Ao estudar álgebra em uma escola secundária (9ª série), um dos tópicos importantes é o estudo de sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo, consideraremos uma progressão aritmética e exemplos com soluções.

O que é uma progressão aritmética?

Para entender isso, é necessário dar uma definição da progressão em consideração, bem como dar as fórmulas básicas que serão usadas posteriormente na resolução de problemas.

Aritmética ou é um conjunto de números racionais ordenados, cada membro dos quais difere do anterior por algum valor constante. Esse valor é chamado de diferença. Ou seja, conhecendo qualquer membro de uma série ordenada de números e a diferença, você pode restaurar toda a progressão aritmética.

Vamos dar um exemplo. A próxima sequência de números será uma progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ..., pois a diferença neste caso é 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mas o conjunto dos números 3, 5, 8, 12, 17 não pode mais ser atribuído ao tipo de progressão em consideração, pois a diferença para ele não é um valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fórmulas importantes

Apresentamos agora as fórmulas básicas que serão necessárias para resolver problemas usando uma progressão aritmética. Seja a n o enésimo membro da sequência, onde n é um inteiro. A diferença é denotada pela letra latina d. Então as seguintes expressões são verdadeiras:

1. Para determinar o valor do enésimo termo, a fórmula é adequada: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Para determinar a soma dos primeiros n termos: S n = (a n + a 1)*n/2.

Para compreender quaisquer exemplos de progressão aritmética com solução no 9º ano, basta recordar estas duas fórmulas, uma vez que quaisquer problemas do tipo em questão são construídos na sua utilização. Além disso, não esqueça que a diferença de progressão é determinada pela fórmula: d = a n - a n-1 .

Exemplo nº 1: Encontrando um membro desconhecido

Damos um exemplo simples de progressão aritmética e as fórmulas que devem ser usadas para resolver.

Seja dada a sequência 10, 8, 6, 4, ..., é necessário encontrar cinco termos nela.

Já decorre das condições do problema que os primeiros 4 termos são conhecidos. A quinta pode ser definida de duas maneiras:

1. Vamos calcular a diferença primeiro. Temos: d = 8 - 10 = -2. Da mesma forma, pode-se tomar quaisquer outros dois termos próximos um do outro. Por exemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d \u003d a n - a n-1, então d \u003d a 5 - a 4, de onde obtemos: a 5 \u003d a 4 + d. Substituímos os valores conhecidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. O segundo método também requer conhecimento da diferença da progressão em questão, então você precisa primeiro determiná-la, como mostrado acima (d = -2). Sabendo que o primeiro termo a 1 = 10, usamos a fórmula para o número n da sequência. Temos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Substituindo n = 5 na última expressão, obtemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Como você pode ver, ambas as soluções levam ao mesmo resultado. Observe que neste exemplo a diferença d da progressão é negativa. Essas sequências são chamadas decrescentes porque cada próximo termo é menor que o anterior.

Exemplo #2: diferença de progressão

Agora vamos complicar um pouco a tarefa, dar um exemplo de como encontrar a diferença de uma progressão aritmética.

Sabe-se que em alguma progressão algébrica o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar esta sequência ao 7º termo.

Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Substituímos os dados conhecidos da condição, ou seja, os números a 1 e a 7, temos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir desta expressão, você pode calcular facilmente a diferença: d = (18 - 6) / 6 = 2. Assim, a primeira parte do problema foi respondida.

Para restaurar a sequência para o 7º membro, você deve usar a definição de progressão algébrica, ou seja, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e assim por diante. Como resultado, restauramos a sequência inteira: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.

Exemplo #3: fazendo uma progressão

Vamos complicar ainda mais a condição do problema. Agora você precisa responder à pergunta de como encontrar uma progressão aritmética. O seguinte exemplo pode ser dado: dois números são dados, por exemplo, 4 e 5. É necessário fazer uma progressão algébrica para que mais três termos sejam colocados entre estes.

Antes de começar a resolver este problema, é necessário entender que lugar os números dados ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 \u003d -4 e 5 \u003d 5. Tendo estabelecido isso, passamos a uma tarefa semelhante à anterior. Novamente, para o enésimo termo, usamos a fórmula, obtemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aqui a diferença não é um valor inteiro, mas é um número racional, então as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.

Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os membros ausentes da progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, que coincidiu com a condição do problema.

Exemplo #4: O primeiro membro da progressão

Continuamos a dar exemplos de uma progressão aritmética com uma solução. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora considere um problema de um tipo diferente: sejam dados dois números, onde a 15 = 50 e a 43 = 37. É necessário descobrir de qual número essa sequência começa.

