O mínimo denominador comum é usado para simplificar esta equação. Este método é usado quando você não pode escrever a equação dada com uma expressão racional em cada lado da equação (e usar o método de multiplicação cruzada). Este método é usado quando você recebe uma equação racional com 3 ou mais frações (no caso de duas frações, a multiplicação cruzada é melhor).

Encontre o mínimo denominador comum das frações (ou mínimo múltiplo comum). NOZ é o menor número que é divisível por cada denominador.

• Às vezes, NOZ é um número óbvio. Por exemplo, se a equação for dada: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, então é óbvio que o mínimo múltiplo comum dos números 3, 2 e 6 será 6.
• Se o NOD não for óbvio, anote os múltiplos do maior denominador e encontre entre eles um que seja múltiplo dos outros denominadores também. Muitas vezes você pode encontrar o NOD simplesmente multiplicando dois denominadores. Por exemplo, se a equação x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 for fornecida, então NOZ = 8*9 = 72.
• Se um ou mais denominadores contiverem uma variável, o processo será um pouco mais complicado (mas não impossível). Neste caso, o NOZ é uma expressão (contendo uma variável) que é divisível por cada denominador. Por exemplo, na equação 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), porque esta expressão é divisível por cada denominador: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um número igual ao resultado da divisão do NOZ pelo denominador correspondente de cada fração. Como você está multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número, você está efetivamente multiplicando uma fração por 1 (por exemplo, 2/2 = 1 ou 3/3 = 1).

• Então, em nosso exemplo, multiplique x/3 por 2/2 para obter 2x/6 e multiplique 1/2 por 3/3 para obter 3/6 (3x + 1/6 não precisa ser multiplicado porque o denominador é 6).
• Proceda da mesma forma quando a variável estiver no denominador. Em nosso segundo exemplo NOZ = 3x(x-1), então 5/(x-1) vezes (3x)/(3x) é 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x vezes 3(x-1)/3(x-1) para obter 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplique por (x-1)/(x-1) e você obtém 2(x-1)/3x(x-1).

Encontre x. Agora que você reduziu as frações a um denominador comum, você pode se livrar do denominador. Para fazer isso, multiplique cada lado da equação por um denominador comum. Em seguida, resolva a equação resultante, ou seja, encontre "x". Para fazer isso, isole a variável em um lado da equação.

• Em nosso exemplo: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Você pode adicionar 2 frações com o mesmo denominador, então escreva a equação como: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multiplique os dois lados da equação por 6 e elimine os denominadores: 2x+3 = 3x +1. Resolva e obtenha x = 2.
• Em nosso segundo exemplo (com uma variável no denominador), a equação se parece com (após a redução a um denominador comum): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Multiplicando ambos os lados da equação por NOZ, você se livra do denominador e obtém: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ou 15x = 3x - 3 + 2x -2, ou 15x = x - 5 Resolva e obtenha: x = -5/14.

Introduzimos a equação acima no § 7. Primeiro, lembramos o que é uma expressão racional. Esta é uma expressão algébrica composta de números e a variável x usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação com um expoente natural.

Se r(x) é uma expressão racional, então a equação r(x) = 0 é chamada de equação racional.

No entanto, na prática é mais conveniente usar uma interpretação um pouco mais ampla do termo "equação racional": esta é uma equação da forma h(x) = q(x), onde h(x) e q(x) são expressões racionais.

Até agora, não conseguimos resolver nenhuma equação racional, mas apenas uma que, como resultado de várias transformações e raciocínios, foi reduzida a equação linear. Agora nossas possibilidades são muito maiores: seremos capazes de resolver uma equação racional, que se reduz não apenas a
mu, mas também à equação quadrática.

Lembre-se de como resolvemos equações racionais anteriormente e tente formular um algoritmo de solução.

Exemplo 1 resolva a equação

Decisão. Reescrevemos a equação na forma

Nesse caso, como de costume, usamos o fato de que as igualdades A \u003d B e A - B \u003d 0 expressam a mesma relação entre A e B. Isso nos permitiu transferir o termo para o lado esquerdo da equação com o sinal oposto.

