Não tenha medo das minhas palavras, você já encontrou esse método na 7ª série quando estudou polinômios.

Por exemplo, se você precisava:

Vamos agrupar: o primeiro e o terceiro termos, assim como o segundo e o quarto.

É claro que o primeiro e o terceiro são a diferença dos quadrados:

e o segundo e o quarto têm um fator comum de três:

Então a expressão original é equivalente a isso:

Onde tirar o fator comum não é mais difícil:

Consequentemente,

É aproximadamente assim que agiremos ao resolver equações exponenciais: procure por “comunalidade” entre os termos e tire-a dos colchetes, bem, então - aconteça o que acontecer, acredito que teremos sorte =))

Exemplo #14

À direita está longe de ser uma potência de sete (verifiquei!) E à esquerda - um pouco melhor ...

Você pode, é claro, “cortar” o fator a do segundo termo do primeiro termo e depois lidar com o que recebeu, mas vamos agir com mais prudência com você.

Eu não quero lidar com as frações que são inevitavelmente produzidas pela "seleção", então não seria melhor eu perdurar?

Então não terei frações: como dizem, os lobos estão cheios e as ovelhas estão seguras:

Conte a expressão entre parênteses.

Magicamente, magicamente, acontece que (surpreendentemente, embora o que mais podemos esperar?).

Em seguida, reduzimos ambos os lados da equação por esse fator. Obtemos: onde.

Aqui está um exemplo mais complicado (um pouco, na verdade):

Aqui está o problema! Não temos nenhum terreno comum aqui!

Não está totalmente claro o que fazer agora.

E vamos fazer o que podemos: primeiro, vamos mover os “quatros” em uma direção e os “cinco” na outra:

Agora vamos tirar o "comum" à esquerda e à direita:

E agora?

Qual é o benefício de um agrupamento tão estúpido? À primeira vista, não é visível, mas vamos olhar mais profundamente:

Bem, agora vamos fazer com que à esquerda tenhamos apenas a expressão c e à direita - todo o resto.

Como podemos fazer isso?

E aqui está como: Divida ambos os lados da equação primeiro por (para nos livrarmos do expoente à direita) e, em seguida, divida os dois lados por (para nos livrarmos do fator numérico à esquerda).

Finalmente obtemos:

Incrível!

À esquerda temos uma expressão e à direita - apenas.

Então concluímos imediatamente que

Exemplo #15

Vou dar sua breve solução (sem me incomodar em explicar), tente descobrir todas as “sutilezas” da solução por conta própria.

Agora a consolidação final do material abordado.

Resolva de forma independente as 7 tarefas a seguir (com respostas)

1. Vamos tirar o fator comum dos colchetes:
2. Representamos a primeira expressão na forma: , divida ambas as partes por e obtenha que
3. , então a equação original é transformada na forma: Bem, agora uma dica - procure onde já resolvemos esta equação!
4. Imagine como, como, ah, bem, então divida ambas as partes por, então você obtém a equação exponencial mais simples.
5. Tire-o dos colchetes.
6. Tire-o dos colchetes.

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL MÉDIO

Presumo que depois de ler o primeiro artigo, que dizia o que são equações exponenciais e como resolvê-las, você dominou o mínimo de conhecimento necessário para resolver os exemplos mais simples.

Agora vou analisar outro método para resolver equações exponenciais, este é...

Método para introduzir uma nova variável (ou substituição)

Ele resolve a maioria dos problemas "difíceis", no tópico de equações exponenciais (e não apenas equações).

Este método é um dos mais utilizado na prática. Primeiramente, recomendo que você se familiarize com o tema.

Como você já entendeu pelo nome, a essência desse método é introduzir tal mudança de variável que sua equação exponencial milagrosamente se transformará em uma que você já pode resolver facilmente.

Tudo o que resta para você depois de resolver essa “equação muito simplificada” é fazer uma “substituição reversa”: ou seja, voltar do substituído para o substituído.

Vamos ilustrar o que acabamos de dizer com um exemplo muito simples:

Exemplo 16. Método de substituição simples

Esta equação é resolvida com "substituição simples", como os matemáticos o chamam depreciativamente.

De fato, a substituição aqui é a mais óbvia. Só precisa ser visto que

Então a equação original fica:

Se imaginarmos adicionalmente como, fica claro que é necessário substituir ...

É claro, .

O que então se torna a equação original? E aqui está o que:

Você pode facilmente encontrar suas raízes por conta própria:.

O que devemos fazer agora?

É hora de retornar à variável original.

O que eu esqueci de incluir?

A saber: ao substituir um certo grau por uma nova variável (ou seja, ao substituir um tipo), estarei interessado em apenas raízes positivas!

Você pode facilmente responder por quê.

