Fórmulas básicas e métodos de integração. Regra de integração de soma ou diferença. Tirando a constante do sinal de integral. Método de substituição variável. A fórmula da integração por partes. Um exemplo de solução de problema.

Os quatro principais métodos de integração estão listados abaixo.

1) Regra de integração de soma ou diferença.
.
Aqui e abaixo, u, v, w são funções da variável de integração x .

2) Tirando a constante do sinal de integral.
Seja c uma constante independente de x. Então ele pode ser retirado do sinal de integral.

3) Método de substituição variável.
Considere a integral indefinida.
Se for possível escolher tal função φ (x) de x, então
,
então, depois de mudar a variável t = φ(x), temos
.

4) A fórmula da integração por partes.
,
onde u e v são funções da variável de integração.

O objetivo final do cálculo de integrais indefinidas é, por meio de transformações, trazer a integral dada para as integrais mais simples, que são chamadas de integrais tabulares. As integrais de tabela são expressas em termos de funções elementares usando fórmulas bem conhecidas.
Veja a Tabela de integrais >>>

Exemplo

Calcular integral indefinida

Solução

Observe que o integrando é a soma e a diferença de três termos:
, e .
Aplicamos o método 1 .

Além disso, notamos que os integrandos das novas integrais são multiplicados pelas constantes 5, 4, e 2 , respectivamente. Aplicamos o método 2 .

Na tabela de integrais encontramos a fórmula
.
Configuração n = 2 , encontramos a primeira integral.

Vamos reescrever a segunda integral na forma
.
Nós notamos isso. Então

Vamos usar o terceiro método. Fazemos a mudança de variável t = φ (x) = log x.
.
Na tabela de integrais encontramos a fórmula

Como a variável de integração pode ser denotada por qualquer letra, então

Vamos reescrever a terceira integral na forma
.
Aplicamos a fórmula da integração por partes.
Deixar .
Então
;
;

;
;
.

Nesta página você encontrará:

1. Na verdade, a tabela de primitivas - pode ser baixada em formato PDF e impressa;

2. Vídeo de como usar esta tabela;

3. Um monte de exemplos de cálculo da primitiva de vários livros e testes.

No próprio vídeo, analisaremos muitos problemas em que você precisa calcular funções antiderivadas, geralmente bastante complexas, mas o mais importante, elas não são lei de potência. Todas as funções resumidas na tabela proposta acima devem ser conhecidas de cor, como as derivadas. Sem eles, é impossível um estudo mais aprofundado de integrais e sua aplicação para resolver problemas práticos.

Hoje continuamos a lidar com primitivos e passamos para um tópico um pouco mais complexo. Se da última vez consideramos primitivas apenas de funções de potência e estruturas um pouco mais complexas, hoje vamos analisar trigonometria e muito mais.

Como eu disse na última lição, as primitivas, ao contrário das derivadas, nunca são resolvidas "em branco" usando regras padrão. Além disso, a má notícia é que, diferentemente da derivada, a antiderivada pode não ser considerada. Se escrevermos uma função completamente aleatória e tentarmos encontrar sua derivada, teremos sucesso com uma probabilidade muito alta, mas a primitiva quase nunca será calculada nesse caso. Mas há boas notícias: existe uma classe bastante grande de funções chamadas funções elementares, cujas primitivas são muito fáceis de calcular. E todas as outras construções mais complexas que são dadas em vários controles, independentes e exames, na verdade, são compostas dessas funções elementares por adição, subtração e outras ações simples. As primitivas de tais funções há muito são calculadas e resumidas em tabelas especiais. É com essas funções e tabelas que trabalharemos hoje.

Mas começaremos, como sempre, com uma repetição: lembre-se do que é uma antiderivada, por que existem infinitas delas e como determiná-las. Forma geral. Para fazer isso, peguei duas tarefas simples.

