A derivada de uma função é um dos tópicos mais difíceis do currículo escolar. Nem todo graduado responderá à pergunta sobre o que é um derivado.

Este artigo explica de forma simples e clara o que é um derivado e por que ele é necessário.. Não nos esforçaremos agora pelo rigor matemático da apresentação. O mais importante é entender o significado.

Vamos lembrar a definição:

A derivada é a taxa de variação da função.

A figura mostra gráficos de três funções. Qual você acha que cresce mais rápido?

A resposta é óbvia - a terceira. Tem a maior taxa de variação, ou seja, a maior derivada.

Aqui está outro exemplo.

Kostya, Grisha e Matvey conseguiram empregos ao mesmo tempo. Vejamos como sua renda mudou durante o ano:

Você pode ver tudo no gráfico imediatamente, certo? A renda de Kostya mais que dobrou em seis meses. E a renda do Grisha também aumentou, mas só um pouquinho. E a renda de Matthew caiu para zero. As condições de partida são as mesmas, mas a taxa de variação da função, ou seja, derivado, - diferente. Quanto a Matvey, a derivada de sua renda é geralmente negativa.

Intuitivamente, podemos facilmente estimar a taxa de variação de uma função. Mas como fazemos isso?

O que estamos realmente vendo é quão abruptamente o gráfico da função sobe (ou desce). Em outras palavras, quão rápido y muda com x. Obviamente, a mesma função em pontos diferentes pode ter um valor diferente da derivada - ou seja, pode mudar mais rápido ou mais devagar.

A derivada de uma função é denotada por .

Vamos mostrar como encontrar usando o gráfico.

Um gráfico de alguma função é desenhado. Dê um ponto nele com uma abcissa. Desenhe uma tangente ao gráfico da função neste ponto. Queremos avaliar a inclinação do gráfico da função. Um valor útil para isso é tangente da inclinação da tangente.

A derivada de uma função em um ponto é igual à tangente da inclinação da tangente traçada ao gráfico da função naquele ponto.

Observe - como o ângulo de inclinação da tangente, tomamos o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo.

Às vezes, os alunos perguntam qual é a tangente ao gráfico de uma função. Esta é uma linha reta que tem o único ponto em comum com o gráfico desta seção, além disso, como mostra nossa figura. Parece uma tangente a um círculo.

Vamos encontrar . Lembramos que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o adjacente. Do triângulo:

Encontramos a derivada usando o gráfico sem sequer conhecer a fórmula da função. Tais tarefas são frequentemente encontradas no exame de matemática sob o número.

Há outra correlação importante. Lembre-se que a reta é dada pela equação

A quantidade nesta equação é chamada inclinação de uma linha reta. É igual à tangente do ângulo de inclinação da linha reta ao eixo.

.

Nós entendemos isso

Vamos lembrar desta fórmula. Ela expressa o significado geométrico da derivada.

A derivada de uma função em um ponto é igual à inclinação da tangente traçada ao gráfico da função naquele ponto.

Em outras palavras, a derivada é igual à tangente da inclinação da tangente.

Já dissemos que a mesma função em pontos diferentes pode ter uma derivada diferente. Vamos ver como a derivada está relacionada ao comportamento da função.

Vamos desenhar um gráfico de alguma função. Deixe essa função aumentar em algumas áreas e diminuir em outras, e em taxas diferentes. E deixe esta função ter pontos de máximo e mínimo.

Em um ponto, a função é crescente. A tangente ao gráfico, desenhada no ponto, forma um ângulo agudo com a direção positiva do eixo. Portanto, a derivada é positiva no ponto.

Nesse ponto, nossa função está diminuindo. A tangente neste ponto forma um ângulo obtuso com a direção positiva do eixo. Como a tangente de um ângulo obtuso é negativa, a derivada no ponto é negativa.

Aqui está o que acontece:

Se uma função é crescente, sua derivada é positiva.

Se diminuir, sua derivada será negativa.

E o que acontecerá nos pontos máximo e mínimo? Vemos que em (ponto máximo) e (ponto mínimo) a tangente é horizontal. Portanto, a tangente da inclinação da tangente nesses pontos é zero, e a derivada também é zero.

O ponto é o ponto máximo. Neste ponto, o aumento da função é substituído por uma diminuição. Consequentemente, o sinal da derivada muda no ponto de "mais" para "menos".

No ponto - o ponto mínimo - a derivada também é igual a zero, mas seu sinal muda de "menos" para "mais".

Conclusão: com a ajuda da derivada, você pode descobrir tudo o que nos interessa sobre o comportamento da função.

Se a derivada for positiva, então a função é crescente.

Se a derivada for negativa, então a função é decrescente.

No ponto máximo, a derivada é zero e muda o sinal de mais para menos.

No ponto mínimo, a derivada também é zero e muda o sinal de menos para mais.

Escrevemos essas descobertas na forma de uma tabela:

	aumenta	ponto máximo	diminuindo	ponto mínimo	aumenta
+	0	-	0	+

Vamos fazer dois pequenos esclarecimentos. Você precisará de um deles ao resolver problemas de exame. Outro - no primeiro ano, com um estudo mais sério de funções e derivadas.

