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Um paralelepípedo é uma figura geométrica cujas 6 faces são paralelogramos.

Dependendo do tipo desses paralelogramos, os seguintes tipos de paralelepípedos são distinguidos:

• direto;
• inclinado;
• retangular.

Um paralelepípedo reto é um prisma quadrangular cujas arestas fazem um ângulo de 90° com o plano de base.

Um paralelepípedo retangular é um prisma quadrangular, cujas faces são todas retangulares. Um cubo é uma espécie de prisma quadrangular em que todas as faces e arestas são iguais.

As características de uma figura predeterminam suas propriedades. Estes incluem as seguintes 4 declarações:

Lembrar de todas as propriedades acima é simples, elas são fáceis de entender e são derivadas logicamente com base no tipo e nas características do corpo geométrico. No entanto, instruções simples podem ser incrivelmente úteis ao resolver tarefas típicas de USE e economizarão o tempo necessário para passar no teste.

Fórmulas de paralelepípedos

Para encontrar respostas para o problema, não basta conhecer apenas as propriedades da figura. Você também pode precisar de algumas fórmulas para encontrar a área e o volume de um corpo geométrico.

A área das bases também é encontrada como o indicador correspondente de um paralelogramo ou retângulo. Você mesmo pode escolher a base do paralelogramo. Como regra, ao resolver problemas, é mais fácil trabalhar com um prisma, que é baseado em um retângulo.

A fórmula para encontrar a superfície lateral de um paralelepípedo também pode ser necessária em tarefas de teste.

Exemplos de resolução de tarefas típicas de USE

Exercício 1.

Dado: um paralelepípedo com medidas de 3, 4 e 12 cm.
Necessário Encontre o comprimento de uma das principais diagonais da figura.
Solução: Qualquer solução para um problema geométrico deve começar com a construção de um desenho correto e claro, no qual será indicado “dado” e o valor desejado. A figura abaixo mostra um exemplo da formatação correta das condições da tarefa.

Tendo considerado o desenho feito e lembrando todas as propriedades de um corpo geométrico, chegamos à única maneira correta de resolvê-lo. Aplicando a propriedade 4 do paralelepípedo, obtemos a seguinte expressão:

Após cálculos simples, obtemos a expressão b2=169, portanto, b=13. A resposta para a tarefa foi encontrada, não deve demorar mais de 5 minutos para procurá-la e desenhá-la.

Nesta lição, todos poderão estudar o tópico "Caixa retangular". No início da lição, repetiremos o que são paralelepípedos arbitrários e retos, lembrando as propriedades de suas faces opostas e diagonais do paralelepípedo. Em seguida, consideraremos o que é um paralelepípedo e discutiremos suas principais propriedades.

Tópico: Perpendicularidade de linhas e planos

Lição: Cubóide

Uma superfície composta por dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quatro paralelogramos ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 é chamada paralelepípedo(Figura 1).

Arroz. 1 paralelepípedo

Ou seja: temos dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (bases), eles estão em planos paralelos de modo que as arestas laterais AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 são paralelas. Assim, uma superfície composta de paralelogramos é chamada de paralelepípedo.

Assim, a superfície de um paralelepípedo é a soma de todos os paralelogramos que compõem o paralelepípedo.

1. As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.

(os números são iguais, ou seja, podem ser combinados por sobreposição)

Por exemplo:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguais por definição),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (já que AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (já que AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo).

2. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e bissectam esse ponto.

As diagonais do paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzam em um ponto O, e cada diagonal é dividida ao meio por este ponto (Fig. 2).

Arroz. 2 As diagonais do paralelepípedo cruzam e bissectam o ponto de interseção.

3. Existem três quádruplos de arestas iguais e paralelas do paralelepípedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definição. Um paralelepípedo é dito reto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases.

Deixe a borda lateral AA 1 ser perpendicular à base (Fig. 3). Isso significa que a linha AA 1 é perpendicular às linhas AD e AB, que se encontram no plano da base. E, portanto, os retângulos estão nas faces laterais. E as bases são paralelogramos arbitrários. Denote, ∠BAD = φ, o ângulo φ pode ser qualquer.

Arroz. 3 Caixa direita

Assim, uma caixa direita é uma caixa em que as bordas laterais são perpendiculares às bases da caixa.

Definição. O paralelepípedo é chamado retangular, se suas bordas laterais são perpendiculares à base. As bases são retângulos.

