Elevando um inteiro negativo a uma potência negativa. Como elevar um número a uma potência negativa - exemplos com descrição no Excel

O expoente é usado para facilitar a escrita da operação de multiplicar um número por ele mesmo. Por exemplo, em vez de escrever, você pode escrever 4 5 (\displaystyle 4^(5))(uma explicação de tal transição é dada na primeira seção deste artigo). As potências facilitam a escrita de expressões ou equações longas ou complexas; Além disso, as potências são facilmente adicionadas e subtraídas, resultando em uma simplificação de uma expressão ou equação (por exemplo, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Observação: se você precisar resolver uma equação exponencial (em tal equação, a incógnita está no expoente), leia.

Passos

Resolvendo problemas simples com poderes

Multiplique a base do expoente por ele mesmo um número de vezes igual ao expoente. Se você precisar resolver um problema com expoentes manualmente, reescreva o expoente como uma operação de multiplicação, onde a base do expoente é multiplicada por si mesma. Por exemplo, dado o grau 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Neste caso, a base do grau 3 deve ser multiplicada por ela mesma 4 vezes: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Aqui estão outros exemplos:

Primeiro, multiplique os dois primeiros números. Por exemplo, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Não se preocupe - o processo de cálculo não é tão complicado quanto parece à primeira vista. Primeiro multiplique os dois primeiros quádruplos e, em seguida, substitua-os pelo resultado. Assim:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

Multiplique o resultado (16 em nosso exemplo) pelo próximo número. Cada resultado subsequente aumentará proporcionalmente. Em nosso exemplo, multiplique 16 por 4. Assim:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Continue multiplicando o resultado da multiplicação dos dois primeiros números pelo próximo número até obter a resposta final. Para fazer isso, multiplique os dois primeiros números e, em seguida, multiplique o resultado pelo próximo número na sequência. Este método é válido para qualquer grau. Em nosso exemplo, você deve obter: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Resolva os seguintes problemas. Verifique sua resposta com uma calculadora.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
Na calculadora, procure a tecla "exp" ou " x n (\displaystyle x^(n))", ou "^". Com esta tecla você elevará um número a uma potência. É praticamente impossível calcular manualmente o grau com um expoente grande (por exemplo, o grau 9 15 (\displaystyle 9^(15))), mas a calculadora pode facilmente lidar com essa tarefa. No Windows 7, a calculadora padrão pode ser alternada para o modo de engenharia; para fazer isso, clique em "Exibir" -\u003e "Engenharia". Para alternar para o modo normal, clique em "Visualizar" -\u003e "Normal".
- Verifique a resposta recebida usando um mecanismo de pesquisa (Google ou Yandex). Usando a tecla "^" no teclado do computador, digite a expressão no mecanismo de busca, que exibirá instantaneamente a resposta correta (e possivelmente sugerirá expressões semelhantes para estudo).
Adição, subtração, multiplicação de potências
1. Você pode adicionar e subtrair potências somente se elas tiverem a mesma base. Se você precisar adicionar potências com as mesmas bases e expoentes, poderá substituir a operação de adição por uma operação de multiplicação. Por exemplo, dada a expressão 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Lembre-se que o grau 4 5 (\displaystyle 4^(5)) pode ser representado como 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); portanto, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(onde 1 +1 = 2). Ou seja, conte o número de graus semelhantes e multiplique esse grau por esse número. Em nosso exemplo, eleve 4 à quinta potência e multiplique o resultado por 2. Lembre-se de que a operação de adição pode ser substituída por uma operação de multiplicação, por exemplo, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Aqui estão outros exemplos:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. Ao multiplicar potências com a mesma base, seus expoentes são somados (a base não muda). Por exemplo, dada a expressão x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Nesse caso, você só precisa adicionar os indicadores, deixando a base inalterada. Por isso, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Aqui está uma explicação visual desta regra:
  
  Ao elevar uma potência a uma potência, os expoentes são multiplicados. Por exemplo, dado um diploma. Como os expoentes são multiplicados, então (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). O significado desta regra é que você multiplica o poder (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sobre si mesmo cinco vezes. Assim:
  - (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Como a base é a mesma, os expoentes simplesmente se somam: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Um expoente com um expoente negativo deve ser convertido em uma fração (na potência inversa). Não importa se você não sabe o que é uma recíproca. Se você receber um diploma com um expoente negativo, por exemplo, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), escreva essa potência no denominador da fração (coloque 1 no numerador) e torne o expoente positivo. Em nosso exemplo: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))). Aqui estão outros exemplos:
  
  Ao dividir potências com a mesma base, seus expoentes são subtraídos (a base não muda). A operação de divisão é o oposto da operação de multiplicação. Por exemplo, dada a expressão 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Subtraia o expoente no denominador do expoente no numerador (não altere a base). Por isso, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - O grau no denominador pode ser escrito da seguinte forma: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2))))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Lembre-se que uma fração é um número (potência, expressão) com um expoente negativo.
4. Abaixo estão algumas expressões para ajudá-lo a aprender como resolver problemas de energia. As expressões acima cobrem o material apresentado nesta seção. Para ver a resposta, basta destacar o espaço vazio após o sinal de igual.
Resolvendo problemas com expoentes fracionários
1. Se o expoente for uma fração imprópria, então tal expoente pode ser decomposto em duas potências para simplificar a solução do problema. Não há nada complicado nisso - apenas lembre-se da regra para multiplicar potências. Por exemplo, dado um diploma. Transforme esse expoente em uma raiz cujo expoente seja igual ao denominador do expoente fracionário e, em seguida, eleve essa raiz ao expoente igual ao numerador do expoente fracionário. Para fazer isso, lembre-se que 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3))))*5). Em nosso exemplo:
  - x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
  - x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
  - x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
2. Algumas calculadoras têm um botão para calcular os expoentes (primeiro você precisa inserir a base, depois pressionar o botão e depois inserir o expoente). É denotado como ^ ou x^y.
3. Lembre-se de que qualquer número é igual a si mesmo à primeira potência, por exemplo, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Além disso, qualquer número multiplicado ou dividido por um é igual a si mesmo, por exemplo, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) e 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
4. Saiba que o grau 0 0 não existe (tal grau não tem solução). Ao tentar resolver esse grau em uma calculadora ou em um computador, você receberá um erro. Mas lembre-se que qualquer número elevado a zero é igual a 1, por exemplo, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
5. Na matemática superior, que opera com números imaginários: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Onde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e é uma constante aproximadamente igual a 2,7; a é uma constante arbitrária. A prova dessa igualdade pode ser encontrada em qualquer livro de matemática superior.
- À medida que o expoente aumenta, seu valor aumenta muito. Portanto, se a resposta parece errada para você, na verdade pode ser verdade. Você pode verificar isso plotando qualquer função exponencial, como 2 x .

