Dispersão (dispersão) de uma variável aleatória discreta D(X) é a expectativa matemática do desvio quadrado de uma variável aleatória de sua expectativa matemática
1 propriedade. A dispersão da constante C é zero; D(C) = 0.
Prova. Por definição de variância, D(C) = M(2).
Da primeira propriedade da expectativa D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0.
2 propriedade. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:
D(CX) = C 2 D(X)
Prova. Por definição de variância, D(CX) = M(2)
Da segunda propriedade de expectativa D(CX)=M( 2 )= C 2 M( 2 )=C 2 D(X)
3 propriedade. A variância da soma de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma das variâncias dessas variáveis:
D = D[X] + D.
Prova. De acordo com a fórmula para calcular a variância, temos
D(X + Y) = M[(X + Y) 2 ] − 2
Abrindo os parênteses e usando as propriedades da esperança matemática da soma de várias quantidades e o produto de duas variáveis aleatórias independentes, obtemos
D(X + Y) = M − 2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = ( M(X2) − 2)+(M(Y2) − 2) = D(X) + D(Y). Então D(X + Y) = D(X) + D(Y)
4 propriedades. A variância da diferença de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias:
D(X − Y) = D(X) + D(Y)
Prova. Em virtude da terceira propriedade, D(X − Y) = D(X) + D(–Y). Pela segunda propriedade
D(X − Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) ou D(X − Y) = D(X) + D(Y)
Características numéricas de sistemas de variáveis aleatórias. Coeficiente de correlação, propriedades do coeficiente de correlação.
momento de correlação. A característica da dependência entre variáveis aleatórias é a expectativa matemática do produto dos desvios e de seus centros de distribuição (como às vezes é chamada a expectativa matemática de uma variável aleatória), que é chamada de momento de correlação ou covariância:
Para calcular o momento de correlação de valores discretos, é utilizada a seguinte fórmula:
e para quantidades contínuas - a fórmula:
Coeficiente de correlação rxy das variáveis aleatórias X e Y é a razão do momento de correlação para o produto dos desvios padrão dos valores:
- coeficiente de correlação;
Propriedades do coeficiente de correlação:
1. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então r = 0;
2. -1≤ r ≤1 Além disso, se |r| =1, então entre X e Y é um funcional, ou seja, uma relação linear;
3. r caracteriza o valor relativo do desvio de M(XY) de M(X)M(Y), e desde o desvio ocorre apenas para quantidades dependentes, então r caracteriza a rigidez da dependência.
Função de regressão linear.
Considere uma variável aleatória bidimensional (X, Y), onde X e Y são variáveis aleatórias dependentes. Representamos uma das quantidades em função da outra. Limitamo-nos a uma representação aproximada (aproximação exata, em geral, é impossível) de Y como uma função linear de X:
onde α e β são parâmetros a serem determinados.
Teorema. Regressão quadrada média linear Y em X tem a forma
Onde m x =M(X), m y =M(Y), σ x =√D(X), σ y =√D(Y), r=µ xy /(σ x σ y)- coeficiente de correlação dos valores de X e Y.
O coeficiente β=rσ y /σ x é chamado Coeficiente de regressão Y a X, e uma linha reta
chamado direto regressão quadrada média
Y a X.
Desigualdade de Markov.
Declaração da desigualdade de Markov
Se não houver valores negativos da variável aleatória X, a probabilidade de que ela assuma algum valor que exceda o número positivo A não é mais do que uma fração, ou seja,
e a probabilidade de assumir algum valor que não exceda um número positivo A não é menor que , ou seja.
A desigualdade de Chebyshev.
A desigualdade de Chebyshev. A probabilidade de que o desvio de uma variável aleatória X de sua expectativa matemática em valor absoluto seja menor que um número positivo ε, não menor que 1 −D[X]ε 2
P(|X – M(X)|< ε) ≥ 1 –D(X)ε 2
Prova. Uma vez que os eventos que consistem na realização de desigualdades
P(|X−M(X)|< ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
P(|X – M(X)|< ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.
Daí a probabilidade em que estamos interessados
P(|X – M(X)|< ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).
Assim, o problema se reduz ao cálculo da probabilidade P(|X –M(X)| ≥ ε).
Vamos escrever uma expressão para a variância da variável aleatória X
D(X) = 2p1 + 2p2 + . . . + 2pn
Todos os termos desta soma são não negativos. Descartamos os termos para os quais |x i – M(X)|< ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
D(X) ≥ 2 p k+1 + 2 p k+2 + . . . + 2pn
Ambas as partes da desigualdade |x j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) são positivos, portanto, elevando-os ao quadrado, obtemos a desigualdade equivalente |x j – M(X)| 2 ≥ε 2. Substituindo cada um dos fatores na soma restante
|xj – M(X)| 2 pelo número ε 2 (neste caso, a desigualdade só pode aumentar), obtemos
D(X) ≥ ε 2 (p k+1 + p k+2 + . . . + p n)
Pelo teorema da adição, a soma das probabilidades é p k+1 +p k+2 +. . .+p n é a probabilidade de X levar um, não importa qual, dos valores x k+1 +x k+2 +. . .+x n , e para qualquer um deles o desvio satisfaz a desigualdade |x j – M(X)| ≥ ε. Segue-se que a soma p k+1 + p k+2 + . . . + p n expressa a probabilidade
P(|X – M(X)| ≥ ε).
Isso nos permite reescrever a desigualdade para D(X) como
D(X) ≥ ε 2 P(|X – M(X)| ≥ ε)
P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε 2
Finalmente obtemos
P(|X – M(X)|< ε) ≥D(X)/ε 2
Teorema de Chebyshev.
Teorema de Chebyshev. Se um - variáveis aleatórias independentes aos pares, e suas variâncias são uniformemente limitadas (não exceda um número constante A PARTIR DE ), então não importa quão pequeno seja o número positivoε , a probabilidade de desigualdade
será arbitrariamente próximo da unidade se o número de variáveis aleatórias for grande o suficiente.
Em outras palavras, nas condições do teorema
Prova. Vamos introduzir em consideração uma nova variável aleatória - a média aritmética das variáveis aleatórias
Vamos encontrar a esperança matemática X. Usando as propriedades da esperança matemática (um fator constante pode ser retirado do sinal da esperança matemática, a esperança matemática da soma é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos) , nós obtemos
| (1) |
Aplicando a desigualdade de Chebyshev a X, temos
ou, tendo em conta a relação (1)
Usando as propriedades da variância (o fator constante pode ser retirado do sinal de variância elevando-o ao quadrado; a variância da soma das variáveis aleatórias independentes é igual à soma das variâncias dos termos), obtemos
Pela condição, as dispersões de todas as variáveis aleatórias são limitadas por um número constante C, ou seja, existem desigualdades:
 (2)
|
Substituindo o lado direito de (2) na desigualdade (1) (por que o último só pode ser reforçado), temos
Assim, passando para o limite como n→∞, obtemos
Finalmente, dado que a probabilidade não pode exceder um, podemos finalmente escrever
O teorema foi provado.
Teorema de Bernoulli.
Teorema de Bernoulli. Se em cada uma das n tentativas independentes a probabilidade p da ocorrência do evento A for constante, então a probabilidade é arbitrariamente próxima da unidade de que o desvio da frequência relativa da probabilidade p em valor absoluto será arbitrariamente pequeno se o número de tentativas é grande o suficiente.
Em outras palavras, se ε é um número positivo arbitrariamente pequeno, então sob as condições do teorema temos a igualdade
Prova. Denotado por x1 variável aleatória discreta - o número de ocorrências do evento no primeiro teste, através x2- no segundo, ..., Xn- dentro nº teste. É claro que cada uma das quantidades pode assumir apenas dois valores: 1 (o evento A ocorreu) com a probabilidade p e 0 (o evento não ocorreu) com probabilidade .
Tópico 8.12. Dispersão de uma variável aleatória.
O. A variância de uma variável aleatória é a expectativa matemática do desvio quadrado de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.
A dispersão caracteriza o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória em relação à sua expectativa matemática. Se todos os valores de uma variável aleatória estiverem intimamente concentrados em torno de sua expectativa matemática e grandes desvios da expectativa matemática forem improváveis, essa variável aleatória terá uma pequena dispersão. Se os valores de uma variável aleatória estiverem dispersos e a probabilidade de grandes desvios da expectativa matemática for alta, essa variável aleatória terá uma grande dispersão.