Resolvendo exemplos fáceis

Exemplo 1

Observe imediatamente que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ e a presença de $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ nos indica imediatamente que a primitiva requerida da função está relacionada à trigonometria. E, de fato, se olharmos para a tabela, descobriremos que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nada mais é do que $\text(arctg)x$. Então vamos escrever:

Para encontrar, você precisa escrever o seguinte:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplo #2

Aqui também estamos falando sobre funções trigonométricas. Se olharmos para a tabela, então, de fato, ficará assim:

Precisamos encontrar entre todo o conjunto de antiderivadas aquela que passa pelo ponto especificado:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Vamos finalmente anotar:

É simples assim. O único problema é que para contar as primitivas de funções simples, você precisa aprender a tabela de primitivas. No entanto, depois de aprender a tabela de derivativos para você, acho que isso não será um problema.

Resolvendo problemas contendo uma função exponencial

Vamos começar escrevendo as seguintes fórmulas:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Vamos ver como tudo isso funciona na prática.

Exemplo 1

Se observarmos o conteúdo dos colchetes, veremos que na tabela de antiderivadas não existe tal expressão que $((e)^(x))$ esteja em um quadrado, então este quadrado deve ser aberto. Para fazer isso, usamos as fórmulas de multiplicação abreviadas:

Vamos encontrar a primitiva para cada um dos termos:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

E agora reunimos todos os termos em uma única expressão e obtemos uma primitiva comum:

Exemplo #2

Desta vez, o expoente já é maior, então a fórmula de multiplicação abreviada será bastante complicada. Vamos expandir os colchetes:

Agora vamos tentar tirar a primitiva da nossa fórmula desta construção:

Como você pode ver, não há nada complicado e sobrenatural nas primitivas da função exponencial. Tudo é calculado por meio de tabelas, no entanto, alunos atentos certamente perceberão que a antiderivada $((e)^(2x))$ está muito mais próxima de apenas $((e)^(x))$ do que de $((a). )^(x))$. Então, talvez haja alguma regra mais especial que permita, conhecendo a antiderivada $((e)^(x))$, encontrar $((e)^(2x))$? Sim, existe essa regra. E, além disso, é parte integrante do trabalho com a tabela de primitivas. Vamos agora analisá-lo usando as mesmas expressões com as quais acabamos de trabalhar como exemplo.

Regras para trabalhar com a tabela de primitivas

Vamos reescrever nossa função:

No caso anterior, usamos a seguinte fórmula para resolver:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Mas agora vamos fazer algo diferente: lembre-se em que base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Como já foi dito, como a derivada de $((e)^(x))$ não é nada além de $((e)^(x))$, então sua antiderivada será igual ao mesmo $((e) ^( x))$. Mas o problema é que temos $((e)^(2x))$ e $((e)^(-2x))$. Agora vamos tentar encontrar a derivada $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Vamos reescrever nossa construção novamente:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

E isso significa que ao encontrar a antiderivada $((e)^(2x))$, obtemos o seguinte:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Como você pode ver, obtivemos o mesmo resultado de antes, mas não usamos a fórmula para encontrar $((a)^(x))$. Agora, isso pode parecer estúpido: por que complicar os cálculos quando existe uma fórmula padrão? No entanto, em expressões um pouco mais complexas, você verá que essa técnica é muito eficaz, ou seja, usando derivadas para encontrar antiderivadas.

Vamos, como aquecimento, encontrar a antiderivada de $((e)^(2x))$ de maneira semelhante:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Ao calcular, nossa construção será escrita da seguinte forma:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Obtivemos exatamente o mesmo resultado, mas fomos para o outro lado. É desta forma, que agora nos parece um pouco mais complicada, que no futuro será mais eficiente para calcular primitivas mais complexas e utilizar tabelas.

Observação! Este é um ponto muito importante: as primitivas, como as derivadas, podem ser contadas de muitas maneiras diferentes. No entanto, se todos os cálculos e cálculos forem iguais, a resposta será a mesma. Acabamos de nos certificar disso no exemplo de $((e)^(-2x))$ - por um lado, calculamos essa antiderivada “through”, usando a definição e calculando-a com a ajuda de transformações, por Por outro lado, lembramos que $ ((e)^(-2x))$ pode ser representado como $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ e então use a primitiva para a função $( (a)^(x))$. No entanto, após todas as transformações, o resultado é o mesmo que o esperado.