Um caso é possível quando a derivada de uma função em algum ponto é igual a zero, mas a função não tem máximo nem mínimo nesse ponto. Este chamado :

Em um ponto, a tangente ao gráfico é horizontal e a derivada é zero. No entanto, antes do ponto a função aumentou - e depois do ponto continua a aumentar. O sinal da derivada não muda - permaneceu positivo como estava.

Acontece também que no ponto de máximo ou mínimo, a derivada não existe. No gráfico, isso corresponde a uma quebra acentuada, quando é impossível traçar uma tangente em um determinado ponto.

Mas como encontrar a derivada se a função é dada não por um gráfico, mas por uma fórmula? Neste caso, aplica-se

Cálculo derivativoé uma das operações mais importantes do cálculo diferencial. Abaixo está uma tabela para encontrar derivadas de funções simples. Para regras de diferenciação mais complexas, veja outras lições:

• Tabela de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

Use as fórmulas fornecidas como valores de referência. Eles ajudarão na resolução de equações diferenciais e problemas. Na foto, na tabela de derivadas de funções simples, há uma “folha de dicas” dos principais casos de encontrar a derivada de forma compreensível para o uso, ao lado estão as explicações para cada caso.

Derivadas de funções simples

1. A derivada de um número é zero
с´ = 0
Exemplo:
5' = 0

Explicação:
A derivada mostra a taxa na qual o valor da função muda quando o argumento muda. Como o número não muda de forma alguma sob nenhuma condição, a taxa de sua mudança é sempre zero.

2. Derivada de uma variável igual a um
x' = 1

Explicação:
Com cada incremento do argumento (x) em um, o valor da função (resultado do cálculo) aumenta na mesma quantidade. Assim, a taxa de variação do valor da função y = x é exatamente igual à taxa de variação do valor do argumento.

3. A derivada de uma variável e um fator é igual a este fator
сx´ = с
Exemplo:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicação:
Neste caso, cada vez que o argumento da função ( X) seu valor (y) cresce em Com uma vez. Assim, a taxa de variação do valor da função em relação à taxa de variação do argumento é exatamente igual ao valor Com.

De onde se segue que
(cx + b)" = c
ou seja, a diferencial da função linear y=kx+b é igual à inclinação da reta (k).

4. Derivado de módulo de uma variávelé igual ao quociente desta variável ao seu módulo
|x|"= x / |x| desde que x ≠ 0
Explicação:
Como a derivada da variável (ver fórmula 2) é igual a um, a derivada do módulo difere apenas porque o valor da taxa de variação da função muda para o oposto ao cruzar o ponto de origem (tente desenhar um gráfico da função y = |x| e veja você mesmo. Este é exatamente o valor e retorna a expressão x / |x| Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - um. Ou seja, com valores negativos da variável x, a cada aumento na mudança no argumento, o valor da função diminui exatamente no mesmo valor, e com valores positivos, ao contrário, aumenta, mas exatamente o mesmo valor.

5. Derivada de potência de uma variávelé igual ao produto do número desta potência e a variável na potência, reduzida por um
(xc)"=cxc-1, desde que x c ​​e cx c-1 sejam definidos e c ≠ 0
Exemplo:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Para memorizar a fórmula:
Pegue o expoente da variável "down" como um multiplicador e, em seguida, diminua o próprio expoente em um. Por exemplo, para x 2 - dois estava à frente de x, e então a potência reduzida (2-1 = 1) nos deu apenas 2x. A mesma coisa aconteceu para x 3 - abaixamos o triplo, reduzimos em um e, em vez de um cubo, temos um quadrado, ou seja, 3x 2 . Um pouco "não científico", mas muito fácil de lembrar.

6.Derivado de fração 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplo:
Uma vez que uma fração pode ser representada como elevando a uma potência negativa
(1/x)" = (x -1)" , então você pode aplicar a fórmula da regra 5 da tabela de derivadas
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivado de fração com uma variável de grau arbitrário no denominador
(1/xc)" = -c/xc+1
Exemplo:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivada raiz(derivada da variável sob a raiz quadrada)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemplo:
(√x)" = (x 1/2)" para que você possa aplicar a fórmula da regra 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivada de uma variável sob uma raiz de grau arbitrário
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

O processo de encontrar a derivada de uma função é chamado diferenciação. A derivada deve ser encontrada em vários problemas no curso da análise matemática. Por exemplo, ao encontrar pontos extremos e pontos de inflexão de um gráfico de função.

Como encontrar?

Para encontrar a derivada de uma função, você precisa conhecer a tabela de derivadas de funções elementares e aplicar as regras básicas de diferenciação:

1. Tirando a constante do sinal da derivada: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivada da soma/diferença das funções: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivada do produto de duas funções: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivada de fração: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Derivada da função composta: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Exemplos de soluções

Exemplo 1

Encontre a derivada da função $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Solução

A derivada da soma/diferença das funções é igual à soma/diferença das derivadas: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Usando a regra da derivada da função potência $ (x^p)" = px^(p-1) $ temos: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Também foi levado em consideração que a derivada da constante é igual a zero. Se você não conseguir resolver seu problema, envie-o para nós. Forneceremos uma solução detalhada. Você poderá se familiarizar com o andamento do cálculo e coletar informações. Isso ajudará você a obter um crédito do professor em tempo hábil!

Responda

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

O cálculo da derivada é frequentemente encontrado em atribuições de USE. Esta página contém uma lista de fórmulas para encontrar derivadas.

Regras de diferenciação

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivada de uma função complexa. Se y=F(u) e u=u(x), então a função y=f(x)=F(u(x)) é chamada de função complexa de x. É igual a y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivada de uma função implícita. A função y=f(x) é chamada de função implícita dada pela relação F(x,y)=0 se F(x,f(x))≡0.
6. Derivada da função inversa. Se g(f(x))=x, então a função g(x) é chamada de função inversa para a função y=f(x).
7. Derivada de uma função dada parametricamente. Sejam xey como funções da variável t: x=x(t), y=y(t). Diz-se que y=y(x) é uma função definida parametricamente no intervalo x∈ (a;b) se neste intervalo a equação x=x(t) puder ser expressa como t=t(x) e a função y=y(t(x))=y(x).
8. Derivada da função exponencial. Ele é encontrado levando o logaritmo à base do logaritmo natural.

Aconselhamos que você salve o link, pois esta tabela pode ser necessária muitas vezes.

Demonstração e derivação de fórmulas para a derivada da exponencial (e elevado a x) e da função exponencial (a elevado a x). Exemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x e e^nx. Fórmulas para derivadas de ordens superiores.

Contente

Veja também: Função exponencial - propriedades, fórmulas, gráfico
Expoente, e elevado a x - propriedades, fórmulas, gráfico

Fórmulas básicas

A derivada do expoente é igual ao próprio expoente (a derivada de e elevado a x é igual a e elevado a x):
(1) (e x )′ = e x.

A derivada de uma função exponencial com base de grau a é igual à própria função, multiplicada pelo logaritmo natural de a:
(2) .

O expoente é uma função exponencial cuja base do expoente é igual ao número e, que é o seguinte limite:
.
Aqui pode ser um número natural ou real. Em seguida, derivamos a fórmula (1) para a derivada do expoente.

Derivação da fórmula para a derivada do expoente

Considere o expoente, e elevado a x:
y = ex.
Esta função é definida para todos os arquivos . Vamos encontrar sua derivada em relação a x . Por definição, a derivada é o seguinte limite:
(3) .

Vamos transformar essa expressão para reduzi-la a propriedades e regras matemáticas conhecidas. Para isso precisamos dos seguintes fatos:
MAS) Propriedade do expoente:
(4) ;
B) Propriedade do logaritmo:
(5) ;
NO) Continuidade do logaritmo e propriedade dos limites para uma função contínua:
(6) .
Aqui, está alguma função que tem um limite e esse limite é positivo.
G) O significado do segundo limite maravilhoso:
(7) .

Aplicamos esses fatos ao nosso limite (3). Usamos a propriedade (4):
;
.

Vamos fazer uma substituição. Então ; .
Devido à continuidade do expoente,
.
Portanto, em , . Como resultado, obtemos:
.

Vamos fazer uma substituição. Então . No , . E nós temos:
.

Aplicamos a propriedade do logaritmo (5):
. Então
.

Apliquemos a propriedade (6). Como existe um limite positivo e o logaritmo é contínuo, então:
.
Aqui também usamos o segundo limite notável (7). Então
.

Assim, obtivemos a fórmula (1) para a derivada do expoente.

Derivação da fórmula para a derivada da função exponencial

Agora derivamos a fórmula (2) para a derivada da função exponencial com uma base de grau a. Acreditamos que e. Então a função exponencial
(8)
Definido para todos.

Transformemos a fórmula (8). Para fazer isso, usamos as propriedades da função exponencial e do logaritmo.
;
.
Assim, transformamos a fórmula (8) para a seguinte forma:
.

Derivadas de ordem superior de e elevado a x

Agora vamos encontrar derivadas de ordens superiores. Vejamos primeiro o expoente:
(14) .
(1) .

Vemos que a derivada da função (14) é igual à própria função (14). Diferenciando (1), obtemos derivadas de segunda e terceira ordem:
;
.

Isso mostra que a derivada de ordem n também é igual à função original:
.

Derivadas de ordem superior da função exponencial

Agora considere uma função exponencial com uma base de grau a:
.
Encontramos sua derivada de primeira ordem:
(15) .

Diferenciando (15), obtemos derivadas de segunda e terceira ordem:
;
.

Vemos que cada diferenciação leva à multiplicação da função original por . Portanto, a n-ésima derivada tem a seguinte forma:
.

Veja também: