Função exponencialé uma generalização do produto de n números iguais a a :
y (n) = a n = a a a a,
para o conjunto dos números reais x:
y (x) = x.
Aqui a é um número real fixo, que é chamado a base da função exponencial.
Uma função exponencial com base a também é chamada exponencial para basear um.

A generalização é feita da seguinte forma.
Para x natural = 1, 2, 3,... , a função exponencial é o produto de x fatores:
.
Além disso, possui as propriedades (1,5-8) (), que decorrem das regras para multiplicar números. Em valores zero e negativos de inteiros , a função exponencial é determinada pelas fórmulas (1.9-10). Para valores fracionários x = m/n de números racionais, , é determinado pela fórmula (1.11). Para real , a função exponencial é definida como o limite da sequência:
,
onde é uma sequência arbitrária de números racionais convergindo para x : .
Com esta definição, a função exponencial é definida para todo , e satisfaz as propriedades (1.5-8), assim como para x natural.

Uma formulação matemática rigorosa da definição de uma função exponencial e uma prova de suas propriedades são fornecidas na página "Definição e prova das propriedades de uma função exponencial".

Propriedades da função exponencial

A função exponencial y = a x tem as seguintes propriedades no conjunto dos números reais ():
(1.1) é definido e contínuo, para , para todos ;
(1.2) quando um ≠ 1 tem muitos significados;
(1.3) aumenta estritamente em , diminui estritamente em ,
é constante em ;
(1.4) no ;
no ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Outras fórmulas úteis
.
A fórmula para converter para uma função exponencial com uma base de potência diferente:

Para b = e , obtemos a expressão da função exponencial em termos do expoente:

Valores privados

, , , , .

A figura mostra gráficos da função exponencial
y (x) = x
para quatro valores bases de graduação:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 e um = 1/8 . Pode-se ver que para um > 1 função exponencial é monotonicamente crescente. Quanto maior a base do grau a, mais forte o crescimento. No 0 < a < 1 função exponencial é monotonicamente decrescente. Quanto menor o expoente a, mais forte a diminuição.

Subindo, descendo

A função exponencial em é estritamente monotônica, portanto não tem extremos. Suas principais propriedades são apresentadas na tabela.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domínio	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Faixa de valores	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monótono	aumenta monotonicamente	diminui monotonicamente
Zeros, y = 0	Não	Não
Pontos de interseção com o eixo y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Função inversa

O recíproco de uma função exponencial com uma base de grau a é o logaritmo da base a.

Se então
.
Se então
.

Diferenciação da função exponencial

Para derivar uma função exponencial, sua base deve ser reduzida ao número e, aplicar a tabela de derivadas e a regra de diferenciação de uma função complexa.

Para fazer isso, você precisa usar a propriedade de logaritmos
e a fórmula da tabela de derivadas:
.

Seja uma função exponencial:
.
Trazemos para a base e:

Aplicamos a regra de derivação de uma função complexa. Para isso, introduzimos uma variável

Então

Da tabela de derivadas temos (substitua a variável x por z ):
.
Como é uma constante, a derivada de z em relação a x é
.
De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa:
.

Derivada da função exponencial

.
Derivada da enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >

Um exemplo de diferenciação de uma função exponencial

Encontre a derivada de uma função
y= 35x

Decisão

Expressamos a base da função exponencial em termos do número e.
3 = log 3
Então
.
Introduzimos uma variável
.
Então

Da tabela de derivadas encontramos:
.
Na medida em que 5ln 3é uma constante, então a derivada de z em relação a x é:
.
De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa, temos:
.

Responda

Integrante

Expressões em termos de números complexos

Considere a função número complexo z:
f (z) = az
onde z = x + iy; eu 2 = - 1 .
Expressamos a constante complexa a em termos do módulo r e do argumento φ :
a = r e i φ
Então


.
O argumento φ não é definido exclusivamente. Em geral
φ = φ 0 + 2 pn,
onde n é um número inteiro. Portanto, a função f (z) também é ambíguo. Muitas vezes considerada sua principal importância
.

Expansão em série

.

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.

Hipótese: Se você estudar o movimento do gráfico durante a formação da equação de funções, notará que todos os gráficos obedecem a leis comuns, portanto, você pode formular leis gerais independente das funções, o que não só facilitará a construção de gráficos de várias funções, mas também usá-los na resolução de problemas.

Objetivo: Estudar o movimento de gráficos de funções:

1) A tarefa de estudar literatura

2) Aprenda a construir gráficos de várias funções

3) Aprenda a converter gráficos de funções lineares

4) Considere o uso de gráficos na resolução de problemas

Objeto de estudo: Gráficos de funções

Objeto de pesquisa: Movimentos de gráficos de funções

Relevância: A construção de gráficos de funções, via de regra, leva muito tempo e requer atenção do aluno, mas conhecendo as regras para transformar gráficos de funções e gráficos de funções básicas, você pode construir gráficos de funções de forma rápida e fácil, o que permitirá você não apenas para concluir tarefas para plotar gráficos de funções, mas também resolver problemas relacionados (para encontrar o máximo (altura mínima de tempo e ponto de encontro))

Este projeto é útil para todos os alunos da escola.

Revisão da literatura:

A literatura discute formas de construir um gráfico de várias funções, bem como exemplos de transformação de gráficos dessas funções. Gráficos de quase todas as principais funções são utilizados em diversos processos técnicos, o que possibilita apresentar com mais clareza o andamento do processo e programar o resultado

Função permanente. Esta função é dada pela fórmula y = b, onde b é algum número. O gráfico de uma função constante é uma linha reta paralela ao eixo x e que passa pelo ponto (0; b) no eixo y. O gráfico da função y \u003d 0 é o eixo das abcissas.

Tipos de função 1Proporcionalidade direta. Essa função é dada pela fórmula y \u003d kx, onde o coeficiente de proporcionalidade k ≠ 0. O gráfico de proporcionalidade direta é uma linha reta que passa pela origem.

Função linear. Tal função é dada pela fórmula y = kx + b, onde k e b são números reais. O gráfico de uma função linear é uma linha reta.

Gráficos de funções lineares podem se cruzar ou ser paralelos.

Assim, as linhas dos gráficos das funções lineares y \u003d k 1 x + b 1 e y \u003d k 2 x + b 2 se cruzam se k 1 ≠ k 2; se k 1 = k 2 , então as linhas são paralelas.

2 A proporcionalidade inversa é uma função dada pela fórmula y \u003d k / x, onde k ≠ 0. K é chamado de coeficiente de proporcionalidade inversa. O gráfico de proporcionalidade inversa é uma hipérbole.

A função y \u003d x 2 é representada por um gráfico chamado parábola: no intervalo [-~; 0] a função é decrescente, no intervalo a função é crescente.

A função y \u003d x 3 aumenta ao longo de toda a reta numérica e é representada graficamente por uma parábola cúbica.

Função de potência com expoente natural. Esta função é dada pela fórmula y \u003d x n, onde n é um número natural. Gráficos de uma função potência com um expoente natural dependem de n. Por exemplo, se n = 1, então o gráfico será uma linha reta (y = x), se n = 2, então o gráfico será uma parábola, etc.

Uma função de potência com um expoente inteiro negativo é representada pela fórmula y \u003d x -n, onde n é um número natural. Esta função é definida para todo x ≠ 0. O gráfico da função também depende do expoente n.

Função de potência com um expoente fracionário positivo. Esta função é representada pela fórmula y \u003d x r, onde r é uma fração irredutível positiva. Esta função também não é nem par nem ímpar.

Linha de gráfico que exibe a relação de variáveis ​​dependentes e independentes no plano de coordenadas. O gráfico serve para exibir visualmente esses elementos.

Uma variável independente é uma variável que pode assumir qualquer valor no escopo das funções (onde a função dada faz sentido (não pode ser dividida por zero))

Para traçar um gráfico de função,

1) Encontre ODZ (intervalo de valores aceitáveis)

2) pegue alguns valores arbitrários para a variável independente

3) Encontre o valor da variável dependente

4) Construa um plano de coordenadas, marque esses pontos nele

5) Conecte suas linhas se necessário, investigue o gráfico resultante Transformação de gráficos de funções elementares.

Conversão de gráfico

Em sua forma pura, as funções elementares básicas, infelizmente, não são tão comuns. Muito mais frequentemente temos que lidar com funções elementares obtidas de funções elementares básicas pela adição de constantes e coeficientes. Gráficos de tais funções podem ser construídos aplicando transformações geométricas aos gráficos das funções elementares básicas correspondentes (ou mudando para um novo sistema de coordenadas). Por exemplo, uma fórmula de função quadrática é uma fórmula de parábola quadrática, comprimida três vezes em relação ao eixo das ordenadas, exibida simetricamente em relação ao eixo das abcissas, deslocada contra a direção deste eixo em 2/3 unidades e deslocada ao longo da direção das ordenadas eixo por 2 unidades.

Vamos entender essas transformações geométricas de um gráfico de função passo a passo usando exemplos específicos.

Com a ajuda de transformações geométricas do gráfico da função f(x), pode-se construir um gráfico de qualquer função da forma fórmula, onde a fórmula é os coeficientes de compressão ou expansão ao longo dos eixos oy e ox, respectivamente, o menos os sinais na frente da fórmula e fórmula dos coeficientes indicam uma exibição simétrica do gráfico em relação aos eixos de coordenadas, aeb definem o deslocamento em relação aos eixos de abcissas e ordenadas, respectivamente.

Assim, existem três tipos de transformações geométricas do gráfico da função:

O primeiro tipo é o escalonamento (compressão ou expansão) ao longo dos eixos de abcissas e ordenadas.

A necessidade de dimensionamento é indicada por coeficientes de fórmula diferentes de um, se o número for menor que 1, então o gráfico é comprimido em relação a oy e esticado em relação a ox, se o número for maior que 1, esticamos ao longo do eixo das ordenadas e encolher ao longo do eixo das abcissas.

O segundo tipo é uma exibição simétrica (espelho) em relação aos eixos de coordenadas.

A necessidade dessa transformação é indicada pelos sinais de menos na frente dos coeficientes da fórmula (neste caso, exibimos o gráfico simetricamente em relação ao eixo ox) e da fórmula (neste caso, exibimos o gráfico simetricamente com relação ao eixo y). Se não houver sinais de menos, esta etapa será ignorada.

Transformação do gráfico de funções

Neste artigo, apresentarei transformações lineares de gráficos de funções e mostrarei como usar essas transformações para obter um gráfico de função de um gráfico de função.

Uma transformação linear de uma função é uma transformação da própria função e/ou seu argumento para a forma , bem como uma transformação contendo o módulo do argumento e/ou funções.

As seguintes ações causam as maiores dificuldades na plotagem de gráficos usando transformações lineares:

1. O isolamento da função base, na verdade, o gráfico do qual estamos transformando.
2. Definições da ordem das transformações.

EÉ sobre esses pontos que nos deteremos com mais detalhes.

Vamos dar uma olhada mais de perto na função

É baseado em uma função. Vamos chamá-la função básica.

Ao plotar uma função fazemos transformações do gráfico da função base.

Se transformássemos a função na mesma ordem em que seu valor foi encontrado para um certo valor do argumento, então

Vamos considerar que tipos de argumentos lineares e transformações de função existem e como realizá-los.

Transformações de argumentos.

1. f(x) f(x+b)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Deslocamos o gráfico da função ao longo do eixo OX por |b| unidades

• esquerda se b>0
• certo se b<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Desloque 2 unidades para a direita:

2. f(x) f(kx)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Divida as abcissas dos pontos do gráfico por k, deixe as ordenadas dos pontos inalteradas.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Divida todas as abcissas dos pontos do gráfico por 2, deixe as ordenadas inalteradas:

3. f(x) f(-x)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OY.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Traçamos a função

2. Apagamos a parte do gráfico localizada à esquerda do eixo OY, a parte do gráfico localizada à direita do eixo OY Completamos simetricamente em torno do eixo OY:

O gráfico da função fica assim:

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de função (este é um gráfico de função deslocado ao longo do eixo OX em 2 unidades para a esquerda):

2. Parte do gráfico localizada à esquerda do OY (x<0) стираем:

3. A parte do gráfico localizada à direita do eixo OY (x>0) é preenchida simetricamente em relação ao eixo OY:

Importante! As duas regras principais para conversão de argumentos.

1. Todas as transformações de argumentos são realizadas ao longo do eixo OX

2. Todas as transformações do argumento são realizadas "vice-versa" e "na ordem inversa".

Por exemplo, em uma função, a sequência de transformações de argumentos é a seguinte:

1. Tomamos o módulo de x.

2. Adicione o número 2 ao módulo x.

Mas fizemos a plotagem na ordem inversa:

Primeiramente, realizamos a transformação 2. - deslocamos o gráfico em 2 unidades para a esquerda (ou seja, as abcissas dos pontos foram reduzidas em 2, como se fosse "vice-versa")

Em seguida, realizamos a transformação f(x) f(|x|).

Resumidamente, a sequência de transformações é escrita da seguinte forma:

Agora vamos falar sobre transformação de função . Transformações estão sendo feitas

1. Ao longo do eixo OY.

2. Na mesma sequência em que as ações são executadas.

Estas são as transformações:

1. f(x)f(x)+D

2. Desloque-o ao longo do eixo OY por |D| unidades

• para cima se D>0
• para baixo se D<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Mova-o ao longo do eixo OY em 2 unidades para cima:

2. f(x)Af(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por A, deixamos as abcissas inalteradas.

Vamos plotar a função

1. Faça um gráfico da função

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por 2:

3.f(x)-f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

Vamos plotar a função.

1. Construímos um gráfico de funções.

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Traçamos a função y=f(x)

2. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX permanece inalterada, a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX é exibida simetricamente em relação a este eixo.

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de funções. É obtido deslocando o gráfico da função ao longo do eixo OY em 2 unidades para baixo:

2. Agora a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX será exibida simetricamente em relação a este eixo:

E a última transformação, que, a rigor, não pode ser chamada de transformação de função, pois o resultado dessa transformação não é mais uma função:

|y|=f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX, depois completamos a parte do gráfico localizada acima do eixo OX simetricamente em relação a este eixo.

Vamos construir um gráfico da equação

1. Construímos um gráfico de função:

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX:

3. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX é completada simetricamente em torno deste eixo.

E por fim, sugiro que assista a VÍDEO AULA na qual mostro um algoritmo passo a passo para traçar um gráfico de função

O gráfico desta função fica assim:

Quais dessas funções têm uma inversa? Para tais funções encontre funções inversas:

4.12. a)	y=x;					b) y = 6 −3x;
d) y =						e) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. a)	y = 4x − 5 ;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = sinal x;						y=1 + lg(x + 2);

	y = 2 x 2 +1;
			x - 2
						em x< 0
c) y =		−x
						para x ≥ 0

Descubra quais dessas funções são monotônicas, quais são estritamente monotônicas e quais são limitadas:

4.14. a)

f(x) = c, cR;

b) f (x) \u003d cos 2 x;

c) f (x) \u003d arctg x;

d) f (x) \u003d e 2 x;

e) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

e) f(x) =

2x+5

y = ctg7x.

4.15. a)

f(x) = 3−x

b) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

x< 0,

3x+5

d) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

- 10 em

f(x)=

e) f(x) =

x 2 em

x ≥ 0;

x+1

f(x) = tg(senx).

4.2. funções elementares. Transformação do gráfico de funções

Lembre-se de que o gráfico da função f (x) no sistema de coordenadas retangulares cartesianas Oxy é o conjunto de todos os pontos do plano com coordenadas (x, f (x)).

Muitas vezes, o gráfico da função y \u003d f (x) pode ser construído usando transformações (deslocamento, alongamento) do gráfico de alguma função já conhecida.

Em particular, a partir do gráfico da função y \u003d f (x), o gráfico da função é obtido:

1) y \u003d f (x) + a - deslocamento ao longo do eixo Oy em unidades (para cima se a > 0 e para baixo se a< 0 ;

2) y \u003d f (x − b) - deslocamento ao longo do eixo Ox por b unidades (para a direita, se b > 0,

e para a esquerda se b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - alongando-se ao longo do eixo Oy por k vezes;

4) y \u003d f (mx) - compressão ao longo do eixo Ox por m vezes;

5) y \u003d - f (x) - reflexão simétrica em torno do eixo Ox;

6) y \u003d f (−x) - reflexão simétrica em torno do eixo Oy;

7) y \u003d f (x), da seguinte forma: a parte do gráfico localizada não

abaixo do eixo Ox, permanece inalterado, e a parte “inferior” do gráfico é refletida simetricamente em torno do eixo Ox;

8) y = f (x ) , como segue: o lado direito do gráfico (para x ≥ 0 )

permanece inalterado, e em vez de "esquerda" uma reflexão simétrica da "direita" sobre o eixo Oy é construída.

As principais funções elementares são chamadas:

1) função constante y = c;

2) função potência y = x α , α R ;

3) função exponencial y \u003d a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) logarítmico função y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) trigonométrico funções y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (onde sec x = cos 1 x ), y = cosec x (onde cosec x = sen 1 x );

6) funções trigonométricas inversas y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

funções elementares chamadas funções obtidas das funções elementares básicas com a ajuda de um número finito de operações aritméticas (+, − , ÷) e composições (ou seja, a formação de funções complexas f g ).

Exemplo 4.6. Plotar uma função

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sen 4 x .

Solução: 1) destacando o quadrado inteiro, a função é convertida para a forma y = (x +3) 2 − 2, de modo que o gráfico desta função pode ser obtido a partir do gráfico da função y = x 2 . Basta deslocar primeiro a parábola y \u003d x 2 três unidades para a esquerda (obtemos o gráfico da função y \u003d (x +3) 2) e depois duas unidades para baixo (Fig. 4.1);

	padrão	sinusóide						y = sen x	quatro vezes ao longo do eixo		Boi,
obtemos o gráfico da função y \u003d sin 4 x (Fig. 4.2).
										y=sen4x
										y=sen x

Esticando o gráfico resultante duas vezes ao longo do eixo Oy, obtemos o gráfico da função y \u003d 2sin 4 x (Fig. 4.3). Resta refletir o último gráfico em relação ao eixo Ox. O resultado será o gráfico desejado (ver Fig. 4.3).

						y=2sen4x

y=–2sen4x

Tarefas para solução independente

Construa gráficos das seguintes funções, com base nos gráficos das principais funções elementares:

4.16. a) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. a) y = −2sen(x −π ) ;

4.18. a) y = − 4 x −1 ;

4.19. a) y = log 2 (−x );

4.20. a) y = x +5;

4.21. a) y \u003d tg x;

4.22. a) y = sinal x;

4.23. a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 - 2 x - x 2 .

y = 2 cos 2 x .

Dependendo das condições do curso dos processos físicos, algumas quantidades assumem valores constantes e são chamadas de constantes, outras mudam sob certas condições e são chamadas de variáveis.

Um estudo cuidadoso do ambiente mostra que as quantidades físicas são dependentes umas das outras, ou seja, uma mudança em algumas quantidades acarreta uma mudança em outras.

A análise matemática estuda as relações quantitativas de quantidades que mudam mutuamente, abstraindo do significado físico específico. Um dos conceitos básicos da análise matemática é o conceito de função.

Considere os elementos do conjunto e os elementos do conjunto
(Fig. 3.1).

Se alguma correspondência é estabelecida entre os elementos dos conjuntos
e como uma regra , então notamos que a função é definida
.

Definição 3.1. Conformidade , que está associado a cada elemento não é um conjunto vazio
algum elemento bem definido não é um conjunto vazio , é chamado de função ou mapeamento
dentro .

Exibir simbolicamente
dentro é escrito da seguinte forma:

.

Ao mesmo tempo, muitos
é chamado de domínio da função e é denotado
.

Por sua vez, muitos é chamado de imagem da função e é denotado
.

Além disso, deve-se notar que os elementos do conjunto
são chamadas de variáveis ​​independentes, os elementos do conjunto são chamadas de variáveis ​​dependentes.

Maneiras de definir uma função

A função pode ser definida das seguintes formas principais: tabular, gráfica, analítica.

Se, com base em dados experimentais, forem compiladas tabelas que contêm os valores da função e os valores correspondentes do argumento, esse método de especificação da função é chamado de tabular.

Ao mesmo tempo, se alguns estudos do resultado do experimento forem enviados para o registrador (osciloscópio, gravador, etc.), observa-se que a função é definida graficamente.

A mais comum é a forma analítica de definir uma função, ou seja, um método no qual as variáveis ​​independentes e dependentes são vinculadas usando uma fórmula. Neste caso, o domínio de definição da função desempenha um papel importante:

diferentes, embora sejam dadas pelas mesmas relações analíticas.

Se apenas a fórmula da função for fornecida
, então consideramos que o domínio de definição desta função coincide com o conjunto desses valores da variável , para o qual a expressão
tem o significado. Nesse sentido, o problema de encontrar o domínio de uma função desempenha um papel especial.

Tarefa 3.1. Encontrar o escopo de uma função

Decisão

O primeiro termo assume valores reais em
, e o segundo em. Assim, para encontrar o domínio de definição de uma dada função, é necessário resolver o sistema de desigualdades:

Como resultado da solução de tal sistema, obtemos . Portanto, o domínio da função é o segmento
.

As transformações mais simples de gráficos de funções

A construção de gráficos de funções pode ser bastante simplificada se utilizarmos os gráficos conhecidos das principais funções elementares. As seguintes funções são chamadas de funções elementares básicas:

1) função de potência
Onde
;

2) função exponencial
Onde
e
;

3) função logarítmica
, Onde - qualquer número positivo diferente de um:
e
;

4) funções trigonométricas




;
.

5) funções trigonométricas inversas
;
;
;
.

Funções elementares são chamadas de funções que são obtidas de funções elementares básicas usando quatro operações aritméticas e superposições aplicadas um número finito de vezes.

Transformações geométricas simples também simplificam o processo de plotagem de funções. Essas transformações são baseadas nas seguintes afirmações:

O gráfico da função y=f(x+a) é o gráfico y=f(x), deslocado (para a > 0 para a esquerda, para a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

O gráfico da função y=f(x) +b tem gráficos y=f(x), deslocados (se b>0 para cima, se b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

O gráfico da função y = mf(x) (m0) é o gráfico y = f(x), esticado (para m>1) m vezes ou comprimido (para 0

O gráfico da função y = f(kx) é o gráfico y = f(x), comprimido (para k > 1) k vezes ou esticado (para 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.