As fórmulas que foram usadas até agora pressupõem o conhecimento de a 1 e d. Nada se sabe sobre esses números na condição do problema. No entanto, vamos escrever as expressões para cada termo sobre o qual temos informações: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Temos duas equações nas quais existem 2 incógnitas (a 1 e d). Isso significa que o problema é reduzido a resolver um sistema de equações lineares.

O sistema especificado é mais fácil de resolver se você expressar um 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de onde a diferença d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (apenas 3 casas decimais são fornecidas).

Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para a 1 . Por exemplo, primeiro: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Se houver dúvidas sobre o resultado, você pode verificá-lo, por exemplo, determinar o 43º membro da progressão, especificado na condição. Obtemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Um pequeno erro se deve ao fato de ter sido utilizado arredondamento para milésimos nos cálculos.

Exemplo #5: Soma

Agora vamos ver alguns exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.

Seja uma progressão numérica da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?

Graças ao desenvolvimento da tecnologia da computação, esse problema pode ser resolvido, ou seja, somar sequencialmente todos os números, o que o computador fará assim que uma pessoa pressionar a tecla Enter. No entanto, o problema pode ser resolvido mentalmente se você prestar atenção que a série de números apresentada é uma progressão algébrica, e sua diferença é 1. Aplicando a fórmula da soma, temos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

É curioso notar que esse problema é chamado de "gaussiano", pois no início do século XVIII o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos de idade, conseguiu resolvê-lo em sua mente em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula para a soma de uma progressão algébrica, mas percebeu que se somarmos pares de números localizados nas bordas da sequência, obteremos sempre o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100 / 2), para obter a resposta correta, basta multiplicar 50 por 101.

Exemplo #6: soma dos termos de n a m

Outro exemplo típico da soma de uma progressão aritmética é o seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir qual será a soma de seus termos de 8 a 14.

O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e, em seguida, resumi-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não é trabalhoso o suficiente. No entanto, propõe-se resolver este problema pelo segundo método, que é mais universal.

A ideia é obter uma fórmula para a soma de uma progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são inteiros. Para ambos os casos, escrevemos duas expressões para a soma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Como n > m, é óbvio que a soma 2 inclui o primeiro. A última conclusão significa que, se pegarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos o termo a m a ela (no caso de tirar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária para o problema. Temos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então temos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A fórmula resultante é um pouco complicada, no entanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.

Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão para o enésimo termo e a fórmula para a soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que deseja encontrar e só então prossiga com a solução.

Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você conseguir responder a pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com a solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e divida a tarefa geral em subtarefas separadas (neste caso, primeiro encontre os termos a n e a m).

Se houver dúvidas sobre o resultado, é recomendável verificar, como foi feito em alguns dos exemplos dados. Como encontrar uma progressão aritmética, descobri. Depois de descobrir, não é tão difícil.

Tipo de aula: aprendendo novos materiais.

Lições objetivas:

• ampliação e aprofundamento das ideias dos alunos sobre tarefas resolvidas por progressão aritmética; organizar a atividade de pesquisa dos alunos na obtenção da fórmula para a soma dos n primeiros membros de uma progressão aritmética;
• desenvolvimento de habilidades para adquirir novos conhecimentos de forma independente, usar conhecimentos já adquiridos para realizar a tarefa;
• desenvolvimento do desejo e necessidade de generalizar os fatos obtidos, o desenvolvimento da independência.

Tarefas:

• generalizar e sistematizar o conhecimento existente sobre o tema “Progressão aritmética”;
• derivar fórmulas para calcular a soma dos primeiros n membros de uma progressão aritmética;
• ensinar como aplicar as fórmulas obtidas na resolução de vários problemas;
• chamar a atenção dos alunos para o procedimento para encontrar o valor de uma expressão numérica.

Equipamento:

• cartões com tarefas para trabalho em grupo e dupla;
• papel de avaliação;
• apresentação"Progressão aritmética".

I. Atualização de conhecimentos básicos.

1. Trabalho independente em pares.

1ª opção:

Defina uma progressão aritmética. Escreva uma fórmula recursiva que defina uma progressão aritmética. Dê um exemplo de progressão aritmética e indique sua diferença.

2ª opção:

Escreva a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética. Encontre o 100º termo de uma progressão aritmética ( um}: 2, 5, 8 …
Neste momento, dois alunos no verso do quadro estão preparando respostas para as mesmas perguntas.
Os alunos avaliam o trabalho do parceiro comparando-o com o quadro. (Os folhetos com as respostas são entregues).

