Lição: Como construir uma parábola ou função quadrática?

PARTE TEÓRICA

Uma parábola é um gráfico de uma função descrita pela fórmula ax 2 +bx+c=0.
Para construir uma parábola você precisa seguir um algoritmo simples:

1) Fórmula da parábola y=ax 2 +bx+c,
Se a>0 então os ramos da parábola são direcionados acima,
caso contrário, os ramos da parábola são direcionados abaixo.
Membro grátis c este ponto cruza a parábola com o eixo OY;

2), é encontrado usando a fórmula x=(-b)/2a, substituímos o x encontrado na equação da parábola e encontramos sim;

3)Zeros de função ou, em outras palavras, os pontos de intersecção da parábola com o eixo OX, também são chamados de raízes da equação. Para encontrar as raízes igualamos a equação a 0 machado 2 +bx+c=0;

Tipos de equações:

a) A equação quadrática completa tem a forma machado 2 +bx+c=0 e é resolvido pelo discriminante;
b) Equação quadrática incompleta da forma machado 2 +bx=0. Para resolvê-lo, você precisa tirar x dos colchetes e igualar cada fator a 0:
machado 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 e ax+b=0;
c) Equação quadrática incompleta da forma machado 2 +c=0. Para resolvê-lo, você precisa mover as incógnitas para um lado e os conhecidos para o outro. x =±√(c/a);

4) Encontre vários pontos adicionais para construir a função.

PARTE PRÁTICA

E agora, usando um exemplo, analisaremos tudo passo a passo:
Exemplo 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 significa que a parábola intercepta OY no ponto x=0 y=3. Os ramos da parábola olham para cima desde a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vértice está no ponto (-2;-1)
Vamos encontrar as raízes da equação x 2 +4x+3=0
Usando o discriminante encontramos as raízes
uma = 1 b = 4 c = 3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Tomemos vários pontos arbitrários localizados próximos ao vértice x = -2

x -4 -3 -1 0
e 3 0 0 3

Substitua em vez de x na equação y=x 2 +4x+3 valores
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Pode-se ver pelos valores da função que a parábola é simétrica em relação à reta x = -2

Exemplo #2:
y=-x 2 +4x
c=0 significa que a parábola intercepta OY no ponto x=0 y=0. Os ramos da parábola olham para baixo desde a=-1 -1 Vamos encontrar as raízes da equação -x 2 +4x=0
Equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0. Para resolvê-lo, você precisa tirar x dos colchetes e igualar cada fator a 0.
x(-x+4)=0, x=0 e x=4.

Vamos pegar vários pontos arbitrários localizados próximos ao vértice x=2
x0 1 3 4
e 0 3 3 0
Substitua em vez de x na equação y=-x 2 +4x valores
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Pode-se ver pelos valores da função que a parábola é simétrica em relação à linha reta x = 2

Exemplo nº 3
y=x 2 -4
c=4 significa que a parábola intercepta OY no ponto x=0 y=4. Os ramos da parábola olham para cima desde a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 o vértice está no ponto (0;- 4)
Vamos encontrar as raízes da equação x 2 -4=0
Equação quadrática incompleta da forma ax 2 +c=0. Para resolvê-lo, você precisa mover as incógnitas para um lado e os conhecidos para o outro. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x1 =2
x2=-2

Vamos pegar vários pontos arbitrários localizados próximos ao vértice x=0
x -2 -1 1 2
e 0 -3 -3 0
Substitua em vez de x na equação y= x 2 -4 valores
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Pode-se ver pelos valores da função que a parábola é simétrica em relação à linha reta x = 0

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Como mostra a prática, problemas nas propriedades e gráficos de uma função quadrática causam sérias dificuldades. Isto é bastante estranho, porque estudam a função quadrática no 8º ano, e depois ao longo do primeiro trimestre do 9º ano “atormentam” as propriedades da parábola e constroem os seus gráficos para vários parâmetros.

Isso se deve ao fato de que, ao obrigar os alunos a construir parábolas, eles praticamente não dedicam tempo à “leitura” dos gráficos, ou seja, não praticam a compreensão das informações recebidas da figura. Aparentemente, presume-se que, após construir uma dúzia ou dois gráficos, o próprio aluno inteligente descobrirá e formulará a relação entre os coeficientes da fórmula e a aparência do gráfico. Na prática isso não funciona. Para tal generalização, é necessária uma experiência séria em minipesquisas matemáticas, que a maioria dos alunos do nono ano, é claro, não possui. Enquanto isso, a Inspetoria do Estado se propõe a determinar os sinais dos coeficientes por meio do cronograma.

Não exigiremos o impossível dos alunos e simplesmente ofereceremos um dos algoritmos para resolver tais problemas.

Então, uma função da forma y = machado 2 + bx + c chamado quadrático, seu gráfico é uma parábola. Como o nome sugere, o termo principal é machado 2. Aquilo é A não deve ser igual a zero, os coeficientes restantes ( b E Com) pode ser igual a zero.

Vamos ver como os sinais de seus coeficientes afetam a aparência de uma parábola.

A dependência mais simples para o coeficiente A. A maioria dos alunos responde com segurança: “se A> 0, então os ramos da parábola são direcionados para cima, e se A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Nesse caso A = 0,5

E agora para A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Nesse caso A = - 0,5

Impacto do coeficiente Com Também é muito fácil de seguir. Imaginemos que queremos encontrar o valor de uma função num ponto X= 0. Substitua zero na fórmula:

sim = a 0 2 + b 0 + c = c. Acontece que y = c. Aquilo é Comé a ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo y. Normalmente, esse ponto é fácil de encontrar no gráfico. E determine se está acima de zero ou abaixo. Aquilo é Com> 0 ou Com < 0.

Com > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Com < 0

y = x 2 + 4x - 3

Assim, se Com= 0, então a parábola passará necessariamente pela origem:

y = x 2 + 4x

Mais difícil com o parâmetro b. O ponto em que o encontraremos depende não apenas de b mas também de A. Este é o topo da parábola. Sua abscissa (coordenada do eixo X) é encontrado pela fórmula x em = - b/(2a). Por isso, b = - 2ax em. Ou seja, procedemos da seguinte forma: encontramos o vértice da parábola no gráfico, determinamos o sinal de sua abcissa, ou seja, olhamos para a direita de zero ( x em> 0) ou para a esquerda ( x em < 0) она лежит.

No entanto, isso não é tudo. Também precisamos prestar atenção ao sinal do coeficiente A. Ou seja, observe para onde estão direcionados os ramos da parábola. E só depois disso, de acordo com a fórmula b = - 2ax em determinar o sinal b.

Vejamos um exemplo:

Os ramos estão direcionados para cima, o que significa A> 0, a parábola intercepta o eixo no abaixo de zero, ou seja Com < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x em> 0. Então b = - 2ax em = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Com < 0.

Notas de aula de álgebra para o 8º ano do ensino médio

Tópico da lição: Função

O objetivo da lição:

· Educacional: definir o conceito de função quadrática da forma (comparar gráficos de funções e ), mostrar a fórmula para encontrar as coordenadas do vértice de uma parábola (ensinar como aplicar esta fórmula na prática); desenvolver a capacidade de determinar as propriedades de uma função quadrática a partir de um gráfico (encontrar o eixo de simetria, as coordenadas do vértice de uma parábola, as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados).

· Desenvolvimento: desenvolvimento do discurso matemático, capacidade de expressar os pensamentos de maneira correta, consistente e racional; desenvolver a habilidade de escrever corretamente textos matemáticos usando símbolos e notações; desenvolvimento do pensamento analítico; desenvolvimento da atividade cognitiva dos alunos através da capacidade de analisar, sistematizar e generalizar o material.

· Educacional: fomentar a independência, a capacidade de ouvir os outros, desenvolvendo a precisão e a atenção no discurso matemático escrito.

Tipo de aula: aprendendo novo material.

Métodos de ensino:

heurística reprodutiva generalizada e indutiva.

Requisitos para conhecimentos e habilidades dos alunos

saber o que é uma função quadrática da forma, a fórmula para encontrar as coordenadas do vértice de uma parábola; ser capaz de encontrar as coordenadas do vértice de uma parábola, as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos coordenados e usar o gráfico de uma função para determinar as propriedades de uma função quadrática.

Equipamento:

Plano de aula

I. Momento organizacional (1-2 min)

II. Atualizando conhecimentos (10 min)

III. Apresentação de novo material (15 min)

4. Consolidando novo material (12 min)

V. Resumindo (3 min)

VI. Trabalho de casa (2 min)

Durante as aulas

I. Momento organizacional

Cumprimentar, verificar ausentes, recolher cadernos.

II. Atualizando conhecimento

Professor: Na lição de hoje estudaremos um novo tópico: “Função”. Mas primeiro vamos repetir o material estudado anteriormente.

