Tipo de equação f(x; uma) = 0 é chamado equação variável X e parâmetro uma.
Resolver uma equação com um parâmetro uma Isso significa que para cada valor uma encontrar valores X satisfazendo esta equação.
Exemplo 1 Oh= 0
Exemplo 2 Oh = uma
Exemplo 3
x + 2 = machado
x - machado \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
Se 1 - uma= 0, ou seja uma= 1, então X 0 = -2 sem raízes
Se 1 - uma 0, ou seja uma 1, então X =
Exemplo 4
(uma 2 – 1) X = 2uma 2 + uma – 3
(uma – 1)(uma + 1)X = 2(uma – 1)(uma – 1,5)
(uma – 1)(uma + 1)X = (1uma – 3)(uma – 1)
Se um uma= 1, então 0 X = 0
X- qualquer número real
Se um uma= -1, então 0 X = -2
sem raízes
Se um uma 1, uma-1 então X= (a única solução).
Isso significa que para cada valor válido uma corresponde a um único valor X.
Por exemplo:
E se uma= 5, então X = = ;
E se uma= 0, então X= 3 etc
Material didático
1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. uma = +
no uma= 1 não há raízes.
no uma= 3 sem raízes.
no uma = 1 X qualquer número real, exceto X = 1
no uma = -1, uma= 0 não há soluções.
no uma = 0, uma= 2 sem soluções.
no uma = -3, uma = 0, 5, uma= -2 sem soluções
no uma = -Com, Com= 0 não há soluções.
Equações quadráticas com um parâmetro
Exemplo 1 resolva a equação
(uma – 1)X 2 = 2(2uma + 1)X + 4uma + 3 = 0
No uma = 1 6X + 7 = 0
Quando uma 1 selecione os valores do parâmetro para o qual D vai para zero.
D = (2(2 uma + 1)) 2 – 4(uma – 1)(4uma + 30 = 16uma 2 + 16uma + 4 – 4(4uma 2 + 3uma – 4uma – 3) = 16uma 2 + 16uma + 4 – 16uma 2 + 4uma + 12 = 20uma + 16
20uma + 16 = 0
20uma = -16
Se um uma < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Se um uma> -4/5 e uma 1, então D > 0,
X = 
Se um uma= 4/5, então D = 0,
Exemplo 2 Em quais valores do parâmetro a equação
x 2 + 2( uma + 1)X + 9uma– 5 = 0 tem 2 raízes negativas diferentes?
D = 4( uma + 1) 2 – 4(9uma – 5) = 4uma 2 – 28uma + 24 = 4(uma – 1)(uma – 6)
4(uma – 1)(uma – 6) > 0
de acordo com t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(uma + 1)
X 1 X 2 = 9uma – 5
Por condição X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(uma + 1) < 0 и 9uma – 5 > 0
| Eventualmente | 4(uma – 1)(uma – 6) > 0 - 2(uma + 1) < 0 9uma – 5 > 0 |
uma < 1: а > 6 uma > - 1 uma > 5/9 |
 (Arroz. 1) < uma < 1, либо uma > 6 |
Exemplo 3 Encontrar valores uma para a qual esta equação tem solução.
x 2 - 2( uma – 1)X + 2uma + 1 = 0
D = 4( uma – 1) 2 – 4(2uma + 10 = 4uma 2 – 8uma + 4 – 8uma – 4 = 4uma 2 – 16uma
4uma 2 – 16 0
4uma(uma – 4) 0
uma( uma – 4)) 0
uma( uma – 4) = 0
a = 0 ou uma – 4 = 0
uma = 4
(Arroz. 2)
Responda: uma 0 e uma 4
Material didático
1. Em que valor uma a equação Oh 2 – (uma + 1) X + 2uma– 1 = 0 tem uma raiz?
2. Em que valor uma a equação ( uma + 2) X 2 + 2(uma + 2)X+ 2 = 0 tem uma raiz?
3. Para quais valores de a é a equação ( uma 2 – 6uma + 8) X 2 + (uma 2 – 4) X + (10 – 3uma – uma 2) = 0 tem mais de duas raízes?
4. Para quais valores de uma equação 2 X 2 + X – uma= 0 tem pelo menos uma raiz comum com a equação 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Para quais valores de a fazem as equações X 2 +Oh+ 1 = 0 e X 2 + X + uma= 0 tem pelo menos uma raiz comum?
1. Quando uma = - 1/7, uma = 0, uma = 1
2. Quando uma = 0
3. Quando uma = 2
4. Quando uma = 10
5. Quando uma = - 2
Equações Exponenciais com um Parâmetro
Exemplo 1.Encontre todos os valores uma, para o qual a equação
9x - ( uma+ 2) * 3 x-1 / x +2 uma*3 -2/x = 0 (1) tem exatamente duas raízes.
Solução. Multiplicando ambos os lados da equação (1) por 3 2/x, obtemos uma equação equivalente
3 2(x+1/x) – ( uma+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 uma = 0 (2)
Seja 3x+1/x = no, então a equação (2) assume a forma no 2 – (uma + 2)no + 2uma= 0, ou
(no – 2)(no – uma) = 0, de onde no 1 =2, no 2 = uma.
Se um no= 2, ou seja 3 x + 1/x = 2 então X + 1/X= log 3 2 , ou X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Esta equação não tem raízes reais porque D= log 2 3 2 – 4< 0.
Se um no = uma, ou seja 3x+1/x = uma então X + 1/X= registro 3 uma, ou X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
A equação (3) tem exatamente duas raízes se e somente se
D = log 2 3 2 – 4 > 0, ou |log 3 a| > 2.
Se log 3 a > 2, então uma> 9, e se log 3 a< -2, то 0 < uma < 1/9.
Resposta: 0< uma < 1/9, uma > 9.
Exemplo 2. Em que valores de uma equação 2 2x - ( uma - 3) 2 x - 3 uma= 0 tem soluções?
Para que uma dada equação tenha soluções, é necessário e suficiente que a equação t 2 – (uma - 3) t – 3uma= 0 tem pelo menos uma raiz positiva. Vamos encontrar as raízes usando o teorema de Vieta: X 1 = -3, X 2 = uma = >
a é um número positivo.
Resposta: quando uma > 0
Material didático
1. Encontre todos os valores de a para os quais a equação
25x - (2 uma+ 5) * 5 x-1 / x + 10 uma* 5 -2/x = 0 tem exatamente 2 soluções.
2. Para quais valores de a a equação
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 tem uma única raiz?
3. Para quais valores do parâmetro a equação
4 x - (5 uma-3) 2 x +4 uma 2 – 3uma= 0 tem uma solução única?
Equações logarítmicas com um parâmetro
Exemplo 1 Encontrar todos os valores uma, para o qual a equação
registrar 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
tem uma solução única.
Solução. A equação (1) é equivalente à equação
1 + Oh = 2X no X > 0, X 1/4 (3)
X = no
au 2 - no + 1 = 0 (4)
A condição (2) de (3) não é satisfeita.
Deixar uma 0, então au 2 – 2no+ 1 = 0 tem raízes reais se e somente se D = 4 – 4uma 0, ou seja no uma 1. Para resolver a desigualdade (3), construímos gráficos de funções Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudo aprofundado do curso de álgebra e análise matemática. - M.: Iluminismo, 1990
Para tarefas com parâmetro incluem, por exemplo, a busca de uma solução para equações lineares e quadráticas de forma geral, o estudo da equação para o número de raízes disponíveis, dependendo do valor do parâmetro.
Sem dar definições detalhadas, considere as seguintes equações como exemplos:
y = kx, onde x, y são variáveis, k é um parâmetro;
y = kx + b, onde x, y são variáveis, k e b são parâmetros;
ax 2 + bx + c = 0, onde x são variáveis, a, b e c são parâmetros.