2. Momento do jogo.

Exercício 1.

Professora. Eu concebi uma progressão aritmética. Faça-me apenas duas perguntas para que, após as respostas, você possa nomear rapidamente o 7º membro dessa progressão. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Perguntas dos alunos.

1. Qual é o sexto termo da progressão e qual é a diferença?
2. Qual é o oitavo termo da progressão e qual é a diferença?

Se não houver mais perguntas, o professor pode estimulá-las - uma “proibição” de d (diferença), ou seja, não é permitido perguntar qual é a diferença. Você pode fazer perguntas: qual é o 6º termo da progressão e qual é o 8º termo da progressão?

Tarefa 2.

Há 20 números escritos no quadro: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

O professor fica de costas para o quadro-negro. Os alunos dizem o número do número, e o professor imediatamente liga para o próprio número. Explique como posso fazer?

O professor se lembra da fórmula do enésimo termo a n \u003d 3n - 2 e, substituindo os valores dados de n, encontra os valores correspondentes um .

II. Declaração da tarefa educativa.

Proponho resolver um antigo problema que remonta ao 2º milênio aC, encontrado em papiros egípcios.

Uma tarefa:“Diga-se a você: divida 10 medidas de cevada entre 10 pessoas, a diferença entre cada pessoa e seu vizinho é 1/8 da medida.”

• Como esse problema se relaciona com o tópico da progressão aritmética? (Cada próxima pessoa recebe 1/8 da medida a mais, então a diferença é d=1/8, 10 pessoas, então n=10.)
• O que você acha que o número 10 significa? (A soma de todos os membros da progressão.)
• O que mais você precisa saber para facilitar e simplificar a divisão da cevada de acordo com a condição do problema? (O primeiro termo da progressão.)

Objetivo da lição- obter a dependência da soma dos termos da progressão em seu número, o primeiro termo e a diferença, e verificar se o problema foi resolvido corretamente nos tempos antigos.

Antes de derivar a fórmula, vamos ver como os antigos egípcios resolveram o problema.

E resolveram assim:

1) 10 medidas: 10 = 1 medida - share médio;
2) 1 medida ∙ = 2 medidas - dobrado média compartilhar.
dobrou média a parte é a soma das partes da 5ª e 6ª pessoa.
3) 2 medidas - 1/8 medida = 1 7/8 medidas - o dobro da proporção da quinta pessoa.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - a parte do quinto; e assim por diante, você pode encontrar a participação de cada pessoa anterior e posterior.

Obtemos a sequência:

III. A solução da tarefa.

1. Trabalhe em grupos

1º grupo: Encontre a soma de 20 números naturais consecutivos: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

No geral

II grupo: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Conclusão:

III grupo: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 21.

Solução: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusão:

Grupo IV: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 101.

Conclusão:

Este método de resolução dos problemas considerados é chamado de “método de Gauss”.

2. Cada grupo apresenta a solução do problema no quadro.

3. Generalização das soluções propostas para uma progressão aritmética arbitrária:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Encontramos essa soma argumentando de forma semelhante:

4. Resolvemos a tarefa?(Sim.)

4. Compreensão primária e aplicação das fórmulas obtidas na resolução de problemas.

1. Verificando a solução de um problema antigo pela fórmula.

2. Aplicação da fórmula na resolução de vários problemas.

3. Exercícios para a formação da capacidade de aplicação da fórmula na resolução de problemas.

A) Nº 613

Dado :( e n) - progressão aritmética;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Achar: S 1500

Solução: , e 1 = 1, e 1500 = 1500,

B) Dado: ( e n) - progressão aritmética;
(e n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Achar: n
Solução:

V. Trabalho independente com verificação mútua.

Denis foi trabalhar como mensageiro. No primeiro mês, seu salário foi de 200 rublos, em cada mês subsequente aumentou em 30 rublos. Quanto ele ganhou em um ano?

Dado :( e n) - progressão aritmética;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Achar: S 12
Solução:

Resposta: Denis recebeu 4.380 rublos por ano.

VI. Instrução de lição de casa.

1. p. 4.3 - aprenda a derivação da fórmula.
2. №№ 585, 623 .
3. Componha um problema que seria resolvido usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.

VII. Resumindo a lição.

1. Folha de pontuação

2. Continue as frases

• Hoje na aula aprendi...
• Fórmulas aprendidas...
• Eu penso isso …

3. Você consegue encontrar a soma dos números de 1 a 500? Qual método você usará para resolver esse problema?

Bibliografia.

1. Álgebra, 9º ano. Livro didático para instituições de ensino. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscou: Iluminismo, 2009.

A soma de uma progressão aritmética.

A soma de uma progressão aritmética é uma coisa simples. Tanto no significado quanto na fórmula. Mas há todos os tipos de tarefas neste tópico. Do elementar ao bastante sólido.

Primeiro, vamos lidar com o significado e a fórmula da soma. E então decidiremos. Para seu próprio prazer.) O significado da soma é tão simples quanto abaixar. Para encontrar a soma de uma progressão aritmética, basta adicionar cuidadosamente todos os seus membros. Se esses termos forem poucos, você pode adicionar sem nenhuma fórmula. Mas se houver muito, ou muito... a adição é chata.) Nesse caso, a fórmula salva.

A fórmula da soma é simples:

Vamos descobrir que tipo de letras estão incluídas na fórmula. Isso vai esclarecer muito.

S n é a soma de uma progressão aritmética. Resultado da adição tudo membros, com primeiro sobre último.É importante. Some exatamente tudo membros seguidos, sem intervalos e saltos. E, exatamente, a partir de primeiro. Em problemas como encontrar a soma do terceiro e oitavo termos, ou a soma dos termos cinco ao vigésimo, a aplicação direta da fórmula será decepcionante.)

um 1 - o primeiro integrante da progressão. Tudo é claro aqui, é simples primeiro número da linha.

um- último integrante da progressão. O último número da linha. Não é um nome muito familiar, mas, quando aplicado à quantidade, é muito adequado. Então você vai ver por si mesmo.

n é o número do último membro. É importante entender que na fórmula esse número coincide com o número de termos adicionados.

Vamos definir o conceito último membro um. Pergunta de preenchimento: que tipo de membro último, se dado sem fim progressão aritmética?

Para uma resposta segura, você precisa entender o significado elementar de uma progressão aritmética e... leia a tarefa com atenção!)

Na tarefa de encontrar a soma de uma progressão aritmética, o último termo sempre aparece (direta ou indiretamente), que deve ser limitado. Caso contrário, uma quantidade finita e específica simplesmente não existe. Para a solução, não importa que tipo de progressão é dada: finita ou infinita. Não importa como é dado: por uma série de números, ou pela fórmula do enésimo membro.

O mais importante é entender que a fórmula funciona do primeiro termo da progressão até o termo com o número n. Na verdade, o nome completo da fórmula se parece com isso: a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. O número desses primeiros membros, ou seja, n, é determinado exclusivamente pela tarefa. Na tarefa, muitas vezes, toda essa informação valiosa é criptografada, sim... Mas nada, nos exemplos abaixo vamos revelar esses segredos.)

Exemplos de tarefas para a soma de uma progressão aritmética.

Antes de mais nada, informações úteis:

A principal dificuldade em tarefas para a soma de uma progressão aritmética é a determinação correta dos elementos da fórmula.

Os autores das atribuições criptografam esses mesmos elementos com imaginação sem limites.) O principal aqui é não ter medo. Entendendo a essência dos elementos, basta decifrá-los. Vamos dar uma olhada em alguns exemplos em detalhes. Vamos começar com uma tarefa baseada em um GIA real.

1. A progressão aritmética é dada pela condição: a n = 2n-3,5. Encontre a soma dos 10 primeiros termos.

Bom trabalho. Fácil.) Para determinar a quantidade de acordo com a fórmula, o que precisamos saber? Primeiro membro um 1, último termo um, sim o número do último termo n.

Onde obter o último número de membro n? Sim, lá, na condição! Diz encontrar a soma primeiros 10 membros. Bem, qual será o número último, décimo membro?) Você não vai acreditar, o número dele é o décimo!) Portanto, em vez de um vamos substituir na fórmula um 10, mas ao invés n- dez. Novamente, o número do último membro é o mesmo que o número de membros.

Resta determinar um 1 e um 10. Isso é facilmente calculado pela fórmula do enésimo termo, que é dada na declaração do problema. Não sabe como fazer? Visite a lição anterior, sem isso - nada.

um 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

um 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Descobrimos o significado de todos os elementos da fórmula para a soma de uma progressão aritmética. Resta substituí-los e contar:

Isso é tudo o que há para isso. Resposta: 75.

Outra tarefa baseada no GIA. Um pouco mais complicado:

2. Dada uma progressão aritmética (a n), cuja diferença é 3,7; a 1 \u003d 2.3. Encontre a soma dos 15 primeiros termos.

Imediatamente escrevemos a fórmula da soma:

Esta fórmula nos permite encontrar o valor de qualquer membro pelo seu número. Estamos procurando uma substituição simples:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Resta substituir todos os elementos da fórmula pela soma de uma progressão aritmética e calcular a resposta:

Resposta: 423.

