Simplificando, são vegetais cozidos em água de acordo com uma receita especial. Considerarei dois componentes iniciais (salada de legumes e água) e o resultado final - borscht. Geometricamente, pode ser pensado como um retângulo, com um lado representando a alface e o outro lado representando a água. A soma desses dois lados indicará o borscht. A diagonal e a área desse retângulo “borscht” são conceitos puramente matemáticos e nunca são usados em receitas de borscht.
Como a alface e a água se transformam em borscht do ponto de vista matemático? Como a soma de dois segmentos de reta pode se tornar trigonometria? Para entender isso, precisamos de funções angulares lineares.
Você não encontrará nada sobre funções angulares lineares em livros de matemática. Mas sem eles não pode haver matemática. As leis da matemática, assim como as leis da natureza, funcionam independentemente de sabermos ou não de sua existência.
Funções angulares lineares são leis de adição. Veja como a álgebra se transforma em geometria e a geometria se transforma em trigonometria.
É possível prescindir de funções angulares lineares? É possível, porque os matemáticos ainda conseguem viver sem eles. O truque dos matemáticos é que eles sempre nos falam apenas sobre os problemas que eles próprios sabem resolver, e nunca falam sobre os problemas que não conseguem resolver. Olhar. Se conhecermos o resultado da adição e de um termo, utilizamos a subtração para determinar o outro termo. Todos. Não conhecemos outros problemas e não sabemos como resolvê-los. O que devemos fazer se conhecermos apenas o resultado da adição e não conhecermos os dois termos? Neste caso, o resultado da adição deve ser decomposto em dois termos utilizando funções angulares lineares. A seguir, nós mesmos escolhemos o que um termo pode ser, e as funções angulares lineares mostram qual deve ser o segundo termo para que o resultado da adição seja exatamente o que precisamos. Pode haver um número infinito desses pares de termos. Na vida cotidiana, nos damos muito bem sem decompor a soma; a subtração nos basta. Mas na investigação científica sobre as leis da natureza, decompor uma soma nos seus componentes pode ser muito útil.
Outra lei da adição sobre a qual os matemáticos não gostam de falar (outro de seus truques) exige que os termos tenham as mesmas unidades de medida. Para salada, água e borscht, podem ser unidades de peso, volume, valor ou unidade de medida.
A figura mostra dois níveis de diferença para matemática. O primeiro nível são as diferenças no campo dos números, que são indicadas a, b, c. Isto é o que os matemáticos fazem. O segundo nível são as diferenças no campo das unidades de medida, que são mostradas entre colchetes e indicadas pela letra você. Isto é o que os físicos fazem. Podemos entender o terceiro nível – diferenças na área dos objetos que estão sendo descritos. Objetos diferentes podem ter o mesmo número de unidades de medida idênticas. Como isso é importante, podemos ver no exemplo da trigonometria do borscht. Se adicionarmos subscritos à mesma designação de unidade para objetos diferentes, podemos dizer exatamente qual quantidade matemática descreve um objeto específico e como ele muda ao longo do tempo ou devido às nossas ações. Carta C Vou designar a água com uma letra S Vou designar a salada com uma letra B- borscht. Esta é a aparência das funções angulares lineares para o borscht.
Se pegarmos um pouco da água e um pouco da salada, juntas elas se transformarão em uma porção de borscht. Aqui sugiro que você faça uma pequena pausa no borscht e relembre sua infância distante. Lembra como fomos ensinados a juntar coelhos e patos? Era preciso saber quantos animais haveria. O que fomos ensinados a fazer então? Fomos ensinados a separar unidades de medida de números e somar números. Sim, qualquer número pode ser adicionado a qualquer outro número. Este é um caminho direto para o autismo da matemática moderna - fazemos incompreensivelmente o quê, incompreensivelmente por quê, e entendemos muito mal como isso se relaciona com a realidade, por causa dos três níveis de diferença, os matemáticos operam com apenas um. Seria mais correto aprender como passar de uma unidade de medida para outra.
Coelhos, patos e animaizinhos podem ser contados em pedaços. Uma unidade de medida comum para diferentes objetos nos permite adicioná-los. Esta é uma versão infantil do problema. Vejamos uma tarefa semelhante para adultos. O que você ganha quando adiciona coelhos e dinheiro? Existem duas soluções possíveis aqui.
Primeira opção. Determinamos o valor de mercado dos coelhos e adicionamos ao valor disponível. Obtivemos o valor total da nossa riqueza em termos monetários.
Segunda opçao. Você pode adicionar o número de coelhos ao número de notas que temos. Receberemos o valor dos bens móveis em pedaços.
Como você pode ver, a mesma lei de adição permite obter resultados diferentes. Tudo depende do que exatamente queremos saber.
Mas voltemos ao nosso borscht. Agora podemos ver o que acontecerá com diferentes valores de ângulos de funções angulares lineares.
O ângulo é zero. Temos salada, mas não temos água. Não podemos cozinhar borscht. A quantidade de borscht também é zero. Isso não significa de forma alguma que zero borscht seja igual a zero água. Pode haver zero borscht com zero salada (ângulo reto).
