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1. Paralelogramo
Palavra composta "paralelogramo"? E atrás dele está uma figura muito simples.
Bem, ou seja, pegamos duas linhas paralelas:
Atravessado por mais dois:
E dentro - um paralelogramo!
Quais são as propriedades de um paralelogramo?
Propriedades do paralelogramo.
Ou seja, o que pode ser usado se um paralelogramo for dado no problema?
Esta questão é respondida pelo seguinte teorema:
Vamos desenhar tudo em detalhes.
O que primeiro ponto do teorema? E o fato de que se você TEM um paralelogramo, então por todos os meios
O segundo parágrafo significa que, se houver um paralelogramo, então, novamente, por todos os meios:
Bem, e finalmente, o terceiro ponto significa que se você TEM um paralelogramo, então tenha certeza:
Veja que riqueza de escolha? O que usar na tarefa? Tente se concentrar na questão da tarefa ou apenas tente tudo por sua vez - algum tipo de "chave" servirá.
E agora vamos nos fazer outra pergunta: como reconhecer um paralelogramo "no rosto"? O que deve acontecer com um quadrilátero para que tenhamos o direito de lhe dar o “título” de um paralelogramo?
Esta pergunta é respondida por vários sinais de um paralelogramo.
Características de um paralelogramo.
Atenção! Começar.
Paralelogramo.
Preste atenção: se você encontrou pelo menos um sinal em seu problema, então você tem exatamente um paralelogramo e pode usar todas as propriedades de um paralelogramo.
2. Retângulo
Eu não acho que isso será novidade para você.
A primeira pergunta é: um retângulo é um paralelogramo?
Claro que é! Afinal, ele tem - lembra, nosso signo 3?
E daqui, é claro, segue que para um retângulo, como para qualquer paralelogramo, e, e as diagonais são divididas pela metade pelo ponto de interseção.
Mas há um retângulo e uma propriedade distinta.
Propriedade Retângulo
Por que essa propriedade é distinta? Porque nenhum outro paralelogramo tem diagonais iguais. Vamos formulá-lo com mais clareza.
Preste atenção: para se tornar um retângulo, um quadrilátero deve primeiro se tornar um paralelogramo e depois apresentar a igualdade das diagonais.
3. Diamante
E novamente a pergunta é: um losango é um paralelogramo ou não?
Com toda a direita - um paralelogramo, porque tem e (lembre-se do nosso sinal 2).
E novamente, como um losango é um paralelogramo, ele deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que um losango tem ângulos opostos iguais, os lados opostos são paralelos e as diagonais são bissetadas pelo ponto de interseção.
Propriedades do Losango
Olha a foto:
Como no caso de um retângulo, essas propriedades são distintas, ou seja, para cada uma dessas propriedades, podemos concluir que não temos apenas um paralelogramo, mas um losango.
Sinais de um losango
E preste atenção novamente: não deve haver apenas um quadrilátero com diagonais perpendiculares, mas um paralelogramo. Certificar-se de que:
Não, claro que não, embora suas diagonais e sejam perpendiculares, e a diagonal seja a bissetriz dos ângulos u. Mas ... as diagonais não se dividem, o ponto de interseção ao meio, portanto - NÃO é um paralelogramo e, portanto, NÃO é um losango.
Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que sai disso.
Está claro por quê? - losango - a bissetriz do ângulo A, que é igual a. Então ele se divide (e também) em dois ângulos.
Bem, está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral - as diagonais do paralelogramo são divididas pelo ponto de interseção ao meio.
NÍVEL MÉDIO
Propriedades dos quadriláteros. Paralelogramo
Propriedades do paralelogramo
Atenção! As palavras " propriedades do paralelogramo» significa que se você tiver uma tarefa há paralelogramo, então todos os itens a seguir podem ser usados.
Teorema das propriedades de um paralelogramo.
Em qualquer paralelogramo:
Vamos ver por que isso é verdade, em outras palavras VAMOS PROVAR teorema.
Então, por que 1) é verdade?
Como é um paralelogramo, então:
- como mentir transversalmente
- como deitado.
Assim, (na base II: e - geral.)
Bem, uma vez, então - é isso! - provou.
Mas a propósito! Também provamos 2)!
Por quê? Mas afinal (olhe para a foto), isto é, porque.
Só mais 3).
Para fazer isso, você ainda precisa desenhar uma segunda diagonal.
E agora vemos que - de acordo com o sinal II (o ângulo e o lado "entre" eles).
Propriedades comprovadas! Vamos aos sinais.
Recursos de paralelogramo
Lembre-se de que o sinal de um paralelogramo responde à pergunta "como descobrir?" Que a figura é um paralelogramo.
Nos ícones é assim:
Por quê? Seria bom entender o porquê - isso é o suficiente. Mas olhe:
Bem, descobrimos por que o sinal 1 é verdadeiro.
Bem, isso é ainda mais fácil! Vamos desenhar uma diagonal novamente.
Que significa:
E também é fácil. Mas diferente!
Significa, . Uau! Mas também - interno unilateral em uma secante!
Portanto, o fato que significa isso.
E se você olhar do outro lado, eles são unilaterais internos em uma secante! E portanto.
Viu como é grande?!
E novamente simplesmente:
Exatamente o mesmo, e.
Prestar atenção: se você encontrou pelo menos um sinal de um paralelogramo em seu problema, então você tem exatamente paralelogramo e você pode usar todos propriedades de um paralelogramo.
Para maior clareza, observe o diagrama:
Propriedades dos quadriláteros. Retângulo.
Propriedades do retângulo:
O ponto 1) é bastante óbvio - afinal, o sinal 3 () é simplesmente cumprido
E ponto 2) - muito importante. Então vamos provar que
Assim, em duas pernas (e - geral).
Bem, como os triângulos são iguais, suas hipotenusas também são iguais.
Provou isso!
E imagine, a igualdade das diagonais é uma propriedade distintiva de um retângulo entre todos os paralelogramos. Ou seja, a seguinte afirmação é verdadeira
Vamos ver por quê?
Então, (significando os ângulos do paralelogramo). Mas, mais uma vez, lembre-se disso - um paralelogramo e, portanto.
Significa, . E, é claro, segue-se disso que cada um deles Afinal, na quantidade que devem dar!
Aqui provamos que se paralelogramo de repente (!) serão diagonais iguais, então isso exatamente um retângulo.
Mas! Prestar atenção! Isso é sobre paralelogramos! Nenhum um quadrilátero com diagonais iguais é um retângulo, e só paralelogramo!
Propriedades dos quadriláteros. Losango
E novamente a pergunta é: um losango é um paralelogramo ou não?
Com toda a direita - um paralelogramo, porque tem e (Lembre-se do nosso sinal 2).
E novamente, como um losango é um paralelogramo, ele deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que um losango tem ângulos opostos iguais, os lados opostos são paralelos e as diagonais são bissetadas pelo ponto de interseção.
Mas também existem propriedades especiais. Nós formulamos.
Propriedades do Losango
Por quê? Bem, como um losango é um paralelogramo, suas diagonais são divididas ao meio.
Por quê? Sim, é por isso!
Em outras palavras, as diagonais e acabaram sendo as bissetrizes dos cantos do losango.
Como no caso de um retângulo, essas propriedades são distintivo, cada um deles também é um sinal de um losango.
Sinais de losango.
Por que é que? E olhe
Daí, e Ambas esses triângulos são isósceles.
Para ser um losango, um quadrilátero deve primeiro "tornar-se" um paralelogramo e depois já demonstrar o traço 1 ou o traço 2.
Propriedades dos quadriláteros. Quadrado
Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que sai disso.
Está claro por quê? Quadrado - losango - a bissetriz do ângulo, que é igual a. Então ele se divide (e também) em dois ângulos.
Bem, está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral - as diagonais do paralelogramo são divididas pelo ponto de interseção ao meio.
Por quê? Bem, basta aplicar o Teorema de Pitágoras para.
RESUMO E FÓRMULA BÁSICA
Propriedades do paralelogramo:
- Lados opostos são iguais: , .
- Os ângulos opostos são: , .
- Os ângulos de um lado somam: , .
- As diagonais são divididas pelo ponto de interseção ao meio: .
Propriedades do retângulo:
- As diagonais de um retângulo são: .
- Retângulo é um paralelogramo (todas as propriedades de um paralelogramo são cumpridas para um retângulo).
Propriedades do losango:
- As diagonais do losango são perpendiculares: .
- As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos: ; ; ; .
- Um losango é um paralelogramo (todas as propriedades de um paralelogramo são cumpridas para um losango).
Propriedades do quadrado:
Um quadrado é um losango e um retângulo ao mesmo tempo, portanto, para um quadrado, todas as propriedades de um retângulo e de um losango são cumpridas. Assim como:
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Esboço da lição.
Álgebra 8ª série
Professor Sysoi A.K.