Resolver uma equação (desigualdade, sistema) com um parâmetro significa, via de regra, resolver um conjunto infinito de equações (desigualdades, sistemas).
As tarefas com um parâmetro podem ser divididas condicionalmente em dois tipos:
a) a condição diz: resolva a equação (desigualdade, sistema) - isso significa que, para todos os valores do parâmetro, encontre todas as soluções. Se pelo menos um caso permanece inexplorado, tal solução não pode ser considerada satisfatória.
b)é necessário indicar os possíveis valores do parâmetro para o qual a equação (desigualdade, sistema) possui certas propriedades. Por exemplo, tem uma solução, não tem soluções, tem soluções que pertencem ao intervalo, etc. Em tais tarefas, é necessário indicar claramente em qual valor do parâmetro a condição requerida é satisfeita.
O parâmetro, sendo um número fixo desconhecido, tem, por assim dizer, uma dualidade especial. Em primeiro lugar, deve-se levar em conta que a suposta fama sugere que o parâmetro deve ser percebido como um número. Em segundo lugar, a liberdade de manipular um parâmetro é limitada pelo seu desconhecido. Assim, por exemplo, as operações de dividir por uma expressão na qual há um parâmetro ou extrair uma raiz de grau par de uma expressão semelhante requerem pesquisas preliminares. Portanto, deve-se ter cuidado no manuseio do parâmetro.
Por exemplo, para comparar dois números -6a e 3a, três casos precisam ser considerados:
1) -6a será maior que 3a se a for um número negativo;
2) -6a = 3a no caso de a = 0;
3) -6a será menor que 3a se a for um número positivo 0.
A decisão será a resposta.
Seja dada a equação kx = b. Esta equação é um atalho para um conjunto infinito de equações em uma variável.
Ao resolver tais equações, pode haver casos:
1. Seja k qualquer número real diferente de zero eb qualquer número de R, então x = b/k.
2. Seja k = 0 eb ≠ 0, a equação original terá a forma 0 · x = b. Obviamente, esta equação não tem soluções.
3. Sejam keb números iguais a zero, então temos a igualdade 0 · x = 0. Sua solução é qualquer número real.
O algoritmo para resolver este tipo de equações:
1. Determine os valores de "controle" do parâmetro.
2. Resolva a equação original para x com os valores do parâmetro que foram determinados no primeiro parágrafo.
3. Resolva a equação original para x com valores de parâmetros diferentes daqueles selecionados no primeiro parágrafo.
4. Você pode escrever a resposta da seguinte forma:
1) quando ... (valor do parâmetro), a equação tem raízes ...;
2) quando ... (valor do parâmetro), não há raízes na equação.
Exemplo 1
Resolva a equação com o parâmetro |6 – x| = a.
Solução.
É fácil ver que aqui a ≥ 0.
Pela regra do módulo 6 – x = ±a, expressamos x:
Resposta: x = 6 ± a, onde a ≥ 0.
Exemplo 2
Resolva a equação a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 em relação à variável x.
Solução.
Vamos abrir os colchetes: ax - a + 2x - 2 \u003d 0
Vamos escrever a equação na forma padrão: x(a + 2) = a + 2.
Se a expressão a + 2 não for zero, ou seja, se a ≠ -2, temos a solução x = (a + 2) / (a + 2), ou seja. x = 1.
Se a + 2 for igual a zero, ou seja, a \u003d -2, então temos a igualdade correta 0 x \u003d 0, portanto x é qualquer número real.
Resposta: x \u003d 1 para um ≠ -2 e x € R para um \u003d -2.
Exemplo 3
Resolva a equação x/a + 1 = a + x em relação à variável x.
Solução.
Se a \u003d 0, transformamos a equação na forma a + x \u003d a 2 + ax ou (a - 1) x \u003d -a (a - 1). A última equação para a = 1 tem a forma 0 · x = 0, portanto, x é qualquer número.
Se a ≠ 1, então a última equação terá a forma x = -a.