Para mim, pessoalmente, esta é a principal prova matemática do fato de que . Zero não altera o número quando adicionado. Isso acontece porque a adição em si é impossível se houver apenas um termo e faltar o segundo termo. Você pode sentir isso como quiser, mas lembre-se: todas as operações matemáticas com zero foram inventadas pelos próprios matemáticos, então jogue fora sua lógica e empurre estupidamente as definições inventadas pelos matemáticos: “divisão por zero é impossível”, “qualquer número multiplicado por zero é igual a zero”, “além do ponto de punção zero” e outras bobagens. Basta lembrar uma vez que zero não é um número, e você nunca mais terá a dúvida se zero é um número natural ou não, porque tal pergunta perde todo o sentido: como pode algo que não é um número ser considerado um número ? É como perguntar em que cor uma cor invisível deve ser classificada. Adicionar zero a um número é o mesmo que pintar com tinta que não existe. Agitamos um pincel seco e dissemos a todos que “pintamos”. Mas discordo um pouco.
O ângulo é maior que zero, mas menor que quarenta e cinco graus. Temos muita alface, mas não temos água suficiente. Como resultado, obteremos um borscht espesso.
O ângulo é de quarenta e cinco graus. Temos quantidades iguais de água e salada. Este é o borscht perfeito (perdoem-me, chefs, é só matemática).
O ângulo é maior que quarenta e cinco graus, mas menor que noventa graus. Temos muita água e pouca salada. Você obterá borscht líquido.
Ângulo certo. Temos água. Da salada só restam memórias, à medida que continuamos a medir o ângulo a partir da linha que antes marcava a salada. Não podemos cozinhar borscht. A quantidade de borscht é zero. Neste caso, espere e beba água enquanto a tem)))
Aqui. Algo assim. Posso contar aqui outras histórias que seriam mais do que apropriadas aqui.
Dois amigos tinham participação em um negócio comum. Depois de matar um deles, tudo foi para o outro.
O surgimento da matemática em nosso planeta.
Todas essas histórias são contadas na linguagem da matemática usando funções angulares lineares. Em outra ocasião mostrarei o verdadeiro lugar dessas funções na estrutura da matemática. Enquanto isso, vamos voltar à trigonometria do borscht e considerar as projeções.
Sábado, 26 de outubro de 2019
Quarta-feira, 7 de agosto de 2019
Concluindo a conversa sobre, precisamos considerar um conjunto infinito. A questão é que o conceito de “infinito” afeta os matemáticos como uma jibóia afeta um coelho. O horror trêmulo do infinito priva os matemáticos do bom senso. Aqui está um exemplo:
A fonte original está localizada. Alpha significa número real. O sinal de igual nas expressões acima indica que se você adicionar um número ou infinito ao infinito, nada mudará, o resultado será o mesmo infinito. Se tomarmos como exemplo o conjunto infinito de números naturais, então os exemplos considerados podem ser representados desta forma:
Para provar claramente que estavam certos, os matemáticos criaram muitos métodos diferentes. Pessoalmente, considero todos esses métodos como xamãs dançando com pandeiros. Essencialmente, todos se resumem ao facto de alguns dos quartos estarem desocupados e novos hóspedes estarem a entrar, ou de alguns dos visitantes serem atirados para o corredor para dar lugar aos hóspedes (muito humanamente). Apresentei minha opinião sobre tais decisões na forma de uma história de fantasia sobre a Loira. Em que se baseia o meu raciocínio? A realocação de um número infinito de visitantes leva um tempo infinito. Depois de desocuparmos o primeiro quarto de um hóspede, um dos visitantes percorrerá sempre o corredor do seu quarto para o seguinte até ao fim dos tempos. É claro que o factor tempo pode ser estupidamente ignorado, mas isto estará na categoria de “nenhuma lei foi escrita para tolos”. Tudo depende do que estamos fazendo: ajustando a realidade às teorias matemáticas ou vice-versa.
O que é um “hotel sem fim”? Um hotel infinito é um hotel que tem sempre qualquer número de camas vazias, independentemente de quantos quartos estejam ocupados. Se todos os quartos do interminável corredor de “visitantes” estiverem ocupados, surge outro corredor interminável com quartos de “convidados”. Haverá um número infinito de tais corredores. Além disso, o “hotel infinito” tem um número infinito de andares num número infinito de edifícios num número infinito de planetas num número infinito de universos criados por um número infinito de Deuses. Os matemáticos não conseguem se distanciar dos problemas banais do cotidiano: sempre existe um só Deus-Alá-Buda, só existe um hotel, só existe um corredor. Assim, os matemáticos estão a tentar fazer malabarismos com os números de série dos quartos de hotel, convencendo-nos de que é possível “empurrar o impossível”.