Descobrimos qual é o grau de um número em geral. Agora precisamos entender como calculá-lo corretamente, ou seja, elevar os números a potências. Neste material, analisaremos as regras básicas para calcular o grau no caso de um expoente inteiro, natural, fracionário, racional e irracional. Todas as definições serão ilustradas com exemplos.

Yandex.RTB R-A-339285-1

O conceito de exponenciação

Vamos começar com a formulação de definições básicas.

Definição 1

Exponenciaçãoé o cálculo do valor da potência de algum número.

Ou seja, as palavras "cálculo do valor do grau" e "exponenciação" significam a mesma coisa. Assim, se a tarefa for "Elevar o número 0 , 5 à quinta potência", isso deve ser entendido como "calcular o valor da potência (0 , 5) 5 .

Agora damos as regras básicas que devem ser seguidas em tais cálculos.

Lembre-se do que é uma potência de um número com um expoente natural. Para uma potência com base a e expoente n, este será o produto do enésimo número de fatores, cada um dos quais é igual a a. Isso pode ser escrito assim:

Para calcular o valor do grau, você precisa realizar a operação de multiplicação, ou seja, multiplicar as bases do grau pelo número especificado de vezes. O próprio conceito de um diploma com um indicador natural é baseado na capacidade de se multiplicar rapidamente. Vamos dar exemplos.

Exemplo 1

Condição: Eleve - 2 à potência de 4 .

Decisão

Usando a definição acima, escrevemos: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Em seguida, basta seguir estes passos e obter 16 .

Vamos a um exemplo mais complicado.

Exemplo 2

Calcular o valor 3 2 7 2

Decisão

Esta entrada pode ser reescrita como 3 2 7 · 3 2 7 . Anteriormente, vimos como multiplicar corretamente os números mistos mencionados na condição.

Execute estes passos e obtenha a resposta: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Se a tarefa indicar a necessidade de elevar números irracionais a uma potência natural, precisaremos primeiro arredondar suas bases para um dígito que nos permita obter uma resposta com a precisão desejada. Vamos dar um exemplo.

Exemplo 3

Efetue o quadrado do número π .

Decisão

Vamos arredondar para centésimos primeiro. Então π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Se π ≈ 3 . 14159, obteremos um resultado mais preciso: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Observe que a necessidade de calcular as potências dos números irracionais na prática surge relativamente raramente. Podemos então escrever a resposta como a própria potência (ln 6) 3 ou converter se possível: 5 7 = 125 5 .

Separadamente, deve ser indicado qual é a primeira potência de um número. Aqui você pode apenas lembrar que qualquer número elevado à primeira potência permanecerá ele mesmo:

Isso fica claro no registro. .

Não depende da base do grau.

Exemplo 4

Assim, (− 9) 1 = − 9 , e 7 3 elevado à primeira potência permanece igual a 7 3 .

Por conveniência, analisaremos três casos separadamente: se o expoente for um inteiro positivo, se for zero e se for um inteiro negativo.

No primeiro caso, isso é o mesmo que elevar a uma potência natural: afinal, os inteiros positivos pertencem ao conjunto dos números naturais. Já descrevemos como trabalhar com esses graus acima.

Agora vamos ver como aumentar corretamente para a potência zero. Com uma base diferente de zero, esse cálculo sempre produz uma saída de 1 . Já explicamos anteriormente que a potência 0 de a pode ser definida para qualquer número real diferente de 0 e a 0 = 1.

Exemplo 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - não definido.

Resta-nos apenas o caso de um grau com um expoente inteiro negativo. Já discutimos que tais graus podem ser escritos como uma fração 1 a z, onde a é qualquer número e z é um inteiro negativo. Vemos que o denominador dessa fração nada mais é do que um grau ordinário com um inteiro positivo, e já aprendemos a calculá-lo. Vamos dar exemplos de tarefas.

Exemplo 6

Eleve 3 à potência de -2.

Decisão

Usando a definição acima, escrevemos: 2 - 3 = 1 2 3

Calculamos o denominador dessa fração e obtemos 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Então a resposta é: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplo 7

Eleve 1, 43 à potência -2.

Decisão

Reformule: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculamos o quadrado no denominador: 1,43 1,43. Os decimais podem ser multiplicados desta forma:

Como resultado, temos (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Resta-nos escrever este resultado na forma de uma fração ordinária, para a qual é necessário multiplicá-lo por 10 mil (veja o material sobre a conversão de frações).

Resposta: (1, 43) - 2 = 10.000 20.449

Um caso separado é elevar um número à primeira potência menos. O valor de tal grau é igual ao número oposto ao valor original da base: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemplo 8

Exemplo: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Como elevar um número a uma potência fracionária

Para realizar tal operação, precisamos lembrar a definição básica de um grau com um expoente fracionário: a m n \u003d a m n para qualquer a positivo, inteiro m e n natural.

Definição 2

Assim, o cálculo de um grau fracionário deve ser realizado em duas etapas: elevando a uma potência inteira e encontrando a raiz do enésimo grau.

Temos a igualdade a m n = a m n , que, dadas as propriedades das raízes, costuma ser usada para resolver problemas na forma a m n = a n m . Isso significa que, se elevarmos o número a a uma potência fracionária m / n, primeiro extraímos a raiz do enésimo grau de a, depois elevamos o resultado a uma potência com um expoente inteiro m.

Vamos ilustrar com um exemplo.

Exemplo 9

Calcule 8 - 2 3 .

Decisão

Método 1. De acordo com a definição básica, podemos representar isso como: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Agora vamos calcular o grau sob a raiz e extrair a terceira raiz do resultado: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Método 2. Vamos transformar a igualdade básica: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Depois disso, extraímos a raiz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 e elevamos o resultado ao quadrado: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vemos que as soluções são idênticas. Você pode usar da maneira que quiser.

Há casos em que o grau tem um indicador expresso em número misto ou fração decimal. Para facilitar o cálculo, é melhor substituí-lo por uma fração ordinária e contar conforme indicado acima.

Exemplo 10

Eleve 44,89 à potência de 2,5.

Decisão

Vamos converter o valor do indicador em uma fração comum - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

E agora realizamos todas as ações indicadas acima na ordem: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Resposta: 13501, 25107.

Se houver números grandes no numerador e denominador de um expoente fracionário, calcular esses expoentes com expoentes racionais é um trabalho bastante difícil. Geralmente requer tecnologia de computador.

Separadamente, nos debruçamos sobre o grau com base zero e um expoente fracionário. Uma expressão da forma 0 m n pode ter o seguinte significado: se m n > 0, então 0 m n = 0 m n = 0 ; se m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Como elevar um número a uma potência irracional

A necessidade de calcular o valor do grau, no indicador do qual existe um número irracional, não surge com tanta frequência. Na prática, a tarefa geralmente se limita a calcular um valor aproximado (até um certo número de casas decimais). Isso geralmente é calculado em um computador devido à complexidade de tais cálculos; portanto, não nos aprofundaremos nisso, indicaremos apenas as principais disposições.

Se precisarmos calcular o valor do grau a com um expoente irracional a , pegamos a aproximação decimal do expoente e contamos a partir dela. O resultado será uma resposta aproximada. Quanto mais precisa for a aproximação decimal tomada, mais precisa será a resposta. Vamos mostrar com um exemplo:

Exemplo 11

Calcule um valor aproximado de 21 , 174367 ....

Decisão

Restringimo-nos à aproximação decimal a n = 1 , 17 . Vamos fazer os cálculos usando este número: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Se tomarmos, por exemplo, a aproximação a n = 1 , 1743 , então a resposta será um pouco mais precisa: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

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Primeiro nível

Grau e suas propriedades. Guia Completo (2019)

Por que os graus são necessários? Onde você precisa deles? Por que você precisa gastar tempo estudando-os?

Para saber tudo sobre diplomas, para que servem, como usar seus conhecimentos no dia a dia, leia este artigo.

E, claro, conhecer os diplomas o aproximará de passar com sucesso no OGE ou no Exame Estadual Unificado e entrar na universidade dos seus sonhos.

Vamos vamos!)

Nota importante! Se em vez de fórmulas você vir sem sentido, limpe seu cache. Para fazer isso, pressione CTRL+F5 (no Windows) ou Cmd+R (no Mac).

PRIMEIRO NÍVEL

A exponenciação é a mesma operação matemática da adição, subtração, multiplicação ou divisão.

Agora vou explicar tudo em linguagem humana usando exemplos muito simples. Preste atenção. Os exemplos são elementares, mas explicam coisas importantes.

Vamos começar com a adição.

Não há nada para explicar aqui. Você já sabe de tudo: somos oito. Cada um tem duas garrafas de cola. Quanta cola? Isso mesmo - 16 garrafas.

Agora multiplicação.

O mesmo exemplo com cola pode ser escrito de uma maneira diferente: . Os matemáticos são pessoas astutas e preguiçosas. Eles primeiro percebem alguns padrões e, em seguida, criam uma maneira de “contá-los” mais rapidamente. No nosso caso, eles perceberam que cada uma das oito pessoas tinha o mesmo número de garrafas de refrigerante e criaram uma técnica chamada multiplicação. Concordo, é considerado mais fácil e rápido do que.

Então, para contar mais rápido, fácil e sem erros, você só precisa lembrar tabela de multiplicação. Claro, você pode fazer tudo mais devagar, mais difícil e com erros! Mas…

Aqui está a tabuada de multiplicação. Repetir.

E outra mais bonita:

E que outros truques de contagem complicados os matemáticos preguiçosos inventaram? Corretamente - elevando um número a uma potência.

Elevar um número a uma potência

Se você precisa multiplicar um número por ele mesmo cinco vezes, os matemáticos dizem que você precisa elevar esse número à quinta potência. Por exemplo, . Os matemáticos lembram que dois à quinta potência é. E eles resolvem esses problemas em sua mente - mais rápido, mais fácil e sem erros.

Para fazer isso, você só precisa lembre-se do que está destacado em cores na tabela de potências dos números. Acredite, isso facilitará muito a sua vida.

A propósito, por que o segundo grau é chamado quadrado números e o terceiro cubo? O que isso significa? Uma pergunta muito boa. Agora você terá quadrados e cubos.

Exemplo da vida real #1

Vamos começar com um quadrado ou a segunda potência de um número.

Imagine uma piscina quadrada medindo metros por metros. A piscina fica no seu quintal. Está quente e eu realmente quero nadar. Mas... uma piscina sem fundo! É necessário cobrir o fundo da piscina com telhas. Quantas telhas você precisa? Para determinar isso, você precisa conhecer a área do fundo da piscina.

Você pode contar simplesmente cutucando o dedo que o fundo da piscina é composto por cubos metro a metro. Se suas telhas forem metro a metro, você precisará de peças. É fácil... Mas onde você viu esse azulejo? O azulejo vai ficar cm por cm e então você será atormentado por “contar com o dedo”. Então você tem que multiplicar. Assim, de um lado do fundo da piscina, vamos encaixar telhas (peças) e do outro, também, telhas. Multiplicando por, você obtém telhas ().

Você notou que multiplicamos o mesmo número por ele mesmo para determinar a área do fundo da piscina? O que isso significa? Como o mesmo número é multiplicado, podemos usar a técnica de exponenciação. (Claro, quando você tem apenas dois números, você ainda precisa multiplicá-los ou elevá-los a uma potência. Mas se você tiver muitos deles, então elevar a uma potência é muito mais fácil e também há menos erros nos cálculos. Para o exame, isso é muito importante).
Então, trinta ao segundo grau será (). Ou você pode dizer que trinta ao quadrado será. Em outras palavras, a segunda potência de um número sempre pode ser representada como um quadrado. E vice-versa, se você vir um quadrado, é SEMPRE a segunda potência de algum número. Um quadrado é uma imagem da segunda potência de um número.

Exemplo da vida real #2

Aqui está uma tarefa para você, conte quantos quadrados estão no tabuleiro usando o quadrado do número... De um lado das células e do outro também. Para contar o número deles, você precisa multiplicar oito por oito, ou ... se você notar que um tabuleiro de xadrez é um quadrado com um lado, então você pode quadrado oito. Obter células. () Então?

Exemplo da vida real #3

Agora o cubo ou a terceira potência de um número. A mesma piscina. Mas agora você precisa descobrir quanta água terá que ser derramada nessa piscina. Você precisa calcular o volume. (Volumes e líquidos, aliás, são medidos em metros cúbicos. Inesperado, certo?) Desenhe uma piscina: um fundo de um metro de tamanho e um metro de profundidade e tente calcular quantos cubos metro por metro entrarão na sua piscina.

Basta apontar o dedo e contar! Um, dois, três, quatro... vinte e dois, vinte e três... Quanto saiu? Não se perdeu? É difícil contar com o dedo? De modo a! Tomemos um exemplo dos matemáticos. Eles são preguiçosos, então notaram que, para calcular o volume da piscina, você precisa multiplicar seu comprimento, largura e altura um pelo outro. No nosso caso, o volume da piscina será igual a cubos... Mais fácil, né?

Agora imagine como os matemáticos são preguiçosos e astutos se tornarem isso muito fácil. Reduziu tudo a uma ação. Eles perceberam que o comprimento, a largura e a altura são iguais e que o mesmo número é multiplicado por ele mesmo... E o que isso significa? Isso significa que você pode usar o grau. Então, o que você contava com um dedo, eles fazem em uma ação: três em um cubo é igual. Está escrito assim:

Permanece apenas memorizar a tabela de graus. A menos, é claro, que você seja tão preguiçoso e astuto quanto os matemáticos. Se você gosta de trabalhar duro e cometer erros, pode continuar contando com o dedo.

Bem, para finalmente convencê-lo de que os diplomas foram inventados por vagabundos e pessoas astutas para resolver seus problemas de vida, e não para criar problemas para você, aqui estão mais alguns exemplos da vida.

Exemplo da vida real #4

Você tem um milhão de rublos. No início de cada ano, você ganha outro milhão para cada milhão. Ou seja, cada um dos seus milhões no início de cada ano dobra. Quanto dinheiro você terá em anos? Se você está agora sentado e “contando com o dedo”, então você é uma pessoa muito trabalhadora e... estúpida. Mas provavelmente você responderá em alguns segundos, porque você é inteligente! Então, no primeiro ano - duas vezes dois... no segundo ano - o que aconteceu, por mais dois, no terceiro ano... Pare! Você notou que o número é multiplicado por si mesmo uma vez. Então, dois à quinta potência é um milhão! Agora imagine que você tem uma competição e quem calcular mais rápido vai ficar com esses milhões... Vale a pena lembrar os graus dos números, o que você acha?

Exemplo da vida real #5

Você tem um milhão. No início de cada ano, você ganha mais dois para cada milhão. É ótimo né? Cada milhão é triplicado. Quanto dinheiro você terá em um ano? Vamos contar. O primeiro ano - multiplique por, depois o resultado por outro... Já é chato, porque você já entendeu tudo: três é multiplicado por ele mesmo vezes. Então a quarta potência é um milhão. Você só precisa lembrar que três à quarta potência é ou.

Agora você sabe que, elevando um número a uma potência, tornará sua vida muito mais fácil. Vamos dar uma olhada no que você pode fazer com os diplomas e o que você precisa saber sobre eles.

Termos e conceitos... para não se confundir

Então, primeiro, vamos definir os conceitos. O que você acha, o que é expoente? É muito simples - este é o número que está "no topo" da potência do número. Não é científico, mas é claro e fácil de lembrar...

Bem, ao mesmo tempo, o que tal base de grau? Mais simples ainda é o número que está na parte inferior, na base.

Aqui está uma foto para você ter certeza.

Bem, em termos gerais, para generalizar e lembrar melhor ... Um diploma com base "" e um indicador "" é lido como "no grau" e é escrito da seguinte forma:

Potência de um número com expoente natural

Você provavelmente já adivinhou: porque o expoente é um número natural. Sim, mas o que é número natural? Elementar! Os números naturais são aqueles que são usados na contagem ao listar itens: um, dois, três... Quando contamos itens, não dizemos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete”. Também não dizemos "um terço" ou "zero vírgula cinco décimos". Estes não são números naturais. O que você acha que são esses números?

Números como "menos cinco", "menos seis", "menos sete" referem-se a números inteiros. Em geral, os números inteiros incluem todos os números naturais, números opostos aos números naturais (isto é, tomados com um sinal de menos) e um número. Zero é fácil de entender - é quando não há nada. E o que significam os números negativos ("menos")? Mas eles foram inventados principalmente para denotar dívidas: se você tem um saldo em seu telefone em rublos, isso significa que você deve rublos à operadora.

Todas as frações são números racionais. Como eles surgiram, você acha? Muito simples. Vários milhares de anos atrás, nossos ancestrais descobriram que não tinham números naturais suficientes para medir comprimento, peso, área, etc. E eles vieram com números racionais… Interessante, não é?

Há também números irracionais. Quais são esses números? Em suma, uma fração decimal infinita. Por exemplo, se você dividir a circunferência de um círculo pelo seu diâmetro, obterá um número irracional.

Resumo:

Vamos definir o conceito de grau, cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

Qualquer número elevado à primeira potência é igual a ele mesmo:
Elevar um número ao quadrado é multiplicá-lo por ele mesmo:
Cubra um número é multiplicá-lo por ele mesmo três vezes:

Definição. Elevar um número a uma potência natural é multiplicar o número por ele mesmo vezes:
.

Propriedades do grau

De onde vieram essas propriedades? Eu vou te mostrar agora.

Vamos ver o que é e ?

A-prioridade:

Quantos multiplicadores existem no total?

É muito simples: adicionamos fatores aos fatores, e o resultado são fatores.

Mas, por definição, este é o grau de um número com um expoente, ou seja: , que precisava ser provado.

Exemplo: Simplifique a expressão.

Decisão:

Exemplo: Simplifique a expressão.

Decisão:É importante notar que em nossa regra necessariamente deve ser o mesmo motivo!
Portanto, combinamos os graus com a base, mas permanecemos um fator separado:

apenas para produtos de potências!

Sob nenhuma circunstância você deve escrever isso.

2. isto é -ésima potência de um número

Assim como na propriedade anterior, vamos à definição do grau:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma uma vez, ou seja, de acordo com a definição, esta é a enésima potência do número:

Na verdade, isso pode ser chamado de "intercalar o indicador". Mas você nunca pode fazer isso no total:

Vamos relembrar as fórmulas da multiplicação abreviada: quantas vezes queremos escrever?

Mas isso não é verdade, realmente.

Grau com base negativa

Até este ponto, discutimos apenas qual deveria ser o expoente.

Mas qual deve ser a base?

Em graus de indicador natural a base pode ser qualquer número. De fato, podemos multiplicar qualquer número um pelo outro, sejam eles positivos, negativos ou pares.

Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número será positivo ou negativo? MAS? ? Com o primeiro, tudo está claro: não importa quantos números positivos multipliquemos entre si, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Afinal, lembramos de uma regra simples da 6ª série: “um menos vezes um menos dá um mais”. Ou seja, ou. Mas se multiplicarmos por, acontece.

Determine por si mesmo que sinal as seguintes expressões terão:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Você conseguiu?

Aqui estão as respostas: Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

No exemplo 5), nem tudo é tão assustador quanto parece: não importa qual seja a base - o grau é par, o que significa que o resultado sempre será positivo.

Bem, exceto quando a base é zero. A base não é a mesma, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) já não é tão simples!

6 exemplos práticos

Análise da solução 6 exemplos

Se não prestarmos atenção ao oitavo grau, o que vemos aqui? Vamos dar uma olhada no programa da 7ª série. Então lembre? Esta é a fórmula de multiplicação abreviada, ou seja, a diferença de quadrados! Nós temos:

Observamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? Ordem errada dos termos. Se eles fossem trocados, a regra poderia ser aplicada.

Mas como fazer isso? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador nos ajuda aqui.

Os termos mudaram magicamente de lugar. Este "fenômeno" se aplica a qualquer expressão em um grau uniforme: podemos alterar livremente os sinais entre parênteses.

Mas é importante lembrar: todos os sinais mudam ao mesmo tempo!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

inteira nomeamos os números naturais, seus opostos (isto é, tomados com o sinal "") e o número.

inteiro positivo, e não é diferente do natural, então tudo se parece exatamente como na seção anterior.

Agora vamos ver novos casos. Vamos começar com um indicador igual a.

Qualquer número elevado à potência zero é igual a um:

Como sempre, nos perguntamos: por que isso acontece?

Considere algum poder com uma base. Por exemplo, multiplique por:

Então, nós multiplicamos o número por, e obtivemos o mesmo que era -. Qual número deve ser multiplicado para que nada mude? Isso mesmo, em. Meios.

Podemos fazer o mesmo com um número arbitrário:

Vamos repetir a regra:

Qualquer número elevado à potência zero é igual a um.

Mas há exceções para muitas regras. E aqui também está lá - este é um número (como base).

Por um lado, deve ser igual a qualquer grau - não importa o quanto você multiplique zero por si mesmo, você ainda obtém zero, isso é claro. Mas, por outro lado, como qualquer número até o grau zero, deve ser igual. Então, qual é a verdade disso? Os matemáticos decidiram não se envolver e se recusaram a elevar o zero à potência zero. Ou seja, agora podemos não apenas dividir por zero, mas também elevá-lo à potência zero.

Vamos mais longe. Além de números naturais e números, os números inteiros incluem números negativos. Para entender o que é um grau negativo, vamos fazer o mesmo da última vez: multiplicamos algum número normal pelo mesmo em grau negativo:

A partir daqui já é fácil expressar o desejado:

Agora estendemos a regra resultante para um grau arbitrário:

Então, vamos formular a regra:

Um número para uma potência negativa é o inverso do mesmo número para uma potência positiva. mas ao mesmo tempo base não pode ser nula:(porque é impossível dividir).

Vamos resumir:

I. A expressão não é definida no caso. Se então.

II. Qualquer número elevado à potência zero é igual a um: .

III. Um número que não é igual a zero a uma potência negativa é o inverso do mesmo número a uma potência positiva: .

Tarefas para solução independente:

Bem, como de costume, exemplos para uma solução independente:

Análise de tarefas para solução independente:

Eu sei, eu sei, os números são assustadores, mas no exame você tem que estar pronto para qualquer coisa! Resolva esses exemplos ou analise a solução deles se você não conseguiu resolvê-los e aprenderá como lidar com eles facilmente no exame!

Vamos continuar a expandir o intervalo de números "adequados" como expoente.

Agora considere números racionais. Quais números são chamados de racionais?

Resposta: tudo o que pode ser representado como uma fração, onde e são inteiros, além disso.

Para entender o que é "grau fracionário" Vamos considerar uma fração:

Vamos elevar ambos os lados da equação a uma potência:

Agora lembre-se da regra "grau a grau":

Que número deve ser elevado a uma potência para obter?

Esta formulação é a definição da raiz do º grau.

Deixe-me lembrá-lo: a raiz da ª potência de um número () é um número que, quando elevado a uma potência, é igual.

Ou seja, a raiz do º grau é a operação inversa da exponenciação: .

Acontece que. Obviamente, este caso especial pode ser estendido: .

Agora some o numerador: o que é? A resposta é fácil de obter com a regra de potência para potência:

Mas a base pode ser qualquer número? Afinal, a raiz não pode ser extraída de todos os números.

Nenhum!

Lembre-se da regra: qualquer número elevado a uma potência par é um número positivo. Ou seja, é impossível extrair raízes de grau par de números negativos!

E isso significa que tais números não podem ser elevados a uma potência fracionária com denominador par, ou seja, a expressão não faz sentido.

E quanto à expressão?

Mas aqui surge um problema.

O número pode ser representado como outras frações reduzidas, por exemplo, ou.

E acontece que existe, mas não existe, e esses são apenas dois registros diferentes do mesmo número.

Ou outro exemplo: uma vez, então você pode anotá-lo. Mas assim que escrevemos o indicador de uma maneira diferente, novamente temos problemas: (ou seja, obtivemos um resultado completamente diferente!).

Para evitar tais paradoxos, considere único expoente de base positiva com expoente fracionário.

Então se:

- número natural;
é um número inteiro;

Exemplos:

Potências com expoente racional são muito úteis para transformar expressões com raízes, por exemplo:

5 exemplos práticos

Análise de 5 exemplos para treinamento

Bem, agora - o mais difícil. Agora vamos analisar grau com um expoente irracional.

Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas dos graus com um expoente racional, com exceção de

De fato, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (ou seja, números irracionais são todos números reais, exceto os racionais).

Ao estudar graus com um indicador natural, inteiro e racional, cada vez compomos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares.

Por exemplo, um expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes;

...potência zero- este é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começou a ser multiplicado, o que significa que o próprio número ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas uma certa “preparação de um número”, ou seja, um número;

...expoente inteiro negativo- é como se tivesse ocorrido um certo “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas dividido.

A propósito, a ciência costuma usar um grau com um expoente complexo, ou seja, um expoente nem é um número real.

Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

ONDE TEMOS CERTEZA QUE VOCÊ VAI! (se você aprender a resolver esses exemplos :))

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

Análise de soluções:

1. Vamos começar com a regra já usual para elevar um grau a um grau:

Agora veja o placar. Ele te lembra alguma coisa? Recordamos a fórmula para a multiplicação abreviada da diferença de quadrados:

NO este caso,

Acontece que:

Responda: .

2. Trazemos frações em expoentes para a mesma forma: ambas decimais ou ambas ordinárias. Obtemos, por exemplo:

Resposta: 16

3. Nada de especial, aplicamos as propriedades usuais dos graus:

NÍVEL AVANÇADO

Definição de grau

O grau é uma expressão da forma: , onde:

— base do grau;
- expoente.

Grau com expoente natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar um número à potência natural n significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:

Potência com expoente inteiro (0, ±1, ±2,...)

Se o expoente for inteiro positivo número:

ereção para potência zero:

A expressão é indefinida, porque, por um lado, em qualquer grau é isso, e por outro lado, qualquer número até o grau é isso.

Se o expoente for inteiro negativo número:

(porque é impossível dividir).

Mais uma vez sobre nulos: a expressão não está definida no caso. Se então.

