Primeiro nível

Equações lineares. Guia Completo (2019)

O que são "equações lineares"

ou verbalmente - três amigos receberam maçãs cada, com base no fato de que Vasya tem todas as maçãs.

E agora você decidiu equação linear
Agora vamos dar a este termo uma definição matemática.

Equação linear - é uma equação algébrica cujo grau total de seus polinômios constituintes é. Se parece com isso:

Onde e são quaisquer números e

Para o nosso caso com Vasya e maçãs, escreveremos:

- “se Vasya der a todos os três amigos o mesmo número de maçãs, ele não terá mais maçãs”

Equações lineares "ocultas", ou a importância de transformações idênticas

Apesar do fato de que, à primeira vista, tudo é extremamente simples, ao resolver equações, você precisa ter cuidado, porque as equações lineares são chamadas não apenas de equações da forma, mas também de quaisquer equações reduzidas a essa forma por transformações e simplificações. Por exemplo:

Vemos que está à direita, o que, em tese, já indica que a equação não é linear. Além disso, se abrirmos os colchetes, obteremos mais dois termos em que será, mas não tire conclusões precipitadas! Antes de julgar se a equação é linear, é necessário fazer todas as transformações e assim simplificar o exemplo original. Nesse caso, as transformações podem mudar a aparência, mas não a própria essência da equação.

Em outras palavras, essas transformações devem ser idêntico ou equivalente. Existem apenas duas dessas transformações, mas elas desempenham um papel muito, MUITO importante na resolução de problemas. Vamos considerar ambas as transformações em exemplos concretos.

Mover para a esquerda - direita.

Digamos que precisamos resolver a seguinte equação:

De volta à escola primária, nos disseram: "com X - à esquerda, sem X - à direita". Que expressão com x está à direita? Certo, não como não. E isso é importante, porque se essa pergunta aparentemente simples for mal compreendida, a resposta errada sai. E qual é a expressão com x à esquerda? Corretamente, .

Agora que lidamos com isso, transferimos todos os termos com incógnitas para a esquerda, e tudo o que é conhecido para a direita, lembrando que se não houver sinal na frente do número, por exemplo, então o número é positivo, que ou seja, é precedido pelo sinal " ".

Mudou-se? O que você conseguiu?

Tudo o que resta a ser feito é trazer termos semelhantes. Apresentamos:

Assim, analisamos com sucesso a primeira transformação idêntica, embora eu tenha certeza de que você já a conhecia e a usou ativamente sem mim. O principal - não se esqueça dos sinais dos números e altere-os para o oposto ao transferir pelo sinal de igual!

Multiplicação-divisão.

Vamos começar imediatamente com um exemplo

Olhamos e pensamos: o que não gostamos neste exemplo? O desconhecido está todo em uma parte, o conhecido está na outra, mas algo está nos parando... E isso é algo - um quatro, porque se não estivesse lá, tudo seria perfeito - x é igual a um número - exatamente como precisamos!

Como você pode se livrar dele? Não podemos transferir para a direita, porque aí precisamos transferir o multiplicador inteiro (não podemos pegar e arrancar dele), e transferir o multiplicador inteiro também não faz sentido...

É hora de lembrar sobre a divisão, em conexão com a qual dividiremos tudo! Todos - isso significa tanto o lado esquerdo quanto o direito. Assim e somente assim! O que obtemos?

Aqui está a resposta.

Vejamos agora outro exemplo:

Adivinha o que fazer neste caso? Isso mesmo, multiplique as partes esquerda e direita por! Que resposta você obteve? Corretamente. .

Certamente você já sabia tudo sobre transformações idênticas. Considere que acabamos de atualizar esse conhecimento em sua memória e é hora de algo mais - Por exemplo, para resolver nosso grande exemplo:

Como dissemos anteriormente, olhando para ela, você não pode dizer que essa equação é linear, mas precisamos abrir os colchetes e realizar transformações idênticas. Então vamos começar!

Para começar, lembramos as fórmulas da multiplicação abreviada, em particular, o quadrado da soma e o quadrado da diferença. Se você não lembra o que é e como os colchetes são abertos, recomendo fortemente a leitura do tópico, pois essas habilidades serão úteis para você resolver quase todos os exemplos encontrados na prova.
Revelado? Comparar:

Agora é hora de trazer termos semelhantes. Você se lembra como nos disseram nas mesmas aulas primárias “não colocamos moscas com costeletas”? Aqui estou eu te lembrando disso. Adicionamos tudo separadamente - fatores que possuem, fatores que possuem e outros fatores que não possuem incógnitas. Ao trazer termos semelhantes, mova todas as incógnitas para a esquerda e tudo o que for conhecido para a direita. O que você conseguiu?

Como você pode ver, o quadrado x desapareceu e vemos um equação linear. Resta apenas encontrar!

E, finalmente, direi mais uma coisa muito importante sobre transformações idênticas - transformações idênticas são aplicáveis ​​não apenas para equações lineares, mas também para quadrados, racionais fracionários e outros. Você só precisa lembrar que ao transferir fatores pelo sinal de igual, mudamos o sinal para o oposto, e ao dividir ou multiplicar por algum número, multiplicamos/dividimos os dois lados da equação pelo MESMO número.