Vou demonstrar a lógica do meu raciocínio usando o exemplo de um conjunto infinito de números naturais. Primeiro você precisa responder a uma pergunta muito simples: quantos conjuntos de números naturais existem - um ou muitos? Não existe uma resposta correta para esta pergunta, uma vez que nós mesmos inventamos os números; os números não existem na Natureza. Sim, a Natureza é ótima em contar, mas para isso utiliza outras ferramentas matemáticas que não nos são familiares. Direi o que a Natureza pensa em outra ocasião. Como inventamos os números, nós mesmos decidiremos quantos conjuntos de números naturais existem. Vamos considerar ambas as opções, como convém aos verdadeiros cientistas.
Opção um. “Deixe-nos receber” um único conjunto de números naturais, que fica serenamente na prateleira. Tiramos este conjunto da prateleira. É isso, não há outros números naturais na prateleira e nenhum lugar para levá-los. Não podemos adicionar um a este conjunto, pois já o temos. E se você realmente quiser? Sem problemas. Podemos pegar um do conjunto que já pegamos e devolvê-lo à prateleira. Depois disso, podemos tirar um da prateleira e adicionar ao que sobrou. Como resultado, obteremos novamente um conjunto infinito de números naturais. Você pode anotar todas as nossas manipulações assim:
Anotei as ações em notação algébrica e em notação de teoria dos conjuntos, com uma listagem detalhada dos elementos do conjunto. O subscrito indica que temos um único conjunto de números naturais. Acontece que o conjunto dos números naturais permanecerá inalterado somente se um for subtraído dele e a mesma unidade for adicionada.
Opção dois. Temos muitos conjuntos infinitos diferentes de números naturais em nossa estante. Enfatizo - DIFERENTES, apesar de serem praticamente indistinguíveis. Vamos pegar um desses conjuntos. Depois pegamos um de outro conjunto de números naturais e adicionamos ao conjunto que já pegamos. Podemos até adicionar dois conjuntos de números naturais. Isto é o que obtemos:
Os subscritos “um” e “dois” indicam que esses elementos pertenciam a conjuntos diferentes. Sim, se você adicionar um a um conjunto infinito, o resultado também será um conjunto infinito, mas não será igual ao conjunto original. Se você adicionar outro conjunto infinito a um conjunto infinito, o resultado será um novo conjunto infinito composto pelos elementos dos dois primeiros conjuntos.
O conjunto dos números naturais é usado para contar da mesma forma que uma régua é para medir. Agora imagine que você adicionou um centímetro à régua. Esta será uma linha diferente, não igual à original.
Você pode aceitar ou não meu raciocínio - é problema seu. Mas se você alguma vez encontrar problemas matemáticos, pense se você está seguindo o caminho do falso raciocínio trilhado por gerações de matemáticos. Afinal, estudar matemática, antes de tudo, forma em nós um estereótipo estável de pensamento, e só então aumenta nossas habilidades mentais (ou, inversamente, nos priva do pensamento livre).
pozg.ru
Domingo, 4 de agosto de 2019
Eu estava terminando um pós-escrito para um artigo sobre e vi este texto maravilhoso na Wikipedia:
Lemos: “... a rica base teórica da matemática da Babilônia não tinha um caráter holístico e foi reduzida a um conjunto de técnicas díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências”.
Uau! Quão inteligentes somos e quão bem podemos ver as deficiências dos outros. É difícil para nós olharmos para a matemática moderna no mesmo contexto? Parafraseando ligeiramente o texto acima, pessoalmente obtive o seguinte:
A rica base teórica da matemática moderna não é de natureza holística e é reduzida a um conjunto de seções díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências.
Não irei muito longe para confirmar as minhas palavras - tem uma linguagem e convenções que são diferentes da linguagem e das convenções de muitos outros ramos da matemática. Os mesmos nomes em diferentes ramos da matemática podem ter significados diferentes. Quero dedicar toda uma série de publicações aos erros mais óbvios da matemática moderna. Vejo você em breve.
Sábado, 3 de agosto de 2019
Como dividir um conjunto em subconjuntos? Para isso, é necessário inserir uma nova unidade de medida que esteja presente em alguns dos elementos do conjunto selecionado. Vejamos um exemplo.
Que tenhamos bastante A composto por quatro pessoas. Este conjunto é formado com base em “pessoas”. Vamos denotar os elementos deste conjunto pela letra A, o subscrito com um número indicará o número de série de cada pessoa deste conjunto. Vamos apresentar uma nova unidade de medida "gênero" e denotá-la pela letra b. Como as características sexuais são inerentes a todas as pessoas, multiplicamos cada elemento do conjunto A com base no gênero b. Observe que o nosso conjunto de “pessoas” tornou-se agora um conjunto de “pessoas com características de género”. Depois disso podemos dividir as características sexuais em masculinas bm e mulheres cara características sexuais. Agora podemos aplicar um filtro matemático: selecionamos uma dessas características sexuais, não importa qual seja - masculina ou feminina. Se uma pessoa tem, então multiplicamos por um, se não houver tal sinal, multiplicamos por zero. E então usamos a matemática escolar regular. Veja o que aconteceu.
Após multiplicação, redução e rearranjo, ficamos com dois subconjuntos: o subconjunto dos homens Bm e um subconjunto de mulheres Bw. Os matemáticos raciocinam aproximadamente da mesma maneira quando aplicam a teoria dos conjuntos na prática. Mas eles não nos contam os detalhes, mas nos dão o resultado final - “muitas pessoas consistem em um subconjunto de homens e um subconjunto de mulheres”. Naturalmente, você pode ter uma pergunta: até que ponto a matemática foi aplicada corretamente nas transformações descritas acima? Atrevo-me a garantir que essencialmente tudo foi feito corretamente, basta conhecer as bases matemáticas da aritmética, da álgebra booleana e de outros ramos da matemática. O que é isso? Em outra ocasião contarei a você sobre isso.
Quanto aos superconjuntos, você pode combinar dois conjuntos em um superconjunto selecionando a unidade de medida presente nos elementos desses dois conjuntos.
Como você pode ver, as unidades de medida e a matemática comum fazem da teoria dos conjuntos uma relíquia do passado. Um sinal de que nem tudo está bem com a teoria dos conjuntos é que os matemáticos criaram sua própria linguagem e notação para a teoria dos conjuntos. Os matemáticos agiram como antes os xamãs. Somente os xamãs sabem como aplicar “corretamente” seu “conhecimento”. Eles nos ensinam esse “conhecimento”.
Concluindo, quero mostrar como os matemáticos manipulam.
Segunda-feira, 7 de janeiro de 2019
No século V a.C., o antigo filósofo grego Zenão de Eleia formulou as suas famosas aporias, a mais famosa das quais é a aporia “Aquiles e a Tartaruga”. Aqui está o que parece:
Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo que Aquiles leva para percorrer essa distância, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Quando Aquiles dá cem passos, a tartaruga rasteja mais dez passos e assim por diante. O processo continuará ad infinitum, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.
Esse raciocínio tornou-se um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos consideraram a aporia de Zenão de uma forma ou de outra. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam até hoje; a comunidade científica ainda não foi capaz de chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo da questão ; nenhum deles se tornou uma solução geralmente aceita para o problema..."[Wikipedia, "Aporia de Zenão". Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende em que consiste o engano.
Do ponto de vista matemático, Zenão, em sua aporia, demonstrou claramente a transição da quantidade para. Esta transição implica aplicação em vez de permanente. Pelo que entendi, o aparato matemático para usar unidades de medida variáveis ou ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. Aplicar nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, devido à inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao valor recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo está desacelerando até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não poderá mais fugir da tartaruga.
Se invertermos a nossa lógica habitual, tudo se encaixará. Aquiles corre com velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de “infinito” nesta situação, então seria correto dizer “Aquiles alcançará a tartaruga infinitamente rápido”.
Como evitar esta armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para unidades recíprocas. Na linguagem de Zenão é assim:
No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.
Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a irresistibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão “Aquiles e a Tartaruga”. Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução não deve ser procurada em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.
Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:
Uma flecha voadora está imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.
Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento uma flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Outro ponto precisa ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar se um carro está se movendo, você precisa de duas fotografias tiradas do mesmo ponto em momentos diferentes, mas não pode determinar a distância delas. Para determinar a distância até um carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos do espaço em um momento, mas a partir delas você não pode determinar o fato do movimento (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria irá ajudá-lo ). O que quero chamar especial atenção é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, porque proporcionam oportunidades diferentes de investigação.
Vou mostrar o processo com um exemplo. Selecionamos o “sólido vermelho em uma espinha” - este é o nosso “todo”. Ao mesmo tempo, vemos que essas coisas estão com arco e outras sem arco. Depois disso, selecionamos parte do “todo” e formamos um conjunto “com laço”. É assim que os xamãs obtêm seu alimento, vinculando sua teoria dos conjuntos à realidade.
Agora vamos fazer um pequeno truque. Vamos pegar “sólido com espinha com laço” e combinar esses “todos” de acordo com a cor, selecionando os elementos vermelhos. Temos muito "vermelho". Agora a questão final: os conjuntos resultantes “com laço” e “vermelho” são o mesmo conjunto ou dois conjuntos diferentes? Somente os xamãs sabem a resposta. Mais precisamente, eles próprios não sabem de nada, mas como dizem, assim será.
Este exemplo simples mostra que a teoria dos conjuntos é completamente inútil quando se trata da realidade. Qual é o segredo? Formamos um conjunto de “sólido vermelho com uma espinha e um laço”. A formação ocorreu em quatro unidades de medida diferentes: cor (vermelho), resistência (sólida), rugosidade (espinhosa), decoração (com laço). Somente um conjunto de unidades de medida nos permite descrever adequadamente objetos reais na linguagem da matemática. Isto é o que parece.
A letra “a” com índices diferentes indica diferentes unidades de medida. As unidades de medida pelas quais o “todo” é distinguido na fase preliminar são destacadas entre parênteses. A unidade de medida pela qual o conjunto é formado é retirada dos colchetes. A última linha mostra o resultado final - um elemento do conjunto. Como você pode ver, se usarmos unidades de medida para formar um conjunto, o resultado não dependerá da ordem de nossas ações. E isso é matemática, e não a dança dos xamãs com pandeiros. Os xamãs podem “intuitivamente” chegar ao mesmo resultado, argumentando que é “óbvio”, porque as unidades de medida não fazem parte do seu arsenal “científico”.
Usando unidades de medida, é muito fácil dividir um conjunto ou combinar vários conjuntos em um superconjunto. Vamos dar uma olhada mais de perto na álgebra desse processo.
Palestra: Seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo arbitrário
Seno, cosseno de um ângulo arbitrário
Para entender o que são funções trigonométricas, vejamos um círculo com raio unitário. Este círculo tem centro na origem do plano coordenado. Para determinar as funções fornecidas, usaremos o vetor raio OU, que começa no centro do círculo, e o ponto Ré um ponto no círculo. Este vetor raio forma um ângulo alfa com o eixo OH. Como o círculo tem raio igual a um, então OU = R = 1.
Se do ponto R abaixe a perpendicular ao eixo OH, então obtemos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a um.
Se o vetor raio se move no sentido horário, então esta direção é chamada negativo, se ele se mover no sentido anti-horário - positivo.
Seno do ângulo OU, é a ordenada do ponto R vetor em um círculo.
Ou seja, para obter o valor do seno de um determinado ângulo alfa, é necessário determinar a coordenada você na superfície.
Como esse valor foi obtido? Como sabemos que o seno de um ângulo arbitrário em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, obtemos que
E desde R=1, Que pecado (α) = y 0 .
Em um círculo unitário, o valor da ordenada não pode ser menor que -1 e maior que 1, o que significa
O seno assume valor positivo no primeiro e segundo trimestres do círculo unitário e negativo no terceiro e quarto.
Cosseno do ângulo dado círculo formado pelo vetor raio OU, é a abscissa do ponto R vetor em um círculo.
Ou seja, para obter o valor do cosseno de um determinado ângulo alfa, é necessário determinar a coordenada X na superfície.
O cosseno de um ângulo arbitrário em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, obtemos que
E desde R=1, Que cos(α) = x 0 .
No círculo unitário, o valor da abcissa não pode ser menor que -1 e maior que 1, o que significa
O cosseno assume um valor positivo no primeiro e quarto trimestres do círculo unitário e negativo no segundo e terceiro.
Tangenteângulo arbitrário A razão entre seno e cosseno é calculada.
Se considerarmos um triângulo retângulo, então esta é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. Se estamos falando sobre o círculo unitário, então esta é a razão entre a ordenada e a abscissa.
A julgar por essas relações, pode-se entender que a tangente não pode existir se o valor da abcissa for zero, ou seja, em um ângulo de 90 graus. A tangente pode assumir todos os outros valores.
A tangente é positiva no primeiro e terceiro trimestres do círculo unitário e negativa no segundo e quarto.
Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem das coordenadas, a posição inicial do vetor raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo (no nosso exemplo, este é o raio).
Cada ponto do círculo corresponde a dois números: a coordenada do eixo e a coordenada do eixo. Quais são esses números de coordenadas? E em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, precisamos nos lembrar do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere um triângulo. É retangular porque é perpendicular ao eixo.
A que é igual o triângulo? Isso mesmo. Além disso, sabemos que é o raio do círculo unitário, o que significa. Vamos substituir esse valor em nossa fórmula para cosseno. Aqui está o que acontece:
A que é igual o triângulo? Bem, claro, ! Substitua o valor do raio nesta fórmula e obtenha:
Então, você pode dizer quais são as coordenadas de um ponto pertencente a um círculo? Bem, de jeito nenhum? E se você perceber isso e for apenas números? A que coordenada corresponde? Bem, claro, as coordenadas! E a que coordenada corresponde? Isso mesmo, coordenadas! Assim, ponto final.
O que então são e iguais? Isso mesmo, vamos usar as definições correspondentes de tangente e cotangente e obter isso, a.
E se o ângulo for maior? Por exemplo, como nesta imagem:
O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, vamos voltar novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo: ângulo (como adjacente a um ângulo). Quais são os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo? É isso mesmo, seguimos as definições correspondentes de funções trigonométricas:
Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, estas relações aplicam-se a qualquer rotação do vetor raio.
Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio está ao longo da direção positiva do eixo. Até agora giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado valor, mas só será negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.
Então, sabemos que uma revolução completa do vetor raio em torno de um círculo é ou. É possível girar o vetor raio para ou para? Bem, é claro que você pode! No primeiro caso, portanto, o vetor raio fará uma revolução completa e parará na posição ou.
No segundo caso, ou seja, o vetor raio dará três voltas completas e parará na posição ou.
Assim, a partir dos exemplos acima podemos concluir que ângulos que diferem em ou (onde é qualquer número inteiro) correspondem à mesma posição do vetor raio.
A figura abaixo mostra um ângulo. A mesma imagem corresponde ao canto, etc. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos pela fórmula geral ou (onde é qualquer número inteiro)
Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e utilizando o círculo unitário, tente responder quais são os valores:
Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:
Está com dificuldades? Então vamos descobrir. Então sabemos que:
A partir daqui, determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a determinadas medidas de ângulos. Bom, vamos começar pela ordem: o ângulo em corresponde a um ponto com coordenadas, portanto:
Não existe;
Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos B correspondem a pontos com coordenadas, respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Experimente primeiro e depois verifique as respostas.
Respostas:
Não existe
Não existe
Não existe
Não existe
Assim, podemos fazer a seguinte tabela:
Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos do círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:
Mas os valores das funções trigonométricas dos ângulos em e, dados na tabela abaixo, deve ser lembrado:
Não tenha medo, agora vamos mostrar um exemplo bastante simples de lembrar os valores correspondentes:
Para utilizar este método, é vital lembrar os valores do seno para todas as três medidas do ângulo (), bem como o valor da tangente do ângulo. Conhecendo esses valores, é bastante simples restaurar toda a tabela - os valores do cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:
Sabendo disso, você pode restaurar os valores de. O numerador " " corresponderá e o denominador " " corresponderá. Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas indicadas na figura. Se você entender isso e se lembrar do diagrama com as setas, será suficiente lembrar todos os valores da tabela.
Coordenadas de um ponto em um círculo
É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecer as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação?
Bem, é claro que você pode! Vamos tirar isso fórmula geral para encontrar as coordenadas de um ponto.
Por exemplo, aqui está um círculo à nossa frente:
Sabemos que o ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas de um ponto obtido girando o ponto em graus.
Como pode ser visto na figura, a coordenada do ponto corresponde ao comprimento do segmento. O comprimento do segmento corresponde à coordenada do centro do círculo, ou seja, é igual. O comprimento de um segmento pode ser expresso usando a definição de cosseno:
Então temos isso para a coordenada do ponto.
Usando a mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto. Por isso,
Assim, em geral, as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:
Coordenadas do centro do círculo,
Raio do círculo,
O ângulo de rotação do raio do vetor.
Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são iguais a zero e o raio é igual a um:
Bem, vamos experimentar essas fórmulas praticando a localização de pontos em um círculo?
1. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.
2. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.
3. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.
4. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.
5. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.
Está tendo problemas para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo?
Resolva estes cinco exemplos (ou seja bom em resolvê-los) e você aprenderá a encontrá-los!
1.
Você pode perceber isso. Mas sabemos o que corresponde a uma revolução completa do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:
2. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Você pode perceber isso. Sabemos o que corresponde a duas revoluções completas do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:
Seno e cosseno são valores de tabela. Lembramos seus significados e obtemos:
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
3. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:
Você pode perceber isso. Vamos representar o exemplo em questão na figura:
O raio forma ângulos iguais e com o eixo. Sabendo que os valores tabulares de cosseno e seno são iguais, e tendo determinado que o cosseno aqui assume um valor negativo e o seno assume um valor positivo, temos:
Tais exemplos são discutidos com mais detalhes ao estudar as fórmulas para redução de funções trigonométricas no tópico.
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
4.
Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição)
Para determinar os sinais correspondentes de seno e cosseno, construímos um círculo unitário e um ângulo:
Como você pode ver, o valor, isto é, é positivo, e o valor, isto é, é negativo. Conhecendo os valores tabulares das funções trigonométricas correspondentes, obtemos que:
Vamos substituir os valores obtidos em nossa fórmula e encontrar as coordenadas:
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
5. Para resolver este problema, usamos fórmulas de forma geral, onde
Coordenadas do centro do círculo (no nosso exemplo,
Raio do círculo (por condição)
Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição).
Vamos substituir todos os valores na fórmula e obter:
e - valores da tabela. Vamos lembrar e substituí-los na fórmula:
Assim, o ponto desejado possui coordenadas.
RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.
O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente (próximo) e a hipotenusa.
A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto (distante) e o lado adjacente (próximo).
A cotangente de um ângulo é a razão entre o lado adjacente (próximo) e o lado oposto (distante).
Vamos relembrar o curso escolar de matemática e falar sobre o que é uma tangente e como encontrar a tangente de um ângulo. Primeiro, vamos definir o que é chamado de tangente. Em um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. A perna adjacente é aquela que participa da formação do ângulo, a perna oposta é aquela que fica oposta ao ângulo.
Além disso, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno desse ângulo e seu cosseno. Para entender, vamos lembrar o que são o seno e o cosseno de um ângulo. O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa, o cosseno é a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa.
Também existe uma cotangente, que é oposta à tangente. A cotangente é a razão entre o lado adjacente e o lado oposto e, consequentemente, a razão entre o cosseno do ângulo e seu seno.
