Curso: Propriedades especiais da função gama de Euler. Radiação gama e suas propriedades

Os raios gama são oscilações eletromagnéticas de altíssima frequência, propagando-se no espaço à velocidade da luz. Essas radiações são emitidas pelo núcleo na forma de porções separadas, chamadas gama quanta ou fótons.

A energia dos quanta gama está na faixa de 0,05 a 5 MeV. A radiação gama com energia inferior a 1 MeV é condicionalmente chamada de radiação suave e com uma energia superior a 1 MeV - radiação dura.

A radiação gama não é um tipo independente de radiação. Normalmente, a radiação gama acompanha o decaimento beta, menos frequentemente o decaimento alfa. Ao ejetar partículas alfa ou beta, o núcleo é liberado do excesso de energia, mas ainda pode permanecer em estado excitado. A transição do estado excitado para o estado fundamental é acompanhada pela emissão de raios gama, enquanto a composição do núcleo não muda.

No ar, os raios gama se propagam por longas distâncias, medidas em dezenas e centenas de metros.

O poder de penetração dos raios gama é 50-100 vezes maior que o poder de penetração das partículas beta e milhares de vezes maior que o poder de penetração das partículas alfa.

Ionize o meio durante a passagem de raios gama por ele: apenas com elétrons secundários que surgem como resultado da interação de raios gama com átomos de matéria. A capacidade de ionização dos quanta gama é determinada pela sua energia. Em geral, um quantum gama dá tantos pares de íons quanto partículas beta ou alfa da mesma energia. No entanto, devido à menor absorção dos raios gama, os íons que eles formam são distribuídos a uma distância maior. Portanto, o poder ionizante específico dos raios gama é centenas de vezes menor do que o poder ionizante específico das partículas beta, milhares de vezes menor do que o poder ionizante específico das partículas alfa e equivale a vários pares de íons no ar por 1 cm de caminho.

Conclusão. A radiação gama tem o maior poder de penetração em comparação com o poder de penetração de outros tipos de radiação radioativa. Ao mesmo tempo, a radiação gama tem uma capacidade de ionização específica muito baixa, chegando a vários pares de íons no ar por 1 cm do caminho dos raios gama.

Radiação de nêutrons e suas principais propriedades

A radiação de nêutrons é uma radiação corpuscular que ocorre no processo de fissão ou fusão de núcleos.

Os nêutrons têm um forte efeito nocivo, pois, não possuindo carga elétrica, penetram facilmente nos núcleos dos átomos que compõem os tecidos vivos e são capturados por eles.

Mais de 99% do número total de nêutrons em uma explosão nuclear é liberado dentro de 10 -14 s. Esses nêutrons são chamados de prompt. O resto (cerca de 1%) de nêutrons são emitidos posteriormente por alguns fragmentos de fissão durante seu decaimento beta. Esses nêutrons são chamados de retardados.

A velocidade de propagação de nêutrons atinge 20.000 km/h. O tempo necessário para que todos os nêutrons percorram a distância do ponto de explosão até o local onde representam uma ameaça de destruição é de cerca de um segundo após o momento da explosão.

Dependendo da energia, os nêutrons são classificados da seguinte forma:

nêutrons lentos 0-0,1 keV;

nêutrons de energia intermediária 0,1-20 keV;

nêutrons rápidos 20 keV-10 MeV;

nêutrons de alta energia acima de 10 MeV.

Nêutrons térmicos - nêutrons que estão em equilíbrio térmico com o ambiente (com energia não superior a 1 eV), estão incluídos na região dos nêutrons lentos.

A passagem de nêutrons através da matéria é acompanhada por um enfraquecimento de sua intensidade. Esse enfraquecimento é devido à interação dos nêutrons com os núcleos dos átomos da matéria.

radiação de raios-x

Os raios X são produzidos quando elétrons rápidos bombardeiam alvos sólidos. O tubo de raios X é um balão evacuado com vários eletrodos (Fig. 1.2). O cátodo aquecido por corrente K serve como fonte de elétrons livres emitidos devido à emissão termiônica. O eletrodo cilíndrico Z é projetado para focar o feixe de elétrons.

O alvo é o ânodo A, que também é chamado de anticátodo. É feito de metais pesados (W, C. Pt, etc.). Os elétrons são acelerados por uma alta voltagem gerada entre o cátodo e o anticátodo. Quase toda a energia dos elétrons é liberada no anticátodo na forma de calor (apenas 1-3% da energia é convertida em radiação).

Uma vez na substância do anticátodo, os elétrons sofrem forte desaceleração e se tornam uma fonte de ondas eletromagnéticas.

Em uma velocidade de elétrons suficientemente alta, além de bremsstrahlung (ou seja, radiação causada pela desaceleração de elétrons), a radiação característica também é excitada (causada pela excitação das camadas internas de elétrons dos átomos anticátodo).

A intensidade da radiação de raios X pode ser medida tanto pelo grau de ação fotográfica quanto pela ionização que produz em meios gasosos, em particular no ar. * Quanto mais intensa a radiação, mais ionização ela produz. De acordo com o mecanismo de interação com a matéria, os raios X são semelhantes à radiação y. O comprimento de onda da radiação de raios X é 10 -10 -10 -6 cm, radiação gama -10-9 cm e abaixo.

Atualmente, os raios X são utilizados como ferramenta de controle. Com a ajuda de raios-x, eles controlam a qualidade da soldagem, a uniformidade dos produtos correspondentes, etc. Na medicina, os raios-x são amplamente utilizados para diagnóstico e, em alguns casos, como meio de influenciar as células cancerígenas.

Palestra nº 11 (2 palestras podem ser feitas)

A FUNÇÃO GAMA, a função G, é uma função transcendental T(z) que propaga os valores do fatorial z! para o caso de qualquer complexo z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. introduzido por L. Euler [(L. Euler), 1729, carta para Ch. Goldbach] usando o produto infinito

da qual L. Euler obteve uma representação integral (uma integral de Euler do segundo tipo)

verdadeiro para Re z > 0. A polissemia da função x z-1 é eliminada pela fórmula x z-1 = e (z-1)ln x com real ln x. Designação Г(z) e nomes. G.-f. foram propostas por A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Em todo o plano z com pontos ejetados z = 0, -1, -2, ... para o G.-f. a representação integral de Hankel é válida:

onde s z-1 = e (z-1)ln s , e ln s é um ramo do logaritmo, para o qual 0

Relações e propriedades básicas de G.-f.

1) Equação funcional de Euler:

zГ(z) = Г(z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, se n > 0 é um inteiro, enquanto conta 0! = Г(1) = 1.

2) Fórmula do complemento de Euler:

Г(z)Г(1 - z) = π/sen πz.

Em particular,

se n > 0 é um número inteiro, então

y é real.

3) Fórmula de multiplicação de Gauss:

Para m = 2, esta é a fórmula de duplicação de Legendre.

4) Quando Re z ≥ δ > 0 ou |Im z| ≥ δ > 0, a assintótica expansão de ln Г(z) em uma série de Stirling:

onde B 2n são números de Bernoulli. O que significa igualdade?

Em particular,

Mais precisa é a fórmula de Sonin:

5) Na área real G(x) > 0 para x > 0 e toma o sinal (-1) k + 1 nas seções -k - 1

ГГ "" > Г" 2 ≥ 0,

ou seja, todos os ramos |Г(x)| e ln |Г(х)| são funções convexas. A propriedade é logarítmica. a convexidade determina G.-f. entre todas as soluções da equação funcional

G(1 + x) = xG(x)

até um fator constante.

Arroz. 2. Gráfico da função y \u003d G (x).

Para x H.-f positivo. tem um único mínimo em x = 1,4616321... igual a 0,885603... . Mínimos locais da função |Г(х)| como x → -∞ eles formam uma sequência tendendo a zero.

Arroz. 3. Gráfico da função 1/Ã(x).

6) No domínio complexo, para Re z > 0, G.-f. diminui rapidamente à medida que |Im z| → -∞

7) A função 1/Г(z) (ver Fig. 3) é uma função inteira de 1ª ordem de tipo máximo, e assintoticamente como Г → ∞

log M(r) ~ r log r,

Pode ser representado por um produto infinito de Weierstrass:

absolutamente e uniformemente convergente em qualquer conjunto compacto do plano complexo (aqui a constante C-Euler). A representação integral de Hankel é válida:

onde o circuito C * é mostrado na fig. 4.

Representações integrais para graus de G.-f. foram obtidos por G. F. Vorony.

Nas aplicações, os chamados funções poligama que são k-ésimas derivadas de ln Г(z). Função (função ψ-Gauss)

é meromorfo, tem pólos simples nos pontos z = 0,-1,_-2, ... e satisfaz a equação funcional

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Da representação ψ(z) para |z|

esta fórmula é útil para calcular Г(z) na vizinhança do ponto z = 1.

Para outras funções polygamma, veja . A função gama incompleta é definida pela igualdade

As funções Г(z), ψ(z) são funções transcendentais que não satisfazem nenhuma equação diferencial linear com coeficientes racionais (teorema de Hölder).

O papel exclusivo de G.-f. em matemática. a análise é determinada pelo fato de que com a ajuda de G.-f. um grande número de integrais definidas, produtos infinitos e somas de séries são expressos (veja, por exemplo, a função Beta). Além disso, G.-f. encontra amplas aplicações na teoria das funções especiais (funções hipergeométricas, para as quais G.-f. é o caso limite, funções cilíndricas, etc.), em analítica. teoria dos números, etc.

