No artigo, mostraremos como resolver frações com exemplos simples e claros. Vamos entender o que é uma fração e considerar resolvendo frações!

conceito fraçõesé introduzido no curso de matemática a partir da 6ª série do ensino médio.

As frações se parecem com: ±X / Y, onde Y é o denominador, informa em quantas partes o todo foi dividido, e X é o numerador, informa quantas dessas partes foram tomadas. Para maior clareza, vamos dar um exemplo com um bolo:

No primeiro caso, o bolo foi cortado igualmente e metade foi retirada, ou seja, 1/2. No segundo caso, o bolo foi cortado em 7 partes, das quais foram retiradas 4 partes, ou seja, 4/7.

Se a parte da divisão de um número por outro não for um número inteiro, será escrito como uma fração.

Por exemplo, a expressão 4:2 \u003d 2 fornece um número inteiro, mas 4:7 não é completamente divisível, então essa expressão é escrita como uma fração 4/7.

Em outras palavras fraçãoé uma expressão que denota a divisão de dois números ou expressões, e que é escrita com uma barra.

Se o numerador for menor que o denominador, a fração está correta, se vice-versa, está incorreta. Uma fração pode conter um inteiro.

Por exemplo, 5 inteiros 3/4.

Esta entrada significa que, para obter o 6 inteiro, uma parte de quatro não é suficiente.

Se você quer lembrar como resolver frações para o 6º ano você precisa entender isso resolvendo frações basicamente se resume a entender algumas coisas simples.

• Uma fração é essencialmente uma expressão para uma fração. Ou seja, uma expressão numérica de qual parte um determinado valor é de um todo. Por exemplo, a fração 3/5 expressa que se dividirmos algo inteiro em 5 partes e o número de partes ou partes desse todo for três.
• Uma fração pode ser menor que 1, por exemplo 1/2 (ou essencialmente metade), então está correta. Se a fração for maior que 1, por exemplo 3/2 (três metades ou uma e meia), então está incorreta e para simplificar a solução, é melhor selecionarmos a parte inteira 3/2= 1 inteiro 1 /2.
• Frações são os mesmos números que 1, 3, 10 e até 100, apenas os números não são inteiros, mas fracionários. Com eles, você pode realizar todas as mesmas operações que com os números. Contar frações não é mais difícil e, mais adiante, mostraremos isso com exemplos específicos.

Como resolver frações. Exemplos.

Uma variedade de operações aritméticas são aplicáveis ​​a frações.

Trazendo uma fração para um denominador comum

Por exemplo, você precisa comparar as frações 3/4 e 4/5.

Para resolver o problema, primeiro encontramos o menor denominador comum, ou seja, o menor número que é divisível sem resto por cada um dos denominadores das frações

Mínimo denominador comum (4,5) = 20

Então o denominador de ambas as frações é reduzido ao menor denominador comum

Resposta: 15/20

Adição e subtração de frações

Se for necessário calcular a soma de duas frações, primeiro elas são trazidas para um denominador comum, depois os numeradores são adicionados, enquanto o denominador permanece inalterado. A diferença de frações é considerada de maneira semelhante, a única diferença é que os numeradores são subtraídos.

Por exemplo, você precisa encontrar a soma das frações 1/2 e 1/3

Agora encontre a diferença entre as frações 1/2 e 1/4

Multiplicação e divisão de frações

Aqui a solução de frações é simples, tudo é bem simples aqui:

• Multiplicação - numeradores e denominadores de frações são multiplicados entre si;
• Divisão - primeiro obtemos uma fração, o recíproco da segunda fração, ou seja trocar seu numerador e denominador, após o que multiplicamos as frações resultantes.

Por exemplo:

Sobre isso como resolver frações, tudo. Se você tiver alguma dúvida sobre resolvendo frações, algo não está claro, então escreva nos comentários e nós responderemos.

Se você é professor, é possível baixar uma apresentação para uma escola primária (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) que será útil.

Este artigo é uma visão geral das operações com frações. Aqui formulamos e justificamos as regras de adição, subtração, multiplicação, divisão e elevação à potência de frações da forma geral A/B, onde A e B são alguns números, expressões numéricas ou expressões com variáveis. Como de costume, forneceremos o material com exemplos explicativos com descrições detalhadas das soluções.

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Regras para realizar operações com frações numéricas de forma geral

Vamos concordar que frações numéricas gerais são frações em que o numerador e/ou denominador pode ser representado não apenas por números naturais, mas também por outros números ou expressões numéricas. Para maior clareza, aqui estão alguns exemplos de tais frações: .

Conhecemos as regras pelas quais . Pelas mesmas regras, você pode realizar operações com frações de forma geral:

Razão para as regras

Para justificar a validade das regras para realizar ações com frações numéricas gerais, pode-se partir dos seguintes pontos:

• uma barra fracionária é essencialmente um sinal de divisão,
• a divisão por algum número diferente de zero pode ser considerada como multiplicação pelo recíproco do divisor (isso explica imediatamente a regra para dividir frações),
• propriedades de ações com números reais,
• e sua compreensão generalizada,

Eles permitem que você realize as seguintes transformações que justificam as regras para somar, subtrair frações com denominadores iguais e diferentes, bem como a regra para multiplicar frações:

Exemplos

Vamos dar exemplos de execução de uma ação com frações de forma geral de acordo com as regras aprendidas no parágrafo anterior. Digamos imediatamente que geralmente, depois de executar ações com frações, a fração resultante requer simplificação, e o processo de simplificar uma fração geralmente é mais complicado do que executar as ações anteriores. Não vamos nos deter na simplificação de frações (as transformações correspondentes são discutidas no artigo Transformando frações), para não nos distrairmos do tópico de nosso interesse.

Vamos começar com exemplos de adição e subtração de frações com os mesmos denominadores. Vamos começar adicionando as frações e . Obviamente os denominadores são iguais. De acordo com a regra correspondente, escrevemos uma fração cujo numerador é igual à soma dos numeradores das frações originais, e deixamos o denominador o mesmo, temos . A adição está feita, resta simplificar a fração resultante: . Então, .

Foi possível realizar a decisão de uma maneira diferente: primeiro, faça a transição para frações ordinárias e depois faça a adição. Com esta abordagem, temos .

Agora subtraia da fração fração . Os denominadores das frações são iguais, portanto, agimos de acordo com a regra para subtrair frações com os mesmos denominadores:

Vamos passar para exemplos de adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Aqui a principal dificuldade está em trazer as frações para um denominador comum. Para frações de forma geral, este é um tópico bastante extenso, vamos analisá-lo em detalhes em um artigo separado. reduzindo frações a um denominador comum. Por enquanto, vamos nos limitar a algumas recomendações gerais, pois no momento estamos mais interessados ​​na técnica de realizar ações com frações.

Em geral, o processo é semelhante à redução a um denominador comum de frações ordinárias. Ou seja, os denominadores são apresentados como produtos, então todos os fatores do denominador da primeira fração são retirados e os fatores ausentes do denominador da segunda fração são adicionados a eles.

Quando os denominadores das frações somadas ou subtraídas não possuem fatores comuns, então é lógico tomar seu produto como denominador comum. Vamos dar um exemplo.

Digamos que precisamos adicionar frações e 1/2. Aqui, como denominador comum, é lógico tomar o produto dos denominadores das frações originais, ou seja, . Neste caso, o fator adicional para a primeira fração será 2 . Depois de multiplicar o numerador e o denominador por ele, a fração terá a forma . E para a segunda fração, o fator adicional é a expressão. Com sua ajuda, a fração 1/2 é reduzida à forma. Resta adicionar as frações resultantes com os mesmos denominadores. Aqui está um resumo de toda a solução:

No caso de frações de forma geral, não estamos mais falando do mínimo denominador comum, ao qual as frações ordinárias costumam ser reduzidas. Embora nesta matéria ainda seja desejável lutar por algum minimalismo. Com isso queremos dizer que não é necessário tomar imediatamente como denominador comum o produto dos denominadores das frações originais. Por exemplo, não é necessário tomar o denominador comum das frações e o produto . Aqui, como denominador comum, podemos tomar .

Passamos a exemplos de multiplicação de frações de forma geral. Multiplique as frações e . A regra para realizar esta ação nos diz para escrever uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores das frações originais, e o denominador é o produto dos denominadores. Nós temos . Aqui, como em muitos outros casos ao multiplicar frações, você pode reduzir a fração: .

A regra para dividir frações permite passar da divisão para a multiplicação por um recíproco. Aqui você precisa lembrar que, para obter uma fração recíproca de uma determinada, você precisa trocar o numerador e o denominador dessa fração. Aqui está um exemplo da transição da divisão de frações gerais para a multiplicação: . Resta realizar a multiplicação e simplificar a fração resultante (se necessário, veja a transformação de expressões irracionais):

Concluindo as informações deste parágrafo, lembramos que qualquer número ou expressão numérica pode ser representado como uma fração com denominador 1, portanto, adição, subtração, multiplicação e divisão de um número e uma fração podem ser considerados como realizando a ação correspondente com frações, uma das quais tem uma unidade no denominador. Por exemplo, substituindo na expressão raiz de três frações, procederemos da multiplicação de uma fração por um número para a multiplicação de duas frações: .

Executando operações com frações contendo variáveis

As regras da primeira parte deste artigo também se aplicam à execução de operações com frações que contêm variáveis. Vamos justificar o primeiro deles - a regra de adição e subtração de frações com os mesmos denominadores, o resto é provado exatamente da mesma maneira.

Vamos provar que para quaisquer expressões A , C e D (D é identicamente diferente de zero) temos a igualdade em sua faixa de valores aceitáveis ​​de variáveis.

Vamos pegar um conjunto de variáveis ​​do ODZ. Deixe as expressões A , C e D tomarem os valores a 0 , c 0 e d 0 para esses valores das variáveis. Em seguida, substituir os valores das variáveis ​​do conjunto selecionado na expressão a transforma em uma soma (diferença) de frações numéricas com os mesmos denominadores da forma , que, de acordo com a regra de adição (subtração) de frações numéricas com o mesmos denominadores, é igual a . Mas substituir os valores das variáveis ​​do conjunto selecionado na expressão a transforma na mesma fração. Isso significa que para o conjunto selecionado de valores de variáveis ​​da ODZ, os valores das expressões e são iguais. É claro que os valores das expressões indicadas serão iguais para qualquer outro conjunto de valores de variáveis ​​da ODZ, o que significa que as expressões e são identicamente iguais, ou seja, a igualdade que está sendo provada é verdadeira .

Exemplos de adição e subtração de frações com variáveis

Quando os denominadores das frações que estão sendo adicionadas ou subtraídas são os mesmos, tudo é bastante simples - os numeradores são adicionados ou subtraídos e o denominador permanece o mesmo. É claro que a fração obtida depois disso é simplificada se necessário e possível.

Observe que às vezes os denominadores das frações diferem apenas à primeira vista, mas na verdade são expressões identicamente iguais, como, por exemplo, e , ou e . E às vezes basta simplificar as frações iniciais para que seus denominadores idênticos “apareçam”.

Exemplo.

, b) , dentro) .

Solução.

a) Precisamos subtrair frações com os mesmos denominadores. De acordo com a regra correspondente, deixamos o denominador igual e subtraímos os numeradores, temos . Ação feita. Mas você ainda pode abrir os colchetes no numerador e trazer termos semelhantes: .

b) Obviamente, os denominadores das frações adicionadas são os mesmos. Portanto, somamos os numeradores e deixamos o denominador o mesmo: . Adição concluída. Mas é fácil ver que a fração resultante pode ser reduzida. De fato, o numerador da fração resultante pode ser reduzido pelo quadrado da soma como (lgx + 2) 2 (veja as fórmulas de multiplicação abreviadas), então as seguintes transformações ocorrem: .

c) Frações na soma têm denominadores diferentes. Mas, convertendo uma das frações, você pode adicionar frações com os mesmos denominadores. Mostramos duas soluções.

Primeira maneira. O denominador da primeira fração pode ser fatorado usando a fórmula da diferença de quadrados e, em seguida, reduzir esta fração: . Nesse caminho, . Não faz mal se livrar da irracionalidade no denominador de uma fração: .

A segunda maneira. Multiplicar o numerador e o denominador da segunda fração (esta expressão não desaparece para nenhum valor da variável x do DPV para a expressão original) permite atingir dois objetivos ao mesmo tempo: se livrar da irracionalidade e passar para a adição frações com os mesmos denominadores. Nós temos

Responda:

a) , b) , dentro) .

O último exemplo nos trouxe à questão de trazer frações a um denominador comum. Lá, quase acidentalmente chegamos aos mesmos denominadores, simplificando uma das frações adicionadas. Mas na maioria dos casos, ao adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes, é preciso trazer as frações propositalmente para um denominador comum. Para fazer isso, os denominadores das frações geralmente são apresentados como produtos, todos os fatores são retirados do denominador da primeira fração e os fatores ausentes do denominador da segunda fração são adicionados a eles.

Exemplo.

Realize ações com frações: a) , b) , c) .

Solução.

a) Não há necessidade de fazer nada com os denominadores das frações. Como denominador comum, tomamos o produto . Nesse caso, o fator adicional para a primeira fração é a expressão e para a segunda fração - o número 3. Esses fatores adicionais trazem frações para um denominador comum, o que nos permite ainda realizar a ação que precisamos, temos

b) Neste exemplo, os denominadores já estão apresentados como produtos, não sendo necessárias transformações adicionais. Obviamente, os fatores nos denominadores diferem apenas nos expoentes, portanto, como denominador comum, tomamos o produto dos fatores com os maiores expoentes, ou seja, . Então o fator adicional para a primeira fração será x 4 , e para a segunda - ln(x+1) . Agora estamos prontos para subtrair frações:

c) E neste caso, para começar, vamos trabalhar com os denominadores das frações. As fórmulas da diferença dos quadrados e do quadrado da soma permitem ir da soma original à expressão . Agora está claro que essas frações podem ser reduzidas a um denominador comum . Com essa abordagem, a solução ficará assim:

Responda:

a)

b)

dentro)

Exemplos de multiplicação de frações com variáveis

Multiplicar frações dá uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores das frações originais, e o denominador é o produto dos denominadores. Aqui, como você pode ver, tudo é familiar e simples, e podemos apenas acrescentar que a fração obtida como resultado dessa ação é muitas vezes reduzida. Nesses casos, é reduzido, a menos, é claro, que seja necessário e justificado.

Este artigo trata de operações com frações. Serão formadas e justificadas regras para adição, subtração, multiplicação, divisão ou exponenciação de frações da forma A B, onde A e B podem ser números, expressões numéricas ou expressões com variáveis. Em conclusão, serão considerados exemplos de soluções com uma descrição detalhada.

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Regras para realizar operações com frações numéricas de forma geral

As frações numéricas de forma geral têm um numerador e um denominador, nos quais existem números naturais ou expressões numéricas. Se considerarmos frações como 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , então fica claro que o numerador e o denominador podem ter não apenas números, mas também expressões de um plano diferente.

Definição 1

Existem regras pelas quais as ações são executadas com frações ordinárias. Também é adequado para frações de forma geral:

• Ao subtrair frações com os mesmos denominadores, apenas os numeradores são adicionados e o denominador permanece o mesmo, a saber: a d ± c d \u003d a ± c d, os valores a, c e d ≠ 0 são alguns números ou expressões numéricas.
• Ao adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário reduzir a um comum e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações resultantes com os mesmos indicadores. Literalmente, fica assim a b ± c d = a p ± c r s , onde os valores a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 são números reais, e b p = d r = S. Quando p = d e r = b, então a b ± c d = a d ± c d b d.
• Ao multiplicar frações, uma ação é realizada com numeradores, após o que com denominadores, obtemos a b c d \u003d a c b d, onde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 atuam como números reais.
• Ao dividir uma fração por uma fração, multiplicamos o primeiro pelo segundo recíproco, ou seja, trocamos o numerador e o denominador: a b: c d \u003d a b d c.

Razão para as regras

Definição 2

Existem os seguintes pontos matemáticos nos quais você deve confiar ao calcular:

• uma barra fracionária significa um sinal de divisão;
• a divisão por um número é tratada como uma multiplicação pelo seu recíproco;
• aplicação da propriedade de ações com números reais;
• aplicação da propriedade básica de uma fração e desigualdades numéricas.

Com a ajuda deles, você pode fazer transformações do formulário:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Exemplos

No parágrafo anterior, foi dito sobre ações com frações. É depois disso que a fração precisa ser simplificada. Este tópico foi discutido em detalhes na seção sobre conversão de frações.

Primeiro, considere o exemplo de adição e subtração de frações com o mesmo denominador.

Exemplo 1

Dadas as frações 8 2 , 7 e 1 2 , 7 , então, de acordo com a regra, é necessário adicionar o numerador e reescrever o denominador.

Solução

Então obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 . Após realizar a adição, obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Então 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Responda: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existe outra maneira de resolver. Para começar, é feita uma transição para a forma de uma fração ordinária, após a qual realizamos uma simplificação. Se parece com isso:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplo 2

Vamos subtrair de 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 frações da forma 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Como denominadores iguais são dados, isso significa que estamos calculando uma fração com o mesmo denominador. Nós entendemos isso

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existem exemplos de cálculo de frações com denominadores diferentes. Um ponto importante é a redução a um denominador comum. Sem isso, não poderemos realizar outras ações com frações.

O processo lembra remotamente a redução a um denominador comum. Ou seja, é feita uma busca pelo mínimo divisor comum no denominador, após o que os fatores ausentes são adicionados às frações.

Se as frações adicionadas não tiverem fatores comuns, seu produto pode se tornar um.

Exemplo 3

Considere o exemplo da adição de frações 2 3 5 + 1 e 1 2 .

Solução

Nesse caso, o denominador comum é o produto dos denominadores. Então temos que 2 · 3 5 + 1 . Então, ao definir fatores adicionais, temos que para a primeira fração é igual a 2, e para a segunda 3 5 + 1. Após a multiplicação, as frações são reduzidas à forma 4 2 3 5 + 1. O elenco geral 1 2 será 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Adicionamos as expressões fracionárias resultantes e obtemos que

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Responda: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Quando estamos lidando com frações de forma geral, o menor denominador comum geralmente não é o caso. Não é lucrativo tomar o produto dos numeradores como denominador. Primeiro você precisa verificar se existe um número que é menor em valor do que o seu produto.

Exemplo 4

Considere o exemplo 1 6 2 1 5 e 1 4 2 3 5 quando seu produto é igual a 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Então tomamos 12 · 2 3 5 como denominador comum.

Considere exemplos de multiplicações de frações de forma geral.

Exemplo 5

Para fazer isso, é necessário multiplicar 2 + 1 6 e 2 · 5 3 · 2 + 1.

Solução

Seguindo a regra, é necessário reescrever e escrever o produto dos numeradores como denominador. Obtemos que 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Quando a fração é multiplicada, podem ser feitas reduções para simplificá-la. Então 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Usando a regra de transição da divisão para a multiplicação por um recíproco, obtemos o recíproco do dado. Para fazer isso, o numerador e o denominador são invertidos. Vejamos um exemplo:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Depois disso, eles devem realizar a multiplicação e simplificar a fração resultante. Se necessário, livre-se da irracionalidade no denominador. Nós entendemos isso

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Responda: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Este parágrafo é aplicável quando um número ou expressão numérica pode ser representado como uma fração com denominador igual a 1, então a operação com tal fração é considerada um parágrafo separado. Por exemplo, a expressão 1 6 7 4 - 1 3 mostra que a raiz de 3 pode ser substituída por outra expressão 3 1. Então este registro será parecido com uma multiplicação de duas frações da forma 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Executando uma ação com frações contendo variáveis

As regras discutidas no primeiro artigo são aplicáveis ​​a operações com frações contendo variáveis. Considere a regra de subtração quando os denominadores são os mesmos.

É necessário provar que A , C e D (D diferente de zero) podem ser quaisquer expressões, e a igualdade A D ± C D = A ± C D é equivalente ao seu intervalo de valores válidos.

É necessário tomar um conjunto de variáveis ​​ODZ. Então A, C, D devem tomar os valores correspondentes a 0 , c 0 e d0. Uma substituição da forma A D ± C D resulta em uma diferença da forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , onde, de acordo com a regra de adição, obtemos uma fórmula da forma a 0 ± c 0 d 0 . Se substituirmos a expressão A ± C D , obteremos a mesma fração da forma a 0 ± c 0 d 0 . Disso concluímos que o valor escolhido que satisfaça a ODZ, A ± C D e A D ± C D são considerados iguais.

Para qualquer valor das variáveis, essas expressões serão iguais, ou seja, são chamadas identicamente iguais. Isto significa que esta expressão é considerada uma igualdade demonstrável da forma A D ± C D = A ± C D .

Exemplos de adição e subtração de frações com variáveis

Quando há os mesmos denominadores, só é necessário somar ou subtrair os numeradores. Esta fração pode ser simplificada. Às vezes você tem que trabalhar com frações que são identicamente iguais, mas à primeira vista isso não é perceptível, pois algumas transformações devem ser realizadas. Por exemplo, x 2 3 x 1 3 + 1 e x 1 3 + 1 2 ou 1 2 sen 2 α e sen a cos a. Na maioria das vezes, é necessária uma simplificação da expressão original para ver os mesmos denominadores.

Exemplo 6

Calcular: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2), x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Solução

1. Para fazer um cálculo, você precisa subtrair frações que têm os mesmos denominadores. Então temos que x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Depois disso, você pode abrir os colchetes com a redução de termos semelhantes. Obtemos que x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Como os denominadores são os mesmos, resta apenas somar os numeradores, deixando o denominador: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   A adição foi concluída. Pode-se ver que a fração pode ser reduzida. Seu numerador pode ser dobrado usando a fórmula da soma quadrada, então obtemos (l g x + 2) 2 das fórmulas de multiplicação abreviadas. Então obtemos isso
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dadas frações da forma x - 1 x - 1 + x x + 1 com denominadores diferentes. Após a transformação, você pode prosseguir para a adição.

Vamos considerar uma solução de duas vias.

O primeiro método é que o denominador da primeira fração é submetido a fatoração usando quadrados, e com sua subsequente redução. Obtemos uma fração da forma

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Então x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Nesse caso, é necessário se livrar da irracionalidade no denominador.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A segunda maneira é multiplicar o numerador e denominador da segunda fração por x - 1 . Assim, nos livramos da irracionalidade e passamos a adicionar uma fração com o mesmo denominador. Então

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Responda: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

No último exemplo, descobrimos que a redução a um denominador comum é inevitável. Para fazer isso, você precisa simplificar as frações. Para somar ou subtrair, você sempre precisa procurar um denominador comum, que se parece com o produto dos denominadores com a adição de fatores adicionais aos numeradores.

Exemplo 7

Calcule os valores das frações: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Solução

1. O denominador não requer cálculos complicados, então você precisa escolher o produto da forma 3 x 7 + 2 2, então para a primeira fração x 7 + 2 2 é escolhido como um fator adicional e 3 para o segundo. Ao multiplicar, obtemos uma fração da forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Pode-se observar que os denominadores são apresentados como um produto, o que significa que transformações adicionais são desnecessárias. O denominador comum será o produto da forma x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . A partir daqui x 4 é um fator adicional para a primeira fração, e ln (x + 1) ao segundo. Então subtraímos e obtemos:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sen x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sen x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Este exemplo faz sentido ao trabalhar com denominadores de frações. É necessário aplicar as fórmulas da diferença dos quadrados e do quadrado da soma, pois elas permitirão passar a uma expressão da forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Pode-se ver que as frações são reduzidas a um denominador comum. Obtemos que cos x - x cos x + x 2 .

Então obtemos isso

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Responda:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Exemplos de multiplicação de frações com variáveis

Ao multiplicar frações, o numerador é multiplicado pelo numerador e o denominador pelo denominador. Então você pode aplicar a propriedade de redução.

Exemplo 8

Multiplique as frações x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen 2 x - x.

Solução

Você precisa fazer a multiplicação. Nós entendemos isso

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2 x - x)

O número 3 é transferido para o primeiro lugar para conveniência dos cálculos, e você pode reduzir a fração em x 2, então obtemos uma expressão da forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2 x - x)

Responda: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2x-x).

Divisão

A divisão de frações é semelhante à multiplicação, pois a primeira fração é multiplicada pelo segundo inverso. Se tomarmos, por exemplo, a fração x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e dividirmos por 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, então isso pode ser escrito como

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) , então substitua por um produto da forma x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 pecado (2 x - x)

Exponenciação

Vamos passar a considerar a ação com frações de uma forma geral com exponenciação. Se houver um grau com um expoente natural, a ação é considerada como uma multiplicação de frações idênticas. Mas é recomendável usar uma abordagem geral baseada nas propriedades dos graus. Quaisquer expressões A e C, onde C não é identicamente igual a zero, e qualquer r real na ODZ para uma expressão da forma A C r, a igualdade A C r = A r C r é verdadeira. O resultado é uma fração elevada a uma potência. Por exemplo, considere:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

A ordem das operações com frações

As ações nas frações são executadas de acordo com certas regras. Na prática, notamos que uma expressão pode conter várias frações ou expressões fracionárias. Então é necessário executar todas as ações em uma ordem estrita: aumentar a uma potência, multiplicar, dividir, depois adicionar e subtrair. Se houver colchetes, a primeira ação é executada neles.

Exemplo 9

Calcule 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Solução

Como temos o mesmo denominador, então 1 - x cos x e 1 c o s x , mas é impossível subtrair de acordo com a regra, primeiro são realizadas as ações entre parênteses, após o que a multiplicação e depois a adição. Então, calculando, obtemos que

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Ao substituir a expressão na original, obtemos que 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Ao multiplicar frações, temos: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Tendo feito todas as substituições, obtemos 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Agora você precisa trabalhar com frações que têm denominadores diferentes. Nós temos:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Responda: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

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Instrução

Redução a um denominador comum.

Sejam dadas as frações a/b e c/d.

O numerador e denominador da primeira fração é multiplicado por LCM/b

O numerador e denominador da segunda fração é multiplicado por LCM/d

Um exemplo é mostrado na figura.

Para comparar frações, elas precisam ter um denominador comum e, em seguida, comparar os numeradores. Por exemplo, 3/4< 4/5, см. .

Adição e subtração de frações.

Para encontrar a soma de duas frações ordinárias, elas devem ser reduzidas a um denominador comum e, em seguida, somar os numeradores, o denominador permanece inalterado. Um exemplo de adição de frações 1/2 e 1/3 é mostrado na figura.

A diferença das frações é encontrada de forma semelhante, após encontrar o denominador comum, os numeradores das frações são subtraídos, veja a figura.

Ao multiplicar frações ordinárias, os numeradores e denominadores são multiplicados juntos.

Para dividir duas frações, você precisa de uma fração da segunda fração, ou seja, mude seu numerador e denominador e, em seguida, multiplique as frações resultantes.

Vídeos relacionados

Fontes:

• frações grau 5 por exemplo
• Tarefas básicas para frações

Módulo representa o valor absoluto da expressão. Os parênteses são usados ​​para designar um módulo. Os valores contidos neles são tomados módulo. A solução do módulo é abrir parênteses de acordo com certas regras e encontrar o conjunto de valores da expressão. Na maioria dos casos, um módulo é expandido de tal forma que a expressão do submódulo assume uma série de valores positivos e negativos, incluindo zero. Com base nessas propriedades do módulo, outras equações e desigualdades da expressão original são compiladas e resolvidas.

Instrução

Escreva a equação original com . Para isso, abra o módulo. Considere cada expressão de submódulo. Determine em qual valor das incógnitas incluídas nele, a expressão entre colchetes modulares se anula.

Para fazer isso, iguale a expressão do submódulo a zero e encontre a equação resultante. Anote os valores encontrados. Da mesma forma, determine os valores da variável desconhecida para cada módulo na equação dada.

Desenhe uma reta numérica e plote os valores resultantes nela. Os valores da variável no módulo zero servirão como restrições na resolução da equação modular.

Na equação original, você precisa expandir os modulares, alterando o sinal para que os valores da variável correspondam aos exibidos na reta numérica. Resolva a equação resultante. Verifique o valor encontrado da variável em relação à restrição definida pelo módulo. Se a solução satisfaz a condição, ela é verdadeira. Raízes que não satisfaçam as restrições devem ser descartadas.

Da mesma forma, expanda os módulos da expressão original, levando em consideração o sinal, e calcule as raízes da equação resultante. Escreva todas as raízes obtidas que satisfazem as desigualdades das restrições.

Os números fracionários permitem que você expresse o valor exato de uma quantidade de diferentes maneiras. Com frações, você pode realizar as mesmas operações matemáticas que com números inteiros: subtração, adição, multiplicação e divisão. Para aprender a decidir frações, é necessário lembrar algumas de suas características. Eles dependem do tipo frações, a presença de uma parte inteira, um denominador comum. Algumas operações aritméticas após a execução requerem redução da parte fracionária do resultado.

Você vai precisar

• - calculadora

Instrução

Observe atentamente os números. Se houver decimais e irregulares entre as frações, às vezes é mais conveniente executar primeiro ações com decimais e depois convertê-los para a forma errada. Você pode traduzir frações nesta forma inicialmente, escrevendo o valor após a vírgula no numerador e colocando 10 no denominador. Se necessário, reduza a fração dividindo os números acima e abaixo por um divisor. Frações em que a parte inteira se destaca, levam à forma errada, multiplicando-a pelo denominador e adicionando o numerador ao resultado. Este valor se tornará o novo numerador frações. Para extrair a parte inteira do inicialmente incorreto frações, divida o numerador pelo denominador. Escreva todo o resultado de frações. E o resto da divisão se torna o novo numerador, o denominador frações enquanto não muda. Para frações com parte inteira, é possível realizar ações separadamente, primeiro para o inteiro e depois para as partes fracionárias. Por exemplo, a soma de 1 2/3 e 2 ¾ pode ser calculada:
- Convertendo frações para a forma errada:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Soma separadamente de partes inteiras e fracionárias de termos:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Para com valores abaixo da linha, encontre o denominador comum. Por exemplo, para 5/9 e 7/12, o denominador comum será 36. Para isso, o numerador e o denominador do primeiro frações você precisa multiplicar por 4 (será 28/36) e o segundo - por 3 (será 15/36). Agora você pode fazer os cálculos.

Se você for calcular a soma ou diferença de frações, primeiro anote o denominador comum encontrado abaixo da linha. Execute as ações necessárias entre os numeradores e escreva o resultado acima da nova linha frações. Assim, o novo numerador será a diferença ou a soma dos numeradores das frações originais.

Para calcular o produto de frações, multiplique os numeradores das frações e escreva o resultado no lugar do numerador da fração final. frações. Faça o mesmo para os denominadores. Ao dividir um frações escreva uma fração na outra e multiplique seu numerador pelo denominador da segunda. Ao mesmo tempo, o denominador do primeiro frações multiplicado de acordo com o numerador do segundo. Ao mesmo tempo, uma espécie de inversão do segundo frações(divisor). A fração final será a partir dos resultados da multiplicação dos numeradores e denominadores de ambas as frações. Fácil de aprender frações, escrito na condição na forma de um "quatro andares" frações. Se separar dois frações, reescreva-os com um delimitador ":" e continue com a divisão normal.

Para obter o resultado final, reduza a fração resultante dividindo o numerador e o denominador por um número inteiro, o maior possível neste caso. Nesse caso, deve haver números inteiros acima e abaixo da linha.

Nota

Não faça aritmética com frações que têm denominadores diferentes. Escolha um número tal que, quando o numerador e o denominador de cada fração forem multiplicados por ele, como resultado, os denominadores de ambas as frações sejam iguais.

Conselho útil

Ao escrever números fracionários, o dividendo é escrito acima da linha. Essa quantidade é chamada de numerador de uma fração. Sob a linha, o divisor, ou denominador, da fração está escrito. Por exemplo, um quilo e meio de arroz na forma de fração será escrito da seguinte forma: 1 ½ kg de arroz. Se o denominador de uma fração for 10, ela é chamada de fração decimal. Nesse caso, o numerador (dividendo) é escrito à direita da parte inteira separada por vírgula: 1,5 kg de arroz. Para conveniência dos cálculos, essa fração sempre pode ser escrita na forma errada: 1 2/10 kg de batatas. Para simplificar, você pode reduzir os valores do numerador e do denominador dividindo-os por um único número inteiro. Neste exemplo, é possível dividir por 2. O resultado é 1 1/5 kg de batatas. Certifique-se de que os números com os quais você fará aritmética estão na mesma forma.

Instrução

Clique uma vez no item de menu "Inserir" e selecione o item "Símbolo". Esta é uma das maneiras mais fáceis de inserir frações para texto. Consiste no seguinte. O conjunto de caracteres prontos tem frações. O número geralmente é pequeno, mas se você precisar escrever ½, não 1/2 no texto, essa opção será a melhor para você. Além disso, o número de caracteres fracionários pode depender da fonte. Por exemplo, para a fonte Times New Roman, há um pouco menos frações do que para a mesma fonte Arial. Varie as fontes para encontrar a melhor opção quando se trata de expressões simples.

Clique no item de menu "Inserir" e selecione o subitem "Objeto". Você verá uma janela com uma lista de objetos possíveis para inserir. Escolha entre eles o Microsoft Equation 3.0. Este aplicativo irá ajudá-lo a digitar frações. E não só frações, mas também expressões matemáticas complexas contendo várias funções trigonométricas e outros elementos. Clique duas vezes neste objeto com o botão esquerdo do mouse. Você verá uma janela contendo muitos símbolos.

Para imprimir uma fração, selecione o símbolo que representa uma fração com numerador e denominador vazios. Clique nele uma vez com o botão esquerdo do mouse. Um menu adicional aparecerá, especificando o esquema do frações. Pode haver várias opções. Escolha o mais adequado para você e clique nele uma vez com o botão esquerdo do mouse.

Ações com frações. Neste artigo, vamos analisar exemplos, tudo é detalhado com explicações. Vamos considerar frações ordinárias. No futuro, vamos analisar decimais. Recomendo assistir o todo e estudar sequencialmente.

1. Soma de frações, diferença de frações.

Regra: ao adicionar frações com denominadores iguais, o resultado é uma fração - cujo denominador permanece o mesmo e seu numerador será igual à soma dos numeradores das frações.

Regra: ao calcular a diferença de frações com os mesmos denominadores, obtemos uma fração - o denominador permanece o mesmo e o numerador da segunda é subtraído do numerador da primeira fração.

Notação formal da soma e diferença de frações com denominadores iguais:

Exemplos (1):

É claro que, quando as frações ordinárias são dadas, tudo é simples, mas se elas forem misturadas? Nada complicado...

Opção 1- você pode convertê-los em ordinários e depois calculá-los.

opção 2- você pode "trabalhar" separadamente com as partes inteiras e fracionárias.

Exemplos (2):

Ainda:

E se a diferença de duas frações mistas for dada e o numerador da primeira fração for menor que o numerador da segunda? Também pode ser feito de duas maneiras.

Exemplos (3):

* Traduzida em frações ordinárias, calculada a diferença, convertida a fração imprópria resultante em mista.

* Dividido em partes inteiras e fracionárias, obteve três, então apresentou 3 como a soma de 2 e 1, com a unidade apresentada como 11/11, então encontrou a diferença entre 11/11 e 11/7 e calculou o resultado. O significado das transformações acima é pegar (selecionar) uma unidade e apresentá-la como uma fração com o denominador que precisamos, então dessa fração já podemos subtrair outra.

Outro exemplo:

Conclusão: existe uma abordagem universal - para calcular a soma (diferença) de frações mistas com denominadores iguais, elas sempre podem ser convertidas em impróprias e, em seguida, realizar a ação necessária. Depois disso, se como resultado obtivermos uma fração imprópria, a traduzimos para uma mista.

Acima, vimos exemplos com frações que têm denominadores iguais. E se os denominadores forem diferentes? Nesse caso, as frações são reduzidas ao mesmo denominador e a ação especificada é executada. Para alterar (transformar) uma fração, a propriedade principal da fração é usada.

Considere exemplos simples:

Nestes exemplos, vemos imediatamente como uma das frações pode ser convertida para obter denominadores iguais.

Se designarmos maneiras de reduzir frações a um denominador, então este será chamado MÉTODO UM.

Ou seja, imediatamente ao “avaliar” a fração, você precisa descobrir se tal abordagem funcionará - verificamos se o denominador maior é divisível pelo menor. E se for dividido, realizamos a transformação - multiplicamos o numerador e o denominador para que os denominadores de ambas as frações se tornem iguais.

Agora veja estes exemplos:

Essa abordagem não se aplica a eles. Existem outras maneiras de reduzir frações a um denominador comum, considere-as.

Método SEGUNDO.

Multiplique o numerador e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda, e o numerador e o denominador da segunda fração pelo denominador da primeira:

*Na verdade, trazemos frações para a forma quando os denominadores se tornam iguais. Em seguida, usamos a regra de adicionar tímido com denominadores iguais.

Exemplo:

*Esse método pode ser chamado de universal e sempre funciona. O único aspecto negativo é que, após os cálculos, pode resultar uma fração que precisará ser reduzida ainda mais.

Considere um exemplo:

Pode-se ver que o numerador e o denominador são divisíveis por 5:

Método TERCEIRO.

Encontre o mínimo múltiplo comum (MLC) dos denominadores. Este será o denominador comum. Qual é esse número? Este é o menor número natural que é divisível por cada um dos números.

Olha, aqui estão dois números: 3 e 4, há muitos números que são divisíveis por eles - estes são 12, 24, 36, ... O menor deles é 12. Ou 6 e 15, 30, 60, 90 são divisível por eles .... Mínimo 30. Pergunta - como determinar este mínimo múltiplo comum?

Existe um algoritmo claro, mas muitas vezes isso pode ser feito imediatamente sem cálculos. Por exemplo, de acordo com os exemplos acima (3 e 4, 6 e 15), nenhum algoritmo é necessário, pegamos números grandes (4 e 15), os dobramos e vimos que eles são divisíveis pelo segundo número, mas pares de números podem ser outros, como 51 e 119.

Algoritmo. Para determinar o mínimo múltiplo comum de vários números, você deve:

- decompor cada um dos números em fatores SIMPLES

- escreva a decomposição do MAIOR deles

- multiplique pelos fatores FALTANTES de outros números

Considere exemplos:

50 e 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

na expansão de um número maior, falta um cinco

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 e 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

na expansão de um número maior, faltam dois e três

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* O mínimo múltiplo comum de dois números primos é igual ao seu produto

Pergunta! E por que é útil encontrar o mínimo múltiplo comum, porque você pode usar o segundo método e simplesmente reduzir a fração resultante? Sim, você pode, mas nem sempre é conveniente. Veja qual será o denominador para os números 48 e 72 se você simplesmente multiplicá-los 48∙72 = 3456. Concorde que é mais agradável trabalhar com números menores.

Considere exemplos:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

na expansão de um número maior, falta um triplo

=> LCM(51.119) = 3∙7∙17

E agora aplicamos o primeiro método:

* Veja a diferença nos cálculos, no primeiro caso há um mínimo deles, e no segundo você precisa trabalhar separadamente em um pedaço de papel, e até a fração que você obteve precisa ser reduzida. Encontrar o LCM simplifica consideravelmente o trabalho.

Mais exemplos:

* No segundo exemplo, já fica claro que o menor número divisível por 40 e 60 é 120.

TOTAL! ALGORITMO DE CÁLCULO GERAL!

- trazemos frações para as ordinárias, se houver uma parte inteira.

- trazemos as frações para um denominador comum (primeiro olhamos para ver se um denominador é divisível por outro, se é divisível, depois multiplicamos o numerador e o denominador dessa outra fração; se não for divisível, agimos usando o outros métodos indicados acima).

- tendo recebido frações com denominadores iguais, realizamos ações (adição, subtração).

- se necessário, reduzimos o resultado.

- se necessário, selecione a peça inteira.

2. Produto de frações.

A regra é simples. Ao multiplicar frações, seus numeradores e denominadores são multiplicados:

Exemplos: