Gráficos por partes - dado funções

Murzalieva T.A. professor de matemática, MBOU "Borsk escola secundária" distrito de Boksitogorsk, região de Leningrado

Alvo:

• dominar o método linear spline para plotagem de gráficos contendo o módulo;
• aprenda a aplicá-lo em situações simples.

Debaixo spline(do spline inglês - bar, rail) geralmente entendem uma função dada por partes.

Tais funções são conhecidas dos matemáticos há muito tempo, a partir de Euler (1707-1783, matemático suíço, alemão e russo), mas seu estudo intensivo começou, de fato, apenas em meados do século XX.

Em 1946 Isaac Schoenberg (1903-1990, matemático romeno e americano) usou este termo pela primeira vez. A partir de 1960, com o desenvolvimento da tecnologia computacional, iniciou-se o uso de splines em computação gráfica e modelagem.

1 . Introdução

2. Definição de uma spline linear

3. Definição do módulo

4. Representação gráfica

5. Trabalho prático

Um dos principais propósitos das funções é a descrição de processos reais que ocorrem na natureza.

Mas desde os tempos antigos, cientistas - filósofos e naturalistas distinguiram dois tipos de processos: gradual ( contínuo ) e espasmódico.

Quando um corpo cai no chão, o primeiro aumento contínuo velocidade de movimento , e no momento da colisão com o solo a velocidade flutua , tornando-se zero ou mudar de direção (sinal) quando o corpo “salta” no chão (por exemplo, se o corpo for uma bola).

Mas como existem processos descontínuos, então são necessários meios de suas descrições. Para isso, são introduzidas funções que rompe .

a - fórmula y = h(x), e vamos supor que cada uma das funções g(x) e h(x) é definida para todos os valores de x e não possui descontinuidades. Então se g(a) = h(a), então a função f(x) tem um salto em x=a; se g(a) = h(a) = f(a), então a função “combinada” f não tem descontinuidades. Se ambas as funções g e h são elementares, então f é chamada de elementar por partes. "largura="640"

• Uma maneira de introduzir tais descontinuidades próximo:

Deixar função y = f(x)

no x definido pela fórmula y = g(x),

e em x - Fórmula y = h(x), e vamos considerar que cada uma das funções g(x) e h(x) é definido para todos os valores x e não tem quebras.

Então , E se g(a) = h(a), então a função f(x) tem em x=a salto;

E se g(a) = h(a) = f(a), então a função "combinada" f não tem pausas. Se ambas as funções g e h elementar, então f é chamado elementar por partes.

Gráficos de funções contínuas

Plote a função:

Y = |X-1| +1

X=1 - ponto de mudança de fórmulas

Palavra "módulo" vem da palavra latina "módulo", que significa "medida".

número do módulo uma chamado distância (em segmentos únicos) da origem ao ponto A ( a) .

Esta definição revela o significado geométrico do módulo.

módulo (valor absoluto) número real uma ligou para o mesmo número uma≥ 0, e o número oposto -uma se um

0 ou x=0 y = -3x -2 para x "largura="640"

Plotar uma função y = 3|x|-2.

Por definição do módulo, temos: 3x - 2 para x0 ou x=0

-3x -2 em x

x n) "largura="640"

. Seja x 1 X 2 X n são pontos de mudança de fórmulas em funções elementares por partes.

Uma função f definida para todo x é chamada linear por partes se for linear em todos os intervalos

e além disso, as condições de emparelhamento são satisfeitas, ou seja, nos pontos de mudança de fórmulas, a função não sofre descontinuidade.

Função linear contínua por partes chamado spline linear . Sua cronograma há linha quebrada com dois links finais infinitos – esquerda (correspondente a x n ) e certo ( correspondente a x x n )

Uma função elementar por partes pode ser definida por mais de duas fórmulas

Cronograma - linha quebrada com dois links extremos infinitos - o esquerdo (x1).