A propósito, se na fórmula da soma em vez de um basta substituir a fórmula do enésimo termo, temos:

Damos semelhantes, obtemos uma nova fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética:

Como você pode ver, o enésimo termo não é necessário aqui. um. Em algumas tarefas, essa fórmula ajuda muito, sim... Você pode lembrar dessa fórmula. E você pode simplesmente retirá-lo no momento certo, como aqui. Afinal, a fórmula da soma e a fórmula do enésimo termo devem ser lembradas de todas as maneiras.)

Agora a tarefa na forma de uma criptografia curta):

3. Encontre a soma de todos os números positivos de dois dígitos que são múltiplos de três.

Quão! Sem primeiro membro, sem último, sem progressão alguma... Como viver!?

Você terá que pensar com a cabeça e retirar da condição todos os elementos da soma de uma progressão aritmética. O que são números de dois dígitos - nós sabemos. Eles consistem em dois números.) Que número de dois dígitos primeiro? 10, presumivelmente.) última coisa número de dois dígitos? 99, claro! Os de três dígitos o seguirão ...

Múltiplos de três... Hm... Estes são números que são divisíveis por três, aqui! Dez não é divisível por três, 11 não é divisível... 12... é divisível! Então, algo está surgindo. Você já pode escrever uma série de acordo com a condição do problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Esta série será uma progressão aritmética? É claro! Cada termo difere do anterior estritamente por três. Se 2, ou 4, for adicionado ao termo, digamos, o resultado, ou seja, um novo número não será mais dividido por 3. Você pode determinar imediatamente a diferença da progressão aritmética para a pilha: d = 3.Útil!)

Assim, podemos anotar com segurança alguns parâmetros de progressão:

Qual será o número núltimo membro? Quem pensa que 99 está fatalmente enganado... Números - eles sempre seguem em uma fila, e nossos membros saltam sobre os três primeiros. Eles não combinam.

Há duas soluções aqui. Uma maneira é para o super trabalhador. Você pode pintar a progressão, toda a série de números e contar o número de termos com o dedo.) A segunda maneira é para os pensativos. Você precisa se lembrar da fórmula para o enésimo termo. Se a fórmula for aplicada ao nosso problema, obtemos que 99 é o trigésimo membro da progressão. Aqueles. n = 30.

Vejamos a fórmula para a soma de uma progressão aritmética:

Olhamos e nos alegramos.) Retiramos tudo o que era necessário para calcular o valor da condição do problema:

um 1= 12.

um 30= 99.

S n = S 30.

O que resta é aritmética elementar. Substitua os números na fórmula e calcule:

Resposta: 1665

Outro tipo de quebra-cabeças populares:

4. Uma progressão aritmética é dada:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Encontre a soma dos termos do vigésimo ao trigésimo quarto.

Nós olhamos para a fórmula da soma e... ficamos chateados.) A fórmula, deixe-me lembrá-lo, calcula a soma desde o primeiro membro. E no problema você precisa calcular a soma desde o vigésimo... A fórmula não vai funcionar.

Você pode, é claro, pintar toda a progressão em uma linha e colocar os termos de 20 a 34. Mas ... de alguma forma, acaba estupidamente e por muito tempo, certo?)

Existe uma solução mais elegante. Vamos dividir nossa série em duas partes. A primeira parte vai do primeiro ao décimo nono mandato. A segunda parte - vinte a trinta e quatro.É claro que se calcularmos a soma dos termos da primeira parte S 1-19, vamos adicioná-lo à soma dos membros da segunda parte S 20-34, obtemos a soma da progressão do primeiro termo ao trigésimo quarto S 1-34. Assim:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Isso mostra que para encontrar a soma S 20-34 pode ser feito por simples subtração

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ambas as somas do lado direito são consideradas desde o primeiro membro, ou seja a fórmula de soma padrão é bastante aplicável a eles. Estamos começando?

Extraímos os parâmetros de progressão da condição da tarefa:

d = 1,5.

um 1= -21,5.

Para calcular as somas dos primeiros 19 e dos primeiros 34 termos, precisaremos dos 19º e 34º termos. Nós os contamos de acordo com a fórmula do enésimo termo, como no problema 2:

um 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

um 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Não sobrou nada. Subtraia a soma de 19 termos da soma de 34 termos:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Resposta: 262,5

Uma observação importante! Há um recurso muito útil para resolver esse problema. Em vez de cálculo direto o que você precisa (S 20-34), nós contamos o que, ao que parece, não é necessário - S 1-19. E então eles determinaram S 20-34, descartando o desnecessário do resultado completo. Essa "finta com as orelhas" geralmente salva em quebra-cabeças malignos.)