Seno, cosseno, tangente e cotangente são funções trigonométricas de um ângulo; elas mostram a relação entre os ângulos e lados de um triângulo e ajudam a calcular os lados de um triângulo.
Calcular a tangente de um ângulo agudo
Como encontrar a tangente em um triângulo? Para não perder tempo procurando a tangente, você encontra tabelas especiais que indicam as funções trigonométricas de vários ângulos. Nos problemas de geometria escolar, certos ângulos são muito comuns, e os professores são solicitados a memorizar os valores de seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes. Oferecemos-lhe uma pequena placa com os valores exigidos destes ângulos.
Se o ângulo cuja tangente você precisa encontrar não estiver apresentado nesta tabela, você poderá usar duas fórmulas, que apresentamos acima na forma verbal.
A primeira maneira de calcular a tangente de um ângulo é dividir o comprimento da perna oposta pelo comprimento da perna adjacente. Digamos que o lado oposto seja 4 e o lado adjacente seja 8. Para encontrar a tangente, você precisa de 4:8. A tangente do ângulo será ½ ou 0,5.
A segunda maneira de calcular a tangente é dividir o valor do seno de um determinado ângulo pelo valor do seu cosseno. Por exemplo, temos um ângulo de 45 graus. Seu pecado = raiz de dois dividido por dois; seu cos é igual ao mesmo número. Agora dividimos o seno pelo cosseno e obtemos uma tangente igual a um.
Acontece que você precisa usar exatamente esta fórmula, mas apenas um elemento é conhecido - seno ou cosseno. Neste caso, será útil lembrar a fórmula
sin2 α + cos2 α = 1. Esta é a identidade trigonométrica básica. Ao expressar um elemento desconhecido em termos de um elemento conhecido, você pode descobrir seu significado. E conhecendo o seno e o cosseno, não é difícil encontrar a tangente.
E se a geometria claramente não é sua vocação, mas você ainda precisa fazer sua lição de casa, então você pode usar a calculadora online para calcular a tangente de um ângulo.
Dissemos a você, usando exemplos simples, como encontrar a tangente. No entanto, as condições da tarefa podem ser mais difíceis e nem sempre é possível descobrir rapidamente todos os dados necessários. Neste caso, o teorema de Pitágoras e várias funções trigonométricas irão ajudá-lo.
A tabela contém valores tangentes de 0° a 360°.
Uma tabela de tangentes é necessária quando você não tem uma calculadora em mãos. Para saber qual é a tangente de um ângulo, basta procurar na tabela. Primeiro, uma versão resumida da tabela:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
Tabela tangente para 0°-180°
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Tabela tangente para 180° - 360°
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Existem também as seguintes tabelas de funções trigonométricas em geometria: tabela de senos, tabela de cossenos e tabela de cotangentes.
Tudo para estudar » Matemática na escola » Tabela de tangentes de ângulos (ângulos, valores)
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Sinais de funções trigonométricas
O sinal da função trigonométrica depende unicamente do quadrante coordenado em que o argumento numérico está localizado.
Da última vez, aprendemos a converter argumentos de uma medida em radianos para uma medida em graus (veja a lição “Medida em radianos e graus de um ângulo”) e, em seguida, determinar esse mesmo quarto de coordenadas. Agora vamos determinar o sinal do seno, cosseno e tangente.
ângulo α é a ordenada (coordenada y) de um ponto em um círculo trigonométrico que ocorre quando o raio é girado pelo ângulo α.
ângulo α é a abcissa (coordenada x) de um ponto em um círculo trigonométrico que ocorre quando o raio é girado pelo ângulo α.
ângulo α é a razão entre seno e cosseno.
Ou, o que dá no mesmo, a razão entre a coordenada y e a coordenada x.
Notação: sin α = y; cosα = x; tg α = y: x .
Todas essas definições são familiares para você desde a álgebra do ensino médio. No entanto, não estamos interessados nas definições em si, mas nas consequências que surgem no círculo trigonométrico. Dê uma olhada:
A cor azul indica a direção positiva do eixo OY (eixo das ordenadas), o vermelho indica a direção positiva do eixo OX (eixo das abcissas).
Neste "radar" os sinais das funções trigonométricas tornam-se óbvios. Em particular:
- sen α > 0 se o ângulo α estiver no quadrante de coordenadas I ou II. Isso ocorre porque, por definição, o seno é uma ordenada (coordenada y).
E a coordenada y será positiva justamente nos trimestres das coordenadas I e II;
- cos α > 0, se o ângulo α estiver no 1º ou 4º quadrante de coordenadas. Porque só aí a coordenada x (também conhecida como abcissa) será maior que zero;
- tan α > 0 se o ângulo α estiver no quadrante de coordenadas I ou III. Isso decorre da definição: afinal, tan α = y: x, portanto é positivo apenas onde os sinais de x e y coincidem.
Isso acontece no primeiro trimestre de coordenadas (aqui x > 0, y > 0) e no terceiro trimestre de coordenadas (x< 0, y < 0).
Para maior clareza, observemos os sinais de cada função trigonométrica - seno, cosseno e tangente - em “radares” separados. Obtemos a seguinte imagem:
Nota: em minhas discussões nunca falei sobre a quarta função trigonométrica - cotangente.
O fato é que os sinais cotangentes coincidem com os sinais tangentes - não existem regras especiais aí.
Proponho agora considerar exemplos semelhantes aos problemas B11 do exame experimental de matemática, realizado em 27 de setembro de 2011. Afinal, a melhor forma de entender a teoria é a prática. É aconselhável ter muita prática. Claro, as condições das tarefas foram ligeiramente alteradas.
Tarefa. Determine os sinais de funções e expressões trigonométricas (os valores das próprias funções não precisam ser calculados):
- pecado(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sen (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sen (5π/6) cos (7π/4);
- bronzeado (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
O plano de ação é este: primeiro convertemos todos os ângulos das medidas em radianos para graus (π → 180°) e, em seguida, verificamos em qual quarto de coordenadas está o número resultante.
Conhecendo os bairros, podemos facilmente encontrar a sinalização - de acordo com as regras que acabamos de descrever. Nós temos:
- sen (3π/4) = sen (3 · 180°/4) = sen 135°. Desde 135° ∈ , este é um ângulo do quadrante de coordenadas II. Mas o seno no segundo quarto é positivo, então sen (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Porque 210° ∈ , este é o ângulo do terceiro quadrante de coordenadas, no qual todos os cossenos são negativos.
Portanto cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. A partir de 300° ∈ , estamos no quarto IV, onde a tangente assume valores negativos. Portanto bronzeado (5π/3)< 0;
- sen (3π/4) cos (5π/6) = sen (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sen 135° cos 150°. Vamos lidar com o seno: porque 135° ∈ , este é o segundo trimestre em que os senos são positivos, ou seja,
sen (3π/4) > 0. Agora trabalhamos com cosseno: 150° ∈ - novamente o segundo quarto, os cossenos lá são negativos. Portanto cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Observamos o cosseno: 120° ∈ é o quarto da coordenada II, então cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
A tangente ali é positiva, então tan (π/4) > 0. Novamente obtemos um produto no qual os fatores têm sinais diferentes. Como “menos por mais dá menos”, temos: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sen (5π/6) cos (7π/4) = sen (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sen 150° cos 315°. Trabalhamos com o seno: desde 150° ∈ , estamos falando do quarto de coordenadas II, onde os senos são positivos.
Portanto, sen (5π/6) > 0. Da mesma forma, 315° ∈ é o quarto da coordenada IV, os cossenos ali são positivos.
Portanto cos (7π/4) > 0. Obtivemos o produto de dois números positivos - tal expressão é sempre positiva. Concluímos: sen (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°.
Mas o ângulo 135° ∈ é o segundo quarto, ou seja, tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Como “menos por mais dá um sinal de menos”, temos: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Observamos o argumento da cotangente: 240° ∈ é o quarto da coordenada III, portanto ctg (4π/3) > 0. Da mesma forma, para a tangente temos: 30° ∈ é o quarto da coordenada I, ou seja, o ângulo mais simples. Portanto tan (π/6) > 0. Novamente temos duas expressões positivas - o seu produto também será positivo.
Portanto cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
Finalmente, vejamos alguns problemas mais complexos. Além de descobrir o sinal da função trigonométrica, você terá que fazer um pouco de matemática aqui - exatamente como é feito nos problemas reais B11. Em princípio, estes são problemas quase reais que realmente aparecem no Exame Estadual Unificado em matemática.
Encontre sen α se sin2 α = 0,64 e α ∈ [π/2; π].
Como sen2 α = 0,64, temos: sen α = ±0,8.
Resta decidir: mais ou menos? Por condição, ângulo α ∈ [π/2; π] é o quarto da coordenada II, onde todos os senos são positivos. Consequentemente, sin α = 0,8 - a incerteza com os sinais é eliminada.
Tarefa. Encontre cos α se cos2 α = 0,04 e α ∈ [π; 3π/2].
Agimos de forma semelhante, ou seja,
tire a raiz quadrada: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Por condição, ângulo α ∈ [π; 3π/2], ou seja, Estamos falando do terceiro trimestre de coordenadas. Todos os cossenos são negativos, então cos α = −0,2.
Tarefa. Encontre sin α se sin2 α = 0,25 e α ∈ .
Temos: sen2 α = 0,25 ⇒ sen α = ±0,5.
Funções trigonométricas de qualquer ângulo
Olhamos novamente para o ângulo: α ∈ é o quarto da coordenada IV, no qual, como sabemos, o seno será negativo. Assim, concluímos: sen α = −0,5.
Tarefa. Encontre tan α se tan2 α = 9 e α ∈ .
Tudo é igual, apenas para a tangente.
Extraia a raiz quadrada: tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Mas de acordo com a condição, o ângulo α ∈ é o quarto da coordenada I. Todas as funções trigonométricas, incl. tangente, existem positivos, então tan α = 3. É isso!