Assim, não estamos interessados ​​em você, mas a segunda raiz é bastante adequada para nós:

Então onde.

Responda:

Como você pode ver, no exemplo anterior, a substituição apenas pediu nossas mãos. Infelizmente, nem sempre é assim.

No entanto, não vamos direto ao triste, mas pratique em mais um exemplo com uma substituição bastante simples

Exemplo 17. Método de substituição simples

É claro que muito provavelmente será necessário substituir (esta é a menor das potências incluídas em nossa equação).

No entanto, antes de introduzir uma substituição, nossa equação precisa estar “preparada” para ela, a saber: , .

Então você pode substituir, como resultado, obterei a seguinte expressão:

Oh horror: uma equação cúbica com fórmulas absolutamente terríveis para sua solução (bem, falando em termos gerais).

Mas não vamos nos desesperar imediatamente, mas pensar no que devemos fazer.

Sugiro trapacear: sabemos que, para obter uma resposta "bonita", precisamos chegar na forma de alguma potência de três (por que seria, hein?).

E vamos tentar adivinhar pelo menos uma raiz da nossa equação (vou começar a adivinhar pelas potências de três).

Primeiro palpite. Não é uma raiz. Ai e ai...

.
O lado esquerdo é igual.
Parte direita: !

Há! Achou a primeira raiz. Agora as coisas vão ficar mais fáceis!

Você conhece o esquema de divisão "canto"? Claro que você sabe, você usa quando divide um número por outro.

Mas poucas pessoas sabem que o mesmo pode ser feito com polinômios.

Existe um teorema maravilhoso:

Aplicável à minha situação, ele me diz o que é divisível sem resto por.

Como é feita a divisão? É assim que:

Eu olho para qual monômio devo multiplicar para obter

É claro que em, então:

Eu subtraio a expressão resultante de, recebo:

Agora, o que eu preciso multiplicar para obter?

É claro que, então, obterei:

e novamente subtraia a expressão resultante da restante:

Bem, o último passo, eu multiplico e subtraio da expressão restante:

Viva, a divisão acabou! O que acumulamos em privado?

Por si próprio: .

Então temos a seguinte expansão do polinômio original:

Vamos resolver a segunda equação:

Tem raízes:

Então a equação original:

tem três raízes:

Obviamente, descartamos a última raiz, pois ela é menor que zero.

E os dois primeiros após a substituição inversa nos darão duas raízes:

Responda: ..

Eu não queria assustá-lo com este exemplo!

Em vez disso, pelo contrário, comecei a mostrar que, embora tivéssemos uma substituição bastante simples, ela levou a uma equação bastante complexa, cuja solução exigia algumas habilidades especiais de nós.

Bem, ninguém está imune a isso. Mas a mudança neste caso foi bastante óbvia.

Exemplo #18 (com uma substituição menos óbvia)

Não está nada claro o que devemos fazer: o problema é que em nossa equação existem duas bases diferentes e uma base não pode ser obtida da outra elevando-a a qualquer grau (razoável, naturalmente).

No entanto, o que vemos?

Ambas as bases diferem apenas em sinal, e seu produto é a diferença de quadrados igual a um:

Definição:

Assim, os números que são bases em nosso exemplo são conjugados.

Nesse caso, a jogada inteligente seria multiplique ambos os lados da equação pelo número conjugado.

Por exemplo, em, então o lado esquerdo da equação se tornará igual e o lado direito.

Se fizermos uma substituição, nossa equação original com você ficará assim:

suas raízes, então, mas lembrando disso, nós entendemos isso.

Responda: , .

Como regra, o método de substituição é suficiente para resolver a maioria das equações exponenciais da "escola".

As seguintes tarefas de maior nível de complexidade são retiradas das opções de exame.

Três tarefas de maior complexidade das opções de exame

Você já é alfabetizado o suficiente para resolver esses exemplos por conta própria. Só darei a substituição necessária.

1. Resolva a equação:
2. Encontre as raízes da equação:
3. Resolva a equação: . Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao segmento:

Agora, para algumas explicações e respostas rápidas:

Exemplo #19

Aqui é suficiente notar que e.

Então a equação original será equivalente a isso:

Essa equação é resolvida substituindo

Faça você mesmo os seguintes cálculos.

No final, sua tarefa será reduzida a resolver a trigonométrica mais simples (dependendo do seno ou cosseno). Discutiremos a solução de tais exemplos em outras seções.

Exemplo #20

Aqui você pode até fazer sem reposição...

Basta mover o subtraendo para a direita e apresentar ambas as bases por potências de dois: e então ir imediatamente para a equação quadrática.

Exemplo #21

Também é resolvido de maneira bastante padrão: imagine como.

Então, substituindo temos uma equação quadrática: então,

Você já sabe o que é um logaritmo? Não? Então leia com urgência o tópico!

A primeira raiz, obviamente, não pertence ao segmento, e a segunda é incompreensível!

Mas vamos descobrir muito em breve!

Uma vez que, então (esta é uma propriedade do logaritmo!)

Subtraindo de ambas as partes, temos:

O lado esquerdo pode ser representado como:

multiplique os dois lados por:

pode ser multiplicado por, então

Então vamos comparar:

desde então:

Então a segunda raiz pertence ao intervalo desejado

Responda:

Como você vê, a seleção das raízes das equações exponenciais requer um conhecimento bastante profundo das propriedades dos logaritmos, então eu aconselho você a ser o mais cuidadoso possível ao resolver equações exponenciais.

Como você sabe, na matemática tudo está interligado!

Como meu professor de matemática costumava dizer: "Você não pode ler matemática como história da noite para o dia".

Via de regra, todos a dificuldade em resolver problemas de maior nível de complexidade é justamente a seleção das raízes da equação.

Mais um exemplo prático...

Exemplo 22

É claro que a equação em si é resolvida de forma bastante simples.

Tendo feito a substituição, reduzimos nossa equação original para o seguinte:

Primeiro, vamos considerar primeira raiz.

Compare e: desde, então. (propriedade da função logarítmica, at).

Então fica claro que a primeira raiz também não pertence ao nosso intervalo.

Agora a segunda raiz: . É claro que (já que a função é crescente).

Resta comparar e

desde então, ao mesmo tempo.

Assim, posso "dirigir um pino" entre e.

Este pino é um número.

A primeira expressão é menor que e a segunda é maior que.

Então a segunda expressão é maior que a primeira e a raiz pertence ao intervalo.

Responda: .

Concluindo, vejamos outro exemplo de equação em que a substituição não é padrão.

Exemplo #23 (Uma equação com uma substituição não padrão!)

Vamos começar imediatamente com o que você pode fazer e o que - em princípio, você pode, mas é melhor não fazê-lo.

É possível - representar tudo através dos poderes de três, dois e seis.

Onde isso leva?

Sim, e não levará a nada: uma miscelânea de graus, alguns dos quais serão bastante difíceis de se livrar.

O que então é necessário?

Vamos notar que um

E o que isso vai nos dar?

E o fato de podermos reduzir a solução deste exemplo à solução de uma equação exponencial bastante simples!

Primeiro, vamos reescrever nossa equação como:

Agora dividimos ambos os lados da equação resultante em:

Eureca! Agora podemos substituir, temos:

Bem, agora é sua vez de resolver problemas para demonstração, e farei apenas breves comentários a eles para que você não se desvie! Boa sorte!

Exemplo #24

O mais difícil!

Ver um substituto aqui é oh, que feio! No entanto, este exemplo pode ser completamente resolvido usando seleção de um quadrado completo.

Para resolvê-lo, basta observar que:

Então aqui está o seu substituto:

(Observe que aqui, com nossa substituição, não podemos descartar a raiz negativa!!! E por que, o que você acha?)

Agora, para resolver o exemplo, você tem que resolver duas equações:

Ambos são resolvidos pela "substituição padrão" (mas o segundo em um exemplo!)

Exemplo #25

2. Observe isso e faça uma substituição.

Exemplo #26

3. Expanda o número em fatores coprimos e simplifique a expressão resultante.

Exemplo #27

4. Divida o numerador e denominador da fração por (ou se preferir) e faça a substituição ou.

Exemplo #28

5. Observe que os números e são conjugados.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS PELO MÉTODO DE LOGARIFAÇÃO. NÍVEL AVANÇADO

Além disso, vamos ver outra maneira - solução de equações exponenciais pelo método do logaritmo.

Não posso dizer que a solução de equações exponenciais por esse método seja muito popular, mas em alguns casos só pode nos levar à solução correta de nossa equação.

Especialmente muitas vezes é usado para resolver o chamado " equações mistas': ou seja, aqueles onde existem funções de diferentes tipos.

Exemplo #29

no caso geral, só pode ser resolvido tomando o logaritmo de ambas as partes (por exemplo, por base), em que a equação original se transforma no seguinte:

Vamos considerar o seguinte exemplo:

É claro que estamos interessados ​​apenas na ODZ da função logarítmica.

No entanto, isso decorre não apenas da ODZ do logaritmo, mas por outro motivo.

Acho que não será difícil para você adivinhar qual.

Vamos levar o logaritmo de ambos os lados da nossa equação para a base:

Como você pode ver, tomar o logaritmo de nossa equação original rapidamente nos levou à resposta correta (e bonita!).

Vamos praticar com mais um exemplo.

Exemplo #30

Aqui também não há com o que se preocupar: tomamos o logaritmo de ambos os lados da equação em termos da base, então temos:

Vamos fazer uma substituição:

No entanto, perdemos algo! Você notou onde eu errei? Afinal, então:

que não satisfaz o requisito (pense de onde veio!)

Responda:

Tente escrever a solução das equações exponenciais abaixo:

Agora verifique sua solução com isso:

Exemplo #31

Tomamos o logaritmo de ambas as partes para a base, dado que:

(a segunda raiz não nos convém devido à substituição)

Exemplo #32

Logaritmo para base:

Vamos transformar a expressão resultante para a seguinte forma:

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. BREVE DESCRIÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

equação exponencial

Equação do tipo:

chamado a equação exponencial mais simples.

Propriedades do grau

Abordagens de solução

• Redução para a mesma base
• Redução ao mesmo expoente
• Substituição de variável
• Simplifique a expressão e aplique uma das opções acima.

Solução de equações exponenciais. Exemplos.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

o que equação exponencial? Esta é uma equação na qual as incógnitas (x) e as expressões com elas estão em indicadores alguns graus. E só lá! É importante.

Aí está você exemplos de equações exponenciais:

3 x 2 x = 8 x + 3

Observação! Nas bases de graus (abaixo) - apenas números. NO indicadores graus (acima) - uma grande variedade de expressões com x. Se, de repente, aparecer um x na equação em algum lugar que não seja o indicador, por exemplo:

esta será uma equação do tipo misto. Tais equações não têm regras claras para resolver. Não vamos considerá-los por enquanto. Aqui vamos tratar solução de equações exponenciais em sua forma mais pura.

Na verdade, mesmo equações exponenciais puras nem sempre são resolvidas com clareza. Mas existem certos tipos de equações exponenciais que podem e devem ser resolvidas. Esses são os tipos que veremos.

Solução das equações exponenciais mais simples.

Vamos começar com algo muito básico. Por exemplo:

Mesmo sem nenhuma teoria, por simples seleção fica claro que x = 2. Nada mais, certo!? Nenhuma outra jogada de valor x. E agora vamos ver a solução desta complicada equação exponencial:

O que nos fizemos? Nós, na verdade, apenas jogamos fora os mesmos fundos (triplos). Completamente jogado fora. E, o que agrada, acerte o alvo!

De fato, se na equação exponencial à esquerda e à direita estão o mesmo números em qualquer grau, esses números podem ser removidos e expoentes iguais. A matemática permite. Resta resolver uma equação muito mais simples. é bom né?)

No entanto, vamos lembrar ironicamente: você pode remover as bases apenas quando os números das bases estiverem à esquerda e à direita em esplêndido isolamento! Sem vizinhos e coeficientes. Digamos nas equações:

2 x +2 x + 1 = 2 3 ou

Você não pode remover duplas!

Bem, nós dominamos a coisa mais importante. Como passar de expressões exponenciais malignas para equações mais simples.

"Aqui estão esses tempos!" - você diz. "Quem vai dar um tal primitivo no controle e exames!?"

Forçado a concordar. Ninguém vai. Mas agora você sabe para onde ir ao resolver exemplos confusos. É necessário lembrar disso quando o mesmo número de base estiver à esquerda - à direita. Então tudo será mais fácil. Na verdade, este é o clássico da matemática. Pegamos o exemplo original e o transformamos no desejado nós mente. De acordo com as regras da matemática, é claro.

Considere exemplos que exigem algum esforço adicional para torná-los mais simples. Vamos chamá-los equações exponenciais simples.

Solução de equações exponenciais simples. Exemplos.

Ao resolver equações exponenciais, as principais regras são ações com poderes. Sem o conhecimento dessas ações, nada funcionará.

Às ações com graus, deve-se adicionar observação pessoal e engenhosidade. Precisamos dos mesmos números de base? Portanto, estamos procurando por eles no exemplo de forma explícita ou criptografada.

Vamos ver como isso é feito na prática?

Vamos nos dar um exemplo:

2 2x - 8x+1 = 0

Primeiro olhar para motivos. Eles... Eles são diferentes! Dois e oito. Mas é muito cedo para desanimar. É hora de lembrar disso

Dois e oito são parentes em grau.) É bem possível escrever:

8 x+1 = (2 3) x+1

Se nos lembrarmos da fórmula das ações com poderes:

(a n) m = a nm ,

geralmente funciona muito bem:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

O exemplo original fica assim:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nós transferimos 2 3 (x+1)à direita (ninguém cancelou as ações elementares da matemática!), temos:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Isso é praticamente tudo. Remoção de bases:

Resolvemos esse monstro e obtemos

Essa é a resposta correta.

Neste exemplo, conhecer os poderes de dois nos ajudou. Nós identificado no oito, o deuce criptografado. Esta técnica (codificar bases comuns sob diferentes números) é um truque muito popular em equações exponenciais! Sim, mesmo em logaritmos. É preciso ser capaz de reconhecer as potências de outros números em números. Isso é extremamente importante para resolver equações exponenciais.

O fato é que elevar qualquer número a qualquer potência não é um problema. Multiplique, mesmo em um pedaço de papel, e isso é tudo. Por exemplo, todos podem elevar 3 à quinta potência. 243 resultará se você conhecer a tabuada.) Mas em equações exponenciais, é muito mais frequente não aumentar a uma potência, mas vice-versa ... que número em que medida se esconde atrás do número 243, ou, digamos, 343... Nenhuma calculadora irá ajudá-lo aqui.

Você precisa saber as potências de alguns números de vista, sim... Vamos praticar?

Determine quais potências e quais números são números:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Respostas (em uma bagunça, é claro!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se você olhar de perto, você pode ver um fato estranho. Há mais respostas do que perguntas! Bem, acontece... Por exemplo, 2 6 , 4 3 , 8 2 são todos 64.

Vamos supor que você tenha anotado as informações sobre familiaridade com números.) Deixe-me também lembrá-lo de que para resolver equações exponenciais, aplicamos o todo estoque de conhecimento matemático. Inclusive da classe média baixa. Você não foi direto para o ensino médio, foi?

Por exemplo, ao resolver equações exponenciais, colocar o fator comum entre colchetes geralmente ajuda (olá para a 7ª série!). Vejamos um exemplo:

3 2x+4 -11 9x = 210

E, novamente, o primeiro olhar - no local! As bases dos graus são diferentes... Três e nove. E queremos que sejam iguais. Bem, neste caso, o desejo é bastante viável!) Porque:

9 x = (3 2) x = 3 2x

De acordo com as mesmas regras para ações com graus:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Isso é ótimo, você pode escrever:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Demos um exemplo pelas mesmas razões. Então, o que vem a seguir!? Três não podem ser jogados fora... Beco sem saída?

De jeito nenhum. Lembrando a regra de decisão mais universal e poderosa tudo tarefas matemáticas:

Se você não sabe o que fazer, faça o que puder!

Você olha, tudo está formado).

O que há nesta equação exponencial posso Faz? Sim, o lado esquerdo pede diretamente os parênteses! O fator comum de 3 2x indica claramente isso. Vamos tentar, e então veremos:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

O exemplo está cada vez melhor!

Lembramos que para eliminar as bases precisamos de um grau puro, sem coeficientes. O número 70 nos incomoda. Então, dividindo ambos os lados da equação por 70, temos:

Op-pa! Ficou tudo bem!

Esta é a resposta final.

Acontece, no entanto, que o taxiamento pelo mesmo motivo é obtido, mas sua liquidação não. Isso acontece em equações exponenciais de outro tipo. Vamos pegar esse tipo.

Mudança de variável na resolução de equações exponenciais. Exemplos.

Vamos resolver a equação:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primeiro - como de costume. Vamos para a base. Para o diabo.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtemos a equação:

2 2x - 3 2x +2 = 0

E aqui vamos pendurar. Os truques anteriores não funcionarão, não importa como você o gire. Teremos que partir do arsenal de outra forma poderosa e versátil. É chamado substituição variável.

A essência do método é surpreendentemente simples. Em vez de um ícone complexo (no nosso caso, 2 x), escrevemos outro mais simples (por exemplo, t). Uma substituição aparentemente sem sentido leva a resultados surpreendentes!) Tudo se torna claro e compreensível!

Então deixe

Então 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Substituímos em nossa equação todas as potências com x por t:

Bem, amanheceu?) Ainda não esqueceu as equações do segundo grau? Resolvendo pelo discriminante, obtemos:

Aqui, o principal é não parar, como acontece... Esta não é a resposta ainda, precisamos de x, não de t. Voltamos a Xs, ou seja. fazendo uma substituição. Primeiro para t 1:

Aquilo é,

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo, de t 2:

Hum... Esquerda 2 x, Direita 1... Um engate? Sim, de jeito nenhum! Basta lembrar (de ações com graus, sim...) que uma unidade é algum número a zero. Algum. O que você precisar, nós colocaremos. Precisamos de dois. Significa:

Agora isso é tudo. Tem 2 raízes:

Esta é a resposta.

No Resolvendo equações exponenciais no final, algumas vezes é obtida alguma expressão estranha. Modelo:

Dos sete, um empate por um grau simples não funciona. Não são parentes... Como posso estar aqui? Alguém pode estar confuso... Mas a pessoa que leu neste site o tópico "O que é um logaritmo?" , apenas sorria com moderação e anote com mão firme a resposta absolutamente correta:

Não pode haver tal resposta nas tarefas "B" do exame. Há um número específico necessário. Mas nas tarefas "C" - facilmente.

Esta lição fornece exemplos de como resolver as equações exponenciais mais comuns. Vamos destacar o principal.

Dicas práticas:

1. Em primeiro lugar, analisamos motivos graus. Vamos ver se eles não podem ser feitos o mesmo. Vamos tentar fazer isso usando ativamente ações com poderes. Não esqueça que números sem x também podem ser transformados em potências!

2. Tentamos trazer a equação exponencial para a forma quando a esquerda e a direita são o mesmo números em qualquer grau. Nós usamos ações com poderes e fatoração. O que pode ser contado em números - nós contamos.

3. Se o segundo conselho não funcionou, tentamos aplicar a substituição de variável. O resultado pode ser uma equação que é facilmente resolvida. Na maioria das vezes - quadrado. Ou fracionária, que também se reduz a um quadrado.

4. Para resolver equações exponenciais com sucesso, você precisa conhecer os graus de alguns números "à vista".

Como de costume, no final da lição, você é convidado a resolver um pouco.) Por conta própria. Do simples ao complexo.

Resolva equações exponenciais:

Mais difícil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Encontre o produto das raízes:

2 3-x + 2x = 9

Ocorrido?

Bem, então o exemplo mais complicado (é resolvido, no entanto, na mente ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

O que é mais interessante? Então aqui está um mau exemplo para você. Bastante puxando na dificuldade aumentada. Vou sugerir que neste exemplo, a engenhosidade e a regra mais universal para resolver todas as tarefas matemáticas são salvas.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Um exemplo é mais simples, para relaxar):

9 2 x - 4 3 x = 0

E para sobremesa. Encontre a soma das raízes da equação:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Sim Sim! Esta é uma equação do tipo misto! O que não consideramos nesta lição. E o que considerá-los, eles precisam ser resolvidos!) Esta lição é suficiente para resolver a equação. Bem, é preciso engenhosidade... E sim, a sétima série vai te ajudar (isso é uma dica!).

Respostas (em desordem, separadas por ponto e vírgula):

1; 2; 3; quatro; não há soluções; 2; -2; -5; quatro; 0.

Tudo é bem sucedido? Excelente.

Há um problema? Sem problemas! Na Seção Especial 555, todas essas equações exponenciais são resolvidas com explicações detalhadas. O que, por que e por quê. E, claro, há informações valiosas adicionais sobre como trabalhar com todos os tipos de equações exponenciais. Não só com estes.)

Uma última pergunta divertida a considerar. Nesta lição, trabalhamos com equações exponenciais. Por que eu não disse uma palavra sobre ODZ aqui? Em equações, isso é uma coisa muito importante, aliás...

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Ao canal do youtube do nosso site para ficar a par de todas as novas videoaulas.

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas básicas dos graus e suas propriedades.

Produto de um número uma acontece sobre si mesmo n vezes, podemos escrever esta expressão como a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potência ou equações exponenciais- são equações em que as variáveis ​​estão em potências (ou expoentes), e a base é um número.

Exemplos de equações exponenciais:

Neste exemplo, o número 6 é a base, está sempre na parte inferior e a variável x grau ou medida.

Vamos dar mais exemplos de equações exponenciais.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Agora vamos ver como as equações exponenciais são resolvidas?

Vamos pegar uma equação simples:

2 x = 2 3

Tal exemplo pode ser resolvido até mesmo na mente. Pode-se ver que x = 3. Afinal, para que os lados esquerdo e direito sejam iguais, você precisa colocar o número 3 em vez de x.
Agora vamos ver como essa decisão deve ser tomada:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver esta equação, removemos mesmos motivos(isto é, deuces) e anotou o que sobrou, estes são graus. Conseguimos a resposta que procurávamos.

Agora vamos resumir nossa solução.

Algoritmo para resolver a equação exponencial:
1. Precisa verificar o mesmo se as bases da equação à direita e à esquerda. Se os motivos não forem os mesmos, procuramos opções para resolver este exemplo.
2. Depois que as bases forem iguais, igualar grau e resolva a nova equação resultante.

Agora vamos resolver alguns exemplos:

Vamos começar simples.

As bases dos lados esquerdo e direito são iguais ao número 2, o que significa que podemos descartar a base e igualar seus graus.

x+2=4 A equação mais simples acabou.
x=4 - 2
x=2
Resposta: x=2

No exemplo a seguir, você pode ver que as bases são diferentes, são 3 e 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Para começar, transferindo o nove para o lado direito, obtemos:

Agora você precisa fazer as mesmas bases. Sabemos que 9=3 2 . Vamos usar a fórmula da potência (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obtemos 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 agora está claro que as bases dos lados esquerdo e direito são iguais e iguais a três, o que significa que podemos descartá-las e igualar os graus.

3x=2x+16 obteve a equação mais simples
3x-2x=16
x=16
Resposta: x=16.

Vejamos o seguinte exemplo:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Primeiro de tudo, olhamos para as bases, as bases são diferentes dois e quatro. E precisamos ser iguais. Transformamos o quádruplo de acordo com a fórmula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

E também usamos uma fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adicione à equação:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Demos um exemplo pelas mesmas razões. Mas outros números 10 e 24 interferem em nós, o que fazer com eles? Se você olhar de perto, verá que no lado esquerdo repetimos 2 2x, aqui está a resposta - podemos colocar 2 2x fora dos colchetes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vamos calcular a expressão entre parênteses:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda a equação por 6:

Imagine 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 bases são iguais, descarte-as e iguale os graus.
2x \u003d 2 acabou sendo a equação mais simples. Dividimos por 2, obtemos
x = 1
Resposta: x = 1.

Vamos resolver a equação:

9 x - 12*3 x +27= 0

Vamos transformar:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtemos a equação:
3 2x - 12 3x +27 = 0

As bases são as mesmas para nós, iguais a 3. Neste exemplo, pode-se ver que a primeira tripla tem um grau duas vezes (2x) que a segunda (apenas x). Neste caso, você pode decidir método de substituição. O número com o menor grau é substituído por:

Então 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Substituímos todos os graus por x's na equação com t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obtemos uma equação quadrática. Resolvendo pelo discriminante, obtemos:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Voltar para a variável x.

Tomamos t1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Aquilo é,

3x = 9
3x = 3 2
x 1 = 2

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo, de t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3x = 3 1
x 2 = 1
Resposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

No site você pode na seção AJUDAR A DECIDIR fazer perguntas de seu interesse, com certeza responderemos.

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Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Tipo de lição

: uma lição sobre a generalização e aplicação complexa de conhecimentos, habilidades e habilidades sobre o tema “Equações exponenciais e formas de resolvê-las”.

Objetivos da lição.

Tutoriais:

repetir e sistematizar o material principal do tópico “Equações exponenciais, suas soluções”; consolidar a capacidade de utilização de algoritmos adequados na resolução de equações exponenciais de vários tipos; preparação para o exame.

Em desenvolvimento:

desenvolver o pensamento lógico e associativo dos alunos; promover o desenvolvimento da habilidade de aplicação independente do conhecimento.

Educacional:

cultivar o propósito, a atenção e a precisão na resolução de equações.

Equipamento:

computador e projetor multimídia.

A lição usa Tecnologia da Informação : suporte metodológico para a aula - apresentação em Microsoft Power Point.

Durante as aulas

Cada habilidade vem com trabalho duro.

EU. Definindo o objetivo da aula(slide número 2 )

Nesta lição, vamos resumir e generalizar o tópico “Equações Exponenciais, Suas Soluções”. Vamos nos familiarizar com as tarefas típicas do exame de diferentes anos sobre este tópico.

Tarefas para resolver equações exponenciais podem ser encontradas em qualquer parte das tarefas USE. Na parte " NO " geralmente propõem resolver as equações exponenciais mais simples. Na parte " A PARTIR DE " você pode encontrar equações exponenciais mais complexas, cuja solução geralmente é uma das etapas da tarefa.

Por exemplo ( slide número 3 ).

• USO - 2007

B 4 - Encontre o maior valor da expressão xy, Onde ( X; no) é a solução do sistema:

• USO - 2008

B 1 - Resolver Equações:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• USO - 2009

B 4 - Encontre o valor da expressão x + y, Onde ( X; no) é a solução do sistema:

• USO - 2010

– Resolva a equação: 7 X– 2 = 49. – Encontre as raízes da equação: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Resolva o sistema de equações:

II. Atualização de conhecimentos básicos. Repetição

(Diapositivos #4 - 6 apresentações de classe)

A tela é mostrada resumo de referência do material teórico neste tópico.

As seguintes questões são discutidas:

1. Que equações são chamadas indicativo?
2. Cite as principais formas de resolvê-los. Dê exemplos de seus tipos ( slide número 4 )

(Resolva as equações propostas para cada método e faça um autoteste usando o slide)

3. Que teorema é usado para resolver as equações exponenciais mais simples da forma: e f(x) = ag(x) ?
4. Que outros métodos para resolver equações exponenciais existem? ( slide número 5 )

• Método de fatoração
(baseado em propriedades de poderes com as mesmas bases, recepção: o grau com o indicador mais baixo é retirado dos parênteses).
• Recepção da divisão (multiplicação) por uma expressão exponencial diferente de zero, ao resolver equações exponenciais homogêneas
.

• Adendo:

ao resolver equações exponenciais, é útil primeiro fazer transformações, obtendo graus com as mesmas bases em ambas as partes da equação.

1. Resolvendo equações com os dois últimos métodos seguidos de comentários

(slide número 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X- 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X- 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Resolvendo tarefas USE 2010

Os alunos resolvem de forma independente as tarefas propostas no início da aula no slide nº 3, usando as instruções para a solução, verificam seu processo de decisão e respondem usando a apresentação ( slide número 7). No processo de trabalho, são discutidas opções e métodos de solução, chamando a atenção para possíveis erros na solução.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7x = 36. Responda: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Você pode substituir 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Solução. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Responda: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, a co y< 0.

Sugestão de decisão

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg s- 1 = 0. Deixe X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Desde tg y= -1 e cos y< 0, então no 2º trimestre coordenado

Responda: no= 3/4 + 2k, k N.

4. Colaboração do quadro branco

A tarefa de um alto nível de aprendizagem é considerada - slide número 8. Com a ajuda deste slide, há um diálogo entre o professor e os alunos, o que contribui para o desenvolvimento da solução.

- Em que parâmetro uma equação 2 2 X – 3 2 X + uma 2 – 4uma= 0 tem duas raízes?

Deixar t= 2 X, Onde t > 0 . Nós temos t 2 – 3t + (uma 2 – 4uma) = 0 .

1). Como a equação tem duas raízes, então D > 0;

2). Porque t 1,2 > 0, então t 1 t 2 > 0, ou seja uma 2 – 4uma> 0 (?...).

Responda: uma(– 0,5; 0) ou (4; 4,5).

V. Trabalho de verificação

(slide número 9 )

Os alunos executam trabalho de verificação em folhetos, exercendo o autocontrole e autoavaliação do trabalho realizado com o auxílio de uma apresentação, afirmando-se no tema. Eles determinam independentemente um programa para regular e corrigir o conhecimento com base em erros cometidos em pastas de trabalho. As folhas com o trabalho independente concluído são entregues ao professor para verificação.

Os números sublinhados são básicos, aqueles com um asterisco são avançados.

Solução e respostas.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (não apropriado),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Trabalho de casa

(slide número 10 )

• Repita § 11, 12.
• A partir dos materiais do Exame Estadual Unificado 2008 - 2010, selecione tarefas sobre o tema e resolva-as.
• Trabalho de teste em casa
:

Na fase de preparação para a prova final, os alunos do ensino médio precisam aprimorar seus conhecimentos sobre o tema "Equações Exponenciais". A experiência dos últimos anos indica que tais tarefas causam certas dificuldades para os escolares. Portanto, os alunos do ensino médio, independentemente do seu nível de preparação, precisam dominar cuidadosamente a teoria, memorizar as fórmulas e entender o princípio da resolução de tais equações. Tendo aprendido a lidar com esse tipo de tarefa, os graduados poderão contar com pontuações altas ao passar no exame de matemática.

Prepare-se para o teste do exame junto com Shkolkovo!

Ao repetir os materiais abordados, muitos alunos se deparam com o problema de encontrar as fórmulas necessárias para resolver as equações. Um livro escolar nem sempre está à mão e a seleção das informações necessárias sobre um tópico na Internet leva muito tempo.

O portal educacional Shkolkovo convida os alunos a usar nossa base de conhecimento. Estamos implementando um método completamente novo de preparação para o teste final. Estudando em nosso site, você poderá identificar lacunas de conhecimento e prestar atenção justamente nas tarefas que causam as maiores dificuldades.

Os professores de "Shkolkovo" coletaram, sistematizaram e apresentaram todo o material necessário para a aprovação no exame da forma mais simples e acessível.

As principais definições e fórmulas são apresentadas na seção "Referência Teórica".

Para uma melhor assimilação do material, recomendamos que você pratique as tarefas. Revise cuidadosamente os exemplos de equações exponenciais com soluções apresentadas nesta página para entender o algoritmo de cálculo. Depois disso, prossiga com as tarefas na seção "Catálogos". Você pode começar com as tarefas mais fáceis ou ir direto para a resolução de equações exponenciais complexas com várias incógnitas ou . O banco de dados de exercícios em nosso site é constantemente complementado e atualizado.

Aqueles exemplos com indicadores que lhe causaram dificuldades podem ser adicionados aos "Favoritos". Assim, você pode encontrá-los rapidamente e discutir a solução com o professor.

Para passar com sucesso no exame, estude no portal Shkolkovo todos os dias!