aritmética com primeiro termo 2 e diferença 3. Sequência 7; 2; 3; oito; : : : é uma progressão aritmética com primeiro termo 7 e diferença 5. Sequência 3; 3; 3; : : : é uma progressão aritmética com diferença zero.
Definição equivalente: Uma sequência an é chamada de progressão aritmética se a diferença an+1 an for um valor constante (não dependente de n).
Diz-se que uma progressão aritmética é crescente se sua diferença for positiva e decrescente se sua diferença for negativa.
1 E aqui está uma definição mais concisa: uma sequência é uma função definida no conjunto dos números naturais. Por exemplo, a sequência de números reais é a função f: N! R.
Por padrão, as sequências são consideradas infinitas, ou seja, contendo um número infinito de números. Mas ninguém se preocupa em considerar também sequências finitas; de fato, qualquer conjunto finito de números pode ser chamado de sequência finita. Por exemplo, a sequência final 1; 2; 3; quatro; 5 consiste em cinco números.
Fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética
É fácil entender que uma progressão aritmética é completamente determinada por dois números: o primeiro termo e a diferença. Portanto, surge a pergunta: como, conhecendo o primeiro termo e a diferença, encontrar um termo arbitrário de uma progressão aritmética?
Não é difícil obter a fórmula desejada para o enésimo termo de uma progressão aritmética. Deixe um
progressão aritmética com diferença d. Nós temos: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Em particular, escrevemos: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
e agora fica claro que a fórmula para an é: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Tarefa 1. Na progressão aritmética 2; 5; oito; onze; : : : encontre a fórmula do enésimo termo e calcule o centésimo termo.
Solução. Pela fórmula (1) temos:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Propriedade e sinal da progressão aritmética
propriedade de uma progressão aritmética. Na progressão aritmética an para qualquer
Em outras palavras, cada membro da progressão aritmética (a partir do segundo) é a média aritmética dos membros vizinhos.
Prova. Nós temos: | ||||
a n 1+ a n+1 | (um d) + (um + d) | |||
que é o que era necessário.
Mais geralmente, a progressão aritmética an satisfaz a igualdade
a n = a n k+ a n+k
para qualquer n > 2 e qualquer k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Acontece que a fórmula (2) não é apenas uma condição necessária, mas também suficiente para que uma sequência seja uma progressão aritmética.
Sinal de uma progressão aritmética. Se a igualdade (2) vale para todo n > 2, então a sequência an é uma progressão aritmética.
Prova. Vamos reescrever a fórmula (2) da seguinte forma:
a na n 1= a n+1a n:
Isso mostra que a diferença an+1 an não depende de n, e isso significa apenas que a sequência an é uma progressão aritmética.
A propriedade e o sinal de uma progressão aritmética podem ser formulados como uma afirmação; por conveniência, faremos isso para três números (essa é a situação que geralmente ocorre em problemas).
Caracterização de uma progressão aritmética. Três números a, b, c formam uma progressão aritmética se e somente se 2b = a + c.
Problema 2. (Moscow State University, Faculdade de Economia, 2007) Três números 8x, 3x2 e 4 na ordem especificada formam uma progressão aritmética decrescente. Encontre x e escreva a diferença dessa progressão.
Solução. Pela propriedade de uma progressão aritmética, temos:
2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Se x = 1, obtém-se uma progressão decrescente de 8, 2, 4 com uma diferença de 6. Se x = 5, obtém-se uma progressão crescente de 40, 22, 4; este caso não funciona.
Resposta: x = 1, a diferença é 6.
A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética
A lenda conta que certa vez o professor disse às crianças para encontrarem a soma dos números de 1 a 100 e sentou-se para ler o jornal em silêncio. No entanto, em poucos minutos, um menino disse que havia resolvido o problema. Era Carl Friedrich Gauss, de 9 anos, mais tarde um dos maiores matemáticos da história.
A ideia do pequeno Gauss foi esta. Deixar
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Vamos escrever esta soma na ordem inversa:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
e adicione estas duas fórmulas:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Cada termo entre parênteses é igual a 101, e existem 100 desses termos no total.
2S = 101 100 = 10100;
Usamos essa ideia para derivar a fórmula da soma
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Uma modificação útil da fórmula (3) é obtida substituindo a fórmula pelo enésimo termo an = a1 + (n 1)d nele:
2a1 + (n 1)d | |||||
Tarefa 3. Encontre a soma de todos os números positivos de três dígitos divisíveis por 13.
Solução. Os números de três algarismos que são múltiplos de 13 formam uma progressão aritmética com o primeiro termo 104 e a diferença 13; O enésimo termo desta progressão é:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Vamos descobrir quantos membros nossa progressão contém. Para isso, resolvemos a desigualdade:
um 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; nº 6 69:
Portanto, há 69 membros em nossa progressão. De acordo com a fórmula (4), encontramos a quantidade necessária:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")
Uma progressão aritmética é uma série de números em que cada número é maior (ou menor) que o anterior na mesma quantidade.