E agora que entendemos tudo isso, é hora de passar para algo mais substancial. Agora vamos analisar duas construções simples, no entanto, a técnica que será estabelecida ao resolvê-las é uma ferramenta mais poderosa e útil do que uma simples “corrida” entre primitivas vizinhas da tabela.

Resolução de problemas: encontre a primitiva de uma função

Exemplo 1

Dê a quantidade que está nos numeradores, decomponha em três frações separadas:

Esta é uma transição bastante natural e compreensível - a maioria dos alunos não tem problemas com isso. Vamos reescrever nossa expressão da seguinte forma:

Agora vamos lembrar desta fórmula:

No nosso caso, teremos o seguinte:

Para se livrar de todas essas frações de três andares, sugiro fazer o seguinte:

Exemplo #2

Ao contrário da fração anterior, o denominador não é o produto, mas a soma. Nesse caso, não podemos mais dividir nossa fração pela soma de várias frações simples, mas devemos de alguma forma tentar garantir que o numerador contenha aproximadamente a mesma expressão que o denominador. Nesse caso, é bem fácil de fazer:

Tal notação, que na linguagem da matemática é chamada de "adicionar zero", nos permitirá dividir novamente a fração em duas partes:

Agora vamos encontrar o que estávamos procurando:

Esses são todos os cálculos. Apesar da aparente maior complexidade do que no problema anterior, a quantidade de cálculos acabou sendo ainda menor.

Nuances da solução

E é aí que reside a principal dificuldade de trabalhar com primitivas tabulares, isso é especialmente perceptível na segunda tarefa. O fato é que para selecionar alguns elementos que são facilmente contados pela tabela, precisamos saber exatamente o que estamos procurando, e é na busca por esses elementos que consiste todo o cálculo das primitivas.

Em outras palavras, não basta apenas memorizar a tabela de antiderivadas - você precisa ser capaz de ver algo que ainda não está lá, mas o que o autor e compilador desse problema quis dizer. É por isso que muitos matemáticos, professores e professores argumentam constantemente: “O que é tomar antiderivadas ou integração – é apenas uma ferramenta ou é arte real?” Na verdade, na minha opinião pessoal, a integração não é uma arte - não há nada de sublime nisso, é apenas praticar e praticar novamente. E para praticar, vamos resolver mais três exemplos mais sérios.

Pratique a integração na prática

Tarefa nº 1

Vamos escrever as seguintes fórmulas:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Vamos escrever o seguinte:

Tarefa nº 2

Vamos reescrever da seguinte forma:

A antiderivada total será igual a:

Tarefa nº 3

A complexidade desta tarefa está no fato de que, diferentemente das funções anteriores, não existe a variável $x$ acima, ou seja, não está claro para nós o que adicionar, subtrair para obter pelo menos algo semelhante ao que está abaixo. No entanto, na verdade, essa expressão é considerada ainda mais simples do que qualquer expressão das construções anteriores, pois essa função pode ser reescrita da seguinte forma:

Você pode agora perguntar: por que essas funções são iguais? Vamos checar:

Vamos reescrever novamente:

Vamos mudar um pouco nossa expressão:

E quando explico tudo isso aos meus alunos, quase sempre surge o mesmo problema: com a primeira função tudo fica mais ou menos claro, com a segunda você também pode descobrir com sorte ou prática, mas que tipo de consciência alternativa você precisa ter para resolver o terceiro exemplo? Na verdade, não tenha medo. A técnica que usamos ao calcular a última antiderivada é chamada de “decomposição de uma função em mais simples”, e esta é uma técnica muito séria, e uma vídeo aula separada será dedicada a ela.

Entretanto, proponho voltar ao que acabamos de estudar, ou seja, às funções exponenciais e complicar um pouco as tarefas com seu conteúdo.