Esta solução pode ser ilustrada na linha de coordenadas (Figura 1)
Resposta: não há soluções para a = 0; x - qualquer número em a = 1; x \u003d -a com um ≠ 0 e um ≠ 1.
Método gráfico
Considere outra maneira de resolver equações com um parâmetro - gráfico. Este método é usado com bastante frequência.
Exemplo 4
Quantas raízes, dependendo do parâmetro a, a equação ||x| – 2| = um?
Solução.
Para resolver por um método gráfico, construímos gráficos de funções y = ||x| – 2| e y = a (Figura 2).
O desenho mostra claramente os possíveis casos de localização da reta y = a e o número de raízes em cada um deles.
Resposta: a equação não terá raízes se um< 0; два корня будет в случае, если a >2 e a = 0; a equação terá três raízes no caso a = 2; quatro raízes - em 0< a < 2.
Exemplo 5
Para a qual a equação 2|x| + |x – 1| = a tem uma única raiz?
Solução.
Vamos desenhar gráficos de funções y = 2|x| + |x – 1| e y = a. Para y = 2|x| + |x - 1|, expandindo os módulos pelo método gap, temos:
(-3x + 1, em x< 0,
y = (x + 1, para 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, para x > 1.
No Figura 3 vê-se claramente que a equação terá uma única raiz somente quando a = 1.
Resposta: a = 1.
Exemplo 6
Determine o número de soluções da equação |x + 1| + |x + 2| = a dependendo do parâmetro a?
Solução.
Gráfico da função y = |x + 1| + |x + 2| será uma linha quebrada. Seus vértices estarão localizados nos pontos (-2; 1) e (-1; 1) (imagem 4).
Resposta: se o parâmetro a for menor que um, a equação não terá raízes; se a = 1, então a solução da equação é um conjunto infinito de números do segmento [-2; -1]; se os valores do parâmetro a forem maiores que um, a equação terá duas raízes.
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Para quais valores do parâmetro $a$ a desigualdade $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ tem pelo menos uma solução?
Solução
Reduzimos essa desigualdade a um coeficiente positivo para $x^2$:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
Calcule o discriminante: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Para que essa desigualdade tenha solução, é necessário que pelo menos um ponto da parábola esteja abaixo do eixo $x$. Como os ramos da parábola estão direcionados para cima, isso requer que o trinômio quadrado do lado esquerdo da desigualdade tenha duas raízes, ou seja, seu discriminante seja positivo. Chegamos à necessidade de resolver a desigualdade quadrática $a^2 - 28a > 0$. O trinômio quadrado $a^2 - 28a$ tem duas raízes: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Portanto, a desigualdade $a^2 - 28a > 0$ é satisfeita pelos intervalos $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Responda.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Para quais valores do parâmetro $a$ a equação $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ tem pelo menos uma raiz, e todas as raízes são positivas?
Solução
Seja $a=2$. Então a equação assume a forma $() - 4x +5 = 0$ , de onde obtemos que $x=\dfrac(5)(4)$ é uma raiz positiva.
Agora vamos $a\ne 2$. Acontece uma equação quadrática. Vamos primeiro determinar para quais valores do parâmetro $a$ a equação dada tem raízes. É necessário que seu discriminante seja não negativo. Aquilo é:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
As raízes devem ser positivas por condição, portanto, do teorema de Vieta obtemos o sistema:
$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $
Combinando as respostas, obtemos o conjunto desejado: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Responda.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
Para quais valores do parâmetro $a$ a desigualdade $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ não tem solução?
Solução
- Se $a = 0$, então esta desigualdade degenera na desigualdade $5 \leqslant 0$ , que não tem soluções. Portanto, o valor $a = 0$ satisfaz a condição do problema.
- Se $a > 0$, então o gráfico do trinômio quadrado no lado esquerdo da desigualdade é uma parábola com ramos ascendentes. Calculamos $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. A desigualdade não tem solução se a parábola estiver localizada acima do eixo x, ou seja, quando o trinômio quadrado não tiver raízes ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- Se $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Responda.$a \in \left$ está entre as raízes, então deve haver duas raízes (portanto $a\ne 0$). Se os ramos da parábola $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ apontam para cima, então $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ e $y(1) > 0$.
Caso I. Seja $a > 0$. Então
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(array) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
Ou seja, neste caso acontece que todos $a > 3$ se encaixam.
Caso II. Deixe $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Ou seja, neste caso, verifica-se que todos os $a< -1$.
Responda.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Encontre todos os valores do parâmetro $a$, para cada um dos quais o sistema de equações
$ \begin(cases) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(cases) $
tem exatamente duas soluções.
Solução
Subtraia o segundo do primeiro: $(x-y)^2 = 1$. Então
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(matriz)\direita. $
Substituindo as expressões obtidas na segunda equação do sistema, obtemos duas equações quadráticas: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ e $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. O discriminante de cada um deles é igual a $D = 16a-4$.
Observe que não pode acontecer que o par de raízes da primeira das equações quadráticas coincida com o par de raízes da segunda equação quadrática, pois a soma das raízes da primeira é igual a $-1$, e a segunda é 1.
Isso significa que cada uma dessas equações deve ter uma raiz, então o sistema original terá duas soluções. Isso é $D = 16a - 4 = 0$.
Responda.$a=\dfrac(1)(4)$
Encontre todos os valores do parâmetro $a$ para cada um dos quais a equação $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ tem duas raízes.
Solução
Vamos reescrever a equação na forma:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0,$
Considere a função $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
Para $x\geqslant 3$ o primeiro módulo é expandido com um sinal de mais, e a função se torna: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. É óbvio que com qualquer expansão dos módulos, como resultado, será obtida uma função linear com o coeficiente $k\geqslant 5-3-1=1>0$, ou seja, esta função cresce indefinidamente neste intervalo.
Considere agora o intervalo $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Então, temos que $x=3$ é o ponto mínimo desta função. E isso significa que para que a equação original tenha duas soluções, o valor da função no ponto mínimo deve ser menor que zero. Ou seja, a desigualdade ocorre: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Responda.$a \in (-24; 18)$ Para quais valores do parâmetro $a$ a equação $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ tem uma única raiz? Vamos fazer uma alteração: $t = 5^x > 0$. Então a equação original toma a forma de uma equação quadrática: $t^2-3t+a-1 =0$. A equação original terá uma única raiz se esta equação tiver uma raiz positiva ou duas raízes, uma das quais é positiva, a outra é negativa. O discriminante da equação é: $D = 13-4a$. Esta equação terá uma raiz se o discriminante resultante for igual a zero, ou seja, para $a = \dfrac(13)(4)$. Neste caso, a raiz $t=\dfrac(3)(2) > 0$, então o valor dado de $a$ é adequado. Se houver duas raízes, uma positiva e outra não positiva, então $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ e $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$. Ou seja, $a\in(-\infty;1]$ Responda.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ Encontre todos os valores do parâmetro $a$ para os quais o sistema $ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(cases) $ tem exatamente duas soluções. Vamos transformar o sistema para a seguinte forma: $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(casos) $ Como o parâmetro $a$ está na base do logaritmo, as seguintes restrições são impostas a ele: $a>0$, $a \ne 1$. Como a variável $y$ é o argumento do logaritmo, então $y > 0$. Combinando as duas equações do sistema, passamos para a equação: $\log_a y = y^2$. Dependendo de quais valores o parâmetro $a$ assume, dois casos são possíveis: Responda.$a\in(0;1)$ Considere o caso em que $a > 1$. Como para grandes valores de $t$ o gráfico da função $f(t) = a^t$ fica acima da reta $g(t) = t$, o único ponto comum só pode ser um ponto de contato . Seja $t_0$ o ponto de contato. Neste ponto, a derivada para $f(t) = a^t$ é igual a um (a tangente da inclinação da tangente), além disso, os valores de ambas as funções são os mesmos, ou seja, o ocorre o seguinte sistema: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $ De onde $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ Ao mesmo tempo, as funções direta e exponencial obviamente não têm outros pontos em comum. Responda.$a \in (0;1] \cup \esquerda\(e^(e^(-1))\direita\)$ 1. Tarefa. 1. Decisão. 1. Resposta: a equação tem uma única raiz em uma O(0; 1; 2). 2. Tarefa. 2. Resposta: 3. Tarefa. 3. Solução. 4. Tarefa. 4. Solução. 5. Decisão. 5. Resposta: 3.
6. Tarefa (10 células) 6. Resposta: uma O)
Solução
Solução
Em quais valores do parâmetro uma a equação ( uma - 1)x 2 + 2x + uma- 1 = 0 tem exatamente uma raiz?
No uma= 1 equação tem a forma 2 x= 0 e obviamente tem uma única raiz x= 0. Se uma No. 1, então esta equação é quadrática e tem uma única raiz para aqueles valores do parâmetro para os quais o discriminante do trinômio quadrado é igual a zero. Igualando o discriminante a zero, obtemos uma equação para o parâmetro uma
4uma 2 - 8uma= 0, de onde uma= 0 ou uma = 2.
Encontre todos os valores de parâmetro uma, para a qual a equação tem duas raízes diferentes x 2 +4machado+8uma+3 = 0.
2. Decisão.
A equação x 2 +4machado+8uma+3 = 0 tem duas raízes distintas se e somente se D =
16uma 2 -4(8uma+3) > 0. Obtemos (após a redução por um fator comum de 4) 4 uma 2 -8uma-3 > 0, de onde uma O (-Ґ ; 1 -
C 7 2
) E (1 +
C 7 2
; Ґ
).
Sabe-se que
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Faça o gráfico da função f 1 (x) no uma = 1.
b) Em que valor uma gráficos de função f 1 (x) e f 2 (x) têm um único ponto comum?
3.a. Vamos transformar f 1 (x) Da seguinte maneira
O gráfico desta função uma= 1 é mostrado na figura à direita.
3.b. Notamos imediatamente que os gráficos da função y =
kx+b e y = machado 2 +bx+c
(uma No. 0) se cruzam em um único ponto se e somente se a equação quadrática kx+b =
machado 2 +bx+c tem uma única raiz. Usando a visualização f 1 de 3.a, igualamos o discriminante da equação uma = 6x-x 2 -6 a zero. Da Equação 36-24-4 uma= 0 obtemos uma= 3. Fazendo o mesmo com a equação 2 x-uma = 6x-x 2 -6 encontrar uma= 2. É fácil verificar que esses valores de parâmetros satisfazem as condições do problema. Responda: uma= 2 ou uma = 3.
Encontrar todos os valores uma, sob o qual o conjunto de soluções da desigualdade x 2 -2machado-3uma i 0 contém o segmento .
A primeira coordenada do vértice da parábola f(x) =
x 2 -2machado-3umaé igual a x 0 =
uma. Das propriedades de uma função quadrática, a condição f(x) i 0 no intervalo é equivalente à totalidade de três sistemas
tem exatamente duas soluções?
Vamos reescrever esta equação na forma x 2 + (2uma-2)x - 3uma+7 = 0. Esta é uma equação quadrática, ela tem exatamente duas soluções se seu discriminante for estritamente maior que zero. Calculando o discriminante, obtemos que a condição para ter exatamente duas raízes é o cumprimento da desigualdade uma 2 +uma-6 > 0. Resolvendo a desigualdade, encontramos uma < -3 или uma> 2. Obviamente, a primeira das desigualdades não tem solução em números naturais, e a menor solução natural da segunda é o número 3.
Encontrar todos os valores uma, para o qual o gráfico da função ou, após transformações óbvias, uma-2 = |
2-uma| . A última equação é equivalente à desigualdade uma eu 2.