Este tópico é muitas vezes difícil e incompreensível. Índices de letras, o enésimo membro da progressão, a diferença da progressão - tudo isso é um pouco confuso, sim ... Vamos descobrir o significado da progressão aritmética e tudo funcionará imediatamente.)
O conceito de progressão aritmética.
A progressão aritmética é um conceito muito simples e claro. Dúvida? Em vão.) Veja por si mesmo.
Vou escrever uma série inacabada de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Você pode estender esta linha? Quais serão os próximos números, depois dos cinco? Todo mundo... uh..., resumindo, todo mundo vai descobrir que os números 6, 7, 8, 9, etc. vão mais longe.
Vamos complicar a tarefa. Eu dou uma série inacabada de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Você pode pegar o padrão, estender a série e nomear sétimo número da linha?
Se você descobriu que esse número é 20 - parabenizo você! Você não só sentiu pontos-chave de uma progressão aritmética, mas também os usou com sucesso nos negócios! Se você não entendeu, continue lendo.
Agora vamos traduzir os pontos-chave das sensações para a matemática.)
Primeiro ponto chave.
A progressão aritmética lida com séries de números. Isso é confuso no início. Estamos acostumados a resolver equações, construir gráficos e tudo mais... E depois estender a série, encontrar o número da série...
Tudo bem. É só que as progressões são o primeiro contato com um novo ramo da matemática. A seção se chama "Série" e trabalha com séries de números e expressões. Acostume-se.)
Segundo ponto chave.
Em uma progressão aritmética, qualquer número difere do anterior pela mesma quantidade.
No primeiro exemplo, essa diferença é uma. Qualquer que seja o número escolhido, é um a mais que o anterior. No segundo - três. Qualquer número é três vezes maior que o anterior. Na verdade, é este momento que nos dá a oportunidade de pegar o padrão e calcular os números subsequentes.
Terceiro ponto chave.
Esse momento não é marcante, sim... Mas muito, muito importante. Aqui está ele: cada número de progressão está em seu lugar. Há o primeiro número, há o sétimo, há o quadragésimo quinto, e assim por diante. Se você confundi-los ao acaso, o padrão desaparecerá. A progressão aritmética também desaparecerá. É apenas uma série de números.
Esse é o ponto.
É claro que novos termos e notações aparecem no novo tópico. Eles precisam saber. Caso contrário, você não entenderá a tarefa. Por exemplo, você tem que decidir algo como:
Escreva os primeiros seis termos da progressão aritmética (a n) se a 2 = 5, d = -2,5.
Inspira?) Cartas, alguns índices... E a tarefa, aliás, não poderia ser mais fácil. Você só precisa entender o significado dos termos e notação. Agora vamos dominar este assunto e retornar à tarefa.
Termos e designações.
Progressão aritméticaé uma série de números em que cada número é diferente do anterior pela mesma quantidade.
Esse valor é chamado . Vamos lidar com esse conceito com mais detalhes.
Diferença de progressão aritmética.
Diferença de progressão aritméticaé a quantidade pela qual qualquer número de progressão mais o anterior.
Um ponto importante. Por favor, preste atenção na palavra "mais". Matematicamente, isso significa que cada número de progressão é obtido adicionando a diferença de uma progressão aritmética para o número anterior.
Para calcular, digamos segundo números da linha, é necessário primeiro número adicionar esta mesma diferença de uma progressão aritmética. Para cálculo quinto- a diferença é necessária adicionar para quarto bem, etc
Diferença de progressão aritmética talvez positivo então cada número da série será real mais do que o anterior. Essa progressão é chamada aumentando. Por exemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aqui cada número é adicionando número positivo, +5 ao anterior.
A diferença pode ser negativo então cada número da série será menor que o anterior. Essa progressão é chamada (você não vai acreditar!) diminuindo.
Por exemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aqui cada número é obtido também adicionando ao número anterior, mas já negativo, -5.
A propósito, ao trabalhar com uma progressão, é muito útil determinar imediatamente sua natureza - se está aumentando ou diminuindo. Ajuda muito encontrar seu rumo na decisão, detectar seus erros e corrigi-los antes que seja tarde demais.
Diferença de progressão aritmética geralmente indicado pela letra d.
Como encontrar d? Muito simples. É necessário subtrair de qualquer número da série anterior número. Subtrair. By the way, o resultado da subtração é chamado de "diferença".)
Vamos definir, por exemplo, d para uma progressão aritmética crescente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Pegamos qualquer número da linha que queremos, por exemplo, 11. Subtrai dela o número anterior Essa. oito:
Essa é a resposta correta. Para esta progressão aritmética, a diferença é três.
