Numeros reais. Aproximação de números reais por frações decimais finitas.

Um número real ou real é uma abstração matemática que surgiu da necessidade de medir as quantidades geométricas e físicas do mundo ao nosso redor, bem como realizar operações como extrair uma raiz, calcular logaritmos e resolver equações algébricas. Se os números naturais surgiram no processo de contagem, os números racionais - da necessidade de operar com partes de um todo, os números reais destinam-se à medição de quantidades contínuas. Assim, a expansão do estoque de números em consideração levou ao conjunto dos números reais, que, além dos números racionais, inclui também outros elementos chamados números irracionais .

Erro absoluto e seu limite.

Seja algum valor numérico, e o valor numérico atribuído a ele é considerado exato, então sob o erro do valor aproximado do valor numérico (erro) entender a diferença entre o valor exato e aproximado de um valor numérico: . O erro pode assumir valores positivos e negativos. O valor é chamado aproximação conhecida ao valor exato de um valor numérico - qualquer número usado em vez do valor exato. A medida quantitativa mais simples de erro é o erro absoluto. Erro absoluto valor aproximado é chamado de valor, sobre o qual se sabe que: Erro relativo e seu limite.

A qualidade da aproximação depende essencialmente das unidades de medida e escalas de grandezas aceites, pelo que é aconselhável correlacionar o erro de uma grandeza e o seu valor, para o que se introduz o conceito de erro relativo. Erro relativo Um valor aproximado é chamado de valor sobre o qual se sabe que: . O erro relativo é frequentemente expresso como uma porcentagem. O uso de erros relativos é conveniente, em particular, porque eles não dependem das escalas de grandezas e unidades de medida.

Equações irracionais

Uma equação na qual uma variável está contida sob o sinal da raiz é chamada de irracional. Ao resolver equações irracionais, as soluções obtidas requerem verificação, porque, por exemplo, uma igualdade incorreta ao quadrado pode dar a igualdade correta. De fato, uma igualdade incorreta ao quadrado dá a igualdade correta 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Às vezes é mais conveniente resolver equações irracionais usando transições equivalentes.

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados desta equação; Após as transformações, chegamos a uma equação quadrática; e vamos colocar.

Números complexos. Ações sobre números complexos.

Números complexos - uma extensão do conjunto de números reais, geralmente denotados. Qualquer número complexo pode ser representado como uma soma formal x + ei, Onde x e y- numeros reais, eu- unidade imaginária Os números complexos formam um corpo algebricamente fechado - isso significa que o polinômio de grau n com coeficientes complexos tem exatamente n raízes complexas, ou seja, o teorema fundamental da álgebra é verdadeiro. Esta é uma das principais razões para o uso generalizado de números complexos na pesquisa matemática. Além disso, o uso de números complexos torna possível formular de forma conveniente e compacta muitos modelos matemáticos usados ​​em física matemática e ciências naturais - engenharia elétrica, hidrodinâmica, cartografia, mecânica quântica, teoria das oscilações e muitos outros.

Comparação uma + bi = c + di significa que uma = c e b = d(dois números complexos são iguais se e somente se suas partes reais e imaginárias são iguais).

Adição ( uma + bi) + (c + di) = (uma + c) + (b + d) eu .

Subtração ( uma + bi) − (c + di) = (uma − c) + (b − d) eu .

Multiplicação

Função numérica. Maneiras de definir uma função

Em matemática, uma função numérica é uma função cujos domínios e valores são subconjuntos de conjuntos de números – geralmente o conjunto de números reais ou o conjunto de números complexos.

Verbal: Usando linguagem natural, Y é igual à parte inteira de X. Analítico: Usando uma fórmula analítica f (x) = x !

Gráfico Via gráfico Fragmento do gráfico da função.

Tabular: usando uma tabela de valores

Principais propriedades da função

1) Escopo de função e faixa de função . Escopo da função x(variável x) para o qual a função y=f(x) definiram.

Faixa de funções y que a função aceita. Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto dos números reais.2 ) Função zero) Monotonicidade da função . Função crescente Função decrescente . Função par X f(-x) = f(x). Função estranha- uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X f(-x) = -f(x. A função é chamada limitado ilimitado .7) Periodicidade da função. Função f(x) - periódico período de função

Gráficos de funções. As transformações mais simples de gráficos por uma função

Gráfico de funções- conjunto de pontos cujas abcissas são valores de argumentos válidos x, e as ordenadas são os valores correspondentes da função y .

Linha reta- gráfico de uma função linear y=ax+b. A função y aumenta monotonicamente para a > 0 e diminui para a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parábola- gráfico da função trinômio quadrado y \u003d ax 2 + bx + c. Tem um eixo vertical de simetria. Se a > 0, tem um mínimo se a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Hipérbole- gráfico de função. Quando a > O estiver localizado nos quadrantes I e III, quando um< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ou y - x (a< 0).

Função logarítmica y = log a x(a > 0)

funções trigonométricas. Ao construir funções trigonométricas, usamos radiano medida de ângulos. Então a função y= pecado x representado por um gráfico (Fig. 19). Essa curva é chamada sinusóide .

Gráfico de funções y= cos x mostrado na fig. vinte; é também uma onda senoidal resultante do movimento do gráfico y= pecado x ao longo do eixo X deixado por /2.

Propriedades básicas das funções. Monotonicidade, uniformidade, estranheza, periodicidade de funções.

Escopo de função e intervalo de função . Escopo da funçãoé o conjunto de todos os valores válidos válidos do argumento x(variável x) para o qual a função y=f(x) definiram.

Faixa de funçõesé o conjunto de todos os valores reais y que a função aceita.

Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto dos números reais.2 ) Função zero- é o valor do argumento, no qual o valor da função é igual a zero.3 ) Intervalos de constância da função- aqueles conjuntos de valores de argumentos nos quais os valores da função são apenas positivos ou apenas negativos.4 ) Monotonicidade da função .

Função crescente(em algum intervalo) - uma função na qual o maior valor do argumento desse intervalo corresponde ao maior valor da função.

Função decrescente(em algum intervalo) - uma função na qual um valor maior do argumento desse intervalo corresponde a um valor menor da função.5 ) Funções pares (ímpares) . Função par- uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio da definição a igualdade f(-x) = f(x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Função estranha- uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio da definição a igualdade f(-x) = -f(x). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.6 ) Funções limitadas e ilimitadas. A função é chamada limitado, se houver um número positivo M tal que |f (x) | ≤ M para todos os valores de x. Se não existir tal número, então a função é ilimitado .7) Periodicidade da função. Função f(x) - periódico, se existe um número T diferente de zero que para qualquer x do domínio da função, vale o seguinte: f (x+T) = f (x). Esse menor número é chamado período de função. Todas as funções trigonométricas são periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

Funções periódicas. Regras para encontrar o período principal de uma função.

Função periódicaé uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero, ou seja, não altera seu valor quando um número fixo diferente de zero (período) é adicionado ao argumento. Todas as funções trigonométricas são periódicas. Está errado declarações sobre a soma de funções periódicas: A soma de 2 funções com períodos proporcionais (mesmo básicos) T 1 e T 2 é uma função com período LCM ( T 1 ,T 2). A soma de 2 funções contínuas com períodos incomensuráveis ​​(mesmo básicos) é uma função não periódica. Não há funções periódicas que não sejam iguais a uma constante cujos períodos sejam números incomensuráveis.

Funções de potência de plotagem.

