Este artigo trata de operações com frações. Regras para adição, subtração, multiplicação, divisão ou exponenciação de frações da forma A B serão formadas e justificadas, onde A e B podem ser números, expressões numéricas ou expressões com variáveis. Em conclusão, serão considerados exemplos de soluções com uma descrição detalhada.

Regras para realizar operações com frações numéricas de forma geral

As frações numéricas de forma geral têm um numerador e um denominador, nos quais existem números naturais ou expressões numéricas. Se considerarmos frações como 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 Em 3 , fica claro que o numerador e o denominador podem ter não apenas números, mas também expressões de um plano diferente.

Definição 1

Existem regras pelas quais as ações são realizadas com frações comuns. Também é adequado para frações de forma geral:

• Ao subtrair frações com os mesmos denominadores, apenas os numeradores são adicionados e o denominador permanece o mesmo, a saber: a d ± c d \u003d a ± c d, os valores a, c e d ≠ 0 são alguns números ou expressões numéricas.
• Ao adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário reduzir a um comum e, a seguir, adicionar ou subtrair as frações resultantes com os mesmos indicadores. Literalmente, fica assim a b ± c d = a p ± c r s , onde os valores a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 são números reais e b p = d r = s. Quando p = d e r = b, então a b ± c d = a d ± c d b d.
• Ao multiplicar frações, uma ação é realizada com numeradores, após o que com denominadores, então obtemos a b c d \u003d a c b d, onde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 atuam como números reais.
• Ao dividir uma fração por uma fração, multiplicamos o primeiro pelo segundo recíproco, ou seja, trocamos o numerador e o denominador: a b: c d \u003d a b d c.

Justificativa das regras

Definição 2

Existem os seguintes pontos matemáticos nos quais você deve confiar ao calcular:

• uma barra fracionária significa um sinal de divisão;
• a divisão por um número é tratada como uma multiplicação por seu recíproco;
• aplicação da propriedade de ações com números reais;
• aplicação da propriedade básica de uma fração e desigualdades numéricas.

Com a ajuda deles, você pode fazer transformações do formulário:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Exemplos

No parágrafo anterior, foi dito sobre ações com frações. É depois disso que a fração precisa ser simplificada. Este tópico foi discutido em detalhes na seção sobre conversão de frações.

Primeiro, considere o exemplo de adição e subtração de frações com o mesmo denominador.

Exemplo 1

Dadas as frações 8 2 , 7 e 1 2 , 7 , então, de acordo com a regra, é necessário adicionar o numerador e reescrever o denominador.

Solução

Então obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 . Após realizar a adição, obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Então 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Responder: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existe outra forma de resolver. Para começar, é feita uma transição para a forma de uma fração comum, após a qual realizamos uma simplificação. Se parece com isso:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplo 2

Subtraiamos de 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 frações da forma 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Como são dados denominadores iguais, significa que estamos calculando uma fração com o mesmo denominador. nós entendemos isso

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existem exemplos de cálculo de frações com denominadores diferentes. Um ponto importante é a redução a um denominador comum. Sem isso, não poderemos realizar outras ações com frações.

O processo lembra remotamente a redução a um denominador comum. Ou seja, é feita uma busca pelo mínimo divisor comum no denominador, após o que os fatores que faltam são adicionados às frações.

Se as frações adicionadas não tiverem fatores comuns, seu produto pode se tornar um.

Exemplo 3

Considere o exemplo da adição das frações 2 3 5 + 1 e 1 2 .

Solução

Nesse caso, o denominador comum é o produto dos denominadores. Então obtemos que 2 · 3 5 + 1 . Então, ao definir fatores adicionais, temos que para a primeira fração é igual a 2 e para a segunda 3 5 + 1. Após a multiplicação, as frações são reduzidas à forma 4 2 3 5 + 1. O elenco geral 1 2 será 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Adicionamos as expressões fracionárias resultantes e obtemos isso

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Responder: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Quando estamos lidando com frações de forma geral, o mínimo denominador comum geralmente não é o caso. Não é lucrativo tomar o produto dos numeradores como denominador. Primeiro, você precisa verificar se há um número com valor menor que o produto.

Exemplo 4

Considere o exemplo 1 6 2 1 5 e 1 4 2 3 5 quando seu produto é igual a 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Então tomamos 12 · 2 3 5 como denominador comum.

Considere exemplos de multiplicações de frações de uma forma geral.

Exemplo 5

Para fazer isso, é necessário multiplicar 2 + 1 6 e 2 · 5 3 · 2 + 1.

Solução

Seguindo a regra, é necessário reescrever e escrever o produto dos numeradores como denominador. Obtemos que 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Quando a fração é multiplicada, reduções podem ser feitas para simplificá-la. Então 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Usando a regra de transição da divisão para a multiplicação por um recíproco, obtemos o recíproco do dado. Para fazer isso, o numerador e o denominador são invertidos. Vejamos um exemplo:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Depois disso, eles devem realizar a multiplicação e simplificar a fração resultante. Se necessário, livre-se da irracionalidade no denominador. nós entendemos isso

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Responder: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Este parágrafo é aplicável quando um número ou expressão numérica pode ser representado como uma fração com denominador igual a 1, então a operação com tal fração é considerada um parágrafo separado. Por exemplo, a expressão 1 6 7 4 - 1 3 mostra que a raiz de 3 pode ser substituída por outra expressão 3 1. Então esta entrada parecerá uma multiplicação de duas frações da forma 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Executando uma ação com frações contendo variáveis

As regras discutidas no primeiro artigo são aplicáveis ​​a operações com frações contendo variáveis. Considere a regra de subtração quando os denominadores são iguais.

É necessário provar que A , C e D (D não igual a zero) podem ser quaisquer expressões, e a igualdade A D ± C D = A ± C D é equivalente ao seu intervalo de valores válidos.

