A divisão por um número decimal é o mesmo que a divisão por um número natural.
Regra para dividir um número por uma fração decimal
Para dividir um número por uma fração decimal, é necessário tanto no dividendo quanto no divisor mover a vírgula tantos dígitos para a direita quantos houver no divisor após a vírgula. Depois disso, divida por um número natural.
Exemplos.
Efetue a divisão por decimal:
Para dividir por uma fração decimal, você precisa mover a vírgula tantos dígitos para a direita no dividendo quanto no divisor quantos houver após a vírgula no divisor, ou seja, por um sinal. Obtemos: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Agora realizamos a divisão por um canto. Como resultado, obtemos: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Para realizar a divisão de frações decimais, tanto no dividendo quanto no divisor, mova a vírgula para a direita em um sinal: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Agora realizamos em um número natural. Resultado: 14,76: 3,6 = 4,1.
Para realizar a divisão por fração decimal de um número natural, é necessário tanto no dividendo quanto no divisor mover para a direita tantos caracteres quantos houver no divisor após a vírgula. Como a vírgula não está escrita no divisor neste caso, preenchemos o número de caracteres que faltam com zeros: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Dividimos os números naturais resultantes com um canto: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Para dividir uma fração decimal em outra, movemos a vírgula para a direita tanto no dividendo quanto no divisor por tantos dígitos quanto houver no divisor após a vírgula, ou seja, por três dígitos. Assim, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. A divisão por uma fração decimal foi substituída pela divisão por um número natural. Dividimos um canto. Temos: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
Na escola, essas ações são estudadas do simples ao complexo. Portanto, certamente é necessário dominar o algoritmo para realizar as operações acima usando exemplos simples. Para que mais tarde não haja dificuldades em dividir frações decimais em uma coluna. Afinal, esta é a versão mais difícil de tais tarefas.
Este assunto requer um estudo consistente. Lacunas de conhecimento são inaceitáveis aqui. Este princípio deve ser aprendido por todos os alunos já na primeira série. Portanto, se você pular várias lições seguidas, terá que dominar o material sozinho. Caso contrário, mais tarde haverá problemas não apenas com a matemática, mas também com outras disciplinas relacionadas a ela.
O segundo pré-requisito para um estudo bem-sucedido da matemática é passar para exemplos de divisão em uma coluna somente após o domínio da adição, subtração e multiplicação.
Será difícil para uma criança dividir se não tiver aprendido a tabuada. A propósito, é melhor aprender com a tabela pitagórica. Não há nada supérfluo e a multiplicação é mais fácil de digerir neste caso.
Como os números naturais são multiplicados em uma coluna?
Se houver dificuldade em resolver exemplos em uma coluna para divisão e multiplicação, é necessário começar a resolver o problema com a multiplicação. Como a divisão é o inverso da multiplicação:
- Antes de multiplicar dois números, você precisa observá-los com atenção. Escolha aquele com mais dígitos (mais), anote-o primeiro. Coloque o segundo sob ele. Além disso, os números da categoria correspondente devem estar na mesma categoria. Ou seja, o dígito mais à direita do primeiro número deve estar acima do dígito mais à direita do segundo.
- Multiplique o dígito mais à direita do número de baixo por cada dígito do número de cima, começando pela direita. Escreva a resposta sob a linha de modo que seu último dígito fique abaixo daquele pelo qual foi multiplicado.
- Repita o mesmo com o outro dígito do número inferior. Mas o resultado da multiplicação deve ser deslocado um dígito para a esquerda. Nesse caso, seu último dígito ficará abaixo daquele pelo qual foi multiplicado.
Continue esta multiplicação em uma coluna até que os números no segundo multiplicador acabem. Agora eles precisam ser dobrados. Esta será a resposta desejada.
Algoritmo para multiplicar em uma coluna de frações decimais
Primeiro, deve-se imaginar que não são dadas frações decimais, mas naturais. Ou seja, remova as vírgulas deles e prossiga conforme descrito no caso anterior.
A diferença começa quando a resposta é escrita. Neste ponto, é necessário contar todos os números que estão após as vírgulas em ambas as frações. É quantos deles você precisa contar a partir do final da resposta e colocar uma vírgula ali.
É conveniente ilustrar este algoritmo com um exemplo: 0,25 x 0,33:
Como começar a aprender a dividir?
Antes de resolver exemplos de divisão em coluna, deve-se lembrar os nomes dos números que estão no exemplo de divisão. O primeiro deles (o que divide) é o divisível. O segundo (dividido por ele) é um divisor. A resposta é particular.
Depois disso, usando um exemplo simples do dia a dia, explicaremos a essência dessa operação matemática. Por exemplo, se você pegar 10 doces, é fácil dividi-los igualmente entre a mãe e o pai. Mas e se você precisar distribuí-los para seus pais e irmão?
Depois disso, você pode se familiarizar com as regras de divisão e dominá-las com exemplos específicos. No início, os mais simples e, em seguida, passando para os mais e mais complexos.
Algoritmo para dividir números em uma coluna
Primeiro, apresentamos o procedimento para números naturais que são divisíveis por um número de um dígito. Eles também serão a base para divisores de vários dígitos ou frações decimais. Só então é suposto fazer pequenas alterações, mas mais sobre isso depois:
- Antes de fazer a divisão em uma coluna, você precisa descobrir onde estão o dividendo e o divisor.
- Anote o dividendo. À direita dele está um divisor.
- Desenhe um canto à esquerda e na parte inferior perto do último canto.
- Determine o dividendo incompleto, ou seja, o número que será o mínimo para divisão. Geralmente consiste em um dígito, no máximo dois.
- Escolha o número que será escrito primeiro na resposta. Deve ser o número de vezes que o divisor cabe no dividendo.
- Anote o resultado da multiplicação desse número por um divisor.
- Escreva sob um divisor incompleto. Efetue a subtração.
- Leve para o restante o primeiro dígito após a parte que já foi dividida.
- Pegue a resposta novamente.
- Repita a multiplicação e a subtração. Se o resto for zero e o dividendo acabou, então o exemplo está feito. Caso contrário, repita os passos: demolir o número, pegar o número, multiplicar, subtrair.
Como resolver a divisão longa se houver mais de um dígito no divisor?
O algoritmo em si coincide completamente com o que foi descrito acima. A diferença será o número de dígitos no dividendo incompleto. Agora deve haver pelo menos dois deles, mas se eles forem menores que o divisor, deve funcionar com os três primeiros dígitos.
Há outra nuance nesta divisão. O fato é que o resto e o valor levado a ele às vezes não são divisíveis por um divisor. Então é suposto atribuir mais uma figura em ordem. Mas, ao mesmo tempo, a resposta deve ser zero. Se números de três dígitos forem divididos em uma coluna, mais de dois dígitos podem precisar ser demolidos. Então a regra é introduzida: zeros na resposta devem ser um a menos que o número de dígitos anotados.
Você pode considerar essa divisão usando o exemplo - 12082: 863.
- O divisível incompleto nele é o número 1208. O número 863 é colocado nele apenas uma vez. Portanto, em resposta, deve-se colocar 1 e escrever 863 abaixo de 1208.
- Após a subtração, o resto é 345.
- Para ele você precisa demolir o número 2.
- No número 3452, 863 cabe quatro vezes.
- Quatro devem ser escritos em resposta. Além disso, quando multiplicado por 4, esse número é obtido.
- O resto após a subtração é zero. Ou seja, a divisão está concluída.
A resposta no exemplo é 14.
E se o dividendo terminar em zero?
Ou alguns zeros? Nesse caso, obtém-se um resto zero e ainda há zeros no dividendo. Não se desespere, tudo é mais fácil do que parece. Basta atribuir à resposta todos os zeros que ficaram indivisos.
