No capítulo anterior, foi mostrado que, escolhendo um determinado sistema de coordenadas no plano, podemos expressar analiticamente as propriedades geométricas que caracterizam os pontos da linha em consideração por uma equação entre as coordenadas atuais. Assim, obtemos a equação da reta. Neste capítulo, as equações de retas serão consideradas.

Para formular a equação de uma linha reta em coordenadas cartesianas, você precisa definir de alguma forma as condições que determinam sua posição em relação aos eixos coordenados.

Primeiramente, introduzimos o conceito de inclinação de uma reta, que é uma das grandezas que caracterizam a posição de uma reta em um plano.

Vamos chamar de ângulo de inclinação da linha para o eixo Ox o ângulo pelo qual o eixo Ox deve ser girado para que coincida com a linha dada (ou fique paralelo a ela). Como sempre, consideraremos o ângulo levando em consideração o sinal (o sinal é determinado pelo sentido de rotação: anti-horário ou horário). Como uma rotação adicional do eixo Ox em um ângulo de 180 ° o combinará novamente com a linha reta, o ângulo de inclinação da linha reta em relação ao eixo pode ser escolhido de forma ambígua (até um múltiplo de ).

A tangente deste ângulo é determinada de forma única (já que alterar o ângulo para não altera sua tangente).

A tangente do ângulo de inclinação de uma linha reta ao eixo x é chamada de inclinação da linha reta.

A inclinação caracteriza a direção da linha reta (aqui não distinguimos entre duas direções mutuamente opostas da linha reta). Se a inclinação da linha for zero, então a linha é paralela ao eixo x. Com uma inclinação positiva, o ângulo de inclinação da reta ao eixo Ox será agudo (estamos considerando aqui o menor valor positivo do ângulo de inclinação) (Fig. 39); neste caso, quanto maior a inclinação, maior o ângulo de sua inclinação em relação ao eixo Ox. Se a inclinação for negativa, o ângulo de inclinação da linha reta para o eixo x será obtuso (Fig. 40). Observe que uma linha reta perpendicular ao eixo x não tem inclinação (a tangente de um ângulo não existe).

Numericamente igual à tangente do ângulo (que constitui a menor rotação do eixo Ox ao eixo Oy) entre a direção positiva do eixo x e a reta dada.

A tangente de um ângulo pode ser calculada como a razão entre a perna oposta e a adjacente. ké sempre igual a , ou seja, a derivada da equação da reta em relação a x.

Com valores positivos do coeficiente angular k e valor zero do coeficiente de deslocamento b linha estará no primeiro e terceiro quadrantes (nos quais x E y tanto positivo quanto negativo). Ao mesmo tempo, grandes valores do coeficiente angular k uma linha reta mais íngreme corresponderá e uma menor - uma mais plana.

Retas E São perpendiculares se , e paralelas quando .

Notas

Fundação Wikimedia. 2010 .

Veja o que é “Line Slope” em outros dicionários:

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Aprenda a obter derivadas de funções. A derivada caracteriza a taxa de variação de uma função em um determinado ponto situado no gráfico dessa função. Nesse caso, o gráfico pode ser uma linha reta ou uma linha curva. Ou seja, a derivada caracteriza a taxa de variação da função em um determinado ponto no tempo. Lembre-se das regras gerais pelas quais os derivados são obtidos e só então prossiga para a próxima etapa.

• Leia o artigo.
• Como obter as derivadas mais simples, por exemplo, a derivada de uma equação exponencial, é descrito. Os cálculos apresentados nas etapas seguintes serão baseados nos métodos ali descritos.

Aprenda a distinguir entre problemas nos quais a inclinação precisa ser calculada em termos da derivada de uma função. Em tarefas, nem sempre é sugerido encontrar a inclinação ou derivada de uma função. Por exemplo, você pode ser solicitado a encontrar a taxa de variação de uma função no ponto A(x, y). Você também pode ser solicitado a encontrar a inclinação da tangente no ponto A(x, y). Em ambos os casos, é necessário derivar a função.

Obtenha a derivada da função dada. Você não precisa construir um gráfico aqui - você só precisa da equação da função. Em nosso exemplo, pegue a derivada da função f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Obtenha a derivada de acordo com os métodos descritos no artigo mencionado acima:

Substitua as coordenadas do ponto dado a você na derivada encontrada para calcular a inclinação. A derivada da função é igual à inclinação em um determinado ponto. Em outras palavras, f "(x) é a inclinação da função em qualquer ponto (x, f (x)). Em nosso exemplo:

Deixe em um plano onde há um sistema de coordenadas cartesiano retangular, uma linha reta eu passa pelo ponto M 0 paralelo ao vetor de direção A (Fig. 96).

Se direto eu cruza o eixo O x(no ponto N), então em um ângulo de uma linha reta eu com eixo O x entenderemos o ângulo α pelo qual é necessário girar o eixo O x em torno do ponto N na direção oposta à rotação do ponteiro do relógio, de modo que o eixo O x coincidiu com a linha eu. (Isto refere-se a um ângulo inferior a 180°.)

Este canto é chamado ângulo de inclinaçao direto. Se direto eu paralelo ao eixo O x, então o ângulo de inclinação é assumido como zero (Fig. 97).

A tangente da inclinação de uma reta é chamada inclinação de uma linha reta e geralmente é indicado pela letra k:

tgα = k. (1)

Se α = 0, então k= 0; isso significa que a linha é paralela ao eixo o x e sua inclinação é zero.

Se α = 90°, então k= tg α não faz sentido: isso significa que a linha perpendicular ao eixo O x(ou seja, paralela ao eixo O no), não tem inclinação.

A inclinação de uma linha reta pode ser calculada se as coordenadas de quaisquer dois pontos dessa linha reta forem conhecidas. Sejam dados dois pontos de uma reta: M 1 ( x 1 ; no 1) e M 2 ( x 2 ; no 2) e deixe, por exemplo, 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , no 2 > no 1 (Fig. 98).

Então, de um triângulo retângulo M 1 PM 2 encontramos

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Da mesma forma, provamos que a fórmula (2) também é verdadeira no caso de 90°< α < 180°.

A fórmula (2) perde seu significado se x 2 - x 1 = 0, ou seja, se a linha eu paralelo ao eixo O no. Para tais linhas, a inclinação não existe.

Tarefa 1. Determine a inclinação da prima passando pelos pontos

M 1 (3; -5) e M 2 (5; -7).

Substituindo as coordenadas dos pontos M 1 e M 2 na fórmula (2), obtemos

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3) \) ou k = -1

Tarefa 2. Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos M 1 (3; 5) e M 2 (3; -2).

Porque x 2 - x 1 = 0, então a igualdade (2) perde seu significado. Para esta inclinação direta não existe. A reta M 1 M 2 é paralela ao eixo O no.

Tarefa 3. Determine a inclinação da reta que passa pela origem e ponto M 1 (3; -5)

Neste caso, o ponto M 2 coincide com a origem. Aplicando a fórmula (2), obtemos

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Componha a equação de uma reta com uma inclinação k passando pelo ponto

M 1 ( x 1 ; no 1). De acordo com a fórmula (2), a inclinação de uma reta é encontrada a partir das coordenadas de seus dois pontos. No nosso caso, o ponto M 1 é dado e, como segundo ponto, você pode pegar qualquer ponto M( X; no) da linha desejada.

Se o ponto M está sobre uma linha reta que passa pelo ponto M 1 e tem uma inclinação k, então pela fórmula (2) temos

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Se o ponto M não estiver sobre a reta, então a igualdade (3) não vale. Portanto, a igualdade (3) é a equação de uma reta que passa pelo ponto M 1 ( x 1 ; no 1) com inclinação k; esta equação é geralmente escrita como

y- y 1 = k(x - x 1). (4)

Se a linha intercepta o eixo O no em algum ponto (0; b), então a equação (4) assume a forma

no - b = k (x- 0),

y = kx + b. (5)

Esta equação é chamada equação de uma reta com inclinação k e ordenada inicial b.

Tarefa 4. Encontre o ângulo de inclinação de uma linha reta √3 x + 3no - 7 = 0.

Nós trazemos esta equação para a forma

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Por isso, k= tg α = - 1 / √ 3 , onde α = 150°

Tarefa 5. Componha a equação de uma reta passando pelo ponto P (3; -4), com inclinação k = 2 / 5

Substituindo k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 na equação (4), obtemos

no - (- 4) = 2 / 5 (x- 3) ou 2 x - 5no - 26 = 0.

Tarefa 6. Componha a equação de uma reta passando pelo ponto Q (-3; 4) e uma componente com sentido positivo do eixo O xângulo 30°.

Se α = 30°, então k= tan 30° = √ 3 / 3 . Substituindo na equação (4) os valores x 1 , y 1 e k, Nós temos

no -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) ou √3 x-3y + 12 + 3√3 = 0.

O tópico "O coeficiente angular da tangente como a tangente do ângulo de inclinação" no exame de certificação recebe várias tarefas ao mesmo tempo. Dependendo de sua condição, o graduado pode ser obrigado a fornecer uma resposta completa e uma curta. Ao se preparar para o exame de matemática, o aluno deve definitivamente repetir as tarefas nas quais é necessário calcular a inclinação da tangente.

O portal educacional Shkolkovo o ajudará a fazer isso. Nossos especialistas prepararam e apresentaram material teórico e prático o mais acessível possível. Ao conhecê-lo, os graduados com qualquer nível de treinamento serão capazes de resolver com sucesso problemas relacionados a derivadas, nos quais é necessário encontrar a tangente da inclinação da tangente.

momentos básicos

Para encontrar a solução correta e racional para tais tarefas no USE, é necessário relembrar a definição básica: a derivada é a taxa de variação da função; é igual à tangente da inclinação da tangente desenhada para o gráfico da função em um determinado ponto. É igualmente importante completar o desenho. Isso permitirá que você encontre a solução correta para os problemas de USE na derivada, nos quais é necessário calcular a tangente da inclinação da tangente. Para maior clareza, é melhor traçar um gráfico no plano OXY.

Se você já se familiarizou com o material básico sobre o tema da derivada e está pronto para começar a resolver problemas para calcular a tangente da inclinação da tangente, semelhante às tarefas USE, você pode fazer isso online. Para cada tarefa, por exemplo, tarefas no tópico "Relação da derivada com a velocidade e aceleração do corpo", anotamos a resposta correta e o algoritmo de solução. Nesse caso, os alunos podem praticar a execução de tarefas de vários níveis de complexidade. Se necessário, o exercício pode ser salvo na seção "Favoritos", para que posteriormente você possa discutir a decisão com o professor.