Y=|x| - |x – 1|

Pontos de mudança de fórmula: x=0 e x=1.

Y(0)=-1, y(1)=1.

É conveniente construir um gráfico de uma função linear por partes, apontando no plano de coordenadas vértices de polilinha.

Além de construir n tops devem construir também dois pontos : um à esquerda do topo UMA 1 ( x 1; y ( x 1)), o outro - à direita do topo Um ( xn ; y ( xn )).

Observe que uma função linear descontínua por partes não pode ser representada como uma combinação linear de módulos de binômios .

Plotar uma função y = x+ |x -2| - |X|.

Uma função linear contínua por partes é chamada de spline linear

1. Pontos de mudança de fórmula: X-2=0, X=2 ; X=0

2. Vamos fazer uma tabela:

S( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

no (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .

Plote a função y = |x+1| +|x| – |х -2|.

1 .Formulário de pontos de mudança:

x+1=0, x=-1 ;

x=0 ; x-2=0, x=2.

2 . Vamos fazer uma tabela:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.

|x – 1| = |x + 3|

Resolva a equação:

Solução. Considere a função y = |x -1| - |x +3|

Vamos construir um gráfico da função / usando o método linear spline /

• Pontos de mudança de fórmula:

x-1 = 0, x = 1; x + 3 = 0, x = - 3.

2. Vamos fazer uma tabela:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Resposta 1.

1. Construa gráficos de funções lineares por partes usando o método spline linear:

y = |x – 3| + |x|;

1). Pontos de mudança de fórmula:

2). Vamos fazer uma tabela:

2. Construa gráficos de funções usando o CMC "Live Mathematics »

MAS) y = |2x – 4| + |x +1|

1) Pontos de mudança de fórmula:

2) y() =

B) Construa gráficos de funções, estabeleça um padrão :

a) y = |x – 4| b) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Use as ferramentas Ponto, Linha, Seta na barra de ferramentas.

1. Menu de gráficos.

2. Aba "Construir um gráfico".

.3. Insira a fórmula na janela Calculadora.

Plote a função:

1) Y \u003d 2x + 4

1. Kozina M.E. Matemáticas. Graus 8-9: uma coleção de disciplinas eletivas. - Volgogrado: Professor, 2006.

2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov e S. B. Suvorova. Álgebra: livro. Para 7 células. Educação geral instituições / ed. S. A. Telyakovsky. – 17ª edição. - M. : Iluminismo, 2011

3. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov e S. B. Suvorova. Álgebra: livro. Para 8 células. Educação geral instituições / ed. S. A. Telyakovsky. – 17ª edição. - M. : Iluminismo, 2011

4. Wikipedia, a enciclopédia livre

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

Processos reais que ocorrem na natureza podem ser descritos usando funções. Assim, podemos distinguir dois tipos principais de fluxo de processos que são opostos entre si - estes são gradual ou contínuo e espasmódico(um exemplo seria uma bola caindo e ricocheteando). Mas se existem processos descontínuos, existem meios especiais para sua descrição. Para isso, são colocadas em circulação funções que possuem descontinuidades, saltos, ou seja, em diferentes partes da reta numérica, a função se comporta de acordo com diferentes leis e, portanto, é dada por diferentes fórmulas. São introduzidos os conceitos de pontos de descontinuidade e descontinuidade removível.

Com certeza você já viu funções definidas por diversas fórmulas, dependendo dos valores do argumento, por exemplo:

y \u003d (x - 3, com x\u003e -3;
(-(x - 3), para x< -3.

Tais funções são chamadas por partes ou por partes. Seções da reta numérica com diferentes fórmulas de trabalho, vamos chamar constituintes domínio. A união de todos os componentes é o domínio da função por partes. Os pontos que dividem o domínio de uma função em componentes são chamados pontos de fronteira. Fórmulas que definem uma função por partes em cada domínio constituinte de definição são chamadas funções de entrada. Gráficos de funções dadas por partes são obtidos como resultado da combinação de partes de gráficos construídos em cada um dos intervalos de partição.

Exercícios.

Construir gráficos de funções por partes:

1) (-3, com -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, para x = 0,
(1, em 0< x ≤ 5.

O gráfico da primeira função é uma linha reta que passa pelo ponto y = -3. Origina-se no ponto de coordenadas (-4; -3), segue paralelamente ao eixo das abcissas até o ponto de coordenadas (0; -3). O gráfico da segunda função é um ponto com coordenadas (0; 0). O terceiro gráfico é semelhante ao primeiro - é uma linha reta que passa pelo ponto y \u003d 1, mas já na área de 0 a 5 ao longo do eixo Ox.

Resposta: Figura 1.

2) (3 se x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| se -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 se x > 4.

Considere cada função separadamente e trace seu gráfico.

Então, f(x) = 3 é uma linha reta paralela ao eixo Ox, mas precisa ser desenhada apenas na área onde x ≤ -4.

Gráfico da função f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| pode ser obtido a partir da parábola y \u003d x 2 - 4x + 3. Tendo construído seu gráfico, a parte da figura que fica acima do eixo Ox deve ser deixada inalterada e a parte que fica abaixo do eixo das abcissas deve ser exibida simetricamente em relação ao eixo Ox. Em seguida, exiba simetricamente a parte do gráfico onde
x ≥ 0 em torno do eixo Oy para x negativo. O gráfico obtido como resultado de todas as transformações é deixado apenas na área de -4 a 4 ao longo da abcissa.

O gráfico da terceira função é uma parábola, cujos ramos são direcionados para baixo e o vértice está no ponto com as coordenadas (4; 3). O desenho é representado apenas na área onde x > 4.

Resposta: figura 2.

3) (8 - (x + 6) 2 se x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| se -6 ≤ x< 5,
(3 se x ≥ 5.

A construção da função proposta por partes é semelhante ao parágrafo anterior. Aqui, os gráficos das duas primeiras funções são obtidos a partir de transformações de parábola, e o gráfico da terceira é uma linha reta paralela a Ox.

Resposta: figura 3.

4) Plote a função y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Solução. O domínio desta função são todos os números reais, exceto zero. Vamos abrir o módulo. Para isso, considere dois casos:

1) Para x > 0, obtemos y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 .

2) Para x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Assim, temos uma função dada por partes:

y = ((x - 2) 2 , para x > 0;
(x 2 + 2x, para x< 0.

Os gráficos de ambas as funções são parábolas, cujos ramos são direcionados para cima.

Resposta: Figura 4.

5) Plote a função y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Solução.

É fácil ver que o domínio da função são todos os números reais, exceto zero. Depois de expandir o módulo, obtemos uma função dada por partes:

1) Para x > 0, obtemos y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 .

2) Para x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Vamos reescrever.

y \u003d (x 2, para x\u003e 0;
((x – 2) 2 , para x< 0.

Os gráficos dessas funções são parábolas.

Resposta: Figura 5.

6) Existe uma função cujo gráfico no plano coordenado tenha um ponto comum com qualquer reta?

Solução.

Sim existe.

Um exemplo seria a função f(x) = x 3 . De fato, o gráfico da parábola cúbica intercepta a linha vertical x = a no ponto (a; a 3). Agora, seja a linha reta dada pela equação y = kx + b. Então a equação
x 3 - kx - b \u003d 0 tem uma raiz real x 0 (já que um polinômio de grau ímpar sempre tem pelo menos uma raiz real). Portanto, o gráfico da função intercepta a linha reta y \u003d kx + b, por exemplo, no ponto (x 0; x 0 3).