Função liga-desliga. Esta é a função: y = ax n, Onde um- permanente. No n= 1 obtemos proporcionalidade direta : y =machado; no n = 2 - parábola quadrada; no n = 1 - proporcionalidade inversa ou hipérbole. Assim, essas funções são casos especiais de uma função de potência. Sabemos que a potência zero de qualquer número diferente de zero é igual a 1, portanto, quando n= 0 a função potência se torna uma constante: y =uma, ou seja seu gráfico é uma linha reta paralela ao eixo X, excluindo a origem das coordenadas (por favor, explique por quê?). Todos esses casos (com uma= 1) são mostrados na Fig. 13 ( n 0) e Fig.14 ( n < 0). Отрицательные значения x não são considerados aqui, pois então algumas funções:

Função inversa

Função inversa- uma função que inverte a dependência expressa por esta função. A função é inversa à função se as seguintes identidades valerem: para todos para todos

Limite de uma função em um ponto. Propriedades básicas do limite.

A raiz do enésimo grau e suas propriedades.

A enésima raiz de um número a é um número cuja enésima potência é igual a a.

Definição: A raiz aritmética do enésimo grau do número a é um número não negativo, cuja enésima potência é igual a a.

As principais propriedades das raízes:

Grau com expoente real arbitrário e suas propriedades.

Sejam dados um número positivo e um número real arbitrário. O número é chamado de grau, o número é a base do grau, o número é o expoente.

Por definição, assume-se:

Se e são números positivos, e são quaisquer números reais, então as seguintes propriedades são verdadeiras:

.

.

Função potência, suas propriedades e gráficos

Função liga-desliga variável complexa f (z) = z n com um expoente inteiro é determinado usando a continuação analítica de uma função semelhante de um argumento real. Para isso, é usada a forma exponencial de escrever números complexos. uma função de potência com um expoente inteiro é analítica em todo o plano complexo, como o produto de um número finito de instâncias do mapeamento de identidade f (z) = z. De acordo com o teorema da unicidade, esses dois critérios são suficientes para a unicidade da continuação analítica resultante. Usando esta definição, podemos concluir imediatamente que a função potência de uma variável complexa tem diferenças significativas em relação à sua contraparte real.

Esta é uma função da forma , . São considerados os seguintes casos:

uma). Se então . Então , ; se o número for par, então a função é par (ou seja, para todos ); se o número for ímpar, então a função é ímpar (ou seja, para todos).

A função exponencial, suas propriedades e gráficos

Função exponencial- função matemática.

No caso real, a base do grau é algum número real não negativo, e o argumento da função é um expoente real.

Na teoria das funções complexas, considera-se um caso mais geral, quando um número complexo arbitrário pode ser um argumento e um expoente.

Da maneira mais geral - vc, introduzido por Leibniz em 1695.

O caso em que o número e atua como base do grau é especialmente destacado. Tal função é chamada de expoente (real ou complexo).

Propriedades; ; .

equações exponenciais.

Passemos diretamente às equações exponenciais. Para resolver uma equação exponencial, é necessário usar o seguinte teorema: Se os graus são iguais e as bases são iguais, positivas e diferentes de um, então seus expoentes também são iguais. Vamos provar este teorema: Seja a>1 e a x =a y .

Vamos provar que neste caso x=y. Suponha o oposto do que é necessário para ser provado, ou seja, digamos que x>y ou que x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х um y. Ambos os resultados contradizem a hipótese do teorema. Portanto, x = y, que é o que precisava ser provado.

O teorema também é provado para o caso em que 0 0 e a≠1.

desigualdades exponenciais

Desigualdades da forma (ou menos) para a(x)>0 e são resolvidos com base nas propriedades da função exponencial: por 0 < а (х) < 1 ao comparar f(x) e g(x) o sinal da desigualdade muda, e quando a(x) > 1- é salvo. O caso mais difícil para machado)< 0 . Aqui só podemos dar uma indicação geral: determinar em que valores X indicadores f(x) e g(x) sejam inteiros, e escolha entre eles aqueles que satisfazem a condição. Finalmente, se a desigualdade original vale para a(x) = 0 ou a(x) = 1(por exemplo, quando as desigualdades não são estritas), esses casos também devem ser considerados.

Logaritmos e suas propriedades

Logaritmo de um número b Por razão uma (do grego λόγος - "palavra", "relação" e ἀριθμός - "número") é definido como um indicador do grau em que a base deve ser elevada uma para obter o número b. Designação: . Segue-se da definição que as entradas e são equivalentes. Exemplo: porque . Propriedades

Identidade logarítmica básica:

Função logarítmica, suas propriedades e gráficos.

Uma função logarítmica é uma função da forma f (x) = log um x, definido em

Domínio:

Faixa de valor:

O gráfico de qualquer função logarítmica passa pelo ponto (1; 0)

A derivada da função logarítmica é:

Equações logarítmicas

Uma equação que contém uma variável sob o sinal do logaritmo é chamada de equação logarítmica. O exemplo mais simples de uma equação logarítmica é a equação log a x \u003d b (onde a > 0 e 1). Sua decisão x = ab .

Resolvendo equações com base na definição do logaritmo, por exemplo, a equação log a x \u003d b (a\u003e 0, mas 1) tem uma solução x = ab .

método de potenciação. Por potenciação entende-se a transição de uma igualdade contendo logaritmos para uma igualdade que não os contém:

E se log a f (x) = log a g (x), então f(x) = g(x), f(x) > 0 ,g(x) > 0 ,a > 0 , um 1 .

Método para reduzir uma equação logarítmica a uma quadrática.

O método de obter o logaritmo de ambas as partes da equação.

Método para reduzir logaritmos à mesma base.

Desigualdades logarítmicas.

Uma desigualdade que contém uma variável apenas sob o sinal do logaritmo é chamada de logarítmica: log a f (x) > log a g (x).

Ao resolver desigualdades logarítmicas, deve-se levar em conta as propriedades gerais das desigualdades, a propriedade de monotonicidade da função logarítmica e seu domínio de definição. Desigualdade log a f (x) > log a g (x) equivale a um sistema f (x) > g (x) > 0 para a > 1 e sistema 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Medição em radianos de ângulos e arcos. Seno, cosseno, tangente, cotangente.

medida de grau. Aqui a unidade de medida é grau ( designação ) - é a rotação da viga por 1/360 de uma volta completa. Assim, uma rotação completa do feixe é de 360. Um grau é composto por 60 minutos ( sua designação'); um minuto - respectivamente de 60 segundos ( marcado com ").

medida radiana. Como sabemos da planimetria (veja o parágrafo "Comprimento do arco" na seção "Local dos pontos. Círculo e círculo"), o comprimento do arco eu, raio r e o ângulo central correspondente estão relacionados por: = l/r.

Esta fórmula está subjacente à definição da medida em radianos de ângulos. Então se eu = r, então = 1, e dizemos que o ângulo é igual a 1 radiano, que é denotado: = 1 alegre. Assim, temos a seguinte definição da medida em radianos:

O radiano é o ângulo central, cujo comprimento de arco e raio são iguais(UMA m B = AO, Fig. 1). Então, a medida em radianos de um ângulo é a razão entre o comprimento de um arco desenhado por um raio arbitrário e encerrado entre os lados desse ângulo e o raio do arco.

As funções trigonométricas de ângulos agudos podem ser definidas como a razão entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.

Seio:

Cosseno:

Tangente:

Co-tangente:

Funções trigonométricas de um argumento numérico

Definição .

O seno de x é o número igual ao seno do ângulo em x radianos. O cosseno de um número x é o número igual ao cosseno do ângulo em x radianos .

Outras funções trigonométricas de um argumento numérico são definidas de forma semelhante X .

Fórmulas fantasmas.

Fórmulas de adição. Fórmulas de argumento duplo e meio.

Dobro.

( ; .

Funções trigonométricas e seus gráficos. Propriedades básicas das funções trigonométricas.

Funções trigonométricas- tipo de funções elementares. Geralmente são referidos seio (pecado x), cosseno (cos x), tangente (tg x), co-tangente (ctg x), as funções trigonométricas costumam ser definidas geometricamente, mas podem ser definidas analiticamente em termos de somas de séries ou como soluções de certas equações diferenciais, o que nos permite estender o domínio de definição dessas funções aos números complexos.

Função y sinx suas propriedades e gráfico

Propriedades:

2. E (y) \u003d [-1; 1].

3. A função y \u003d sinx é ímpar, pois, por definição, o seno de um ângulo trigonométrico pecado(- x)= - s/R = - sinx, onde R é o raio do círculo, y é a ordenada do ponto (Fig.).

4. T \u003d 2n - o menor período positivo. Sério,

sen(x+p) = senx.

com eixo Ox: sinx= 0; x = pn, nZ;

com o eixo y: se x = 0, então y = 0,6. Intervalos de constância:

senx > 0, se xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , se xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Sinais de seno em quartos

y > 0 para ângulos a do primeiro e segundo quartos.

no< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Intervalos de monotonicidade:

y= sinx aumenta em cada um dos intervalos [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz e diminui em cada um dos intervalos, nнz.

8. Pontos extremos e pontos extremos da função:

xmax= p/2 + 2pn, níz; y máximo = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, níz; ymin = - 1.

Propriedades da função y= cosx e sua agenda:

Propriedades:

2. E (y) \u003d [-1; 1].

3. Função y= cosx- mesmo, porque por definição do cosseno do ângulo trigonométrico cos (-a) = x/R = cosa no círculo trigonométrico (arroz)

4. T \u003d 2p - o menor período positivo. Sério,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Pontos de interseção com eixos de coordenadas:

com o eixo Ox: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nZ;

com o eixo y: se x = 0, então y = 1.

6. Intervalos de constância do sinal:

cos > 0, se xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , se xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Isto é provado em um círculo trigonométrico (Fig.). Sinais de cosseno em quartos:

x > 0 para ângulos a do primeiro e quarto quadrantes.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Intervalos de monotonicidade:

y= cosx aumenta em cada um dos intervalos [-p + 2pn; 2pn],

nнz e diminui em cada um dos intervalos, nнz.

Propriedades da função y= tgx e seu enredo: propriedades -

1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. Função y = tgx - ímpar

tgx > 0

tgx< 0 para xí (-p/2 + pn; pn), níZ.

Veja a figura para os sinais da tangente em quartos.

6. Intervalos de monotonicidade:

y= tgx aumenta a cada intervalo

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Pontos extremos e pontos extremos da função:

8. x = p/2 + pn, nнz - assíntotas verticais

Propriedades da função y= ctgx e sua agenda:

Propriedades:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Função y= ctgx- ímpar.

4. T \u003d p - o menor período positivo.

5. Intervalos de constância do sinal:

ctgx > 0 para xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 para xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Sinais cotangentes para trimestres, veja a figura.

6. Função no= ctgx aumenta em cada um dos intervalos (pn; p + pn), nОZ.

7. Pontos extremos e extremos de uma função y= ctgx não.

8. Gráfico de funções y= ctgxé tangentóide, obtido por deslocamento de plotagem y=tgx ao longo do eixo Ox para a esquerda por p/2 e multiplicando por (-1) (Fig)

Funções trigonométricas inversas, suas propriedades e gráficos

Funções trigonométricas inversas (funções circulares , funções de arco) são funções matemáticas inversas às funções trigonométricas. As funções trigonométricas inversas geralmente incluem seis funções: arco-seno , arco cosseno , arco tangente ,arcotanges. O nome da função trigonométrica inversa é formado a partir do nome da função trigonométrica correspondente, adicionando o prefixo "ark-" (de lat. arco- arco). Isso se deve ao fato de que geometricamente o valor da função trigonométrica inversa pode ser associado ao comprimento do arco de um círculo unitário (ou ao ângulo que subtende esse arco) correspondente a um ou outro segmento. Ocasionalmente na literatura estrangeira eles usam designações como sen -1 para o arco-seno, etc.; isso não é considerado totalmente correto, já que é possível confusão com elevar uma função à potência de −1. Proporção básica

Função y=arcsinX, suas propriedades e gráficos.

arco-seno números m esse ângulo é chamado x para qual Função y= pecado x y= arco seno xé estritamente crescente. (função é ímpar).

Função y=arccosX, suas propriedades e gráficos.

Arco cosseno números m esse ângulo é chamado x, para qual

Função y= cos x contínua e limitada ao longo de toda a sua reta numérica. Função y= arcos xé estritamente decrescente. cos (arcos x) = x no arcos (cos y) = y no D(arcos x) = [− 1; 1], (domínio), E(arcos x) = . (faixa de valores). Propriedades da função arccos (a função é centralmente simétrica em relação ao ponto

Função y=arctgX, suas propriedades e gráficos.

Arctangente números m Um ângulo α é chamado tal que a Função é contínua e limitada em toda a sua linha real. A função é estritamente crescente.

no

propriedades da função arctg

,

.

Função y=arcctg, suas propriedades e gráficos.

Arco tangente números m esse ângulo é chamado x, para qual

A função é contínua e limitada em toda a sua linha real.

A função é estritamente decrescente. em 0< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки para qualquer x .

.

As equações trigonométricas mais simples.

Definição. equações de wada sen x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, Onde x

Casos especiais de equações trigonométricas

Definição. equações de wada sen x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, Onde x- variáveis, aR, são chamadas equações trigonométricas simples.

Equações trigonométricas

Axiomas da estereometria e suas consequências

Figuras básicas no espaço: pontos, linhas e planos. As principais propriedades dos pontos, linhas e planos, quanto ao seu arranjo mútuo, são expressas em axiomas.

A1. Por quaisquer três pontos que não estejam na mesma linha reta, passa um plano e, além disso, apenas um. A2. Se dois pontos de uma reta estão em um plano, então todos os pontos da reta estão nesse plano.

Comente. Se uma reta e um plano têm apenas um ponto comum, dizemos que eles se interceptam.

A3. Se dois planos têm um ponto comum, então eles têm uma linha comum na qual estão todos os pontos comuns desses planos.

	A e se cruzam ao longo da linha a.

Consequência 1. Por uma linha e um ponto não pertencente a ela passa um plano e, além disso, apenas um. Consequência 2. Um plano passa por duas retas que se cruzam e, além disso, por apenas uma.

Arranjo mútuo de duas linhas no espaço

Duas retas dadas por equações

se cruzam em um ponto.

Paralelismo de uma linha e um plano.

Definição 2.3 Uma reta e um plano são chamados de paralelos se não tiverem pontos comuns. Se a reta a é paralela ao plano α, então escreva a || uma. Teorema 2.4 Sinal de paralelismo de uma reta e um plano. Se uma linha fora de um plano é paralela a uma linha no plano, então essa linha também é paralela ao próprio plano. Prova Seja b α, a || b e a α (desenho 2.2.1). Vamos provar por contradição. Seja a não paralela a α, então a reta a intercepta o plano α em algum ponto A. Além disso, A b, já que a || b. De acordo com o critério de linhas enviesadas, as linhas a e b são enviesadas. Chegamos a uma contradição. Teorema 2.5 Se o plano β passa pela linha a paralela ao plano α e intercepta esse plano ao longo da linha b, então b || uma. Demonstração De fato, as retas a e b não são enviesadas, pois estão no plano β. Além disso, essas linhas não têm pontos comuns, pois a || uma. Definição 2.4 A linha b às vezes é chamada de traço do plano β no plano α.

Cruzando linhas retas. Sinal de linhas de interseção

As linhas são chamadas de interseção se a seguinte condição for atendida: Se imaginarmos que uma das linhas pertence a um plano arbitrário, a outra linha cruzará esse plano em um ponto que não pertence à primeira linha. Em outras palavras, duas linhas no espaço euclidiano tridimensional se cruzam se não houver nenhum plano que as contenha. Simplificando, duas linhas no espaço que não têm pontos comuns, mas não são paralelas.

Teorema (1): Se uma das duas retas está em um determinado plano e a outra reta intercepta esse plano em um ponto que não está na primeira reta, então essas retas são enviesadas.

Teorema (2): Por cada uma das duas linhas que se cruzam passa um plano paralelo à outra linha e, além disso, apenas um.

Teorema (3): Se os lados de dois ângulos são respectivamente codirigidos, então tais ângulos são iguais.

Paralelismo de linhas. Propriedades dos planos paralelos.

Linhas retas paralelas (às vezes - isósceles) chamadas linhas retas que estão no mesmo plano e coincidem ou não se cruzam. Em algumas definições escolares, as linhas coincidentes não são consideradas paralelas; tal definição não é considerada aqui. Propriedades O paralelismo é uma relação de equivalência binária, portanto divide todo o conjunto de linhas em classes de linhas paralelas entre si. Por qualquer ponto dado, pode haver exatamente uma reta paralela ao dado. Esta é uma propriedade distintiva da geometria euclidiana, em outras geometrias o número 1 é substituído por outros (na geometria de Lobachevsky existem pelo menos duas dessas linhas) 2 linhas paralelas no espaço estão no mesmo plano. b Na intersecção de 2 linhas paralelas por uma terceira, chamada secante: A secante necessariamente cruza ambas as linhas. Ao cruzar, são formados 8 cantos, alguns pares característicos dos quais têm nomes e propriedades especiais: Deitado cruzadoângulos são iguais. Respectivoângulos são iguais. Unilateral os ângulos somam 180°.

Perpendicularidade de uma linha e um plano.

Uma linha que intercepta um plano é chamada perpendicular este plano se for perpendicular a toda reta que se encontra no plano dado e passa pelo ponto de interseção.

SINAL DE PERPENDICULARIDADE DE UMA LINHA E UM PLANO.

Se uma linha que intercepta um plano é perpendicular a duas linhas nesse plano que passam pelo ponto de interseção da linha dada e do plano, então ela é perpendicular ao plano.

1ª PROPRIEDADE DE LINHAS E PLANOS PERPENDICULARES .

Se um plano é perpendicular a uma das duas linhas paralelas, então também é perpendicular à outra.

2ª PROPRIEDADE DE LINHAS E PLANOS PERPENDICULARES .

Duas retas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.

Teorema das três perpendiculares

Deixar AB- perpendicular ao plano α, CA- oblíquo e c- uma linha reta no plano α que passa pelo ponto C e projeção perpendicular BC. Vamos desenhar uma linha reta CK paralela a uma reta AB. Em linha reta CK perpendicular ao plano α (porque é paralelo a AB), e, portanto, qualquer linha deste plano, portanto, CK perpendicular à linha c AB e CK plano β (linhas paralelas definem um plano, e apenas um). Em linha reta cé perpendicular a duas linhas que se cruzam no plano β, esta BC por condição e CK por construção, o que significa que é perpendicular a qualquer linha pertencente a este plano, o que significa que também é perpendicular a uma linha CA .

Inversa do teorema das três perpendiculares

Se uma linha reta traçada em um plano que passa pela base de uma linha inclinada é perpendicular à linha inclinada, então também é perpendicular à sua projeção.

Deixar AB- perpendicular ao plano uma , CA- oblíquo e Com- linha reta no plano uma passando pela base da encosta A PARTIR DE. Vamos desenhar uma linha reta SC, paralela à linha AB. Em linha reta SC perpendicular ao plano uma(por este teorema, uma vez que é paralelo AB), e, portanto, qualquer linha deste plano, portanto, SC perpendicular à linha Com. Desenhe através de linhas paralelas AB e SC avião b(linhas paralelas definem um plano, e apenas um). Em linha reta Com perpendicular a duas retas dispostas em um plano b, isto é CA por condição e SC por construção, significa que é perpendicular a qualquer linha pertencente a este plano, o que significa que também é perpendicular a uma linha Sol. Em outras palavras, a projeção Sol perpendicular à linha Com deitado no avião uma .

Perpendiculares e oblíquos.

Perpendicular, abaixado de um ponto dado a um plano dado, é chamado de segmento que liga um ponto dado a um ponto no plano e se encontra em uma linha reta perpendicular ao plano. A extremidade deste segmento, situada em um plano, é chamada de a base da perpendicular .

oblíquo, desenhado de um ponto dado a um plano dado, é qualquer segmento que liga o ponto dado a um ponto no plano que não é perpendicular ao plano. A extremidade de um segmento que está em um plano é chamada a base do inclinado. O segmento que liga as bases da perpendicular da linha inclinada, traçada a partir do mesmo ponto, é chamado projeção oblíqua .

Definição 1. Uma perpendicular a uma linha dada é um segmento de linha perpendicular a uma linha dada que tem uma de suas extremidades em seu ponto de interseção. A extremidade de um segmento que se encontra em uma determinada linha é chamada de base da perpendicular.

Definição 2. Uma linha oblíqua traçada de um ponto dado a uma linha dada é um segmento que liga o ponto dado a qualquer ponto na linha que não seja a base da perpendicular baixada do mesmo ponto para a linha dada. AB - perpendicular ao plano α.

AC - oblíquo, CB - projeção.

C - a base do inclinado, B - a base da perpendicular.

O ângulo entre uma linha e um plano.

Ângulo entre a linha e o plano Qualquer ângulo entre uma linha reta e sua projeção neste plano é chamado.

Ângulo diedro.

Ângulo diedro- uma figura geométrica espacial formada por dois semiplanos emanados de uma linha reta, bem como uma parte do espaço delimitada por esses semiplanos. Meios planos são chamados rostosângulo diedro, e sua linha reta comum - borda. Os ângulos diedros são medidos por um ângulo linear, ou seja, o ângulo formado pela interseção de um ângulo diedro com um plano perpendicular à sua borda. Todo poliedro, regular ou irregular, convexo ou côncavo, tem um ângulo diedro em cada aresta.

Perpendicularidade de dois planos.

SINAL DE PERPENDICULARIDADE DO PLANO.

Se um plano passa por uma linha perpendicular a outro plano, esses planos são perpendiculares.

Instituição de ensino municipal

"Escola secundária de Kudinskaya No. 2"

Maneiras de resolver equações irracionais

Completado por: Egorova Olga,

Supervisor:

Professora

matemática,

qualificação superior

Introdução....……………………………………………………………………………………… 3

Seção 1. Métodos para resolver equações irracionais…………………………………6

1.1 Resolvendo as equações irracionais da parte C……….….….……………………21

Seção 2. Tarefas individuais…………………………………………….....………...24

Respostas………………………………………………………………………………………….25

Bibliografia…….…………………………………………………………………….26

Introdução

A educação matemática recebida em uma escola de educação geral é um componente essencial da educação geral e da cultura geral de uma pessoa moderna. Quase tudo que cerca uma pessoa moderna está conectado de uma forma ou de outra com a matemática. E avanços recentes em física, tecnologia e tecnologia da Informação não deixe dúvidas de que as coisas continuarão as mesmas no futuro. Portanto, a solução de muitos problemas práticos é reduzida a resolver vários tipos de equações que precisam ser aprendidas para resolver. Um desses tipos são as equações irracionais.

Equações irracionais

Uma equação contendo uma incógnita (ou uma expressão algébrica racional de uma incógnita) sob o sinal do radical é chamada equação irracional. Na matemática elementar, as soluções para equações irracionais são procuradas no conjunto dos números reais.

Qualquer equação irracional com a ajuda de operações algébricas elementares (multiplicação, divisão, elevando ambas as partes da equação a uma potência inteira) pode ser reduzida a uma equação algébrica racional. Deve-se ter em mente que a equação algébrica racional resultante pode não ser equivalente à equação irracional original, ou seja, pode conter raízes "extras" que não serão as raízes da equação irracional original. Portanto, tendo encontrado as raízes da equação algébrica racional obtida, é necessário verificar se todas as raízes da equação racional serão as raízes da equação irracional.

No caso geral, é difícil indicar qualquer método universal para resolver qualquer equação irracional, pois é desejável que, como resultado de transformações da equação irracional original, não se obtenha apenas algum tipo de equação algébrica racional, entre as raízes de onde haverá as raízes desta equação irracional, mas uma equação algébrica racional formada a partir de polinômios de menor grau possível. O desejo de obter essa equação algébrica racional formada a partir de polinômios do menor grau possível é bastante natural, pois encontrar todas as raízes de uma equação algébrica racional pode por si só ser uma tarefa bastante difícil, que só podemos resolver completamente em um número muito limitado de casos.

Tipos de equações irracionais

Resolver equações irracionais de grau par sempre causa mais problemas do que resolver equações irracionais de grau ímpar. Ao resolver equações irracionais de grau ímpar, a ODZ não muda. Portanto, abaixo consideraremos equações irracionais, cujo grau é par. Existem dois tipos de equações irracionais:

2..

Vamos considerar o primeiro deles.

equação odz: f(x)≥ 0. Em ODZ, o lado esquerdo da equação é sempre não negativo, então uma solução só pode existir quando g(x)≥ 0. Neste caso, ambos os lados da equação são não negativos e a exponenciação 2 n fornece uma equação equivalente. Nós entendemos isso

Prestemos atenção ao fato de que enquanto ODZ é executado automaticamente, e você não pode escrevê-lo, mas a condiçãog(x) ≥ 0 deve ser verificado.

Observação: Esta é uma condição de equivalência muito importante. Primeiramente, libera o aluno da necessidade de investigar e, após encontrar soluções, verificar a condição f(x) ≥ 0 - a não negatividade da expressão radical. Em segundo lugar, concentra-se em verificar a condiçãog(x) ≥ 0 são a não negatividade do lado direito. Afinal, depois do quadrado, a equação é resolvida ou seja, duas equações são resolvidas ao mesmo tempo (mas em intervalos diferentes do eixo numérico!):

1. - onde g(x)≥ 0 e

2. - onde g(x) ≤ 0.

Enquanto isso, muitos, de acordo com o hábito escolar de encontrar ODZ, fazem exatamente o oposto ao resolver tais equações:

a) verificar, após encontrar soluções, a condição f(x) ≥ 0 (que é automaticamente satisfeita), cometer erros aritméticos e obter um resultado incorreto;

b) ignore a condiçãog(x) ≥ 0 - e novamente a resposta pode estar errada.

Observação: A condição de equivalência é especialmente útil ao resolver equações trigonométricas, nas quais encontrar o ODZ está associado à resolução de desigualdades trigonométricas, o que é muito mais difícil do que resolver equações trigonométricas. Verificando em equações trigonométricas mesmo condições g(x)≥ 0 nem sempre é fácil de fazer.

Considere o segundo tipo de equações irracionais.

. Deixe a equação . Sua ODZ:

Na ODZ, ambos os lados são não negativos, e o quadrado dá a equação equivalente f(x) =g(x). Portanto, na ODZ ou

Com este método de solução, basta verificar a não negatividade de uma das funções - você pode escolher uma mais simples.

Seção 1. Métodos para resolver equações irracionais

1 método. Libertação dos radicais elevando sucessivamente ambos os lados da equação à potência natural correspondente

O método mais comumente usado para resolver equações irracionais é o método de liberação de radicais elevando sucessivamente ambas as partes da equação à potência natural correspondente. Neste caso, deve-se ter em mente que quando ambas as partes da equação são elevadas a uma potência ímpar, a equação resultante é equivalente à original, e quando ambas as partes da equação são elevadas a uma potência par, o resultado equação será, em geral, não equivalente à equação original. Isso pode ser facilmente verificado elevando ambos os lados da equação a qualquer potência par. Esta operação resulta na equação , cujo conjunto de soluções é a união de conjuntos de soluções: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. No entanto, apesar essa desvantagem, é o procedimento para elevar ambas as partes da equação a alguma potência (muitas vezes igual) que é o procedimento mais comum para reduzir uma equação irracional a uma equação racional.

Resolva a equação:

Onde são alguns polinômios. Em virtude da definição da operação de extração da raiz no conjunto de números reais, os valores admissíveis do desconhecido https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 altura=21" altura="21">..gif " largura="243" altura="28 src=">.

Como ambas as partes da 1ª equação foram elevadas ao quadrado, pode acontecer que nem todas as raízes da 2ª equação sejam soluções da equação original, é necessário verificar as raízes.

Resolva a equação:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" largura="137" altura="25">

Elevando ambos os lados da equação em um cubo, obtemos

Dado que https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(A última equação pode ter raízes que, em geral, não são raízes do equação ).

Elevamos ambos os lados desta equação a um cubo: . Reescrevemos a equação na forma x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Verificando, estabelecemos que x1 = 0 é uma raiz estranha da equação (-2 ≠ 1), e x2 = 1 satisfaz o equação original.

Responda: x = 1.

2 método. Substituindo um sistema adjacente de condições

Ao resolver equações irracionais contendo radicais de ordem par, raízes estranhas podem aparecer nas respostas, que nem sempre são fáceis de identificar. Para tornar mais fácil identificar e descartar raízes estranhas, no curso da resolução de equações irracionais, ele é imediatamente substituído por um sistema de condições adjacente. Desigualdades adicionais no sistema realmente levam em conta a ODZ da equação que está sendo resolvida. Você pode encontrar o ODZ separadamente e levá-lo em consideração mais tarde, mas é preferível usar sistemas mistos de condições: há menos perigo de esquecer algo, não levá-lo em consideração no processo de resolver a equação. Portanto, em alguns casos é mais racional usar o método de transição para sistemas mistos.