Você pode simplesmente pegar qualquer número de progressões, Porque para uma progressão específica d-sempre o mesmo. Pelo menos em algum lugar no início da linha, pelo menos no meio, pelo menos em qualquer lugar. Você não pode pegar apenas o primeiro número. Só porque o primeiro número nenhum anterior.)
Aliás, sabendo disso d=3, encontrar o sétimo número desta progressão é muito simples. Adicionamos 3 ao quinto número - obtemos o sexto, será 17. Adicionamos três ao sexto número, obtemos o sétimo número - vinte.
Vamos definir d para uma progressão aritmética decrescente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Relembro que, independentemente dos sinais, para determinar d necessário de qualquer número tirar o anterior. Escolhemos qualquer número de progressão, por exemplo -7. Seu número anterior é -2. Então:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
A diferença de uma progressão aritmética pode ser qualquer número: inteiro, fracionário, irracional, qualquer.
Outros termos e designações.
Cada número da série é chamado membro de uma progressão aritmética.
Cada membro da progressão tem o seu número. Os números estão estritamente em ordem, sem nenhum truque. Primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Por exemplo, na progressão 2, 5, 8, 11, 14, ... dois é o primeiro membro, cinco é o segundo, onze é o quarto, bem, você entende ...) Por favor, entenda claramente - os próprios números pode ser absolutamente qualquer, inteiro, fracionário, negativo, o que for, mas numeração- estritamente em ordem!
Como escrever uma progressão na forma geral? Sem problemas! Cada número da série é escrito como uma letra. Para denotar uma progressão aritmética, como regra, a letra é usada uma. O número do membro é indicado pelo índice no canto inferior direito. Os membros são escritos separados por vírgulas (ou ponto e vírgula), assim:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
um 1é o primeiro número um 3- terceiro, etc Nada complicado. Você pode escrever esta série brevemente assim: (um).
Existem progressões finito e infinito.
Final a progressão tem um número limitado de membros. Cinco, trinta e oito, tanto faz. Mas é um número finito.
Sem fim progressão - tem um número infinito de membros, como você pode imaginar.)
Você pode escrever uma progressão final através de uma série como esta, todos os membros e um ponto no final:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Ou assim, se houver muitos membros:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Em uma entrada curta, você terá que indicar adicionalmente o número de membros. Por exemplo (para vinte membros), assim:
(a n), n = 20
Uma progressão infinita pode ser reconhecida pelas reticências no final da linha, como nos exemplos desta lição.
Agora você já pode resolver tarefas. As tarefas são simples, puramente para entender o significado da progressão aritmética.
Exemplos de tarefas para progressão aritmética.
Vamos dar uma olhada na tarefa acima:
1. Escreva os primeiros seis membros da progressão aritmética (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.
Traduzimos a tarefa em linguagem compreensível. Dada uma progressão aritmética infinita. O segundo número desta progressão é conhecido: a 2 = 5. Diferença de progressão conhecida: d = -2,5. Precisamos encontrar o primeiro, terceiro, quarto, quinto e sexto membros desta progressão.
Para maior clareza, vou escrever uma série de acordo com a condição do problema. Os primeiros seis membros, onde o segundo membro é cinco:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
um 3 = um 2 + d
Substituímos na expressão a 2 = 5 e d=-2,5. Não se esqueça do menos!
um 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
O terceiro termo é menor que o segundo. Tudo é lógico. Se o número for maior que o anterior negativo valor, então o próprio número será menor que o anterior. A progressão está diminuindo. Ok, vamos levar isso em consideração.) Consideramos o quarto membro da nossa série:
um 4 = um 3 + d
um 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
um 5 = um 4 + d
um 5=0+(-2,5)= - 2,5
um 6 = um 5 + d
um 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Assim, os termos do terceiro ao sexto foram calculados. Isso resultou em uma série:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Resta encontrar o primeiro termo um 1 segundo o conhecido segundo. Este é um passo na outra direção, para a esquerda.) Daí, a diferença da progressão aritmética d não deve ser adicionado um 2, uma Leve embora:
um 1 = um 2 - d
um 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Isso é tudo o que há para isso. Resposta da tarefa:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
De passagem, observo que resolvemos essa tarefa recorrente caminho. Esta palavra terrível significa, apenas, a busca de um membro da progressão pelo número anterior (adjacente). Outras formas de trabalhar com progressão serão discutidas posteriormente.
Uma conclusão importante pode ser tirada dessa tarefa simples.
Lembrar:
Se conhecermos pelo menos um membro e a diferença de uma progressão aritmética, podemos encontrar qualquer membro dessa progressão.
Lembrar? Esta simples conclusão permite-nos resolver a maioria dos problemas do curso escolar sobre este tema. Todas as tarefas giram em torno de três parâmetros principais: membro de uma progressão aritmética, diferença de uma progressão, número de um membro de uma progressão. Tudo.