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Instituição de ensino orçamentária municipal

escola secundária №13

"Funções por partes"

Sapogova Valentina e

Donskaya Alexandra

Consultor-chefe:

Berdsk

1. Definição das principais metas e objetivos.

2. Questionamento.

2.1. Determinando a relevância do trabalho

2.2. Significado prático.

3. História das funções.

4. Características gerais.

5. Métodos para definir funções.

6. Algoritmo de construção.

8. Literatura usada.

1. Definição das principais metas e objetivos.

Alvo:

Descubra uma maneira de resolver funções por partes e, com base nisso, elabore um algoritmo para sua construção.

Tarefas:

— Familiarizar-se com o conceito geral de funções por partes;

- Conheça a história do termo "função";

- Realizar uma pesquisa;

— Identificar formas de definir funções por partes;

- Fazer um algoritmo para a sua construção;

2. Questionamento.

Uma pesquisa foi realizada entre estudantes do ensino médio sobre a capacidade de construir funções por partes. O número total de respondentes foi de 54 pessoas. Entre eles, 6% concluíram a obra integralmente. 28% conseguiram concluir o trabalho, mas com alguns erros. 62% - não conseguiram fazer o trabalho, embora tenham feito algumas tentativas, e os 4% restantes não começaram a trabalhar.

A partir desse levantamento, podemos concluir que os alunos de nossa escola que passam pelo programa possuem uma base de conhecimento insuficiente, pois esse autor não dá muita atenção a tarefas desse tipo. É daí que decorre a relevância e o significado prático do nosso trabalho.

2.1. Determinando a relevância do trabalho.

Relevância:

Funções por partes são encontradas tanto no GIA quanto no USE, tarefas que contêm funções desse tipo são avaliadas em 2 ou mais pontos. E, portanto, sua avaliação pode depender da decisão deles.

2.2. Significado prático.

O resultado do nosso trabalho será um algoritmo de resolução de funções por partes, que ajudará a compreender a sua construção. E isso adicionará as chances de obter a nota desejada no exame.

3. História das funções.

- "Álgebra Grau 9", etc.;

Definição analítica de uma função

Função %%y = f(x), x \in X%% dado de uma forma analítica explícita, se for fornecida uma fórmula que especifique a sequência de operações matemáticas que devem ser executadas com o argumento %%x%% para obter o valor %%f(x)%% desta função.

Exemplo

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Assim, por exemplo, em física, com movimento retilíneo uniformemente acelerado, a velocidade de um corpo é determinada pela fórmula t%% é escrita como: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Funções definidas por partes

Às vezes, a função em consideração pode ser definida por várias fórmulas que operam em diferentes partes do domínio de sua definição, nas quais o argumento da função muda. Por exemplo: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funções desse tipo são às vezes chamadas constituinte ou por partes. Um exemplo de tal função é %%y = |x|%%

Escopo da função

Se a função for especificada de maneira analítica explícita usando uma fórmula, mas o escopo da função na forma de um conjunto %%D%% não for especificado, então por %%D%% sempre significaremos o conjunto de valores ​​do argumento %%x%% para o qual esta fórmula faz sentido. Então, para a função %%y = x^2%%, o domínio de definição é o conjunto %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, já que o argumento %%x% % pode assumir qualquer valor linha numérica. E para a função %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, o domínio de definição será o conjunto de valores %%x%% que satisfaz a desigualdade %%1 - x^2 > 0%%, m.e. %%D = (-1, 1)%%.

Benefícios da Definição de Função Analítica Explícita

Observe que a forma analítica explícita de definir uma função é bastante compacta (a fórmula, via de regra, ocupa pouco espaço), facilmente reproduzida (a fórmula é fácil de escrever) e é mais adaptada para realizar operações matemáticas e transformações em funções.

Algumas dessas operações - algébricas (adição, multiplicação, etc.) - são bem conhecidas do curso de matemática escolar, outras (diferenciação, integração) serão estudadas no futuro. No entanto, esse método nem sempre é claro, pois a natureza da dependência da função no argumento nem sempre é clara e, às vezes, são necessários cálculos complicados para encontrar os valores da função (se necessário).

