Para encontrar uma integral definida usando o método trapézio, a área de um trapézio curvilíneo também é dividida em n trapézios retangulares com alturas h e bases y 1, y 2, y 3,..y n, onde n é o número do trapézio retangular. A integral será numericamente igual à soma das áreas dos trapézios retangulares (Figura 4).

Arroz. quatro

n - número de divisões

O erro da fórmula do trapézio é estimado pelo número

O erro da fórmula do trapézio diminui mais rapidamente com o crescimento do que o erro da fórmula do retângulo. Portanto, a fórmula do trapézio permite obter mais precisão do que o método do retângulo.

Fórmula de Simpson

Se para cada par de segmentos construirmos um polinômio de segundo grau, integrá-lo no segmento e usar a propriedade de aditividade da integral, obteremos a fórmula de Simpson.

No método de Simpson para calcular a integral definida, todo o intervalo de integração é dividido em subintervalos de igual comprimento h=(b-a)/n. O número de segmentos de partição é um número par. Então, em cada par de subintervalos adjacentes, a função subintegral f(x) é substituída por um polinômio de Lagrange de segundo grau (Figura 5).

Arroz. 5 A função y=f(x) no segmento é substituída por um polinômio de 2ª ordem

Considere o integrando no intervalo. Vamos substituir este integrando por um polinômio de interpolação de Lagrange de segundo grau coincidindo com y= nos pontos:

Vamos integrar no intervalo:

Introduzimos uma mudança de variáveis:

Dadas as fórmulas de substituição,

Após a integração, obtemos a fórmula de Simpson:

O valor obtido para a integral coincide com a área de um trapézio curvilíneo limitado por um eixo, linhas retas e uma parábola passando por pontos. Em um segmento, a fórmula de Simpson ficará assim:

Na fórmula da parábola, o valor da função f (x) em pontos de divisão ímpares x 1, x 3, ..., x 2n-1 tem um coeficiente de 4, em pontos pares x 2, x 4, ... , x 2n-2 - coeficiente 2 e em dois pontos de fronteira x 0 =a, x n =b - coeficiente 1.

O significado geométrico da fórmula de Simpson: a área de um trapézio curvilíneo sob o gráfico da função f(x) em um segmento é aproximadamente substituída pela soma das áreas das figuras situadas sob as parábolas.

Se a função f(x) tem uma derivada contínua de quarta ordem, então o valor absoluto do erro da fórmula de Simpson não é maior que

onde M é o maior valor do segmento. Como n 4 cresce mais rápido que n 2 , o erro da fórmula de Simpson diminui com o aumento de n muito mais rápido do que o erro da fórmula do trapézio.

Calculamos a integral

Esta integral é fácil de calcular:

Vamos tomar n igual a 10, h=0,1, calcular os valores do integrando nos pontos de partição, bem como os pontos de meio inteiro.

De acordo com a fórmula dos retângulos do meio, obtemos I reta = 0,785606 (o erro é de 0,027%), de acordo com a fórmula do trapézio I trap = 0,784981 (o erro é de cerca de 0,054. Ao usar o método dos retângulos à direita e à esquerda, o erro é superior a 3%.

Para comparar a precisão das fórmulas aproximadas, calculamos mais uma vez a integral

mas agora pela fórmula de Simpson para n=4. Dividimos o segmento em quatro partes iguais com pontos x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 e calculamos aproximadamente os valores ​​da função f (x) \u003d 1 / ( 1+x) nestes pontos: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Pela fórmula de Simpson, obtemos

Vamos estimar o erro do resultado obtido. Para o integrando f(x)=1/(1+x) temos: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , daí segue que no segmento . Portanto, podemos tomar M=24, e o erro do resultado não excede 24/(2880 4 4)=0,0004. Comparando o valor aproximado com o exato, concluímos que o erro absoluto do resultado obtido pela fórmula de Simpson é menor que 0,00011. Isso está de acordo com a estimativa de erro dada acima e, além disso, indica que a fórmula de Simpson é muito mais precisa do que a fórmula do trapézio. Portanto, a fórmula de Simpson para o cálculo aproximado de integrais definidas é usada com mais frequência do que a fórmula do trapézio.

O problema surge do cálculo numérico de uma integral definida, que se resolve com a ajuda de fórmulas chamadas quadratura.

Lembre-se das fórmulas mais simples para integração numérica.

Vamos calcular o valor numérico aproximado de . Dividimos o intervalo de integração [а, b] em n partes iguais dividindo os pontos
, chamados nós da fórmula de quadratura. Que os valores nos nós sejam conhecidos
:

Valor

é chamado de intervalo de integração ou passo. Observe que na prática de -cálculos, o número i é escolhido pequeno, geralmente não é maior que 10-20. Em um intervalo parcial

o integrando é substituído pelo polinômio de interpolação

que representa aproximadamente a função f(x) no intervalo considerado.

a) Mantenha apenas um primeiro termo no polinômio de interpolação, então

A fórmula quadrática resultante

chamada fórmula dos retângulos.

b) Mantenha os dois primeiros termos no polinômio de interpolação, então

(2)

A fórmula (2) é chamada de fórmula do trapézio.

c) Intervalo de integração
dividimos em um número par de 2n partes iguais, enquanto a etapa de integração h será igual a . No intervalo
de comprimento 2h, substituímos o integrando por um polinômio de interpolação de segundo grau, ou seja, mantemos os três primeiros termos no polinômio:

A fórmula de quadratura resultante é chamada de fórmula de Simpson

(3)

As fórmulas (1), (2) e (3) têm um significado geométrico simples. Na fórmula dos retângulos, o integrando f(x) no intervalo
é substituído por um segmento de linha reta y \u003d uk, paralelo ao eixo x, e na fórmula trapézio - por um segmento de linha reta
e a área de um retângulo e um trapézio retilíneo é calculada, respectivamente, que são então somadas. Na fórmula de Simpson, a função f(x) no intervalo
comprimento 2h é substituído por um trinômio quadrado - uma parábola
a área de um trapézio parabólico curvilíneo é calculada, então as áreas são somadas.

CONCLUSÃO

Em conclusão, gostaria de observar uma série de características da aplicação dos métodos discutidos acima. Cada método para a solução aproximada de uma integral definida tem suas vantagens e desvantagens, dependendo da tarefa em mãos, métodos específicos devem ser usados.

Método de substituição variávelé um dos principais métodos para calcular integrais indefinidas. Mesmo quando integramos por algum outro método, muitas vezes temos que recorrer a uma mudança de variáveis ​​em cálculos intermediários. O sucesso da integração depende em grande parte de se conseguirmos encontrar uma mudança tão boa de variáveis ​​que simplifique a integral dada.

Em essência, o estudo dos métodos de integração se resume a descobrir que tipo de mudança de variável deve ser feita para uma forma ou outra do integrando.

Nesse caminho, integração de todas as frações racionais se reduz a integrar um polinômio e algumas frações simples.

A integral de qualquer função racional pode ser expressa em termos de funções elementares na forma final, a saber:

através de logaritmos - nos casos das frações mais simples do tipo 1;

através de funções racionais - no caso de frações simples do tipo 2

através de logaritmos e arco-tangentes - no caso de frações simples do tipo 3

através de funções racionais e arco-tangentes - no caso das frações mais simples do tipo 4. A substituição trigonométrica universal sempre racionaliza o integrando, mas muitas vezes leva a frações racionais muito complicadas, para as quais, em particular, é praticamente impossível encontrar as raízes do denominador. Portanto, se possível, são utilizadas substituições parciais, que também racionalizam o integrando e levam a frações menos complexas.

Fórmula de Newton-Leibnizé uma abordagem geral para encontrar integrais definidas.

Quanto aos métodos para calcular integrais definidas, eles praticamente não diferem de todos esses métodos e métodos.

O mesmo se aplica métodos de substituição(mudança de variável), o método de integração por partes, os mesmos métodos de encontrar primitivas para funções trigonométricas, irracionais e transcendentais. A única peculiaridade é que ao aplicar essas técnicas, é necessário estender a transformação não apenas para a função subintegral, mas também para os limites da integração. Ao alterar a variável de integração, lembre-se de alterar os limites de integração de acordo.

Devidamente do teorema, a condição de continuidade da funçãoé uma condição suficiente para a integrabilidade da função. Mas isso não significa que a integral definida exista apenas para funções contínuas. A classe de funções integráveis ​​é muito mais ampla. Assim, por exemplo, existe uma integral definida de funções que possuem um número finito de pontos de descontinuidade.

O cálculo de uma integral definida de uma função contínua usando a fórmula de Newton-Leibniz se reduz a encontrar uma primitiva, que sempre existe, mas nem sempre é uma função elementar ou uma função para a qual são compiladas tabelas que permitem obter o valor da integra. Em várias aplicações, a função integrável é dada em uma tabela, e a fórmula de Newton-Leibniz não é diretamente aplicável.

Se você deseja o resultado mais preciso, ideal método de simpson.

Do acima estudado, a seguinte conclusão pode ser tirada de que a integral é usada em ciências como física, geometria, matemática e outras ciências. Com a ajuda da integral, o trabalho da força é calculado, as coordenadas do centro de massa, o caminho percorrido pelo ponto material são encontrados. Na geometria, é usado para calcular o volume de um corpo, encontrar o comprimento de um arco de uma curva, etc.

Neste método, propõe-se aproximar o integrando em um intervalo parcial por uma parábola que passa pelos pontos
(xj, f(xj)), Onde j = eu-1; eu-0.5; eu, ou seja, aproximamos o integrando pelo polinômio de interpolação de Lagrange de segundo grau:

(10.14)

Após a integração, temos:

(10.15)

É isso que é fórmula de simpson ou a fórmula das parábolas. No segmento
[a, b] A fórmula de Simpson assume a forma

(10.16)

Uma representação gráfica do método de Simpson é mostrada na fig. 2.4.

Arroz. 10.4. Método Simpson

Vamos nos livrar dos índices fracionários na expressão (2.16) renomeando as variáveis:

(10.17)

Então a fórmula de Simpson assume a forma

(10.18)

O erro da fórmula (2.18) é estimado pela seguinte expressão:

, (10.19)

Onde h n = BA, . Assim, o erro da fórmula de Simpson é proporcional a O(h 4).

Comente. Deve-se notar que na fórmula de Simpson, o segmento de integração é necessariamente dividido em até número de intervalos.

10.5. Cálculo de integrais definidas por métodos
Monte Carlo

Os métodos discutidos anteriormente são chamados determinista , isto é, desprovido do elemento do acaso.

Métodos de Monte Carlo(MMK) são métodos numéricos para resolver problemas matemáticos por meio da modelagem de variáveis ​​aleatórias. O MCM permite resolver com sucesso problemas matemáticos causados ​​por processos probabilísticos. Além disso, ao resolver problemas que não estão associados a nenhuma probabilidade, pode-se criar artificialmente um modelo probabilístico (e até mais de um) que permita resolver esses problemas. Considere o cálculo da integral definida

(10.20)

Ao calcular essa integral usando a fórmula dos retângulos, o intervalo [ a, b] dividido em N intervalos idênticos, no meio dos quais foram calculados os valores do integrando. Ao calcular os valores da função em nós aleatórios, você pode obter um resultado mais preciso:

(10.21)

(10.22)

Aqui γ i é um número aleatório uniformemente distribuído no intervalo
. O erro no cálculo da integral MMK ~ , que é muito maior que o dos métodos determinísticos estudados anteriormente.

Na fig. 2.5 mostra uma implementação gráfica do método de Monte Carlo para calcular uma única integral com nós aleatórios (2.21) e (2.22).

(2.23)

Arroz. 10.6. Integração Monte Carlo (2º caso)

Como visto na fig. 2.6, a curva integral está no quadrado unitário e, se pudermos obter pares de números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo, os valores obtidos (γ 1, γ 2) podem ser interpretados como as coordenadas de um ponto no quadrado unitário. Então, se houver um número suficiente desses pares de números, podemos supor aproximadamente que
. Aqui Sé o número de pares de pontos que caem sob a curva, e Né o número total de pares de números.

Exemplo 2.1. Calcule a seguinte integral:

O problema foi resolvido por vários métodos. Os resultados obtidos estão resumidos na tabela. 2.1.

Tabela 2.1

Comente. A escolha da integral tabular permitiu comparar o erro de cada método e descobrir a influência do número de partições na precisão dos cálculos.

11 SOLUÇÃO APROXIMADA DE NÃO LINEAR
E EQUAÇÕES TRANSCENDENTES

Cálculo de integrais usando as fórmulas de retângulos, trapézios e fórmula de Simpson. Estimativa de erros.

Orientações sobre o tópico 4.1:

Cálculo de integrais por fórmulas de retângulos. Estimativa de erro:

A solução de muitos problemas técnicos é reduzida ao cálculo de certas integrais, cuja expressão exata é difícil, requer cálculos demorados e nem sempre se justifica na prática. Aqui, seu valor aproximado é bastante suficiente. Por exemplo, você precisa calcular a área limitada por uma linha cuja equação é desconhecida, o eixo X e duas ordenadas. Neste caso, você pode substituir esta linha por uma mais simples, para a qual a equação é conhecida. A área do trapézio curvilíneo assim obtida é tomada como o valor aproximado da integral desejada. Geometricamente, a ideia por trás do método de cálculo da integral definida usando a fórmula dos retângulos é que a área de um trapézio curvilíneo A 1 ABB 1é substituído pela área de um retângulo de área igual A 1 A 2 B 1 B 2, que, de acordo com o teorema do valor médio, é igual a

Onde f(c)--- altura do retângulo A 1 A 2 B 1 B 2, que é o valor do integrando em algum ponto intermediário c(a< c

É praticamente difícil encontrar tal valor Com, em qual (b-a)f(c) seria exatamente igual a . Para obter um valor mais preciso, a área de um trapézio curvilíneo é dividida em n retângulos cujas alturas são iguais y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 e fundações.

Se resumirmos as áreas dos retângulos que cobrem a área de um trapézio curvilíneo com desvantagem, a função não é decrescente, então, em vez da fórmula, a fórmula é usada

Se em excesso, então

Os valores são encontrados a partir das igualdades. Essas fórmulas são chamadas fórmulas de retângulo e dê um resultado aproximado. Com o aumento n o resultado fica mais preciso.

Exemplo 1 . Calcule a partir da fórmula dos retângulos

Dividimos o intervalo de integração em 5 partes. Então . Usando uma calculadora ou uma tabela, encontramos os valores​​​do integrando (com uma precisão de 4 casas decimais):

De acordo com a fórmula dos retângulos (com uma desvantagem)

Por outro lado, de acordo com a fórmula de Newton-Leibniz

Vamos encontrar o erro de cálculo relativo usando a fórmula dos retângulos:

Cálculo de integrais por fórmulas trapezoidais. Estimativa de erro:

O significado geométrico do seguinte método para o cálculo aproximado de integrais é encontrar a área de um trapézio "retilíneo" de tamanho aproximadamente igual.

Seja necessário calcular a área A 1 AmBB 1 trapézio curvilíneo, expresso pela fórmula .

Vamos substituir o arco AmB acorde AB e em vez da área de um trapézio curvilíneo A 1 AmBB 1 calcule a area do trapézio A 1 ABB 1: , Onde AA 1 e BB 1 - a base do trapézio, e A 1 V 1 é a sua altura.

Indicar f(a)=A1A,f(b)=B1B. altura do trapézio A 1 B 1 \u003d b-a, quadrado . Consequentemente, ou

Este chamado fórmula do pequeno trapézio.

Para construir a fórmula de Simpson, primeiro consideramos o seguinte problema: calcule a área S de um trapézio curvilíneo limitado de cima pelo gráfico da parábola y \u003d Ax 2 + Bx + C, da esquerda pela linha reta x \u003d - h, da direita pela linha reta x \u003d h e de baixo pelo segmento [-h; h]. Deixe a parábola passar por três pontos (Fig. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) e F (h; y 2), e x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h. Consequentemente,

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h.

Então a área S é igual à integral:

Expressamos essa área em termos de h, y 0 , y 1 e y 2 . Para fazer isso, calculamos os coeficientes da parábola A, B, C. Da condição de que a parábola passe pelos pontos D, E e F, temos:

Resolvendo este sistema, obtemos: C = y 1 ; A=

Substituindo esses valores A e C em (3), obtemos a área desejada

Passemos agora à derivação da fórmula de Simpson para calcular a integral

Para fazer isso, dividimos o segmento de integração em 2n partes iguais de comprimento

Nos pontos de divisão (Fig. 4). a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Calculamos os valores do integrando f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

No segmento, substituímos o integrando por uma parábola que passa pelos pontos (x 0; y 0), (x 1; y 1) e (x 2; y 2), e calculamos o valor aproximado da integral a partir de x 0 a x 2, usamos a fórmula (4). Então (a área sombreada na Fig. 4):

Da mesma forma, encontramos:

................................................

Somando as igualdades resultantes, temos:

A fórmula (5) é chamada fórmula de Simpson generalizada ou fórmula da parábola, pois ao derivá-lo, o gráfico do integrando em um segmento parcial de comprimento 2h é substituído por um arco de parábola.

Atribuição de trabalho:

1. Conforme indicado pelo professor ou de acordo com uma opção do mesas 4 tarefas (ver Apêndice) para tomar as condições - o integrando, os limites da integração.

2. Elabore um fluxograma do programa e um programa que deve:

Solicitar a precisão do cálculo de uma integral definida, os limites inferior e superior de integração;

Calcule a integral dada pelos métodos: para as opções 1,4,7, 10… - direita, para as opções 2,5,8,… - média; para as opções 2,5,8,… - retângulos à esquerda. Emita o número de partições do intervalo de integração em que a precisão de cálculo especificada é alcançada;

Calcule a integral dada usando o método trapézio (para opções pares) e o método de Simpson (para opções ímpares).

Emita o número de partições do intervalo de integração em que a precisão de cálculo especificada é alcançada;

Emita os valores da função de controle para o valor dado do argumento e compare com os valores calculados da integral. Concluir.

perguntas do teste

1. O que é uma integral definida?

2. Por que, juntamente com os métodos analíticos, são usados ​​métodos numéricos para calcular integrais definidas.

3. Qual é a essência dos principais métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas.

4. Influência do número de partições na precisão do cálculo de uma integral definida por métodos numéricos.

5. Como calcular a integral por qualquer método com uma determinada precisão?