É claro que toda álgebra anterior não é cancelada.) Desigualdades, equações e outras coisas são anexadas à progressão. Mas de acordo com a progressão- tudo gira em torno de três parâmetros.
Por exemplo, considere algumas tarefas populares sobre este tópico.
2. Escreva a progressão aritmética final como uma série se n=5, d=0,4 e a 1=3,6.
Tudo é simples aqui. Tudo já está dado. Você precisa se lembrar de como os membros de uma progressão aritmética são calculados, contados e anotados. É aconselhável não pular as palavras na condição de tarefa: "final" e " n=5". Para não contar até ficar completamente azul de cara.) Existem apenas 5 (cinco) membros nesta progressão:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
um 4 = um 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
um 5 = um 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Resta anotar a resposta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Outra tarefa:
3. Determine se o número 7 será membro de uma progressão aritmética (a n) se a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hum... Quem sabe? Como definir algo?
Como-como... Sim, anote a progressão em forma de série e veja se haverá um sete ou não! Nós acreditamos:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
um 4 = um 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Agora vê-se claramente que somos apenas sete escorregou entre 6,5 e 7,7! O sete não entrou em nossa série de números e, portanto, o sete não será membro da progressão dada.
Resposta: não.
E aqui está uma tarefa baseada em uma versão real do GIA:
4. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; quinze; X; 9; 6; ...
Aqui está uma série sem fim e sem começo. Sem números de membros, sem diferença d. Tudo bem. Para resolver o problema, basta entender o significado de uma progressão aritmética. Vamos ver e ver o que podemos saber desta linha? Quais são os parâmetros dos três principais?
Números de membros? Não há um único número aqui.
Mas há três números e - atenção! - palavra "consecutivo" em condição. Isso significa que os números estão estritamente em ordem, sem lacunas. Há dois nesta fileira? vizinho números conhecidos? Sim existe! Estes são 9 e 6. Assim podemos calcular a diferença de uma progressão aritmética! Subtraímos dos seis anterior número, ou seja nove:
Restam espaços vazios. Qual será o número anterior para x? Quinze. Então x pode ser facilmente encontrado por simples adição. Para 15 adicione a diferença de uma progressão aritmética:
Isso é tudo. Responda: x=12
Nós mesmos resolvemos os seguintes problemas. Nota: estes quebra-cabeças não são para fórmulas. Puramente para entender o significado de uma progressão aritmética.) Nós apenas escrevemos uma série de números-letras, olhamos e pensamos.
5. Encontre o primeiro termo positivo da progressão aritmética se a 5 = -3; d = 1,1.
6. Sabe-se que o número 5,5 é um membro da progressão aritmética (a n), onde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine o número n deste termo.
7. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Encontre um 3 .
8. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.
9. O trem começou a se mover da estação, aumentando gradativamente sua velocidade em 30 metros por minuto. Qual será a velocidade do trem em cinco minutos? Dê sua resposta em km/h.
10. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 5; a 6 = -5. Encontre um 1.
Respostas (em desordem): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; quatro.
Deu tudo certo? Maravilhoso! Você pode dominar a progressão aritmética em um nível superior nas lições a seguir.
Não deu tudo certo? Sem problemas. Na Seção Especial 555, todos esses problemas são divididos em pedaços.) E, claro, é descrita uma técnica prática simples que imediatamente destaca a solução de tais tarefas de forma clara, clara, como na palma da sua mão!
A propósito, no quebra-cabeça sobre o trem, existem dois problemas nos quais as pessoas costumam tropeçar. Um - puramente por progressão, e o segundo - comum a qualquer tarefa em matemática e física também. Esta é uma tradução de dimensões de uma para outra. Mostra como esses problemas devem ser resolvidos.
Nesta lição, examinamos o significado elementar de uma progressão aritmética e seus principais parâmetros. Isso é suficiente para resolver quase todos os problemas sobre este tópico. Adicionar d aos números, escreva uma série, tudo será decidido.
A solução do dedo funciona bem para peças muito curtas da série, como nos exemplos desta lição. Se a série for mais longa, os cálculos se tornam mais complicados. Por exemplo, se estiver no problema 9 da pergunta, substitua "cinco minutos" no "trinta e cinco minutos" o problema se tornará muito pior.)
E também há tarefas que são simples em sua essência, mas totalmente absurdas em termos de cálculos, por exemplo:
Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.
E o que, vamos adicionar 1/6 muitas, muitas vezes?! É possível se matar!?
Você pode.) Se você não conhece uma fórmula simples pela qual você pode resolver essas tarefas em um minuto. Esta fórmula estará na próxima lição. E esse problema está resolvido lá. Em um minuto.)
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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)
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