Vamos realizar transformações do lado esquerdo da equação. Nós temos

Lembre-se das condições de igualdade frações zero: se, e somente se, duas relações são satisfeitas simultaneamente:

1) o numerador da fração é zero (a = 0); 2) o denominador da fração é diferente de zero).
Igualando a zero o numerador da fração do lado esquerdo da equação (1), obtemos

Resta verificar o cumprimento da segunda condição acima mencionada. A razão significa para a equação (1) que . Os valores x 1 = 2 e x 2 = 0,6 satisfazem as relações indicadas e, portanto, servem como raízes da equação (1), e ao mesmo tempo as raízes da equação dada.

1) Vamos transformar a equação na forma

2) Vamos realizar as transformações do lado esquerdo desta equação:

(simultaneamente mudou os sinais no numerador e
frações).
Assim, a equação dada toma a forma

3) Resolva a equação x 2 - 6x + 8 = 0. Encontre

4) Para os valores encontrados, verifique a condição . O número 4 satisfaz essa condição, mas o número 2 não. Então 4 é a raiz da equação dada, e 2 é uma raiz estranha.
Resposta: 4.

2. Solução de equações racionais introduzindo uma nova variável

O método de introdução de uma nova variável é familiar para você, já o usamos mais de uma vez. Vamos mostrar por exemplos como ele é usado na resolução de equações racionais.

Exemplo 3 Resolva a equação x 4 + x 2 - 20 = 0.

Decisão. Introduzimos uma nova variável y \u003d x 2. Como x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, a equação dada pode ser reescrita na forma

y 2 + y - 20 = 0.

Esta é uma equação quadrática, cujas raízes encontraremos usando o conhecido fórmulas; obtemos y 1 = 4, y 2 = - 5.
Mas y \u003d x 2, o que significa que o problema foi reduzido a resolver duas equações:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Da primeira equação encontramos que a segunda equação não tem raízes.
Responda: .
Uma equação da forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 é chamada de equação biquadrática ("bi" - dois, ou seja, por assim dizer, uma equação "duas vezes quadrada"). A equação que acabamos de resolver era exatamente biquadrática. Qualquer equação biquadrática é resolvida da mesma maneira que a equação do exemplo 3: uma nova variável y \u003d x 2 é introduzida, a equação quadrática resultante é resolvida em relação à variável y e depois retornada à variável x.

Exemplo 4 resolva a equação

Decisão. Observe que a mesma expressão x 2 + 3x ocorre duas vezes aqui. Portanto, faz sentido introduzir uma nova variável y = x 2 + Zx. Isso nos permitirá reescrever a equação de uma forma mais simples e agradável (o que, na verdade, é o propósito de introduzir uma nova variável- e a gravação é mais fácil
, e a estrutura da equação fica mais clara):

E agora vamos usar o algoritmo para resolver uma equação racional.

1) Vamos mover todos os termos da equação em uma parte:

= 0
2) Vamos transformar o lado esquerdo da equação

Assim, transformamos a equação dada na forma

3) Da equação - 7y 2 + 29y -4 = 0 encontramos (já resolvemos muitas equações quadráticas, então provavelmente não vale a pena sempre dar cálculos detalhados no livro).

4) Vamos verificar as raízes encontradas usando a condição 5 (y - 3) (y + 1). Ambas as raízes satisfazem esta condição.
Assim, a equação quadrática para a nova variável y é resolvida:
Como y \u003d x 2 + Zx, e y, como estabelecemos, assume dois valores: 4 e, - ainda temos que resolver duas equações: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. As raízes da primeira equação são os números 1 e - 4, as raízes da segunda equação são os números

Nos exemplos considerados, o método de introdução de uma nova variável foi, como os matemáticos gostam de dizer, adequado à situação, ou seja, correspondeu bem a ela. Por quê? Sim, porque a mesma expressão foi encontrada claramente no registro da equação várias vezes e era razoável designar essa expressão com uma nova letra. Mas nem sempre é esse o caso, às vezes uma nova variável "aparece" apenas no processo de transformações. Isso é exatamente o que acontecerá no próximo exemplo.

Exemplo 5 resolva a equação
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Decisão. Nós temos
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Assim, a equação dada pode ser reescrita como

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Agora uma nova variável "apareceu": y = x 2 - Zx.

Com sua ajuda, a equação pode ser reescrita na forma y (y + 2) \u003d 24 e depois y 2 + 2y - 24 \u003d 0. As raízes desta equação são os números 4 e -6.

Voltando à variável original x, obtemos duas equações x 2 - Zx \u003d 4 e x 2 - Zx \u003d - 6. Na primeira equação, encontramos x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; a segunda equação não tem raízes.

Resposta: 4, - 1.

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Até agora, resolvemos apenas equações inteiras em relação à incógnita, ou seja, equações em que os denominadores (se houver) não continham a incógnita.

Muitas vezes você tem que resolver equações que contêm a incógnita nos denominadores: tais equações são chamadas fracionárias.

Para resolver esta equação, multiplicamos ambos os lados dela por isto é, por um polinômio contendo a incógnita. A nova equação será equivalente à dada? Para responder à pergunta, vamos resolver esta equação.

Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Resolvendo esta equação do primeiro grau, encontramos:

Então, a equação (2) tem uma única raiz

Substituindo na equação (1), temos:

Portanto, também é a raiz da equação (1).

A equação (1) não tem outras raízes. Em nosso exemplo, isso pode ser visto, por exemplo, pelo fato de que na equação (1)

Como o divisor desconhecido deve ser igual ao dividendo 1 dividido pelo quociente 2, ou seja

Assim, as equações (1) e (2) têm uma única raiz e, portanto, são equivalentes.

2. Agora resolvemos a seguinte equação:

O denominador comum mais simples: ; multiplique todos os termos da equação por ele:

Após a redução temos:

Vamos expandir os colchetes:

Trazendo termos semelhantes, temos:

Resolvendo esta equação, encontramos:

Substituindo na equação (1), temos:

Do lado esquerdo, recebemos expressões que não fazem sentido.

Portanto, a raiz da equação (1) não é. Isso implica que as equações (1) e não são equivalentes.

Neste caso, dizemos que a equação (1) adquiriu uma raiz estranha.

Vamos comparar a solução da equação (1) com a solução das equações que consideramos anteriormente (ver § 51). Para resolver essa equação, tivemos que realizar duas operações que não haviam sido vistas antes: primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por uma expressão contendo a incógnita (denominador comum) e, segundo, reduzimos frações algébricas por fatores contendo o desconhecido.

Comparando a Equação (1) com a Equação (2), vemos que nem todos os valores de x válidos para a Equação (2) são válidos para a Equação (1).

São os números 1 e 3 que não são valores admissíveis da incógnita para a equação (1), e como resultado da transformação eles se tornaram admissíveis para a equação (2). Um desses números acabou sendo uma solução para a equação (2), mas, é claro, não pode ser uma solução para a equação (1). A equação (1) não tem soluções.

Este exemplo mostra que ao multiplicar ambas as partes da equação por um fator contendo a incógnita, e ao reduzir frações algébricas, pode-se obter uma equação que não é equivalente à dada, a saber: podem aparecer raízes estranhas.

Daí tiramos a seguinte conclusão. Ao resolver uma equação contendo uma incógnita no denominador, as raízes resultantes devem ser verificadas por substituição na equação original. Raízes estranhas devem ser descartadas.

Já aprendemos como resolver equações do segundo grau. Vamos agora estender os métodos estudados para equações racionais.

O que é uma expressão racional? Já encontramos este conceito. Expressões racionais chamadas expressões compostas de números, variáveis, seus graus e sinais de operações matemáticas.

Assim, as equações racionais são equações da forma: , onde - expressões racionais.

Anteriormente, consideramos apenas aquelas equações racionais que se reduzem a lineares. Agora vamos considerar aquelas equações racionais que podem ser reduzidas a equações quadráticas.

Exemplo 1

Resolva a equação: .

Decisão:

Uma fração é 0 se e somente se seu numerador for 0 e seu denominador não for 0.

Obtemos o seguinte sistema:

A primeira equação do sistema é uma equação quadrática. Antes de resolvê-lo, dividimos todos os seus coeficientes por 3. Obtemos:

Obtemos duas raízes: ; .

Como 2 nunca é igual a 0, duas condições devem ser atendidas: . Como nenhuma das raízes da equação obtida acima corresponde aos valores inválidos da variável que foram obtidos ao resolver a segunda inequação, ambas são soluções para essa equação.

Responda:.

Então, vamos formular um algoritmo para resolver equações racionais:

1. Mova todos os termos para o lado esquerdo de forma que 0 seja obtido no lado direito.

2. Transforme e simplifique o lado esquerdo, traga todas as frações para um denominador comum.

3. Iguale a fração resultante a 0, de acordo com o seguinte algoritmo: .

4. Escreva as raízes obtidas na primeira equação e satisfaça a segunda desigualdade em resposta.

Vejamos outro exemplo.

Exemplo 2

Resolva a equação: .

Decisão

No início, transferimos todos os termos para o lado esquerdo para que 0 permaneça no lado direito. Obtemos:

Agora trazemos o lado esquerdo da equação para um denominador comum:

Esta equação é equivalente ao sistema:

A primeira equação do sistema é uma equação quadrática.

Os coeficientes desta equação: . Calculamos o discriminante:

Obtemos duas raízes: ; .

Agora resolvemos a segunda desigualdade: o produto dos fatores não é igual a 0 se e somente se nenhum dos fatores é igual a 0.

Duas condições devem ser atendidas: . Obtemos que das duas raízes da primeira equação, apenas uma é adequada - 3.

Responda:.

Nesta lição, lembramos o que é uma expressão racional e também aprendemos a resolver equações racionais, que são reduzidas a equações quadráticas.

Na próxima lição, consideraremos equações racionais como modelos de situações reais e também consideraremos problemas de movimento.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Álgebra, 8º ano. - M.: Iluminismo, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.Algebra, 8. 5ª ed. - M.: Educação, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra, 8º ano. Livro didático para instituições de ensino. - M.: Educação, 2006.

1. Festival de ideias pedagógicas "Aula Aberta" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Trabalho de casa

T. Kosyakova,
escola N№ 80, Krasnodar

Solução de equações quadráticas e fracionárias-racionais contendo parâmetros

Lição 4

Tópico da lição:

O objetivo da lição: para formar a capacidade de resolver equações racionais fracionárias contendo parâmetros.

Tipo de aula: introdução de novos materiais.

1. (Oral.) Resolva as equações:

Exemplo 1. Resolva a equação

Decisão.

Encontrar valores inválidos uma:

Responda. Se um E se uma = – 19 , então não há raízes.

Exemplo 2. Resolva a equação

Decisão.

Encontrar valores de parâmetro inválidos uma :

10 – uma = 5, uma = 5;

10 – uma = uma, uma = 5.

Responda. Se um uma = 5 uma № 5 , então x=10– uma .

Exemplo 3. Em quais valores do parâmetro b a equação Tem:

a) duas raízes b) a única raiz?

Decisão.

1) Encontre valores de parâmetro inválidos b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ou b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ou b = – 2.

2) Resolva a equação x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

a)

Excluindo valores de parâmetro inválidos b , obtemos que a equação tem duas raízes, se b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, mas este é um valor de parâmetro inválido b ; E se b 2 –1=0 , ou seja b=1 ou.

Resposta: a) se b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , então duas raízes; b) se b=1 ou b=-1 , então a única raiz.

Trabalho independente

Opção 1

Resolva as equações:

opção 2

Resolva as equações:

Respostas

EM 1. e se uma=3 , então não há raízes; E se b) se se uma № 2 , então não há raízes.

EM 2. Se um uma=2 , então não há raízes; E se uma=0 , então não há raízes; E se
b) se uma=– 1 , então a equação perde seu significado; se então não há raízes;
E se

Trabalho de casa.

Resolva as equações:

Respostas: a) Se uma № –2 , então x= uma ; E se uma=–2 , então não há soluções; b) se uma № –2 , então x=2; E se uma=–2 , então não há soluções; c) se uma=–2 , então x- qualquer número que não seja 3 ; E se uma № –2 , então x=2; d) se uma=–8 , então não há raízes; E se uma=2 , então não há raízes; E se

Lição 5

Tópico da lição:"Solução de equações racionais-fracionárias contendo parâmetros".

Lições objetivas:

aprender a resolver equações com uma condição não padronizada;
assimilação consciente pelos alunos de conceitos algébricos e relações entre eles.

Tipo de aula: sistematização e generalização.

Verificando a lição de casa.

Exemplo 1. Resolva a equação

a) em relação a x; b) em relação a y.

Decisão.

a) Encontrar valores inválidos y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valor de parâmetro inválido y.

Se um y№ 0 , então x=y-2; E se y=0, então a equação perde seu significado.

b) Encontrar valores de parâmetros inválidos x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valor de parâmetro inválido x; y(2+x-y)=0, y=0 ou y=2+x;

y=0 não satisfaz a condição y(y–x)№ 0 .

Resposta: a) se y=0, então a equação perde seu significado; E se y№ 0 , então x=y-2; b) se x=0 x№ 0 , então y=2+x .

Exemplo 2. Para quais valores inteiros do parâmetro a são as raízes da equação pertencem ao intervalo

D = (3 uma + 2) 2 – 4uma(uma+ 1) 2 = 9 uma 2 + 12uma + 4 – 8uma 2 – 8uma,

D = ( uma + 2) 2 .

Se um uma № 0 ou uma № – 1 , então

Responda: 5 .

Exemplo 3. Encontrar relativamente x soluções inteiras da equação

Responda. Se um y=0, então a equação não faz sentido; E se y=–1, então x- qualquer inteiro diferente de zero; E se y# 0, y# – 1, então não há soluções.

Exemplo 4 Resolva a equação com parâmetros uma e b .

Se um uma№ – b , então

Responda. Se um a= 0 ou b= 0 , então a equação perde seu significado; E se uma№ 0,b№ 0, a=-b , então x- qualquer número diferente de zero; E se uma№ 0,b№ 0,a№ -b então x=-a, x=-b .

Exemplo 5. Prove que para qualquer valor diferente de zero do parâmetro n, a equação tem uma única raiz igual a – n .

Decisão.

ou seja x=-n, que deveria ser provado.

Trabalho de casa.

1. Encontre soluções inteiras da equação

2. Em quais valores do parâmetro c a equação Tem:
a) duas raízes b) a única raiz?

3. Encontre todas as raízes inteiras da equação E se uma O N .

4. Resolva a equação 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativamente y; b) relativamente x .

1. A equação é satisfeita por quaisquer valores inteiros iguais de x e y diferentes de zero.
2. a) Quando
b) em ou
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Se então não houver raízes; E se
b) se então não houver raízes; E se

Teste

Opção 1

1. Determine o tipo de equação 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 em: a) c=-3; b) c=2; dentro) c=4 .

2. Resolva as equações: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; dentro)

3. Resolva a equação 3x-xy-2y=1:

a) relativamente x ;
b) relativamente y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, sabendo que o parâmetro n aceita apenas valores inteiros.

5. Para quais valores de b a equação Tem:

a) duas raízes
b) a única raiz?

opção 2

1. Determine o tipo de equação 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 em: a) c=-4; b) c=7; dentro) c=1 .

2. Resolva as equações: a) y2 +cy=0; b) ny2 –8y+2=0; dentro)

3. Resolva a equação 6x-xy+2y=5:

a) relativamente x ;
b) relativamente y .

4. Encontre as raízes inteiras da equação nx 2 -22x+2n=0 , sabendo que o parâmetro n aceita apenas valores inteiros.

5. Para quais valores do parâmetro a equação Tem:

a) duas raízes
b) a única raiz?

Respostas

EM 1. 1. a) Equação linear;
b) equação quadrática incompleta; c) uma equação quadrática.
2. a) Se b=0, então x=0; E se b#0, então x=0, x=b;
b) E se cО (9;+Ґ), então não há raízes;
c) se uma=–4 , então a equação perde seu significado; E se uma№ –4 , então x=- uma .
3. a) Se y=3, então não há raízes; E se);
b) uma=–3, uma=1.

Tarefas adicionais

Resolva as equações:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Sobre os parâmetros desde o início. - Tutor, nº 2/1991, p. 3-13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Condições necessárias em tarefas com parâmetros. – Kvant, nº 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Resolver problemas contendo parâmetros. Parte 2. - M., Perspective, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Quinhentas e quatorze tarefas com parâmetros. - Volgogrado, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Tarefas com parâmetros. - M., Educação, 1986.