As razões entre as principais funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são dadas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso também explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam as funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - as funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem diminuir o grau, o quarto - para expressar todas as funções pela tangente de um meio ângulo, etc.
Neste artigo, listamos em ordem todas as fórmulas trigonométricas básicas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e uso, vamos agrupá-los de acordo com sua finalidade e inseri-los em tabelas.
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Identidades trigonométricas básicas
Identidades trigonométricas básicas definir a relação entre o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem que você expresse uma função trigonométrica por meio de qualquer outra.
Para obter uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.
Fórmulas de elenco
Fórmulas de elenco seguem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria e também a propriedade de deslocamento por um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.
A justificativa para essas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.
Fórmulas de adição
Fórmulas de adição trigonométricas Mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos das funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem como base para a derivação das seguintes fórmulas trigonométricas.
Fórmulas para duplo, triplo, etc. canto
Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (elas também são chamadas de fórmulas de múltiplos ângulos) mostram como as funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.
Informações mais detalhadas são coletadas nas fórmulas do artigo para duplo, triplo, etc. ângulo.
Fórmulas de meio ângulo
Fórmulas de meio ângulo Mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas decorrem das fórmulas de ângulo duplo.
Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.
Fórmulas de redução
Fórmulas trigonométricas para graus decrescentes são projetados para facilitar a transição de potências naturais de funções trigonométricas para senos e cossenos no primeiro grau, mas vários ângulos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas à primeira.
Fórmulas para a soma e diferença de funções trigonométricas
O propósito principal fórmulas de soma e diferença para funções trigonométricas consiste na transição para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são muito utilizadas na resolução de equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.
Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno
A transição do produto de funções trigonométricas para a soma ou diferença é realizada através das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.
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1. Expressão do seno através do cosseno
Observação: O sinal na frente do radical do lado direito depende de qual quarto o ângulo está. α . O sinal da função trigonométrica do lado esquerdo deve corresponder ao sinal do lado direito. Esta regra também é válida para outras fórmulas abaixo.
2. Expressão do seno pela tangente
3. Expressão do seno através da cotangente
4. Expressão do cosseno pelo seno
5. Expressão do cosseno pela tangente
6. Expressão do cosseno em termos de cotangente
7. Expressão da tangente através do seno
8. Expressão da tangente através do cosseno
9. Expressão da tangente através da cotangente
10. Expressão da cotangente pelo seno
11. Expressão cotangente em termos de cosseno
12. Expressão da cotangente pela tangente
21. Funções trigonométricas y=sen x, y=cos x, suas propriedades e gráficos.
Y = sen(x)
Gráfico da função y=sen(x).
Propriedades básicas:
3. A função é ímpar.
Gráfico da função y=cos(x).
Propriedades básicas:
1. A área de definição é todo o eixo numérico.
2. A função é limitada. O conjunto de valores é o segmento [-1;1].
3. A função é par.
4. A função é periódica com o menor período positivo igual a 2*π.
22. Funções trigonométricas y=tg x, y=ctg x, suas propriedades e gráficos.
Gráfico da função y=tg(x).
Propriedades básicas:
1. O domínio de definição é todo o eixo numérico, exceto para pontos da forma x=π/2 + π*k, onde k é um inteiro.
3. A função é ímpar.
Y = ctg(x)
Gráfico da função y=ctg(x).
Propriedades básicas:
1. O domínio de definição é todo o eixo numérico, exceto para pontos da forma x=π*k, onde k é um inteiro.
2. A função é ilimitada. O valor definido é a linha numérica inteira.
3. A função é ímpar.
4. A função é periódica com o menor período positivo igual a π.
23. Propriedades básicas das funções trigonométricas: par, ímpar, periodicidade. Sinais dos valores de funções trigonométricas em trimestres.
seio números uma chamada de ordenada do ponto que representa esse número no círculo numérico. O seno do ângulo em uma radiano é chamado de seno de um número uma.
Seio- função de número x. Sua domínio- o conjunto de todos os números, pois para qualquer número você pode encontrar a ordenada do ponto que o representa.
Faixa de seno- segmento de -1 antes 1 , uma vez que qualquer número desse segmento no eixo y é uma projeção de algum ponto no círculo, mas nenhum ponto fora desse segmento é uma projeção de qualquer um desses pontos.
Período senoé igual a . Afinal, toda vez que a posição do ponto que representa o número é exatamente repetida.
Sinal de seno:
1. o seno é zero em , onde n- qualquer número inteiro;
2. o seno é positivo em , onde n- qualquer número inteiro;
3. seno é negativo em
Ah com certeza. O seno, cosseno, tangente e cotangente do mesmo ângulo estão relacionados. Qualquer conexão entre expressões é dada em matemática por fórmulas. Na trigonometria, há um grande número de fórmulas. Mas aqui vamos olhar para os mais básicos. Essas fórmulas são chamadas: identidades trigonométricas básicas. Aqui estão eles:
Essas fórmulas precisam conhecer o ferro. Sem eles, não há nada a fazer em trigonometria. Mais três identidades auxiliares seguem a partir dessas identidades básicas:
Em quais tarefas e como as identidades trigonométricas básicas são usadas? A tarefa mais popular é encontrar alguma função do ângulo, se outra for fornecida. No exame, essa tarefa está presente de ano para ano.) Por exemplo:
Encontre o valor de senx se x é um ângulo agudo e cosx = 0,8.
A tarefa é quase elementar. Estamos procurando uma fórmula onde há seno e cosseno. Aqui está essa fórmula:
sen 2 x + cos 2 x = 1
Substituímos aqui um valor conhecido, a saber, 0,8 em vez do cosseno:
sen 2 x + 0,8 2 = 1
Bem, consideramos, como de costume:
sen 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x \u003d 1 - 0,64
Aqui, quase tudo. Calculamos o quadrado do seno, resta extrair a raiz quadrada e a resposta está pronta! A raiz de 0,36 é 0,6.
A tarefa é quase elementar. Mas a palavra "quase" não é em vão aqui... O fato é que a resposta sinx = - 0,6 também é adequada... (-0,6) 2 também será 0,36.
Duas respostas diferentes são obtidas. E você precisa de um. A segunda está errada. Como ser!? Sim, como de costume.) Leia a tarefa com atenção. Por algum motivo diz... se x é um ângulo agudo... E nas tarefas, cada palavra tem um significado, sim... Essa frase é uma informação adicional para a solução.
Um ângulo agudo é um ângulo menor que 90°. E em tais ângulos tudo funções trigonométricas - seno e cosseno, e tangente com cotangente - positivo. Aqueles. simplesmente descartamos a resposta negativa aqui. Nós temos o direito.
Na verdade, os alunos da oitava série não precisam dessas sutilezas. Eles só funcionam com triângulos retângulos, onde os cantos só podem ser agudos. E eles não sabem, felizes, que existem ângulos negativos e ângulos de 1000 ° ... E todos esses ângulos de pesadelo têm suas próprias funções trigonométricas com mais e menos ...
Mas para estudantes do ensino médio sem levar em conta o sinal - de jeito nenhum. Muito conhecimento multiplica tristezas, sim...) E para a solução correta, a tarefa deve conter informações adicionais (se necessário). Por exemplo, pode ser dado como:
Ou alguma outra forma. Você verá nos exemplos abaixo.) Para resolver tais exemplos, você precisa saber em que quarto cai o ângulo x dado e que sinal tem a função trigonométrica desejada neste quarto.
Esses fundamentos da trigonometria são discutidos nas lições o que é um círculo trigonométrico, a contagem de ângulos neste círculo, a medida em radianos de um ângulo. Às vezes você também precisa conhecer a tabela de senos de cossenos de tangentes e cotangentes.
Então, vamos anotar o mais importante:
Dicas práticas:
1. Lembre-se das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Muito útil.
2. Nós assimilamos claramente: seno, cosseno, tangente e cotangente estão firmemente conectados com ângulos. Sabemos uma coisa, então sabemos outra.
3. Assimilamos claramente: o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente de um ângulo estão interligados por identidades trigonométricas básicas. Conhecemos uma função, o que significa que podemos (se tivermos as informações adicionais necessárias) calcular todas as outras.
E agora vamos decidir, como de costume. Primeiro, tarefas no volume da 8ª série. Mas os alunos do ensino médio também podem ...)
1. Calcule o valor de tgA se ctgA = 0,4.
2. β - ângulo em um triângulo retângulo. Encontre o valor de tgβ se sinβ = 12/13.
3. Encontre o valor de uma expressão:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
4. Encontre o valor de uma expressão:
(1-cosx)(1+cosx), se sinx = 0,3
5. Determine o seno de um ângulo agudo x se tgx \u003d 4/3.
Respostas (separadas por ponto e vírgula, em desordem):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Ocorrido? Multar! Alunos da oitava série já podem seguir seus A.)
Eram problemas como o Exame Estadual Unificado, mas em uma versão simplificada. USO - luz). E agora quase as mesmas tarefas, mas de forma completa. Para estudantes do ensino médio sobrecarregados de conhecimento.)
6. Encontre o valor de tgβ se sinβ = 12/13 e
7. Determine senx se tgx = 4/3, e x pertence ao intervalo (- 540°; - 450°).
8. Encontre o valor da expressão sinβ cosβ se ctgβ = 1.
Respostas (em desordem):
0,8; 0,5; -2,4.
Aqui, no problema 6, o ângulo é dado de alguma forma não muito inequívoca... Mas no problema 8, ele não está definido! É de propósito). Informações adicionais são obtidas não apenas da tarefa, mas também da cabeça.) Mas se você decidir - uma tarefa correta "B" é garantida!
Nesta lição, um conceito muito limitado de funções trigonométricas é dado. Dentro do 8º ano. Idosos têm dúvidas...
Por exemplo, se o ângulo X(veja a segunda foto nesta página) - torná-lo burro!? O triângulo vai desmoronar! E como ser? Não haverá perna, nem hipotenusa... O seno se foi...
Se os povos antigos não tivessem encontrado uma saída para essa situação, não teríamos telefones celulares, TV ou eletricidade agora. Sim Sim! A base teórica de todas essas coisas sem funções trigonométricas é zero sem uma varinha. Mas os povos antigos não decepcionaram. Como eles saíram - na próxima lição.
Vamos tentar encontrar a relação entre as principais funções trigonométricas do mesmo ângulo.
Relação entre cosseno e seno do mesmo ângulo
A figura a seguir mostra o sistema de coordenadas Oxy com a parte do semicírculo unitário ACB nele representado, centrado no ponto O. Esta parte é o arco do círculo unitário. O círculo unitário é descrito pela equação
- x2+y2=1.
Como já se sabe, a ordenada y e a abscissa x podem ser representadas como o seno e o cosseno do ângulo usando as seguintes fórmulas:
- sen(a) = y,
- cos(a) = x.
Substituindo esses valores nas equações do círculo unitário, temos a seguinte igualdade
- (sen(a)) 2 + (cos(a)) 2 = 1,
Essa igualdade vale para quaisquer valores do ângulo a. É chamada de identidade trigonométrica básica.
A partir da identidade trigonométrica básica, uma função pode ser expressa em termos de outra.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sen(a)) 2).
O sinal do lado direito desta fórmula é determinado pelo sinal da expressão do lado esquerdo desta fórmula.
Por exemplo.
Calcule sen(a) se cos(a)=-3/5 e pi Vamos usar a fórmula acima: Desde pi Agora, vamos tentar encontrar a relação entre a tangente e as cotangentes. Por definição, tg(a) = sen(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sen(a). Multiplicando essas igualdades, obtemos tg(a)*ctg(a) =1. A partir dessa igualdade, uma função pode ser expressa em termos de outra. Nós temos: Deve-se entender que essas igualdades são válidas apenas quando existem tg e ctg, ou seja, para qualquer a, exceto a = k * pi / 2, para qualquer inteiro k. Agora vamos tentar usar a identidade trigonométrica básica para encontrar a relação entre a tangente e o cosseno. Divida a identidade trigonométrica básica por (cos(a)) 2 . (cos(a) não é igual a zero, caso contrário a tangente não existiria. Obtemos a seguinte igualdade ((sen(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Dividindo termo por termo temos: Como observado acima, esta fórmula é verdadeira se cos(a) não for igual a zero, ou seja, para todos os ângulos a, exceto a=pi/2 + pi*k, para qualquer inteiro k.A razão entre a tangente e a cotangente do mesmo ângulo
