LEI DE DISTRIBUIÇÃO E CARACTERÍSTICAS

VALORES ALEATÓRIOS

Variáveis ​​aleatórias, sua classificação e métodos de descrição.

Um valor aleatório é uma quantidade que, como resultado de um experimento, pode assumir um ou outro valor, mas que não é conhecido antecipadamente. Para uma variável aleatória, portanto, apenas valores podem ser especificados, um dos quais necessariamente levará como resultado do experimento. Esses valores serão referidos como possíveis valores da variável aleatória. Como uma variável aleatória caracteriza quantitativamente o resultado aleatório de um experimento, ela pode ser considerada como uma característica quantitativa de um evento aleatório.

Variáveis ​​aleatórias geralmente são denotadas por letras maiúsculas do alfabeto latino, por exemplo, X..Y..Z, e seus possíveis valores pelas letras minúsculas correspondentes.

Existem três tipos de variáveis ​​aleatórias:

discreto; Contínuo; Misturado.

Discreto tal variável aleatória é chamada, cujo número de valores possíveis forma um conjunto contável. Por sua vez, um conjunto contável é um conjunto cujos elementos podem ser numerados. A palavra "discreto" vem do latim discretus, que significa "descontínuo, constituído de partes separadas".

Exemplo 1. Uma variável aleatória discreta é o número de peças defeituosas X em um lote de nfl. De fato, os valores possíveis dessa variável aleatória são uma série de inteiros de 0 a n.

Exemplo 2. Uma variável aleatória discreta é o número de tiros antes do primeiro acerto no alvo. Aqui, como no Exemplo 1, os valores possíveis podem ser numerados, embora no caso limite o valor possível seja um número infinitamente grande.

Contínuo uma variável aleatória é chamada, cujos valores possíveis preenchem continuamente um determinado intervalo do eixo numérico, às vezes chamado de intervalo de existência dessa variável aleatória. Assim, em qualquer intervalo finito de existência, o número de valores possíveis de uma variável aleatória contínua é infinitamente grande.

Exemplo 3. Uma variável aleatória contínua é o consumo de eletricidade no empreendimento por um mês.

Exemplo 4. Uma variável aleatória contínua é o erro na medição da altura usando um altímetro. Que se saiba pelo princípio de funcionamento do altímetro que o erro está na faixa de 0 a 2 m. Portanto, o intervalo de existência dessa variável aleatória é o intervalo de 0 a 2 m.

Lei da distribuição de variáveis ​​aleatórias.

Uma variável aleatória é considerada completamente especificada se seus valores possíveis forem indicados no eixo numérico e a lei de distribuição for estabelecida.

A lei da distribuição de uma variável aleatória é chamada de relação que estabelece uma relação entre os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades correspondentes.

Diz-se que uma variável aleatória é distribuída de acordo com uma determinada lei, ou sujeita a uma determinada lei de distribuição. Um número de probabilidades, uma função de distribuição, uma densidade de probabilidade, uma função característica são usados ​​como leis de distribuição.

A lei de distribuição fornece uma descrição provável completa de uma variável aleatória. De acordo com a lei de distribuição, é possível julgar antes da experiência quais valores possíveis de uma variável aleatória aparecerão com mais frequência e quais com menos frequência.

Para uma variável aleatória discreta, a lei de distribuição pode ser dada na forma de uma tabela, analiticamente (na forma de uma fórmula) e graficamente.

A forma mais simples de especificar a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma tabela (matriz), que lista em ordem crescente todos os valores possíveis de uma variável aleatória e suas probabilidades correspondentes, ou seja,

Essa tabela é chamada de série de distribuição de uma variável aleatória discreta. 1

Os eventos X 1 , X 2 ,..., X n , consistindo no fato de que, como resultado do teste, a variável aleatória X assumirá os valores x 1 , x 2 ,... x n, respectivamente , são inconsistentes e os únicos possíveis (porque a tabela lista todos os valores possíveis de uma variável aleatória), ou seja, formar um grupo completo. Portanto, a soma de suas probabilidades é igual a 1. Assim, para qualquer variável aleatória discreta

(Esta unidade é de alguma forma distribuída entre os valores da variável aleatória, daí o termo "distribuição").

