A geometria é uma ciência muito multifacetada. Desenvolve a lógica, a imaginação e a inteligência. Claro, devido à sua complexidade e ao grande número de teoremas e axiomas, os alunos nem sempre gostam. Além disso, é necessário provar constantemente suas conclusões usando padrões e regras geralmente aceitos.

Ângulos adjacentes e verticais são parte integrante da geometria. Certamente muitos alunos simplesmente os adoram porque suas propriedades são claras e fáceis de provar.

Formação de cantos

Qualquer ângulo é formado pela interseção de duas linhas ou pelo desenho de dois raios de um ponto. Eles podem ser chamados de uma ou três letras, que designam sucessivamente os pontos de construção do canto.

Os ângulos são medidos em graus e podem (dependendo do seu valor) ser chamados de forma diferente. Portanto, existe um ângulo reto, agudo, obtuso e desdobrado. Cada um dos nomes corresponde a uma determinada medida de grau ou seu intervalo.

Um ângulo agudo é um ângulo cuja medida não excede 90 graus.

Um ângulo obtuso é um ângulo maior que 90 graus.

Um ângulo é dito reto quando sua medida é 90.

No caso em que é formado por uma linha reta contínua, e sua medida de grau é 180, é denominado desdobrado.

Ângulos que têm um lado comum, cujo segundo lado continua um ao outro, são chamados de adjacentes. Elas podem ser afiadas ou rombas. A interseção da linha forma ângulos adjacentes. Suas propriedades são as seguintes:

1. A soma desses ângulos será igual a 180 graus (há um teorema que prova isso). Portanto, um deles pode ser facilmente calculado se o outro for conhecido.
2. Segue-se do primeiro ponto que os ângulos adjacentes não podem ser formados por dois ângulos obtusos ou dois agudos.

Graças a essas propriedades, sempre se pode calcular a medida em grau de um ângulo dado o valor de outro ângulo, ou pelo menos a razão entre eles.

Ângulos verticais

Ângulos cujos lados são continuações um do outro são chamados de verticais. Qualquer uma de suas variedades pode atuar como um par. Os ângulos verticais são sempre iguais entre si.

Eles são formados quando as linhas se cruzam. Junto com eles, os cantos adjacentes estão sempre presentes. Um ângulo pode ser adjacente para um e vertical para o outro.

Ao cruzar uma linha arbitrária, vários outros tipos de ângulos também são considerados. Essa linha é chamada de secante e forma os ângulos correspondentes, unilaterais e cruzados. Eles são iguais entre si. Eles podem ser vistos à luz das propriedades que os ângulos verticais e adjacentes possuem.

Assim, o tema dos cantos parece ser bastante simples e compreensível. Todas as suas propriedades são fáceis de lembrar e provar. Resolver problemas não é difícil desde que os ângulos correspondam a um valor numérico. Além disso, quando o estudo do pecado e do cos começar, você terá que memorizar muitas fórmulas complexas, suas conclusões e consequências. Até lá, você pode apenas desfrutar de quebra-cabeças fáceis nos quais você precisa encontrar cantos adjacentes.

CAPÍTULO I.

CONCEITOS BÁSICOS.

§onze. ÂNGULOS ADJACENTES E VERTICAIS.

1. Cantos adjacentes.

Se continuarmos o lado de algum canto além de seu vértice, obteremos dois cantos (Fig. 72): / Um sol e / SVD, em que um lado BC é comum e os outros dois AB e BD formam uma linha reta.

Dois ângulos que têm um lado em comum e os outros dois formam uma linha reta são chamados de ângulos adjacentes.

Os ângulos adjacentes também podem ser obtidos desta maneira: se desenharmos um raio de algum ponto em uma linha reta (não em uma determinada linha reta), obteremos ângulos adjacentes.
Por exemplo, / ADF e / FDВ - cantos adjacentes (Fig. 73).

Os cantos adjacentes podem ter uma grande variedade de posições (Fig. 74).

Ângulos adjacentes somam um ângulo reto, então a umma de dois ângulos adjacentes é 2d.

Assim, um ângulo reto pode ser definido como um ângulo igual ao seu ângulo adjacente.

Conhecendo o valor de um dos ângulos adjacentes, podemos encontrar o valor do outro ângulo adjacente.

Por exemplo, se um dos ângulos adjacentes for 3/5 d, então o segundo ângulo será igual a:

2d- 3 / 5 d= 2/5 d.

2. Ângulos verticais.

Se estendermos os lados de um ângulo além de seu vértice, obtemos ângulos verticais. No desenho 75, os ângulos EOF e AOC são verticais; os ângulos AOE e COF também são verticais.

Dois ângulos são chamados de verticais se os lados de um ângulo são extensões dos lados do outro ângulo.

Deixar / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Adjacente a ele / 2 será igual a 2 d- 7 / 8 d, ou seja, 1 1/8 d.

Da mesma forma, você pode calcular o que são iguais a / 3 e / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Nós vemos que / 1 = / 3 e / 2 = / 4.

Você pode resolver vários outros dos mesmos problemas e, a cada vez, obtém o mesmo resultado: os ângulos verticais são iguais entre si.

No entanto, para garantir que os ângulos verticais sejam sempre iguais entre si, não basta considerar exemplos numéricos individuais, pois as conclusões tiradas de exemplos particulares às vezes podem ser errôneas.

É necessário verificar a validade da propriedade dos ângulos verticais pelo raciocínio, pela prova.

A prova pode ser realizada da seguinte forma (Fig. 78):

/ um +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(uma vez que a soma dos ângulos adjacentes é 2 d).

/ um +/ c = / b+/ c

(uma vez que o lado esquerdo desta igualdade é igual a 2 d, e seu lado direito também é igual a 2 d).

Esta igualdade inclui o mesmo ângulo Com.

Se subtrairmos igualmente de valores iguais, então permanecerá igual. O resultado será: / uma = / b, ou seja, os ângulos verticais são iguais entre si.

Ao considerar a questão dos ângulos verticais, explicamos primeiro quais ângulos são chamados de verticais, ou seja, demos definição cantos verticais.

Então fizemos um julgamento (declaração) sobre a igualdade dos ângulos verticais e ficamos convencidos da validade desse julgamento por prova. Tais julgamentos, cuja validade deve ser provada, são chamados teoremas. Assim, nesta seção demos a definição de ângulos verticais, e também enunciámos e provamos um teorema sobre a sua propriedade.

No futuro, ao estudar geometria, teremos que nos deparar constantemente com definições e provas de teoremas.

3. A soma dos ângulos que têm um vértice comum.

No desenho 79 / 1, / 2, / 3 e / 4 estão localizados do mesmo lado de uma reta e têm um vértice comum nesta reta. Em suma, esses ângulos formam um ângulo reto, ou seja,
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

No desenho 80 / 1, / 2, / 3, / 4 e / 5 têm um topo comum. Em suma, esses ângulos formam um ângulo completo, ou seja, / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exercícios.

1. Um dos ângulos adjacentes é 0,72 d. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos adjacentes.

2. Prove que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes formam um ângulo reto.

3. Prove que se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes também são iguais.

4. Quantos pares de cantos adjacentes estão no desenho 81?

5. Um par de ângulos adjacentes pode consistir em dois ângulos agudos? de dois cantos obtusos? de ângulos retos e obtusos? de um ângulo reto e agudo?

6. Se um dos ângulos adjacentes for reto, o que pode ser dito sobre o valor do ângulo adjacente a ele?

7. Se na intersecção de duas retas há um ângulo reto, então o que se pode dizer sobre o tamanho dos outros três ângulos?

Lição 8 Dois ângulos são chamados de verticais se os lados de um ângulo são uma extensão dos lados do outro. TEOREMA. Os ângulos verticais são iguais. Prova: = = 180 Similar = = = 3 2 = 4 Resolução de problemas: 64, 66 Trabalho de casa: itens 11, 66, 67

Ditado matemático. 1 opção. 1. Complete a frase: “Se os ângulos 1 e 2 são adjacentes, então sua soma...” 2. O ângulo adjacente ao ângulo de 30 graus será agudo, obtuso ou reto? 3. A soma de dois ângulos é 180 graus. Esses ângulos precisam ser adjacentes? 4. As linhas AM e CE se cruzam no ponto O, que fica entre elas. Isso resultou em ângulos verticais? Se sim, por favor, nomeie-os. 5. Qual é o ângulo se o ângulo vertical com ele for de 34 graus? 6. Um dos quatro ângulos resultantes da interseção de duas linhas retas é de 140 graus. Quais são os outros ângulos? 7. Dois cantos têm um vértice comum, o primeiro canto tem 40 graus, o segundo tem 140 graus. Esses cantos são verticais? Opção 2. 1. Complete a frase: “Dois ângulos são chamados de adjacentes se um lado é comum e o outro...” 2. O ângulo adjacente ao ângulo de 130 graus será agudo, obtuso ou reto? 3. A soma de dois ângulos com um lado comum de 180 graus. Esses ângulos precisam ser adjacentes? 4. O aluno construiu 2 cantos verticais. Em quantos pares de linhas retas isso resultou? 5. Dois cantos têm um vértice comum, cada um desses cantos é igual a 60 graus. Esses ângulos precisam ser verticais? 6. Um dos quatro ângulos resultantes da interseção de duas retas é de 80 graus. Quais são os outros ângulos? 7. Qual é o ângulo se o ângulo vertical com ele for de 120 graus?

Respostas. 1. Igual a 180 graus 2. Ângulo obtuso 3. Não 4. Ângulos AOC e EOM, AOE e COM graus e 40 graus 7. Sim 1. Raios adicionais 2. Ângulo agudo 3. Não 4. Um par 5. Não e 100 graus graus