Nesta lição, examinamos problemas para os quais basta entender o significado da soma de uma progressão aritmética. Bem, você precisa conhecer algumas fórmulas.)

Conselho prático:

Ao resolver qualquer problema para a soma de uma progressão aritmética, recomendo escrever imediatamente as duas fórmulas principais deste tópico.

Fórmula do enésimo termo:

Essas fórmulas lhe dirão imediatamente o que procurar, em que direção pensar para resolver o problema. Ajuda.

E agora as tarefas para solução independente.

5. Encontre a soma de todos os números de dois dígitos que não são divisíveis por três.

Legal?) A dica está escondida na nota do problema 4. Bem, o problema 3 vai ajudar.

6. A progressão aritmética é dada pela condição: a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Encontre a soma dos primeiros 24 termos.

Incomum?) Esta é uma fórmula recorrente. Você pode ler sobre isso na lição anterior. Não ignore o link, esses quebra-cabeças são frequentemente encontrados no GIA.

7. Vasya economizou dinheiro para o feriado. Tanto quanto 4550 rublos! E decidi dar à pessoa mais amada (eu) alguns dias de felicidade). Viva lindamente sem negar nada a si mesmo. Gaste 500 rublos no primeiro dia e gaste 50 rublos a mais em cada dia subsequente do que no anterior! Até o dinheiro acabar. Quantos dias de felicidade Vasya teve?

É difícil?) Uma fórmula adicional da tarefa 2 ajudará.

Respostas (em desordem): 7, 3240, 6.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Primeiro nível

Progressão aritmética. Teoria detalhada com exemplos (2019)

Sequência numérica

Então vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos quiser (no nosso caso, eles). Não importa quantos números escrevamos, sempre podemos dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica:

Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número de sequência. Em outras palavras, não há números de três segundos na sequência. O segundo número (como o número -th) é sempre o mesmo.
O número com o número é chamado de -th membro da sequência.

Geralmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

No nosso caso:

Digamos que temos uma sequência numérica na qual a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo:

etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio já no século VI e foi entendido em um sentido mais amplo como uma sequência numérica sem fim. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, na qual os antigos gregos estavam envolvidos.

Esta é uma sequência numérica, cada membro do qual é igual ao anterior, somado com o mesmo número. Esse número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é denotado.

Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:

a)
b)
c)
d)

Entendi? Compare nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
não é progressão aritmética - a, d.

Vamos retornar à progressão dada () e tentar encontrar o valor de seu º membro. Existe dois maneira de encontrá-lo.

1. Método

Podemos somar ao valor anterior do número da progressão até chegarmos ao º termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir - apenas três valores:

Assim, o -ésimo membro da progressão aritmética descrita é igual a.

2. Método

E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? A soma nos levaria mais de uma hora, e não é fato que não teríamos cometido erros ao somar os números.
É claro que os matemáticos inventaram uma maneira pela qual você não precisa adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Olhe atentamente para a imagem desenhada ... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:

Por exemplo, vamos ver o que compõe o valor do -th membro desta progressão aritmética:


Em outras palavras:

Tente encontrar independentemente dessa maneira o valor de um membro dessa progressão aritmética.

Calculado? Compare suas entradas com a resposta:

Preste atenção que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando somamos sucessivamente os membros de uma progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar "despersonalizar" esta fórmula - nós a trazemos para uma forma geral e obtemos:

Equação de progressão aritmética.

As progressões aritméticas são crescentes ou decrescentes.

Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:

descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:

A fórmula derivada é usada no cálculo de termos em termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos conferir na prática.
Temos uma progressão aritmética composta pelos seguintes números:

Desde então:

Assim, ficamos convencidos de que a fórmula funciona tanto na progressão aritmética decrescente quanto na progressão aritmética crescente.
Tente encontrar os membros -th e -th dessa progressão aritmética por conta própria.

Vamos comparar os resultados:

Propriedade de progressão aritmética

Vamos complicar a tarefa - derivamos a propriedade de uma progressão aritmética.
Suponha que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
É fácil, você diz, e comece a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:

Seja, a, então:

Absolutamente certo. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que estamos procurando. Se a progressão é representada por pequenos valores, então não há nada complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense, é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e vamos tentar trazê-lo agora.

