Matrizes do tipo diagonal são arranjadas de maneira mais simples. Surge a questão se é impossível encontrar uma base na qual a matriz de um operador linear tenha uma forma diagonal. Essa base existe.
Seja dado um espaço linear R n e um operador linear A atuando nele; neste caso, o operador A toma R n em si, ou seja, A:R n → R n .

Definição. Um vetor diferente de zero x é chamado de autovetor do operador A se o operador A transforma x em um vetor colinear a ele, ou seja, . O número λ é chamado de autovalor ou autovalor do operador A correspondente ao autovetor x .
Observamos algumas propriedades de autovalores e autovetores.
1. Qualquer combinação linear de autovetores do operador A correspondente ao mesmo autovalor λ é um autovetor com o mesmo autovalor.
2. Autovetores operador A com autovalores distintos aos pares λ 1 , λ 2 , …, λ m são linearmente independentes.
3. Se os autovalores λ 1 =λ 2 = λ m = λ, então o autovalor λ corresponde a não mais que m autovetores linearmente independentes.

Então, se existem n autovetores linearmente independentes correspondentes a diferentes autovalores λ 1 , λ 2 , …, λ n , então eles são linearmente independentes, portanto, podem ser tomados como base do espaço R n . Vamos encontrar a forma da matriz do operador linear A na base de seus autovetores, para os quais atuamos com o operador A nos vetores de base: então .
Assim, a matriz do operador linear A na base de seus autovetores tem uma forma diagonal, e os autovalores do operador A estão na diagonal.
Existe outra base em que a matriz tem uma forma diagonal? A resposta a esta questão é dada pelo seguinte teorema.

Teorema. A matriz de um operador linear A na base (i = 1..n) tem uma forma diagonal se e somente se todos os vetores da base são autovetores do operador A.

Regra para encontrar autovalores e autovetores

Deixe o vetor , onde x 1 , x 2 , …, x n - coordenadas do vetor x em relação à base e x é o autovetor do operador linear A correspondente ao autovalor λ, ou seja . Esta relação pode ser escrita na forma matricial

. (*)

A equação (*) pode ser considerada como uma equação para encontrar x , e , ou seja, estamos interessados ​​em soluções não triviais, pois o autovetor não pode ser zero. Sabe-se que soluções não triviais de um sistema homogêneo de equações lineares existem se e somente se det(A - λE) = 0. Assim, para que λ seja um autovalor do operador A é necessário e suficiente que det(A - λE ) = 0.
Se a equação (*) for escrita em detalhes na forma de coordenadas, obtemos um sistema de equações homogêneas lineares:

(1)
Onde é a matriz do operador linear.

O sistema (1) tem uma solução diferente de zero se seu determinante D for igual a zero

Temos uma equação para encontrar autovalores.
Essa equação é chamada de equação característica, e seu lado esquerdo é chamado de polinômio característico da matriz (operador) A. Se o polinômio característico não tem raízes reais, então a matriz A não tem vetores próprios e não pode ser reduzida a uma forma diagonal.
Sejam λ 1 , λ 2 , …, λ n as raízes reais da equação característica, podendo haver múltiplos entre elas. Substituindo esses valores por sua vez no sistema (1), encontramos os autovetores.

Exemplo 12. O operador linear A atua em R 3 de acordo com a lei , onde x 1 , x 2 , .., x n são as coordenadas do vetor na base , , . Encontre os autovalores e autovetores desse operador.
Solução. Construímos a matriz deste operador:
.
Compomos um sistema para determinar as coordenadas de autovetores:

Compomos a equação característica e a resolvemos:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Substituindo λ = -1 no sistema, temos:
ou
Porque , então existem duas variáveis ​​dependentes e uma variável livre.
Seja x 1 uma incógnita livre, então Resolvemos este sistema de qualquer maneira e encontramos a solução geral deste sistema: O sistema fundamental de soluções consiste em uma solução, pois n - r = 3 - 2 = 1.
O conjunto de autovetores correspondentes ao autovalor λ = -1 tem a forma: , onde x 1 é qualquer número diferente de zero. Vamos escolher um vetor deste conjunto, por exemplo, definindo x 1 = 1: .
Argumentando de forma semelhante, encontramos o autovetor correspondente ao autovalor λ = 3: .
No espaço R 3 a base consiste em três vetores linearmente independentes, mas obtivemos apenas dois autovetores linearmente independentes, a partir dos quais a base em R 3 não pode ser formada. Consequentemente, a matriz A de um operador linear não pode ser reduzida a uma forma diagonal.

Exemplo 13 Dada uma matriz .
1. Prove que o vetor é um autovetor da matriz A. Encontre o autovalor correspondente a este autovetor.
2. Encontre uma base na qual a matriz A tenha uma forma diagonal.
Solução.
1. Se , então x é um autovetor

.
Vetor (1, 8, -1) é um autovetor. Autovalor λ = -1.
A matriz tem uma forma diagonal na base composta por autovetores. Um deles é famoso. Vamos encontrar o resto.
Estamos procurando por autovetores do sistema:

Equação característica: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Encontre o autovetor correspondente ao autovalor λ = -3:

O posto da matriz deste sistema é igual a dois e é igual ao número de incógnitas, portanto, este sistema tem apenas uma solução zero x 1 = x 3 = 0. x 2 aqui pode ser qualquer coisa diferente de zero, por exemplo, x 2 = 1. Assim, o vetor (0 ,1,0) é um autovetor correspondente a λ = -3. Vamos checar:
.
Se λ = 1, obtemos o sistema
O posto da matriz é dois. Risque a última equação.
Seja x 3 a incógnita livre. Então x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Assumindo x 3 = 1, temos (-3,-9,1) - um autovetor correspondente ao autovalor λ = 1. Verifique:

.
Como os autovalores são reais e diferentes, os vetores correspondentes a eles são linearmente independentes, de modo que podem ser tomados como base em R 3 . Assim, na base , , A matriz A tem a forma:
.
Nem toda matriz de um operador linear A:R n → R n pode ser reduzida a uma forma diagonal, pois para alguns operadores lineares pode haver menos de n autovetores linearmente independentes. No entanto, se a matriz for simétrica, exatamente m vetores linearmente independentes correspondem à raiz da equação característica da multiplicidade m.

Definição. Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada na qual os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais, ou seja, na qual .
Observações. 1. Todos os autovalores de uma matriz simétrica são reais.
2. Autovetores de uma matriz simétrica correspondente a diferentes autovalores aos pares são ortogonais.
Como uma das inúmeras aplicações do aparato estudado, consideramos o problema de determinar a forma de uma curva de segunda ordem.

Definição 9.3. Vetor X chamado próprio vetor matrizes MAS se existe esse número λ, que a igualdade vale: MAS X= λ X, ou seja, o resultado da aplicação a X transformação linear dada pela matriz MAS, é a multiplicação desse vetor pelo número λ . O próprio número λ chamado próprio número matrizes MAS.

Substituindo em fórmulas (9.3) x`j = λxj, obtemos um sistema de equações para determinar as coordenadas do autovetor:

. (9.5)

Este sistema linear homogêneo terá uma solução não trivial somente se seu determinante principal for 0 (regra de Cramer). Escrevendo esta condição no formulário:

obtemos uma equação para determinar os autovalores λ chamado equação característica. Resumidamente, pode ser representado da seguinte forma:

| A-λE | = 0, (9.6)

já que seu lado esquerdo é o determinante da matriz A-λE. Polinômio em relação a λ | A-λE| chamado polinômio característico matrizes A.

Propriedades do polinômio característico:

1) O polinômio característico de uma transformação linear não depende da escolha da base. Prova. (ver (9.4)), mas Consequentemente, . Assim, não depende da escolha da base. Portanto, e | A-λE| não muda na transição para uma nova base.

2) Se a matriz MAS transformação linear é simétrico(Essa. um ij = um ji), então todas as raízes da equação característica (9.6) são números reais.

Propriedades de autovalores e autovetores:

1) Se escolhermos uma base de autovetores x 1, x 2, x 3 correspondente aos autovalores λ 1 , λ 2 , λ 3 matrizes MAS, então nesta base a transformação linear A tem uma matriz diagonal:

(9.7) A prova desta propriedade segue da definição de autovetores.

2) Se a transformação autovalores MAS são diferentes, então os autovetores correspondentes a eles são linearmente independentes.

3) Se o polinômio característico da matriz MAS tem três raízes diferentes, então em alguma base a matriz MAS tem uma forma diagonal.

Vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz Vamos fazer a equação característica: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Encontre as coordenadas dos autovetores correspondentes a cada valor encontrado λ. De (9.5) segue que se X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) é o autovetor correspondente a λ 1 = -2, então

é um sistema colaborativo, mas indeterminado. Sua solução pode ser escrita como X (1) ={uma,0,-uma), onde a é qualquer número. Em particular, se você precisar que | x (1) |=1, X (1) =

Substituindo no sistema (9.5) λ 2 = 3, obtemos um sistema para determinar as coordenadas do segundo autovetor - x (2) ={y1, y2, y3}:

, Onde X (2) ={b,-b,b) ou, desde | x (2) |=1, x (2) =

Por λ 3 = 6 encontre o autovetor x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c,c) ou na versão normalizada

x (3) = Pode ser visto que X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Assim, os autovetores desta matriz são ortogonais aos pares.

Aula 10

Formas quadráticas e sua ligação com matrizes simétricas. Propriedades de autovetores e autovalores de uma matriz simétrica. Redução de uma forma quadrática a uma forma canônica.

Definição 10.1.forma quadrática variáveis ​​reais x 1, x 2,…, xné chamado um polinômio de segundo grau com relação a essas variáveis, que não contém um termo livre e termos de primeiro grau.

Exemplos de formas quadráticas:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Lembre-se da definição de uma matriz simétrica dada na última aula:

Definição 10.2. A matriz quadrada é chamada simétrico, se , ou seja, se os elementos da matriz simétricos em relação à diagonal principal são iguais.

Propriedades de autovalores e autovetores de uma matriz simétrica:

1) Todos os autovalores de uma matriz simétrica são reais.

Prova (para n = 2).

Deixe a matriz MAS parece: . Vamos fazer a equação característica:

(10.2) Encontre o discriminante:

Portanto, a equação tem apenas raízes reais.

2) Os autovetores de uma matriz simétrica são ortogonais.

Prova (para n= 2).

As coordenadas dos autovetores e devem satisfazer as equações.

Aula 9

Transformações lineares de coordenadas. Autovetores e autovalores de uma matriz, suas propriedades. Polinômio característico de uma matriz, suas propriedades.

Diremos que no conjunto de vetoresRdado transformação MAS , se cada vetor X R de acordo com alguma regra, o vetor MAS X R.

Definição 9.1.transformação MAS chamado linear, se para quaisquer vetores X e no e para qualquer número real λ igualdades são cumpridas:

MAS( X + no )=MAS X+ A no ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Definição 9.2.A transformação linear é chamada idêntico, se transforma qualquer vetor X em si mesmo.

A transformação de identidade é indicada SUA X= X .

Considere um espaço tridimensional com base e 1 , e 2, e 3 , em que a transformação linear é especificada MAS. Aplicando aos vetores de base, obtemos os vetores MAS e 1, MAS e 2, MAS e 3 pertencentes a este espaço tridimensional. Portanto, cada um deles pode ser expandido de maneira única em termos de vetores de base:

MAS e 1 = 11 e 1+ um 21 e 2+a 31 e 3,

MAS e 2 = 12 e 1+ um 22 e 2+ um 32 e 3 ,(9.2)

MAS e 3= 13 e 1+ um 23 e 2+ um 33 e 3 .

Matriz chamado matriz de transformação linear MAS na base e 1 , e 2, e 3 . As colunas desta matriz são compostas pelos coeficientes nas fórmulas (9.2) da transformação de base.

Comente. Obviamente, a matriz da transformação identidade é a matriz identidade E.

Para um vetor arbitrário X = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 o resultado da aplicação de uma transformação linear a ele MAS será vetor MAS X, que pode ser expandido em vetores de mesma base: MAS X =x` 1 e 1+ x'2 e 2+ x'3 e 3 , onde as coordenadasx` eupode ser encontrado usando as fórmulas:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = 21 x 1 + 22 x 2 + 23 x 3,(9.3)

x` 3 = uma 31 x 1 + uma 32 x 2 + uma 33 x 3 .

Os coeficientes nas fórmulas desta transformação linear são elementos das linhas da matriz MAS.

Transformação de matriz de transformação linear

ao mudar para uma nova base.

Considere uma transformação linear A e duas bases no espaço tridimensional: e 1 , e 2, e 3 e e 1 , e 2 , e 3 . Deixe a matriz C definir as fórmulas de transição da base (e k) para a base ( e k). Se na primeira dessas bases a transformação linear escolhida é dada pela matriz A , e na segunda - pela matriz MAS, então podemos encontrar uma relação entre essas matrizes, a saber:

A \u003d C -1 MAS C(9.4)

Com efeito, então MAS . Por outro lado, os resultados da aplicação da mesma transformação linear MAS na base (e k), ou seja, , e na base (e k ): respectivamente - são conectados pela matriz A PARTIR DE: , de onde segue que SA= MAS A PARTIR DE. Multiplicando ambos os lados desta igualdade à esquerda por A PARTIR DE-1, obtemos A PARTIR DE -1 CA = = C -1 MAS A PARTIR DE, o que comprova a validade da fórmula (9.4).

Autovalores e autovetores de uma matriz.

Definição 9.3.Vetor X chamado próprio vetor matrizes MAS se existe esse número λ, que a igualdade vale: MAS X= λ X, ou seja, o resultado da aplicação a X transformação linear dada pela matriz MAS, é a multiplicação desse vetor pelo número λ . O próprio número λ chamado próprio número matrizes MAS.

Substituindo em fórmulas (9.3)x` j = λ xj, obtemos um sistema de equações para determinar as coordenadas do autovetor:

.

Daqui

.(9.5)

este linear homogêneo o sistema terá uma solução não trivial somente se seu determinante principal for 0 (regra de Cramer). Escrevendo esta condição no formulário:

obtemos uma equação para determinar os autovalores λ chamado equação característica. Resumidamente, pode ser representado da seguinte forma:

| UMA -λ E | = 0,(9.6)

já que seu lado esquerdo é o determinante da matriz MAS- λE. Polinômio em relação a λ| UMA -λ E| chamado polinômio característico matrizes A.

Propriedades do polinômio característico:

1) O polinômio característico de uma transformação linear não depende da escolha da base. (com ver (9.4)), mas Consequentemente, . Assim, não depende da escolha da base. Portanto, e |UMA-λ E| não muda na transição para uma nova base.

2) Se a matriz MAS transformação linear é simétrico(Essa. uma eu j= um ji), então todas as raízes da equação característica (9.6) são números reais.

Propriedades de autovalores e autovetores:

1) Se escolhermos uma base de autovetores x 1, x 2, x 3 correspondente aos autovalores λ 1 , λ 2 , λ 3 matrizes MAS, então nesta base a transformação linear A tem uma matriz diagonal:

(9.7) A prova desta propriedade segue da definição de autovetores.

2) Se a transformação autovalores MAS são diferentes, então os autovetores correspondentes a eles são linearmente independentes.

3) Se o polinômio característico da matriz MAS tem três raízes diferentes, então em alguma base a matriz MAS tem uma forma diagonal.

Exemplo.

Vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz C, deixe a equação característica: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Encontre as coordenadas dos autovetores correspondentes a cada valor encontrado λ. De (9.5) segue que se X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) é o autovetor correspondente a λ 1 = -2, então

é um sistema colaborativo, mas indeterminado. Sua solução pode ser escrita como X (1) ={ uma,0,- uma), onde a é qualquer número. Em particular, se você precisar que |x (1) |=1, X (1) =

Substituindo no sistema (9.5) λ 2 =3, obtemos um sistema para determinar as coordenadas do segundo autovetor-x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Transformações lineares de coordenadas. Autovetores e autovalores de uma matriz, suas propriedades. Polinômio característico de uma matriz, suas propriedades.

Diremos que no conjunto de vetores R dado transformaçãoMAS , se cada vetor X R de acordo com alguma regra, o vetor MASX R.

Definição 9.1. transformação MAS chamado linear, se para quaisquer vetores X e no e para qualquer número real λ igualdades são cumpridas:

MAS(X + no )=MASX + Ano ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Definição 9.2. A transformação linear é chamada idêntico, se transforma qualquer vetor X em si mesmo.

A transformação de identidade é indicada SUAX = X .

Considere um espaço tridimensional com base e 1 , e 2 , e 3 , em que a transformação linear é especificada MAS. Aplicando aos vetores de base, obtemos os vetores MASe 1 , MASe 2 , MASe 3 pertencentes a este espaço tridimensional. Portanto, cada um deles pode ser expandido de maneira única em termos de vetores de base:

MASe 1 = um 11 e 1 + um 21 e 2 +a 31 e 3 ,

MASe 2 = um 12 e 1 + um 22 e 2 + um 32 e 3 , (9.2)

MASe 3 = um 13 e 1 + um 23 e 2 + um 33 e 3 .

Matriz
chamado matriz de transformação linearMAS na base e 1 , e 2 , e 3 . As colunas desta matriz são compostas pelos coeficientes nas fórmulas (9.2) da transformação de base.

Comente. Obviamente, a matriz da transformação identidade é a matriz identidade E.

Para um vetor arbitrário X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 o resultado da aplicação de uma transformação linear a ele MAS será vetor MASX , que pode ser expandido em vetores de mesma base: MASX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , onde as coordenadas x` eu pode ser encontrado usando as fórmulas:

X` 1 = um 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ,

x` 2 = um 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = uma 31 x 1 + uma 32 x 2 + uma 33 x 3 .

Os coeficientes nas fórmulas desta transformação linear são elementos das linhas da matriz MAS.

Transformação de matriz de transformação linear

ao mudar para uma nova base.

Considere uma transformação linear A e duas bases no espaço tridimensional: e 1 , e 2 , e 3 e e 1 , e 2 , e 3 . Deixe a matriz C definir as fórmulas de transição da base ( e k) para a base ( e k). Se na primeira dessas bases a transformação linear escolhida é dada pela matriz A, e na segunda - pela matriz MAS, então podemos encontrar uma relação entre essas matrizes, a saber:

A \u003d C -1 MAS C (9,4)

Sério,
, então MAS
. Por outro lado, os resultados da aplicação da mesma transformação linear MAS na base ( e k), ou seja, , e na base ( e k ): respectivamente - conectado por uma matriz A PARTIR DE:
, de onde segue que SA=MAS A PARTIR DE. Multiplicando ambos os lados desta igualdade à esquerda por A PARTIR DE-1, obtemos A PARTIR DE - 1 CA = = C -1 MAS A PARTIR DE, o que comprova a validade da fórmula (9.4).

Autovalores e autovetores de uma matriz.

Definição 9.3. Vetor X chamado próprio vetor matrizes MAS se existe esse número λ, que a igualdade vale: MASX = λ X , ou seja, o resultado da aplicação a X transformação linear dada pela matriz MAS, é a multiplicação desse vetor pelo número λ . O próprio número λ chamado próprio número matrizes MAS.

Substituindo em fórmulas (9.3) x` j = λ x j , obtemos um sistema de equações para determinar as coordenadas do autovetor:

.

. (9.5)

Este sistema linear homogêneo terá uma solução não trivial somente se seu determinante principal for 0 (regra de Cramer). Escrevendo esta condição no formulário:

obtemos uma equação para determinar os autovalores λ chamado equação característica. Resumidamente, pode ser representado da seguinte forma:

| UMA - λ E| = 0, (9.6)

já que seu lado esquerdo é o determinante da matriz A-λE. Polinômio em relação a λ | UMA - λ E| chamado polinômio característico matrizes A.

Propriedades do polinômio característico:

Propriedades de autovalores e autovetores:

Se escolhermos uma base de autovetores X 1 , X 2 , X 3 correspondente aos autovalores λ 1 , λ 2 , λ 3 matrizes MAS, então nesta base a transformação linear A tem uma matriz diagonal:

(9.7) A prova desta propriedade segue da definição de autovetores.

Se a transformação autovalores MAS são diferentes, então os autovetores correspondentes a eles são linearmente independentes.

Se o polinômio característico da matriz MAS tem três raízes diferentes, então em alguma base a matriz MAS tem uma forma diagonal.

Vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz Vamos fazer a equação característica:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Encontre as coordenadas dos autovetores correspondentes a cada valor encontrado λ. De (9.5) segue que se X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) é o autovetor correspondente a λ 1 = -2, então

é um sistema colaborativo, mas indeterminado. Sua solução pode ser escrita como X (1) ={uma,0,-uma), onde a é qualquer número. Em particular, se você precisar que | x (1) |=1,X (1) =

Substituindo no sistema (9.5) λ 2 = 3, obtemos um sistema para determinar as coordenadas do segundo autovetor - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, Onde X (2) ={b,- b, b) ou, desde | x (2) |=1,x (2) =

Por λ 3 = 6 encontre o autovetor x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c,2 c, c) ou na versão normalizada

X (3) =
Pode ser visto que X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =bc - 2bc + bc = 0. Assim, os autovetores desta matriz são ortogonais aos pares.