Usando a definição de variância, para uma variável aleatória discreta, a fórmula para calcular a variância pode ser representada da seguinte forma:
Você pode derivar outra fórmula para calcular a variação:
Assim, a variância de uma variável aleatória é igual à diferença entre a expectativa matemática do quadrado da variável aleatória e o quadrado de sua expectativa matemática.
Propriedades de dispersão.
Deixamos esta propriedade sem provas.
Lei de distribuição binomial.
Sejam dados números n pertence N e p(0 <p< 1). Então, a cada inteiro do intervalo pode ser atribuída uma probabilidade calculada usando a fórmula de Bernoulli. Vamos pegar a lei de distribuição de uma variável aleatória (vamos chamá-la de B(betta))
Diremos que a variável aleatória é distribuída de acordo com a lei de Bernoulli. Tal variável aleatória é a frequência de ocorrência do evento A em n repetidas tentativas independentes, se em cada tentativa o evento A ocorrer com probabilidade p.
Considere um separado eu- e teste. O espaço de resultados elementares para ele tem a forma
A lei de distribuição de uma variável aleatória foi considerada no tópico anterior
Por eu= 1,2, ... , n obtemos o sistema de n variáveis aleatórias independentes com as mesmas leis de distribuição. 
Exemplo.
Das 20 amostras de produtos selecionadas para controle, 4 revelaram-se fora do padrão. Vamos estimar a probabilidade de que uma cópia selecionada aleatoriamente do produto não atenda ao padrão pela razão R*= 4/20 = 0,2.
Porque X valor aleatório, R* também é uma variável aleatória. Valores R* pode variar de um experimento para outro (no caso em questão, o experimento é uma seleção aleatória e controle de 20 produtos). Qual é a esperança matemática R*? Porque o Xé uma variável aleatória que representa o número de sucessos em n teste de Bernoulli, M( x) = np. Para a esperança matemática de uma variável aleatória R* por definição temos: M(p*) = M(x/n), mas n aqui é uma constante, então pela propriedade de expectativa
M(p*) = 1/n*M(x)=1/n np=p
Assim, “média” é o verdadeiro valor R, o que é de se esperar. Esta é a propriedade de avaliação R* quantidades R tem o nome: R*é imparcial avaliação para R. Nenhum desvio sistemático do valor do parâmetro estimado R confirma a viabilidade de utilização do valor R* como estimativa. Deixamos a questão da precisão da estimativa em aberto por enquanto.
A expectativa matemática e a variância são as características numéricas mais comumente usadas de uma variável aleatória. Eles caracterizam as características mais importantes da distribuição: sua posição e grau de dispersão. Em muitos problemas da prática, uma descrição completa e exaustiva de uma variável aleatória - a lei da distribuição - ou não pode ser obtida ou não é necessária. Nesses casos, limitam-se a uma descrição aproximada de uma variável aleatória usando características numéricas.
A expectativa matemática é muitas vezes referida simplesmente como o valor médio de uma variável aleatória. A dispersão de uma variável aleatória é uma característica da dispersão, dispersão de uma variável aleatória em torno de sua expectativa matemática.
Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta
Vamos abordar o conceito de expectativa matemática, primeiro partindo da interpretação mecânica da distribuição de uma variável aleatória discreta. Deixe a unidade de massa ser distribuída entre os pontos do eixo x x1 , x 2 , ..., x n, e cada ponto material tem uma massa correspondente a ele de p1 , p 2 , ..., p n. É necessário escolher um ponto no eixo x, que caracteriza a posição de todo o sistema de pontos materiais, levando em consideração suas massas. É natural tomar o centro de massa do sistema de pontos materiais como tal ponto. Esta é a média ponderada da variável aleatória X, em que a abcissa de cada ponto xeu entra com um "peso" igual à probabilidade correspondente. O valor médio da variável aleatória assim obtida Xé chamada de esperança matemática.
A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de todos os seus valores possíveis e as probabilidades desses valores:
Exemplo 1 Organizou uma loteria ganha-ganha. Existem 1000 ganhos, 400 dos quais são 10 rublos cada. 300 - 20 rublos cada 200 - 100 rublos cada. e 100 - 200 rublos cada. Qual é a média de ganhos para uma pessoa que compra um bilhete?
Solução. Encontraremos o ganho médio se o valor total dos ganhos, que é igual a 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rublos, for dividido por 1000 (o valor total dos ganhos). Então obtemos 50000/1000 = 50 rublos. Mas a expressão para calcular o ganho médio também pode ser representada da seguinte forma:
Por outro lado, nessas condições, a quantidade de ganhos é uma variável aleatória que pode assumir os valores de 10, 20, 100 e 200 rublos. com probabilidades iguais a 0,4, respectivamente; 0,3; 0,2; 0,1. Portanto, o payoff médio esperado é igual à soma dos produtos do tamanho dos payoffs e a probabilidade de recebê-los.
Exemplo 2 A editora decidiu publicar um novo livro. Ele vai vender o livro por 280 rublos, dos quais 200 serão entregues a ele, 50 à livraria e 30 ao autor. A tabela fornece informações sobre o custo de publicação de um livro e a probabilidade de venda de um determinado número de exemplares do livro.
Encontre o lucro esperado do editor.
Solução. A variável aleatória "lucro" é igual à diferença entre a receita da venda e o custo dos custos. Por exemplo, se 500 cópias de um livro forem vendidas, a receita da venda será de 200 * 500 = 100.000 e o custo de publicação será de 225.000 rublos. Assim, a editora enfrenta uma perda de 125.000 rublos. A tabela a seguir resume os valores esperados da variável aleatória - lucro:
| Número | Lucro xeu | Probabilidade peu | xeu p eu |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Assim, obtemos a expectativa matemática do lucro da editora:
.
Exemplo 3 Chance de acertar com um tiro p= 0,2. Determine o consumo de projéteis que fornecem a expectativa matemática do número de acertos igual a 5.
Solução. Da mesma fórmula de expectativa que usamos até agora, expressamos x- consumo de conchas:
.
Exemplo 4 Determine a expectativa matemática de uma variável aleatória x número de acertos com três tiros, se a probabilidade de acertar com cada tiro p = 0,4 .
Dica: encontre a probabilidade dos valores de uma variável aleatória por Fórmula de Bernoulli .
Propriedades da expectativa
Considere as propriedades da esperança matemática.
Propriedade 1. A expectativa matemática de um valor constante é igual a esta constante:
Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal de expectativa:
Propriedade 3. A expectativa matemática da soma (diferença) de variáveis aleatórias é igual à soma (diferença) de suas expectativas matemáticas:
Propriedade 4. A expectativa matemática do produto de variáveis aleatórias é igual ao produto de suas expectativas matemáticas:
Propriedade 5. Se todos os valores da variável aleatória X diminuir (aumentar) pelo mesmo número A PARTIR DE, então sua expectativa matemática diminuirá (aumentará) pelo mesmo número:
Quando você não pode se limitar apenas à expectativa matemática
Na maioria dos casos, apenas a expectativa matemática não pode caracterizar adequadamente uma variável aleatória.
Deixe variáveis aleatórias X e S são dadas pelas seguintes leis de distribuição:
| Significado X | Probabilidade |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Significado S | Probabilidade |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
As expectativas matemáticas dessas quantidades são as mesmas - iguais a zero:
No entanto, sua distribuição é diferente. Valor aleatório X só pode assumir valores que são um pouco diferentes da expectativa matemática, e a variável aleatória S pode assumir valores que se desviam significativamente da expectativa matemática. Um exemplo semelhante: o salário médio não permite julgar a proporção de trabalhadores com altos e baixos salários. Em outras palavras, pela expectativa matemática não se pode julgar quais desvios dela, pelo menos em média, são possíveis. Para fazer isso, você precisa encontrar a variância de uma variável aleatória.
Dispersão de uma variável aleatória discreta
dispersão variável aleatória discreta Xé chamado a esperança matemática do quadrado de seu desvio da esperança matemática:
O desvio padrão de uma variável aleatória Xé o valor aritmético da raiz quadrada de sua variância:
.
Exemplo 5 Calcular variâncias e desvios padrão de variáveis aleatórias X e S, cujas leis de distribuição são dadas nas tabelas acima.