Problemas mais complexos para resolver funções exponenciais antiderivadas

Tarefa nº 1

Observe o seguinte:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Para encontrar a primitiva dessa expressão, basta usar a fórmula padrão $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

No nosso caso, a primitiva ficará assim:

Claro que, no contexto da construção que acabamos de resolver, esta parece mais simples.

Tarefa nº 2

Novamente, é fácil ver que esta função é fácil de dividir em dois termos separados - duas frações separadas. Vamos reescrever:

Resta encontrar a primitiva de cada um desses termos de acordo com a fórmula acima:

Apesar da aparente maior complexidade das funções exponenciais em comparação com as funções de potência, a quantidade total de cálculos e cálculos acabou sendo muito mais simples.

É claro que, para estudantes experientes, o que acabamos de lidar (especialmente tendo como pano de fundo o que tratamos antes) pode parecer expressões elementares. No entanto, escolhendo essas duas tarefas para o tutorial em vídeo de hoje, não me propus o objetivo de contar outro truque complexo e sofisticado - tudo o que eu queria mostrar é que você não deve ter medo de usar truques de álgebra padrão para transformar as funções originais .

Usando a técnica "secreta"

Para concluir, gostaria de analisar outra técnica interessante, que, por um lado, vai além do que analisamos principalmente hoje, mas, por outro lado, é, em primeiro lugar, nada complicada, ou seja. até mesmo alunos iniciantes podem dominá-lo e, em segundo lugar, é encontrado com bastante frequência em todos os tipos de controle e trabalho independente, ou seja, saber disso será muito útil além de conhecer a tabela de primitivas.

Tarefa nº 1

Obviamente, temos algo muito semelhante a uma função de potência. Como devemos proceder neste caso? Vamos pensar sobre isso: $x-5$ difere de $x$ nem tanto - apenas adicionamos $-5$. Vamos escrever assim:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Vamos tentar encontrar a derivada de $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Isso implica:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ direito))^(\prime))\]

Não existe tal valor na tabela, então agora deduzimos essa fórmula nós mesmos, usando a fórmula antiderivada padrão para uma função de potência. Vamos escrever a resposta assim:

Tarefa nº 2

Para muitos alunos que olham para a primeira solução, pode parecer que tudo é muito simples: basta substituir $x$ na função potência por uma expressão linear e tudo se encaixará. Infelizmente, nem tudo é tão simples, e agora veremos isso.

Por analogia com a primeira expressão, escrevemos o seguinte:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Voltando à nossa derivada, podemos escrever:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime))\]

Daqui segue imediatamente:

Nuances da solução

Por favor note: se da última vez nada mudou essencialmente, então no segundo caso $-30$ apareceu em vez de $-10$. Qual é a diferença entre $-10$ e $-30$? Obviamente, por um fator de $-3$. Pergunta: de onde veio? Olhando de perto, você pode ver que foi obtido como resultado do cálculo da derivada de uma função complexa - o coeficiente que ficou em $x$ aparece na antiderivada abaixo. Esta é uma regra muito importante, que inicialmente não planejei analisar no vídeo tutorial de hoje, mas sem ela, a apresentação de antiderivadas tabulares estaria incompleta.

Então vamos fazer de novo. Seja nossa função de potência principal:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

E agora ao invés de $x$ vamos substituir a expressão $kx+b$. O que acontecerá então? Precisamos encontrar o seguinte:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Com base em que afirmamos isso? Muito simples. Vamos encontrar a derivada da construção escrita acima:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Esta é a mesma expressão que era originalmente. Assim, essa fórmula também está correta, e pode ser usada para complementar a tabela de antiderivadas, mas é melhor lembrar apenas da tabela inteira.

Conclusões do "segredo: recepção:

• Ambas as funções que acabamos de considerar, de fato, podem ser reduzidas às antiderivadas indicadas na tabela abrindo os graus, mas se pudermos lidar mais ou menos de alguma forma com o quarto grau, eu não faria o nono grau. ousou revelar.
• Se abríssemos os graus, obteríamos um volume de cálculos tão grande que uma tarefa simples nos levaria uma quantidade inadequada de tempo.
• É por isso que tais tarefas, dentro das quais existem expressões lineares, não precisam ser resolvidas "em branco". Assim que você encontrar uma antiderivada, que difere da da tabela apenas pela presença da expressão $kx+b$ dentro, lembre-se imediatamente da fórmula escrita acima, substitua-a em sua antiderivada tabular, e tudo ficará muito mais rápido e fácil.