Levantamento frontal:

1) O que é chamado de função quadrática? (Uma função onde dados números reais, , é uma variável real, é chamada de função quadrática.)

2) Qual é o gráfico de uma função quadrática? (O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.)

3) Quais são os zeros de uma função quadrática? (Os zeros de uma função quadrática são os valores nos quais ela se torna zero.)

4) Liste as propriedades da função. (Os valores da função são positivos em e iguais a zero em; o gráfico da função é simétrico em relação aos eixos ordenados; em - a função aumenta, em - diminui.)

5) Liste as propriedades da função. (Se, então a função assume valores positivos em, se, então a função assume valores negativos em, o valor da função é apenas 0; a parábola é simétrica em relação ao eixo das ordenadas; se, então a função aumenta em e diminui em , se , então a função aumenta em , diminui – em .)

III. Apresentação de novo material

Professor: Vamos começar a aprender novos materiais. Abra seus cadernos, anote a data e o tema da aula. Preste atenção ao quadro.

Escrevendo no quadro: Número.

Função.

Professor: No quadro você vê dois gráficos de funções. O primeiro gráfico e o segundo. Vamos tentar compará-los.

Você conhece as propriedades da função. Com base neles, e comparando nossos gráficos, podemos destacar as propriedades da função.

Então, o que você acha que determinará a direção dos ramos da parábola?

Alunos: A direção dos ramos de ambas as parábolas dependerá do coeficiente.

Professor: Absolutamente certo. Você também pode notar que ambas as parábolas possuem um eixo de simetria. No primeiro gráfico da função, qual é o eixo de simetria?

Alunos: Para uma parábola, o eixo de simetria é o eixo das ordenadas.

Professor: Certo. Qual é o eixo de simetria de uma parábola?

Alunos: O eixo de simetria de uma parábola é a reta que passa pelo vértice da parábola, paralela ao eixo das ordenadas.

Professor: Certo. Assim, o eixo de simetria do gráfico de uma função será chamado de reta que passa pelo vértice da parábola, paralela ao eixo das ordenadas.

E o vértice de uma parábola é um ponto com coordenadas. Eles são determinados pela fórmula:

Escreva a fórmula em seu caderno e circule-a em uma moldura.

Escrevendo no quadro e em cadernos

Coordenadas do vértice da parábola.

Professor: Agora, para ficar mais claro, vamos ver um exemplo.

Exemplo 1: Encontre as coordenadas do vértice da parábola.

Solução: De acordo com a fórmula

Professor: Como já observamos, o eixo de simetria passa pelo vértice da parábola. Olha para o quadro. Desenhe esta imagem em seu caderno.

Escreva no quadro e em cadernos:

Professor: No desenho: - equação do eixo de simetria de uma parábola com o vértice no ponto onde a abcissa é o vértice da parábola.

Vejamos um exemplo.

Exemplo 2: Usando o gráfico da função, determine a equação do eixo de simetria da parábola.

A equação do eixo de simetria tem a forma: , o que significa que a equação do eixo de simetria desta parábola é .

Resposta: - equação do eixo de simetria.

IV. Consolidação de novo material

Professor: As tarefas que precisam ser resolvidas em aula estão escritas no quadro.

Escrevendo no quadro: № 609(3), 612(1), 613(3)

Professor: Mas primeiro, vamos resolver um exemplo que não está no livro didático. Decidiremos no conselho.

Exemplo 1: Encontre as coordenadas do vértice de uma parábola

Solução: De acordo com a fórmula

Resposta: coordenadas do vértice da parábola.

Exemplo 2: Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da parábola com eixos coordenados.

Solução: 1) Com eixo:

Aqueles.

De acordo com o teorema de Vieta:

Os pontos de intersecção com o eixo x são (1;0) e (2;0).

2) Com eixo:

O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas (0;2).

Resposta: (1;0), (2;0), (0;2) – coordenadas dos pontos de intersecção com os eixos coordenados.

Nº 609(3). Encontre as coordenadas do vértice da parábola

Determinação dos valores dos coeficientes de uma função quadrática a partir de um gráfico.

Desenvolvimento metodológico por Sagnaeva A.M.

Escola secundária MBOU nº 44, Surgut, Khanty-Mansi Autonomous Okrug-Yugra .

eu. Encontrando o coeficiente A

• Usando o gráfico de uma parábola, determinamos as coordenadas do vértice (m,n)

2. Usando o gráfico de uma parábola, determinamos as coordenadas de qualquer ponto A (X 1 ;y 1 )

3. Substituímos esses valores na fórmula de uma função quadrática especificada de uma forma diferente:

y=a(xm)2+n

4. resolva a equação resultante.