Escola 1828
Tópico da lição: "Paralelogramo e suas propriedades"
Tipo de aula: combinado
Lições objetivas:
1) Assegurar a assimilação de um novo conceito - um paralelogramo e suas propriedades
2) Continuar desenvolvendo habilidades e habilidades para resolver problemas geométricos;
3) Desenvolvimento de uma cultura do discurso matemático
Plano de aula:
1. Momento organizacional
(Slide 1)
O slide mostra o depoimento de Lewis Carroll. Os alunos são informados sobre o objetivo da aula. A prontidão dos alunos para a aula é verificada.
2. Atualizando o conhecimento
(Slide 2)
No quadro de tarefas para o trabalho oral. O professor convida os alunos a pensar sobre esses problemas e levantar a mão para quem entende como resolver o problema. Depois de resolver dois problemas, um aluno é chamado ao quadro para provar o teorema da soma dos ângulos, que independentemente faz construções adicionais no desenho e prova o teorema oralmente.
Os alunos usam a fórmula para a soma dos ângulos de um polígono:
3. Corpo principal
(Slide 3)
Na placa está a definição de um paralelogramo. O professor fala sobre uma nova figura e formula uma definição, fazendo as explicações necessárias usando o desenho. Em seguida, na parte quadriculada da apresentação, usando um marcador e uma régua, mostra como desenhar um paralelogramo (vários casos são possíveis)
(Slide 4)
O professor formula a primeira propriedade de um paralelogramo. Peça aos alunos que digam, de acordo com a gravura, o que é dado e o que precisa ser provado. Depois disso, a tarefa determinada aparece no quadro. Os alunos adivinham (talvez com a ajuda de um professor) que as igualdades exigidas devem ser provadas através das igualdades dos triângulos, que podem ser obtidas desenhando uma diagonal (uma diagonal aparece no quadro). Em seguida, os alunos adivinham por que os triângulos são iguais e chamam o sinal da igualdade dos triângulos (aparece a forma correspondente). Comunique oralmente os fatos que são necessários para a igualdade dos triângulos (como eles os nomeiam, aparece a visualização correspondente). Em seguida, os alunos formulam a propriedade dos triângulos iguais, ela aparece na forma do ponto 3 da prova e depois completam oralmente a prova do teorema de forma independente.
(Slide 5)
O professor formula a segunda propriedade de um paralelogramo. Um desenho de um paralelogramo aparece no quadro. O professor se oferece para dizer a partir da imagem o que é dado, o que precisa ser provado. Depois que os alunos relatam corretamente o que é dado e o que precisa ser provado, aparece a condição do teorema. Os alunos supõem que a igualdade das partes das diagonais pode ser provada pela igualdade dos triângulosAOB e BACALHAU. Usando a propriedade anterior de um paralelogramo, adivinhe sobre a igualdade dos ladosAB e CD. Então eles entendem que é necessário encontrar ângulos iguais e, usando as propriedades das linhas paralelas, provam a igualdade dos ângulos adjacentes aos lados iguais. Esses estágios são visualizados no slide. A verdade do teorema decorre da igualdade dos triângulos - os alunos pronunciam a visualização correspondente no slide.
(Slide 6)
O professor formula a terceira propriedade de um paralelogramo. Dependendo do tempo que resta até o final da aula, o professor pode dar aos alunos a oportunidade de provar essa propriedade por conta própria, ou limitá-la à sua formulação, e deixar a prova para os alunos como tarefa de casa. A prova pode ser baseada na soma dos ângulos do polígono inscrito, que foi repetido no início da lição, ou na soma dos ângulos laterais internos de duas linhas paralelasDE ANÚNCIOS e BC, e uma secante, por exemploAB.
4. Fixação do material
Nesta fase, os alunos, usando teoremas previamente estudados, resolvem problemas. As ideias para resolver o problema são selecionadas pelos próprios alunos. Como existem muitas opções de design possíveis e todas elas dependem de como os alunos buscarão uma solução para o problema, não há visualização da solução dos problemas, e os alunos elaboram independentemente cada etapa da solução em um quadro separado com a solução escrita em um caderno.
(Slide 7)
A condição da tarefa é exibida. A professora sugere formular “Dado” de acordo com a condição. Depois que os alunos anotarem corretamente a condição, “Given” aparecerá no quadro. O processo de resolução de problemas pode ser assim:
Altura do desenho BH (renderizado)
O triângulo AHB é um triângulo retângulo. O ângulo A é igual ao ângulo C e é igual a 30 0 (pela propriedade dos ângulos opostos em um paralelogramo). 2BH =AB (de acordo com a propriedade da perna oposta ao ângulo de 30 0 em um triângulo retângulo). Então AB = 13 cm.
AB \u003d CD, BC \u003d AD (pela propriedade de lados opostos em um paralelogramo) Então AB \u003d CD \u003d 13cm. Como o perímetro do paralelogramo é de 50 cm, então BC \u003d AD \u003d (50 - 26): 2 \u003d 12 cm.
Responda: AB=CD=13cm, BC=AD=12cm.
(Slide 8)
A condição da tarefa é exibida. A professora sugere formular “Dado” de acordo com a condição. Então “Dano” aparece na tela. Com a ajuda de linhas vermelhas, um quadrilátero é selecionado, sobre o qual você precisa provar que é um paralelogramo. O processo de resolução de problemas pode ser assim:
Porque BK e MD são perpendiculares à mesma linha, então as linhas BK e MD são paralelas.
Através de ângulos adjacentes, pode-se mostrar que a soma dos ângulos internos unilaterais para as linhas BM e KD e secante MD é 180 0 . Portanto, essas linhas são paralelas.
Como os lados opostos do quadrilátero BMDK são paralelos aos pares, esse quadrilátero é um paralelogramo.
5. Fim da aula. comportamento de resultado.
(Slide 8)
As perguntas sobre um novo tópico aparecem no slide, às quais os alunos respondem.
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Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos em pares. A área de um paralelogramo é igual ao produto de sua base (a) e sua altura (h). Você também pode encontrar sua área através de dois lados e um ângulo e através das diagonais.
Propriedades do paralelogramo
1. Os lados opostos são idênticos.
Em primeiro lugar, desenhe a diagonal \(AC \) . São obtidos dois triângulos: \(ABC \) e \(ADC \) .
Como \(ABCD \) é um paralelogramo, o seguinte é verdadeiro:
\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2\) como deitado.
\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4\) como deitado.
Portanto, (na segunda base: e \(AC\) é comum).
E, portanto, \(\triângulo ABC = \triângulo ADC \), então \(AB = CD \) e \(AD = BC \) .
2. Os ângulos opostos são idênticos.
De acordo com a prova propriedades 1 Nós sabemos isso \(\ângulo 1 = \ângulo 2, \ângulo 3 = \ângulo 4\). Então a soma dos ângulos opostos é: \(\ângulo 1 + \ângulo 3 = \ângulo 2 + \ângulo 4\). Dado que \(\triângulo ABC = \triângulo ADC \) obtemos \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .
3. As diagonais são bissectadas pelo ponto de interseção.
Por propriedade 1 sabemos que os lados opostos são idênticos: \(AB = CD \) . Mais uma vez, notamos os ângulos iguais deitados transversalmente.
Assim, vê-se que \(\triângulo AOB = \triângulo COD\) de acordo com o segundo critério para a igualdade de triângulos (dois ângulos e um lado entre eles). Ou seja, \(BO = OD \) (oposto aos cantos \(\angle 2 \) e \(\angle 1 \) ) e \(AO = OC \) (oposto aos cantos \(\angle 3 \) e \( \ângulo 4\) respectivamente).
Recursos de paralelogramo
Se apenas um sinal estiver presente em seu problema, a figura é um paralelogramo e você pode usar todas as propriedades dessa figura.
Para melhor memorização, observe que o sinal de um paralelogramo responderá à seguinte pergunta - "como descobrir?". Ou seja, como descobrir que uma dada figura é um paralelogramo.
1. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos dois lados são iguais e paralelos.
\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)- paralelogramo.
Vamos considerar com mais detalhes. Por que \(AD || BC \) ?
\(\triângulo ABC = \triângulo ADC \) sobre propriedade 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) como transversal com paralelo \(AB \) e \(CD \) e secante \(AC \) .
Mas se \(\triângulo ABC = \triângulo ADC \), então \(\angle 3 = \angle 4 \) (eles ficam em frente a \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) e \(\angle 4 \) - em frente também são iguais).
O primeiro sinal está correto.
2. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são iguais.
\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) é um paralelogramo.
Vamos considerar esse recurso. Desenhe a diagonal \(AC\) novamente.
Por propriedade 1\(\triângulo ABC = \triângulo ACD\).
Segue que: \(\ângulo 1 = \ângulo 2 \Rightarrow AD || BC \) e \(\ângulo 3 = \ângulo 4 \Rightarrow AB || CD \), ou seja, \(ABCD\) é um paralelogramo.
O segundo sinal está correto.
3. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos ângulos opostos são iguais.
\(\ângulo A = \ângulo C\) , \(\ângulo B = \ângulo D \Rightarrow ABCD \)- paralelogramo.
\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(porque \(\ângulo A = \ângulo C\) , \(\ângulo B = \ângulo D\) por definição).
Acontece que, \(\alpha + \beta = 180^(\circ)\). Mas \(\alpha \) e \(\beta \) são internos unilaterais na secante \(AB \) .