Naturalmente, devido à complexidade e seriedade dessa técnica, retornaremos repetidamente à sua consideração em futuros tutoriais em vídeo, mas por hoje tenho tudo. Espero que esta lição realmente ajude os alunos que desejam entender as primitivas e a integração.

Função antiderivada e integral indefinida

Fato 1. A integração é o oposto da diferenciação, ou seja, a restauração de uma função da derivada conhecida dessa função. A função restaurada desta forma F(x) é chamado primitivo para função f(x).

Definição 1. Função F(x f(x) em algum intervalo X, se para todos os valores x deste intervalo a igualdade F "(x)=f(x), ou seja, esta função f(x) é a derivada da função antiderivada F(x). .

Por exemplo, a função F(x) = pecado x é a primitiva da função f(x) = co x em toda a reta numérica, pois para qualquer valor de x (pecado x)" = (cos x) .

Definição 2. Integral indefinido de uma função f(x) é a coleção de todas as suas primitivas. Isso usa a notação

∫

f(x)dx

,

onde está o sinal ∫ é chamado de sinal de integral, a função f(x) é um integrando e f(x)dx é o integrando.

Assim, se F(x) é alguma primitiva de f(x) , então

∫

f(x)dx = F(x) +C

Onde C - constante arbitrária (constante).

Para entender o significado do conjunto de primitivas de uma função como uma integral indefinida, a seguinte analogia é apropriada. Que haja uma porta (uma porta de madeira tradicional). Sua função é "ser uma porta". De que é feita a porta? De uma árvore. Isso significa que o conjunto de primitivas do integrando "ser uma porta", ou seja, sua integral indefinida, é a função "ser uma árvore + C", onde C é uma constante, que neste contexto pode denotar, por exemplo, uma espécie de árvore. Assim como uma porta é feita de madeira com algumas ferramentas, a derivada de uma função é "feita" da função antiderivada com fórmula que aprendemos estudando a derivada .

Então a tabela de funções de objetos comuns e suas primitivas correspondentes ("ser uma porta" - "ser uma árvore", "ser uma colher" - "ser um metal", etc.) integrais indefinidas básicas, que serão dadas abaixo. A tabela de integrais indefinidas lista funções comuns, indicando as primitivas das quais essas funções são "feitas". Como parte das tarefas para encontrar a integral indefinida, são fornecidos tais integrandos que podem ser integrados diretamente sem esforços especiais, ou seja, de acordo com a tabela de integrais indefinidas. Em problemas mais complexos, o integrando deve primeiro ser transformado para que as integrais tabulares possam ser usadas.

Fato 2. Restaurando uma função como uma antiderivada, devemos levar em conta uma constante arbitrária (constante) C, e para não escrever uma lista de primitivas com diferentes constantes de 1 a infinito, você precisa escrever um conjunto de primitivas com uma constante arbitrária C, assim: 5 x³+C. Assim, uma constante arbitrária (constante) é incluída na expressão da antiderivada, pois a antiderivada pode ser uma função, por exemplo, 5 x³+4 ou 5 x³+3 e ao diferenciar 4 ou 3 ou qualquer outra constante desaparece.

Colocamos o problema de integração: para uma dada função f(x) encontre tal função F(x), cuja derivadaé igual a f(x).

Exemplo 1 Encontre o conjunto de primitivas de uma função

Solução. Para esta função, a primitiva é a função

Função F(x) é chamada de antiderivada para a função f(x) se a derivada F(x) é igual a f(x), ou, o que é a mesma coisa, o diferencial F(x) é igual a f(x) dx, ou seja

(2)

Portanto, a função é antiderivada para a função . No entanto, não é a única antiderivada para . Também são funções

Onde A PARTIR DEé uma constante arbitrária. Isso pode ser verificado por diferenciação.

Assim, se existe uma primitiva para uma função, então para ela existe um conjunto infinito de primitivas que diferem por uma soma constante. Todas as primitivas de uma função são escritas na forma acima. Isso decorre do seguinte teorema.

Teorema (enunciado formal do fato 2). Se um F(x) é a primitiva da função f(x) em algum intervalo X, então qualquer outra primitiva para f(x) no mesmo intervalo pode ser representado como F(x) + C, Onde A PARTIR DEé uma constante arbitrária.

No exemplo a seguir, já nos voltamos para a tabela de integrais, que será dada no parágrafo 3, após as propriedades da integral indefinida. Fazemos isso antes de nos familiarizarmos com toda a tabela, para que a essência do acima fique clara. E depois da tabela e das propriedades, vamos usá-las em sua totalidade na integração.

Exemplo 2 Encontre conjuntos de primitivas:

Solução. Encontramos conjuntos de funções antiderivadas dos quais essas funções são "feitas". Ao mencionar fórmulas da tabela de integrais, por enquanto, apenas aceite que existem tais fórmulas, e estudaremos a tabela de integrais indefinidas na íntegra um pouco mais.

1) Aplicando a fórmula (7) da tabela de integrais para n= 3, obtemos

2) Usando a fórmula (10) da tabela de integrais para n= 1/3, temos

3) Desde

então de acordo com a fórmula (7) em n= -1/4 encontrar

Sob o sinal de integral, eles não escrevem a função em si f, e seu produto pelo diferencial dx. Isso é feito principalmente para indicar qual variável a primitiva está sendo pesquisada. Por exemplo,

, ;

aqui em ambos os casos o integrando é igual a , mas suas integrais indefinidas nos casos considerados são diferentes. No primeiro caso, esta função é considerada como uma função de uma variável x, e no segundo - em função de z .

O processo de encontrar a integral indefinida de uma função é chamado de integração dessa função.

O significado geométrico da integral indefinida

Seja necessário encontrar uma curva y=F(x) e já sabemos que a tangente da inclinação da tangente em cada um de seus pontos é uma função dada f(x) abscissa deste ponto.

De acordo com o significado geométrico da derivada, a tangente da inclinação da tangente em um determinado ponto da curva y=F(x) igual ao valor da derivada F"(x). Então, precisamos encontrar tal função F(x), para qual F"(x)=f(x). Função necessária na tarefa F(x)é derivado de f(x). A condição do problema é satisfeita não por uma curva, mas por uma família de curvas. y=F(x)- uma dessas curvas, e qualquer outra curva pode ser obtida por translação paralela ao longo do eixo Oi.

Vamos chamar o gráfico da função antiderivada de f(x) curva integral. Se um F"(x)=f(x), então o gráfico da função y=F(x)é uma curva integral.

Fato 3. A integral indefinida é representada geometricamente pela família de todas as curvas integrais como na imagem abaixo. A distância de cada curva da origem é determinada por uma constante arbitrária (constante) de integração C.

Propriedades da integral indefinida

Fato 4. Teorema 1. A derivada de uma integral indefinida é igual ao integrando, e sua diferencial é igual ao integrando.

Fato 5. Teorema 2. A integral indefinida da diferencial de uma função f(x) é igual à função f(x) até um termo constante , ou seja

(3)

Os teoremas 1 e 2 mostram que a diferenciação e a integração são operações mutuamente inversas.

Fato 6. Teorema 3. O fator constante no integrando pode ser retirado do sinal da integral indefinida , ou seja

Aprender a integrar não é difícil. Para fazer isso, você só precisa aprender um certo conjunto de regras bastante pequeno e desenvolver uma espécie de talento. Claro que é fácil aprender as regras e fórmulas, mas é muito difícil entender onde e quando aplicar esta ou aquela regra de integração ou diferenciação. Isso, na verdade, é a capacidade de integração.

1. Antiderivada. Integral indefinida.

Supõe-se que, no momento da leitura deste artigo, o leitor já tenha algumas habilidades de diferenciação (ou seja, encontrar derivadas).

Definição 1.1: Uma função é chamada de antiderivada se a igualdade vale:

Comentários:> A ênfase na palavra “primordial” pode ser colocada de duas maneiras: cerca de amassado ou original uma sabendo.

Propriedade 1: Se uma função é uma antiderivada de uma função, então a função também é uma antiderivada de uma função.

Prova: Vamos provar isso a partir da definição de uma antiderivada. Vamos encontrar a derivada da função:

O primeiro termo em definição 1.1é igual a , e o segundo termo é a derivada da constante, que é igual a 0.

.

Resumir. Vamos escrever o início e o fim da cadeia de igualdades:

Assim, a derivada da função é igual e, portanto, por definição, é sua primitiva. A propriedade foi comprovada.

Definição 1.2: A integral indefinida de uma função é todo o conjunto de primitivas dessa função. É indicado assim:

.

Considere os nomes de cada parte do registro em detalhes:

é a notação geral para a integral,

é uma expressão integrando (integrando), uma função integrável.

é o diferencial, e a expressão após a letra , neste caso , será chamada de variável de integração.

Comentários: As palavras-chave nesta definição são “todo o conjunto”. Aqueles. se no futuro esse “mais C” não estiver escrito na resposta, o inspetor tem todo o direito de não creditar essa tarefa, porque é necessário encontrar todo o conjunto de primitivas e, se C estiver ausente, apenas uma será encontrada.

Conclusão: Para verificar se a integral é calculada corretamente, é necessário encontrar a derivada do resultado. Deve corresponder ao integrando.
Exemplo:
Exercício: Calcule a integral indefinida e verifique.

Solução:

A forma como esta integral é calculada não importa neste caso. Suponha que seja uma revelação de cima. Nossa tarefa é mostrar que a revelação não nos enganou, e isso pode ser feito com a ajuda da verificação.

Exame:

Ao diferenciar o resultado, obteve-se um integrando, o que significa que o integral foi calculado corretamente.

2. Comece. Tabela de integrais.

Para integração, não é necessário lembrar a cada vez a função cuja derivada é igual ao integrando dado (ou seja, use a definição da integral diretamente). Cada coleção de problemas ou livro de análise matemática contém uma lista de propriedades de integrais e uma tabela de integrais mais simples.

Vamos listar as propriedades.

Propriedades:
1.
A integral do diferencial é igual à variável de integração.
2. , onde é uma constante.
O multiplicador constante pode ser retirado do sinal de integral.

3.
A integral da soma é igual à soma das integrais (se o número de termos for finito).
Tabela Integral:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Na maioria das vezes, a tarefa é reduzir a integral investigada a uma tabular usando propriedades e fórmulas.

Exemplo:

[Vamos usar a terceira propriedade das integrais e escrevê-la como uma soma de três integrais.]

[Vamos usar a segunda propriedade e tirar as constantes do sinal de integração.]

[ Na primeira integral, usamos a integral de tabela nº 1 (n = 2), na segunda - a mesma fórmula, mas n = 1, e para a terceira integral, você pode usar a mesma integral de tabela, mas com n=0, ou a primeira propriedade. ]
.
Vamos verificar por diferenciação:

O integrando original foi obtido, portanto, a integração foi realizada sem erros (e mesmo a adição de uma constante arbitrária C não foi esquecida).

As integrais tabulares devem ser aprendidas de cor por uma razão simples - para saber pelo que lutar, ou seja, conhecer o propósito da transformação da expressão dada.

Aqui estão mais alguns exemplos:
1)
2)
3)

Tarefas para solução independente:

Exercício 1. Calcule a integral indefinida:

+ Mostrar/ocultar dica #1.

1) Use a terceira propriedade e apresente esta integral como a soma de três integrais.

+ Mostrar/ocultar dica #2.

+ Mostrar/ocultar dica #3.

3) Para os dois primeiros termos, use a primeira integral tabular e para a terceira - a segunda integral tabular.

+ Mostrar/ocultar Solução e Resposta.

4) Solução:

Responda: