Se um corpo sólido estiver localizado próximo à superfície da Terra, a gravidade será aplicada a cada ponto material desse corpo. Ao mesmo tempo, as dimensões do corpo em comparação com o tamanho da Terra são tão pequenas que as forças da gravidade que atuam sobre todas as partículas do corpo podem ser consideradas paralelas entre si.

Ponto central COM) sistemas de forças de gravidade paralelas de todos os pontos do corpo é chamado centro de gravidade de um corpo rígido , e a soma das forças de gravidade de todos os seus pontos materiais é chamada gravidade agindo sobre isso

As coordenadas do centro de gravidade de um corpo rígido são determinadas pelas fórmulas:

onde estão as coordenadas dos pontos de aplicação da gravidade atuando sobre k-ésimo ponto material.

Para um corpo homogêneo:

onde V é o volume de todo o corpo;

V k- volume k-ésima partícula.

Para uma placa fina uniforme:

onde S é a área da placa;

S k- quadrado k- oh parte do prato.

Para linha:

Onde eu- o comprimento de toda a linha;

L k- comprimento kª parte da linha.

Métodos para determinar as coordenadas dos centros de gravidade dos corpos:

Teórico

Simetria. Se um corpo homogêneo tem um plano, eixo ou centro de simetria, então seu centro de gravidade está, respectivamente, no plano de simetria, ou no eixo, ou no centro de simetria.

Dividindo. Se o corpo puder ser dividido em um número finito de tais partes, para cada uma das quais a posição do centro de gravidade é conhecida, então as coordenadas do centro de gravidade de todo o corpo podem ser calculadas diretamente usando as fórmulas acima.

Adição. Este método é um caso especial do método de particionamento. Aplica-se a carrocerias com recortes se os centros de gravidade do corpo sem recorte e do recorte forem conhecidos. Eles são incluídos nos cálculos com o sinal “-”.

Integração. Quando o corpo não pode ser dividido em partes componentes, cujos centros de gravidade são conhecidos, é usado o método de integração, que é universal.

experimental

método de suspensão. O corpo é suspenso por dois ou três pontos, traçando-se deles linhas verticais. O ponto de sua interseção é o centro de massa.

método de pesagem. O corpo é colocado em diferentes partes da balança, determinando assim as reações de apoio. Compor equações de equilíbrio, a partir das quais as coordenadas do centro de gravidade são determinadas.

Usando métodos teóricos, fórmulas para determinar coordenadas do centro de gravidade o mais comum corpos homogêneos:

arco de um círculo

Centro de gravidade de um corpo rígido

Centro de gravidade Um corpo rígido é um ponto geométrico rigidamente conectado a esse corpo e é o centro das forças de gravidade paralelas aplicadas a partículas elementares individuais do corpo (Figura 1.6).

Vetor raio deste ponto

Figura 1.6

Para um corpo homogêneo, a posição do centro de gravidade do corpo não depende do material, mas é determinada pela forma geométrica do corpo.

Se a gravidade específica de um corpo homogêneo γ , o peso da partícula elementar do corpo

Pk = γΔVk (P = γV)

substitua na fórmula para determinar r C , Nós temos

De onde, projetando sobre os eixos e passando ao limite, obtemos as coordenadas do centro de gravidade de um volume homogêneo

Da mesma forma, para as coordenadas do centro de gravidade de uma superfície homogênea com uma área S (Figura 1.7, a)

Figura 1.7

Para as coordenadas do centro de gravidade de uma linha homogênea de comprimento eu (Figura 1.7, b)

Métodos para determinar as coordenadas do centro de gravidade

Com base nas fórmulas gerais obtidas anteriormente, é possível indicar métodos para determinar as coordenadas dos centros de gravidade dos corpos sólidos:

Figura 1.8

Figura 1.9

11. Conceitos básicos de cinemática. Cinemática de ponto. Métodos para especificar o movimento de um ponto. Ponto de velocidade e aceleração.

Conceitos básicos de cinemática

Cinemática- um ramo da mecânica que estuda o movimento dos corpos sem levar em conta as causas que causaram esse movimento.

A principal tarefa da cinemática é encontrar a posição de um corpo em qualquer momento do tempo, se sua posição, velocidade e aceleração no momento inicial do tempo forem conhecidas.

movimento mecânico- esta é uma mudança na posição dos corpos (ou partes do corpo) em relação uns aos outros no espaço ao longo do tempo.

Para descrever o movimento mecânico, deve-se escolher um referencial.

corpo de referência- um corpo (ou grupo de corpos), tomado neste caso como estacionário, em relação ao qual é considerado o movimento de outros corpos.

Sistema de referência- este é o sistema de coordenadas associado ao corpo de referência e o método escolhido para medir o tempo (Fig. 1).

A posição do corpo pode ser determinada usando o vetor raio r⃗ r→ ou usando coordenadas.

vetor de raio r⃗ r→ pontos Μ - segmento de linha reta direcionado conectando a origem SOBRE com um ponto Μ (Figura 2).

Coordenada x pontos Μ é a projeção da extremidade do vetor raio do ponto Μ por eixo Oh. Normalmente, um sistema de coordenadas retangulares é usado. Neste caso, a posição do ponto Μ em uma linha, plano e no espaço são determinados respectivamente por um ( x), dois ( x, no) e três ( x, no, z) números - coordenadas (Fig. 3).

No curso elementar, os físicos estudam a cinemática do movimento de um ponto material.

ponto material- um corpo cujas dimensões em dadas condições podem ser desprezadas.

Este modelo é utilizado nos casos em que as dimensões lineares dos corpos em consideração são muito menores do que todas as outras distâncias em um determinado problema ou quando o corpo se move para frente.

Traducional chamado de movimento do corpo, no qual uma linha reta passando por quaisquer dois pontos do corpo se move, permanecendo paralela a si mesma. No movimento de translação, todos os pontos do corpo descrevem as mesmas trajetórias e, a qualquer momento, têm as mesmas velocidades e acelerações. Portanto, para descrever tal movimento de um corpo, basta descrever o movimento de seu único ponto arbitrário.

A seguir, a palavra "corpo" será entendida como um "ponto material".

A linha que um corpo em movimento descreve em um determinado referencial é chamada trajetória. Na prática, a forma da trajetória é definida por meio de fórmulas matemáticas ( y = f(x) - equação da trajetória) ou representado na figura. O tipo de trajetória depende da escolha do sistema de referência. Por exemplo, a trajetória de um corpo em queda livre em um vagão que se move uniformemente e em linha reta é uma linha reta vertical no referencial associado ao carro e uma parábola no referencial associado à Terra .

Dependendo do tipo de trajetória, o movimento retilíneo e curvilíneo são diferenciados.

Caminho s- uma quantidade física escalar determinada pelo comprimento da trajetória descrita pelo corpo por um determinado período de tempo. O caminho é sempre positivo: s > 0.

em movimentoΔr⃗ Δr→ corpos por um certo período de tempo - um segmento direcionado de uma linha reta conectando a inicial (ponto M 0) e final (ponto M) posição do corpo (ver Fig. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

onde r⃗ r→ er⃗ 0 r→0 são os vetores de raio do corpo nestes momentos.

Projeção do deslocamento no eixo Boi

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Onde x 0 e x- coordenadas do corpo nos momentos inicial e final do tempo.

O módulo de deslocamento não pode ser maior que um caminho

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

O sinal de igual refere-se ao caso de movimento retilíneo se a direção do movimento não mudar.

Conhecendo o deslocamento e a posição inicial do corpo, podemos encontrar sua posição no instante t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Velocidade

A velocidade média hυ⃗ i hυ→i é uma grandeza física vetorial, numericamente igual à razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo durante o qual ocorreu, e direcionada ao longo do deslocamento (Fig. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

A unidade SI para velocidade é metros por segundo (m/s).

A velocidade média encontrada por esta fórmula caracteriza o movimento apenas na parte da trajetória para a qual é definida. Em outra parte da trajetória, pode ser diferente.

Às vezes, eles usam a velocidade média do caminho

hυi=sΔt hυi=sΔt

Onde s é o caminho percorrido no intervalo de tempo Δ t. A velocidade média do caminho é um valor escalar.

Velocidade Instantâneaυ⃗ υ→ corpo - a velocidade do corpo em um determinado momento (ou em um determinado ponto da trajetória). É igual ao limite ao qual tende a velocidade média em um intervalo de tempo infinitesimal υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Aqui r⃗ ′ r→ ′ é a derivada temporal do vetor raio.

Na projeção no eixo Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

A velocidade instantânea do corpo é direcionada tangencialmente à trajetória em cada ponto na direção do movimento (ver Fig. 4).

Aceleração

Aceleração média- uma quantidade física numericamente igual à razão entre a variação da velocidade e o tempo durante o qual ela ocorreu:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

O vetor ha⃗ i ha→i é direcionado paralelamente ao vetor de variação de velocidade Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) em direção à concavidade da trajetória (Fig. 5).

Impulso Instantâneo:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

A unidade SI para aceleração é metros por segundo ao quadrado (m/s2).

No caso geral, a aceleração instantânea é direcionada em um ângulo com a velocidade. Conhecendo a trajetória, você pode determinar a direção da velocidade, mas não a aceleração. A direção da aceleração é determinada pela direção das forças resultantes que atuam sobre o corpo.

No movimento retilíneo com velocidade de módulo crescente (Fig. 6, a), os vetores a⃗ a→ e υ⃗ 0 υ→0 são codirecionados (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) e a projeção da aceleração na direção de movimento é positivo.

Em movimento retilíneo com módulo decrescente de velocidade (Fig. 6, b), as direções dos vetores a⃗ a→ e υ⃗ 0 υ→0 são opostas (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) e a projeção de aceleração em a direção do movimento é negativa.

O vetor a⃗ a→ durante o movimento curvilíneo pode ser decomposto em dois componentes direcionados ao longo da velocidade a⃗ τ a→τ e perpendicular à velocidade a⃗ n a→n (Fig. 1.7), movimento a⃗ τ a→τ, a⃗ n a→n - aceleração normal, caracterizando a velocidade de mudança na direção do vetor velocidade durante o movimento curvilíneo Módulo de aceleração a=a2τ+a2n−−−−−√ a=aτ2+an2.

Métodos para especificar o movimento de um ponto

Você pode usar um dos três métodos a seguir para especificar o movimento de um ponto:

1) vetorial, 2) coordenada, 3) natural.

1. Método vetorial para especificar o movimento de um ponto.

deixe o ponto M se move em relação a algum quadro de referência Oxyz. A posição deste ponto a qualquer momento pode ser determinada definindo seu raio vetor desenhado a partir da origem SOBRE exatamente M(Fig. 3).

Fig.3

Quando o ponto se move M o vetor mudará ao longo do tempo tanto em valor absoluto quanto em direção. Portanto, é um vetor variável (vetor de função) dependendo do argumento t:

A igualdade define a lei do movimento de um ponto em forma de vetor, pois permite construir o vetor correspondente a qualquer momento e encontrar a posição do ponto em movimento.

O lugar geométrico das extremidades do vetor , ou seja, hodógrafo deste vetor determina a trajetória do ponto móvel.

2. Método de coordenadas para especificar o movimento de um ponto.

A posição de um ponto pode ser determinada diretamente por suas coordenadas cartesianas x, y, z(Fig. 3), que, quando o ponto se move, mudará com o tempo. Conhecer a lei do movimento de um ponto, ou seja, sua posição no espaço em qualquer momento do tempo, é necessário conhecer os valores das coordenadas do ponto para cada momento do tempo, ou seja, conhecer dependências

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

As equações são as equações de movimento de um ponto em coordenadas cartesianas retangulares. Eles determinam a lei do movimento de um ponto com o método de coordenadas para especificar o movimento.

Para obter a equação da trajetória, é necessário excluir o parâmetro t das equações do movimento.

É fácil estabelecer a relação entre os métodos vetoriais e coordenados de definição de movimento.

Decompomos o vetor em componentes ao longo dos eixos de coordenadas:

onde r x , ry , r z - projeções vetoriais no eixo; – vetores unitários direcionados ao longo dos eixos, orths dos eixos.

Como o início do vetor está na origem, as projeções do vetor serão iguais às coordenadas do ponto M. É por isso

Se o movimento do ponto é dado em coordenadas polares

r=r(t), φ = φ(t),

onde r é o raio polar, φ é o ângulo entre o eixo polar e o raio polar, então essas equações expressam a equação da trajetória do ponto. Eliminando o parâmetro t, obtemos

r = r(φ).

Exemplo 1 O movimento de um ponto é dado pelas equações

Fig.4

Para excluir o tempo, o parâmetro t, encontramos da primeira equação sin2t=x/2, da segunda cos2t=y/3. Então nós o elevamos ao quadrado e o somamos. Como sen 2 2t+cos 2 2t=1, obtemos . Esta é a equação de uma elipse com semi-eixos de 2 cm e 3 cm (Fig. 4).

Posição inicial do ponto M 0 (quando t\u003d 0) é determinado pelas coordenadas x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm.

Após 1 seg. ponto estará na posição M 1 com coordenadas

x 1 \u003d 2sin2 \u003d 2 ∙ 0,91 \u003d 1,82 cm, y 1 \u003d 2cos2=3 ∙ (-0,42) \u003d -1,25 cm.

Observação.

O movimento de um ponto também pode ser especificado usando outras coordenadas. Por exemplo, cilíndrico ou esférico. Entre eles, haverá não apenas dimensões lineares, mas também ângulos. Se necessário, você pode se familiarizar com a tarefa de movimento por coordenadas cilíndricas e esféricas nos livros didáticos.

3. Uma forma natural de especificar o movimento de um ponto.

Fig.5

É conveniente usar a forma natural de especificar o movimento nos casos em que a trajetória do ponto móvel é conhecida antecipadamente. Deixe a curva ABé a trajetória do ponto M quando se move em relação ao sistema de referência Oxyz(fig.5) Vamos escolher algum ponto fixo nesta trajetória SOBRE", que tomaremos como origem e definiremos as direções de referência positiva e negativa na trajetória (como no eixo de coordenadas).

Então a posição do ponto M na trajetória será determinada exclusivamente pela coordenada curvilínea s, que é igual à distância do ponto SOBRE' ao ponto M medida ao longo do arco da trajetória e tomada com o sinal correspondente. Ao mover o ponto M move-se para posições M 1 , M 2 ,... . daí a distância s vai mudar com o tempo.

