Para saber como encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais números, você precisa entender o que são números naturais, primos e complexos.
Um número natural é qualquer número usado para contar números inteiros.
Se um número natural só pode ser dividido por ele mesmo e um, então ele é chamado de primo.
Todos os números naturais podem ser divididos por eles mesmos e um, mas o único número primo par é 2, todos os outros podem ser divididos por dois. Portanto, apenas números ímpares podem ser primos.
Existem muitos números primos, não há uma lista completa deles. Para encontrar o GCD, é conveniente usar tabelas especiais com esses números.
A maioria dos números naturais pode ser dividida não apenas por um, mas também por outros números. Assim, por exemplo, o número 15 pode ser dividido por 3 e 5. Todos eles são chamados de divisores do número 15.
Assim, o divisor de qualquer A é o número pelo qual ele pode ser dividido sem deixar resto. Se um número tiver mais de dois divisores naturais, ele é chamado de composto.
O número 30 tem divisores como 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Você pode ver que 15 e 30 têm os mesmos divisores 1, 3, 5, 15. O máximo divisor comum desses dois números é 15.
Assim, o divisor comum dos números A e B é o número pelo qual você pode dividi-los completamente. O máximo pode ser considerado o número total máximo pelo qual eles podem ser divididos.
Para resolver problemas, a seguinte inscrição abreviada é usada:
GCD (A; B).
Por exemplo, GCD (15; 30) = 30.
Para escrever todos os divisores de um número natural, a notação é usada:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
mdc (9; 15) = 1
Neste exemplo, os números naturais têm apenas um divisor comum. Eles são chamados coprimos, respectivamente, a unidade é o seu máximo divisor comum.
Como encontrar o máximo divisor comum de números
Para encontrar o GCD de vários números, você precisa:
Encontre todos os divisores de cada número natural separadamente, ou seja, decomponha-os em fatores (números primos);
Selecione todos os mesmos fatores para determinados números;
Multiplique-os juntos.
Por exemplo, para calcular o máximo divisor comum de 30 e 56, você escreveria o seguinte:
Para não se confundir com , é conveniente escrever os multiplicadores usando colunas verticais. No lado esquerdo da linha, você precisa colocar o dividendo e à direita - o divisor. Sob o dividendo, você deve indicar o quociente resultante.
Assim, na coluna da direita estarão todos os fatores necessários para a solução.
Divisores idênticos (fatores encontrados) podem ser sublinhados por conveniência. Eles devem ser reescritos e multiplicados e o máximo divisor comum deve ser anotado.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
É realmente tão simples encontrar o máximo divisor comum de números. Com um pouco de prática, você pode fazer isso quase automaticamente.
O maior número natural pelo qual os números a e b são divisíveis sem resto é chamado máximo divisor comum esses números. Denote GCD(a, b).
Considere encontrar o MDC usando o exemplo de dois números naturais 18 e 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 e 432
Vamos decompor os números em fatores primos:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Exclua do primeiro número, cujos fatores não estão no segundo e terceiro números, obtemos:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Como resultado do GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Encontrando o GCD com o Algoritmo de Euclides
A segunda maneira de encontrar o máximo divisor comum usando Algoritmo de Euclides. O algoritmo de Euclides é a maneira mais eficiente de encontrar GCD, usando-o, você precisa encontrar constantemente o restante da divisão de números e aplicar fórmula recorrente.
Fórmula recorrente para GCD, mdc(a, b)=mdc(b, a mod b), onde a mod b é o resto da divisão de a por b.
Algoritmo de Euclides
Exemplo Encontre o máximo divisor comum de números 7920 e 594
Vamos encontrar GCD( 7920 , 594 ) usando o algoritmo de Euclides, calcularemos o resto da divisão usando uma calculadora.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Como resultado, obtemos GCD( 7920 , 594 ) = 198
Mínimo múltiplo comum
Para encontrar um denominador comum ao somar e subtrair frações com denominadores diferentes, você precisa saber e ser capaz de calcular mínimo múltiplo comum(NOC).
Um múltiplo do número "a" é um número que é divisível pelo número "a" sem deixar resto.
Números que são múltiplos de 8 (ou seja, esses números serão divididos por 8 sem deixar resto): são os números 16, 24, 32...
Múltiplos de 9: 18, 27, 36, 45…
Existem infinitos múltiplos de um dado número a, em contraste com os divisores do mesmo número. Divisores - um número finito.
Um múltiplo comum de dois números naturais é um número que é divisível por ambos os números..
Mínimo múltiplo comum(LCM) de dois ou mais números naturais é o menor número natural que é divisível por cada um desses números.
Como encontrar o NOC
O LCM pode ser encontrado e escrito de duas maneiras.
A primeira maneira de encontrar o LCM
Este método é geralmente usado para números pequenos.
- Escrevemos os múltiplos para cada um dos números em uma linha até que haja um múltiplo que seja o mesmo para ambos os números.
- Um múltiplo do número "a" é indicado por uma letra maiúscula "K".
Exemplo. Encontre LCM 6 e 8.
A segunda maneira de encontrar o LCM
Este método é conveniente para encontrar o LCM para três ou mais números.
O número de fatores idênticos nas expansões de números pode ser diferente.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Resposta: LCM (24, 60) = 120
Você também pode formalizar a localização do mínimo múltiplo comum (LCM) da seguinte maneira. Vamos encontrar o LCM (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Como podemos ver pela expansão dos números, todos os fatores de 12 estão incluídos na expansão de 24 (o maior dos números), então adicionamos apenas um 2 da expansão do número 16 ao LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Resposta: LCM (12, 16, 24) = 48
Casos especiais de localização de NOCs
Por exemplo, LCM(60, 15) = 60
Como os números primos coprimos não têm divisores primos comuns, seu mínimo múltiplo comum é igual ao produto desses números.
Em nosso site, você também pode usar uma calculadora especial para encontrar o mínimo múltiplo comum online para verificar seus cálculos.
Se um número natural é divisível apenas por 1 e por ele mesmo, então ele é chamado de primo.
Qualquer número natural é sempre divisível por 1 e por ele mesmo.
O número 2 é o menor número primo. Este é o único número primo par, o resto dos números primos são ímpares.
Existem muitos números primos, e o primeiro deles é o número 2. No entanto, não há último número primo. Na seção "Para estudo", você pode baixar uma tabela de números primos até 997.
Mas muitos números naturais são igualmente divisíveis por outros números naturais.
- o número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
- 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.
- decompor os divisores de números em fatores primos;
Os números pelos quais o número é divisível (para 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados de divisores do número.
O divisor de um número natural a é um número natural que divide o número dado "a" sem deixar resto.
Um número natural que tem mais de dois fatores é chamado de número composto.
Observe que os números 12 e 36 têm divisores comuns. Estes são os números: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12.
O divisor comum de dois números dados "a" e "b" é o número pelo qual ambos os números dados "a" e "b" são divididos sem deixar resto.
Máximo Divisor Comum(GCD) de dois números dados "a" e "b" é o maior número pelo qual ambos os números "a" e "b" são divisíveis sem deixar resto.
Resumidamente, o máximo divisor comum dos números "a" e "b" é escrito da seguinte forma:
Exemplo: mdc (12; 36) = 12 .
Os divisores de números no registro da solução são indicados por uma letra maiúscula "D".
Os números 7 e 9 têm apenas um divisor comum - o número 1. Tais números são chamados números primos.
Números primos são números naturais que têm apenas um divisor comum - o número 1. Seu GCD é 1.
Como encontrar o máximo divisor comum
Para encontrar o mdc de dois ou mais números naturais, você precisa:
Os cálculos são convenientemente escritos usando uma barra vertical. À esquerda da linha, primeiro anote o dividendo, à direita - o divisor. Além disso, na coluna da esquerda, anotamos os valores de private.
Vamos explicar imediatamente com um exemplo. Vamos fatorar os números 28 e 64 em fatores primos.
- Sublinhe os mesmos fatores primos em ambos os números.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Encontramos o produto de fatores primos idênticos e escrevemos a resposta;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Resposta: GCD (28; 64) = 4
Você pode organizar a localização do GCD de duas maneiras: em uma coluna (como foi feito acima) ou “em uma linha”.
A primeira maneira de escrever GCD
Encontre GCD 48 e 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
A segunda maneira de escrever GCD
Agora vamos escrever a solução de pesquisa GCD em uma linha. Encontre GCD 10 e 15.
Em nosso site de informações, você também pode encontrar o máximo divisor comum online usando o programa auxiliar para verificar seus cálculos.
Encontrando o mínimo múltiplo comum, métodos, exemplos de encontrar o LCM.
O material apresentado a seguir é uma continuação lógica da teoria do artigo sob o título LCM - Mínimo Múltiplo Comum, definição, exemplos, relação entre LCM e GCD. Aqui vamos falar sobre encontrar o mínimo múltiplo comum (MCC), e preste atenção especial à resolução de exemplos. Vamos primeiro mostrar como o MMC de dois números é calculado em termos do MDC desses números. Em seguida, considere encontrar o mínimo múltiplo comum fatorando números em fatores primos. Depois disso, vamos nos concentrar em encontrar o MMC de três ou mais números, e também prestar atenção no cálculo do MMC de números negativos.
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Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (LCM) através de mdc
Uma maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é baseada na relação entre LCM e GCD. A relação existente entre LCM e GCD permite calcular o mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos por meio do máximo divisor comum conhecido. A fórmula correspondente tem a forma LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Considere exemplos de encontrar o LCM de acordo com a fórmula acima.
Encontre o mínimo múltiplo comum dos dois números 126 e 70 .
Neste exemplo a=126 , b=70 . Vamos usar o link de LCM com GCD, que é expresso pela fórmula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Ou seja, primeiro temos que encontrar o máximo divisor comum dos números 70 e 126, após o que podemos calcular o MMC desses números de acordo com a fórmula escrita.
Encontre mdc(126, 70) usando o algoritmo de Euclides: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , portanto gcd(126, 70)=14 .
Agora encontramos o mínimo múltiplo comum necessário: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
O que é LCM(68, 34)?
Como 68 é divisível por 34 , então gcd(68, 34)=34 . Agora calculamos o mínimo múltiplo comum: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Observe que o exemplo anterior se encaixa na seguinte regra para encontrar o MMC para inteiros positivos a e b: se o número a for divisível por b , então o mínimo múltiplo comum desses números será a .
Encontrando o LCM fatorando números em fatores primos
Outra maneira de encontrar o mínimo múltiplo comum é com base na fatoração de números em fatores primos. Se fizermos um produto de todos os fatores primos desses números, após o que excluirmos desse produto todos os fatores primos comuns que estão presentes nas expansões desses números, o produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum desses números.
A regra anunciada para encontrar o LCM segue da igualdade LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . De fato, o produto dos números a e b é igual ao produto de todos os fatores envolvidos nas expansões dos números a e b. Por sua vez, mdc(a, b) é igual ao produto de todos os fatores primos que estão simultaneamente presentes nas expansões dos números a e b (que é descrito na seção sobre encontrar o mdc usando a decomposição de números em fatores primos ).
Vamos dar um exemplo. Digamos que 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Componha o produto de todos os fatores dessas expansões: 2 3 3 5 5 5 7 . Agora excluímos deste produto todos os fatores presentes tanto na expansão do número 75 quanto na expansão do número 210 (tais fatores são 3 e 5), então o produto terá a forma 2 3 5 5 7 . O valor deste produto é igual ao mínimo múltiplo comum de 75 e 210 , ou seja, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Depois de fatorar os números 441 e 700 em fatores primos, encontre o mínimo múltiplo comum desses números.
Vamos decompor os números 441 e 700 em fatores primos: 
Obtemos 441=3 3 7 7 e 700=2 2 5 5 7 .
Agora vamos fazer um produto de todos os fatores envolvidos nas expansões desses números: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vamos excluir deste produto todos os fatores que estão presentes simultaneamente em ambas as expansões (existe apenas um fator - este é o número 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Então LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
A regra para encontrar o MMC usando a decomposição de números em fatores primos pode ser formulada de forma um pouco diferente. Se somarmos os fatores ausentes da expansão do número b aos fatores da expansão do número a, então o valor do produto resultante será igual ao mínimo múltiplo comum dos números a e b.
Por exemplo, vamos pegar todos os mesmos números 75 e 210, suas expansões em fatores primos são as seguintes: 75=3 5 5 e 210=2 3 5 7 . Aos fatores 3, 5 e 5 da expansão do número 75, somamos os fatores ausentes 2 e 7 da expansão do número 210, obtemos o produto 2 3 5 5 7 , cujo valor é LCM(75 , 210).
Encontre o mínimo múltiplo comum de 84 e 648.
Primeiro obtemos a decomposição dos números 84 e 648 em fatores primos. Eles se parecem com 84=2 2 3 7 e 648=2 2 2 3 3 3 3 . Aos fatores 2 , 2 , 3 e 7 da decomposição do número 84 somamos os fatores que faltam 2 , 3 , 3 e 3 da decomposição do número 648 , obtemos o produto 2 2 2 3 3 3 3 7 , que é igual a 4 536 . Assim, o mínimo múltiplo comum desejado dos números 84 e 648 é 4.536.
Encontrando o LCM de três ou mais números
O mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser encontrado encontrando-se sucessivamente o MMC de dois números. Lembre-se do teorema correspondente, que fornece uma maneira de encontrar o MMC de três ou mais números.
Sejam dados inteiros positivos a 1 , a 2 , …, a k, o mínimo múltiplo comum m k desses números é encontrado no cálculo sequencial m 2 = LCM (a 1 , a 2), m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Considere a aplicação deste teorema no exemplo de encontrar o mínimo múltiplo comum de quatro números.