Vamos denotar o termo desejado da progressão aritmética como conhecemos a fórmula para encontrá-lo - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, então:

• o membro anterior da progressão é:
• o próximo termo da progressão é:

Vamos somar os membros anteriores e seguintes da progressão:

Acontece que a soma dos membros anteriores e subsequentes da progressão é duas vezes o valor do membro da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um membro de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário somá-los e dividir por.

Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos corrigir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, porque não é nada difícil.

Bem feito! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula, que, segundo a lenda, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o "rei dos matemáticos" - Karl Gauss, facilmente deduziu por si mesmo ...

Quando Carl Gauss tinha 9 anos, o professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, pediu a seguinte tarefa na aula: "Calcule a soma de todos os números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive. " Qual foi a surpresa do professor quando um de seus alunos (foi Karl Gauss) depois de um minuto deu a resposta correta para a tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário após longos cálculos receberam o resultado errado ...

O jovem Carl Gauss notou um padrão que você pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética composta por -ti membros: Precisamos encontrar a soma dos membros dados da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se precisarmos encontrar a soma de seus termos na tarefa, como Gauss estava procurando?

Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe atentamente os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles.


Tentou? O que você notou? Corretamente! Suas somas são iguais

Agora responda, quantos desses pares haverá na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números, isso é.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual, e pares iguais semelhantes, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Em alguns problemas, não sabemos o º termo, mas sabemos a diferença de progressão. Tente substituir na fórmula da soma, a fórmula do º membro.
O que você conseguiu?

Bem feito! Agora vamos voltar ao problema que foi dado a Carl Gauss: calcule por si mesmo qual é a soma dos números a partir do -th e a soma dos números a partir do -th.

Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi assim que você decidiu?

De fato, a fórmula para a soma dos membros de uma progressão aritmética foi provada pelo antigo cientista grego Diofante no século III e, durante todo esse tempo, pessoas espirituosas usaram as propriedades de uma progressão aritmética com força e principal.
Por exemplo, imagine o Egito Antigo e o maior edifício da época - a construção de uma pirâmide... A figura mostra um lado dela.

Onde está a progressão aqui, você diz? Olhe atentamente e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada fileira da parede da pirâmide.


Por que não uma progressão aritmética? Conte quantos blocos são necessários para construir uma parede se blocos de tijolos forem colocados na base. Espero que você não conte movendo o dedo pelo monitor, você se lembra da última fórmula e de tudo que falamos sobre progressão aritmética?

Nesse caso, a progressão fica assim:
Diferença de progressão aritmética.
O número de membros de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (contamos o número de blocos de 2 maneiras).

Método 1.

Método 2.

E agora você também pode calcular no monitor: compare os valores obtidos​​com o número de blocos que estão em nossa pirâmide. Concordou? Muito bem, você dominou a soma dos º termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide a partir dos blocos da base, mas a partir de? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com essa condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:

Treino

Tarefas:

1. Masha está ficando em forma para o verão. A cada dia ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha vai agachar em semanas se ela fez agachamento no primeiro treino.
2. Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
3. Ao armazenar toras, os lenhadores os empilham de tal forma que cada camada superior contém uma tora a menos que a anterior. Quantas toras estão em uma alvenaria, se a base da alvenaria for toras.

Respostas:

1. Vamos definir os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
   (semanas = dias).

   Responda: Em duas semanas, Masha deve agachar uma vez por dia.

2. Primeiro número ímpar, último número.
   Diferença de progressão aritmética.
   O número de números ímpares em - metade, no entanto, verifique esse fato usando a fórmula para encontrar o -ésimo membro de uma progressão aritmética:

   Os números contêm números ímpares.
   Substituímos os dados disponíveis na fórmula:

   Responda: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual a.

3. Lembre-se do problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , como cada camada superior é reduzida em um log, há apenas um monte de camadas, ou seja.
   Substitua os dados na fórmula:

   Responda: Há troncos na alvenaria.

Resumindo

1. - uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Está aumentando e diminuindo.
2. Encontrando a fórmulaº membro de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
3. Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde - o número de números na progressão.
4. A soma dos membros de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:
   
   , onde é o número de valores.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO

Sequência numérica

Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número, e pode haver quantos você quiser. Mas você sempre pode dizer qual deles é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de uma sequência numérica.

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número único.

Em outras palavras, cada número pode ser associado a um determinado número natural, e apenas um. E não atribuiremos esse número a nenhum outro número deste conjunto.

O número com o número é chamado de -th membro da sequência.

Geralmente chamamos a sequência inteira de alguma letra (por exemplo,), e cada membro dessa sequência - a mesma letra com um índice igual ao número desse membro: .

É muito conveniente que o -ésimo membro da sequência possa ser dado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula

define a sequência:

E a fórmula é a seguinte sequência:

Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença). Ou (, diferença).

fórmula do enésimo termo

Chamamos de recorrente uma fórmula em que, para descobrir o -ésimo termo, você precisa conhecer o anterior ou vários anteriores:

Para encontrar, por exemplo, o º termo da progressão usando tal fórmula, temos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:

Bem, agora está claro qual é a fórmula?

Em cada linha, somamos, multiplicamos por algum número. Para que? Muito simples: este é o número do membro atual menos:

Muito mais confortável agora, certo? Verificamos:

Decida por si mesmo:

Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.

Solução:

O primeiro termo é igual. e qual é a diferença? E aqui está o que:

(afinal, chama-se diferença porque é igual à diferença dos membros sucessivos da progressão).

Então a fórmula é:

Então o centésimo termo é:

Qual é a soma de todos os números naturais de a?

Segundo a lenda, o grande matemático Carl Gauss, sendo um menino de 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele notou que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do 3º a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números, isto é. Então,

A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Exemplo:
Encontre a soma de todos os múltiplos de dois dígitos.

Solução:

O primeiro número é este. Cada próximo é obtido adicionando um número ao anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.

A fórmula para o º termo desta progressão é:

Quantos termos estão na progressão se todos eles devem ter dois dígitos?

Muito fácil: .

O último termo da progressão será igual. Então a soma:

Responda: .

Agora decida você mesmo:

1. Todos os dias o atleta corre 1m a mais que no dia anterior. Quantos quilômetros ele correrá em semanas se ele correu km m no primeiro dia?
2. Um ciclista percorre mais quilômetros por dia do que o anterior. No primeiro dia ele viajou km. Quantos dias ele tem que dirigir para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia da viagem?
3. O preço de uma geladeira na loja é reduzido na mesma quantidade todos os anos. Determine quanto o preço de uma geladeira diminuiu a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois foi vendido por rublos.

Respostas:

1. O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
   .
   Responda:
2. Aqui é dado:, é necessário encontrar.
   Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
   .
   Substitua os valores:

   A raiz obviamente não se encaixa, então a resposta.
   Vamos calcular a distância percorrida no último dia usando a fórmula do -th membro:
   (km).
   Responda:

3. Dado: . Achar: .
   Não fica mais fácil:
   (esfregar).
   Responda:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre os números adjacentes é a mesma e igual.

A progressão aritmética é crescente () e decrescente ().

Por exemplo:

A fórmula para encontrar o n-ésimo membro de uma progressão aritmética

é escrito como uma fórmula, onde é o número de números na progressão.

Propriedade dos membros de uma progressão aritmética

Fica fácil encontrar um membro da progressão se seus membros vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.

A soma dos membros de uma progressão aritmética

Existem duas maneiras de encontrar a soma:

Onde é o número de valores.

Onde é o número de valores.

O conceito de sequência numérica implica que cada número natural corresponde a algum valor real. Essa série de números pode ser arbitrária e ter certas propriedades - uma progressão. Neste último caso, cada elemento subsequente (membro) da sequência pode ser calculado usando o anterior.

Uma progressão aritmética é uma sequência de valores numéricos em que seus membros vizinhos diferem entre si pelo mesmo número (todos os elementos da série, a partir do 2º, têm uma propriedade semelhante). Esse número - a diferença entre o membro anterior e o subsequente - é constante e é chamado de diferença de progressão.

Diferença de progressão: definição

Considere uma sequência composta por valores j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j pertence ao conjunto dos números naturais N. Uma progressão aritmética, de acordo com sua definição, é uma sequência , na qual a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. O valor de d é a diferença desejada desta progressão.

d = a(j) - a(j-1).

Distribuir:

• Uma progressão crescente, caso em que d > 0. Exemplo: 4, 8, 12, 16, 20, …
• progressão decrescente, então d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Diferença de progressão e seus elementos arbitrários

Se 2 membros arbitrários da progressão (i-th, k-th) são conhecidos, então a diferença para esta sequência pode ser estabelecida com base na relação:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, então d = (a(i) - a(k))/(i-k).

A diferença de progressão e seu primeiro termo

Essa expressão ajudará a determinar o valor desconhecido apenas nos casos em que o número do elemento de sequência for conhecido.

Diferença de progressão e sua soma

A soma de uma progressão é a soma de seus termos. Para calcular o valor total de seus primeiros elementos j, use a fórmula correspondente:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, mas desde a(j) = a(1) + d(j – 1), então S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.