Lit.: Whittaker E. T., Watson J. N., A course in modern analysis, trad. de English, Vol. 2, 2ª ed., M., 1963; Bateman G., Erdeyi A., Funções transcendentais superiores Função hipergeométrica. Funções de Legendre, trad. de English, M., 1965; Bourbaki N., Funções de uma variável real. Teoria Elementar, trad. do francês, Moscou, 1965; Analise matemática. Funções, Limites, Séries, Frações Continuadas, (Biblioteca Matemática de Referência), M., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Estudos sobre funções cilíndricas e polinômios especiais, Moscou, 1954; Voronoi G.F., Sobr. soch., Vol. 2, K., 1952, p. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., Funções especiais. Fórmulas, gráficos, tabelas, trad. de German, 2ª ed., M., 1968; Ango A., Matemática para engenheiros elétricos e de rádio, trad. do francês, 2ª ed., M., 1967.

L. P. Kuptsov.

Origens:

Enciclopédia Matemática. T. 1 (A - D). Ed. collegium: I. M. Vinogradov (editor-chefe) [e outros] - M., "Soviet Encyclopedia", 1977, 1152 stb. de doente.

A nota explicativa do trabalho de curso é feita no valor de 36 folhas. Ele contém uma tabela de valores da função gama para alguns valores de variáveis e textos do programa para calcular os valores da função gama e para plotagem, além de 2 figuras.

7 fontes foram usadas para escrever o trabalho de conclusão de curso.

Introdução

Aloque uma classe especial de funções, representável na forma de integral própria ou imprópria, que depende não apenas da variável formal, mas também do parâmetro.

Tais funções são chamadas integrais dependentes de parâmetros. Estes incluem as funções gama e beta de Euler.

As funções beta são representadas pela integral de Euler do primeiro tipo:

A função gama é representada pela integral de Euler do segundo tipo:

A função gama é uma das funções especiais mais simples e significativas, cujo conhecimento das propriedades é necessário para o estudo de muitas outras funções especiais, por exemplo, cilíndricas, hipergeométricas e outras.

Graças à sua introdução, nossas capacidades no cálculo de integrais são significativamente expandidas. Mesmo nos casos em que a fórmula final não contém outras funções além das elementares, derivá-la geralmente facilita o uso da função Г, pelo menos em cálculos intermediários.

Integrais de Euler são funções não elementares bem estudadas. O problema é considerado resolvido se for reduzido ao cálculo de integrais de Euler.

1. Funções beta eu quero

As funções beta são determinadas pela integral de Euler do primeiro tipo:

=(1.1)

Representa uma função de dois parâmetros variáveis

e : função B. Se estes parâmetros satisfazem as condições e , então a integral (1.1) será uma integral imprópria dependendo dos parâmetros e , e os pontos singulares desta integral serão os pontos e

Integrais (1.1) convergem para

.Supondo que tenhamos: = -

ou seja argumento

e entrar simetricamente. Levando em conta a identidade

pela fórmula de integração temos

Onde obtemos

Para inteiro b = n, aplicando sucessivamente (1.2)

para inteiro

= m,= n, temos

mas B(1,1) = 1, então:

Colocamos (1.1)

.Uma vez que o gráfico da função

simétrica em relação a uma linha reta, então

e como resultado da substituição

, Nós temos

configuração em (1.1)

, de onde obtemos

dividindo a integral por dois variando de 0 a 1 e de 1 a

e aplicando a substituição à segunda integral, obtemos

2. Função gama

2.1 Definição

Um ponto de exclamação em trabalhos matemáticos geralmente significa tomar o fatorial de algum inteiro não negativo:

n! = 1 2 3 ... n.

A função fatorial também pode ser escrita como uma relação de recursão:

(n+1)! = (n+1) n!.

Essa relação pode ser considerada não apenas para valores inteiros de n.

Considere a equação diferencial

Apesar da notação simples, esta equação não pode ser resolvida em funções elementares. Sua solução é chamada de função gama. A função gama pode ser escrita como uma série ou como uma integral. Para estudar as propriedades globais da função gama, geralmente é usada a representação integral.

2.2 representação integral

Vamos para a resolução desta equação. Vamos procurar uma solução na forma da integral de Laplace:

Neste caso, o lado direito da equação (2.1) pode ser escrito como:

Esta fórmula é válida se houver limites para o termo não integral. Não sabemos de antemão o comportamento da imagem [(G)\til](p) como p®±¥. Suponhamos que a imagem da função gama seja tal que o termo fora da integral seja igual a zero. Depois que a solução for encontrada, será necessário verificar se a suposição sobre o termo não integral é verdadeira, caso contrário, teremos que procurar G(z) de alguma outra forma.

resumo

O objetivo deste trabalho de curso é estudar as propriedades especiais da função Gama de Euler. No decorrer do trabalho, estudou-se a função Gamma, suas principais propriedades, e compilou-se um algoritmo de cálculo com diversos graus de precisão. O algoritmo foi escrito em uma linguagem de alto nível - C. O resultado do programa é comparado com a tabela. Não foram encontradas discrepâncias nos valores.

7 fontes foram usadas para escrever o trabalho de conclusão de curso.

Introdução

Aloque uma classe especial de funções, representável na forma de integral própria ou imprópria, que depende não apenas da variável formal, mas também do parâmetro.

Tais funções são chamadas integrais dependentes de parâmetros. Estes incluem as funções gama e beta de Euler.

As funções beta são representadas pela integral de Euler do primeiro tipo:

A função gama é representada pela integral de Euler do segundo tipo:

Integrais de Euler são funções não elementares bem estudadas. O problema é considerado resolvido se for reduzido ao cálculo de integrais de Euler.

1. Funções beta eu quero

As funções beta são determinadas pela integral de Euler do primeiro tipo:

Representa uma função de dois parâmetros variáveis e : uma função B. Se estes parâmetros satisfazem as condições e , então a integral (1.1) será uma integral imprópria dependendo dos parâmetros e , e os pontos singulares desta integral serão os pontos e

A integral (1.1) converge em . Assumindo que obtemos:

= - =

ou seja argumento e entrar simetricamente. Levando em conta a identidade

pela fórmula de integração temos

Onde obtemos

Para inteiro b = n, aplicando sucessivamente (1.2)

para inteiros = m,= n, temos

mas B(1,1) = 1, então:

Colocamos em (1.1) .Como o gráfico da função simétrica em relação a uma linha reta, então

e como resultado da substituição, obtemos

assumindo em (1.1) , de onde , obtemos

dividindo a integral por dois no intervalo de 0 a 1 e de 1 a e aplicando a integral de substituição à segunda integral, obtemos

2. Função gama

2.1 Definição

Um ponto de exclamação em trabalhos matemáticos geralmente significa tomar o fatorial de algum inteiro não negativo:

n! = 1 2 3 ... n.

A função fatorial também pode ser escrita como uma relação de recursão:

(n+1)! = (n+1) n!.

Essa relação pode ser considerada não apenas para valores inteiros de n.

Considere a equação diferencial

2.2 representação integral

Vamos para a resolução desta equação. Vamos procurar uma solução na forma da integral de Laplace:

Neste caso, o lado direito da equação (2.1) pode ser escrito como:

O lado esquerdo da igualdade (2.1) é escrito da seguinte forma:

Então a equação (2.1) para a imagem da função gama tem a forma:

Esta equação é fácil de resolver:

É fácil ver que a função encontrada [(Γ)\til](p) é de fato tal que o termo não integral na fórmula (2.2) é igual a zero.

Conhecendo a imagem da função gama, é fácil obter uma expressão para a pré-imagem:

Esta é uma fórmula não canônica, para trazê-la para a forma obtida por Euler, é necessário alterar a variável de integração: t = exp(-p), então a integral terá a forma:

A constante C é escolhida para que para valores inteiros de z a função gama coincida com a função fatorial: Г(n+1) = n!, então:

daí C = 1. Finalmente, obtemos a fórmula de Euler para a função gama:

Esta função é muito comum em textos matemáticos. Ao trabalhar com funções especiais, talvez com mais frequência do que um ponto de exclamação.

Você pode verificar se a função definida pela fórmula (2.3) realmente satisfaz a equação (2.1) integrando a integral do lado direito desta fórmula por partes:

2.3 Domínio e pólos

No integrando da integral (2.3) em , o expoente exp( -tz) para R( z) > 0 diminui muito mais rápido do que a função algébrica cresce t(z-1). A singularidade em zero é integrável, então a integral imprópria em (2.3) converge absolutamente e uniformemente para R (z) > 0. Além disso, por diferenciação sucessiva em relação ao parâmetro zé fácil verificar que G( z) é uma função holomórfica para R ( z) > 0. No entanto, a inadequação da representação integral (2.3) para R ( z) 0 não significa que a própria função gama não esteja definida ali - a solução da equação (2.1).

Vamos considerar o comportamento de Г(z) em uma vizinhança de zero. Para fazer isso, vamos imaginar:

onde é uma função holomorfa na vizinhança z = 0. Da fórmula (2.1) segue:

isto é, Г(z) tem um polo de primeira ordem em z = 0.

Também é fácil obter:

isto é, em uma vizinhança do ponto, a função Г( z) também tem um polo de primeira ordem.

Da mesma forma, você pode obter a fórmula:

Segue-se desta fórmula que os pontos z = 0,-1,-2,... são pólos simples da função gama e esta função não tem outros pólos no eixo real. É fácil calcular o resíduo no ponto z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Representação de Hankel via integral de loop

Descubra se a função gama tem zeros. Para isso, considere a função

Os pólos desta função são os zeros da função Г(z).

Equação de diferença para I( z) é fácil de obter usando a expressão para Г( z):

A expressão para resolver esta equação na forma de integral pode ser obtida da mesma forma que a expressão integral para a função gama foi obtida - através da transformada de Laplace. Abaixo estão os cálculos. Nem são os mesmos que no parágrafo 1). E  a integral será pontos ____________________________________________________________________________

Depois de separar as variáveis, temos:

Depois de integrar temos:

Passando para a pré-imagem de Laplace dá:

Na integral resultante, fazemos uma mudança na variável de integração:

Então

É importante notar aqui que o integrando para valores não inteiros z tem um ponto de ramificação t= 0. No plano complexo da variável t Vamos traçar um corte ao longo do semieixo real negativo. Representamos a integral ao longo deste semieixo como a soma da integral ao longo do lado superior desta seção de 0 a 0 e a integral de 0 ao lado inferior da seção. Para que a integral não passe pelo ponto de ramificação, organizamos um loop em torno dele.

Fig1: Loop na representação integral de Hankel.

Como resultado, obtemos:

Para descobrir o valor da constante, lembre-se que I(1) = 1, por outro lado:

representação integral

é chamada de representação de Hankel em relação ao loop.

É fácil ver que a função 1/Γ( z) não tem pólos no plano complexo, portanto, a função gama não tem zeros.

Usando esta representação integral, pode-se obter uma fórmula para o produto de funções gama. Para fazer isso, na integral faremos uma mudança de variável , então:

2.5 Formulário de limite de Euler

A função gama pode ser representada como um produto infinito. Isso pode ser visto se na integral (2.3) representarmos

Então a representação integral da função gama é:

Nesta fórmula, podemos alterar os limites - o limite de integração na integral imprópria e o limite para dentro da integral. Aqui está o resultado:

Vamos pegar essa integral por partes:

Se realizarmos este procedimento n vezes, obtemos:

Passando ao limite, obtemos a forma limite de Euler para a função gama:

2.6 Fórmula para produto

Abaixo, precisamos de uma fórmula na qual o produto de duas funções gama é representado por uma função gama. Derivamos esta fórmula usando a representação integral das funções gama.

Representamos a integral iterada como uma integral imprópria dupla. Isso pode ser feito usando o teorema de Fubini. Como resultado, obtemos:

A integral imprópria converge uniformemente. Pode ser considerada, por exemplo, como uma integral sobre um triângulo limitado pelos eixos coordenados e uma linha reta x + y = R em R. Na integral dupla, fazemos uma mudança de variáveis:

Jacobiano desta substituição

Limites de integração: você muda de 0 para ∞, v ao mudar de 0 para 1. Como resultado, obtemos:

Reescrevemos esta integral novamente como uma repetição, como resultado temos:

onde R p> 0, R v > 0.

2. Derivada da função gama

Integrante

converge para cada , porque , e a integral em converge.

Na região onde é um número positivo arbitrário, essa integral converge uniformemente, pois e podemos aplicar o teste de Weirstrass. A integral inteira também é convergente para todos os valores já que o segundo termo do lado direito é uma integral que certamente converge para qualquer. É fácil ver que a integral converge em qualquer domínio onde arbitrário. Válido para todos os valores especificados e para todos, e desde converge, então as condições do critério de Weierstrass são satisfeitas. Assim, na área integrante converge uniformemente.

Isso implica a continuidade da função gama em. Vamos provar a diferenciabilidade dessa função em . Observe que a função é contínua para e, e mostramos que a integral:

converge uniformemente em cada segmento, . Vamos escolher um número para que ; então para . Portanto, existe um número tal que e para. Mas então a desigualdade vale para

e como a integral converge, a integral converge uniformemente em relação a . Da mesma forma, pois existe um número tal que para toda a desigualdade . Com tal e tudo o que obtemos , donde, em virtude do critério de comparação, segue-se que a integral converge uniformemente em relação a . Por fim, a integral

em que o integrando é contínuo no domínio

Obviamente, converge uniformemente em relação a . Assim, para a integral

converge uniformemente e, consequentemente, a função gama é infinitamente diferenciável para qualquer e a igualdade

Em relação à integral, podemos repetir o mesmo raciocínio e concluir que

Prova-se por indução que a função Γ é infinitamente diferenciável e sua i-ésima derivada satisfaz a igualdade

Vamos agora estudar o comportamento - funções e construir um esboço de seu gráfico. (Ver Apêndice 1)

Pode ser visto na expressão para a segunda derivada da função que para todos . Portanto, aumenta. Como , então, pelo teorema do papel no segmento, a derivada para e para , ou seja, diminui monotonicamente em e aumenta monotonicamente em . Além disso, porque , então em . Para , segue da fórmula que para .

Igualdade , válido para , pode ser usado ao estender a -função para um valor negativo.

Vamos colocar para isso . O lado direito desta igualdade é definido para a partir de (-1,0) . Obtemos que a função continuada desta forma assume (-1,0) valores negativos e em , assim como na função .

Tendo definido desta forma em , podemos continuá-lo para o intervalo (-2,-1) usando a mesma fórmula. Nesse intervalo, a continuação será uma função que assume valores positivos e tais que para e . Continuando este processo, definimos uma função que possui descontinuidades em pontos inteiros (Consulte o Apêndice 1.)

Observe novamente que a integral

define a função Γ apenas para valores positivos de , a continuação para valores negativos é realizada por nós formalmente usando a fórmula de redução .

4. Cálculo de algumas integrais.

Fórmula de Stirling

Vamos aplicar a função gama ao cálculo da integral:

onde m > -1,n > -1. Supondo que , temos

e com base em (2.8) temos

Em integral

Onde k > -1,n > 0, basta colocar

Integrante

Onde s > 0, expanda em série

onde é a função zetta de Riemann

Considere funções gama incompletas (funções Prim)

limitado pela desigualdade

Expandindo, em uma linha temos

Voltando à derivação da fórmula de Stirling, que dá, em particular, um valor aproximado de n! para grandes valores de n, considere primeiro a função auxiliar

(4.2)

Contínuo no intervalo (-1,) aumenta monotonicamente de para ao mudar de para e gira para 0 em u = 0. Como

E assim a derivada é contínua e positiva em todo o intervalo, satisfaz a condição

Segue-se do exposto que existe uma função inversa definida em um intervalo que é contínuo e monotonicamente crescente nesse intervalo,

Voltando a 0 em v=0 e satisfazendo a condição

Derivamos a fórmula de Stirling da igualdade

supondo que temos

supondo que no final, obtemos

no limite em, ou seja em (ver 4.3)

de onde vem a fórmula de Stirling

que pode ser tomado na forma

aonde

para suficientemente grande suponha

o cálculo é feito usando logaritmos

se um número inteiro positivo, então (4.5) também se transforma em uma fórmula aproximada para calcular fatoriais para grandes valores de n

damos sem derivação uma fórmula mais precisa

onde entre parênteses é uma série não convergente.

5. Exemplos de cálculo de integrais

Fórmulas são necessárias para calcular:

G()

Calcular integrais

PARTE PRÁTICA

Para calcular a função gama, é usada uma aproximação de seu logaritmo. Para aproximar a função gama no intervalo x>0, a seguinte fórmula é usada (para z complexo):

Ã(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Esta fórmula é semelhante à aproximação de Stirling, mas possui uma série de correção. Para os valores g=5 e n=6, verifica-se que o erro ε não excede 2*10 -10. Além disso, o erro não excede este valor em toda a metade direita do plano complexo: z > 0.

Para obter a função gama (real) no intervalo x>0, são usadas a fórmula recursiva Г(z+1)=zГ(z) e a aproximação acima Г(z+1). Além disso, pode-se ver que é mais conveniente aproximar o logaritmo da função gama do que a própria função gama. Em primeiro lugar, isso exigirá chamar apenas uma função matemática - o logaritmo, e não duas - o expoente e o grau (o último ainda usa a chamada do logaritmo) e, em segundo lugar, a função gama está crescendo rapidamente para x grande, e seu a aproximação pelo logaritmo remove problemas de estouro.

Para aproximar Ln(Г(х) - o logaritmo da função gama - a fórmula é obtida:

log(G(x))=(x+0,5)log(x+5,5)-(x+5,5)+

log(C 0 (C 1 + C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Valores de coeficiente Ck- dados tabulares (ver no programa).

A própria função gama é obtida a partir de seu logaritmo tomando o expoente.

Conclusão

As funções gama são uma ferramenta conveniente para calcular algumas integrais, em particular muitas daquelas integrais que não são representáveis em funções elementares.

Por causa disso, eles são amplamente utilizados em matemática e suas aplicações, em mecânica, termodinâmica e outros ramos da ciência moderna.

Bibliografia

1. Funções especiais e suas aplicações:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Análise matemática parte 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M.,"Moscow University",1987

3. Coleção de problemas em análise matemática:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Integrais e séries de funções especiais:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Características especiais:

Kuznetsov, M.,"High School",1965

6. Assintóticas e funções especiais

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7.Zoológico de monstros ou introdução a recursos especiais

O. M. Kiselev,

APLICATIVOS

Anexo 1 - Gráfico da função gama de uma variável real

Apêndice 2 - Gráfico da Função Gama

Tabela - uma tabela de valores da função gama para alguns valores do argumento.

O Apêndice 3 é uma listagem de programas que desenha uma tabela de valores de funções gama para alguns valores de argumentos.