O que mais você tirou desse exemplo? Que olhando para uma equação nem sempre é possível determinar direta e precisamente se ela é linear ou não. Você deve primeiro simplificar completamente a expressão e só então julgar o que é.

Equações lineares. Exemplos.

Aqui estão mais alguns exemplos para você praticar por conta própria - determine se a equação é linear e, em caso afirmativo, encontre suas raízes:

Respostas:

1. É.

2. não é.

Vamos abrir os colchetes e dar termos semelhantes:

Vamos fazer uma transformação idêntica - dividimos as partes esquerda e direita em:

Vemos que a equação não é linear, então não há necessidade de procurar suas raízes.

3. É.

Vamos fazer uma transformação idêntica - multiplique as partes esquerda e direita por para se livrar do denominador.

Pense por que é tão importante? Se você souber a resposta para essa pergunta, passamos a resolver ainda mais a equação, se não, não deixe de analisar o tópico para não cometer erros em exemplos mais complexos. By the way, como você pode ver, uma situação em que é impossível. Por quê?
Então vamos em frente e reorganizar a equação:

Se você lidou com tudo sem dificuldade, vamos falar sobre equações lineares com duas variáveis.

Equações lineares com duas variáveis

Agora vamos passar para um um pouco mais complicado - equações lineares com duas variáveis.

Equações lineares com duas variáveis ​​se parece com:

Onde, e são quaisquer números e.

Como você pode ver, a única diferença é que mais uma variável é adicionada à equação. E então tudo é o mesmo - não há x ao quadrado, não há divisão por uma variável, etc. etc.

Que exemplo de vida para lhe dar... Tomemos o mesmo Vasya. Suponha que ele decida dar a cada um de seus 3 amigos o mesmo número de maçãs e ficar com as maçãs para si. Quantas maçãs Vasya precisa comprar se der uma maçã a cada amigo? A respeito? E se por?

A dependência do número de maçãs que cada pessoa receberá do número total de maçãs que precisam ser compradas será expressa pela equação:

• - o número de maçãs que uma pessoa receberá (, ou, ou);
• - o número de maçãs que Vasya levará para si;
• - quantas maçãs Vasya precisa comprar, levando em consideração o número de maçãs por pessoa.

Resolvendo este problema, temos que se Vasya der uma maçã a um amigo, então ele precisa comprar pedaços, se ele der maçãs - e assim por diante.

E de um modo geral. Temos duas variáveis. Por que não plotar essa dependência em um gráfico? Construímos e marcamos o valor do nosso, ou seja, pontos, com coordenadas, e!

Como você pode ver, e dependem um do outro linearmente, daí o nome das equações - “ linear».

Abstraímos de maçãs e consideramos equações graficamente diferentes. Observe atentamente os dois gráficos construídos - uma linha reta e uma parábola, dados por funções arbitrárias:

Encontre e marque os pontos correspondentes em ambas as figuras.
O que você conseguiu?

Você pode ver que no gráfico da primeira função sozinho corresponde 1, ou seja, e linearmente dependem um do outro, o que não pode ser dito sobre a segunda função. Claro, você pode objetar que no segundo gráfico, x também corresponde a - , mas este é apenas um ponto, ou seja, um caso especial, pois você ainda pode encontrar um que corresponda a mais de um. E o gráfico construído não se assemelha a uma linha de forma alguma, mas é uma parábola.

Repito, mais uma vez: o gráfico de uma equação linear deve ser uma linha RETA.

Com o fato de que a equação não será linear, se formos até certo ponto - isso é compreensível usando o exemplo de uma parábola, embora para você mesmo você possa construir mais alguns gráficos simples, por exemplo ou. Mas garanto a você - nenhum deles será uma LINHA RETA.

Não confie? Construa e compare com o que eu obtive:

E o que acontece se dividirmos algo por, por exemplo, algum número? Haverá uma dependência linear e? Não vamos discutir, mas vamos construir! Por exemplo, vamos traçar um gráfico de função.

De alguma forma, não parece uma linha reta construída ... consequentemente, a equação não é linear.
Vamos resumir:

1. Equação linear -é uma equação algébrica na qual o grau total de seus polinômios constituintes é igual.
2. Equação linear com uma variável se parece com:
   , onde e são quaisquer números;
   Equação linear com duas variáveis:
   , onde e são quaisquer números.
3. Nem sempre é possível determinar imediatamente se uma equação é linear ou não. Às vezes, para entender isso, é necessário realizar transformações idênticas, mover termos semelhantes para a esquerda/direita, não esquecendo de mudar o sinal, ou multiplicar/dividir ambas as partes da equação pelo mesmo número.

EQUAÇÕES LINEARES. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

1. Equação linear

Esta é uma equação algébrica na qual o grau total de seus polinômios constituintes é igual.

2. Equação linear com uma variável parece:

Onde e são quaisquer números;

3. Equação linear com duas variáveis parece:

Onde, e são quaisquer números.

4. Transformações de identidade

Para determinar se a equação é linear ou não, é necessário fazer transformações idênticas:

• mover termos semelhantes para a esquerda/direita, não esquecendo de mudar o sinal;
• multiplique/divida ambos os lados da equação pelo mesmo número.

Aprender a resolver equações é uma das principais tarefas que a álgebra impõe aos alunos. Começando com o mais simples, quando consiste em um desconhecido, e indo para os mais e mais complexos. Se você não domina as ações a serem executadas com as equações do primeiro grupo, será difícil lidar com as outras.

Para continuar a conversa, precisamos concordar com a notação.

Forma geral de uma equação linear com uma incógnita e o princípio de sua solução

Qualquer equação que possa ser escrita assim:

a * x = em,

chamado linear. Esta é a fórmula geral. Mas muitas vezes nas tarefas, as equações lineares são escritas de forma implícita. Em seguida, é necessário realizar transformações idênticas para obter uma notação geralmente aceita. Essas ações incluem:

• suportes de abertura;
• movendo todos os termos com valor variável para o lado esquerdo da igualdade e o restante para a direita;
• redução de termos semelhantes.

No caso de um valor desconhecido estar no denominador de uma fração, é necessário determinar seus valores para os quais a expressão não fará sentido. Em outras palavras, supõe-se que ele conheça o domínio da equação.

O princípio pelo qual todas as equações lineares são resolvidas é dividir o valor do lado direito da equação pelo coeficiente na frente da variável. Ou seja, "x" será igual a /a.

Casos particulares de uma equação linear e suas soluções

Durante o raciocínio, pode haver momentos em que as equações lineares assumem uma das formas especiais. Cada um deles tem uma solução específica.

Na primeira situação:

a * x = 0, e a ≠ 0.

A solução desta equação será sempre x = 0.

No segundo caso, "a" assume o valor igual a zero:

0 * x = 0.

A resposta a esta equação é qualquer número. Ou seja, tem um número infinito de raízes.

A terceira situação fica assim:

0*x=dentro, onde em ≠ 0.

Essa equação não faz sentido. Porque não há raízes que o satisfaçam.

Forma geral de uma equação linear com duas variáveis

De seu nome fica claro que já existem duas quantidades desconhecidas nele. Equações lineares com duas variáveis parece com isso:

a * x + b * y = c.

Como há duas incógnitas na entrada, a resposta parecerá um par de números. Ou seja, não basta especificar apenas um valor. Esta será uma resposta incompleta. O par de quantidades em que a equação se torna uma identidade é uma solução para a equação. Além disso, na resposta, a variável que vem primeiro no alfabeto é sempre escrita primeiro. Às vezes é dito que esses números o satisfazem. Além disso, pode haver um número infinito de tais pares.

Como resolver uma equação linear com duas incógnitas?

Para fazer isso, você só precisa pegar qualquer par de números que esteja correto. Para simplificar, você pode tomar uma das incógnitas igual a algum número primo e, em seguida, encontrar o segundo.

Ao resolver, muitas vezes você precisa realizar ações para simplificar a equação. Eles são chamados de transformações idênticas. Além disso, as seguintes propriedades são sempre verdadeiras para equações:

• cada termo pode ser transferido para a parte oposta da igualdade substituindo seu sinal pelo oposto;
• os lados esquerdo e direito de qualquer equação podem ser divididos pelo mesmo número, se não for igual a zero.

Exemplos de tarefas com equações lineares

Primeira tarefa. Resolva equações lineares: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Na equação que vem primeiro nesta lista, basta dividir 20 por 4. O resultado será 5. Esta é a resposta: x \u003d 5.

A terceira equação requer que a transformação de identidade seja realizada. Ela consistirá em abrir parênteses e trazer termos semelhantes. Após a primeira ação, a equação terá a forma: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Então você precisa transferir todas as incógnitas para o lado esquerdo da igualdade e o restante para a direita. A equação ficará assim: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Depois de trazer termos semelhantes: 14x \u003d 16. Agora parece o mesmo que o primeiro, e sua solução é fácil de encontrar. A resposta é x = 8/7. Mas na matemática é suposto isolar a parte inteira de uma fração imprópria. Então o resultado será transformado, e "x" será igual a um inteiro e um sétimo.

Nos demais exemplos, as variáveis ​​estão no denominador. Isso significa que primeiro você precisa descobrir para quais valores as equações são definidas. Para fazer isso, você precisa excluir números nos quais os denominadores se transformam em zero. No primeiro dos exemplos é "-4", no segundo é "-3". Ou seja, esses valores devem ser excluídos da resposta. Depois disso, você precisa multiplicar ambos os lados da igualdade pelas expressões no denominador.

Abrindo os colchetes e trazendo termos semelhantes, na primeira dessas equações fica: 5x + 15 = 4x + 16, e na segunda 5x + 15 = 4x + 12. Após as transformações, a solução da primeira equação será x = -1. O segundo acaba sendo igual a "-3", o que significa que o último não tem soluções.

Segunda tarefa. Resolva a equação: -7x + 2y = 5.

Suponha que a primeira incógnita x \u003d 1, então a equação tenha a forma -7 * 1 + 2y \u003d 5. Transferindo o multiplicador "-7" para o lado direito da igualdade e alterando seu sinal para mais, vira fora que 2y \u003d 12. Então, y = 6. Resposta: uma das soluções da equação x = 1, y = 6.

Forma geral de desigualdade com uma variável

Todas as situações possíveis para as desigualdades são apresentadas aqui:

• a * x > b;
• machado< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

Em geral, parece a equação linear mais simples, apenas o sinal de igual é substituído por uma desigualdade.

Regras para transformações idênticas de desigualdade

Assim como as equações lineares, as desigualdades podem ser modificadas de acordo com certas leis. Eles se resumem a isso:

1. qualquer expressão literal ou numérica pode ser adicionada às partes esquerda e direita da desigualdade, e o sinal de desigualdade permanecerá o mesmo;
2. também é possível multiplicar ou dividir pelo mesmo número positivo, a partir disso novamente o sinal não muda;
3. ao multiplicar ou dividir pelo mesmo número negativo, a igualdade permanecerá verdadeira, desde que o sinal da desigualdade seja invertido.

Forma geral de duplas desigualdades

Nas tarefas, as seguintes variantes de desigualdades podem ser apresentadas:

• dentro< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• dentro< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

É chamado de duplo porque é limitado por sinais de desigualdade em ambos os lados. É resolvido usando as mesmas regras que as desigualdades usuais. E encontrar a resposta se resume a uma série de transformações idênticas. Até que o mais simples seja obtido.

Características de resolver inequações duplas

A primeira delas é sua imagem no eixo de coordenadas. Não há necessidade de usar este método para desigualdades simples. Mas em casos difíceis, pode ser simplesmente necessário.

Para representar a desigualdade, é necessário marcar no eixo todos os pontos que foram obtidos durante o raciocínio. Esses são valores inválidos, indicados por pontos, e valores de desigualdades obtidas após transformações. Aqui, também, é importante desenhar os pontos corretamente. Se a desigualdade é estrita, então< или >, então esses valores são puncionados. Em desigualdades não estritas, os pontos devem ser pintados.

Então é necessário indicar o significado das desigualdades. Isso pode ser feito com hachuras ou arcos. Sua interseção indicará a resposta.

A segunda característica está relacionada à sua gravação. Duas opções são oferecidas aqui. A primeira é a desigualdade final. A segunda é na forma de lacunas. É aqui que ele entra em apuros. A resposta em intervalos sempre se parece com uma variável com um sinal de propriedade e parênteses com números. Às vezes, há várias lacunas, então você precisa escrever o símbolo “e” entre os colchetes. Esses sinais são assim: ∈ e ∩. Os colchetes de espaçamento também desempenham um papel. A rodada é colocada quando o ponto é excluído da resposta e a retangular inclui esse valor. O sinal do infinito está sempre entre parênteses.

Exemplos de solução de inequações

1. Resolva a inequação 7 - 5x ≥ 37.

Após transformações simples, fica: -5x ≥ 30. Dividindo por “-5”, você pode obter a seguinte expressão: x ≤ -6. Isso já é uma resposta, mas pode ser escrito de outra forma: x ∈ (-∞; -6].

2. Resolva a dupla desigualdade -4< 2x + 6 ≤ 8.

Primeiro você precisa subtrair 6 em todos os lugares. Acontece: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Sistemas de equações são amplamente utilizados na indústria econômica na modelagem matemática de vários processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.

Os sistemas de equações são usados ​​não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de encontrar o tamanho da população.

Um sistema de equações lineares é um termo para duas ou mais equações com várias variáveis ​​para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para os quais todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.

Equação linear

Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação traçando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.

Tipos de sistemas de equações lineares

Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis ​​X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis ​​de função.

Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.

Um par de valores (x, y), escrito como coordenadas de ponto, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.

Se os sistemas têm uma solução comum ou não há solução, eles são chamados de equivalentes.

Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, esse sistema não é homogêneo.

O número de variáveis ​​pode ser muito mais do que dois, então devemos falar sobre um exemplo de um sistema de equações lineares com três variáveis ​​ou mais.

Diante dos sistemas, os escolares assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.

Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações

Não existe uma maneira analítica geral de resolver tais sistemas, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. O curso de matemática escolar descreve em detalhes métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como o método gráfico e matricial, a solução pelo método de Gauss.

A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um método específico.

A solução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª série do programa escolar de ensino geral é bastante simples e explicada em grande detalhe. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos das instituições de ensino superior.

Solução de sistemas pelo método de substituição

As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável por meio da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema

Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método de substituição:

Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . A solução deste exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor de Y. O último passo é verificar os valores obtidos.

Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito complicada para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.

Solução de um exemplo de um sistema de equações lineares não homogêneas:

Solução usando adição algébrica

Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, são realizadas a adição termo a termo e a multiplicação de equações por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação com uma variável.

As aplicações deste método requerem prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição com o número de variáveis ​​3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.

Algoritmo de ação da solução:

1. Multiplique ambos os lados da equação por algum número. Como resultado da operação aritmética, um dos coeficientes da variável deve se tornar igual a 1.
2. Some a expressão resultante termo a termo e encontre uma das incógnitas.
3. Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.

Método de solução introduzindo uma nova variável

Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que duas.

O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.

Pode-se ver pelo exemplo que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrado padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.

É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.

A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.

Um método visual para resolver sistemas

Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em traçar gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas serão a solução geral do sistema.

O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.

Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.

Os passos devem ser repetidos para a segunda equação. O ponto de intersecção das linhas é a solução do sistema.

No exemplo a seguir, é necessário encontrar uma solução gráfica para o sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.

Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, porque os gráficos são paralelos e não se cruzam ao longo de todo o seu comprimento.

Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um grafo.

Matrix e suas variedades

As matrizes são usadas para escrever brevemente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas e m - colunas.

Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outros elementos nulos é chamada identidade.

Uma matriz inversa é uma tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.

Regras para transformar um sistema de equações em uma matriz

No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.

Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis ​​for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.

As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo na primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.

Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são multiplicados sequencialmente por um número.

Opções para encontrar a matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa é bem simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa e |K| - determinante matricial. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.

O determinante é facilmente calculado para uma matriz de dois por dois, bastando apenas multiplicar os elementos diagonalmente um pelo outro. Para a opção "três por três", existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.

Solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método matricial

O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir entradas complicadas ao resolver sistemas com um grande número de variáveis ​​e equações.

No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis ​​e b n são os termos livres.

Solução de sistemas pelo método de Gauss

Na matemática superior, o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de resolução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados ​​para encontrar as variáveis ​​de sistemas com um grande número de equações lineares.

O método gaussiano é muito semelhante às soluções de substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução gaussiana é usada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. Por transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.

Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis ​​conhecidas nas equações do sistema.

Nos livros escolares da 7ª série, um exemplo de solução gaussiana é descrito a seguir:

Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis ​​x n.

O Teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.

O método de Gauss é difícil para os alunos do ensino médio entenderem, mas é uma das maneiras mais interessantes de desenvolver a engenhosidade das crianças que estudam no programa de estudos avançados nas aulas de matemática e física.

Para facilitar o registro dos cálculos, é comum fazer o seguinte:

Coeficientes de equação e termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.

Primeiro, eles escrevem a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a realizar as operações algébricas necessárias até que o resultado seja alcançado.

Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.

Essa notação é menos complicada e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.

A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.

Aprender a resolver equações é uma das principais tarefas que a álgebra impõe aos alunos. Começando com o mais simples, quando consiste em um desconhecido, e indo para os mais e mais complexos. Se você não domina as ações a serem executadas com as equações do primeiro grupo, será difícil lidar com as outras.

Para continuar a conversa, precisamos concordar com a notação.

Forma geral de uma equação linear com uma incógnita e o princípio de sua solução

Qualquer equação que possa ser escrita assim:

a * x = em,

chamado linear. Esta é a fórmula geral. Mas muitas vezes nas tarefas, as equações lineares são escritas de forma implícita. Em seguida, é necessário realizar transformações idênticas para obter uma notação geralmente aceita. Essas ações incluem:

• suportes de abertura;
• movendo todos os termos com valor variável para o lado esquerdo da igualdade e o restante para a direita;
• redução de termos semelhantes.

No caso de um valor desconhecido estar no denominador de uma fração, é necessário determinar seus valores para os quais a expressão não fará sentido. Em outras palavras, supõe-se que ele conheça o domínio da equação.

O princípio pelo qual todas as equações lineares são resolvidas é dividir o valor do lado direito da equação pelo coeficiente na frente da variável. Ou seja, "x" será igual a /a.

Casos particulares de uma equação linear e suas soluções

Durante o raciocínio, pode haver momentos em que as equações lineares assumem uma das formas especiais. Cada um deles tem uma solução específica.

Na primeira situação:

a * x = 0, e a ≠ 0.

A solução desta equação será sempre x = 0.

No segundo caso, "a" assume o valor igual a zero:

0 * x = 0.

A resposta a esta equação é qualquer número. Ou seja, tem um número infinito de raízes.

A terceira situação fica assim:

0*x=dentro, onde em ≠ 0.

Essa equação não faz sentido. Porque não há raízes que o satisfaçam.

Forma geral de uma equação linear com duas variáveis

De seu nome fica claro que já existem duas quantidades desconhecidas nele. Equações lineares com duas variáveis parece com isso:

a * x + b * y = c.

Como há duas incógnitas na entrada, a resposta parecerá um par de números. Ou seja, não basta especificar apenas um valor. Esta será uma resposta incompleta. O par de quantidades em que a equação se torna uma identidade é uma solução para a equação. Além disso, na resposta, a variável que vem primeiro no alfabeto é sempre escrita primeiro. Às vezes é dito que esses números o satisfazem. Além disso, pode haver um número infinito de tais pares.

Como resolver uma equação linear com duas incógnitas?

Para fazer isso, você só precisa pegar qualquer par de números que esteja correto. Para simplificar, você pode tomar uma das incógnitas igual a algum número primo e, em seguida, encontrar o segundo.

Ao resolver, muitas vezes você precisa realizar ações para simplificar a equação. Eles são chamados de transformações idênticas. Além disso, as seguintes propriedades são sempre verdadeiras para equações:

• cada termo pode ser transferido para a parte oposta da igualdade substituindo seu sinal pelo oposto;
• os lados esquerdo e direito de qualquer equação podem ser divididos pelo mesmo número, se não for igual a zero.

Exemplos de tarefas com equações lineares

Primeira tarefa. Resolva equações lineares: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Na equação que vem primeiro nesta lista, basta dividir 20 por 4. O resultado será 5. Esta é a resposta: x \u003d 5.

A terceira equação requer que a transformação de identidade seja realizada. Ela consistirá em abrir parênteses e trazer termos semelhantes. Após a primeira ação, a equação terá a forma: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Então você precisa transferir todas as incógnitas para o lado esquerdo da igualdade e o restante para a direita. A equação ficará assim: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Depois de trazer termos semelhantes: 14x \u003d 16. Agora parece o mesmo que o primeiro, e sua solução é fácil de encontrar. A resposta é x = 8/7. Mas na matemática é suposto isolar a parte inteira de uma fração imprópria. Então o resultado será transformado, e "x" será igual a um inteiro e um sétimo.

Nos demais exemplos, as variáveis ​​estão no denominador. Isso significa que primeiro você precisa descobrir para quais valores as equações são definidas. Para fazer isso, você precisa excluir números nos quais os denominadores se transformam em zero. No primeiro dos exemplos é "-4", no segundo é "-3". Ou seja, esses valores devem ser excluídos da resposta. Depois disso, você precisa multiplicar ambos os lados da igualdade pelas expressões no denominador.

Abrindo os colchetes e trazendo termos semelhantes, na primeira dessas equações fica: 5x + 15 = 4x + 16, e na segunda 5x + 15 = 4x + 12. Após as transformações, a solução da primeira equação será x = -1. O segundo acaba sendo igual a "-3", o que significa que o último não tem soluções.

Segunda tarefa. Resolva a equação: -7x + 2y = 5.

Suponha que a primeira incógnita x \u003d 1, então a equação tenha a forma -7 * 1 + 2y \u003d 5. Transferindo o multiplicador "-7" para o lado direito da igualdade e alterando seu sinal para mais, vira fora que 2y \u003d 12. Então, y = 6. Resposta: uma das soluções da equação x = 1, y = 6.

Forma geral de desigualdade com uma variável

Todas as situações possíveis para as desigualdades são apresentadas aqui:

• a * x > b;
• machado< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

Em geral, parece a equação linear mais simples, apenas o sinal de igual é substituído por uma desigualdade.

Regras para transformações idênticas de desigualdade

Assim como as equações lineares, as desigualdades podem ser modificadas de acordo com certas leis. Eles se resumem a isso:

1. qualquer expressão literal ou numérica pode ser adicionada às partes esquerda e direita da desigualdade, e o sinal de desigualdade permanecerá o mesmo;
2. também é possível multiplicar ou dividir pelo mesmo número positivo, a partir disso novamente o sinal não muda;
3. ao multiplicar ou dividir pelo mesmo número negativo, a igualdade permanecerá verdadeira, desde que o sinal da desigualdade seja invertido.

Forma geral de duplas desigualdades

Nas tarefas, as seguintes variantes de desigualdades podem ser apresentadas:

• dentro< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• dentro< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

É chamado de duplo porque é limitado por sinais de desigualdade em ambos os lados. É resolvido usando as mesmas regras que as desigualdades usuais. E encontrar a resposta se resume a uma série de transformações idênticas. Até que o mais simples seja obtido.

Características de resolver inequações duplas

A primeira delas é sua imagem no eixo de coordenadas. Não há necessidade de usar este método para desigualdades simples. Mas em casos difíceis, pode ser simplesmente necessário.

Para representar a desigualdade, é necessário marcar no eixo todos os pontos que foram obtidos durante o raciocínio. Esses são valores inválidos, indicados por pontos, e valores de desigualdades obtidas após transformações. Aqui, também, é importante desenhar os pontos corretamente. Se a desigualdade é estrita, então< или >, então esses valores são puncionados. Em desigualdades não estritas, os pontos devem ser pintados.

Então é necessário indicar o significado das desigualdades. Isso pode ser feito com hachuras ou arcos. Sua interseção indicará a resposta.

A segunda característica está relacionada à sua gravação. Duas opções são oferecidas aqui. A primeira é a desigualdade final. A segunda é na forma de lacunas. É aqui que ele entra em apuros. A resposta em intervalos sempre se parece com uma variável com um sinal de propriedade e parênteses com números. Às vezes, há várias lacunas, então você precisa escrever o símbolo “e” entre os colchetes. Esses sinais são assim: ∈ e ∩. Os colchetes de espaçamento também desempenham um papel. A rodada é colocada quando o ponto é excluído da resposta e a retangular inclui esse valor. O sinal do infinito está sempre entre parênteses.

Exemplos de solução de inequações

1. Resolva a inequação 7 - 5x ≥ 37.

Após transformações simples, fica: -5x ≥ 30. Dividindo por “-5”, você pode obter a seguinte expressão: x ≤ -6. Isso já é uma resposta, mas pode ser escrito de outra forma: x ∈ (-∞; -6].

2. Resolva a dupla desigualdade -4< 2x + 6 ≤ 8.

Primeiro você precisa subtrair 6 em todos os lugares. Acontece: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

E assim por diante, é lógico familiarizar-se com equações de outros tipos. Os próximos na fila são equações lineares, cujo estudo proposital começa nas aulas de álgebra na 7ª série.

É claro que primeiro você precisa explicar o que é uma equação linear, dar uma definição de uma equação linear, seus coeficientes, mostrar sua forma geral. Então você pode descobrir quantas soluções uma equação linear tem dependendo dos valores dos coeficientes e como as raízes são encontradas. Isso permitirá que você passe para a resolução de exemplos e, assim, consolide a teoria estudada. Neste artigo, faremos isso: nos deteremos em detalhes em todos os pontos teóricos e práticos sobre equações lineares e sua solução.

Digamos imediatamente que aqui consideraremos apenas equações lineares com uma variável e, em um artigo separado, estudaremos os princípios da resolução equações lineares em duas variáveis.

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O que é uma equação linear?

A definição de uma equação linear é dada pela forma de sua notação. Além disso, em diferentes livros didáticos de matemática e álgebra, as formulações das definições de equações lineares apresentam algumas diferenças que não afetam a essência da questão.

Por exemplo, em um livro de álgebra para a 7ª série de Yu. N. Makarycheva e outros, uma equação linear é definida da seguinte forma:

Definição.

Tipo de equação ax=b, onde x é uma variável, a e b são alguns números, é chamado equação linear com uma variável.

Vamos dar exemplos de equações lineares correspondentes à definição sonora. Por exemplo, 5 x=10 é uma equação linear com uma variável x , aqui o coeficiente a é 5 e o número b é 10 . Outro exemplo: −2,3 y=0 também é uma equação linear, mas com a variável y , onde a=−2,3 e b=0 . E nas equações lineares x=−2 e −x=3,33 a não estão explicitamente presentes e são iguais a 1 e −1, respectivamente, enquanto na primeira equação b=−2 e na segunda - b=3,33 .

E um ano antes, no livro de matemática de N. Ya. Vilenkin, equações lineares com uma incógnita, além de equações da forma a x = b, também foram consideradas equações que podem ser reduzidas a essa forma transferindo termos de um parte da equação para outra de sinal oposto, bem como reduzindo termos semelhantes. De acordo com esta definição, equações da forma 5 x=2 x+6, etc. também são lineares.

Por sua vez, a seguinte definição é dada no livro de álgebra para 7 aulas por A. G. Mordkovich:

Definição.

Equação linear com uma variável xé uma equação da forma a x+b=0 , onde aeb são alguns números, chamados coeficientes da equação linear.

Por exemplo, equações lineares desse tipo são 2 x−12=0, aqui o coeficiente a é igual a 2 e b é igual a −12 e 0,2 y+4,6=0 com coeficientes a=0,2 eb =4,6. Mas, ao mesmo tempo, existem exemplos de equações lineares que têm a forma não a x+b=0 , mas a x=b , por exemplo, 3 x=12 .

Vamos, para que não tenhamos discrepâncias no futuro, sob uma equação linear com uma variável x e coeficientes aeb vamos entender uma equação da forma a x+b=0 . Este tipo de equação linear parece ser o mais justificado, pois as equações lineares são equações algébricas primeiro grau. E todas as outras equações indicadas acima, bem como as equações que são reduzidas à forma a x+b=0 com a ajuda de transformações equivalentes, serão chamadas equações reduzindo a equações lineares. Com essa abordagem, a equação 2 x+6=0 é uma equação linear e 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, etc. são equações lineares.

Como resolver equações lineares?

Agora é hora de descobrir como as equações lineares a x+b=0 são resolvidas. Em outras palavras, é hora de descobrir se a equação linear tem raízes e, em caso afirmativo, quantas e como encontrá-las.

A presença de raízes de uma equação linear depende dos valores dos coeficientes a e b. Neste caso, a equação linear a x+b=0 tem

• a única raiz em a≠0 ,
• não tem raízes para a=0 e b≠0 ,
• tem infinitas raízes para a=0 e b=0 , caso em que qualquer número é uma raiz de uma equação linear.

Vamos explicar como esses resultados foram obtidos.

Sabemos que para resolver equações é possível passar da equação original para equações equivalentes, ou seja, para equações com as mesmas raízes ou, como a original, sem raízes. Para fazer isso, você pode usar as seguintes transformações equivalentes:

• transferência de um termo de uma parte da equação para outra com o sinal oposto,
• e também multiplicando ou dividindo ambos os lados da equação pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, em uma equação linear com uma variável da forma a x+b=0, podemos mover o termo b do lado esquerdo para o lado direito com o sinal oposto. Neste caso, a equação terá a forma a x=−b.

E então a divisão de ambas as partes da equação pelo número a se sugere. Mas há uma coisa: o número a pode ser igual a zero, caso em que tal divisão é impossível. Para lidar com esse problema, vamos primeiro supor que o número a é diferente de zero e considerar o caso de zero a separadamente um pouco mais tarde.

Então, quando a não é igual a zero, então podemos dividir ambas as partes da equação a x=−b por a , depois disso ela é convertida para a forma x=(−b): a , esse resultado pode ser escrito usando um linha contínua como .

Assim, para a≠0, a equação linear a·x+b=0 é equivalente à equação , da qual sua raiz é visível.

É fácil mostrar que essa raiz é única, ou seja, a equação linear não possui outras raízes. Isso permite que você faça o método oposto.

Vamos denotar a raiz como x 1 . Suponha que haja outra raiz da equação linear, que denotamos x 2, e x 2 ≠ x 1, que, devido a definições de números iguais através da diferençaé equivalente à condição x 1 − x 2 ≠0 . Como x 1 e x 2 são as raízes da equação linear a x+b=0, então ocorrem as igualdades numéricas a x 1 +b=0 e a x 2 +b=0. Podemos subtrair as partes correspondentes dessas igualdades, o que as propriedades das igualdades numéricas nos permitem fazer, temos a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , de onde a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 e então a (x 1 − x 2)=0 . E essa igualdade é impossível, pois tanto a≠0 quanto x 1 − x 2 ≠0. Então chegamos a uma contradição, que prova a unicidade da raiz da equação linear a·x+b=0 para a≠0 .

Então resolvemos a equação linear a x+b=0 com a≠0 . Justifica-se o primeiro resultado dado no início desta subseção. Há mais dois que atendem à condição a=0 .

Para a=0 a equação linear a·x+b=0 torna-se 0·x+b=0 . A partir dessa equação e da propriedade de multiplicar números por zero, segue-se que não importa qual número tomemos como x, quando o substituímos na equação 0 x+b=0, obtemos a igualdade numérica b=0. Essa igualdade é verdadeira quando b=0 , e em outros casos quando b≠0 essa igualdade é falsa.

Portanto, com a=0 e b=0, qualquer número é a raiz da equação linear a x+b=0, pois nessas condições, substituir qualquer número em vez de x resulta na igualdade numérica correta 0=0. E para a=0 e b≠0, a equação linear a x+b=0 não tem raízes, pois nestas condições, substituir qualquer número em vez de x leva a uma igualdade numérica incorreta b=0.

As justificativas acima permitem formar uma sequência de ações que permite resolver qualquer equação linear. Então, algoritmo para resolver uma equação linearé:

• Primeiro, escrevendo uma equação linear, encontramos os valores dos coeficientes a e b.
• Se a=0 e b=0 , então esta equação tem infinitas raízes, ou seja, qualquer número é uma raiz desta equação linear.
• Se a é diferente de zero, então
• o coeficiente b é transferido para o lado direito com o sinal oposto, enquanto a equação linear é transformada na forma a x=−b ,
• após o que ambas as partes da equação resultante são divididas por um número diferente de zero a, que dá a raiz desejada da equação linear original.

O algoritmo escrito é uma resposta exaustiva à questão de como resolver equações lineares.

Concluindo este parágrafo, vale dizer que um algoritmo similar é usado para resolver equações da forma a x=b. Sua diferença está no fato de que quando a≠0, ambas as partes da equação são imediatamente divididas por esse número, aqui b já está na parte desejada da equação e não precisa ser transferida.

Para resolver equações da forma a x = b, o seguinte algoritmo é usado:

• Se a=0 e b=0 , então a equação tem infinitas raízes, que são quaisquer números.
• Se a=0 e b≠0 , então a equação original não tem raízes.
• Se a é diferente de zero, então ambos os lados da equação são divididos por um número diferente de zero a, a partir do qual a única raiz da equação igual a b / a é encontrada.

Exemplos de resolução de equações lineares

Vamos para a prática. Vamos analisar como o algoritmo para resolver equações lineares é aplicado. Vamos apresentar soluções de exemplos típicos correspondentes a diferentes valores dos coeficientes de equações lineares.

Exemplo.

Resolva a equação linear 0 x−0=0 .

Solução.

Nesta equação linear, a=0 e b=−0 , que é o mesmo que b=0 . Portanto, esta equação tem infinitas raízes, qualquer número é a raiz desta equação.

Responda:

x é qualquer número.

Exemplo.

A equação linear 0 x+2,7=0 tem soluções?

Solução.

Nesse caso, o coeficiente a é igual a zero, e o coeficiente b dessa equação linear é igual a 2,7, ou seja, é diferente de zero. Portanto, a equação linear não tem raízes.