O paralelepípedo АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 é retangular (Fig. 4) se:

1. AA 1 ⊥ ABCD (a aresta lateral é perpendicular ao plano da base, ou seja, um paralelepípedo reto).

2. ∠BAD = 90°, ou seja, a base é um retângulo.

Arroz. 4 Cuboide

Uma caixa retangular tem todas as propriedades de uma caixa arbitrária. Mas existem propriedades adicionais que são derivadas da definição de um paralelepípedo.

Então, cubóideé um paralelepípedo cujas arestas laterais são perpendiculares à base. A base de um paralelepípedo é um retângulo.

1. Em um paralelepípedo, todas as seis faces são retângulos.

ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 são retângulos por definição.

2. As costelas laterais são perpendiculares à base. Isso significa que todas as faces laterais de um paralelepípedo são retângulos.

3. Todos os ângulos diedros de um paralelepípedo são ângulos retos.

Considere, por exemplo, o ângulo diedro de um paralelepípedo retangular de aresta AB, ou seja, o ângulo diedro entre os planos ABB 1 e ABC.

AB é uma aresta, o ponto A 1 está em um plano - no plano ABB 1 e o ponto D no outro - no plano A 1 B 1 C 1 D 1. Então o ângulo diedro considerado também pode ser denotado da seguinte forma: ∠А 1 АВD.

Pegue o ponto A na aresta AB. AA 1 é perpendicular à aresta AB no plano ABB-1, AD é perpendicular à aresta AB no plano ABC. Assim, ∠A 1 AD é o ângulo linear do ângulo diedro dado. ∠A 1 AD \u003d 90 °, o que significa que o ângulo diedro na borda AB é de 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Prova-se similarmente que quaisquer ângulos diedros de um paralelepípedo retangular são retos.

O quadrado da diagonal de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões.

Observação. Os comprimentos das três arestas que emanam do mesmo vértice do paralelepípedo são as medidas do paralelepípedo. Eles às vezes são chamados de comprimento, largura, altura.

Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - um paralelepípedo retangular (Fig. 5).

Prove: .

Arroz. 5 Cuboide

Prova:

A linha CC 1 é perpendicular ao plano ABC e, portanto, à linha AC. Então o triângulo CC 1 A é um triângulo retângulo. De acordo com o teorema de Pitágoras:

Considere um triângulo retângulo ABC. De acordo com o teorema de Pitágoras:

Mas BC e AD são lados opostos do retângulo. Então BC = AD. Então:

Porque , uma , então. Como CC 1 = AA 1, então o que era necessário provar.

As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais.

Vamos designar as dimensões do paralelepípedo ABC como a, b, c (veja a Fig. 6), então AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Ou (equivalentemente) um poliedro com seis faces e cada uma delas - paralelogramo.

Tipos de caixa

Existem vários tipos de paralelepípedos:

• Um paralelepípedo é um paralelepípedo cujas faces são todas retângulos.
• Um paralelepípedo direito é um paralelepípedo com 4 faces laterais que são retângulos.
• Uma caixa oblíqua é uma caixa cujas faces laterais não são perpendiculares às bases.

Elementos principais

Duas faces de um paralelepípedo que não possuem uma aresta comum são chamadas opostas, e aquelas que têm uma aresta comum são chamadas adjacentes. Dois vértices de um paralelepípedo que não pertencem à mesma face são chamados opostos. O segmento de linha que liga os vértices opostos é chamado de diagonal do paralelepípedo. Os comprimentos de três arestas de um paralelepípedo que têm um vértice comum são chamados de suas dimensões.

Propriedades

• O paralelepípedo é simétrico em relação ao ponto médio de sua diagonal.
• Qualquer segmento com extremidades pertencentes à superfície do paralelepípedo e passando pelo meio de sua diagonal é dividido por ele ao meio; em particular, todas as diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o cortam ao meio.
• As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.
• O quadrado do comprimento da diagonal de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões.

Fórmulas básicas

Paralelepípedo direito

Superfície lateral S b \u003d R o * h, onde R o é o perímetro da base, h é a altura

Área total da superfície S p \u003d S b + 2S o, onde S o é a área da base

Volume V=S o *h

cubóide

Superfície lateral S b \u003d 2c (a + b), onde a, b são os lados da base, c é a borda lateral do paralelepípedo retangular

Área total da superfície S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Volume V=abc, onde a, b, c são as dimensões do paralelepípedo.

Cubo

Área de superfície: $S=6a^2$
Volume: $V=a^3$, Onde $uma$- a borda do cubo.

Caixa arbitrária

O volume e as proporções em uma caixa de inclinação geralmente são definidos usando álgebra vetorial. O volume de um paralelepípedo é igual ao valor absoluto do produto misto de três vetores definidos pelos três lados do paralelepípedo que emanam de um vértice. A razão entre os comprimentos dos lados do paralelepípedo e os ângulos entre eles dá a afirmação de que o determinante de Gram desses três vetores é igual ao quadrado de seu produto misto: 215 .

Na análise matemática

Na análise matemática, sob um paralelepípedo retangular n-dimensional $B$ entenda muitos pontos $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ Gentil $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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Notas

Links

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Um trecho caracterizando o Paralelepípedo

- On dit que les rivaux se sont reconcilia grace a l "angine ... [Dizem que os rivais se reconciliaram graças a esta doença.]
A palavra angine foi repetida com grande prazer.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [O velho conde é muito tocante, dizem. Ele chorou como uma criança quando o médico disse aquele caso perigoso.]
Oh, ce serait une perte terrible. C "est une femme ravissante. [Oh, isso seria uma grande perda. Uma mulher tão adorável.]
“Vous parlez de la pauvre comtesse”, disse Anna Pavlovna, aproximando-se. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde - disse Anna Pavlovna com um sorriso sobre seu entusiasmo. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Você está falando da pobre condessa... Eu mandei saber de sua saúde. Disseram-me que ela estava um pouco melhor. Oh, sem dúvida, esta é a mulher mais bonita do mundo. Pertencemos a campos diferentes, mas isso não me impede de respeitá-la de acordo com seus méritos. Ela está tão infeliz.] Anna Pavlovna acrescentou.
Acreditando que com essas palavras Anna Pavlovna levantou um pouco o véu de segredo sobre a doença da condessa, um jovem descuidado se permitiu expressar surpresa por não terem chamado médicos famosos, mas um charlatão que poderia dar meios perigosos estava tratando da condessa.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes", Anna Pavlovna de repente atacou com veneno o jovem inexperiente. Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Sua notícia pode ser mais precisa do que a minha... mas eu sei de boas fontes que este médico é uma pessoa muito culta e habilidosa. Este é o médico vitalício da rainha da Espanha.] - E assim destruindo o jovem, Anna Pavlovna virou-se para Bilibin, que em outro círculo, pegando a pele e, aparentemente, prestes a dissolvê-la, para dizer un mot, falou sobre os austríacos.
- Je trouve que c "est charmant! [Eu acho encantador!] - disse ele sobre um papel diplomático, sob o qual as bandeiras austríacas levadas por Wittgenstein foram enviadas para Viena, le heros de Petropol [o herói de Petrópolis] (como ele foi chamado em Petersburgo).
- Como, como é? Anna Pavlovna virou-se para ele, despertando o silêncio ao ouvir mot, que ela já sabia.
E Bilibin repetiu as seguintes palavras autênticas do despacho diplomático que compilara:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", disse Bilibin, "drapeaux amis et egares qu" il a trouve hors de la route, [O imperador envia estandartes austríacos, estandartes amigáveis ​​e equivocados que ele encontrou fora da estrada real.] - terminou Bilibin soltando a pele.
- Charmant, charmant, [Charmant, charmant,] - disse o Príncipe Vasily.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Esta é a estrada de Varsóvia, talvez.] - o príncipe Hippolyte disse alto e inesperadamente. Todos olharam para ele, sem entender o que ele queria dizer com isso. O príncipe Hippolyte também olhou em volta com surpresa alegre ao seu redor. Ele, como outros, não entendia o que as palavras que ele dizia significavam. Durante sua carreira diplomática, ele notou mais de uma vez que as palavras de repente ditas dessa maneira se tornavam muito espirituosas e, por precaução, ele disse estas palavras: "Talvez dê tudo certo", pensou ele, "mas se não sair, eles vão conseguir arranjar lá." De fato, enquanto reinava um silêncio constrangedor, aquele rosto insuficientemente patriótico, quem Anna Pavlovna e ela, sorrindo e balançando o dedo para Ippolit, convidaram o príncipe Vasily para a mesa e, trazendo-lhe duas velas e um manuscrito, pediram que ele começasse.

Definição

poliedro chamaremos uma superfície fechada composta de polígonos e delimitando alguma parte do espaço.

Os segmentos que são os lados desses polígonos são chamados costelas poliedro, e os próprios polígonos - rostos. Os vértices dos polígonos são chamados de vértices do poliedro.

Consideraremos apenas poliedros convexos (este é um poliedro que está em um lado de cada plano que contém sua face).

Os polígonos que compõem um poliedro formam sua superfície. A parte do espaço limitada por um dado poliedro é chamada de seu interior.

Definição: prisma

Considere dois polígonos iguais \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) localizados em planos paralelos para que os segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) são paralelos. Poliedro formado pelos polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , além de paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), é chamado (\(n\)-carvão) prisma.

Os polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) são chamados de bases do prisma, paralelogramo \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces laterais, segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costelas laterais.
Assim, as arestas laterais do prisma são paralelas e iguais entre si.

Considere um exemplo - um prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), cuja base é um pentágono convexo.

Altura Um prisma é uma perpendicular de qualquer ponto de uma base ao plano de outra base.

Se as arestas laterais não são perpendiculares à base, esse prisma é chamado oblíquo(Fig. 1), caso contrário - direto. Para um prisma reto, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos iguais.

Se um polígono regular está na base de um prisma reto, então o prisma é chamado correto.

Definição: conceito de volume

A unidade de volume é um cubo unitário (cubo com dimensões \(1\times1\times1\) units\(^3\) , onde unidade é alguma unidade de medida).

Podemos dizer que o volume de um poliedro é a quantidade de espaço que esse poliedro limita. Caso contrário: é um valor cujo valor numérico indica quantas vezes um cubo unitário e suas partes cabem em um determinado poliedro.

O volume tem as mesmas propriedades que a área:

1. Os volumes de números iguais são iguais.

2. Se um poliedro é composto por vários poliedros que não se cruzam, então seu volume é igual à soma dos volumes desses poliedros.

3. O volume é um valor não negativo.

4. O volume é medido em cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) (metros cúbicos), etc.

Teorema

1. A área da superfície lateral do prisma é igual ao produto do perímetro da base e a altura do prisma.
A área de superfície lateral é a soma das áreas das faces laterais do prisma.

2. O volume do prisma é igual ao produto da área da base pela altura do prisma: \

Definição: caixa

ParalelepípedoÉ um prisma cuja base é um paralelogramo.

Todas as faces do paralelepípedo (suas faces laterais \(6\) : \(4\) e bases \(2\)) são paralelogramos, e as faces opostas (paralelas entre si) são paralelogramos iguais (Fig. 2).

Diagonal da caixaé um segmento que liga dois vértices de um paralelepípedo que não se encontram na mesma face (seu \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).

cubóideé um paralelepípedo reto com um retângulo na base.
Porque é um paralelepípedo reto, então as faces laterais são retângulos. Assim, em geral, todas as faces de um paralelepípedo retangular são retângulos.

Todas as diagonais de um paralelepípedo são iguais (isso decorre da igualdade dos triângulos \(\triângulo ACC_1=\triângulo AA_1C=\triângulo BDD_1=\triângulo BB_1D\) etc.).

Comente

Assim, o paralelepípedo tem todas as propriedades de um prisma.

Teorema

A área da superfície lateral de um paralelepípedo retangular é igual a \

A área total da superfície de um paralelepípedo retangular é \

Teorema

O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de três de suas arestas saindo de um vértice (três dimensões de um paralelepípedo): \

Prova

Porque para um paralelepípedo retangular, as arestas laterais são perpendiculares à base, então também são suas alturas, ou seja, \(h=AA_1=c\) a base é um retângulo \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). É daí que vem a fórmula.

Teorema

A diagonal \(d\) de um paralelepípedo é procurada pela fórmula (onde \(a,b,c\) são as dimensões do paralelepípedo)\

Prova

Considere a Fig. 3. Porque a base é um retângulo, então \(\triangle ABD\) é retangular, portanto, pelo teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Porque todas as arestas laterais são perpendiculares às bases, então \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular a qualquer linha neste plano, ou seja, \(BB_1\perp BD\) . Então \(\triangle BB_1D\) é retangular. Então pelo teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.

Definição: cubo

Cuboé um paralelepípedo retangular, cujos lados são quadrados iguais.

Assim, as três dimensões são iguais entre si: \(a=b=c\) . Então as seguintes são verdadeiras

Teoremas

1. O volume de um cubo com aresta \(a\) é \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. A diagonal do cubo é pesquisada pela fórmula \(d=a\sqrt3\) .

3. Área total da superfície de um cubo \(S_(\text(iterações completas do cubo))=6a^2\).