É necessário pegar um conjunto de variáveis ​​ODZ. Então A, C, D devem assumir os valores correspondentes a 0 , c 0 e d0. Uma substituição da forma A D ± C D resulta em uma diferença da forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , onde, pela regra da adição, obtemos uma fórmula da forma a 0 ± c 0 d 0 . Se substituirmos a expressão A ± C D , obtemos a mesma fração da forma a 0 ± c 0 d 0 . Disso concluímos que o valor escolhido que satisfaça a ODZ, A ± C D e A D ± C D são considerados iguais.

Para qualquer valor das variáveis, essas expressões serão iguais, ou seja, são ditas identicamente iguais. Isso significa que essa expressão é considerada uma igualdade demonstrável da forma A D ± C D = A ± C D .

Exemplos de adição e subtração de frações com variáveis

Quando os denominadores são iguais, basta somar ou subtrair os numeradores. Esta fração pode ser simplificada. Às vezes você tem que trabalhar com frações identicamente iguais, mas à primeira vista isso não é perceptível, pois algumas transformações devem ser realizadas. Por exemplo, x 2 3 x 1 3 + 1 e x 1 3 + 1 2 ou 1 2 sen 2 α e sen a cos a. Na maioria das vezes, é necessária uma simplificação da expressão original para ver os mesmos denominadores.

Exemplo 6

Calcule: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Solução

1. Para fazer um cálculo, você precisa subtrair frações com os mesmos denominadores. Então obtemos que x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Depois disso, você pode abrir os parênteses com a redução de termos semelhantes. Obtemos que x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Como os denominadores são iguais, resta apenas somar os numeradores, deixando o denominador: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   A adição foi concluída. Pode-se ver que a fração pode ser reduzida. Seu numerador pode ser dobrado usando a fórmula da soma quadrada, então obtemos (l g x + 2) 2 das fórmulas de multiplicação abreviadas. Então nós conseguimos isso
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dadas frações da forma x - 1 x - 1 + x x + 1 com denominadores diferentes. Após a transformação, você pode prosseguir para a adição.

Vamos considerar uma solução de mão dupla.

O primeiro método é que o denominador da primeira fração é submetido à fatoração usando quadrados e com sua redução subsequente. Obtemos uma fração da forma

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Então x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Nesse caso, é necessário se livrar da irracionalidade no denominador.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A segunda maneira é multiplicar o numerador e o denominador da segunda fração por x - 1 . Assim, nos livramos da irracionalidade e passamos a somar uma fração com o mesmo denominador. Então

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Responder: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

No último exemplo, descobrimos que a redução a um denominador comum é inevitável. Para fazer isso, você precisa simplificar as frações. Para somar ou subtrair, você sempre precisa procurar um denominador comum, que se parece com o produto dos denominadores com a adição de fatores adicionais aos numeradores.

Exemplo 7

Calcule os valores das frações: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sen x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Solução

1. O denominador não requer nenhum cálculo complexo, então você precisa escolher o produto deles na forma 3 x 7 + 2 2, então para a primeira fração x 7 + 2 2 é escolhido como fator adicional e 3 para o segundo. Ao multiplicar, obtemos uma fração da forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Pode-se observar que os denominadores são apresentados como um produto, o que significa que transformações adicionais são desnecessárias. O denominador comum será o produto da forma x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Daqui x 4 é um fator adicional à primeira fração, e ln (x + 1) ao segundo. Então subtraímos e obtemos:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sen x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sen x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4 )
3. Este exemplo faz sentido ao trabalhar com denominadores de frações. É necessário aplicar as fórmulas da diferença de quadrados e o quadrado da soma, pois permitirão passar a uma expressão da forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Pode-se ver que as frações são reduzidas a um denominador comum. Obtemos que cos x - x cos x + x 2 .

Então nós conseguimos isso

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Responder:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sen x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Exemplos de multiplicação de frações com variáveis

Na multiplicação de frações, o numerador é multiplicado pelo numerador e o denominador pelo denominador. Então você pode aplicar a propriedade de redução.

Exemplo 8

Multiplique as frações x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen 2 x - x.

Solução

Você precisa fazer a multiplicação. nós entendemos isso

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2 x - x)

O número 3 é transferido para o primeiro lugar para conveniência dos cálculos, e você pode reduzir a fração em x 2, então obtemos uma expressão da forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Responder: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2x - x) .

Divisão

A divisão de frações é semelhante à multiplicação, pois a primeira fração é multiplicada pelo segundo recíproco. Se pegarmos, por exemplo, a fração x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e dividirmos por 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen 2 x - x, isso pode ser escrito como

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , então substitua por um produto da forma x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Exponenciação

Vamos passar a considerar a ação com frações de uma forma geral com exponenciação. Se houver um grau com um índice natural, a ação é considerada como uma multiplicação de frações idênticas. Mas é recomendável usar uma abordagem geral baseada nas propriedades dos poderes. Quaisquer expressões A e C, onde C não é identicamente igual a zero, e qualquer r real no ODZ para uma expressão da forma A C r, a igualdade A C r = A r C r é verdadeira. O resultado é uma fração elevada a uma potência. Por exemplo, considere:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

A ordem das operações com frações

As ações nas frações são realizadas de acordo com certas regras. Na prática, notamos que uma expressão pode conter várias frações ou expressões fracionárias. Então é necessário realizar todas as ações em uma ordem estrita: elevar a uma potência, multiplicar, dividir e depois somar e subtrair. Se houver colchetes, a primeira ação será executada neles.

Exemplo 9

Calcule 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Solução

Como temos o mesmo denominador, então 1 - x cos x e 1 c o s x , mas é impossível subtrair de acordo com a regra, primeiro são realizadas as ações entre parênteses, depois a multiplicação e depois a adição. Então, ao calcular, obtemos que

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Ao substituir a expressão na original, obtemos que 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Ao multiplicar frações, temos: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Feitas todas as substituições, obtemos 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Agora você precisa trabalhar com frações com denominadores diferentes. Nós temos:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Responder: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

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Instrução

Primeiro, lembre-se de que uma fração é apenas uma notação condicional para dividir um número por outro. Na adição e na multiplicação, a divisão de dois números inteiros nem sempre resulta em um número inteiro. Então chame esses dois números "divisíveis". O número que está sendo dividido é o numerador, e o número que está sendo dividido é o denominador.

Para escrever uma fração, primeiro escreva seu numerador, depois desenhe uma linha horizontal sob esse número e escreva o denominador sob a linha. A linha horizontal que separa o numerador e o denominador é chamada de barra fracionária. Às vezes, é representado como uma barra "/" ou "∕". Nesse caso, o numerador é escrito à esquerda da linha e o denominador à direita. Assim, por exemplo, a fração "dois terços" será escrita como 2/3. Para maior clareza, o numerador geralmente é escrito na parte superior da linha e o denominador na parte inferior, ou seja, em vez de 2/3, você pode encontrar: ⅔.

Se o numerador de uma fração for maior que seu denominador, essa fração "imprópria" geralmente é escrita como uma fração "mista". Para obter uma fração mista de uma fração imprópria, simplesmente divida o numerador pelo denominador e anote o quociente resultante. Em seguida, coloque o restante da divisão no numerador da fração e escreva essa fração à direita do quociente (não toque no denominador). Por exemplo, 7/3 = 2⅓.

Para somar duas frações com o mesmo denominador, basta somar seus numeradores (deixar os denominadores). Por exemplo, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Da mesma forma, subtraia duas frações (os numeradores são subtraídos). Por exemplo, 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Para somar duas frações com denominadores diferentes, multiplique o numerador e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda, e o numerador e o denominador da segunda fração pelo denominador da primeira. Como resultado, você obterá a soma de duas frações com os mesmos denominadores, cuja adição é descrita no parágrafo anterior.

Por exemplo, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

Se os denominadores das frações tiverem divisores comuns, ou seja, forem divisíveis pelo mesmo número, escolha como denominador comum o menor número divisível pelo primeiro e segundo denominadores ao mesmo tempo. Assim, por exemplo, se o primeiro denominador for 6 e o ​​segundo 8, tome como denominador comum não o produto (48), mas o número 24, que é divisível por 6 e 8. Os numeradores das frações são então multiplicado pelo quociente da divisão do denominador comum pelo denominador de cada fração. Por exemplo, para o denominador 6, esse número será 4 - (24/6) e para o denominador 8 - 3 (24/8). Este processo é visto mais claramente em um exemplo específico:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

A subtração de frações com denominadores diferentes é feita exatamente da mesma maneira.

A próxima ação que pode ser realizada com frações comuns é a subtração. Como parte deste material, veremos como calcular corretamente a diferença entre frações com denominadores iguais e diferentes, como subtrair uma fração de um número natural e vice-versa. Todos os exemplos serão ilustrados com tarefas. Esclarecemos de antemão que analisaremos apenas os casos em que a diferença de frações resultar em número positivo.

Como encontrar a diferença entre frações com o mesmo denominador

Vamos começar desde já com um exemplo ilustrativo: digamos que temos uma maçã dividida em oito partes. Vamos deixar cinco partes no prato e pegar duas delas. Esta ação pode ser escrita assim:

Terminamos com 3 oitavos porque 5 − 2 = 3 . Acontece que 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Com este exemplo simples, vimos exatamente como funciona a regra de subtração para frações com os mesmos denominadores. Vamos formulá-lo.

Definição 1

Para encontrar a diferença entre frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador de uma do numerador da outra e deixar o denominador igual. Esta regra pode ser escrita como a b - c b = a - c b .

Usaremos essa fórmula no que segue.

Tomemos exemplos concretos.

Exemplo 1

Subtraia da fração 24 15 a fração comum 17 15 .

Solução

Vemos que essas frações têm os mesmos denominadores. Então tudo o que temos a fazer é subtrair 17 de 24. Obtemos 7 e adicionamos um denominador a ele, obtemos 7 15 .

Nossos cálculos podem ser escritos assim: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Se necessário, você pode reduzir uma fração complexa ou separar a parte inteira de uma imprópria para torná-la mais conveniente de contar.

Exemplo 2

Encontre a diferença 37 12 - 15 12 .

Solução

Vamos usar a fórmula descrita acima e calcular: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

É fácil ver que o numerador e o denominador podem ser divididos por 2 (já falamos disso antes quando analisamos os sinais de divisibilidade). Reduzindo a resposta, obtemos 11 6 . Esta é uma fração imprópria, da qual selecionaremos a parte inteira: 11 6 \u003d 1 5 6.

Como encontrar a diferença entre frações com denominadores diferentes

Tal operação matemática pode ser reduzida ao que já descrevemos acima. Para fazer isso, basta trazer as frações desejadas para o mesmo denominador. Vamos formular a definição:

Definição 2

Para encontrar a diferença entre frações com denominadores diferentes, você precisa trazê-las para o mesmo denominador e encontrar a diferença entre os numeradores.

Vejamos um exemplo de como isso é feito.

Exemplo 3

Subtraia 1 15 de 2 9 .

Solução

Os denominadores são diferentes e você precisa reduzi-los ao menor valor comum. Neste caso, o LCM é 45. Para a primeira fração, é necessário um fator adicional de 5 e para a segunda - 3.

Vamos calcular: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Obtivemos duas frações com o mesmo denominador e agora podemos facilmente encontrar sua diferença usando o algoritmo descrito anteriormente: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Um breve registro da solução é assim: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Não negligencie a redução do resultado ou a seleção de uma parte inteira dele, se necessário. Neste exemplo, não precisamos fazer isso.

Exemplo 4

Encontre a diferença 19 9 - 7 36 .

Solução

Trazemos as frações indicadas na condição para o menor denominador comum 36 e obtemos 76 9 e 7 36 respectivamente.

Consideramos a resposta: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

O resultado pode ser reduzido em 3 para obter 23 12 . O numerador é maior que o denominador, o que significa que podemos extrair a parte inteira. A resposta final é 1 11 12 .

O resumo de toda a solução é 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Como subtrair um número natural de uma fração comum

Tal ação também pode ser facilmente reduzida a uma simples subtração de frações ordinárias. Isso pode ser feito representando um número natural como uma fração. Vamos mostrar um exemplo.

Exemplo 5

Encontre a diferença 83 21 - 3 .

Solução

3 é o mesmo que 3 1 . Então você pode calcular assim: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Se na condição for necessário subtrair um inteiro de uma fração imprópria, é mais conveniente primeiro extrair dela o inteiro, escrevendo-o como um número misto. Então o exemplo anterior pode ser resolvido de forma diferente.

Da fração 83 21, ao selecionar a parte inteira, você obtém 83 21 \u003d 3 20 21.

Agora é só subtrair 3 dele: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Como subtrair uma fração de um número natural

Esta ação é feita de forma semelhante à anterior: reescrevemos um número natural como uma fração, trazemos ambos a um denominador comum e encontramos a diferença. Vamos ilustrar isso com um exemplo.

Exemplo 6

Encontre a diferença: 7 - 5 3 .

Solução

Vamos transformar 7 em uma fração 7 1 . Fazemos a subtração e transformamos o resultado final, extraindo dele a parte inteira: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Existe outra maneira de fazer cálculos. Tem algumas vantagens que podem ser usadas nos casos em que os numeradores e denominadores das frações do problema são números grandes.

Definição 3

Se a fração a ser subtraída estiver correta, então o número natural do qual estamos subtraindo deve ser representado como a soma de dois números, um dos quais é igual a 1. Depois disso, você precisa subtrair a fração desejada da unidade e obter a resposta.

Exemplo 7

Calcule a diferença 1 065 - 13 62 .

Solução

A fração a ser subtraída está correta, pois seu numerador é menor que o denominador. Portanto, precisamos subtrair um de 1065 e subtrair dele a fração desejada: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Agora precisamos encontrar a resposta. Usando as propriedades da subtração, a expressão resultante pode ser escrita como 1064 + 1 - 13 62 . Vamos calcular a diferença entre parênteses. Para fazer isso, representamos a unidade como uma fração 1 1 .

Acontece que 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

Agora vamos lembrar sobre 1064 e formular a resposta: 1064 49 62 .

Usamos o método antigo para provar que é menos conveniente. Aqui estão os cálculos que obteríamos:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

A resposta é a mesma, mas os cálculos são obviamente mais complicados.

Consideramos o caso em que você precisa subtrair a fração correta. Se estiver errado, substituímos por um número misto e subtraímos de acordo com as regras familiares.

Exemplo 8

Calcule a diferença 644 - 73 5 .

Solução

A segunda fração é imprópria e toda a parte deve ser separada dela.

Agora calculamos de forma semelhante ao exemplo anterior: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Propriedades de subtração ao trabalhar com frações

As propriedades que a subtração de números naturais possui também se aplicam aos casos de subtração de frações ordinárias. Vamos ver como usá-los ao resolver exemplos.

Exemplo 9

Encontre a diferença 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Solução

Já resolvemos exemplos semelhantes quando analisamos a subtração de uma soma de um número, então agimos de acordo com o algoritmo já conhecido. Primeiro, calculamos a diferença 25 4 - 3 2 e depois subtraímos a última fração dela:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Vamos transformar a resposta extraindo dela a parte inteira. O resultado é 3 11 12.

Breve resumo de toda a solução:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Se a expressão contiver frações e números naturais, é recomendável agrupá-los por tipos ao calcular.

Exemplo 10

Encontre a diferença 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Solução

Conhecendo as propriedades básicas da subtração e da adição, podemos agrupar os números da seguinte forma: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Vamos completar os cálculos: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

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No 5.º ano do ensino secundário introduz-se a representação da fração. Uma fração é um número que consiste em um número inteiro de frações de unidades. Frações ordinárias são escritas como ±m/n, o número m é chamado de numerador da fração, o número n é seu denominador. Se o módulo do denominador for maior que o módulo do numerador, digamos 3/4, então a fração é considerada correta, caso contrário, é incorreta. Uma fração pode conter uma parte inteira, digamos 5 * (2/3) Diferentes operações aritméticas são permitidas para frações.

Instrução

1. Redução a um denominador comum. Sejam dadas as frações a / b e c / d. - Em primeiro lugar, é encontrado o número de MMC (mínimo múltiplo comum) para os denominadores das frações. - O numerador e o denominador da primeira a fração é multiplicada pelo LCM / b - O numerador e o denominador da 2ª fração são multiplicados pelo LCM / d Um exemplo é mostrado na figura. Para comparar frações, elas devem ser reduzidas a um denominador comum, depois compare os numeradores. Diga 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. Adição e subtração de frações. Para encontrar a soma de 2 frações ordinárias, elas devem ser reduzidas a um denominador comum e, em seguida, adicionar os numeradores, deixando o denominador inalterado. Um exemplo de adição das frações 1/2 e 1/3 é mostrado na figura, a diferença entre as frações é encontrada de forma semelhante, após encontrar o denominador comum, os numeradores das frações são subtraídos, veja o exemplo na figura.

3. Multiplicação e divisão de frações. Ao multiplicar frações comuns, os numeradores e denominadores são multiplicados entre si. Para dividir duas frações, você precisa obter o recíproco da 2ª fração, ou seja, troque seu numerador e denominador em lugares e, em seguida, multiplique as frações resultantes.

Módulo representa o valor incondicional da expressão. Parênteses são usados ​​para designar um módulo. Prisioneiros neles valores são levados modulo. A solução do módulo é expandir os colchetes do módulo de acordo com certas regras e encontrar o conjunto de valores da expressão. Na maioria dos casos, o módulo é expandido de forma que a expressão do submódulo receba vários valores positivos e negativos, incluindo zero. Com base nessas propriedades do módulo, outras equações e desigualdades da expressão inicial são compiladas e resolvidas.

Instrução

1. Escreva a equação inicial com o módulo. Para resolvê-lo, expanda o módulo. Considere qualquer expressão de submódulo. Determine em qual valor dos valores desconhecidos incluídos nele, a expressão entre colchetes modulares desaparece.

2. Para fazer isso, iguale a expressão do submódulo a zero e encontre a solução da equação resultante. Anote os valores encontrados. Da mesma forma, determine os valores da variável desconhecida para todo o módulo na equação dada.

3. Considere os casos em que as variáveis ​​existem quando são boas a partir de zero. Para fazer isso, escreva um sistema de desigualdades para todos os módulos da equação inicial. As desigualdades devem abranger todos os valores válidos da variável na reta numérica.

4. Desenhe uma linha numérica e plote os valores resultantes nela. Os valores da variável no módulo zero servirão como restrições na resolução da equação modular.

5. Na equação inicial, é necessário expandir os colchetes modulares, alterando o sinal da expressão para que os valores da variável correspondam aos exibidos na reta numérica. Resolva a equação resultante. Verifique o valor encontrado da variável em relação ao limite definido pelo módulo. Se a solução satisfizer a condição, então ela é verdadeira. Raízes que não satisfaçam as restrições devem ser descartadas.

6. Da mesma forma, expanda os módulos da expressão inicial, levando em consideração o sinal, e calcule as raízes da equação resultante. Escreva todas as raízes obtidas que satisfaçam as desigualdades de restrição.

Os números fracionários permitem expressar o valor exato de uma quantidade de várias formas. Com frações é permitido realizar as mesmas operações matemáticas que com números inteiros: subtração, adição, multiplicação e divisão. Para aprender a decidir frações, você precisa se lembrar de alguns de seus recursos. Eles dependem do tipo frações, a presença de uma parte inteira, um denominador comum. Algumas operações aritméticas exigem posteriormente a redução da parte fracionária do total.

você vai precisar

• - calculadora

Instrução

1. Observe com atenção esses números. Se houver decimais e incorretos entre as frações, às vezes é mais confortável realizar primeiro ações com decimais e depois traduzi-los na forma errada. você pode traduzir frações desta forma inicialmente, escrevendo o valor depois da vírgula no numerador e colocando 10 no denominador. Se necessário, reduza a fração dividindo os números acima e abaixo da barra por um divisor. As frações nas quais a parte inteira é dada levam à forma errada, multiplicando-a pelo denominador e adicionando o numerador ao total. Este valor se tornará o novo numerador frações. A fim de destacar toda a parte inicialmente incorreta frações, divida o numerador pelo denominador. Escreva o total à esquerda de frações. E o restante da divisão se torna o novo numerador, o denominador frações enquanto não muda. Para frações com parte inteira, é permitido realizar ações separadamente, primeiro para o inteiro e depois para as partes fracionárias. Digamos que a soma seja 1 2/3 e 2 ? pode ser calculado de duas maneiras: - Convertendo frações para a forma errada: - 1 2/3 + 2 ? \u003d 5/3 + 11/4 \u003d 20/12 + 33/12 \u003d 53/12 \u003d 4 5/12;- Soma separadamente das partes inteiras e fracionárias dos termos: - 1 2/3 + 2 ? \u003d (1 + 2) + (2/3 +?) \u003d 3 + (8/12 + 9/12) \u003d 3 + 17/12 \u003d 3 + 1 5/12 \u003d 4 5/12.

2. Para frações impróprias com valores diferentes abaixo da barra, encontre o denominador comum. Digamos que para 5/9 e 7/12 o denominador comum seja 36. Para isso, o numerador e o denominador do primeiro frações você precisa multiplicar por 4 (ficará 28/36), e o 2º - por 3 (ficará 15/36). Agora você pode realizar os cálculos necessários.

3. Se você for calcular a soma ou diferença de frações, primeiro anote o denominador comum encontrado sob a linha. Execute as ações necessárias entre os numeradores e escreva o resultado na nova linha frações. Assim, o novo numerador será a diferença ou a soma dos numeradores das frações originais.

4. Para calcular o produto de frações, multiplique os numeradores das frações e escreva o total no lugar do numerador da fração final frações. Faça o mesmo para os denominadores. Ao dividir um frações escreva uma fração na outra e, em seguida, multiplique seu numerador pelo denominador do 2º. Ao mesmo tempo, o denominador da primeira frações multiplicado de acordo pelo numerador 2. Neste caso, o golpe original 2º frações(divisor). A fração final consistirá nos resultados da multiplicação dos numeradores e denominadores de ambas as frações. É fácil aprender a resolver frações, escrito na condição na forma de um "quatro andares" frações. Se uma linha separa dois frações, reescreva-os com um delimitador ":" e continue com a divisão normal.

5. Para obter o resultado final, reduza a fração resultante dividindo o numerador e o denominador por um inteiro, o maior permitido neste caso. Ao mesmo tempo, os números inteiros devem estar acima e abaixo da linha.

Observação!
Não realize operações aritméticas com frações cujos denominadores diferem. Escolha um número tal que, quando o numerador e o denominador de qualquer fração forem multiplicados por ele, como resultado, os denominadores de ambas as frações sejam iguais.

Conselho util
Ao escrever números fracionários, o dividendo é escrito acima da linha. Essa quantidade é chamada de numerador de uma fração. Abaixo da linha, o divisor, ou denominador, da fração é escrito. Digamos que um quilo e meio de arroz na forma de uma fração seja escrito da seguinte maneira: 1? kg de arroz. Se o denominador de uma fração for 10, ela é chamada de fração decimal. Nesse caso, o numerador (dividendo) é escrito à direita da parte inteira separada por vírgula: 1,5 kg de arroz. Para conveniência dos cálculos, essa fração invariavelmente pode ser escrita na forma errada: 1 2/10 kg de batatas. Para facilitar, você pode reduzir os valores do numerador e do denominador dividindo-os por um número inteiro. Neste exemplo, é aceitável a divisão por 2. O resultado é 1 1/5 kg de batatas. Certifique-se de que os números com os quais você realizará operações aritméticas sejam apresentados da mesma maneira.

Se você estiver escrevendo um trabalho de conclusão de curso ou compilando algum outro documento contendo a parte do cálculo, não poderá fugir das expressões fracionárias que também precisam ser impressas. Como fazer isso, vamos considerar mais adiante.

Instrução

1. Clique uma vez no item de menu "Inserir" e selecione o item "Símbolo". Este é um dos métodos de inserção mais primitivos. frações para texto. Termina mais tarde. O conjunto de personagens prontos tem frações. O número deles, como sempre, é pequeno, mas se você precisar escrever ? no texto, e não 1/2, uma opção semelhante será a mais ideal para você. Além disso, o número de caracteres de fração também pode depender da fonte. Por exemplo, para a fonte Times New Roman, as frações são ligeiramente menores do que para a mesma Arial. Varie as fontes para encontrar a melhor opção quando se trata de expressões primitivas.

2. Clique no item de menu "Inserir" e selecione o subitem "Objeto". Você verá uma janela com uma lista de objetos válidos para inserção. Escolha entre eles Microsoft Equation 3.0. Este aplicativo irá ajudá-lo a digitar frações. E não só frações, mas também expressões matemáticas difíceis contendo várias funções trigonométricas e outros elementos. Clique duas vezes neste objeto com o botão esquerdo do mouse. Você verá uma janela contendo muitos símbolos.

3. Para imprimir uma fração, selecione o símbolo que representa uma fração com numerador e denominador vazios. Clique nele uma vez com o botão esquerdo do mouse. Um menu adicional aparecerá, especificando o esquema do frações. Pode haver várias opções. Escolha o mais adequado para você e clique nele uma vez com o botão esquerdo do mouse.

4. Digite o numerador e o denominador frações todos os dados necessários. Isso fluirá mais naturalmente na folha de documento. A fração será inserida como um objeto separado, que, se necessário, pode ser movido para qualquer lugar do documento. Você pode imprimir vários andares frações. Para fazer isso, coloque no numerador ou denominador (conforme necessário) outra fração de sua preferência na janela do mesmo aplicativo.

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Uma fração algébrica é uma expressão da forma A / B, onde as letras A e B denotam quaisquer expressões numéricas ou alfabéticas. Freqüentemente, o numerador e o denominador em frações algébricas têm uma forma massiva, mas as operações com essas frações devem ser feitas de acordo com as mesmas regras das operações com as comuns, nas quais o numerador e o denominador são números inteiros regulares.

Instrução

1. Se dado misturado frações, converta-os em irregulares (uma fração em que o numerador é maior que o denominador): multiplique o denominador pela parte inteira e some o numerador. Então o número 2 1/3 se transformará em 7/3. Para fazer isso, multiplique 3 por 2 e adicione um.

2. Se você precisar converter uma fração decimal em imprópria, imagine isso dividindo um número sem vírgula por um com tantos zeros quantos forem os números após a vírgula. Digamos que o número 2,5 seja representado como 25/10 (se você reduzi-lo, obtém 5/2) e o número 3,61 - como 361/100. Trabalhar com frações impróprias costuma ser mais fácil do que com frações mistas ou decimais.

3. Se as frações tiverem denominadores idênticos e você precisar somá-las, some os numeradores primitivamente; os denominadores permanecem inalterados.

4. Se precisar subtrair frações com denominadores idênticos do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da 2ª fração. Os denominadores também não mudam.

5. Se você precisar adicionar frações ou subtrair uma fração da outra e elas tiverem denominadores diferentes, traga as frações para um denominador comum. Para fazer isso, encontre o número que será o mínimo múltiplo comum (MCM) de ambos os denominadores ou vários se as frações forem maiores que 2. NOC é o número que será dividido pelos denominadores de todas as frações dadas. Por exemplo, para 2 e 5, esse número é 10.

6. Após o sinal de igual, desenhe uma linha horizontal e escreva este número (NOC) no denominador. Adicione fatores adicionais a cada termo - o número pelo qual você precisa multiplicar o numerador e o denominador para obter o MMC. Multiplique numeradores passo a passo por fatores aditivos, preservando o sinal de adição ou subtração.

7. Calcule o total, reduza se necessário ou destaque toda a parte. Por exemplo - precisa dobrar? E?. O LCM para ambas as frações é 12. Então o fator adicional para a primeira fração é 4, para a 2ª - 3. Total: ?+?=(1 4+1 3)/12=7/12.

8. Se for dado um exemplo de multiplicação, multiplique os numeradores juntos (este será o numerador do total) e os denominadores (este será o denominador do total). Nesse caso, eles não precisam ser reduzidos a um denominador comum.

9. Para dividir uma fração por outra, você precisa virar a segunda fração de cabeça para baixo e multiplicar as frações. Ou seja, a/b: c/d = a/b d/c.

10. Fatore o numerador e o denominador conforme necessário. Digamos, transfira o fator universal para fora do colchete ou expanda-o de acordo com as fórmulas de multiplicação abreviada, para que depois seja possível, se necessário, reduzir o numerador e o denominador por MDC - o mínimo divisor comum.

Observação!
Adicione números com números, letras do mesmo tipo com letras do mesmo tipo. Digamos que seja impossível somar 3a e 4b, o que significa que sua soma ou diferença permanecerá no numerador - 3a±4b.

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Frações

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

Frações no ensino médio não são muito irritantes. Por enquanto. Até você encontrar expoentes com expoentes racionais e logaritmos. E lá…. Você aperta, aperta a calculadora, e ela mostra todo o placar completo de alguns números. Você tem que pensar com a cabeça, como na terceira série.

Vamos lidar com frações, finalmente! Bem, quanto você pode ficar confuso neles!? Além disso, tudo é simples e lógico. Então, o que são frações?

Tipos de frações. Transformações.

As frações são de três tipos.

1. Frações comuns , Por exemplo:

Às vezes, em vez de uma linha horizontal, eles colocam uma barra: 1/2, 3/4, 19/5, bem e assim por diante. Aqui usaremos frequentemente esta grafia. O número superior é chamado numerador, mais baixo - denominador. Se você confunde constantemente esses nomes (acontece ...), diga a si mesmo a frase com a expressão: " Zzzzz lembrar! Zzzzz denominador - fora zzzz u!" Olha, tudo será lembrado.)

Um traço, que é horizontal, que é oblíquo, significa divisão número de cima (numerador) para o número de baixo (denominador). E é isso! Em vez de um traço, é bem possível colocar um sinal de divisão - dois pontos.

Quando a divisão é totalmente possível, ela deve ser feita. Assim, em vez da fração "32/8" é muito mais agradável escrever o número "4". Aqueles. 32 é simplesmente dividido por 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Não estou falando da fração "4/1". Que também é apenas "4". E se não se divide completamente, deixamos como uma fração. Às vezes você tem que fazer o inverso. Faça uma fração de um número inteiro. Mas mais sobre isso mais tarde.

2. decimais , Por exemplo:

É neste formulário que será necessário anotar as respostas às tarefas "B".

3. números mistos , Por exemplo:

Os números mistos praticamente não são usados ​​no ensino médio. Para trabalhar com eles, eles devem ser convertidos em frações comuns. Mas você definitivamente precisa saber como fazer isso! E então esse número aparecerá no quebra-cabeça e travará ... Do zero. Mas nós lembramos desse procedimento! Um pouco mais baixo.

Mais versátil frações comuns. Vamos começar com eles. A propósito, se houver todos os tipos de logaritmos, senos e outras letras na fração, isso não muda nada. No sentido de que tudo ações com expressões fracionárias não são diferentes de ações com frações comuns!

Propriedade básica de uma fração.

Então vamos! Em primeiro lugar, vou surpreendê-lo. Toda a variedade de transformações de frações é fornecida por uma única propriedade! Isso é o que é chamado propriedade básica de uma fração. Lembrar: Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados (divididos) pelo mesmo número, a fração não será alterada. Aqueles:

É claro que você pode escrever mais, até ficar com o rosto azul. Não deixe que senos e logaritmos o confundam, vamos lidar com eles mais adiante. A principal coisa a entender é que todas essas várias expressões são a mesma fração . 2/3.

E nós precisamos disso, todas essas transformações? E como! Agora você verá por si mesmo. Primeiro, vamos usar a propriedade básica de uma fração para abreviaturas de frações. Parece que a coisa é elementar. Dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número e pronto! É impossível dar errado! Mas... o homem é um ser criativo. Você pode cometer erros em qualquer lugar! Especialmente se você tiver que reduzir não uma fração como 5/10, mas uma expressão fracionária com todos os tipos de letras.

Como reduzir frações correta e rapidamente sem fazer trabalho desnecessário pode ser encontrado na Seção 555 especial.

Um aluno normal não se preocupa em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (ou expressão)! Ele apenas risca tudo igual de cima e de baixo! É aqui que espreita um erro típico, uma asneira, se preferir.

Por exemplo, você precisa simplificar a expressão:

Não há o que pensar, riscamos a letra "a" de cima e o duque de baixo! Nós temos:

Está tudo correto. Mas realmente você compartilhou o todo numerador e o todo denominador "a". Se você está acostumado a apenas riscar, então, com pressa, você pode riscar o "a" na expressão

e obter novamente

O que seria categoricamente errado. Porque aqui o todo numerador em "a" já não compartilhado! Esta fração não pode ser reduzida. Aliás, tal abreviatura é, hum... um sério desafio para o professor. Isso não é perdoado! Lembrar? Ao reduzir, é necessário dividir o todo numerador e o todo denominador!

A redução de frações torna a vida muito mais fácil. Você obterá uma fração em algum lugar, por exemplo 375/1000. E como trabalhar com ela agora? Sem calculadora? Multiplique, digamos, adicione, quadrado!? E se você não for muito preguiçoso, mas reduza cuidadosamente em cinco, e até cinco, e até ... enquanto está sendo reduzido, enfim. Temos 3/8! Muito mais legal, né?

A propriedade básica de uma fração permite converter frações comuns em decimais e vice-versa sem calculadora! Isso é importante para o exame, certo?

Como converter frações de uma forma para outra.

É fácil com decimais. Como se ouve, assim se escreve! Digamos 0,25. É ponto zero, vinte e cinco centésimos. Então escrevemos: 25/100. Reduzimos (dividimos o numerador e o denominador por 25), obtemos a fração usual: 1/4. Todos. Acontece, e nada é reduzido. Como 0,3. Isso é três décimos, ou seja, 3/10.

E se os números inteiros forem diferentes de zero? Tudo bem. Escreva a fração inteira sem nenhuma vírgula no numerador e no denominador - o que é ouvido. Por exemplo: 3.17. Isso é três inteiros, dezessete centésimos. Escrevemos 317 no numerador e 100 no denominador, obtendo 317/100. Nada é reduzido, isso significa tudo. Esta é a resposta. Watson elementar! De tudo o que foi dito acima, uma conclusão útil: qualquer fração decimal pode ser convertida em uma fração comum .

Mas a conversão reversa, comum para decimal, alguns não podem fazer sem uma calculadora. E é necessário! Como você anotará a resposta no exame!? Lemos e dominamos cuidadosamente este processo.

O que é uma fração decimal? ela tem no denominador Sempre vale 10 ou 100 ou 1000 ou 10000 e assim por diante. Se a sua fração usual tiver esse denominador, não há problema. Por exemplo, 4/10 = 0,4. Ou 7/100 = 0,07. Ou 12/10 = 1,2. E se na resposta à tarefa da seção "B" resultou 1/2? O que vamos escrever em resposta? Decimais são obrigatórios...

Nós lembramos propriedade básica de uma fração ! A matemática permite que você multiplique favoravelmente o numerador e o denominador pelo mesmo número. Para qualquer um, a propósito! Exceto zero, é claro. Vamos usar esse recurso a nosso favor! Pelo que o denominador pode ser multiplicado, ou seja, 2 para que se torne 10, ou 100, ou 1000 (menor é melhor, claro...)? 5, obviamente. Sinta-se à vontade para multiplicar o denominador (este é nós necessário) por 5. Mas, então o numerador também deve ser multiplicado por 5. Isso já é matemática demandas! Obtemos 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Isso é tudo.

No entanto, todos os tipos de denominadores se deparam. Por exemplo, a fração 3/16 cairá. Experimente, descubra por quanto multiplicar 16 para obter 100 ou 1000... Não funciona? Aí você pode simplesmente dividir 3 por 16. Na falta de calculadora, você terá que dividir em um canto, em uma folha de papel, como ensinavam nas séries iniciais. Obtemos 0,1875.

E há alguns denominadores muito ruins. Por exemplo, a fração 1/3 não pode ser transformada em um bom decimal. Tanto em uma calculadora quanto em um pedaço de papel, obtemos 0,3333333 ... Isso significa que 1/3 em uma fração decimal exata não se traduz. Assim como 1/7, 5/6 e assim por diante. Muitos deles são intraduzíveis. Daí outra conclusão útil. Nem toda fração comum é convertida em decimal. !

A propósito, esta é uma informação útil para o autoexame. Na seção "B" em resposta, você precisa anotar uma fração decimal. E você tem, por exemplo, 4/3. Esta fração não é convertida em decimal. Isso significa que em algum lugar ao longo do caminho você cometeu um erro! Volte, verifique a solução.

Então, com frações ordinárias e decimais resolvidas. Resta lidar com números mistos. Para trabalhar com eles, todos precisam ser convertidos em frações comuns. Como fazer isso? Você pode pegar um aluno da sexta série e perguntar a ele. Mas nem sempre haverá um aluno da sexta série ... Teremos que fazer isso sozinhos. Não é difícil. Multiplique o denominador da parte fracionária pela parte inteira e some o numerador da parte fracionária. Este será o numerador de uma fração comum. E o denominador? O denominador permanecerá o mesmo. Parece complicado, mas na verdade é bem simples. Vejamos um exemplo.

Deixe no problema que você viu com horror o número:

Com calma, sem pânico, a gente entende. A parte inteira é 1. Um. A parte fracionária é 3/7. Portanto, o denominador da parte fracionária é 7. Esse denominador será o denominador da fração ordinária. Contamos o numerador. Multiplicamos 7 por 1 (a parte inteira) e adicionamos 3 (o numerador da parte fracionária). Obtemos 10. Este será o numerador de uma fração comum. Isso é tudo. Parece ainda mais simples em notação matemática:

Claramente? Então garanta o seu sucesso! Converta em frações comuns. Você deve obter 10/7, 7/2, 23/10 e 21/4.

A operação inversa - converter uma fração imprópria em um número misto - raramente é exigida no ensino médio. Bem, se... E se você - não estiver no ensino médio - você pode dar uma olhada na Seção 555 especial. A propósito, no mesmo local, você aprenderá sobre frações impróprias.

Bem, quase tudo. Você se lembrou dos tipos de frações e entendeu Como convertê-los de um tipo para outro. A pergunta permanece: Para que faça isso? Onde e quando aplicar esse conhecimento profundo?

Eu respondo. Qualquer exemplo em si sugere as ações necessárias. Se, no exemplo, frações comuns, decimais e até mesmo números mistos forem misturados em um grupo, traduzimos tudo em frações comuns. Sempre pode ser feito. Bem, se algo como 0,8 + 0,3 está escrito, pensamos que sim, sem nenhuma tradução. Por que precisamos de trabalho extra? Nós escolhemos a solução que é conveniente nós !

Se a tarefa estiver cheia de frações decimais, mas hum ... algum tipo de malvado, vá para o comum, experimente! Olha vai dar tudo certo. Por exemplo, você deve elevar ao quadrado o número 0,125. Não é tão fácil se você não perdeu o hábito da calculadora! Você não precisa apenas multiplicar os números em uma coluna, mas também pensar onde inserir a vírgula! Certamente não funciona em minha mente! E se você for para uma fração comum?

0,125 = 125/1000. Reduzimos em 5 (isso é para começar). Temos 25/200. Mais uma vez em 5. Temos 5/40. Ah, está diminuindo! Voltar para 5! Temos 1/8. Facilmente quadrado (em sua mente!) e obtenha 1/64. Todos!

Vamos resumir esta lição.

1. Existem três tipos de frações. Números ordinários, decimais e mistos.

2. Decimais e números mistos Sempre podem ser convertidos em frações comuns. Tradução Reversa nem sempre disponível.

3. A escolha do tipo de frações para trabalhar com a tarefa depende dessa mesma tarefa. Se houver diferentes tipos de frações em uma tarefa, o mais confiável é mudar para frações comuns.

Agora você pode praticar. Primeiro, converta essas frações decimais em frações comuns:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Você deve obter respostas como esta (em uma bagunça!):

Sobre isso vamos terminar. Nesta lição, revisamos os pontos-chave sobre frações. Acontece, porém, que não há nada de especial para atualizar ...) Se alguém esqueceu completamente, ou ainda não dominou ... Esses podem ir para uma Seção 555 especial. Todos os fundamentos são detalhados lá. Muitos de repente compreender tudo estão começando. E eles resolvem frações na hora).

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.