Solução. Expectativas matemáticas de variáveis aleatórias X e S, como encontrado acima, são iguais a zero. De acordo com a fórmula de dispersão para E(X)=E(y)=0 obtemos:
Então os desvios padrão das variáveis aleatórias X e S constituir
.
Assim, com as mesmas expectativas matemáticas, a variância da variável aleatória X muito pequeno e aleatório S- significativo. Esta é uma consequência da diferença na sua distribuição.
Exemplo 6 O investidor tem 4 projetos alternativos de investimento. A tabela resume os dados sobre o lucro esperado nesses projetos com a probabilidade correspondente.
| Projeto 1 | Projeto 2 | Projeto 3 | Projeto 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Encontre para cada alternativa a expectativa matemática, variância e desvio padrão.
Solução. Vamos mostrar como essas quantidades são calculadas para a 3ª alternativa:
A tabela resume os valores encontrados para todas as alternativas.
Todas as alternativas têm a mesma expectativa matemática. Isso significa que, a longo prazo, todos têm a mesma renda. O desvio padrão pode ser interpretado como uma medida de risco - quanto maior, maior o risco do investimento. Um investidor que não quer muito risco escolherá o projeto 1 porque tem o menor desvio padrão (0). Se o investidor preferir risco e altos retornos em um curto período, ele escolherá o projeto com o maior desvio padrão - projeto 4.
Propriedades de dispersão
Vamos apresentar as propriedades da dispersão.
Propriedade 1. A dispersão de um valor constante é zero:
Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:
.
Propriedade 3. A variância de uma variável aleatória é igual à expectativa matemática do quadrado desse valor, do qual é subtraído o quadrado da expectativa matemática do próprio valor:
,
Onde 
.
Propriedade 4. A variância da soma (diferença) de variáveis aleatórias é igual à soma (diferença) de suas variâncias:
Exemplo 7 Sabe-se que uma variável aleatória discreta X assume apenas dois valores: −3 e 7. Além disso, a expectativa matemática é conhecida: E(X) = 4 . Encontre a variância de uma variável aleatória discreta.
Solução. Denotado por p a probabilidade com que uma variável aleatória assume um valor x1 = −3 . Então a probabilidade do valor x2 = 7 será 1 - p. Vamos derivar a equação para a esperança matemática:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
onde obtemos as probabilidades: p= 0,3 e 1 − p = 0,7 .
A lei da distribuição de uma variável aleatória:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculamos a variância dessa variável aleatória usando a fórmula da propriedade 3 da variância:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Encontre você mesmo a expectativa matemática de uma variável aleatória e, em seguida, veja a solução
Exemplo 8 Variável aleatória discreta X assume apenas dois valores. Leva o maior valor de 3 com uma probabilidade de 0,4. Além disso, a variância da variável aleatória é conhecida D(X) = 6 . Encontre a esperança matemática de uma variável aleatória.
Exemplo 9 Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas. 3 bolas são retiradas da urna. O número de bolas brancas entre as bolas sorteadas é uma variável aleatória discreta X. Encontre a expectativa matemática e a variância dessa variável aleatória.
Solução. Valor aleatório X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3. As probabilidades correspondentes podem ser calculadas a partir regra de multiplicação de probabilidades. A lei da distribuição de uma variável aleatória:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Daí a expectativa matemática desta variável aleatória:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
A variância de uma determinada variável aleatória é:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Expectativa matemática e dispersão de uma variável aleatória contínua
Para uma variável aleatória contínua, a interpretação mecânica da expectativa matemática manterá o mesmo significado: o centro de massa para uma unidade de massa distribuída continuamente no eixo x com densidade f(x). Em contraste com uma variável aleatória discreta, para a qual o argumento da função xeu muda abruptamente, para uma variável aleatória contínua, o argumento muda continuamente. Mas a expectativa matemática de uma variável aleatória contínua também está relacionada ao seu valor médio.
Para encontrar a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória contínua, você precisa encontrar integrais definidas . Se uma função densidade de uma variável aleatória contínua é fornecida, ela entra diretamente no integrando. Se uma função de distribuição de probabilidade é fornecida, então, diferenciando-a, você precisa encontrar a função de densidade.
A média aritmética de todos os valores possíveis de uma variável aleatória contínua é chamada de expectativa matemática, denotado por ou .
No anterior, demos uma série de fórmulas que nos permitem encontrar as características numéricas das funções quando as leis de distribuição de argumentos são conhecidas. Entretanto, em muitos casos, para encontrar as características numéricas das funções, nem é necessário conhecer as leis de distribuição dos argumentos, mas basta conhecer apenas algumas de suas características numéricas; neste caso, dispensamos qualquer lei de distribuição. A determinação das características numéricas das funções por determinadas características numéricas dos argumentos é amplamente utilizada na teoria das probabilidades e permite simplificar significativamente a solução de vários problemas. Na maioria dos casos, esses métodos simplificados referem-se a funções lineares; no entanto, algumas funções não lineares elementares também permitem essa abordagem.
No presente, apresentamos uma série de teoremas sobre as características numéricas das funções, que em sua totalidade representam um aparato muito simples para o cálculo dessas características, aplicáveis em uma ampla gama de condições.
1. Expectativa matemática de uma variável não aleatória
A propriedade declarada é bastante óbvia; pode ser provado considerando uma variável não aleatória como um tipo particular de uma variável aleatória, com um valor possível com probabilidade de um; então de acordo com a fórmula geral para a esperança matemática:
.
2. Dispersão de uma variável não aleatória
Se é um valor não aleatório, então
3. Remoção de uma variável não aleatória além do sinal de expectativa matemática
, (10.2.1)
ou seja, um valor não aleatório pode ser retirado do sinal de expectativa.
Prova.
a) Para quantidades descontínuas
b) Para quantidades contínuas
.
4. Remoção de um valor não aleatório para o sinal da variância e desvio padrão
Se é uma variável não aleatória e é aleatória, então
, (10.2.2)
i.e., um valor não aleatório pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado.
Prova. Por definição de variância
Consequência
,
ou seja, um valor não aleatório pode ser retirado do sinal do desvio padrão pelo seu valor absoluto. Obtemos a prova extraindo a raiz quadrada da fórmula (10.2.2) e levando em conta que o r.s.c. é um valor essencialmente positivo.
5. Expectativa matemática da soma de variáveis aleatórias
Vamos provar que para quaisquer duas variáveis aleatórias e
ou seja, a expectativa matemática da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas.
Esta propriedade é conhecida como o teorema da adição da expectativa.
Prova.
a) Seja um sistema de variáveis aleatórias descontínuas. Vamos aplicar à soma de variáveis aleatórias a fórmula geral (10.1.6) para a esperança matemática de uma função de dois argumentos:
.
Ho nada mais é do que a probabilidade total de que o valor assumirá o valor:
;
Consequentemente,
.
De maneira análoga, provaremos que
,
e o teorema está provado.
b) Seja um sistema de variáveis aleatórias contínuas. De acordo com a fórmula (10.1.7)
. (10.2.4)
Transformamos a primeira das integrais (10.2.4):
;
Da mesma forma
,
e o teorema está provado.
Deve-se notar especialmente que o teorema da adição de expectativas matemáticas é válido para quaisquer variáveis aleatórias - dependentes e independentes.
O teorema da adição de expectativa pode ser generalizado para um número arbitrário de termos:
, (10.2.5)
ou seja, a expectativa matemática da soma de várias variáveis aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas.
Para prová-lo, basta aplicar o método da indução completa.
6. Expectativa matemática de uma função linear
Considere uma função linear de vários argumentos aleatórios:
onde são coeficientes não aleatórios. Vamos provar isso
, (10.2.6)
ou seja, a média de uma função linear é igual à mesma função linear da média dos argumentos.
Prova. Usando o teorema da adição m.o. e a regra de tirar uma variável não aleatória do sinal m.o., obtemos:
.
7. Exibiçãoepesta soma de variáveis aleatórias
A variância da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma de suas variâncias mais o dobro do momento de correlação:
Prova. Indicar
De acordo com o teorema da adição de expectativas matemáticas
Vamos passar de variáveis aleatórias para as variáveis centradas correspondentes. Subtraindo termo por termo da igualdade (10.2.8) igualdade (10.2.9), temos:
Por definição de variância
Q.E.D.
A fórmula (10.2.7) para a variação da soma pode ser generalizada para qualquer número de termos:
,
(10.2.10)
onde é o momento de correlação dos valores, o sinal abaixo da soma significa que a soma se aplica a todas as combinações possíveis de variáveis aleatórias 
.
A prova é semelhante à anterior e segue da fórmula do quadrado de um polinômio.
A fórmula (10.2.10) pode ser escrita de outra forma:
, (10.2.11)
onde a soma dupla se estende a todos os elementos da matriz de correlação do sistema de quantidades , contendo momentos de correlação e variâncias.
Se todas as variáveis aleatórias , incluídos no sistema, não são correlacionados (ou seja, em ), a fórmula (10.2.10) assume a forma:
, (10.2.12)
ou seja, a variância da soma das variáveis aleatórias não correlacionadas é igual à soma das variâncias dos termos.
Esta proposição é conhecida como o teorema da adição de variância.
8. Dispersão de uma função linear
Considere uma função linear de várias variáveis aleatórias.
onde são variáveis não aleatórias.
Vamos provar que a dispersão desta função linear é expressa pela fórmula
, (10.2.13)
onde é o momento de correlação das grandezas , .
Prova. Vamos introduzir a notação:
. (10.2.14)
Aplicando a fórmula (10.2.10) para a variância da soma ao lado direito da expressão (10.2.14) e levando em consideração que , obtemos:
onde é o momento de correlação das grandezas:
.
Vamos calcular este momento. Nós temos:
;
Da mesma forma
Substituindo esta expressão em (10.2.15), chegamos à fórmula (10.2.13).
No caso particular em que todas as quantidades não correlacionada, a fórmula (10.2.13) assume a forma:
, (10.2.16)
ou seja, a variância de uma função linear de variáveis aleatórias não correlacionadas é igual à soma dos produtos dos quadrados dos coeficientes e as variâncias dos argumentos correspondentes.
9. Expectativa matemática do produto de variáveis aleatórias
A expectativa matemática do produto de duas variáveis aleatórias é igual ao produto de suas expectativas matemáticas mais o momento de correlação:
Prova. Vamos proceder da definição do momento de correlação:
Transformamos essa expressão usando as propriedades da esperança matemática:
que é obviamente equivalente à fórmula (10.2.17).
Se as variáveis aleatórias não são correlacionadas, então a fórmula (10.2.17) assume a forma:
ou seja, a média do produto de duas variáveis aleatórias não correlacionadas é igual ao produto de sua média.
Esta afirmação é conhecida como o teorema da multiplicação da expectativa.
A fórmula (10.2.17) nada mais é do que uma expressão do segundo momento central misto do sistema em termos do segundo momento inicial misto e expectativas matemáticas:
. (10.2.19)
Essa expressão é frequentemente usada na prática ao calcular o momento de correlação da mesma forma que para uma variável aleatória a variância é frequentemente calculada através do segundo momento inicial e da expectativa matemática.
O teorema da multiplicação da expectativa também pode ser generalizado para um número arbitrário de fatores, só que neste caso para sua aplicação não basta que as quantidades não sejam correlacionadas, mas é necessário que alguns momentos mistos mais altos também desapareçam, cujo número depende de o número de termos no produto. Estas condições são certamente satisfeitas se as variáveis aleatórias incluídas no produto forem independentes. Nesse caso
, (10.2.20)
ou seja, a expectativa matemática do produto de variáveis aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas.
Esta proposição pode ser facilmente provada por indução completa.
10. Dispersão do produto de variáveis aleatórias independentes
Vamos provar que para variáveis independentes
Prova. Vamos denotar. Por definição de variância
Como as quantidades são independentes, e
Para independentes, as quantidades também são independentes; Consequentemente,
,
Mas não há nada mais do que o segundo momento inicial da quantidade , e, portanto, é expresso em termos de variância:
;
Da mesma forma
.
Substituindo essas expressões na fórmula (10.2.22) e trazendo termos semelhantes, chegamos à fórmula (10.2.21).
No caso em que se multiplicam variáveis aleatórias centradas (valores com expectativas matemáticas iguais a zero), a fórmula (10.2.21) assume a forma:
, (10.2.23)
ou seja, a variância do produto de variáveis aleatórias independentes centradas é igual ao produto de suas variâncias.
11. Momentos superiores da soma das variáveis aleatórias
Em alguns casos é necessário calcular os momentos mais altos da soma das variáveis aleatórias independentes. Vamos provar algumas relações relacionadas.
1) Se as quantidades são independentes, então
Prova.
de onde pelo teorema da multiplicação da expectativa
Mas o primeiro momento central para qualquer quantidade é zero; dois termos médios desaparecem e a fórmula (10.2.24) é provada.
A relação (10.2.24) pode ser facilmente generalizada por indução para um número arbitrário de termos independentes:
. (10.2.25)
2) O quarto momento central da soma de duas variáveis aleatórias independentes é expresso pela fórmula
onde são as dispersões de e .
A prova é exatamente a mesma que a anterior.
Usando o método de indução completa, é fácil provar a generalização da fórmula (10.2.26) para um número arbitrário de termos independentes.
Dispersão de uma variável aleatória e suas propriedades.
Muitas variáveis aleatórias têm a mesma expectativa matemática, mas diferentes valores possíveis. Portanto, uma expectativa matemática não é suficiente para caracterizar uma variável aleatória.
Deixe a renda X e S(em dólares) de duas empresas são dadas por distribuições:
Às vezes é conveniente usar outra fórmula, que pode ser obtida usando as propriedades da esperança matemática,
A dispersão existe se a série (respectivamente, a integral) converge.
Número não negativo 
chamado desvio padrão variável aleatória X. Tem a dimensão de uma variável aleatória X e define algum intervalo de dispersão rms padrão, simétrico em relação à expectativa matemática. O valor às vezes é chamado de desvio padrão.
A variável aleatória é chamada centrado, E se . A variável aleatória é chamada normalizado(padrão) se .
Vamos continuar o exemplo. Calcule a variância da renda de duas empresas:
Comparando a variância, vemos que a renda da segunda empresa varia mais do que a primeira.
Propriedades de dispersão.
1. A dispersão de um valor constante é igual a zero, ou seja, , E se constante. Isso é óbvio, uma vez que o valor constante tem uma expectativa matemática igual ao valor constante, ou seja, .
2. Multiplicador constante C pode ser retirado do sinal de dispersão, primeiro quadrando-o.
Sério,
3. A variância da soma algébrica de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma de suas variâncias, ou seja,
A expressão é chamada covariância de X e Y(ver Tópico 4, §2). Para variáveis aleatórias independentes, a covariância é zero, ou seja,
Usando essa igualdade, você pode adicionar à lista de propriedades da expectativa matemática. Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então a esperança matemática do produto é igual ao produto das expectativas matemáticas, a saber:
Se a variável aleatória for transformada linearmente, ou seja, , então
.
Exemplo 1. Deixe-o ser produzido n testes independentes, probabilidade de ocorrência de um evento MAS em cada um dos quais é constante e igual a p. Qual é a variância do número de ocorrências do evento MAS nessas provações?
Solução. Seja o número de ocorrência do evento MAS na primeira tentativa, é o número de ocorrência do evento MAS no segundo teste, e assim por diante. Então o número total de ocorrências do evento MAS dentro n tentativas é igual
Usando a propriedade 3 da dispersão, obtemos
Aqui usamos o fato de que 
, eu= (ver exemplos 1 e 2, item 3.3.1.).
Exemplo 2. Deixe X- o valor do depósito (em dólares) no banco - dado pela distribuição de probabilidade
| X | ||||||
| eu = | 0,01 | 0,03 | 0,10 | 0,30 | 0,5 | 0,06 |
Encontre o valor médio da contribuição e a variação.
Solução. O valor médio do depósito é igual à expectativa matemática
Para calcular a variância, usamos a fórmula
D(X) = 8196 - 7849,96 = 348,04.
Desvio padrão
Momentos.
Para levar em conta a influência na expectativa matemática desses possíveis valores da variável aleatória X, que são grandes, mas têm uma probabilidade baixa, é aconselhável considerar as expectativas matemáticas de uma potência inteira positiva de uma variável aleatória.