Apêndice 4 - listagem de um programa que desenha um gráfico da função gama

Resumo................................................. ......................................... 3

Introdução ......................................... . ......................................... 4

Parte teórica………………………………………………….5

Função Beta de Euler……………………………………………….5

Função gama ........................................................ ....................................oito

2.1. Definição……………………………………………………8

2.2. Representação integral………………………………8

2.3. Domínio de definição e pólos……………………………..10

2.4. Representação de Hankel em termos de integral de loop………..10

2.5. Forma de limite de Euler……………………………………12

2.6. A fórmula do produto…………………………………..13

Derivada da função gama ............................................. ............. ........... quinze

Cálculo de integrais. Fórmula Stirling..............................18

Exemplos de cálculo de integrais ............................................. ......................... 23

Parte prática………………………………………………….24

Conclusão................................................. ......................................25

Referências……………………………………………………26

Aplicações……………………………………………………………..27

APÊNDICE 1

Gráfico da função gama de uma variável real

APÊNDICE 2

Gráfico da função gama

TABELA

X	g(x)

APÊNDICE 3

#incluir

cof duplo estático =(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0,1208650973866179e-2,

0,5395239384953e-5,

double GammLn(double x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

gama dupla (x duplo) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gama(x) |");

printf("\n\t\t\t_______________________________________________");

para(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0,5;

g[i]=Gama(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_______________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

APÊNDICE 4

#incluir

double gam (double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Duplo dze=(1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Duplo a=x, y, fc=1,0, s, s1, b;

Printf("Você digitou dados incorretos, tente novamente\n"); retornar -1,0;

If(a==0) return f;

Para(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2,0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

Para(n=1;n<=nb;n++)

Para(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1,0);

S=s+si-log(1,0+a/n);

Duplo dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, driver g=DETECTAR, modo g, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy()-10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)enquanto (Y>30);

) enquanto (X<700);

) enquanto (X<=620);

)enquanto (y>=30);

X=30+150,0*0,1845;

Para9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

If(Y<30) continue;

X=30+150,0*308523;

linha(30,30,30,10);

Linha (620.450.640.450);

Linha(30,10,25,15);

Linha (640.450.635.445);

Linha (640.450.635.455);

Linha (170.445.170.455);

Linha (320.445.320.455);

Linha (470.445.470.455);

Linha (620.445.620.455);

Linha (25.366.35.366);

Linha (25.282.35.282);

Linha (25.114.35.114);

Linha(25,30,35,30);

Outtexty(20.465,"0");

Outtexty(165.465, "1";

Outtexty(315.465, "2";

Outtexty(465.465, "3";

Outtexty(615.465, "4";

Outtexty(630.465, "x";

Outtexty(15.364, "1";

Outtexty(15.280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Foi estabelecido experimentalmente que a radiação g (ver § 255) não é uma forma independente de radioatividade, mas apenas acompanha os decaimentos a e b e também surge durante reações nucleares, durante a desaceleração de partículas carregadas, seu decaimento etc. g-espectro é alinhado. O g-espectro é a distribuição de energia do número de g-quanta (a mesma interpretação do b-espectro é dada em §258). A discrição do espectro g é de fundamental importância, pois é a prova da discrição dos estados de energia dos núcleos atômicos.

Está agora firmemente estabelecido que a radiação-g é emitida pelo núcleo-filho (e não pelo núcleo-pai). O núcleo filho no momento de sua formação, sendo excitado, passa para o estado fundamental com emissão de radiação g em um tempo de aproximadamente 10 -13 - 10 -14 s, que é muito menor que o tempo de vida de um átomo excitado (aproximadamente 10 -8 s). Voltando ao estado fundamental, o núcleo excitado pode passar por vários estados intermediários, de modo que a radiação g do mesmo isótopo radioativo pode conter vários grupos de g-quanta, diferindo entre si em sua energia.

Com radiação g MAS e Z do kernel não mudam, então não é descrito por nenhuma regra de deslocamento. A radiação g da maioria dos núcleos é de comprimento de onda tão curto que suas propriedades de onda se manifestam muito fracamente. Aqui, as propriedades corpusculares vêm à tona, então a radiação g é considerada como um fluxo de partículas - g-quanta. Durante os decaimentos radioativos de vários núcleos, os g-quanta têm energias de 10 keV a 5 MeV.

O núcleo, que está em estado excitado, pode ir para o estado fundamental não apenas emitindo um g-quântico, mas também transferindo diretamente a energia de excitação (sem emissão prévia de um g-quântico) para um dos elétrons do núcleo. mesmo átomo. Neste caso, o chamado elétron de conversão é emitido. O fenômeno em si é chamado de conversão interna. A conversão interna é um processo que compete com a radiação-g.

Os elétrons de conversão correspondem a valores discretos de energia, dependendo da função trabalho do elétron da camada da qual o elétron escapa e da energia E , dado pelo núcleo durante a transição do estado excitado para o estado fundamental. Se toda a energia E é liberada na forma de um y-quantum, então a frequência de radiação v é determinada a partir da relação conhecida E = hv . Se eles emitem L elétrons de conversão interna, então suas energias são iguais a E-A K, E-A L, ..., onde A k, AL, ... é a função trabalho de um elétron de K - e conchas L. A natureza monoenergética dos elétrons de conversão permite distingui-los dos elétrons b, cujo espectro é contínuo (ver § 258). A vacância na camada interna do átomo que surgiu como resultado da fuga de um elétron será preenchida com elétrons das camadas sobrejacentes. Portanto, a conversão interna é sempre acompanhada por emissão característica de raios X.

G-quanta, tendo massa de repouso zero, não pode desacelerar em um meio, portanto, quando a radiação-g passa pela matéria, eles são absorvidos ou espalhados por ela. g-quanta não carrega uma carga elétrica e, portanto, não sofre a influência das forças de Coulomb. Quando um feixe de y-quanta passa por uma substância, sua energia não muda, mas como resultado de colisões, a intensidade é enfraquecida, cuja mudança é descrita pela lei exponencial x, m - coeficiente de absorção). Como a radiação g é a radiação mais penetrante, m para muitas substâncias é um valor muito pequeno; m depende das propriedades da matéria e da energia dos g-quanta.

g-quanta, passando pela substância, pode interagir tanto com a camada eletrônica dos átomos da substância quanto com seus núcleos. Na eletrodinâmica quântica, está provado que os principais processos que acompanham a passagem da radiação g pela matéria são o efeito fotoelétrico, o efeito Compton (espalhamento Compton) e a formação de pares elétron-pósitron.

O efeito fotoelétrico, ou absorção fotoelétrica de raios g, é um processo no qual um átomo absorve um g-quantum e emite um elétron. Como o elétron é expulso de uma das camadas internas do átomo, o espaço vazio é preenchido com elétrons das camadas sobrejacentes, e o efeito fotoelétrico é acompanhado por radiação de raios X característica. O efeito fotoelétrico é o mecanismo de absorção predominante na região de baixas energias de g-quanta (E g< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

À medida que a energia dos g-quanta aumenta (E g » 0,5 MeV), a probabilidade do efeito fotoelétrico é muito pequena, e o principal mecanismo para a interação dos g-quanta com a matéria é o espalhamento Compton (ver § 206).

Quando E g >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e é a massa de repouso de um elétron), torna-se possível o processo de formação de pares elétron-pósitron nos campos elétricos dos núcleos. A probabilidade deste processo é proporcional a Z 2 e aumenta com E g. Portanto, em E g » 10 MeV, o principal processo de interação de radiação g em qualquer substância é a formação de pares elétricos-pósitrons.

Se a energia de um g-quantum excede a energia de ligação de nucleons no núcleo (7-8 MeV), então, como resultado da absorção de um g-quantum, pode ser observado um efeito fotoelétrico nuclear - a emissão de um dos os núcleons do núcleo, na maioria das vezes um nêutron.

O grande poder de penetração da radiação-g é usado na detecção de falhas gama - um método de detecção de falhas baseado na absorção diferente da radiação-g quando ela se propaga na mesma distância em diferentes meios. A localização e o tamanho dos defeitos (cavidades, rachaduras, etc.) são determinados pela diferença nas intensidades da radiação que passou por diferentes partes do produto translúcido.

O impacto da radiação g (assim como outros tipos de radiação ionizante) em uma substância é caracterizado por uma dose de radiação ionizante. Diferenciar:

A dose absorvida de radiação é uma quantidade física igual à razão entre a energia da radiação e a massa da substância irradiada.

A unidade da dose de radiação absorvida é cinza (Gy) *: 1 Gy \u003d 1 J / kg - dose de radiação na qual a energia de qualquer radiação ionizante de 1 J é transferida para uma substância irradiada pesando 1 kg.

A dose de exposição de radiação é uma quantidade física igual à razão entre a soma das cargas elétricas de todos os íons de mesmo sinal, criada por elétrons liberados no ar irradiado (sob a condição de pleno uso da capacidade ionizante dos elétrons), para a massa desse ar.

A unidade da dose de exposição à radiação é um pingente por quilograma (C/kg); a unidade escura é o roentgen (R): 1 R = 2,58 × 10 -4 C/kg.

Dose biológica - um valor que determina o efeito da radiação no corpo.

A unidade de dose biológica é o equivalente biológico de um roentgen (rem): 1 rem é uma dose de qualquer tipo de radiação ionizante que produz o mesmo efeito biológico que uma dose de raios-x ou radiação g em 1 R (1 rem = 10 -2J/kg).

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Introdução

Introdução

2. Derivada da função gama

Vamos aplicar a função gama ao cálculo da integral:

Conclusão

Bibliografia

1. Funções especiais e suas aplicações:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

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