Por exemplo, você precisa dividir 400 por 5. O dividendo incompleto é 40. Cinco é colocado nele 8 vezes. Isso significa que a resposta deve ser escrita 8. Ao subtrair, não há resto. Ou seja, a divisão acabou, mas resta zero no dividendo. Terá que ser adicionado à resposta. Assim, dividindo 400 por 5 dá 80.
E se você precisar dividir um decimal?
Novamente, esse número parece um número natural, exceto pela vírgula que separa a parte inteira da parte fracionária. Isso sugere que a divisão de frações decimais em uma coluna é semelhante à descrita acima.
A única diferença será o ponto e vírgula. Deve ser respondido imediatamente, assim que o primeiro dígito da parte fracionária for anotado. De outra forma, pode-se dizer assim: a divisão da parte inteira acabou - coloque uma vírgula e continue a solução.
Ao resolver exemplos de divisão em uma coluna com frações decimais, lembre-se de que qualquer número de zeros pode ser atribuído à parte após o ponto decimal. Às vezes, isso é necessário para completar os números até o fim.
Divisão de duas casas decimais
Pode parecer complicado. Mas só no começo. Afinal, já está claro como fazer a divisão em uma coluna de frações por um número natural. Portanto, precisamos reduzir este exemplo à forma já familiar.
Tornar mais fácil. Você precisa multiplicar ambas as frações por 10, 100, 1.000 ou 10.000, ou talvez um milhão, se a tarefa exigir. O multiplicador deve ser escolhido com base em quantos zeros existem na parte decimal do divisor. Ou seja, como resultado, você terá que dividir uma fração por um número natural.
E será no pior caso. Afinal, pode acontecer que o dividendo dessa operação se torne um número inteiro. Então a solução do exemplo com divisão em coluna de frações será reduzida à opção mais simples: operações com números naturais.
Por exemplo: 28,4 dividido por 3,2:
- Primeiro, eles devem ser multiplicados por 10, pois no segundo número há apenas um dígito após a vírgula. A multiplicação dará 284 e 32.
- Eles devem ser divididos. E imediatamente o número inteiro é 284 por 32.
- O primeiro número encontrado para a resposta é 8. Multiplicando, dá 256. O resto é 28.
- A divisão da parte inteira acabou e uma vírgula deve ser colocada na resposta.
- Demolir para resto 0.
- Pegue 8 novamente.
- Restante: 24. Adicione outro 0 a ele.
- Agora você precisa pegar 7.
- O resultado da multiplicação é 224, o resto é 16.
- Destrua outro 0. Pegue 5 e obtenha exatamente 160. O resto é 0.
Divisão concluída. O resultado do exemplo 28,4:3,2 é 8,875.
E se o divisor for 10, 100, 0,1 ou 0,01?
Assim como na multiplicação, a divisão longa não é necessária aqui. Basta mover a vírgula na direção certa para um determinado número de dígitos. Além disso, de acordo com esse princípio, você pode resolver exemplos com números inteiros e frações decimais.
Portanto, se você precisar dividir por 10, 100 ou 1000, a vírgula será movida para a esquerda em tantos dígitos quantos forem os zeros no divisor. Ou seja, quando um número é divisível por 100, a vírgula deve se mover dois dígitos para a esquerda. Se o dividendo for um número natural, presume-se que a vírgula esteja no final dele.
Essa ação produz o mesmo resultado como se o número fosse multiplicado por 0,1, 0,01 ou 0,001. Nesses exemplos, a vírgula também é movida para a esquerda por um número de dígitos igual ao comprimento da parte fracionária.
Ao dividir por 0,1 (etc.) ou multiplicar por 10 (etc.), a vírgula deve se mover para a direita em um dígito (ou dois, três, dependendo do número de zeros ou do comprimento da parte fracionária).
Vale a pena notar que o número de dígitos dado no dividendo pode não ser suficiente. Em seguida, os zeros ausentes podem ser atribuídos à esquerda (na parte inteira) ou à direita (após o ponto decimal).