Uma série de distribuição pode ser exibida graficamente se os valores de uma variável aleatória forem plotados ao longo do eixo das abcissas e suas probabilidades correspondentes ao longo do eixo das ordenadas. A conexão dos pontos obtidos forma uma linha quebrada, chamada de polígono ou polígono da distribuição de probabilidade (Fig. 1).

Exemplo A loteria é jogada: um carro no valor de 5000 den. unidades, 4 TVs no valor de 250 den. unidade, 5 videocassetes no valor de 200 den. unidades No total, 1000 ingressos são vendidos por 7 den. unidades Elaborar a lei de distribuição dos ganhos líquidos recebidos pelo participante da loteria que comprou um bilhete.

Decisão. Os valores possíveis da variável aleatória X - ganhos líquidos por bilhete - são 0-7 = -7 den. unidades (se o bilhete não ganhou), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unidades (se o bilhete ganhou o videocassete, TV ou carro, respectivamente). Dado que de 1000 bilhetes o número de não-vencedores é 990, e os ganhos indicados são 5, 4 e 1, respectivamente, e usando a definição clássica de probabilidade, obtemos.

Exemplos de resolução de problemas no tópico "Variáveis ​​aleatórias".

Tarefa 1 . Há 100 bilhetes emitidos na loteria. Uma vitória de 50 USD foi jogada. e dez vitórias de $ 10 cada. Encontre a lei de distribuição do valor X - o custo de um possível ganho.

Decisão. Valores possíveis de X: x 1 = 0; x 2 = 10 e x 3 = 50. Como existem 89 bilhetes “vazios”, então p 1 = 0,89, a probabilidade de ganhar é 10 c.u. (10 bilhetes) – p 2 = 0,10 e para uma vitória de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Por isso:

	0,89	0,10	0,01

Fácil de controlar: .

Tarefa 2. A probabilidade de o comprador ter se familiarizado com a propaganda do produto antecipadamente é de 0,6 (p = 0,6). O controle seletivo de qualidade da publicidade é realizado por meio de pesquisa de compradores antes do primeiro que estudou o anúncio antecipadamente. Faça uma série de distribuição do número de compradores entrevistados.

Decisão. De acordo com a condição do problema p = 0,6. De: q=1 -p = 0,4. Substituindo esses valores, temos: e construir uma série de distribuição:

pi		0,24

Tarefa 3. Um computador consiste em três elementos operacionais independentes: uma unidade de sistema, um monitor e um teclado. Com um único aumento acentuado na tensão, a probabilidade de falha de cada elemento é de 0,1. Com base na distribuição de Bernoulli, elabore a lei de distribuição para o número de elementos com falha durante um pico de energia na rede.

Decisão. Considerar Distribuição de Bernoulli(ou binomial): a probabilidade de que em n testes, o evento A aparecerá exatamente k uma vez: , ou:

	q n					p n

NO vamos voltar à tarefa.

Valores possíveis de X (número de falhas):

x 0 =0 - nenhum dos elementos falhou;

x 1 =1 - falha de um elemento;

x 2 =2 - falha de dois elementos;

x 3 =3 - falha de todos os elementos.

Como, por condição, p = 0,1, então q = 1 – p = 0,9. Usando a fórmula de Bernoulli, obtemos

, ,

, .

O controle: .

Portanto, a lei de distribuição desejada:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tarefa 4. Produziu 5000 rodadas. A probabilidade de um cartucho estar com defeito . Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 cartuchos defeituosos em todo o lote?

Decisão. Aplicável Distribuição de veneno: esta distribuição é usada para determinar a probabilidade de que, dada uma grande

número de tentativas (ensaios em massa), em cada uma das quais a probabilidade do evento A é muito pequena, o evento A ocorrerá k vezes: , Onde .

Aqui n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Encontramos , então a probabilidade desejada: .

Tarefa 5. Ao atirar antes do primeiro acerto com probabilidade de acertar p = 0,6 para um tiro, você precisa encontrar a probabilidade de que o acerto ocorra no terceiro tiro.

Decisão. Apliquemos a distribuição geométrica: sejam feitas tentativas independentes, em cada uma das quais o evento A tem probabilidade de ocorrência p (e não ocorrência q = 1 - p). Os testes terminam assim que o evento A ocorre.

Sob tais condições, a probabilidade de que o evento A ocorra no k-ésimo teste é determinada pela fórmula: . Aqui p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Portanto, .

Tarefa 6. Seja dada a lei de distribuição de uma variável aleatória X:

Encontre a esperança matemática.

Decisão. .

Observe que o significado probabilístico da expectativa matemática é o valor médio de uma variável aleatória.

Tarefa 7. Encontre a variância de uma variável aleatória X com a seguinte lei de distribuição:

Decisão. Aqui .

A lei da distribuição do quadrado de X 2 :

X 2

Variação necessária: .

A dispersão caracteriza o grau de desvio (dispersão) de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.

Tarefa 8. Seja a variável aleatória dada pela distribuição:

			10m

Encontre suas características numéricas.

Solução: m, m 2 ,

M 2 , M.

Sobre uma variável aleatória X, pode-se dizer: sua expectativa matemática é de 6,4 m com uma variância de 13,04 m 2 , ou - sua expectativa matemática é de 6,4 m com um desvio de m. A segunda formulação é obviamente mais clara.

Tarefa 9. Valor aleatório X dado pela função de distribuição:
.

Encontre a probabilidade de, como resultado do teste, o valor X assumir um valor contido no intervalo .

Decisão. A probabilidade de X tomar um valor de um dado intervalo é igual ao incremento da função integral neste intervalo, ou seja, . No nosso caso e , portanto

.

Tarefa 10. Variável aleatória discreta X dada pela lei de distribuição:

Localizar função de distribuição F(x ) e construir seu gráfico.

Decisão. Uma vez que a função de distribuição

por , então

no ;

no ;

no ;

no ;

Gráfico relevante:

Tarefa 11. Variável aleatória contínua X dado pela função de distribuição diferencial: .

Encontre a probabilidade de acertar X para intervalo

Decisão. Observe que este é um caso especial da lei de distribuição exponencial.

Vamos usar a fórmula: .

Tarefa 12. Encontre as características numéricas de uma variável aleatória discreta X dada pela lei de distribuição:

	–5
	X2: x2 . , Onde é a função de Laplace. Os valores desta função são encontrados usando uma tabela. No nosso caso: . De acordo com a tabela encontramos:, portanto:

Instituição educacional "Estado da Bielorrússia

Academia Agrícola"

Departamento de Matemática Superior

Diretrizes

sobre o estudo do tema "Variáveis ​​Aleatórias" por alunos da Faculdade de Ciências Contábeis de Educação por Correspondência (NISPO)

Gorki, 2013

variáveis ​​aleatórias

Variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas

Um dos conceitos básicos da teoria das probabilidades é o conceito variável aleatória . Variável aleatória Chama-se uma quantidade, que, como resultado de testes, de um conjunto de valores possíveis, leva apenas um, e não se sabe antecipadamente qual.

As variáveis ​​aleatórias são discreto e contínuo . Variável aleatória discreta (DSV) é chamada de variável aleatória que pode assumir um número finito de valores isolados uns dos outros, ou seja, se os valores possíveis dessa quantidade puderem ser recalculados. Variável aleatória contínua (CRV) é chamada de variável aleatória, todos os valores possíveis preenchem completamente um determinado intervalo da linha real.

Variáveis ​​aleatórias são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino X, Y, Z, etc. Os valores possíveis de variáveis ​​aleatórias são indicados pelas letras minúsculas correspondentes.

Gravação
significa "a probabilidade de que uma variável aleatória X terá um valor igual a 5, igual a 0,28".

Exemplo 1 . Um dado é lançado uma vez. Nesse caso, podem aparecer números de 1 a 6, indicando o número de pontos. Denote a variável aleatória X=(número de pontos perdidos). Esta variável aleatória como resultado do teste pode assumir apenas um dos seis valores: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Portanto, a variável aleatória X existe DSV.

Exemplo 2 . Quando uma pedra é atirada, ela voa uma certa distância. Denote a variável aleatória X=(distância de voo da pedra). Essa variável aleatória pode receber qualquer valor, mas apenas um, de um determinado intervalo. Portanto, a variável aleatória X existe NSV.

Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta

Uma variável aleatória discreta é caracterizada pelos valores que ela pode assumir e pelas probabilidades com que esses valores são obtidos. A correspondência entre os valores possíveis de uma variável aleatória discreta e suas probabilidades correspondentes é chamada lei de distribuição de uma variável aleatória discreta .

Se todos os valores possíveis são conhecidos
variável aleatória X e probabilidades
aparecimento desses valores, acredita-se que a lei de distribuição da DSV Xé conhecido e pode ser escrito como uma tabela:

A lei de distribuição DSV pode ser representada graficamente se os pontos forem desenhados em um sistema de coordenadas retangulares
,
, …,
e conectá-los com linhas retas. A figura resultante é chamada de polígono de distribuição.

Exemplo 3 . O grão destinado à limpeza contém 10% de ervas daninhas. 4 grãos são selecionados aleatoriamente. Denote a variável aleatória X=(número de plantas daninhas entre as quatro selecionadas). Construir a lei de distribuição DSV X e polígono de distribuição.

Decisão . De acordo com o exemplo. Então:

Escrevemos a lei de distribuição de DSV X na forma de uma tabela e construímos um polígono de distribuição:

Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

As propriedades mais importantes de uma variável aleatória discreta são descritas por suas características. Uma dessas características é valor esperado variável aleatória.

Seja conhecida a lei de distribuição DSV X:

expectativa matemática DSV X a soma dos produtos de cada valor dessa quantidade pela probabilidade correspondente é chamada:
.

A expectativa matemática de uma variável aleatória é aproximadamente igual à média aritmética de todos os seus valores. Portanto, em problemas práticos, o valor médio dessa variável aleatória é muitas vezes tomado como a expectativa matemática.

Exemplo 8 . O arremessador nocauteia 4, 8, 9 e 10 pontos com probabilidades de 0,1, 0,45, 0,3 e 0,15. Encontre a expectativa matemática do número de pontos em um tiro.

Decisão . Denote a variável aleatória X=(número de pontos marcados). Então . Assim, o número médio esperado de pontos marcados com um tiro é 8,2 e com 10 tiros é 82.

Propriedades principais esperança matemática são:

.

.

, Onde
,
.

.

, Onde X e S são variáveis ​​aleatórias independentes.

Diferença
chamado desvio variável aleatória X de sua expectativa matemática. Essa diferença é uma variável aleatória e sua expectativa matemática é igual a zero, ou seja,
.

Dispersão de uma variável aleatória discreta

Para caracterizar uma variável aleatória, além da expectativa matemática, utiliza-se também dispersão , o que possibilita estimar a dispersão (scatter) dos valores de uma variável aleatória em torno de sua expectativa matemática. Ao comparar duas variáveis ​​aleatórias homogêneas com expectativas matemáticas iguais, considera-se a "melhor" aquela que possui um spread menor, ou seja, menor dispersão.

dispersão variável aleatória Xé chamada de expectativa matemática do desvio quadrado de uma variável aleatória de sua expectativa matemática: .

Em problemas práticos, uma fórmula equivalente é usada para calcular a variância.

As principais propriedades da dispersão são:

.

Nesta página, reunimos exemplos de resolução de problemas educacionais problemas em variáveis ​​aleatórias discretas. Esta é uma seção bastante extensa: diferentes leis de distribuição (binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson e outras), propriedades e características numéricas são estudadas, representações gráficas podem ser construídas para cada série de distribuição: um polígono (polígono) de probabilidades, uma função de distribuição .

Abaixo, você encontrará exemplos de decisões sobre variáveis ​​aleatórias discretas, nas quais é necessário aplicar o conhecimento das seções anteriores da teoria da probabilidade para elaborar uma lei de distribuição e, em seguida, calcular a expectativa matemática, variância, desvio padrão, construir uma função de distribuição , responder a perguntas sobre o DSV, etc. P.

Exemplos de leis populares de distribuição de probabilidade:

Calculadoras para as características do DSV

• Cálculo da expectativa matemática, variância e desvio padrão do DSV.

Problemas resolvidos sobre DSV

Distribuições próximas a geométricas

Tarefa 1. Existem 4 semáforos no caminho do carro, cada um dos quais proíbe o movimento do carro com uma probabilidade de 0,5. Encontre o número de distribuição do número de semáforos que o carro passou antes da primeira parada. Qual é a expectativa matemática e a variância dessa variável aleatória?

Tarefa 2. O caçador atira na caça antes do primeiro golpe, mas não consegue dar mais do que quatro tiros. Escreva a lei de distribuição para o número de erros se a probabilidade de acertar o alvo com um tiro for 0,7. Encontre a variância dessa variável aleatória.

Tarefa 3. O atirador, com 3 cartuchos, atira no alvo até o primeiro acerto. As probabilidades de acertar o primeiro, segundo e terceiro tiros são 0,6, 0,5, 0,4, respectivamente. S.V. $\xi$ - número de cartuchos restantes. Compile uma série de distribuição de uma variável aleatória, encontre a expectativa matemática, variância, desvio padrão da r.v., construa a função de distribuição da r.v., encontre $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tarefa 4. A caixa contém 7 peças padrão e 3 peças defeituosas. As peças são retiradas sequencialmente até aparecer a padrão, sem devolvê-las. $\xi$ - número de peças defeituosas recuperadas.
Componha uma lei de distribuição para uma variável aleatória discreta $\xi$, calcule sua expectativa matemática, variância, desvio padrão, desenhe um polígono de distribuição e um gráfico da função de distribuição.

Tarefas com eventos independentes

Tarefa 5. 3 alunos vieram para o reexame em teoria da probabilidade. A probabilidade de o primeiro passar no exame é de 0,8, o segundo - 0,7, o terceiro - 0,9. Encontre a série de distribuição da variável aleatória $\xi$ do número de alunos que passaram no exame, construa um gráfico da função de distribuição, encontre $M(\xi), D(\xi)$.

Tarefa 6. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é 0,8 e diminui a cada tiro em 0,1. Elabore a lei de distribuição para o número de acertos no alvo se forem disparados três tiros. Encontre a esperança matemática, variância e S.K.O. essa variável aleatória. Plote a função de distribuição.

Tarefa 7. 4 tiros são disparados no alvo. Nesse caso, a probabilidade de acertar aumenta da seguinte forma: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Encontre a lei de distribuição da variável aleatória $X$ - o número de acertos. Encontre a probabilidade de que $X \ge 1$.

Tarefa 8. Duas moedas simétricas são lançadas, o número de brasões em ambos os lados superiores das moedas é contado. Consideramos uma variável aleatória discreta $X$ - o número de brasões em ambas as moedas. Escreva a lei de distribuição da variável aleatória $X$, encontre sua expectativa matemática.

Outras tarefas e leis de distribuição de DSV

Tarefa 9. Dois jogadores de basquete fazem três arremessos para a cesta. A probabilidade de acertar para o primeiro jogador de basquete é de 0,6, para o segundo - 0,7. Seja $X$ a diferença entre o número de arremessos bem-sucedidos do primeiro e do segundo jogador de basquete. Encontre a série de distribuição, modo e função de distribuição da variável aleatória $X$. Construa um polígono de distribuição e trace a função de distribuição. Calcule a expectativa matemática, variância e desvio padrão. Encontre a probabilidade do evento $(-2 \lt X \le 1)$.

Tarefa 10. O número de navios não residentes que chegam diariamente para carregamento em um determinado porto é um valor aleatório $X$, dado a seguir:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) certifique-se de que a série de distribuição está definida,
B) encontre a função de distribuição da variável aleatória $X$,
C) se mais de três navios chegarem em um determinado dia, o porto se responsabiliza pelos custos devido à necessidade de contratar motoristas e carregadores adicionais. Qual é a probabilidade de o porto incorrer em custos adicionais?
D) encontre a esperança matemática, variância e desvio padrão da variável aleatória $X$.

Tarefa 11. Jogue 4 dados. Encontre a esperança matemática da soma do número de pontos que cairão em todas as faces.

Tarefa 12. Dois jogadores se revezam jogando uma moeda até a primeira aparição do brasão. O jogador cujo brasão caiu recebe 1 rublo de outro jogador. Encontre a expectativa matemática do pagamento de cada jogador.

Definição 1

Uma variável aleatória $X$ é chamada discreta (descontínua) se o conjunto de seus valores for infinito ou finito, mas contável.

Em outras palavras, uma quantidade é chamada discreta se seus valores puderem ser enumerados.

Você pode descrever uma variável aleatória usando a lei de distribuição.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ pode ser dada na forma de uma tabela, na primeira linha da qual todos os valores possíveis da variável aleatória são indicados em ordem crescente e na segunda linha as probabilidades correspondentes desses valores:

Imagem 1.

onde $p1+p2+ ... + pn = 1$.

Esta mesa é perto da distribuição de uma variável aleatória discreta.

Se o conjunto de valores possíveis de uma variável aleatória é infinito, então a série $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ converge e sua soma é igual a $ 1$.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ pode ser representada graficamente, para a qual uma linha quebrada é construída no sistema de coordenadas (retangular), que conecta sequencialmente pontos com coordenadas $(xi;pi), i=1,2, ... n$. A linha que foi chamada polígono de distribuição.

Figura 2.

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta $X$ também pode ser representada analiticamente (usando a fórmula):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Ações em probabilidades discretas

Ao resolver muitos problemas da teoria das probabilidades, é necessário realizar operações de multiplicar uma variável aleatória discreta por uma constante, somar duas variáveis ​​aleatórias, multiplicá-las e transformá-las em uma potência. Nesses casos, é necessário seguir as seguintes regras para variáveis ​​discretas aleatórias:

Definição 3

Por multiplicação variável aleatória discreta $X$ para uma constante $K$ é uma variável aleatória discreta $Y=KX,$ que se deve às igualdades: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left( x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definição 4

Duas variáveis ​​aleatórias $x$ e $y$ são chamadas independente, se a lei de distribuição de um deles não depender de quais valores possíveis o segundo valor adquiriu.

Definição 5

soma duas variáveis ​​aleatórias discretas independentes $X$ e $Y$ são chamadas de variável aleatória $Z=X+Y, $ é devido às igualdades: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\esquerda (x_i\direita)=p_i$, $P\esquerda(y_j\direita)=p"_j$.

Definição 6

Por multiplicação duas variáveis ​​aleatórias discretas independentes $X$ e $Y$ são chamadas de variável aleatória $Z=XY, $ é devido às igualdades: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Consideremos que alguns produtos $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ podem ser iguais entre si. Nesse caso, a probabilidade de somar o produto é igual à soma das probabilidades correspondentes.

Por exemplo, se $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ então a probabilidade de $x_2y_3$ (ou o mesmo $x_5y_7$) será igual a $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

O acima também se aplica ao valor. Se $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ então a probabilidade de $x_1+\y_2$ (ou o mesmo $x_4+\y_6$) será $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Sejam as variáveis ​​aleatórias $X$ e $Y$ dadas por leis de distribuição:

Figura 3

Onde $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Então a lei de distribuição para a soma $X+Y$ será semelhante

Figura 4

E a lei de distribuição do produto $XY$ terá a forma

Figura 5

função de distribuição

Uma descrição completa de uma variável aleatória também é dada pela função de distribuição.

Geometricamente, a função de distribuição é explicada como a probabilidade de que a variável aleatória $X$ tome o valor representado na reta real pelo ponto à esquerda do ponto $x$.