Especificação de função implícita

A função %%y = f(x)%% está definida de uma forma analítica implícita, se for dada a relação $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ relacionando os valores da função %%y%% e o argumento %% x%%. Se forem dados os valores dos argumentos, então para encontrar o valor de %%y%% correspondente a um determinado valor de %%x%%, é necessário resolver a equação %%(1)%% em relação a %%y%% nesse valor específico de %%x%%.

Dado um valor de %%x%%, a equação %%(1)%% pode não ter solução ou ter mais de uma solução. No primeiro caso, o valor especificado %%x%% não está no escopo da função implícita e no segundo caso especifica função multivalorada, que tem mais de um valor para um determinado valor de argumento.

Note que se a equação %%(1)%% pode ser resolvida explicitamente em relação a %%y = f(x)%%, então obtemos a mesma função, mas já definida de forma analítica explícita. Então, a equação %%x + y^5 - 1 = 0%%

e a igualdade %%y = \sqrt(1 - x)%% definem a mesma função.

Definição de função paramétrica

Quando a dependência de %%y%% em %%x%% não é fornecida diretamente, mas sim as dependências de ambas as variáveis ​​%%x%% e %%y%% em alguma terceira variável auxiliar %%t%% na forma

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$ eles falam sobre paramétrico o método de configuração da função;

então a variável auxiliar %%t%% é chamada de parâmetro.

Se for possível excluir o parâmetro %%t%% das equações %%(2)%%, então eles chegam a uma função dada por uma dependência analítica explícita ou implícita de %%y%% em %%x%% . Por exemplo, das relações $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ except para o parâmetro % %t%% obtemos a dependência %%y = 2 x + 2%%, que define uma linha reta no plano %%xOy%%.

Modo gráfico

Um exemplo de uma definição gráfica de uma função

Os exemplos acima mostram que a forma analítica de definir uma função corresponde ao seu imagem gráfica, que pode ser considerado como uma forma conveniente e visual de descrever uma função. Às vezes usado maneira gráfica definindo uma função quando a dependência de %%y%% em %%x%% é dada por uma linha no plano %%xOy%%. No entanto, por toda a sua clareza, perde em precisão, pois os valores do argumento e os valores correspondentes da função podem ser obtidos do gráfico apenas aproximadamente. O erro resultante depende da escala e precisão da medição das abcissas e ordenadas dos pontos individuais do gráfico. No futuro, atribuiremos ao gráfico da função apenas o papel de ilustrar o comportamento da função e, portanto, nos restringiremos a construir "esboços" de gráficos que reflitam as principais características das funções.

Forma tabular

Observação forma tabular atribuições de função, quando alguns valores de argumento e seus valores de função correspondentes são colocados em uma tabela em uma determinada ordem. É assim que são construídas as conhecidas tabelas de funções trigonométricas, tabelas de logaritmos, etc. Em forma de tabela, geralmente é apresentada a relação entre as grandezas medidas em estudos experimentais, observações e testes.

A desvantagem desse método é a impossibilidade de determinar diretamente os valores da função para os valores do argumento que não estão incluídos na tabela. Se houver confiança de que os valores do argumento não apresentados na tabela pertencem ao domínio da função considerada, os valores correspondentes da função podem ser calculados aproximadamente usando interpolação e extrapolação.

Exemplo

x	3	5.1	10	12.5
y	9	23	80	110

Formas algorítmicas e verbais de especificar funções

A função pode ser definida algorítmico(ou programático) de uma forma que é amplamente utilizada em cálculos de computador.

Por fim, pode-se notar descritivo(ou verbal) uma forma de especificar uma função, quando a regra de correspondência dos valores da função com os valores do argumento é expressa em palavras.

Por exemplo, a função %%[x] = m~\forall (x \in )