Exemplos:

Grau com expoente racional

- número natural;
é um número inteiro;

Exemplos:

Propriedades do grau

Para facilitar a resolução de problemas, vamos tentar entender: de onde vieram essas propriedades? Vamos prová-los.

Vejamos: o que é e?

A-prioridade:

Assim, do lado direito desta expressão, obtém-se o seguinte produto:

Mas, por definição, esta é uma potência de um número com um expoente, ou seja:

Q.E.D.

Exemplo : Simplifique a expressão.

Decisão : .

Exemplo : Simplifique a expressão.

Decisão : É importante notar que em nossa regra necessariamente deve ter a mesma base. Portanto, combinamos os graus com a base, mas permanecemos um fator separado:

Outra nota importante: esta regra - apenas para produtos de potências!

Em hipótese alguma devo escrever isso.

Assim como na propriedade anterior, vamos à definição do grau:

Vamos reorganizar assim:

Acontece que a expressão é multiplicada por si mesma uma vez, ou seja, de acordo com a definição, esta é a -ésima potência do número:

Na verdade, isso pode ser chamado de "intercalar o indicador". Mas você nunca pode fazer isso no total:!

Vamos relembrar as fórmulas da multiplicação abreviada: quantas vezes queremos escrever? Mas isso não é verdade, realmente.

Potência com base negativa.

Até este ponto, discutimos apenas o que deveria ser indicador grau. Mas qual deve ser a base? Em graus de natural indicador a base pode ser qualquer número .

De fato, podemos multiplicar qualquer número um pelo outro, sejam eles positivos, negativos ou pares. Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número será positivo ou negativo? MAS? ?

Com o primeiro, tudo está claro: não importa quantos números positivos multipliquemos entre si, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Afinal, lembramos de uma regra simples da 6ª série: “um menos vezes um menos dá um mais”. Ou seja, ou. Mas se multiplicarmos por (), obtemos -.

E assim ad infinitum: a cada multiplicação subsequente, o sinal mudará. Você pode formular estas regras simples:

até grau, - número positivo.
Número negativo elevado a ímpar grau, - número negativo.
Um número positivo para qualquer potência é um número positivo.
Zero a qualquer potência é igual a zero.

Determine por si mesmo que sinal as seguintes expressões terão:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Você conseguiu? Aqui estão as respostas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

No exemplo 5), nem tudo é tão assustador quanto parece: não importa qual seja a base - o grau é par, o que significa que o resultado sempre será positivo. Bem, exceto quando a base é zero. A base não é a mesma, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) já não é tão simples. Aqui você precisa descobrir qual é menos: ou? Se você se lembrar disso, fica claro que, o que significa que a base é menor que zero. Ou seja, aplicamos a regra 2: o resultado será negativo.

E novamente usamos a definição de grau:

Tudo está como de costume - escrevemos a definição de graus e os dividimos entre si, dividimos em pares e obtemos:

Antes de analisar a última regra, vamos resolver alguns exemplos.

Calcule os valores das expressões:

Soluções :

Nós temos:

Observamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? Ordem errada dos termos. Se eles fossem revertidos, poderia ser aplicada a regra 3. Mas como fazer isso? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador nos ajuda aqui.

Se você multiplicar por, nada muda, certo? Mas agora está assim:

Os termos mudaram magicamente de lugar. Este "fenômeno" se aplica a qualquer expressão em um grau uniforme: podemos alterar livremente os sinais entre parênteses. Mas é importante lembrar: todos os signos mudam ao mesmo tempo! Ele não pode ser substituído alterando apenas um menos censurável para nós!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

Então agora a última regra:

Como vamos provar isso? Claro, como de costume: vamos expandir o conceito de grau e simplificar:

Bem, agora vamos abrir os colchetes. Quantas letras serão? vezes por multiplicadores - como é? Isso nada mais é do que a definição de uma operação multiplicação: total acabou por ser multiplicadores. Ou seja, é, por definição, uma potência de um número com um expoente:

Exemplo:

Grau com expoente irracional

Além de informações sobre os graus para o nível médio, analisaremos o grau com um indicador irracional. Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas de um grau com um expoente racional, com a exceção - afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (ou seja, , os números irracionais são todos os números reais, exceto os racionais).

Ao estudar graus com um indicador natural, inteiro e racional, cada vez compomos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares. Por exemplo, um expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes; um número até o grau zero é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começou a ser multiplicado, o que significa que o próprio número ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certa “preparação de um número”, ou seja, um número; um grau com um indicador negativo inteiro - é como se tivesse ocorrido um certo “processo reverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas dividido.

É extremamente difícil imaginar um grau com um expoente irracional (assim como é difícil imaginar um espaço de 4 dimensões). Em vez disso, é um objeto puramente matemático que os matemáticos criaram para estender o conceito de grau a todo o espaço dos números.

A propósito, a ciência costuma usar um grau com um expoente complexo, ou seja, um expoente nem é um número real. Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

Então, o que fazemos se virmos um expoente irracional? Estamos tentando o nosso melhor para se livrar dele! :)

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

Respostas:

Lembre-se da fórmula da diferença de quadrados. Responda: .
Trazemos frações para a mesma forma: ambas as casas decimais, ou ambas as ordinárias. Obtemos, por exemplo: .
Nada de especial, aplicamos as propriedades usuais dos graus:

RESUMO DA SEÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

Graué chamado uma expressão da forma: , onde:

Grau com expoente inteiro

grau, cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

Grau com expoente racional

grau, cujo indicador são números negativos e fracionários.

Grau com expoente irracional

expoente cujo expoente é uma fração decimal infinita ou raiz.

Propriedades do grau

Características dos graus.

Número negativo elevado a até grau, - número positivo.
Número negativo elevado a ímpar grau, - número negativo.
Um número positivo para qualquer potência é um número positivo.
Zero é igual a qualquer potência.
Qualquer número elevado à potência zero é igual.

AGORA VOCÊ TEM UMA PALAVRA...

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Talvez você tenha perguntas. Ou sugestões.

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E boa sorte com seus exames!

Em um dos artigos anteriores, já mencionamos o grau de um número. Hoje vamos tentar navegar no processo de encontrar seu significado. Cientificamente falando, vamos descobrir como exponenciar corretamente. Vamos entender como esse processo é realizado, ao mesmo tempo tocando em todos os expoentes possíveis: natural, irracional, racional, inteiro.

Então, vamos dar uma olhada nas soluções dos exemplos e descobrir o que isso significa:

Definição do conceito.
Elevando a arte negativa.
Pontuação inteira.
Elevar um número a uma potência irracional.

Aqui está uma definição que reflete com precisão o significado: “Elevar a uma potência é a definição do valor do grau de um número”.

Assim, a construção do número a no art. r e o processo de encontrar o valor do grau a com o expoente r são conceitos idênticos. Por exemplo, se a tarefa é calcular o valor do grau (0,6) 6 ″, pode ser simplificado para a expressão “Elevar o número 0,6 à potência de 6”.

Depois disso, você pode prosseguir diretamente para as regras de construção.

Elevando a uma potência negativa

Para maior clareza, você deve prestar atenção à seguinte cadeia de expressões:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 em menos 1 ponto,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 em menos 2 passos.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 menos 3 pontos,

110000=0,00001=1*10 a menos 4 graus.

Graças a esses exemplos, você pode ver claramente a capacidade de calcular instantaneamente 10 para qualquer potência negativa. Para isso, basta deslocar o componente decimal:

10 a -1 grau - antes da unidade 1 zero;
em -3 - três zeros antes de um;
-9 é 9 zeros e assim por diante.

Também é fácil entender de acordo com este esquema quanto será 10 menos 5 colheres de sopa. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Como elevar um número a uma potência natural

Relembrando a definição, levamos em conta que o número natural a no art. n é igual ao produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a. Vamos ilustrar: (a * a * ... a) n, onde n é o número de números que são multiplicados. Assim, para elevar a a n, é necessário calcular o produto da seguinte forma: a * a * ... e dividir por n vezes.

A partir daqui fica claro que ereção na arte natural. depende da capacidade de realizar a multiplicação(este material é abordado na seção sobre multiplicação de números reais). Vejamos o problema:

Aumente -2 para a 4ª colher de sopa.

Estamos lidando com um indicador natural. Assim, o curso da decisão será o seguinte: (-2) no art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Agora resta apenas realizar a multiplicação de inteiros: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Recebemos 16.

Resposta da tarefa:

(-2) no art. 4=16.

Exemplo:

Calcule o valor: três vírgula dois sétimos ao quadrado.

Este exemplo é igual ao seguinte produto: três vírgula dois sétimo vezes três vírgula dois sétimo. Lembrando como é feita a multiplicação de números mistos, completamos a construção:

3 2 sétimos inteiros multiplicados por eles mesmos;
é igual a 23 sétimos vezes 23 sétimos;
é igual a 529 quadragésimo nono;
reduzimos e obtemos 10 trinta e nove quarenta e nove avos.

Responda: 10 39/49

Relativamente à questão da elevação a um indicador irracional, importa referir que os cálculos começam a ser efectuados após a conclusão do arredondamento preliminar da base do grau para algum grau, o que permitiria obter um valor com um determinado precisão. Por exemplo, precisamos elevar ao quadrado o número P (pi).

Começamos arredondando P para centésimos e obtemos:

P ao quadrado \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. No entanto, se reduzirmos P a dez milésimos, obtemos P = 3,14159. Em seguida, o quadrado obtém um número completamente diferente: 9,8695877281.

Deve-se notar aqui que em muitos problemas não há necessidade de elevar números irracionais a uma potência. Como regra, a resposta é inserida na forma, de fato, de um grau, por exemplo, a raiz de 6 à potência de 3 ou, se a expressão permitir, sua transformação é realizada: a raiz de 5 a 7 graus \u003d 125 raiz de 5.

Como elevar um número a uma potência inteira

Esta manipulação algébrica é apropriada considerar os seguintes casos:

para inteiros;
para indicador zero;
para um inteiro positivo.

Como quase todos os inteiros positivos coincidem com a massa dos números naturais, defini-lo como uma potência de inteiro positivo é o mesmo processo que defini-lo no art. natural. Descrevemos esse processo no parágrafo anterior.

Agora vamos falar sobre o cálculo do art. nulo. Já descobrimos acima que a potência zero do número a pode ser determinada para qualquer a diferente de zero (real), enquanto a em st. 0 será igual a 1.

Assim, a construção de qualquer número real para zero art. vai dar um.

Por exemplo, 10 em st.0=1, (-3,65)0=1 e 0 em st. 0 não pode ser determinado.

Para completar a exponenciação para uma potência inteira, resta decidir sobre as opções para valores inteiros negativos. Lembramos que o art. de a com um expoente inteiro -z será definido como uma fração. No denominador da fração está o art. com um valor inteiro positivo, cujo valor já aprendemos a encontrar. Agora resta apenas considerar um exemplo de construção.

Exemplo:

Calcule o valor do número 2 ao cubo com um inteiro negativo.

Processo de solução:

De acordo com a definição de um grau com um indicador negativo, denotamos: dois em menos 3 colheres de sopa. é igual a um a dois à terceira potência.

O denominador é calculado de forma simples: dois ao cubo;

3 = 2*2*2=8.

Responda: dois a menos a 3ª colher de sopa. = um oitavo.

Primeiro nível

Grau e suas propriedades. Guia Completo (2019)

Por que os graus são necessários? Onde você precisa deles? Por que você precisa gastar tempo estudando-os?

Para saber tudo sobre diplomas, para que servem, como usar seus conhecimentos no dia a dia, leia este artigo.

E, claro, conhecer os diplomas o aproximará de passar com sucesso no OGE ou no Exame Estadual Unificado e entrar na universidade dos seus sonhos.

Vamos vamos!)

Nota importante! Se em vez de fórmulas você vir sem sentido, limpe seu cache. Para fazer isso, pressione CTRL+F5 (no Windows) ou Cmd+R (no Mac).

PRIMEIRO NÍVEL

A exponenciação é a mesma operação matemática da adição, subtração, multiplicação ou divisão.

Agora vou explicar tudo em linguagem humana usando exemplos muito simples. Preste atenção. Os exemplos são elementares, mas explicam coisas importantes.

Vamos começar com a adição.

Não há nada para explicar aqui. Você já sabe de tudo: somos oito. Cada um tem duas garrafas de cola. Quanta cola? Isso mesmo - 16 garrafas.

Agora multiplicação.

Então, para contar mais rápido, fácil e sem erros, você só precisa lembrar tabela de multiplicação. Claro, você pode fazer tudo mais devagar, mais difícil e com erros! Mas…

Aqui está a tabuada de multiplicação. Repetir.

E outra mais bonita:

E que outros truques de contagem complicados os matemáticos preguiçosos inventaram? Corretamente - elevando um número a uma potência.

Elevar um número a uma potência

Para fazer isso, você só precisa lembre-se do que está destacado em cores na tabela de potências dos números. Acredite, isso facilitará muito a sua vida.

A propósito, por que o segundo grau é chamado quadrado números e o terceiro cubo? O que isso significa? Uma pergunta muito boa. Agora você terá quadrados e cubos.

Exemplo da vida real #1

Vamos começar com um quadrado ou a segunda potência de um número.

Exemplo da vida real #2

Exemplo da vida real #3

Exemplo da vida real #4

Exemplo da vida real #5

Agora você sabe que, elevando um número a uma potência, tornará sua vida muito mais fácil. Vamos dar uma olhada no que você pode fazer com os diplomas e o que você precisa saber sobre eles.

Termos e conceitos... para não se confundir

Bem, ao mesmo tempo, o que tal base de grau? Mais simples ainda é o número que está na parte inferior, na base.

Aqui está uma foto para você ter certeza.

Bem, em termos gerais, para generalizar e lembrar melhor ... Um diploma com base "" e um indicador "" é lido como "no grau" e é escrito da seguinte forma:

Potência de um número com expoente natural

Resumo:

Vamos definir o conceito de grau, cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

Qualquer número elevado à primeira potência é igual a ele mesmo:
Elevar um número ao quadrado é multiplicá-lo por ele mesmo:
Cubra um número é multiplicá-lo por ele mesmo três vezes:

Definição. Elevar um número a uma potência natural é multiplicar o número por ele mesmo vezes:
.

Propriedades do grau

De onde vieram essas propriedades? Eu vou te mostrar agora.

Vamos ver o que é e ?

A-prioridade:

Quantos multiplicadores existem no total?

É muito simples: adicionamos fatores aos fatores, e o resultado são fatores.

Mas, por definição, este é o grau de um número com um expoente, ou seja: , que precisava ser provado.

Exemplo: Simplifique a expressão.

Decisão:

Exemplo: Simplifique a expressão.

Decisão:É importante notar que em nossa regra necessariamente deve ser o mesmo motivo!
Portanto, combinamos os graus com a base, mas permanecemos um fator separado:

apenas para produtos de potências!

Sob nenhuma circunstância você deve escrever isso.

2. isto é -ésima potência de um número

Assim como na propriedade anterior, vamos à definição do grau:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma uma vez, ou seja, de acordo com a definição, esta é a enésima potência do número:

Na verdade, isso pode ser chamado de "intercalar o indicador". Mas você nunca pode fazer isso no total:

Vamos relembrar as fórmulas da multiplicação abreviada: quantas vezes queremos escrever?

Mas isso não é verdade, realmente.

Grau com base negativa

Até este ponto, discutimos apenas qual deveria ser o expoente.

Mas qual deve ser a base?

Em graus de indicador natural a base pode ser qualquer número. De fato, podemos multiplicar qualquer número um pelo outro, sejam eles positivos, negativos ou pares.

Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número será positivo ou negativo? MAS? ? Com o primeiro, tudo está claro: não importa quantos números positivos multipliquemos entre si, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Afinal, lembramos de uma regra simples da 6ª série: “um menos vezes um menos dá um mais”. Ou seja, ou. Mas se multiplicarmos por, acontece.

Determine por si mesmo que sinal as seguintes expressões terão:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Você conseguiu?

Aqui estão as respostas: Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

No exemplo 5), nem tudo é tão assustador quanto parece: não importa qual seja a base - o grau é par, o que significa que o resultado sempre será positivo.

Bem, exceto quando a base é zero. A base não é a mesma, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) já não é tão simples!

6 exemplos práticos

Análise da solução 6 exemplos

Observamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? Ordem errada dos termos. Se eles fossem trocados, a regra poderia ser aplicada.

Mas como fazer isso? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador nos ajuda aqui.

Os termos mudaram magicamente de lugar. Este "fenômeno" se aplica a qualquer expressão em um grau uniforme: podemos alterar livremente os sinais entre parênteses.

Mas é importante lembrar: todos os sinais mudam ao mesmo tempo!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

inteira nomeamos os números naturais, seus opostos (isto é, tomados com o sinal "") e o número.

inteiro positivo, e não é diferente do natural, então tudo se parece exatamente como na seção anterior.

Agora vamos ver novos casos. Vamos começar com um indicador igual a.

Qualquer número elevado à potência zero é igual a um:

Como sempre, nos perguntamos: por que isso acontece?

Considere algum poder com uma base. Por exemplo, multiplique por:

Então, nós multiplicamos o número por, e obtivemos o mesmo que era -. Qual número deve ser multiplicado para que nada mude? Isso mesmo, em. Meios.

Podemos fazer o mesmo com um número arbitrário:

Vamos repetir a regra:

Qualquer número elevado à potência zero é igual a um.

Mas há exceções para muitas regras. E aqui também está lá - este é um número (como base).

A partir daqui já é fácil expressar o desejado:

Agora estendemos a regra resultante para um grau arbitrário:

Então, vamos formular a regra:

Um número para uma potência negativa é o inverso do mesmo número para uma potência positiva. mas ao mesmo tempo base não pode ser nula:(porque é impossível dividir).

Vamos resumir:

I. A expressão não é definida no caso. Se então.

II. Qualquer número elevado à potência zero é igual a um: .

III. Um número que não é igual a zero a uma potência negativa é o inverso do mesmo número a uma potência positiva: .

Tarefas para solução independente:

Bem, como de costume, exemplos para uma solução independente:

Análise de tarefas para solução independente:

Vamos continuar a expandir o intervalo de números "adequados" como expoente.

Agora considere números racionais. Quais números são chamados de racionais?

Resposta: tudo o que pode ser representado como uma fração, onde e são inteiros, além disso.

Para entender o que é "grau fracionário" Vamos considerar uma fração:

Vamos elevar ambos os lados da equação a uma potência:

Agora lembre-se da regra "grau a grau":

Que número deve ser elevado a uma potência para obter?

Esta formulação é a definição da raiz do º grau.

Deixe-me lembrá-lo: a raiz da ª potência de um número () é um número que, quando elevado a uma potência, é igual.

Ou seja, a raiz do º grau é a operação inversa da exponenciação: .

Acontece que. Obviamente, este caso especial pode ser estendido: .

Agora some o numerador: o que é? A resposta é fácil de obter com a regra de potência para potência:

Mas a base pode ser qualquer número? Afinal, a raiz não pode ser extraída de todos os números.

Nenhum!

Lembre-se da regra: qualquer número elevado a uma potência par é um número positivo. Ou seja, é impossível extrair raízes de grau par de números negativos!

E isso significa que tais números não podem ser elevados a uma potência fracionária com denominador par, ou seja, a expressão não faz sentido.

E quanto à expressão?

Mas aqui surge um problema.

O número pode ser representado como outras frações reduzidas, por exemplo, ou.

E acontece que existe, mas não existe, e esses são apenas dois registros diferentes do mesmo número.

Para evitar tais paradoxos, considere único expoente de base positiva com expoente fracionário.

Então se:

- número natural;
é um número inteiro;