Resumo das aulas da disciplina "Teoria dos processos aleatórios"

TÓPICO 1. CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DOS PROCESSOS ALEATÓRIOS 2
1.1. Definição de um processo aleatório. Abordagens básicas para a tarefa de processos aleatórios. O conceito de realização e seção. Processos aleatórios elementares. 2
1.2. Algumas classes e tipos de processos aleatórios 3
TÓPICO 2. ELEMENTOS DA TEORIA DA CORRELAÇÃO DE PROCESSOS ALEATÓRIOS 4
2.1. O conceito da teoria de correlação de processos aleatórios 4
2.2. Expectativa matemática e variância de um processo aleatório. Desvio padrão 5
2.3. Função de correlação de um processo aleatório e suas propriedades. Função de correlação normalizada 5
2.4. Função de correlação cruzada e função de correlação cruzada normalizada de dois processos aleatórios 6
2.5 Características probabilísticas da soma de duas variáveis ​​aleatórias 6
TÓPICO 3. ELEMENTOS DE ANÁLISE ALEATÓRIA 7
3.1. Convergência e continuidade 7
3.2. Derivada de um processo aleatório e suas propriedades 8
3.3. A integral de um processo aleatório e suas propriedades 9
TÓPICO 4. EXPANSÕES CANÔNICAS DE PROCESSOS ALEATÓRIOS 10
4.1. O conceito de decomposição canônica de um processo aleatório 10
4.2. O conceito de uma função generalizada. A função delta de Dirac. Representação canônica integral de processos aleatórios. onze
4.3. Transformações lineares e não lineares de processos aleatórios 12
CAPÍTULO 5. PROCESSOS ALEATÓRIOS ESTACIONÁRIOS 14
5.1. O conceito de um processo aleatório estacionário. Estacionaridade nos sentidos estreito e amplo 14
5.2 Propriedades de características probabilísticas de um processo aleatório estacionário 15
5.3. Processos aleatórios acoplados estacionários. Derivada e integral de um processo aleatório estacionário 15
5.4. Processos aleatórios estacionários ergódicos e suas características 16
5.5. Fluxos de eventos 17
TÓPICO 6. CORRENTES DE MARKOV 19
6.1. Cadeias de Markov. 19

TÓPICO 1. CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DOS PROCESSOS ALEATÓRIOS

1.1. Definição de um processo aleatório. Abordagens básicas para a tarefa de processos aleatórios. O conceito de realização e seção. Processos aleatórios elementares.

Um processo aleatório (estocástico, probabilístico) é uma função de uma variável real t, cujos valores são as variáveis ​​aleatórias correspondentes X(t).
Na teoria dos processos aleatórios, t é tratado como um tempo que toma valores de algum subconjunto T do conjunto dos números reais (t T, T R).
No arcabouço da análise matemática clássica, a função y=f(t) é entendida como tal tipo de dependência das variáveis ​​t e y, quando um valor numérico específico do argumento t corresponde ao único valor numérico da função y . Para processos aleatórios, a situação é fundamentalmente diferente: definir um argumento específico t leva ao aparecimento de uma variável aleatória X(t) com uma lei de distribuição conhecida (se for uma variável aleatória discreta) ou com uma determinada densidade de distribuição (se for uma variável aleatória discreta) é uma variável aleatória contínua). Em outras palavras, a característica em estudo em cada momento é aleatória com distribuição não aleatória.
Os valores que a função ordinária y=f(t) assume em cada momento determinam completamente a estrutura e as propriedades desta função. Para processos aleatórios, a situação é diferente: aqui não é absolutamente suficiente conhecer a distribuição da variável aleatória X(t) para cada valor de t, são necessárias informações sobre as mudanças esperadas e suas probabilidades, ou seja, informações sobre as grau de dependência do próximo valor do processo aleatório em seu histórico.

A abordagem mais geral para descrever processos aleatórios é definir todas as suas distribuições multivariadas, quando a probabilidade dos seguintes eventos ocorrerem simultaneamente é determinada:

T1, t2,…,tn T, nN: X(ti)≤xi; i=1,2,…,n;

F(t1;t2;…;tn;x1;x2;…;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn).

Essa maneira de descrever processos aleatórios é universal, mas muito complicada. Para obter resultados significativos, são destacados os casos especiais mais importantes, que permitem a utilização de um aparato analítico mais avançado. Em particular, é conveniente considerar o processo aleatório X(t, ω) como uma função de duas variáveis: t T, ω Ω, que para qualquer valor fixo de t T torna-se uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade (Ω, A, P), onde Ω - conjunto não vazio de eventos elementares ω; A é a σ-álgebra de subconjuntos do conjunto Ω, ou seja, o conjunto de eventos; P é uma medida de probabilidade definida em A.

Uma função numérica não aleatória x(t)=X(t,ω0) é chamada de realização (trajetória) de um processo aleatório X(t, ω).
A seção transversal de um processo aleatório X(t, ω) é uma variável aleatória que corresponde ao valor t=t0.

Se o argumento t toma todos os valores reais ou todos os valores de algum intervalo T do eixo real, então se fala de um processo aleatório com tempo contínuo. Se t toma apenas valores fixos, então se fala de um processo aleatório com tempo discreto.
Se a seção transversal de um processo aleatório é uma variável aleatória discreta, então tal processo é chamado de processo com estados discretos. Se qualquer seção é uma variável aleatória contínua, então o processo aleatório é chamado de processo com estados contínuos.
No caso geral, é analiticamente impossível especificar um processo aleatório. A exceção são os chamados processos aleatórios elementares, cuja forma é conhecida, e as variáveis ​​aleatórias são incluídas como parâmetros:
X(t)=X(t,A1,…,An), onde Ai, i=1,…,n são variáveis ​​aleatórias arbitrárias com uma distribuição específica.

1.2. Algumas classes e tipos de processos aleatórios

1.1.1. processos estocásticos gaussianos

Um processo aleatório X(t) é chamado de Gaussiano se todas as suas distribuições de dimensão finita são normais, ou seja,
t1, t2,…,tn T
vetor aleatório
(X(t1); X(t2);…; X(tn))
tem a seguinte densidade de distribuição:

Onde ai=MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; сij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
-complemento algébrico do elemento сij.

1.1.2. Processos aleatórios com incrementos independentes

Um processo aleatório X(t) é chamado de processo com incrementos independentes se seus incrementos em intervalos de tempo não sobrepostos não dependem um do outro:
t1, t2,…,tn T: t1 ≤t2 ≤…≤tn,
variáveis ​​aleatórias
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); …; X(tn)-X(tn-1)
independente.

1.1.3. Processos aleatórios com incrementos não correlacionados

Um processo aleatório X(t) é chamado de processo com incrementos não correlacionados se as seguintes condições forem atendidas:
1) t T: МX2(t)< ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 ≤t2 ≤ t3≤ t4: М((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0.

1.1.4. Processos Estocásticos Estacionários (ver Capítulo 5)

1.1.5. Processos estocásticos de Markov

Limitamo-nos à definição de um processo aleatório de Markov com estados discretos e tempo discreto (cadeia de Markov).

Deixe o sistema A estar em um dos estados incompatíveis A1; A2;…;An, e ao mesmo tempo, a probabilidade Рij(s) de que no s-th teste o sistema passe de estado para estado Aj não depende do estado do sistema nos testes anteriores ao s-1st . Um processo aleatório desse tipo é chamado de cadeia de Markov.

1.1.6. Processos aleatórios de Poisson

Um processo aleatório X(t) é chamado de processo de Poisson com parâmetro a (a>0) se tiver as seguintes propriedades:
1) tT; T= é chamado de limite em rms em λ→0 (n→0)

Somas integrais onde si (ti; ti+1); λ=max(ti+1 - ti), i=0,…,n-1.

Teorema 4. A esperança matemática da integral de um processo aleatório é igual à integral da sua esperança matemática: , .
Teorema 5. A função de correlação da integral do processo aleatório X(t) é igual à integral dupla de sua função de correlação: .
Teorema 6. A função de correlação mútua do processo aleatório X(t) e sua integral é igual à integral da função de correlação do processo aleatório X(t):

TÓPICO 4. EXPANSÕES CANÔNICAS DE PROCESSOS ALEATÓRIOS

4.1. O conceito de decomposição canônica de um processo aleatório

Uma variável aleatória V é chamada de centrada se sua expectativa matemática for igual a 0. Um processo aleatório centrado elementar é um produto de uma variável aleatória V centrada e uma função não aleatória φ(t): X(t)=V φ(t) ). Um processo aleatório centrado elementar tem as seguintes características:

Expressão da forma, onde φk(t), k=1;2;…-funções não aleatórias; , k=1;2;… - variáveis ​​aleatórias centradas não correlacionadas, é chamada de expansão canônica do processo aleatório X(t), enquanto as variáveis ​​aleatórias são chamadas de coeficientes da expansão canônica; e funções não aleatórias φk(t) - funções coordenadas da expansão canônica.

Considere as características de um processo aleatório

Já que pela condição

Obviamente, o mesmo processo aleatório possui diferentes tipos de expansão canônica dependendo da escolha das funções de coordenadas. Além disso, mesmo quando a escolha das funções de coordenadas já ocorreu, há arbitrariedade na distribuição das variáveis ​​aleatórias Vk. Na prática, com base nos resultados dos experimentos, são obtidas estimativas para a expectativa matemática e a função de correlação: . Após a expansão em uma série dupla de Fourier em termos de funções de coordenadas φк(t):

Obtenha os valores das dispersões de variáveis ​​aleatórias Vk.
4.2. O conceito de uma função generalizada. A função delta de Dirac. Representação canônica integral de processos aleatórios.

Uma função generalizada é um limite de uma sequência de uma família de um parâmetro de funções contínuas.
A função delta de Dirac é uma função generalizada resultante da passagem para o limite em na família de funções

Entre as propriedades da função -, notamos o seguinte:
1.
2.
3. Se f(t) é uma função contínua, então

O processo aleatório X(t), cuja função de correlação tem a forma é chamado de "ruído branco" não estacionário. Se W(t1)=W - const, então Х(t)-estacionário "ruído branco".

Como segue da definição, não há duas seções transversais de “ruído branco”, mesmo arbitrariamente próximas, correlacionadas. A expressão W(t) é chamada de intensidade de "ruído branco".

Uma representação canônica integral de um processo aleatório X(t) é uma expressão da forma onde é uma função aleatória centrada; - função não aleatória de argumentos contínuos

A função de correlação de tal processo aleatório tem a forma:
.
Pode-se mostrar que existe uma função não aleatória G(λ) tal que

Onde G(λ1) é a densidade de dispersão; δ(x) - Função delta de Dirac. Nós temos
Portanto, a variância do processo aleatório X(t):
.

4.3. Transformações lineares e não lineares de processos estocásticos

O seguinte problema é considerado: um “sinal de entrada” é alimentado na entrada do sistema (dispositivo, conversor) S, que tem o caráter de um processo aleatório X(t). O sistema converte-o em um "sinal de saída" Y(t):
.
Formalmente, a transformação de um processo aleatório X(t) em Y(t) pode ser descrita usando o chamado operador de sistema Аt:
Y(t)=At(X(t)).
O índice t indica que este operador realiza uma transformação no tempo. As seguintes formulações do problema de transformação de um processo aleatório são possíveis.
1. As leis de distribuição ou características gerais do processo aleatório X(t) na entrada do sistema S são conhecidas, o operador Аt do sistema S é dado, é necessário determinar a lei de distribuição ou as características gerais do sistema S. processo aleatório Y(t) na saída do sistema S.
2. As leis de distribuição (características gerais) do processo aleatório X(t) e os requisitos para o processo aleatório Y(t) são conhecidos; é necessário determinar a forma do operador Аt do sistema S que melhor satisfaz os requisitos dados para Y(t).
3. As leis de distribuição (características gerais) do processo aleatório Y(t) são conhecidas e o operador Аt do sistema S é dado; é necessário determinar as leis de distribuição ou características gerais do processo aleatório X(t).
A seguinte classificação de operadores Аt do sistema S é aceita:

Operadores do sistema

Linear L Não linear N

Linear homogêneo L0 Linear não homogêneo Ln

1. Considere o impacto de um sistema linear não homogêneo
Lн(...)=L0(…)+φ(t)
em um processo aleatório X(t) com a seguinte expansão canônica:
.
Nós temos:

Vamos introduzir a notação

Então a decomposição canônica de Y(t) toma a forma:
.
Expectativa matemática de um processo aleatório Y(t):

Função de correlação do processo aleatório Y(t):

Consequentemente,
.
Por outro lado

Dispersão do processo aleatório Y(t):

Como conclusão desta seção, notamos que os operadores de diferenciação e integração de processos aleatórios são lineares homogêneos.
2. Uma transformação quadrática é considerada:
Y(t)=(X(t))2,
Variáveis ​​aleatórias centradas em Vk tendo uma distribuição simétrica em torno de zero; quaisquer quatro deles são coletivamente independentes. Então

Introduzimos funções não aleatórias

E variáveis ​​aleatórias

Então o processo aleatório Y(t) assume a forma

Uma decomposição canônica do processo aleatório Y(t) é obtida. Função de correlação Y(t):

Dispersão:

CAPÍTULO 5. PROCESSOS ALEATÓRIOS ESTACIONÁRIOS

5.1. O conceito de um processo aleatório estacionário. Estacionaridade nos sentidos estreito e amplo

Estacionário (homogêneo no tempo) é um processo aleatório, cujas características estatísticas não mudam ao longo do tempo, ou seja, são invariantes em relação aos deslocamentos no tempo.
Distinga processos aleatórios estacionários em um sentido amplo e restrito.

Um processo aleatório estacionário no sentido estrito é um processo aleatório X(t), cujas características probabilísticas não mudam com o tempo, ou seja, tal que a condição
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn) e, portanto, todas as n-dimensionais as distribuições não dependem de pontos de tempo t1; t2;… ;tn, mas na duração dos intervalos de tempo τi:

Em particular, a densidade de distribuição unidimensional não depende do tempo t:

Densidade de seção bidimensional nos tempos t1 e t2

densidade N-dimensional de seções no tempo t1; t2...; tn:

Um processo aleatório X(t) é dito estacionário em sentido amplo se seus momentos de primeira e segunda ordem são invariantes em relação ao deslocamento no tempo, ou seja, sua expectativa matemática não depende do tempo t e é uma constante, e a função de correlação depende apenas da duração do intervalo de tempo entre as seções:
Obviamente, um processo aleatório estacionário no sentido estrito também é um processo aleatório estacionário no sentido amplo; O inverso não é verdadeiro.

5.2 Propriedades de características probabilísticas de um processo aleatório estacionário
1.

3. A função de correlação de um processo aleatório estacionário é par:

4. A variância de um processo aleatório estacionário é uma constante igual a
o valor de sua função de correlação no ponto:

5.
6. A função de correlação de um processo aleatório estacionário é
definido positivo, ou seja

A função de correlação normalizada de um processo aleatório estacionário também é par, definida positiva e, além disso,

5.3. Processos aleatórios acoplados estacionários. Derivada e integral de um processo aleatório estacionário

Os processos aleatórios X(t) e Y(t) são chamados estacionários se sua função de correlação mútua depende apenas da diferença dos argumentos τ =t2-t1: RXY(t1;t2)=rXY(τ).

A estacionariedade dos processos aleatórios X(t) e Y(t) não significa sua conexão estacionária.
Notamos as principais propriedades dos processos aleatórios estacionários, a derivada e integral dos processos aleatórios estacionários,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2)
3)
4)
Onde
5) onde
6) ;

5.4. Processos Estocásticos Estacionários Ergódicos e Suas Características

Entre os processos aleatórios estacionários, existe uma classe especial de processos chamados ergódicos, que têm a seguinte propriedade: suas características obtidas pela média do conjunto de todas as realizações coincidem com as características correspondentes obtidas pela média ao longo do tempo de uma realização observada no intervalo (0, T) de duração suficientemente longa. Ou seja, em um intervalo de tempo suficientemente grande, qualquer implementação passa por qualquer estado, independentemente de qual era o estado inicial do sistema em t=0; e, nesse sentido, qualquer realização representa plenamente todo o conjunto de realizações.

Teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin
Para qualquer processo aleatório estacionário no sentido estrito X(t), que tem uma esperança matemática finita com probabilidade 1, existe um limite
para SSP com tempo contínuo,
para SSP com tempo discreto.
Se, além disso, X(t) é um processo aleatório estacionário ergódico, então
Na condição do teorema, a esperança matemática condicional do processo aleatório X(t) em relação a Jx; Jx é a -álgebra de eventos invariantes em relação a X(t); diz-se que um evento A é invariante sob X(t) se B é tal que A=(ω: X(ω,t) B).

Condições suficientes para ergodicidade
Teorema 1. Um processo aleatório estacionário X(t) é ergódico em relação a
esperança matemática se sua função de correlação
tende a zero quando τ→∞;
em que: .

Teorema 2. Um processo aleatório estacionário X(t) é ergódico em relação a
dispersão, se a função de correlação do aleatório estacionário
processo de chá Y(t)=X2(t) tende a zero quando τ→∞;
em que:

Teorema 3. Um processo aleatório estacionário X(t) é ergódico em relação a
função de correlação se tende a zero quando τ→∞ cor-
função relacional de um processo aleatório estacionário
Z(t, τ)= ;
em que:

Nos cálculos práticos, o intervalo (0; T) é dividido em n partes iguais; em cada intervalo, é selecionado um ponto ti (por exemplo, o meio). Se nos limitarmos à fórmula dos retângulos, obtemos

5.5. Fluxos de eventos
Um fluxo de eventos é uma sequência de eventos que ocorrem em um momento aleatório no tempo.

Propriedades do fluxo de eventos:
1) Escoamento estacionário.
Um fluxo é dito estacionário se a probabilidade de m eventos em qualquer intervalo de tempo τ depender apenas do número de eventos m e da duração do intervalo τ e não depender do momento em que este intervalo começou.
2) Nenhum efeito colateral.
Diz-se que um fluxo de eventos não tem efeito posterior se a probabilidade de ocorrência de m eventos em qualquer período de tempo não depende se os eventos apareceram ou não nos momentos imediatamente anteriores a esse período.
O histórico de um thread não afeta a ocorrência de eventos em um futuro próximo. Se o fluxo tem a propriedade de não ter efeito posterior, então as variáveis ​​aleatórias da ocorrência de eventos em intervalos sem interseção são independentes umas das outras.
3) Normalidade.
Diz-se que um fluxo tem a propriedade de ser ordinário se não mais do que um evento pode ocorrer em um intervalo de tempo infinitesimal, ou seja, a ocorrência de 2 ou mais eventos em um curto período de tempo é praticamente impossível.
4) Fluxo de Poisson
Se o fluxo possui simultaneamente as propriedades de estacionaridade, ausência de efeito posterior e normalidade, então ele é chamado de fluxo mais simples (Poisson).

Teorema. Se o fluxo é a soma de um grande número de fluxos estacionários independentes, a influência de cada um deles é desprezível, então o fluxo total, desde que seja comum, é próximo ao mais simples.
A intensidade do fluxo é o número médio de eventos que ocorrem por unidade de tempo.
Se o fluxo tem intensidade constante, então a probabilidade de ocorrência de m eventos para intervalos de tempo de duração τ é calculada usando a fórmula de Poisson.
– Fluxo de Poisson.
O problema de uma simples onda de telégrafo.
Existe algum dispositivo ao qual o sinal é aplicado. Esses sinais formam o fluxo mais simples.
X(t) a -a
P 1/2 1/2
Investigue as características do SP X(t), que assume os valores ±a em tempos arbitrários. SP discreto com tempo contínuo. M(X(t)) = 0

X(t1)X(t2)a2-a2
P P par P ímpar
Deixe t1< t2 => τ > 0

Consequentemente, a onda do telégrafo é um SCS ergódico.
Justificativa - As seguintes propriedades devem ser mantidas
1) Estacionaridade - não depende da escolha do intervalo de tempo.
2) Ausência de efeito colateral - momentos de tempo não aparecem na fórmula.
3) Normalidade
Probabilidade de mais de um evento
Probabilidade do 1º evento
Probabilidade de mais de 2 eventos
com =>
para pequenos τ tendem a zero a uma taxa não inferior a um quadrado.

TÓPICO 6. CORRENTES DE MARKOV

6.1. Cadeias de Markov.

Uma cadeia de Markov é uma sequência de eventos, em cada um dos quais apenas um dos eventos incompatíveis A1,A2…Ak aparece, enquanto a probabilidade condicional pij(s) no teste s será o evento Ai e a condição que em o teste s-1 do evento Aj e ocorrido depende do resultado dos eventos anteriores.
Uma cadeia de Markov de tempo discreto é uma cadeia cujos estados mudam em tempos fixos.
Uma cadeia de Markov com tempo contínuo é uma cadeia cujas mudanças de estado ocorrem em um momento arbitrário no tempo.
Uma cadeia de Markov é chamada homogênea se a probabilidade condicional pij(s) de transição para um estado de Ai para Aj não depende do número da tentativa, em s.
As probabilidades de que o sistema passe de Ai para Aj como resultado do teste são chamadas de probabilidades de transição de uma cadeia de Markov homogênea.
As probabilidades de transição formam uma matriz de probabilidades de transição i=1;…;k
Igualdade de Markov
Pij(n) é a probabilidade da transição do sistema do estado Ai para Aj em n tentativas

Consequências
1) n=2; m=1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n=3; m=2
; P3=P3
3) Pn=P12.

1. O conceito de uma função aleatória, processos estocásticos

Ao estudar muitos fenômenos, é preciso lidar sistematicamente com variáveis ​​aleatórias que mudam no processo de teste por um determinado tempo. Já encontramos exemplos de tais fenômenos nas Seções 6.2. e 9.2. em conexão com a lei de distribuição de Poisson.

Exemplos de tal r.v. são: o decaimento de uma substância radioativa em uma reação química, o sinal na saída de um receptor de rádio sob a influência de interferência, o comprimento da fila para um ingresso para uma partida de futebol, as flutuações de preços no sistema de comércio de bens essenciais, a carga horária dos alunos durante o semestre letivo, a trajetória das partículas em movimento browniano, a classificação dos candidatos nos processos eleitorais, o número de ligações recebidas na central telefônica, etc.

Essas variáveis ​​aleatórias que mudam no processo de experiência (observação, teste) são chamadas de processos aleatórios (aleatória funções). Atualmente, vários ramos da tecnologia e da ciência (estatística física, processo de difusão, processos de reação química, etc.) têm colocado novos problemas para a teoria da probabilidade que não se encaixam na estrutura da teoria clássica da probabilidade. Naquela época, muitos ramos da atividade humana se interessavam pelo estudo dos processos, ou seja, fenômenos que ocorrem no tempo. Eles exigiram da ciência da teoria das probabilidades o desenvolvimento de uma teoria geral dos chamados processos aleatórios. Em outras palavras, o desenvolvimento de uma teoria que estudaria variáveis ​​aleatórias que dependem de um ou mais parâmetros de tempo em constante mudança. Vamos dar exemplos de tais problemas ilustrando a necessidade de construir uma teoria de processos aleatórios.

Imagine que queremos seguir o movimento de uma molécula de um gás ou líquido. Esta molécula em momentos aleatórios colide com outras moléculas e muda sua velocidade e posição. Obviamente, o estado da molécula está sujeito a mudanças aleatórias a cada momento. Muitos fenômenos da natureza requerem para seu estudo a capacidade de calcular as probabilidades de que um certo número de fenômenos (moléculas, mudanças de preços, chegada de sinais de rádio, etc.) mudem uma ou outra posição. Todas essas e muitas outras perguntas são respondidas pela teoria estatística dos processos aleatórios, ou, como é comumente chamada " teoria dos processos estocásticos ». Obviamente, problemas semelhantes surgem em física, química, astronomia, economia, genética, etc. Por exemplo, ao estudar o processo de uma reação química, surge uma pergunta legítima:

Que fração da molécula já reagiu?

Como essa reação ocorre ao longo do tempo?

Quando a reação está quase acabando?

Um grande número de fenômenos procede de acordo com o princípio do decaimento radioativo. A essência desse fenômeno é que os átomos de uma substância radioativa decaem instantaneamente, transformando-se em átomos de outro elemento químico. O decaimento de cada átomo ocorre rapidamente e em alta velocidade no tempo, como uma explosão, com a liberação de uma certa quantidade de energia. Como regra, numerosas observações mostram que o decaimento de vários átomos para o observador ocorre em tempos tomados aleatoriamente. Nesse caso, a localização desses momentos de tempo não depende um do outro no sentido da teoria das probabilidades. Para estudar o processo de decaimento radioativo, é essencial determinar qual é a probabilidade de um certo número de átomos decair em um determinado período de tempo? Formalmente, se alguém pedir apenas para elucidar o quadro matemático de tais fenômenos, então pode-se encontrar uma solução simples para tais problemas matemáticos a que tais fenômenos levam.

Vamos descrever brevemente como, com base na consideração do problema de partículas vagando em linha reta, os cientistas Planck e Fokker obtiveram uma equação diferencial na teoria da difusão.

Seja a partícula no momento do tempo no ponto
, em momentos
experimenta choques aleatórios, como resultado dos quais ele se move cada vez com uma probabilidade pela quantidade para a direita e com probabilidade
também pela quantidade Para a esquerda.

Denotado por
a probabilidade de que a partícula como resultado choques aparecerão no momento
grávida (é claro que para um número par de choques, o valor só pode ser um número par de passos , e quando ímpar - apenas um número ímpar de passos . Se através
denotar o número de passos dados pela partícula à direita (então

é o número de passos que a partícula deu para a esquerda), então, de acordo com a fórmula de Bernoulli, essa probabilidade é igual a

É claro que essas quantidades estão relacionadas pela igualdade
Pode-se verificar diretamente que a função
satisfaz a equação diferencial

com condições iniciais
e em

. A natureza física do problema nos forçará a ir a certas restrições naturais na proporção de parâmetros
. O não cumprimento de algumas condições necessárias, que serão discutidas a seguir, pode levar ao fato de que, em um período de tempo finito, uma partícula com probabilidade igual a um pode ir ao infinito. Para excluir essa possibilidade, impomos as seguintes condições aos parâmetros com

onde o valor expressa Rapidez correntes, uma
coeficiente de difusão.

Subtraia de ambas as partes da igualdade (1) a quantidade
, Nós temos

Vamos supor que a função
diferenciável em relação a duas vezes e uma vez . Então nós temos

Depois de substituir as igualdades obtidas em (3), temos

A partir daqui, passando ao limite
e com base nas condições (2) finalmente obtemos

(4)

Assim, obtivemos a conhecida equação, que na teoria da difusão é chamada Equações de Fokker-Planck.

O início da teoria geral dos processos estocásticos foi estabelecido nas obras fundamentais de A.N. Kolmogorov e A.Ya. Khinchin no início da década de 1930. No artigo de A. N. Kolmogorov "Sobre métodos analíticos da teoria da probabilidade" recebeu uma construção sistemática e rigorosa dos fundamentos da teoria dos processos estocásticos sem efeito colateral ou, como se costuma dizer, processos do tipo Markov. Vários trabalhos de Khinchin criaram uma teoria dos chamados processos estacionários.

Assim, o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios na dinâmica de seus

desenvolvimento é chamado teoria dos processos aleatórios(funções aleatórias). Seus métodos são frequentemente usados: na teoria do controle automático, na análise e planejamento das atividades financeiras de empresas e fazendas, no processamento e transmissão das informações necessárias (sinais em dispositivos de engenharia de rádio, comunicações por satélite etc.), em economia e na teoria do serviço de massa.

Consideremos brevemente os conceitos básicos da teoria dos processos aleatórios (SP).

Se cada valor
, Onde denota algum conjunto de números reais, é colocado em correspondência com r.v.
, então dizemos que no conjunto dada uma função aleatória (s.f.)
. Processos aleatórios que
, são especialmente importantes em aplicações. Nos casos em que o parâmetro interpretado como um parâmetro de tempo, então a função aleatória é chamada processo aleatório, ou seja, processo aleatórioé chamada de família de r.v.
dependente do parâmetro
e dado no mesmo espaço de eventos elementares
Denotado
ou

Um processo aleatório pode ser especificado na forma de uma fórmula (notação analítica) se a forma da função aleatória for conhecida. Por exemplo, s. f. é um r.p., onde a variável aleatória
tem uma distribuição uniforme. Por um valor fixo
, s. p.
, então o r.p. converte para r.v.
que é chamado de seção transversal do processo aleatório.

Implementação ou trajetória processo aleatório
chamado não aleatório função de tempo
em um fixo
, ou seja como resultado do teste s.p. assume uma forma específica.
, enquanto as realizações de r.s. denotado por
,
onde os índices indicam o número do teste.

A Figura 59 mostra três implementações
processo aleatório em
;

Eles se assemelham aos tipos de três fenômenos oscilatórios senoidais em algum processo mecânico, enquanto cada uma dessas realizações (trajetória) é uma função comum.

Fig.59 (Escrito).

Neste exemplo, o r.v. em três experimentos, levou três valores, respectivamente: 1, 2, 0,5, ou seja. três implementações da joint venture são indicadas: Todos os três recursos não são aleatórios. Se neste exemplo fixarmos o momento do tempo, em
, então obtemos a seção transversal:
- variável aleatória ou
, são variáveis ​​aleatórias. Observe que o chamado lei de distribuição unidimensional de um processo aleatório
não é característica exaustiva de s.p. processo aleatório
é um conjunto de todas as seções transversais para valores diferentes
, portanto, para sua descrição completa, deve-se considerar a função de distribuição conjunta das seções transversais do processo:

a chamada lei de distribuição de dimensão finita de r.p. em momentos
. Em outras palavras, surgem r.v.s multidimensionais.

Assim, o conceito de s.p. é uma generalização direta do conceito de um sistema de variáveis ​​aleatórias, quando essas variáveis ​​são um conjunto infinito.

Teoria dos processos aleatórios chamada de ciência matemática que estuda os padrões de fenômenos aleatórios na dinâmica de seu desenvolvimento.

A teoria dos processos aleatórios (em outra terminologia - a teoria das funções aleatórias) é um ramo relativamente novo da teoria da probabilidade, que vem se desenvolvendo especialmente rapidamente nas últimas décadas em conexão com a gama cada vez maior de suas aplicações práticas.

Ao estudar os fenômenos do mundo ao nosso redor, muitas vezes encontramos processos, cujo curso não pode ser previsto com precisão com antecedência. Essa incerteza (imprevisibilidade) é causada pela influência de fatores aleatórios que afetam o curso do processo. Vamos dar alguns exemplos de tais processos.

1. A tensão na rede elétrica, nominalmente constante e igual a 220 V, realmente muda ao longo do tempo, flutua em torno do valor nominal sob a influência de fatores aleatórios como o número e o tipo de dispositivos conectados à rede, os momentos de sua ligar e desligar, etc.

2. A população de uma cidade (ou região) muda ao longo do tempo de forma aleatória (imprevisível) sob a influência de fatores como nascimentos, mortes, migração, etc.

3. O nível da água em um rio (ou em um reservatório) muda aleatoriamente ao longo do tempo, dependendo do clima, chuva, degelo, intensidade da irrigação, etc.

4. Uma partícula realizando movimento browniano no campo de visão de um microscópio muda sua posição aleatoriamente como resultado de colisões com moléculas líquidas.

5. Está voando um foguete espacial, que deve ser lançado em um determinado momento para um determinado ponto do espaço com uma determinada direção e valor absoluto do vetor velocidade. O movimento real do foguete não coincide com o calculado devido a fatores aleatórios como turbulência atmosférica, heterogeneidade de combustível, erros no processamento de comandos, etc.

6. O computador no decorrer do trabalho pode mover-se aleatoriamente de um estado para outro, por exemplo:

S1- funciona corretamente;

S2- há um mau funcionamento, mas não é detectado;

S3- um mau funcionamento foi detectado, sua fonte está sendo pesquisada;

S4- ser reparado, etc.

As transições de estado para estado ocorrem sob a influência de fatores aleatórios, como flutuações de tensão na rede de alimentação do computador, falha de elementos individuais, momento de detecção de falhas, tempo para sua eliminação, etc.

Estritamente falando, na natureza não há processos completamente não aleatórios, exatamente determinísticos, mas há processos no curso dos quais fatores aleatórios influenciam tão fracamente que podem ser negligenciados ao estudar o fenômeno (exemplo: o processo de planetas girando em torno do Sol). No entanto, também existem processos em que a aleatoriedade desempenha o papel principal (exemplo: o processo acima considerado do movimento browniano de uma partícula). Entre os dois extremos está toda uma gama de processos em que o acaso desempenha um papel maior ou menor. Levar em conta (ou não) a aleatoriedade do processo também depende de qual problema prático estamos resolvendo. Por exemplo, ao programar o movimento de aeronaves entre dois pontos, suas trajetórias podem ser consideradas retilíneas, e o movimento é uniforme; as mesmas suposições não funcionarão se o problema de projetar um piloto automático para controlar o voo de uma aeronave estiver sendo resolvido.

Existem dois tipos principais de problemas, cuja solução requer o uso da teoria das funções aleatórias (processos aleatórios).

Problema direto (análise): são dados os parâmetros de um determinado dispositivo e suas características probabilísticas (expectativas matemáticas, funções de correlação, leis de distribuição) da função (sinal, processo) que chega à sua “entrada”; é necessário determinar as características na "saída" do dispositivo (elas são usadas para julgar a "qualidade" do dispositivo).

Problema inverso (síntese): são dadas as características probabilísticas das funções de "entrada" e "saída"; é necessário projetar um dispositivo ótimo (encontrar seus parâmetros) que converta uma determinada função de entrada em uma função de saída que tenha as características dadas. A solução deste problema requer, além do aparato de funções aleatórias, a atração e outras disciplinas.

Introdução

A teoria dos processos aleatórios (funções aleatórias) é um ramo da ciência matemática que estuda os padrões dos fenômenos aleatórios na dinâmica de seu desenvolvimento.

Atualmente, surgiu uma grande quantidade de literatura que se dedica diretamente à teoria das filas, ao desenvolvimento de seus aspectos matemáticos, bem como às várias áreas de sua aplicação - militar, médica, transporte, comércio, aviação, etc.

A teoria das filas é baseada na teoria das probabilidades e nas estatísticas matemáticas. O desenvolvimento inicial da teoria das filas está associado ao nome do cientista dinamarquês A.K. Erlang (1878-1929), com seus escritos sobre projeto e operação de centrais telefônicas.

A teoria das filas é um campo da matemática aplicada que lida com a análise de processos em sistemas de produção, serviço e controle em que eventos homogêneos são repetidos muitas vezes, por exemplo, em empresas de serviços ao consumidor; em sistemas de recepção, processamento e transmissão de informações; linhas de produção automáticas, etc. Uma grande contribuição para o desenvolvimento desta teoria foi feita pelos matemáticos russos A.Ya. Khinchin, B. V. Gnedenko, A. N. Kolmogorov, E. S. Wentzel e outros.

O objetivo da teoria das filas é estabelecer relações entre a natureza do fluxo de aplicações, o número de canais de atendimento, o desempenho de um canal individual e o atendimento eficiente, a fim de encontrar as melhores formas de controlar esses processos. As tarefas da teoria das filas são de natureza de otimização e, em última análise, incluem o aspecto econômico de determinar tal variante do sistema, que fornecerá um mínimo de custos totais de espera por atendimento, perda de tempo e recursos para atendimento e de tempo de inatividade dos canais de atendimento.

Nas atividades comerciais, a aplicação da teoria das filas ainda não encontrou a distribuição desejada.

Isso se deve principalmente à dificuldade de estabelecer metas, à necessidade de um profundo conhecimento do conteúdo das atividades comerciais, bem como de ferramentas confiáveis ​​e precisas que permitam calcular várias opções para as consequências das decisões gerenciais nas atividades comerciais.

1. Definição de um processo aleatório e suas características

Um processo aleatório X(t) é um processo cujo valor para qualquer valor do argumento t é uma variável aleatória.

Em outras palavras, um processo aleatório é uma função que, como resultado de testes, pode assumir uma ou outra forma específica, desconhecida de antemão. Para um fixo t = to X(to) é uma variável aleatória ordinária, ou seja, seção transversal de um processo aleatório no tempo to.

A implementação de um processo aleatório X (t, w) é uma função não aleatória x(t), na qual o processo aleatório X(t) se transforma como resultado do teste (para um w fixo), ou seja, forma específica tomada pelo processo aleatório X(t), sua trajetória.

Assim, o processo aleatório X (t, w) combina as características de uma variável aleatória e de uma função. Se fixarmos o valor do argumento t, o processo aleatório se transformará em uma variável aleatória comum, se fixarmos w, então, como resultado de cada teste, ele se transformará em uma função não aleatória comum.

Assim como uma variável aleatória, um processo aleatório pode ser descrito por características numéricas.

A expectativa matemática de um processo aleatório X(t) é uma função não aleatória a x (t), que para qualquer valor da variável t é igual à expectativa matemática da seção correspondente do processo aleatório X(t), ou seja. machado (t) = M.

A variância de um processo aleatório X(t) é uma função não aleatória. D x (t), para qualquer valor da variável t, igual à variância da seção correspondente do processo aleatório X(t), ou seja. Dx (t) = D.

Desvio padrão processo aleatório X(t) é o valor aritmético da raiz quadrada de sua variância, ou seja,

A expectativa matemática de um processo aleatório caracteriza a trajetória média de todas as suas possíveis implementações, e sua variância ou desvio padrão caracteriza a dispersão das implementações em relação à trajetória média.

A função de correlação de um processo aleatório X(t) é uma função não aleatória

duas variáveis ​​t1 e t 2, que para cada par de variáveis ​​t1 e t2 é igual à covariância das seções correspondentes X(t1) e X(t 2) processo aleatório.

A função de correlação normalizada do processo aleatório X(t) é a função

Processos aleatórios podem ser classificados dependendo se os estados do sistema em que ocorrem mudam suavemente ou abruptamente, é claro (contáveis) ou um número infinito desses estados, etc. Entre os processos aleatórios, um lugar especial pertence ao processo aleatório de Markov. Mas primeiro, vamos nos familiarizar com os conceitos básicos da teoria das filas.

2. Conceitos básicos teoria das filas

Na prática, muitas vezes encontramos sistemas projetados para uso reutilizável na resolução do mesmo tipo de problemas. Os processos que surgem neste caso são chamados de processos de serviço e os sistemas são chamados de sistemas de filas (QS). Exemplos de tais sistemas são sistemas de telefone, oficinas de reparação, sistemas de computador, bilheteiras, lojas, cabeleireiros e semelhantes.

Cada QS é composto por um certo número de unidades de atendimento (instrumentos, dispositivos, pontos, estações), que chamaremos de canais de atendimento. Os canais podem ser linhas de comunicação, pontos de operação, computadores, vendedores, etc. De acordo com o número de canais, os QS são divididos em canal único e multicanal.

As aplicações geralmente chegam ao QS não regularmente, mas de forma aleatória, formando o chamado fluxo aleatório de aplicações (requisitos). As solicitações de serviço, em geral, também continuam por algum tempo aleatório. A natureza aleatória do fluxo de aplicativos e tempo de serviço leva ao fato de que o QS é carregado de forma desigual: em alguns períodos de tempo, um número muito grande de aplicativos se acumula (eles ficam na fila ou deixam o QS sem atendimento), enquanto em outros períodos em que o QS opera com subcarga ou está ocioso.

O tema da teoria das filas é a construção de modelos matemáticos que relacionam as condições operacionais dadas do QS (o número de canais, seu desempenho, a natureza do fluxo de solicitações, etc.) com os indicadores de eficiência do QS que descrevem sua capacidade de lidar com o fluxo de solicitações.

São utilizados como indicadores de desempenho do QS: o número médio de pedidos atendidos por unidade de tempo; o número médio de aplicativos na fila; tempo médio de espera para atendimento; probabilidade de negação de serviço sem espera; a probabilidade de que o número de solicitações na fila exceda um determinado valor, etc.

Os QS são divididos em dois tipos principais (classes): QS com falhas e QS com espera (fila). Em um QS com negações, uma solicitação que chega no momento em que todos os canais estão ocupados recebe uma recusa, sai do QS e não participa do processo de atendimento posterior (por exemplo, uma solicitação de conversa telefônica no momento em que todos os canais estão ocupados recebe uma recusa e deixa o QS sem atendimento). Em um QS com espera, uma reclamação que chega no momento em que todos os canais estão ocupados não sai, mas entra na fila para atendimento.

Os QS com espera são divididos em diferentes tipos dependendo de como a fila está organizada: com um comprimento de fila limitado ou ilimitado, com um tempo de espera limitado, etc.

3. O conceito de um processo aleatório de Markov

O processo QS é um processo aleatório.

Um processo é chamado de processo com estados discretos se seus estados possíveis S1, S2, S3… puderem ser listados antecipadamente, e a transição do sistema de estado para estado ocorrer instantaneamente (salto). Um processo é chamado de processo com tempo contínuo se os momentos de possíveis transições do sistema de estado para estado não são fixos antecipadamente, mas são aleatórios.

O processo de operação QS é um processo aleatório com estados discretos e tempo contínuo. Isso significa que o estado do QS muda abruptamente em momentos aleatórios do aparecimento de alguns eventos (por exemplo, a chegada de uma nova solicitação, o fim do serviço etc.).

A análise matemática do trabalho do QS é bastante simplificada se o processo deste trabalho for Markov. Um processo aleatório é chamado de Markov ou processo aleatório sem efeito posterior se, por algum tempo, as características probabilísticas do processo no futuro dependem apenas de seu estado atual e não dependem de quando e como o sistema chegou a esse estado.

Um exemplo de um processo de Markov: o sistema S é um balcão em um táxi. O estado do sistema no tempo t é caracterizado pelo número de quilômetros (décimos de quilômetros) percorridos pelo carro até aquele momento. Deixe o contador mostrar Então, no momento para. A probabilidade de que no momento t > ao medidor mostre um ou outro número de quilômetros (mais precisamente, o número correspondente de rublos) S1 depende de So, mas não depende do momento em que as leituras do medidor mudaram antes do momento para.

Muitos processos podem ser considerados aproximadamente markovianos. Por exemplo, o processo de jogar xadrez; sistema S é um grupo de peças de xadrez. O estado do sistema é caracterizado pelo número de peças do adversário que permanecem no tabuleiro no momento. A probabilidade de que no momento t > com vantagem material esteja do lado de um dos oponentes depende principalmente do estado em que o sistema se encontra no momento, e não de quando e em que sequência as peças desapareceram do tabuleiro momento para.

Em alguns casos, a pré-história dos processos considerados pode ser simplesmente negligenciada e modelos de Markov podem ser usados ​​para estudá-los.

Ao analisar processos aleatórios com estados discretos, é conveniente usar um esquema geométrico - o chamado gráfico de estados. Normalmente, os estados do sistema são representados por retângulos (círculos) e possíveis transições de estado para estado - por setas (arcos orientados), estados de conexão.

Para uma descrição matemática de um processo aleatório de Markov com estados discretos e tempo contínuo, ocorrendo em um QS, vamos nos familiarizar com um dos conceitos importantes da teoria das probabilidades - o conceito de fluxo de eventos.

. Fluxos de eventos

O fluxo de eventos é entendido como uma sequência de eventos homogêneos que se sucedem em algum momento aleatório (por exemplo, um fluxo de chamadas em uma central telefônica, um fluxo de falhas de computador, um fluxo de clientes etc.).

O fluxo é caracterizado pela intensidade X - a frequência de ocorrência de eventos ou o número médio de eventos que entram no QS por unidade de tempo.

Um fluxo de eventos é chamado de regular se os eventos seguem um após o outro em intervalos regulares. Por exemplo, o fluxo de produtos em uma linha de montagem (a uma velocidade constante) é regular.

Um fluxo de eventos é chamado de estacionário se suas características probabilísticas não dependem do tempo. Em particular, a intensidade de um fluxo estacionário é um valor constante: por exemplo, o fluxo de carros em uma avenida da cidade não é estacionário durante o dia, mas esse fluxo pode ser considerado estacionário em uma determinada hora do dia, digamos, durante horas de pico. Nesse caso, o número real de carros que passam por unidade de tempo (por exemplo, a cada minuto) pode variar bastante, mas seu número médio é constante e não depende do tempo.

Um fluxo de eventos é chamado de fluxo sem efeito posterior se para um ou dois intervalos de tempo não intersecionados T1 e T2 o número de eventos que caem em um deles não depende do número de eventos que caem nos outros. Por exemplo, o fluxo de passageiros que entra no metrô quase não tem efeito colateral. E, digamos, o fluxo de clientes que saem do balcão com suas compras já tem um efeito colateral (até porque o intervalo de tempo entre clientes individuais não pode ser menor que o tempo mínimo de atendimento para cada um deles).

Um fluxo de eventos é chamado de ordinário se a probabilidade atingir um pequeno intervalo de tempo (elementar) At de dois ou mais eventos é insignificante em comparação com Coma probabilidade de acertar um único evento. Em outras palavras, um fluxo de eventos é comum se os eventos aparecem nele um a um, e não em grupos. Por exemplo, o fluxo de trens que se aproximam da estação é comum, mas o fluxo de vagões não é comum.

O fluxo de eventos é chamado o mais simples(ou Poisson estacionário) se for simultaneamente estacionário, ordinário e sem efeitos posteriores. O nome "mais simples" é explicado pelo fato de que QS com os fluxos mais simples tem a descrição matemática mais simples. Um fluxo regular não é o mais simples, pois tem um efeito colateral: os momentos de ocorrência de eventos em tal fluxo são rigidamente fixados.

O fluxo mais simples como fluxo limitante surge na teoria dos processos aleatórios tão naturalmente quanto na teoria das probabilidades, a distribuição normal é obtida como limite para a soma das variáveis ​​aleatórias: ao sobrepor (superposição) um número suficientemente grande n de variáveis ​​independentes , fluxos estacionários e ordinários (comparáveis ​​entre si em intensidades Аi (i=1,2…p)) o fluxo é próximo ao mais simples com a intensidade X igual à soma das intensidades dos fluxos de entrada, ou seja:

Lei de distribuição binomial:

com parâmetros

A distribuição binomial tende para a distribuição de Poisson com o parâmetro

para a qual a esperança matemática de uma variável aleatória é igual à sua variância:

Em particular, a probabilidade de que nenhum evento ocorra durante o tempo t (t = 0) é igual a

A distribuição dada pela densidade de probabilidade ou função de distribuição é exponencial (exponencial). Assim, o intervalo de tempo entre dois eventos arbitrários adjacentes do fluxo mais simples tem uma distribuição exponencial, para a qual a expectativa matemática é igual ao desvio padrão da variável aleatória:

e vice-versa de acordo com a intensidade do fluxo

A propriedade mais importante da distribuição exponencial (inerente apenas à distribuição exponencial) é a seguinte: se o intervalo de tempo distribuído de acordo com a lei exponencial já dura algum tempo t, isso não afeta a lei de distribuição da parte restante do intervalo (T - t): será o mesmo , assim como a lei de distribuição de todo o intervalo T.

Em outras palavras, para um intervalo de tempo T entre dois eventos vizinhos sucessivos de um fluxo que possui distribuição exponencial, qualquer informação sobre quanto tempo esse intervalo decorreu não afeta a distribuição do restante. Essa propriedade da lei exponencial é, em essência, outra formulação para a "falta de efeito posterior" - a principal propriedade do fluxo mais simples.

Para o fluxo mais simples com intensidade, a probabilidade de atingir pelo menos um evento do fluxo em um intervalo de tempo elementar (pequeno) At é igual a:

(Esta fórmula aproximada, obtida substituindo a função apenas pelos dois primeiros termos de sua expansão em uma série em potências de At, é a mais precisa, quanto menor At).

5. As equações de Kolmogorov. Limitar probabilidades de estados

O gráfico de estado de processo correspondente é mostrado na fig. à tarefa. Vamos supor que todas as transições do sistema do estado Si para Sj ocorrem sob a influência dos fluxos de eventos mais simples com intensidades (eu , j = 0, 1, 2,3); Assim, a transição do sistema do estado S0 para S1 ocorrerá sob a influência do fluxo de falhas do primeiro nó, e a transição reversa do estado S0 para S1 ocorrerá sob a influência do fluxo de "fim de reparos" do primeiro nó, etc.

O gráfico de estado de um sistema com intensidades marcadas nas setas será chamado rotulado (veja a figura acima). O sistema considerado S tem quatro estados possíveis: S0 , S1 S2, S3. A probabilidade do i-ésimo estado é a probabilidade pi(t) de que no momento t o sistema esteja no estado Si. Obviamente, para qualquer momento t, a soma das probabilidades de todos os estados é igual a um:

Consideremos o sistema no momento t e, dado um pequeno intervalo At, encontre a probabilidade po (t + At) de que o sistema no momento t + At esteja no estado S0. Isto é conseguido de várias maneiras.

1.O sistema no momento t estava no estado S0 com probabilidade po(t), mas não o deixou durante o tempo At.

O sistema pode ser retirado deste estado (veja o gráfico na figura para o problema) usando o fluxo total mais simples com intensidade , com probabilidade aproximadamente igual a

E a probabilidade de o sistema não sair do estado S0 é igual a . A probabilidade de o sistema estar no estado S0 e não sair dele durante o tempo At é, de acordo com o teorema da multiplicação de probabilidade:

No tempo t, o sistema estava no estado S1 ou S2 com probabilidade p1 (t) (ou p2 (t)) e no tempo At passou para o estado

Pelo fluxo de intensidade o sistema irá para o estado So com uma probabilidade aproximadamente igual a . A probabilidade de que o sistema esteja no estado Então, de acordo com este método é igual a (ou )

Aplicando o teorema da adição de probabilidade, temos:

Passando para o limite em At 0 (igualdades aproximadas transformar em exatas), obtemos a derivada no lado esquerdo da equação (vamos denotar por simplicidade):

Obtém-se uma equação diferencial de primeira ordem, i.e. uma equação contendo tanto a própria função desconhecida quanto sua derivada de primeira ordem.

Argumentando de forma semelhante para outros estados do sistema S, podemos obter um sistema de equações diferenciais de Kolmogorov para probabilidades de estado:

Vamos formular uma regra para compilar as equações de Kolmogorov. No lado esquerdo de cada um deles está a derivada da probabilidade do i-ésimo estado. No lado direito - a soma dos produtos das probabilidades de todos os estados (de onde as setas vão para este estado) pela intensidade dos fluxos de eventos correspondentes menos a intensidade total de todos os fluxos que trazem o sistema para fora deste estado , multiplicado pela probabilidade do dado (i-ésimo estado

No sistema indicado acima, o número de equações independentes é um a menos que o número total de equações. Portanto, para resolver o sistema, é necessário adicionar a equação

Uma característica da resolução de equações diferenciais em geral é que é necessário definir as chamadas condições iniciais, neste caso, as probabilidades dos estados do sistema no momento inicial t = 0. o sistema estava no estado So, ou seja, sob condições iniciais

As equações de Kolmogorov permitem encontrar todas as probabilidades de estados em função do tempo. De particular interesse são as probabilidades do sistema p eu (t) no modo estacionário limitante, i.e. no , que são chamadas de probabilidades de estado limite (final).

Na teoria dos processos aleatórios, prova-se que se o número de estados do sistema é finito e de cada um deles é possível (em um número finito de passos) ir para qualquer outro estado, então existem probabilidades limitantes.

A probabilidade limite do estado Si tem um significado claro: mostra o tempo relativo médio que o sistema passa neste estado. Por exemplo, se a probabilidade marginal do estado So, ou seja, p0=0,5, isso significa que, em média, o sistema está no estado S0 metade do tempo.

Como as probabilidades limite são constantes, substituindo suas derivadas nas equações de Kolmogorov por valores zero, obtemos um sistema de equações algébricas lineares descrevendo o regime estacionário.

Os processos de morte e reprodução

Na teoria das filas, uma classe especial de processos aleatórios é difundida - os chamados processos de morte e reprodução.Este nome está associado a uma série de problemas biológicos, onde este processo serve como modelo matemático de mudanças no número de populações biológicas.

Considere um conjunto ordenado de estados do sistema S 0, S1, S2,…, Sk. As transições podem ser realizadas de qualquer estado apenas para estados com números vizinhos, ou seja, do estado Sk-1, as transições são possíveis para o estado ou para o estado S k+11 .

De acordo com a regra para compilar tais equações (a equação de Kolmogorov), obtemos: para o estado S0

Conclusão

Este resumo revela os conceitos que levam aos elementos do sistema da teoria de um processo de filas aleatório, a saber: um processo aleatório, serviço, sistema de filas, sistema de filas.

Referências

massa aleatória Markov Kolmogorov

1. N.Sh. Kremer "Teoria da Probabilidade e Estatística Matemática" Unity, Moscou, 2003

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