Resolva a equação:

Responda: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" largura="109 altura=27" altura="27">

Esta equação é equivalente ao sistema

Responda: a equação não tem soluções.

3 método. Usando as propriedades da raiz n

Ao resolver equações irracionais, as propriedades da raiz do enésimo grau são usadas. raiz aritmética n-º graus entre uma ligue para um número não negativo, n- i cujo grau é igual a uma. Se um n- até( 2n), então a ≥ 0, caso contrário a raiz não existe. Se um n-ímpar( 2 n+1), então a é qualquer e = - ..gif" width="45" height="19"> Então:

2.

3.

4.

5.

Aplicando qualquer uma dessas fórmulas, formalmente (sem levar em conta as restrições indicadas), deve-se ter em mente que a ODZ das partes esquerda e direita de cada uma delas pode ser diferente. Por exemplo, a expressão é definida com f ≥ 0 e g ≥ 0, e a expressão é como em f ≥ 0 e g ≥ 0, assim como f ≤ 0 e g ≤ 0.

Para cada uma das fórmulas 1-5 (sem levar em conta as restrições indicadas), a ODZ da sua parte direita pode ser maior que a ODZ da esquerda. Segue-se disso que as transformações da equação com o uso formal das fórmulas 1-5 "da esquerda para a direita" (como estão escritas) levam a uma equação que é uma consequência da original. Nesse caso, podem aparecer raízes estranhas à equação original, portanto a verificação é uma etapa obrigatória na resolução da equação original.

Transformações de equações com o uso formal das fórmulas 1-5 "da direita para a esquerda" são inaceitáveis, pois é possível julgar a ODZ da equação original e, portanto, a perda de raízes.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

que é uma consequência do original. A solução desta equação é reduzida para resolver o conjunto de equações .

Da primeira equação deste conjunto encontramos https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> de onde encontramos . Assim, as raízes de esta equação só pode ser números (-1) e (-2) A verificação mostra que ambas as raízes encontradas satisfazem esta equação.

Responda: -1,-2.

Resolva a equação: .

Solução: com base nas identidades, substitua o primeiro termo por . Observe que como a soma de dois números não negativos no lado esquerdo. “Remova” o módulo e, após trazer os termos semelhantes, resolva a equação. Como , obtemos a equação . Desde e , então https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src=" >.gif" largura="145" altura="21 src=">

Responda: x = 4,25.

4 método. Introdução de novas variáveis

Outro exemplo de solução de equações irracionais é a maneira pela qual novas variáveis ​​são introduzidas, com relação às quais se obtém uma equação irracional mais simples ou uma equação racional.

A solução de equações irracionais substituindo a equação por sua consequência (com posterior verificação das raízes) pode ser realizada da seguinte forma:

1. Encontre a ODZ da equação original.

2. Vá da equação ao seu corolário.

3. Encontre as raízes da equação resultante.

4. Verifique se as raízes encontradas são as raízes da equação original.

A verificação é a seguinte:

A) verifica-se o pertencimento de cada raiz encontrada da ODZ à equação original. Aquelas raízes que não pertencem à ODZ são estranhas à equação original.

B) para cada raiz incluída na ODZ da equação original, verifica-se se as partes esquerda e direita de cada uma das equações que surgem no processo de resolução da equação original e elevadas a uma potência par têm os mesmos sinais. Aquelas raízes para as quais partes de qualquer equação elevada a uma potência par têm sinais diferentes são estranhas à equação original.

C) apenas as raízes que pertencem à ODZ da equação original e para as quais ambas as partes de cada uma das equações que surgem no processo de resolução da equação original e elevadas a uma potência par têm os mesmos sinais são verificadas por substituição direta em a equação original.

Tal método de solução com o método de verificação indicado permite evitar cálculos complicados no caso de substituição direta de cada uma das raízes encontradas da última equação pela original.

Resolva a equação irracional:

.

O conjunto de valores admissíveis desta equação:

Colocando , após a substituição obtemos a equação

ou sua equação equivalente

que pode ser visto como uma equação quadrática para . Resolvendo esta equação, obtemos

.

Portanto, o conjunto solução da equação irracional original é a união dos conjuntos solução das duas equações a seguir:

, .

Cubra ambos os lados de cada uma dessas equações e obtemos duas equações algébricas racionais:

, .

Resolvendo essas equações, descobrimos que essa equação irracional tem uma única raiz x = 2 (não é necessária nenhuma verificação, pois todas as transformações são equivalentes).

Responda: x = 2.

Resolva a equação irracional:

Denote 2x2 + 5x - 2 = t. Então a equação original terá a forma . Ao elevar ao quadrado ambas as partes da equação resultante e trazer termos semelhantes, obtemos a equação , que é consequência da anterior. A partir dele encontramos t=16.

Voltando à incógnita x, obtemos a equação 2x2 + 5x - 2 = 16, que é uma consequência da original. Ao verificar, garantimos que suas raízes x1 \u003d 2 e x2 \u003d - 9/2 sejam as raízes da equação original.

Responda: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 método. Transformação de Equação de Identidade

Ao resolver equações irracionais, não se deve começar a resolver uma equação elevando ambas as partes das equações a uma potência natural, tentando reduzir a solução de uma equação irracional à solução de uma equação algébrica racional. Primeiro, é necessário ver se é possível fazer alguma transformação idêntica da equação, o que pode simplificar significativamente sua solução.

Resolva a equação:

O conjunto de valores válidos para esta equação: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Divida esta equação por .

.

Nós temos:

Para a = 0, a equação não terá soluções; para , a equação pode ser escrita como

para esta equação não tem soluções, pois para qualquer X, pertencente ao conjunto de valores admissíveis da equação, a expressão do lado esquerdo da equação é positiva;

quando a equação tem solução

Levando em conta que o conjunto de soluções viáveis ​​da equação é determinado pela condição , obtemos finalmente:

Ao resolver esta equação irracional, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> a solução para a equação será . Para todos os outros valores X a equação não tem soluções.

EXEMPLO 10:

Resolva a equação irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

A solução da equação quadrática do sistema fornece duas raízes: x1 \u003d 1 e x2 \u003d 4. A primeira das raízes obtidas não satisfaz a desigualdade do sistema, portanto x \u003d 4.

Notas.

1) Realizar transformações idênticas nos permite fazer sem verificação.

2) A desigualdade x - 3 ≥0 refere-se a transformações idênticas, e não ao domínio da equação.

3) Existe uma função decrescente no lado esquerdo da equação e uma função crescente no lado direito desta equação. Gráficos de funções crescentes e decrescentes na interseção de seus domínios de definição não podem ter mais do que um ponto comum. Obviamente, no nosso caso, x = 4 é a abcissa do ponto de intersecção dos gráficos.

Responda: x = 4.

6 método. Usando o domínio de definição de funções ao resolver equações

Este método é mais eficaz ao resolver equações que incluem funções https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> e encontrar suas definições de área (f)..gif" largura="53" altura="21"> .gif" largura="88" altura="21 src=">, então você precisa verificar se a equação é verdadeira nas extremidades do intervalo, além disso, se um< 0, а b >0, então é necessário verificar os intervalos (a;0) e . O menor inteiro em E(y) é 3.

Responda: x = 3.

8 método. Aplicação da derivada na resolução de equações irracionais

Na maioria das vezes, ao resolver equações usando o método derivativo, o método de estimativa é usado.

EXEMPLO 15:

Resolva a equação: (1)

Solução: Desde https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> ou (2). Considere a função ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> e, portanto, aumentando. Portanto, a equação é equivalente a uma equação que tem uma raiz que é a raiz da equação original.

Responda:

EXEMPLO 16:

Resolva a equação irracional:

O domínio de definição da função é um segmento. Vamos encontrar o maior e o menor valor do valor desta função no intervalo . Para fazer isso, encontramos a derivada da função f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Vamos encontrar os valores da função f(x) nas extremidades do segmento e no ponto: Então, Mas, e, portanto, a igualdade só é possível sob a condição https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 " height="19 src=" > A verificação mostra que o número 3 é a raiz desta equação.

Responda: x = 3.

9 método. Funcional

Nos exames, eles às vezes se oferecem para resolver equações que podem ser escritas na forma , onde é uma determinada função.

Por exemplo, algumas equações: 1) 2) . Com efeito, no primeiro caso , no segundo caso . Portanto, resolva equações irracionais usando a seguinte declaração: se uma função é estritamente crescente no conjunto X e para qualquer , então as equações, etc., são equivalentes no conjunto X .

Resolva a equação irracional: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> aumentando estritamente no set R, e https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > que tem uma única raiz Portanto, a equação equivalente (1) também tem uma única raiz

Responda: x = 3.

EXEMPLO 18:

Resolva a equação irracional: (1)

Em virtude da definição da raiz quadrada, obtemos que, se a equação (1) tiver raízes, elas pertencem ao conjunto https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" altura="47" >.(2)

Considere a função https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> aumentando estritamente neste conjunto para qualquer ..gif" width="100" altura ="41"> que tem uma única raiz Portanto, e equivalente a ela no conjunto X equação (1) tem uma única raiz

Responda: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Solução: Esta equação é equivalente a um sistema misto

Data de publicação: 2016-03-23

Pequena descrição: ...

EXEMPLOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES USANDO ALGUMAS TÉCNICAS ORIGINAIS.

1
. Solução de equações irracionais.

1. Método de substituição.

1.1.1 Resolva a equação .

Observe que os sinais de x sob o radical são diferentes. Introduzimos a notação

, .

Então,

Vamos realizar uma adição termo a termo de ambas as partes da equação.

E temos um sistema de equações

Porque a + b = 4, então

Z lê: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Resposta: x \u003d 1.

1.1.2. Resolva a equação .

Introduzimos a notação: , ; , .

Significa:

Somando termo a termo os lados esquerdo e direito das equações, temos .

E temos um sistema de equações

a + b = 2, , , ,

Voltemos ao sistema de equações:

, .

Tendo resolvido a equação para (ab), temos ab = 9, ab = -1 (-1 raiz estranha, porque , .).

Este sistema não tem soluções, o que significa que a equação original também não tem solução.

Resposta: não há soluções.

1. 1. Resolva a equação: .

Introduzimos a notação , onde . Então , .

, ,

Considere três casos:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ 1 ; 2). a = 2.

Solução: [ 1 ; 2].

Se um , então , , .

Responda: .

1.2. Método para avaliar as partes esquerda e direita (o método majorante).

O método majorant é um método para encontrar a limitação de uma função.

Majorização - encontrar os pontos de restrição da função. M é o majorante.

Se temos f(x) = g(x) e a ODZ é conhecida, e se

, , então

1. 1. Resolva a equação: .

ODZ: .

Considere o lado direito da equação.

Vamos introduzir uma função. O gráfico é uma parábola com vértice A(3 ; 2).

O menor valor da função y(3) = 2, ou seja .

Considere o lado esquerdo da equação.

Vamos introduzir uma função. Usando a derivada, é fácil encontrar o máximo de uma função que é diferenciável em x  (2 ; 4).

No ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Nós temos .

Como resultado, , então

Vamos compor um sistema de equações baseado nas condições acima:

Resolvendo a primeira equação do sistema, temos x = 3. Substituindo esse valor na segunda equação, garantimos que x = 3 é a solução do sistema.

Resposta: x = 3.

1.3. Aplicação da monotonicidade da função.

1.3.1. Resolva a equação:

Sobre DZ: , Porque  .

Sabe-se que a soma de funções crescentes é uma função crescente.

O lado esquerdo é uma função crescente. O lado direito é uma função linear (k=0). A interpretação gráfica sugere que a raiz é única. Encontramos por seleção, temos x = 1.

Prova:

Suponha que haja uma raiz x 1 maior que 1, então

Porque x 1 > 1,

.Concluímos que não existem raízes maiores que um.

Da mesma forma, pode-se provar que não existem raízes menores que um.

Então x=1 é a única raiz.

Resposta: x = 1.

1.3.2. Resolva a equação:

Sobre DZ: [ 0,5 ; + ), porque Essa. .

Vamos transformar a equação,

O lado esquerdo é uma função crescente (o produto de funções crescentes), o lado direito é uma função linear (k = 0). A interpretação geométrica mostra que a equação original deve ter uma única raiz que pode ser encontrada ajustando, x = 7.

Exame:

Pode-se provar que não existem outras raízes (veja o exemplo acima).

Resposta: x = 7.

2. Equações logarítmicas.

1. Método para estimar as partes esquerda e direita.

2.1.1. Resolva a equação: log 2 (2x-x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Vamos estimar o lado esquerdo da equação.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Em seguida, registre 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Vamos estimar o lado direito da equação.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

A equação original só pode ter solução se ambos os lados forem iguais a quatro.

Significa

Resposta: x = 1.

Para trabalho independente.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Resposta: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Resposta: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Resposta: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Resposta: x \u003d 3.

2.2. Usando a monotonicidade da função, a seleção de raízes.

2.2.1. Resolva a equação: log 2 (2x-x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Vamos fazer a mudança 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Então x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, então

log 2 t = 20 - t .

A função y = log 2 t é crescente e a função y = 20 - t é decrescente. A interpretação geométrica nos faz entender que a equação original tem uma única raiz, o que não é difícil de encontrar selecionando t = 16.

Resolvendo a equação 2x - x 2 + 15 = 16, descobrimos que x = 1.

Verificando se o valor selecionado está correto.

Resposta: x = 1.

2.3. Algumas equações logarítmicas “interessantes”.

2.3.1. Resolva a equação .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Vamos para a equação

, , ,

Vamos para a equação equivalente

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, ou cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 ou cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Vamos verificar os valores encontrados substituindo-os na ODZ.

1) se x = 15 , então (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 está errado.

x = 15 - não é a raiz da equação.

2) se x = 2  k, k Z, então (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, observe que 15  5 . Nós temos

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) se x =  + 2 l, l Z, então ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 l< 15,

2l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Temos: l< 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Resposta: x = 2 k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, - 2, ...).

3. Equações trigonométricas.

3.1. Método para estimar as partes esquerda e direita da equação.

4.1.1. Resolva a equação cos3x cos2x = -1.

Primeira forma..

0,5 (cos x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Porque porque x - 1, cos 5 x - 1, concluímos que cos x+ cos 5 x> -2, portanto

segue o sistema de equações

c os x = -1,

cos 5 x = - 1.

Resolvendo a equação cos x= -1, obtemos X=  + 2 k, onde k Z.

Esses valores X também são soluções da equação cos 5 x= -1, porque

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Nesse caminho, X=  + 2 k, onde k Z , são todas as soluções do sistema e, portanto, a equação original.

Responda: X=  (2k + 1), k Z.

A segunda maneira.

Pode-se mostrar que o conjunto de sistemas segue da equação original

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

Resolvendo cada sistema de equações, encontramos a união das raízes.

Resposta: x = (2  a + 1), k Z.

Para trabalho independente.

Resolva as equações:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sen x/2 = 7. Resposta: sem soluções.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sen x/2 = -8. Resposta: não há soluções.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Resposta: x = 2 para, k Z.

3.1.5. sen x sen 3 x = -1. Resposta: x = /2 +  para, k Z.

3.1.6. porque 8 x + pecado 7 x = 1. Resposta: x = milímetros Z; x = /2 + 2  n, n Z.

1.1 Equações irracionais

Equações irracionais são frequentemente encontradas em exames de admissão em matemática, pois com sua ajuda o conhecimento de conceitos como transformações equivalentes, domínio de definição e outros é facilmente diagnosticado. Os métodos para resolver equações irracionais, via de regra, baseiam-se na possibilidade de substituir (com a ajuda de algumas transformações) uma equação irracional por uma racional, que ou é equivalente à equação irracional original ou é sua consequência. Na maioria das vezes, ambos os lados da equação são elevados à mesma potência. A equivalência não é violada quando ambas as partes são elevadas a uma potência ímpar. Caso contrário, é necessário verificar as soluções encontradas ou estimar o sinal de ambas as partes da equação. Mas existem outros truques que podem ser mais eficazes na resolução de equações irracionais. Por exemplo, o método de substituição trigonométrica.

Exemplo 1: Resolva a Equação

Desde então . Portanto, pode-se colocar . A equação terá a forma

Vamos colocar onde, então

.

.

Responda: .

Solução Algébrica

Desde então . Significa, , para que você possa expandir o módulo

.

Responda: .

Resolver uma equação de forma algébrica requer uma boa habilidade em realizar transformações idênticas e manipulação competente de transições equivalentes. Mas, em geral, ambas as abordagens são equivalentes.

Exemplo 2: Resolva a Equação

.

Solução usando substituição trigonométrica

O domínio da equação é dado pela desigualdade , que é equivalente à condição , então . Portanto, podemos colocar . A equação terá a forma

Desde então . Vamos abrir o módulo interno

Vamos colocar , então

.

A condição é satisfeita por dois valores e .

.

.

Responda: .

Solução Algébrica

.

Vamos elevar ao quadrado a equação do primeiro sistema de conjuntos, obtemos

Vamos, então. A equação será reescrita na forma

Verificando estabelecemos que é a raiz, depois dividindo o polinômio pelo binômio obtemos a decomposição do lado direito da equação em fatores

Vamos passar de variável para variável, obtemos

.

doença satisfazer dois valores

.

Substituindo esses valores na equação original, obtemos que é a raiz.

Resolvendo a equação do segundo sistema da população original de maneira semelhante, descobrimos que ela também é uma raiz.

Responda: .

Se no exemplo anterior a solução algébrica e a solução usando substituição trigonométrica eram equivalentes, então neste caso a solução de substituição é mais lucrativa. Ao resolver uma equação por meio da álgebra, deve-se resolver um conjunto de duas equações, ou seja, elevar ao quadrado duas vezes. Após essa transformação não equivalente, são obtidas duas equações do quarto grau com coeficientes irracionais, das quais a substituição ajuda a eliminar. Outra dificuldade é a verificação das soluções encontradas por substituição na equação original.

Exemplo 3. Resolva a equação

.

Solução usando substituição trigonométrica

Desde então . Observe que um valor negativo da incógnita não pode ser uma solução para o problema. De fato, transformamos a equação original na forma

.

O fator entre colchetes no lado esquerdo da equação é positivo, o lado direito da equação também é positivo, então o fator no lado esquerdo da equação não pode ser negativo. É por isso, então, é por isso que você pode colocar A equação original será reescrita na forma

Desde , então e . A equação terá a forma

Deixar . Vamos passar da equação para o sistema equivalente

.

Os números e são as raízes da equação quadrática

.

Solução algébrica Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação

Apresentamos a substituição , então a equação será escrita na forma

A segunda raiz é redundante, então considere a equação

.

Desde então .

Neste caso, a solução algébrica é tecnicamente mais simples, mas é necessário considerar a solução acima usando uma substituição trigonométrica. Isso se deve, em primeiro lugar, à própria natureza não padronizada da própria substituição, que destrói o estereótipo de que o uso da substituição trigonométrica só é possível quando . Acontece que se a substituição trigonométrica também encontra aplicação. Em segundo lugar, há uma certa dificuldade em resolver a equação trigonométrica , que é reduzido pela introdução de uma mudança em um sistema de equações. Em certo sentido, essa substituição também pode ser considerada fora do padrão, e a familiaridade com ela permite enriquecer o arsenal de truques e métodos para resolver equações trigonométricas.

Exemplo 4. Resolva a equação

.

Solução usando substituição trigonométrica

Como uma variável pode assumir qualquer valor real, colocamos . Então

,

Porque .

A equação original, levando em conta as transformações realizadas, terá a forma

Como , dividimos ambos os lados da equação por , obtemos

Deixar , então . A equação terá a forma

.

Dada a substituição , obtemos um conjunto de duas equações

.

Vamos resolver cada equação do conjunto separadamente.

.

Não pode ser um valor de seno, como para quaisquer valores do argumento.

.

Porque e o lado direito da equação original é positivo, então . De onde se segue que .

Esta equação não tem raízes, pois .

Então a equação original tem uma única raiz

.

Solução Algébrica

Essa equação pode ser facilmente "transformada" em uma equação racional de oitavo grau, elevando ao quadrado ambas as partes da equação original. A busca pelas raízes da equação racional resultante é difícil, e um alto grau de engenhosidade é necessário para lidar com a tarefa. Portanto, é aconselhável conhecer uma forma diferente de resolver, menos tradicional. Por exemplo, a substituição proposta por I. F. Sharygin.

Vamos colocar , então

Vamos transformar o lado direito da equação :

Levando em conta as transformações, a equação tomará a forma

.

Introduzimos uma substituição, então

.

A segunda raiz é redundante, portanto, e .

Se a ideia de resolver a equação não for conhecida antecipadamente , então resolver da maneira padrão elevando ao quadrado ambas as partes da equação é problemático, pois o resultado é uma equação do oitavo grau, cujas raízes são extremamente difíceis de encontrar. A solução usando substituição trigonométrica parece complicada. Pode ser difícil encontrar as raízes da equação, se você não perceber que ela é recorrente. A solução desta equação ocorre usando o aparato de álgebra, então podemos dizer que a solução proposta é combinada. Nele, informações de álgebra e trigonometria trabalham juntas para um objetivo - obter uma solução. Além disso, a solução desta equação requer consideração cuidadosa de dois casos. A solução de substituição é tecnicamente mais simples e mais bonita do que usar uma substituição trigonométrica. É desejável que os alunos conheçam este método de substituição e o apliquem na resolução de problemas.

Ressaltamos que o uso da substituição trigonométrica para resolução de problemas deve ser consciente e justificado. É aconselhável usar a substituição nos casos em que a solução de outra forma é mais difícil ou impossível. Vamos dar mais um exemplo, que, diferentemente do anterior, é mais fácil e rápido de resolver da forma padrão.