Divisão de frações periódicas
Nesse caso, você não conseguirá obter a resposta exata ao dividir em uma coluna. Como resolver um exemplo se uma fração com um período for encontrada? Aqui é necessário passar para frações comuns. E então execute sua divisão de acordo com as regras previamente estudadas.
Por exemplo, você precisa dividir 0, (3) por 0,6. A primeira fração é periódica. É convertido para a fração 3/9, que após a redução dará 1/3. A segunda fração é o decimal final. É ainda mais fácil anotar um comum: 6/10, que é igual a 3/5. A regra para dividir frações ordinárias prescreve substituir a divisão pela multiplicação e o divisor pelo recíproco de um número. Ou seja, o exemplo se resume a multiplicar 1/3 por 5/3. A resposta é 5/9.
Se o exemplo tiver frações diferentes...
Então, existem várias soluções possíveis. Primeiro, você pode tentar converter uma fração comum em decimal. Em seguida, divida já duas casas decimais de acordo com o algoritmo acima.
Em segundo lugar, toda fração decimal final pode ser escrita como uma fração comum. Nem sempre é conveniente. Na maioria das vezes, essas frações acabam sendo enormes. Sim, e as respostas são complicadas. Portanto, a primeira abordagem é considerada mais preferível.
Neste artigo, vamos analisar uma ação tão importante com frações decimais como a divisão. Primeiro, formulamos os princípios gerais, depois analisaremos como dividir corretamente as frações decimais por uma coluna em outras frações e em números naturais. A seguir, analisaremos a divisão de frações ordinárias em decimais e vice-versa, e no final veremos como dividir adequadamente as frações que terminam em 0, 1, 0, 01, 100, 10, etc.
Aqui, consideramos apenas os casos com frações positivas. Se houver um sinal de menos antes da fração, para agir com ele, você precisa estudar o material sobre a divisão de números racionais e reais.
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Todas as frações decimais, tanto finitas quanto periódicas, são apenas uma forma especial de escrever frações comuns. Portanto, os mesmos princípios se aplicam a eles como às suas frações ordinárias correspondentes. Assim, reduzimos todo o processo de divisão de frações decimais à sua substituição por frações ordinárias, seguidas de cálculos por métodos já conhecidos por nós. Vamos dar um exemplo específico.
Exemplo 1
Divida 1,2 por 0,48.
Solução
Escrevemos frações decimais na forma de frações comuns. Seremos capazes de:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Assim, precisamos dividir 6 5 por 12 25 . Acreditamos:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Da fração imprópria resultante, você pode selecionar a parte inteira e obter um número misto 2 1 2, ou pode representá-la como uma fração decimal para que corresponda aos números originais: 5 2 \u003d 2, 5. Como fazer isso, já escrevemos anteriormente.
Responder: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Exemplo 2
Calcule quantos serão 0 , (504) 0 , 56 .
Solução
Primeiro, precisamos converter uma fração decimal periódica em uma ordinária.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Depois disso, também traduziremos a fração decimal final em outra forma: 0, 56 = 56 100. Agora temos dois números com os quais será fácil realizar os cálculos necessários:
0, (504): 1, 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Temos um resultado que também podemos converter para decimal. Para fazer isso, divida o numerador pelo denominador usando o método da coluna:
Responder: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Se, no exemplo da divisão, encontramos frações decimais não periódicas, agiremos de maneira um pouco diferente. Não podemos trazê-los para as frações comuns usuais; portanto, ao dividir, devemos primeiro arredondá-los para um determinado dígito. Esta ação deve ser realizada tanto com o dividendo quanto com o divisor: também arredondaremos a fração finita ou periódica existente no interesse da precisão.
Exemplo 3
Encontre quanto será 0, 779 ... / 1, 5602.
Solução
Em primeiro lugar, arredondamos ambas as frações para centésimos. É assim que passamos de frações infinitas não recorrentes para decimais finitos:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Podemos continuar os cálculos e obter um resultado aproximado: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.
A precisão do resultado dependerá do grau de arredondamento.
Responder: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Como dividir um número natural por um decimal e vice-versa
A abordagem da divisão neste caso é quase a mesma: substituímos frações finitas e periódicas por frações comuns e arredondamos infinitas não periódicas. Vamos começar com o exemplo da divisão com um número natural e uma fração decimal.
Exemplo 4
Divida 2,5 por 45.
Solução
Vamos trazer 2, 5 para a forma de uma fração comum: 255 10 \u003d 51 2. Em seguida, só precisamos dividi-lo por um número natural. Já sabemos como fazer isso:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Se traduzirmos o resultado em notação decimal, obteremos 0 , 5 (6) .
Responder: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
O método de divisão por coluna é bom não apenas para números naturais. Por analogia, podemos usá-lo também para frações. A seguir, indicaremos a sequência de ações que precisam ser realizadas para isso.
Definição 1
Para dividir uma coluna de frações decimais por números naturais, você deve:
1. Adicione alguns zeros à fração decimal à direita (para a divisão, podemos adicionar o número que precisarmos).
2. Divida uma fração decimal por um número natural usando um algoritmo. Quando a divisão da parte inteira da fração chega ao fim, colocamos uma vírgula no quociente resultante e contamos mais.
O resultado de tal divisão pode ser uma fração decimal periódica finita ou infinita. Depende do resto: se for zero, o resultado será finito e, se os restos começarem a se repetir, a resposta será uma fração periódica.
Vamos pegar algumas tarefas como exemplo e tentar concluir essas etapas já com números específicos.
Exemplo 5
Calcule quanto será 65 , 14 4 .
Solução
Usamos o método da coluna. Para fazer isso, adicione dois zeros à fração e obtenha a fração decimal 65, 1400, que será igual ao original. Agora escrevemos uma coluna para dividir por 4:
O número resultante será o resultado da divisão da parte inteira de que precisamos. Colocamos uma vírgula, separando-a, e continuamos:
Chegamos ao resto zero, portanto, o processo de divisão está concluído.
Responder: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Exemplo 6
Divida 164,5 por 27.
Solução
Dividimos a parte fracionária primeiro e obtemos:
Separamos a figura resultante com uma vírgula e continuamos a dividir:
Vemos que os restos começaram a se repetir periodicamente e os números nove, dois e cinco começaram a se alternar no quociente. Vamos parar por aí e escrever a resposta como uma fração periódica 6, 0 (925) .
Responder: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Tal divisão pode ser reduzida ao processo de encontrar uma fração decimal privada e um número natural já descrito acima. Para fazer isso, precisamos multiplicar o dividendo e o divisor por 10, 100 etc. para que o divisor se transforme em um número natural. Em seguida, executamos a sequência de ações acima. Essa abordagem é possível devido às propriedades de divisão e multiplicação. Na forma literal, nós os escrevemos assim:
a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) e assim por diante.
Vamos formular a regra:
Definição 2
Para dividir uma fração decimal final por outra, você deve:
1. Mova a vírgula no dividendo e divisor para a direita pelo número de caracteres necessários para transformar o divisor em um número natural. Se não houver sinais suficientes no dividendo, adicionamos zeros a ele no lado direito.
2. Depois disso, dividimos a fração por coluna pelo número natural resultante.
Vamos dar uma olhada em um problema específico.
Exemplo 7
Divida 7.287 por 2.1.
Solução: Para tornar o divisor um número natural, precisamos mover a vírgula um caractere para a direita. Então passamos a dividir a fração decimal 72, 87 por 21. Vamos anotar os números obtidos em uma coluna e calcular
Responder: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Exemplo 8
Calcule 16 , 3 0 , 021 .
Solução
Teremos que mover a vírgula para três dígitos. Não há dígitos suficientes no divisor para isso, o que significa que você precisa usar zeros adicionais. Acreditamos que o resultado final será:
Vemos a repetição periódica dos resíduos 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . O quociente repete 1 , 9 , 0 , 4 , 7 e 5 . Então nosso resultado é o decimal periódico 776 , (190476) .
Responder: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
O método descrito por nós permite fazer o oposto, ou seja, dividir um número natural por uma fração decimal final. Vamos ver como isso é feito.
Exemplo 9
Calcule quantos serão 3 5 , 4 .
Solução
Obviamente, teremos que mover a vírgula para a direita em um caractere. Depois disso podemos começar a dividir 30 , 0 por 54 . Vamos escrever os dados em uma coluna e calcular o resultado:
Repetir o restante nos dá o número 0 , (5) , que é um decimal periódico.
Responder: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Como dividir decimais por 1000, 100, 10, etc.
De acordo com as regras já estudadas para dividir frações comuns, dividir uma fração em dezenas, centenas, milhares é semelhante a multiplicá-la por 1/1000, 1/100, 1/10, etc. , neste caso, basta passar a vírgula até os dígitos da quantidade desejada. Se não houver valores suficientes no número para transferir, você precisará adicionar o número necessário de zeros.
Exemplo 10
Então, 56, 21: 10 = 5, 621 e 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
No caso de decimais infinitos, fazemos o mesmo.
Exemplo 11
Por exemplo, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) e 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .
Como dividir decimais por 0,001, 0,01, 0,1, etc.
Usando a mesma regra, também podemos dividir frações pelos valores especificados. Esta ação será semelhante a multiplicar por 1000 , 100 , 10 respectivamente. Para fazer isso, movemos a vírgula para um, dois ou três dígitos, dependendo das condições do problema, e adicionamos zeros se não houver dígitos suficientes no número.
Exemplo 12
Por exemplo, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 e 0, 21: 0, 00001 = 21.000.
Esta regra também se aplica a decimais infinitos. Aconselhamos apenas a ter cuidado com o período da fração que se obtém na resposta.
Então, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , porque depois de movermos a vírgula na notação decimal 7 , 5716716716 ... dois dígitos para a direita, temos 757 , 167167 ... .
Se tivermos frações não periódicas no exemplo, tudo será mais simples: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .
Como dividir um número misto ou uma fração comum por um decimal e vice-versa
Também reduzimos essa ação para operações com frações ordinárias. Para fazer isso, substitua os números decimais pelas frações ordinárias correspondentes e escreva o número misto como uma fração imprópria.
Se dividirmos uma fração não periódica por um número comum ou misto, precisamos fazer o oposto, substituindo a fração comum ou número misto pela fração decimal correspondente.
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Considere exemplos de divisão de decimais sob esta luz.
Exemplo.
Divida o decimal 1,2 pelo decimal 0,48.
Solução.
Responder:
1,2:0,48=2,5 .
Exemplo.
Divida o decimal periódico 0.(504) pelo decimal 0.56 .
Solução.
Convertendo um decimal recorrente em um decimal comum: . Também traduzimos a fração decimal final 0,56 em uma fração comum, temos 0,56 \u003d 56/100. Agora podemos passar da divisão dos decimais originais para a divisão das frações ordinárias e finalizar os cálculos: .
Vamos traduzir a fração ordinária resultante em uma fração decimal dividindo o numerador pelo denominador em uma coluna:
Responder:
0,(504):0,56=0,(900) .
O princípio da divisão de frações decimais não periódicas infinitas difere do princípio de divisão de frações decimais finitas e periódicas, uma vez que frações decimais não periódicas não podem ser convertidas em frações ordinárias. A divisão de frações decimais não periódicas infinitas é reduzida à divisão de frações decimais finitas, para as quais é realizada números de arredondamento até certo nível. Além disso, se um dos números com os quais a divisão é realizada for uma fração decimal finita ou periódica, também será arredondado para o mesmo dígito da fração decimal não periódica.
Exemplo.
Divida o decimal infinito não recorrente 0,779... pelo decimal final 1,5602.
Solução.
Primeiro, você precisa arredondar as frações decimais para passar da divisão de uma fração decimal não periódica infinita para a divisão de frações decimais finitas. Podemos arredondar para centésimos: 0,779…≈0,78 e 1,5602≈1,56. Assim, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Responder:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Divisão de um número natural por uma fração decimal e vice-versa
A essência da abordagem para dividir um número natural por uma fração decimal e para dividir uma fração decimal por um número natural não é diferente da essência da divisão de frações decimais. Ou seja, as frações finitas e periódicas são substituídas por frações comuns e as frações não periódicas infinitas são arredondadas.
Para ilustrar, considere o exemplo da divisão de uma fração decimal por um número natural.
Exemplo.
Divida a fração decimal 25,5 pelo número natural 45.
Solução.
Substituindo a fração decimal 25,5 por uma fração comum 255/10=51/2, a divisão é reduzida para dividindo uma fração por um número natural: . A fração resultante em notação decimal é 0,5(6) .
Responder:
25,5:45=0,5(6) .
Divisão de uma fração decimal por um número natural por uma coluna
A divisão de frações decimais finais por números naturais é convenientemente realizada em uma coluna por analogia com divisão por uma coluna de números naturais. Aqui está a regra da divisão.
Para dividir um decimal por um número natural por uma coluna, necessário:
- adicione alguns dígitos à direita na fração decimal divisível 0, (durante a divisão, se necessário, você pode adicionar qualquer número de zeros, mas esses zeros podem não ser necessários);
- execute a divisão por uma coluna de uma fração decimal por um número natural de acordo com todas as regras para dividir por uma coluna de números naturais, mas quando a divisão da parte inteira da fração decimal for concluída, então no privado você precisa coloque uma vírgula e continue a divisão.
Digamos imediatamente que, como resultado da divisão de uma fração decimal finita por um número natural, pode-se obter uma fração decimal final ou uma fração decimal periódica infinita. De fato, após a divisão de todas as casas decimais da fração divisível diferente de 0, podemos obter um resto 0 e obteremos uma fração decimal final ou os restos começarão a se repetir periodicamente e obteremos um decimal periódico fração.
Vamos lidar com todas as complexidades da divisão de frações decimais em números naturais por uma coluna ao resolver exemplos.
Exemplo.
Divida o decimal 65,14 por 4 .
Solução.
Vamos realizar a divisão de uma fração decimal por um número natural por uma coluna. Vamos adicionar um par de zeros à direita no registro da fração 65,14, enquanto obtemos a fração decimal igual a ela 65,1400 (consulte frações decimais iguais e desiguais). Agora você pode começar a dividir a parte inteira da fração decimal 65,1400 por um número natural 4 por uma coluna: 
Isso completa a divisão da parte inteira da fração decimal. Aqui no privado você precisa colocar uma vírgula e continuar a divisão: 
Chegamos a um resto de 0, nesta fase termina a divisão por uma coluna. Como resultado, temos 65,14:4=16,285.
Responder:
65,14:4=16,285 .
Exemplo.
Divida 164,5 por 27.
Solução.
Vamos dividir uma fração decimal por um número natural por uma coluna. Depois de dividir a parte inteira, obtemos a seguinte imagem: 
Agora colocamos uma vírgula no privado e continuamos a divisão com uma coluna: 
Agora é visto claramente que os remanescentes de 25, 7 e 16 começaram a se repetir, enquanto os números 9, 2 e 5 se repetem no quociente. Portanto, dividindo o decimal 164,5 por 27 nos dá o decimal periódico 6,0(925).
Responder:
164,5:27=6,0(925) .
Divisão de frações decimais por uma coluna
A divisão de uma fração decimal por uma fração decimal pode ser reduzida à divisão de uma fração decimal por um número natural por uma coluna. Para fazer isso, o dividendo e o divisor devem ser multiplicados por um número 10, ou 100, ou 1000, etc., para que o divisor se torne um número natural e, a seguir, divida por um número natural por uma coluna. Podemos fazer isso devido às propriedades de divisão e multiplicação, pois a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) e assim por diante.
Em outras palavras, dividir um decimal final por um decimal final, preciso:
- no dividendo e no divisor, mova a vírgula para a direita em tantos caracteres quanto houver após a vírgula no divisor, se ao mesmo tempo não houver caracteres suficientes no dividendo para mover a vírgula, será necessário adicionar o número necessário de zeros à direita;
- depois disso, faça a divisão por coluna de uma fração decimal por um número natural.
Considere, ao resolver um exemplo, a aplicação dessa regra de divisão por fração decimal.
Exemplo.
Faça a divisão da coluna 7,287 por 2,1.
Solução.
Vamos mover a vírgula nessas frações decimais um dígito para a direita, isso nos permitirá passar da divisão da fração decimal 7,287 pela fração decimal 2,1 para dividir a fração decimal 72,87 pelo número natural 21. Vamos dividir por uma coluna: 
Responder:
7,287:2,1=3,47 .
Exemplo.
Divida o decimal 16,3 pelo decimal 0,021.
Solução.
Mova a vírgula no dividendo e divisor para a direita em 3 dígitos. Obviamente, não há dígitos suficientes no divisor para carregar a vírgula, então vamos adicionar o número necessário de zeros à direita. Agora vamos dividir a coluna da fração 16300.0 pelo número natural 21: 
A partir deste momento, os restos 4, 19, 1, 10, 16 e 13 começam a se repetir, o que significa que os números 1, 9, 0, 4, 7 e 6 do quociente também se repetirão. Como resultado, obtemos uma fração decimal periódica 776,(190476) .
Responder:
16,3:0,021=776,(190476) .
Observe que a regra expressa permite dividir um número natural por uma fração decimal final por uma coluna.
Exemplo.
Divida o número natural 3 pela fração decimal 5.4.
Solução.
Depois de mover a vírgula 1 dígito para a direita, passamos a dividir o número 30,0 por 54. Vamos dividir por uma coluna: 
.
Esta regra também pode ser aplicada ao dividir frações decimais infinitas por 10, 100, .... Por exemplo, 3,(56):1000=0,003(56) e 593,374…:100=5,93374… .
Dividindo decimais por 0,1, 0,01, 0,001, etc.
Desde 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, etc., segue-se da regra da divisão por uma fração ordinária que dividir uma fração decimal por 0,1, 0,01, 0,001, etc. é como multiplicar o decimal dado por 10, 100, 1000, etc. respectivamente.
Em outras palavras, para dividir uma fração decimal por 0,1, 0,01, ... você precisa mover a vírgula para a direita por 1, 2, 3, ... dígitos e, se não houver dígitos suficientes na fração decimal para mova a vírgula, então você precisa adicionar o número necessário aos zeros certos.
Por exemplo, 5,739:0,1=57,39 e 0,21:0,00001=21.000 .
A mesma regra pode ser aplicada ao dividir decimais infinitos por 0,1, 0,01, 0,001, etc. Nesse caso, deve-se ter muito cuidado com a divisão das frações periódicas, para não se confundir com o período da fração, que se obtém como resultado da divisão. Por exemplo, 7.5(716):0.01=757,(167) , pois após mover a vírgula no registro da fração decimal 7.5716716716 ... dois dígitos à direita, temos o registro 757.167167 ... . Com infinitos decimais não periódicos, tudo fica mais simples: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Divisão de uma fração ou número misto por um decimal e vice-versa
A divisão de uma fração ordinária ou um número misto por uma fração decimal finita ou periódica, bem como a divisão de uma fração decimal finita ou periódica por uma fração ordinária ou um número misto, é reduzida à divisão de frações ordinárias. Para fazer isso, as frações decimais são substituídas pelas frações comuns correspondentes e o número misto é representado como uma fração imprópria.
Ao dividir uma fração decimal infinita não periódica por uma fração ordinária ou um número misto e vice-versa, deve-se proceder à divisão de frações decimais, substituindo a fração ordinária ou número misto pela fração decimal correspondente.
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