Oh 1 ;y 1 )

parábola

Eu. Encontrando o coeficiente b

1. Primeiro encontramos o valor do coeficiente a

2. Na fórmula da abscissa de uma parábola m = -b/2a substitua os valores eu E a

3. Calcule o valor do coeficiente b .

Oh 1 ;y 1 )

parábola

sim. Encontrando o coeficiente c

1. Encontramos a ordenada do ponto de intersecção do gráfico da parábola com o eixo Oy, este valor é igual ao coeficiente Com, ou seja ponto (0;s)-o ponto de intersecção do gráfico da parábola com o eixo Oy.

2. Se for impossível encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy no gráfico, então encontramos os coeficientes um, b

(veja as etapas Ι, ΙΙ)

3. Substitua os valores encontrados uma, b, UMA (x 1; no 1 ) na equação

y = machado 2 +bx+c e encontramos Com.

Oh 1 ;y 1 )

parábola

Tarefas

dica

Ιx 2 Ι e x 1 0, porque a A ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo OY é o coeficiente c Resposta: 5 c x 1 x 2 "width="640"

• Os ramos da parábola são direcionados para baixo,

• As raízes têm sinais diferentes, Ι x 1 ΙΙх 2 Ι, e x 1 0, porque a
• A ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo OY é o coeficiente Com

X 1

X 2

P Dica

0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Resposta: 5 "largura = 640"

1. Os ramos da parábola estão direcionados para baixo, o que significa um

• x 1 +x 2 = - b/uma 0. uma 0.

0 porque os ramos da parábola são direcionados para cima; 2.c=y(0)3. O vértice da parábola tem uma abscissa positiva: neste caso a é 0, portanto b4. D0, porque a parábola intercepta o eixo OX em dois pontos diferentes. "largura = "640"

A figura mostra um gráfico da função y=ax 2 +bx+c. Indique os sinais dos coeficientes a, b, c e do discriminante D.

Solução:

1. a0, porque os ramos da parábola são direcionados para cima;

3. O vértice da parábola possui uma abscissa positiva:

neste caso a 0, portanto b

4. D0, porque a parábola intercepta o eixo OX em dois pontos diferentes.

A imagem mostra uma parábola

Especifique valores k E t .

Encontre as coordenadas do vértice da parábola e escreva a função cujo gráfico é mostrado na figura.

Descubra onde estão as abcissas dos pontos de intersecção

parábolas e linhas retas horizontais (ver figura).

A apresentação “Função y=ax 2, seu gráfico e propriedades” é um auxílio visual que foi criado para acompanhar a explicação do professor sobre este tema. Esta apresentação discute detalhadamente a função quadrática, suas propriedades, características de plotagem e a aplicação prática dos métodos utilizados para resolução de problemas de física.

Proporcionando um alto grau de clareza, este material ajudará o professor a aumentar a eficácia do ensino e proporcionará uma oportunidade de distribuir o tempo da aula de forma mais racional. Com a ajuda de efeitos de animação, destacando conceitos e pontos importantes em cores, a atenção dos alunos é focada no assunto em estudo, conseguindo-se uma melhor memorização das definições e do curso de raciocínio na resolução de problemas.

A apresentação começa com uma introdução ao título da apresentação e ao conceito de função quadrática. A importância deste tema é enfatizada. Os alunos são solicitados a lembrar a definição de uma função quadrática como uma dependência funcional da forma y=ax 2 +bx+c, em que é uma variável independente, e são números, com a≠0. Separadamente, no slide 4 destaca-se lembrar que o domínio de definição desta função é todo o eixo dos valores reais. Convencionalmente, esta afirmação é denotada por D(x)=R.

Um exemplo de função quadrática é sua importante aplicação na física - a fórmula para a dependência do caminho durante o movimento uniformemente acelerado no tempo. Ao mesmo tempo, nas aulas de física, os alunos estudam fórmulas para vários tipos de movimento, por isso precisarão da capacidade de resolver tais problemas. No slide 5, lembra-se aos alunos que quando um corpo se move com aceleração e no início do tempo conta a distância percorrida e a velocidade do movimento são conhecidas, então a dependência funcional que representa tal movimento será expressa pela fórmula S = (em 2)/2+v 0 t+S 0 . Abaixo está um exemplo de como transformar esta fórmula em uma determinada função quadrática se os valores de aceleração = 8, velocidade inicial = 3 e caminho inicial = 18. Neste caso, a função terá a forma S=4t 2 +3t+18.

O slide 6 examina a forma da função quadrática y=ax 2, na qual ela é representada em. Se =1, então a função quadrática tem a forma y=x 2. Note-se que o gráfico desta função será uma parábola.

A próxima parte da apresentação é dedicada a traçar uma função quadrática. Propõe-se considerar traçar a função y=3x 2 . Primeiro, a tabela indica a correspondência entre os valores da função e os valores dos argumentos. Nota-se que a diferença entre o gráfico construído da função y=3x 2 e o gráfico da função y=x 2 é que cada valor será três vezes maior que o correspondente. Essa diferença é bem monitorada na visualização de tabela. Perto dali, na representação gráfica, a diferença no estreitamento da parábola também é claramente visível.

O próximo slide analisa a representação gráfica da função quadrática y=1/3 x 2. Para construir um gráfico, é necessário indicar na tabela os valores da função em vários de seus pontos. Observa-se que cada valor da função y=1/3 x 2 é 3 vezes menor que o valor correspondente da função y=x 2. Essa diferença, além da tabela, é bem visível no gráfico. Sua parábola é mais expandida em relação ao eixo das ordenadas do que a parábola da função y=x 2.

Os exemplos ajudam a compreender a regra geral, segundo a qual é possível construir de forma mais simples e rápida os gráficos correspondentes. No slide 9, uma regra separada é destacada de que o gráfico da função quadrática y=ax 2 pode ser construído dependendo do valor do coeficiente alongando ou estreitando o gráfico. Se a>1, então o gráfico se estende do eixo x por um fator. Se 0

A conclusão sobre a simetria dos gráficos das funções y=ax 2 e y=-ax2 (em ≠0) em relação ao eixo das abcissas é destacada separadamente no slide 12 para memorização e é claramente exibida no gráfico correspondente. A seguir, o conceito de gráfico de uma função quadrática y=x 2 é estendido ao caso mais geral da função y=ax 2, afirmando que tal gráfico também será chamado de parábola.

O slide 14 discute as propriedades da função quadrática y=ax 2 quando positiva. Nota-se que seu gráfico passa pela origem e todos os pontos, exceto, estão no semiplano superior. A simetria do gráfico em relação ao eixo das ordenadas é observada, especificando que os valores opostos do argumento correspondem aos mesmos valores da função. É indicado que o intervalo de diminuição desta função é (-∞;0], e o aumento da função é realizado no intervalo. Os valores desta função cobrem toda a parte positiva do eixo real, é igual a zero no ponto e não tem maior valor.

O slide 15 descreve as propriedades da função y=ax 2 se for negativo. Nota-se que seu gráfico também passa pela origem, mas todos os seus pontos, exceto, estão no semiplano inferior. O gráfico é simétrico em relação ao eixo e os valores opostos do argumento correspondem a valores iguais da função. A função aumenta no intervalo e diminui. Os valores desta função estão no intervalo, é igual a zero em um ponto e não tem valor mínimo.

Resumindo as características consideradas, no slide 16 conclui-se que os ramos da parábola estão direcionados para baixo e para cima. A parábola é simétrica em relação ao eixo e o vértice da parábola está localizado no ponto de sua intersecção com o eixo. O vértice da parábola y=ax 2 é a origem.

Além disso, uma conclusão importante sobre as transformações de parábolas é apresentada no slide 17. Ele apresenta opções para transformar o gráfico de uma função quadrática. Observa-se que o gráfico da função y=ax 2 é transformado exibindo simetricamente o gráfico em relação ao eixo. Também é possível comprimir ou esticar o gráfico em relação ao eixo.

O último slide tira conclusões gerais sobre as transformações do gráfico de uma função. São apresentadas as conclusões de que o gráfico de uma função é obtido por uma transformação simétrica em torno do eixo. E o gráfico da função é obtido comprimindo ou alongando o gráfico original a partir do eixo. Neste caso, a extensão de tração do eixo é observada no caso quando. Ao comprimir o eixo 1/a vezes, o gráfico é formado no caso.

A apresentação “Função y=ax 2, seu gráfico e propriedades” pode ser usada por um professor como auxílio visual em uma aula de álgebra. Além disso, este manual cobre bem o tema, proporcionando uma compreensão aprofundada do assunto, para que possa ser oferecido para estudo independente pelos alunos. Este material também ajudará o professor a dar explicações durante o ensino a distância.