Para saber a posição de um ponto M na trajetória a qualquer momento, você precisa saber a dependência

A equação expressa a lei do movimento de um ponto M ao longo da trajetória. A função s= f(t) deve ser univalorada, contínua e diferenciável.

Para a direção de referência positiva da coordenada do arco s, é tomada a direção do movimento do ponto no momento em que ocupa a posição O. Deve-se lembrar que a equação s \u003d f (t) não determina a lei do movimento do ponto no espaço, pois para determinar a posição do ponto no espaço, você também precisa conhecer a trajetória do ponto com a posição inicial do ponto sobre ele e uma direção positiva fixa. Assim, o movimento de um ponto é considerado dado de forma natural, se a trajetória e a equação (ou lei) do movimento do ponto ao longo da trajetória forem conhecidas.

É importante notar que a coordenada do arco do ponto s é diferente do caminho σ percorrido pelo ponto ao longo da trajetória. Durante seu movimento, o ponto percorre um certo caminho σ, que é função do tempo t. No entanto, a distância percorrida σ coincide com a distância s apenas quando a função s = f(t) varia monotonicamente com o tempo, ou seja, quando o ponto se move na mesma direção. Suponhamos que o ponto M vá de M 1 a M 2 . A posição do ponto em M 1 corresponde ao tempo t 1 , e a posição do ponto em M 2 corresponde ao tempo t 2 . Vamos decompor o intervalo de tempo t 2 - t 1 em intervalos de tempo muito pequenos ∆t 1 (i = 1,2, …n) de modo que em cada um deles o ponto se mova em uma direção. Vamos denotar o incremento correspondente da coordenada do arco como ∆s i . O caminho σ percorrido pelo ponto será um valor positivo:

Se o movimento de um ponto é dado de forma coordenada, então a distância percorrida é determinada pela fórmula

onde dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

Por isso,

Exemplo 2 O ponto se move em linha reta, de acordo com a lei s=2t+3 (cm) (Fig. 6).

Fig.6

No início do movimento, em t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm. Posição do ponto M 0 é chamado posição inicial. Em t=1 s, s=OM 1 =5 cm.

Claro, em 1 segundo. o ponto percorreu uma distância M 0 M 1 = 2cm Então s- este não é o caminho percorrido pelo ponto, mas a distância da origem ao ponto.

vetor velocidade pontual

Uma das principais características cinemáticas do movimento de um ponto é uma quantidade vetorial chamada velocidade de um ponto. O conceito de velocidade pontual em movimento retilíneo uniforme é um dos conceitos elementares.

Velocidade- uma medida do estado mecânico do corpo. Caracteriza a taxa de mudança da posição do corpo em relação a um determinado sistema de referência e é uma grandeza física vetorial.

A unidade de medida de velocidade é m/s. Outras unidades são frequentemente usadas, por exemplo, km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

O movimento de um ponto é dito uniforme se os incrementos do raio vetor do ponto para os mesmos intervalos de tempo forem iguais entre si. Se a trajetória do ponto for uma linha reta, então o movimento do ponto é chamado de retilíneo.

Para movimento retilíneo uniforme

∆r= v∆t, (1)

Onde vé um vetor constante.

Vetor vé chamado a velocidade do movimento retilíneo e uniforme determina-lo completamente.

Da relação (1) pode-se ver que a velocidade do movimento retilíneo e uniforme é uma quantidade física que determina o movimento de um ponto por unidade de tempo. De (1) temos

direção do vetor v mostrado na fig. 6.1.

Fig.6.1

Com movimento irregular, esta fórmula não é adequada. Vamos primeiro introduzir o conceito de velocidade média de um ponto durante algum período de tempo.

Seja o ponto móvel no momento t grávida M, determinado pelo vetor raio , e no momento em que t 1 chega à posição M 1 determinado pelo vetor (Fig. 7). Então o movimento de um ponto durante um período de tempo ∆t=t 1 -t é determinado por um vetor que chamaremos de vetor de movimento do ponto. De um triângulo OMM 1 mostra que ; por isso,

Arroz. 7

A razão do vetor de deslocamento do ponto para o intervalo de tempo correspondente dá um valor de vetor, chamado de velocidade do ponto média em valor absoluto e direção ao longo do intervalo de tempo ∆t:

A velocidade de um ponto em um dado tempo t é a quantidade vetorial v, para a qual a velocidade média v cf tende quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero:

Assim, o vetor velocidade de um ponto em um determinado momento é igual à primeira derivada do vetor raio do ponto em relação ao tempo.

Como a direção limite da secante MILÍMETROS 1 é tangente, então o vetor velocidade do ponto em um determinado momento é direcionado tangencialmente à trajetória do ponto na direção do movimento.

Determinando a velocidade de um ponto com o método de coordenadas para especificar o movimento

Vetor velocidade pontual, dado que r x =x, r y =y, r z =z, encontramos:

Assim, as projeções da velocidade do ponto nos eixos coordenados são iguais às primeiras derivadas das coordenadas correspondentes do ponto em relação ao tempo.

Conhecendo as projeções de velocidade, encontramos seu módulo e direção (isto é, os ângulos α, β, γ que o vetor v forma com os eixos coordenados) usando as fórmulas

Assim, o valor numérico da velocidade de um ponto em um determinado momento é igual à primeira derivada da distância (coordenada curvilínea) s pontos no tempo.

O vetor velocidade é direcionado ao longo de uma tangente à trajetória, que conhecemos de antemão.

Determinando a velocidade de um ponto com uma maneira natural de especificar o movimento

A magnitude da velocidade pode ser definida como um limite (∆r é o comprimento da corda MILÍMETROS 1):

onde ∆s é o comprimento do arco MILÍMETROS 1 . O primeiro limite é igual a um, o segundo limite é a derivada ds/dt.

Portanto, a velocidade de um ponto é a primeira derivada temporal da lei do movimento:

O vetor velocidade é direcionado, como foi estabelecido anteriormente, tangencialmente à trajetória. Se o valor da velocidade for atualmente maior que zero, o vetor de velocidade será direcionado na direção positiva.

Vetor de aceleração de ponto

Aceleração- grandeza física vetorial que caracteriza a taxa de variação da velocidade. Ele mostra o quanto a velocidade do corpo muda por unidade de tempo.

A unidade SI de aceleração é metro por segundo ao quadrado. ao intervalo de tempo correspondente ∆t determina o vetor da aceleração média do ponto nesse intervalo de tempo:

O vetor aceleração média tem a mesma direção que o vetor , ou seja, direcionado para a concavidade da trajetória.

Aceleração de um ponto em um determinado momento té chamado de valor vetorial para o qual a aceleração média tende quando o intervalo de tempo ∆t tende a zero: O vetor aceleração de um ponto em um determinado momento é igual à primeira derivada do vetor velocidade ou à segunda derivada do raio-vetor do ponto em relação ao tempo.

A aceleração de um ponto é zero somente quando a velocidade do ponto vé constante tanto em magnitude quanto em direção: isso corresponde apenas ao movimento retilíneo e uniforme.

Vamos descobrir como o vetor está localizado em relação à trajetória do ponto. No movimento retilíneo, o vetor é direcionado ao longo da linha reta ao longo da qual o ponto se move. é direcionado para a concavidade da trajetória e está no plano que passa pela tangente à trajetória no ponto M e uma linha paralela à tangente em um ponto adjacente M 1 (Fig. 8). No limite quando o ponto M tende a M, este plano ocupa a posição do chamado plano contíguo, ou seja, um plano no qual ocorre uma rotação infinitamente pequena da tangente à trajetória com um deslocamento elementar de um ponto móvel. Portanto, no caso geral, o vetor aceleração encontra-se em um plano contíguo e é direcionado para a concavidade da curva.

Determinação da aceleração com o método de coordenadas para especificar o movimento

O vetor aceleração do ponto na projeção no eixo obtemos:

aqueles. a projeção da aceleração de um ponto nos eixos coordenados são iguais às primeiras derivadas das projeções da velocidade ou às segundas derivadas das coordenadas correspondentes do ponto no tempo. O módulo e a direção da aceleração podem ser encontrados nas fórmulas

Fig.10

Projeções de aceleração a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2 . Como a projeção do vetor aceleração no eixo xé igual a zero, e no eixo y- é negativo, então o vetor aceleração é direcionado verticalmente para baixo e seu valor é constante, não depende do tempo.

A primeira descoberta de Arquimedes na mecânica foi a introdução do conceito de centro de gravidade, ou seja, prova de que em qualquer corpo existe um único ponto no qual seu peso pode ser concentrado sem violar o estado de equilíbrio.

O centro de gravidade de um corpo é um ponto de um corpo rígido através do qual a resultante de todas as forças de gravidade que atuam sobre as massas elementares desse corpo passa em qualquer posição no espaço.

Centro de gravidade do sistema mecânico o ponto é chamado, em relação ao qual o momento total de gravidade atuando em todos os corpos do sistema é igual a zero.

Simplificando, Centro de gravidade- este é o ponto em que a força da gravidade é aplicada, independentemente da posição do próprio corpo. Se o corpo for uniforme, Centro de gravidade geralmente localizado no centro geométrico do corpo. Assim, o centro de gravidade em um cubo homogêneo ou em uma esfera homogênea coincide com o centro geométrico desses corpos.

Se as dimensões do corpo são pequenas em comparação com o raio da Terra, podemos supor que as forças de gravidade de todas as partículas do corpo formam um sistema de forças paralelas. Sua resultante é chamada gravidade, e o centro dessas forças paralelas é centro de gravidade do corpo.

As coordenadas do centro de gravidade do corpo podem ser determinadas pelas fórmulas (Fig. 7.1):

, , ,

Onde - peso corporal XI, e eu, z eu– coordenadas de uma partícula elementar, peso P eu;.

As fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade de um corpo são exatas, estritamente falando, somente quando o corpo é dividido em um número infinito de partículas elementares infinitamente pequenas pesando P eu. Se o número de partículas nas quais o corpo é mentalmente dividido for finito, então, no caso geral, essas fórmulas serão aproximadas, pois as coordenadas x i , y i , z i neste caso, eles só podem ser determinados com uma precisão de tamanhos de partícula. Quanto menores forem essas partículas, menor será o erro que cometeremos ao calcular as coordenadas do centro de gravidade. Expressões exatas só podem ser alcançadas como resultado da passagem ao limite, quando o tamanho de cada partícula tende a zero e seu número aumenta indefinidamente. Como você sabe, esse limite é chamado de integral definida. Portanto, a determinação real das coordenadas dos centros de gravidade dos corpos no caso geral requer a substituição das somas pelas integrais correspondentes a elas e a aplicação dos métodos de cálculo integral.

Se a massa dentro de um corpo rígido ou sistema mecânico for distribuída de maneira não uniforme, o centro de gravidade se desloca para a parte onde é mais pesado.

O centro de gravidade de um corpo nem sempre pode estar localizado dentro do próprio corpo. Assim, por exemplo, o centro de gravidade do bumerangue está em algum lugar no meio entre as extremidades do bumerangue, mas fora do próprio corpo do bumerangue.

Para fixar cargas, a posição do centro de gravidade é muito importante. É neste ponto que são aplicadas as forças da gravidade e as forças de inércia que atuam sobre a carga no processo de movimentação. Quanto mais alto o centro de gravidade de um corpo ou sistema mecânico, mais propenso está a tombar.

O centro de gravidade do corpo coincide com o centro de massa.

Qualquer corpo pode ser considerado como um conjunto de pontos materiais, que, por exemplo, podem ser tomados como moléculas. Seja o corpo constituído por n pontos materiais com massas m1, m2, ...mn.

centro de massa do corpo, consistindo de n pontos materiais, é chamado de ponto (no sentido geométrico), cujo raio vetor é determinado pela fórmula:

Aqui R1 é o raio vetor do ponto com número i (i = 1, 2, ... n).

Essa definição parece incomum, mas na verdade dá a posição do próprio centro de massa, sobre o qual temos uma ideia intuitiva. Por exemplo, o centro de massa da haste estará no meio. A soma das massas de todos os pontos incluídos no denominador da fórmula acima é chamada de massa do corpo. peso corporal chamado a soma das massas de todos os seus pontos: m = m1 + m2 + ... + mn .

Em corpos homogêneos simétricos, o CM está sempre localizado no centro de simetria ou fica no eixo de simetria se a figura não tiver centro de simetria. O centro de massa pode estar localizado tanto dentro do corpo (disco, quadrado, triângulo) quanto fora dele (anel, moldura, quadrado).

Para uma pessoa, a posição do CM depende da postura adotada. Em muitos esportes, um componente importante do sucesso é a capacidade de manter o equilíbrio. Então, na ginástica, acrobacia

um grande número de elementos incluirá diferentes tipos de equilíbrio. A capacidade de manter o equilíbrio é importante na patinação artística, na patinação, onde o suporte tem uma área muito pequena.

As condições de equilíbrio para um corpo em repouso são a igualdade simultânea a zero da soma das forças e a soma dos momentos das forças que atuam sobre o corpo.

Vamos descobrir que posição o eixo de rotação deve ocupar para que o corpo nele fixado permaneça em equilíbrio sob a ação da gravidade. Para fazer isso, vamos quebrar o corpo em vários pedaços pequenos e desenhar as forças da gravidade que atuam sobre eles.

De acordo com a regra dos momentos, para o equilíbrio é necessário que a soma dos momentos de todas essas forças em relação ao eixo seja igual a zero.

Pode-se mostrar que para cada corpo existe um único ponto onde a soma dos momentos de gravidade em relação a qualquer eixo que passa por esse ponto é igual a zero. Este ponto é chamado de centro de gravidade (geralmente coincide com o centro de massa).

Centro de gravidade do corpo (CG) chamado o ponto sobre o qual a soma dos momentos de gravidade agindo em todas as partículas do corpo é igual a zero.

Assim, as forças da gravidade não fazem o corpo girar em torno do centro de gravidade. Portanto, todas as forças da gravidade poderiam ser substituídas por uma única força que é aplicada a este ponto e é igual à força da gravidade.

Para estudar os movimentos do corpo de um atleta, o termo centro de gravidade comum (CGG) é frequentemente introduzido. Principais propriedades do centro de gravidade:

Se o corpo estiver fixo em um eixo que passa pelo centro de gravidade, a gravidade não fará com que ele gire;

O centro de gravidade é o ponto de aplicação da gravidade;

Em um campo uniforme, o centro de gravidade coincide com o centro de massa.

Equilíbrio é a posição do corpo em que ele pode permanecer em repouso por um tempo arbitrariamente longo. Quando o corpo se desvia da posição de equilíbrio, as forças que atuam sobre ele mudam e o equilíbrio de forças é perturbado.

Existem vários tipos de equilíbrio (Fig. 9). Costuma-se distinguir três tipos de equilíbrio: estável, instável e indiferente.

O equilíbrio estável (Fig. 9, a) é caracterizado pelo fato de que o corpo retorna à sua posição original quando é desviado. Nesse caso, surgem forças, ou momentos de forças, tendendo a devolver o corpo à sua posição original. Um exemplo é a posição do corpo com um apoio superior (por exemplo, pendurado na trave), quando, com qualquer desvio, o corpo tende a retornar à sua posição original.

O equilíbrio indiferente (Fig. 9, b) é caracterizado pelo fato de que, quando a posição do corpo muda, não há forças ou momentos de forças que tendem a retornar o corpo à sua posição original ou a removê-lo ainda mais. Esta é uma ocorrência rara em humanos. Um exemplo é o estado de ausência de peso em uma nave espacial.

O equilíbrio instável (Fig. 9, c) é observado quando, com pequenos desvios do corpo, surgem forças ou momentos de forças que tendem a desviar ainda mais o corpo de sua posição inicial. Tal caso pode ser observado quando uma pessoa, de pé sobre um suporte de uma área muito pequena (muito menor que a área de suas duas pernas ou mesmo de uma perna), se desvia para o lado.

Figura 9 Equilíbrio corporal: estável (a), indiferente (b), instável (c)

Junto com os tipos listados de equilíbrio de corpos em biomecânica, mais um tipo de equilíbrio é considerado - limitado-estável. Esse tipo de equilíbrio se distingue pelo fato de que o corpo pode retornar à sua posição inicial se dela se desviar até um certo limite, por exemplo, determinado pelo limite da área de apoio. Se o desvio ultrapassar esse limite, o equilíbrio torna-se instável.

A principal tarefa para garantir o equilíbrio do corpo humano é garantir que a projeção do GCM do corpo esteja dentro da área de suporte. Dependendo do tipo de atividade (manutenção de uma posição estática, caminhada, corrida, etc.) e dos requisitos de estabilidade, a frequência e a velocidade das ações corretivas mudam, mas os processos de manutenção do equilíbrio são os mesmos.

A distribuição de massa no corpo humano

A massa do corpo e as massas dos segmentos individuais são muito importantes para vários aspectos da biomecânica. Em muitos esportes, é necessário conhecer a distribuição de massa para desenvolver a técnica correta para a execução dos exercícios. Para analisar os movimentos do corpo humano, é utilizado o método de segmentação: é convencionalmente dividido em determinados segmentos. Para cada segmento, sua massa e a posição do centro de massa são determinadas. Na tabela. 1 define as massas das partes do corpo em unidades relativas.

Tabela 1. Massas de partes do corpo em unidades relativas

Freqüentemente, em vez do conceito de centro de massa, outro conceito é usado - o centro de gravidade. Em um campo de gravidade uniforme, o centro de gravidade sempre coincide com o centro de massa. A posição do centro de gravidade do elo é indicada como sua distância do eixo da articulação proximal e é expressa em relação ao comprimento do elo tomado como uma unidade.

Na tabela. 2 mostra a posição anatômica dos centros de gravidade de várias partes do corpo.

Mesa 2. Centros de gravidade das partes do corpo

Parte do corpo	Posição do centro de gravidade
Quadril	0,44 comprimento do link
canela	0,42 comprimento do link
Ombro	0,47 comprimento do link
Antebraço	0,42 comprimento do link
tronco
Cabeça
Escovar
Pé
Ombro	0,47 comprimento do link
Antebraço	0,42 comprimento do link
tronco	0,44 distância do eixo transversal das articulações do ombro ao eixo do quadril
Cabeça	Localizado na região da sela turca do osso esfenóide (projeção da frente entre as sobrancelhas, do lado - 3,0 - 3,5 acima do canal auditivo externo)
Escovar	Na região da cabeça do terceiro metacarpo
Pé	Em uma linha reta conectando o tubérculo calcâneo do calcâneo com a ponta do segundo dedo a uma distância de 0,44 do primeiro ponto
O centro geral de massa de gravidade na posição vertical do corpo	Localizado na postura principal na região pélvica, em frente ao sacro

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Análise

braço de alavanca é um corpo rígido que tem um eixo de rotação imóvel e está sob a ação de forças situadas em um plano perpendicular a esse eixo.

Se a alavanca estiver em repouso, a soma algébrica dos momentos de todas as forças aplicadas à alavanca em relação ao ponto de referência é zero

Sistema plano arbitrário de forças - este é um sistema de forças, cujas linhas de ação estão localizadas em um plano de forma independente.

Utilizando o método de Poinsot no centro de redução O, obter-se-á um sistema de forças e um sistema de pares, cujos momentos de cada um são iguais aos momentos da força correspondente em relação ao centro de redução.

Sistema vetorial principal é chamado de vetor, que é igual à soma geométrica de todas as forças do sistema.

O ponto principal do sistema em relação ao centro O no plano é chamado de soma algébrica dos momentos de forças do sistema em relação ao centro de redução O.

O vetor principal não depende da escolha do centro de redução O. O momento principal das forças depende do centro de redução.

Teorema básico da estática sobre trazer o sistema de forças para um determinado centro : Qualquer sistema plano arbitrário de forças atuando sobre um corpo absolutamente rígido, quando reduzido a um centro arbitrariamente escolhido O, pode ser substituído por uma força igual ao vetor principal do sistema e aplicada no centro de redução O, e um par com um momento igual ao momento principal do sistema em relação ao centro O.

São considerados os casos de redução de um sistema plano de forças a uma forma mais simples.

Condições de equilíbrio para um sistema plano arbitrário de forças.

1. Condições de equilíbrio geométrico : para o equilíbrio de um sistema arbitrário plano de forças, é necessário e suficiente que o vetor principal e o momento principal do sistema sejam iguais a zero

2. Condições de equilíbrio analítico .

Forma básica das condições de equilíbrio: Para o equilíbrio de um sistema plano arbitrário de forças, é necessário e suficiente que a soma das projeções de todas as forças nos eixos coordenados e a soma de seus momentos relativos a qualquer centro que esteja no plano de ação das forças são iguais a zero.

A segunda forma de condições de equilíbrio: Para o equilíbrio de um sistema arbitrário de forças planas, é necessário e suficiente que a soma dos momentos de todas as forças sobre quaisquer dois centros A e B e a soma de suas projeções em um eixo não perpendicular à linha reta AB sejam igual a zero.

A terceira forma de condições de equilíbrio (a equação dos três momentos): Para o equilíbrio de um sistema arbitrário plano de forças, é necessário e suficiente que a soma dos momentos de todas as forças sobre quaisquer três centros A, B e C, não situados em uma linha reta, seja igual a zero.

Centro de Forças Paralelas

Um sistema de forças paralelas dirigidas em uma direção não pode ser equilibrado ou reduzido a um par de forças, ele sempre tem uma resultante.

A linha de ação da resultante é paralela às forças. A posição do ponto de sua aplicação depende da magnitude e posição dos pontos de aplicação das forças do sistema.

Centro de Forças Paralelas - o ponto C é o ponto de aplicação do sistema resultante de forças paralelas.
A posição do centro de forças paralelas - ponto C, é determinada pelas coordenadas deste ponto

O centro de gravidade de um corpo rígido e suas coordenadas

Centro de gravidade do corpo - um ponto geométrico invariavelmente associado a este corpo, no qual é aplicada a resultante das forças de gravidade de partículas individuais do corpo, ou seja, peso corporal no espaço.

As coordenadas do centro de gravidade são determinadas de forma semelhante às coordenadas do centro de forças paralelas C (), composto pelas forças de gravidade das partículas do corpo.

A posição do centro de gravidade de um corpo homogêneo depende apenas de sua forma geométrica e dimensões, e não depende das propriedades do material do qual o corpo é feito.

A soma dos produtos das áreas elementares que compõem uma figura plana pelos valores algébricos de suas distâncias a algum eixo é chamada de momento estático da área da figura plana.

momento estático a área de uma figura plana é igual ao produto da área da figura pela distância algébrica do centro de gravidade a este eixo. A unidade de medida para o momento estático é [cm3].
o momento estático da área de uma figura plana em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade da figura é igual a zero.

O peso corporal é o resultado das forças de gravidade das partículas individuais do corpo.

Métodos para determinar a posição do centro de gravidade .

1. método de simetria : Se um corpo homogêneo tem um plano, eixo ou centro de simetria, então o centro de gravidade está, respectivamente, no plano de simetria, ou no eixo de simetria, ou no centro de simetria. O centro de gravidade de uma linha de comprimento está no meio. O centro de gravidade de um círculo (ou círculo) de raio está em seu centro, ou seja, no ponto de interseção dos diâmetros. O centro de gravidade de um paralelogramo, losango ou paralelepípedo está no ponto de interseção das diagonais. O centro de gravidade de um polígono regular está no centro de um círculo inscrito ou circunscrito.
2. método de implantação : Se o corpo pode ser dividido em um número finito de elementos (volumes, planos, linhas), para cada um dos quais a posição do centro de gravidade é conhecida, então as coordenadas do centro de gravidade de todo o corpo podem ser determinadas por conhecendo os valores dos elementos diretamente pelas fórmulas
3. método complementar (planos negativos): Se o corpo tiver elementos cortados, ao dividir em elementos, a parte cortada (área, volume) é subtraída do total, ou seja, elementos cortados recebem valores negativos de área ou volume

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