Encontre o MMC dos quatro números 140 , 9 , 54 e 250 .
Primeiro encontramos m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Para fazer isso, usando o algoritmo euclidiano, determinamos gcd(140, 9) , temos 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , portanto, gcd( 140, 9)=1, de onde LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ou seja, m 2 = 1 260 .
Agora encontramos m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Vamos calculá-lo através de gcd(1 260, 54) , que também é determinado pelo algoritmo de Euclides: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Então gcd(1 260, 54)=18 , de onde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Ou seja, m 3 \u003d 3 780.
Resta encontrar m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Para fazer isso, encontramos GCD(3 780, 250) usando o algoritmo de Euclides: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Portanto, gcd(3 780, 250)=10 , portanto LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Ou seja, m 4 \u003d 94 500.
Portanto, o mínimo múltiplo comum dos quatro números originais é 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
Em muitos casos, o mínimo múltiplo comum de três ou mais números é convenientemente encontrado usando fatorações primos de números dados. Neste caso, a seguinte regra deve ser seguida. O mínimo múltiplo comum de vários números é igual ao produto, que é composto da seguinte forma: os fatores faltantes da expansão do segundo número são somados a todos os fatores da expansão do primeiro número, os fatores faltantes da expansão do o terceiro número é adicionado aos fatores obtidos, e assim por diante.
Considere um exemplo de encontrar o mínimo múltiplo comum usando a decomposição de números em fatores primos.
Encontre o mínimo múltiplo comum de cinco números 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Primeiro, obtemos decomposições desses números em fatores primos: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 é um número primo, coincide com sua decomposição em fatores primos) e 143=11 13 .
Para encontrar o MMC desses números, aos fatores do primeiro número 84 (são 2 , 2 , 3 e 7) você precisa adicionar os fatores ausentes da expansão do segundo número 6 . A expansão do número 6 não contém fatores ausentes, pois tanto o 2 quanto o 3 já estão presentes na expansão do primeiro número 84 . Além dos fatores 2, 2, 3 e 7, adicionamos os fatores ausentes 2 e 2 da expansão do terceiro número 48, obtemos um conjunto de fatores 2, 2, 2, 2, 3 e 7. Não há necessidade de adicionar fatores a este conjunto na próxima etapa, pois 7 já está contido nele. Finalmente, aos fatores 2 , 2 , 2 , 2 , 3 e 7 adicionamos os fatores ausentes 11 e 13 da expansão do número 143 . Obtemos o produto 2 2 2 2 3 7 11 13 , que é igual a 48 048 .
Portanto, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum de Números Negativos
Às vezes, há tarefas nas quais você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum de números, entre os quais um, vários ou todos os números são negativos. Nesses casos, todos os números negativos devem ser substituídos por seus números opostos, após o que o MMC dos números positivos deve ser encontrado. Esta é a maneira de encontrar o MMC de números negativos. Por exemplo, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) e LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Podemos fazer isso porque o conjunto dos múltiplos de a é o mesmo que o conjunto dos múltiplos de −a (a e −a são números opostos). De fato, seja b algum múltiplo de a , então b é divisível por a , e o conceito de divisibilidade afirma a existência de tal inteiro q que b = a q . Mas a igualdade b=(−a)·(−q) também será verdadeira, o que, em virtude do mesmo conceito de divisibilidade, significa que b é divisível por −a , ou seja, b é um múltiplo de −a . A afirmação inversa também é verdadeira: se b é algum múltiplo de −a , então b também é um múltiplo de a .
Encontre o mínimo múltiplo comum dos números negativos -145 e -45.
Vamos substituir os números negativos −145 e −45 pelos seus números opostos 145 e 45 . Temos LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Tendo determinado gcd(145, 45)=5 (por exemplo, usando o algoritmo de Euclides), calculamos LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Assim, o mínimo múltiplo comum dos inteiros negativos −145 e −45 é 1.305 .
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Continuamos a estudar a divisão. Nesta lição, veremos conceitos como GCD e CON.
GCDé o máximo divisor comum.
CONé o mínimo múltiplo comum.
O tema é bastante chato, mas é necessário entendê-lo. Sem entender este tópico, você não poderá trabalhar efetivamente com frações, que são um verdadeiro obstáculo na matemática.
Máximo Divisor Comum
Definição. Máximo Divisor Comum de Números uma e b uma e b dividido sem resto.
Para entender bem essa definição, substituímos em vez de variáveis uma e b quaisquer dois números, por exemplo, em vez de uma variável uma substitua o número 12, e em vez da variável b número 9. Agora vamos tentar ler esta definição:
Máximo Divisor Comum de Números 12 e 9 é o maior número pelo qual 12 e 9 dividido sem resto.
Fica claro pela definição que estamos falando de um divisor comum dos números 12 e 9, e esse divisor é o maior de todos os divisores existentes. Este máximo divisor comum (mdc) deve ser encontrado.
Para encontrar o máximo divisor comum de dois números, três métodos são usados. O primeiro método é bastante demorado, mas permite que você entenda bem a essência do tópico e sinta todo o seu significado.
O segundo e terceiro métodos são bastante simples e permitem encontrar rapidamente o GCD. Vamos considerar todos os três métodos. E o que aplicar na prática - você escolhe.
A primeira maneira é encontrar todos os divisores possíveis de dois números e escolher o maior deles. Vamos considerar esse método no exemplo a seguir: encontre o máximo divisor comum dos números 12 e 9.
Primeiro, encontramos todos os divisores possíveis do número 12. Para fazer isso, dividimos 12 em todos os divisores no intervalo de 1 a 12. Se o divisor nos permitir dividir 12 sem resto, o destacaremos em azul e faça uma explicação apropriada entre parênteses.
12: 1 = 12
(12 dividido por 1 sem resto, então 1 é um divisor de 12)
12: 2 = 6
(12 dividido por 2 sem deixar resto, então 2 é um divisor de 12)
12: 3 = 4
(12 dividido por 3 sem deixar resto, então 3 é um divisor de 12)
12: 4 = 3
(12 dividido por 4 sem deixar resto, então 4 é um divisor de 12)
12:5 = 2 (2 à esquerda)
(12 não é dividido por 5 sem deixar resto, então 5 não é um divisor de 12)
12: 6 = 2
(12 dividido por 6 sem deixar resto, então 6 é um divisor de 12)
12: 7 = 1 (5 à esquerda)
(12 não é dividido por 7 sem deixar resto, então 7 não é um divisor de 12)
12: 8 = 1 (4 à esquerda)
(12 não é dividido por 8 sem deixar resto, então 8 não é um divisor de 12)
12:9 = 1 (3 à esquerda)
(12 não é dividido por 9 sem deixar resto, então 9 não é um divisor de 12)
12: 10 = 1 (2 à esquerda)
(12 não é dividido por 10 sem deixar resto, então 10 não é um divisor de 12)
12:11 = 1 (1 à esquerda)
(12 não é dividido por 11 sem deixar resto, então 11 não é um divisor de 12)
12: 12 = 1
(12 dividido por 12 sem resto, então 12 é um divisor de 12)
Agora vamos encontrar os divisores do número 9. Para fazer isso, verifique todos os divisores de 1 a 9
9: 1 = 9
(9 dividido por 1 sem resto, então 1 é um divisor de 9)
9: 2 = 4 (1 à esquerda)
(9 não é dividido por 2 sem deixar resto, então 2 não é um divisor de 9)
9: 3 = 3
(9 dividido por 3 sem resto, então 3 é um divisor de 9)
9: 4 = 2 (1 à esquerda)
(9 não é dividido por 4 sem deixar resto, então 4 não é um divisor de 9)
9:5 = 1 (4 à esquerda)
(9 não é dividido por 5 sem deixar resto, então 5 não é um divisor de 9)
9: 6 = 1 (3 à esquerda)
(9 não dividiu por 6 sem deixar resto, então 6 não é um divisor de 9)
9:7 = 1 (2 à esquerda)
(9 não é dividido por 7 sem deixar resto, então 7 não é um divisor de 9)
9:8 = 1 (1 à esquerda)
(9 não é dividido por 8 sem deixar resto, então 8 não é um divisor de 9)
9: 9 = 1
(9 dividido por 9 sem deixar resto, então 9 é um divisor de 9)
Agora anote os divisores de ambos os números. Os números destacados em azul são os divisores. Vamos escrevê-los:
Depois de escrever os divisores, você pode determinar imediatamente qual deles é o maior e o mais comum.
Por definição, o máximo divisor comum de 12 e 9 é o número pelo qual 12 e 9 são divisíveis. O maior divisor comum dos números 12 e 9 é o número 3
Tanto o número 12 quanto o número 9 são divisíveis por 3 sem deixar resto:
Então mdc (12 e 9) = 3
A segunda maneira de encontrar o GCD
Agora considere a segunda maneira de encontrar o máximo divisor comum. A essência deste método é decompor ambos os números em fatores primos e multiplicar os comuns.
Exemplo 1. Encontre o GCD dos números 24 e 18
Primeiro, vamos fatorar os dois números em fatores primos:
Agora multiplicamos seus fatores comuns. Para não ficar confuso, os fatores comuns podem ser sublinhados.
Observamos a decomposição do número 24. Seu primeiro fator é 2. Estamos procurando o mesmo fator na decomposição do número 18 e vemos que ele também está lá. Sublinhamos os dois:
Novamente olhamos para a decomposição do número 24. Seu segundo fator também é 2. Estamos procurando o mesmo fator na decomposição do número 18 e vemos que ele não está lá pela segunda vez. Então não destacamos nada.
Os próximos dois na expansão do número 24 também estão faltando na expansão do número 18.
Passamos para o último fator na decomposição do número 24. Este é o fator 3. Estamos procurando o mesmo fator na decomposição do número 18 e vemos que ele também está lá. Enfatizamos os três:
Assim, os fatores comuns dos números 24 e 18 são os fatores 2 e 3. Para obter o MDC, esses fatores devem ser multiplicados:
Então mdc (24 e 18) = 6
A terceira maneira de encontrar o GCD
Agora considere a terceira maneira de encontrar o máximo divisor comum. A essência desse método está no fato de que os números a serem procurados pelo máximo divisor comum são decompostos em fatores primos. Então, da decomposição do primeiro número, os fatores que não estão incluídos na decomposição do segundo número são excluídos. Os números restantes na primeira expansão são multiplicados e obtêm GCD.
Por exemplo, vamos encontrar o GCD para os números 28 e 16 desta forma. Primeiro de tudo, decompomos esses números em fatores primos:
Temos duas expansões: e
Agora, da expansão do primeiro número, excluímos os fatores que não estão incluídos na expansão do segundo número. A expansão do segundo número não inclui sete. Vamos excluí-lo da primeira expansão:
Agora multiplicamos os fatores restantes e obtemos o GCD:
O número 4 é o máximo divisor comum dos números 28 e 16. Ambos os números são divisíveis por 4 sem deixar resto:
Exemplo 2 Encontre o GCD dos números 100 e 40
Fatorando o número 100
Fatorando o número 40
Temos duas expansões:
Agora, da expansão do primeiro número, excluímos os fatores que não estão incluídos na expansão do segundo número. A expansão do segundo número não inclui um cinco (há apenas um cinco). Nós o excluímos da primeira decomposição
Multiplique os números restantes:
Temos a resposta 20. Então o número 20 é o máximo divisor comum dos números 100 e 40. Esses dois números são divisíveis por 20 sem deixar resto:
GCD (100 e 40) = 20.
Exemplo 3 Encontre o mdc dos números 72 e 128
Fatorando o número 72
Fatorando o número 128
2×2×2×2×2×2×2
Agora, da expansão do primeiro número, excluímos os fatores que não estão incluídos na expansão do segundo número. A expansão do segundo número não inclui dois trigêmeos (não há nenhum). Nós os excluímos da primeira decomposição:
Temos a resposta 8. Então o número 8 é o máximo divisor comum dos números 72 e 128. Esses dois números são divisíveis por 8 sem deixar resto:
GCD (72 e 128) = 8
Encontrando GCD para vários números
O máximo divisor comum pode ser encontrado para vários números, e não apenas para dois. Para isso, os números a serem procurados pelo máximo divisor comum são decompostos em fatores primos, então o produto dos fatores primos comuns desses números é encontrado.
Por exemplo, vamos encontrar o GCD para os números 18, 24 e 36
Fatorando o número 18
Fatorando o número 24
Fatorando o número 36
Temos três expansões:
Agora selecionamos e sublinhamos os fatores comuns nesses números. Fatores comuns devem ser incluídos em todos os três números:
Vemos que os fatores comuns para os números 18, 24 e 36 são os fatores 2 e 3. Multiplicando esses fatores, obtemos o MDC que estamos procurando:
Temos a resposta 6. Então o número 6 é o máximo divisor comum dos números 18, 24 e 36. Esses três números são divisíveis por 6 sem deixar resto:
GCD (18, 24 e 36) = 6
Exemplo 2 Encontre mdc para os números 12, 24, 36 e 42
Vamos fatorar cada número. Então encontramos o produto dos fatores comuns desses números.
Fatorando o número 12
Fatorando o número 42
Temos quatro expansões:
Agora selecionamos e sublinhamos os fatores comuns nesses números. Fatores comuns devem ser incluídos em todos os quatro números:
Vemos que os fatores comuns para os números 12, 24, 36 e 42 são os fatores 2 e 3. Multiplicando esses fatores, obtemos o MDC que estamos procurando:
Temos a resposta 6. Então o número 6 é o máximo divisor comum dos números 12, 24, 36 e 42. Esses números são divisíveis por 6 sem deixar resto:
mdc(12, 24, 36 e 42) = 6
Da lição anterior, sabemos que se um número é dividido por outro sem deixar resto, ele é chamado de múltiplo desse número.
Acontece que um múltiplo pode ser comum a vários números. E agora estaremos interessados em um múltiplo de dois números, embora deva ser o menor possível.
Definição. Mínimo múltiplo comum (LCM) de números uma e b- uma e b uma e número b.
A definição contém duas variáveis uma e b. Vamos substituir quaisquer dois números por essas variáveis. Por exemplo, em vez de uma variável uma substitua o número 9, e em vez da variável b vamos substituir o número 12. Agora vamos tentar ler a definição:
Mínimo múltiplo comum (LCM) de números 9 e 12 - é o menor número múltiplo de 9 e 12 . Em outras palavras, é um número tão pequeno que é divisível sem resto pelo número 9 e no número 12 .
É claro a partir da definição que o MMC é o menor número que é divisível sem resto por 9 e 12. Este MMC deve ser encontrado.
Existem duas maneiras de encontrar o mínimo múltiplo comum (MCC). A primeira maneira é que você pode escrever os primeiros múltiplos de dois números e, em seguida, escolher entre esses múltiplos um número que seja comum a ambos os números e pequeno. Vamos aplicar este método.
Em primeiro lugar, vamos encontrar os primeiros múltiplos para o número 9. Para encontrar múltiplos para 9, você precisa multiplicar este nove pelos números de 1 a 9. As respostas que você obtém serão múltiplos do número 9. Então, vamos começar. Múltiplos serão destacados em vermelho:
Agora encontramos múltiplos para o número 12. Para fazer isso, multiplicamos 12 por todos os números de 1 a 12 por sua vez.
Considere duas maneiras de encontrar o máximo divisor comum.
Encontrando por fatoração
A primeira maneira é encontrar o máximo divisor comum fatorando números dados em fatores primos.
Para encontrar o MDC de vários números, basta decompô-los em fatores primos e multiplicar entre si aqueles que são comuns a todos os números dados.
Exemplo 1 Vamos encontrar GCD (84, 90).
Decompomos os números 84 e 90 em fatores primos:
Assim, sublinhamos todos os fatores primos comuns, resta multiplicá-los entre si: 1 2 3 = 6.
Então mdc(84, 90) = 6.
Exemplo 2 Vamos encontrar GCD (15, 28).
Decompomos 15 e 28 em fatores primos:
Os números 15 e 28 são primos porque seu máximo divisor comum é um.
mdc (15, 28) = 1.
Algoritmo de Euclides
O segundo método (também chamado de método de Euclides) é encontrar o MDC por divisão sucessiva.
Primeiro, veremos esse método aplicado a apenas dois números fornecidos e, em seguida, descobriremos como aplicá-lo a três ou mais números.
Se o maior de dois números dados for divisível pelo menor, então o número que for menor será seu máximo divisor comum.
Exemplo 1 Pegue dois números 27 e 9. Como 27 é divisível por 9 e 9 é divisível por 9, então 9 é um divisor comum dos números 27 e 9. Esse divisor também é o maior, porque 9 não pode ser divisível por nenhum número, maior que 9. Portanto, mdc (27, 9) = 9.
Em outros casos, para encontrar o máximo divisor comum de dois números, o seguinte procedimento é usado:
- Dos dois números dados, o maior é dividido pelo menor.
- Então, o número menor é dividido pelo resto resultante da divisão do número maior pelo menor.
- Além disso, o primeiro resto é dividido pelo segundo resto, que é obtido pela divisão do número menor pelo primeiro resto.
- O segundo resto é dividido pelo terceiro, que é obtido pela divisão do primeiro resto pelo segundo, e assim por diante.
- Assim, a divisão continua até que o resto seja zero. O último divisor será o máximo divisor comum.
Exemplo 2 Vamos encontrar o máximo divisor comum dos números 140 e 96:
1) 140: 96 = 1 (restante 44)
2) 96: 44 = 2 (restante 8)
3) 44: 8 = 5 (resto 4)
O último divisor é 4, o que significa mdc(140, 96) = 4.
A divisão sequencial também pode ser escrita em uma coluna:
Para encontrar o máximo divisor comum de três ou mais números dados, use o seguinte procedimento:
- Primeiro, encontre o máximo divisor comum de quaisquer dois números de vários conjuntos de dados.
- Então encontramos o MDC do divisor encontrado e algum terceiro número dado.
- Então encontramos o MDC do último divisor encontrado e o quarto número dado, e assim por diante.
Exemplo 3 Vamos encontrar o máximo divisor comum dos números 140, 96 e 48. Já encontramos o MDC dos números 140 e 96 no exemplo anterior (este é o número 4). Resta encontrar o máximo divisor comum do número 4 e o terceiro número dado - 48:
48 é divisível por 4 sem deixar resto. Então mdc(140, 96, 48) = 4.
Lembrar!
Se um número natural é divisível apenas por 1 e por ele mesmo, então ele é chamado de primo.
Qualquer número natural é sempre divisível por 1 e por ele mesmo.
O número 2 é o menor número primo. Este é o único número primo par, o resto dos números primos são ímpares.
Existem muitos números primos, e o primeiro deles é o número 2. No entanto, não há último número primo. Na seção "Para estudo", você pode baixar uma tabela de números primos até 997.
Mas muitos números naturais são igualmente divisíveis por outros números naturais.
Por exemplo:
- o número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
- 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.
Os números pelos quais o número é divisível (para 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados de divisores do número.
Lembrar!
O divisor de um número natural a é um número natural que divide o número dado "a" sem deixar resto.
Um número natural que tem mais de dois fatores é chamado de número composto.
Observe que os números 12 e 36 têm divisores comuns. Estes são os números: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12.
O divisor comum de dois números dados "a" e "b" é o número pelo qual ambos os números dados "a" e "b" são divididos sem deixar resto.
Lembrar!
Máximo Divisor Comum(GCD) de dois números dados "a" e "b" - este é o maior número pelo qual ambos os números "a" e "b" são divididos sem deixar resto.
Resumidamente, o máximo divisor comum dos números "a" e "b" é escrito da seguinte forma:
mdc (a; b).
Exemplo: mdc (12; 36) = 12 .
Os divisores de números no registro da solução são indicados por uma letra maiúscula "D".
D(7) = (1, 7)
D(9) = (1, 9)
mdc (7; 9) = 1
Os números 7 e 9 têm apenas um divisor comum - o número 1. Tais números são chamados números primos.
Lembrar!
Números primos são números naturais que têm apenas um divisor comum - o número 1. Seu GCD é 1.
Como encontrar o máximo divisor comum
Para encontrar o mdc de dois ou mais números naturais, você precisa:
- decompor os divisores de números em fatores primos;
Os cálculos são convenientemente escritos usando uma barra vertical. À esquerda da linha, primeiro anote o dividendo, à direita - o divisor. Além disso, na coluna da esquerda, anotamos os valores de private.
Vamos explicar imediatamente com um exemplo. Vamos fatorar os números 28 e 64 em fatores primos.
- Sublinhe os mesmos fatores primos em ambos os números.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- Encontramos o produto de fatores primos idênticos e escrevemos a resposta;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4Resposta: GCD (28; 64) = 4
Você pode organizar a localização do GCD de duas maneiras: em uma coluna (como foi feito acima) ou “em uma linha”.
Agora e no que se segue, vamos supor que pelo menos um desses números é diferente de zero. Se todos os números dados são iguais a zero, então seu divisor comum é qualquer número inteiro e, como existem infinitos números inteiros, não podemos falar sobre o maior deles. Portanto, não se pode falar do máximo divisor comum dos números, cada um dos quais é igual a zero.
Agora podemos dar encontrar o máximo divisor comum dois números.
Definição.
Máximo Divisor Comum de dois inteiros é o maior inteiro que divide os dois inteiros dados.
A abreviatura GCD é frequentemente usada para encurtar o máximo divisor comum - o maior divisor comum. Além disso, o máximo divisor comum de dois números a e b é muitas vezes denotado como mdc(a, b) .
Vamos trazer Exemplo de maior divisor comum (mcd) dois inteiros. O máximo divisor comum de 6 e -15 é 3 . Vamos fundamentar isso. Vamos anotar todos os divisores do número seis: ±6, ±3, ±1, e os divisores do número −15 são os números ±15, ±5, ±3 e ±1. Agora você pode encontrar todos os divisores comuns dos números 6 e −15, estes são os números −3, −1, 1 e 3. Desde -3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
A definição do máximo divisor comum de três ou mais inteiros é semelhante à definição de mdc de dois números.
Definição.
Máximo Divisor Comum três ou mais inteiros é o maior inteiro que divide simultaneamente todos os números dados.
O máximo divisor comum de n inteiros a 1 , a 2 , …, a n denotaremos como mdc(a 1 , a 2 , …, a n) . Se o valor b do máximo divisor comum desses números for encontrado, podemos escrever GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Como exemplo, dado o mdc de quatro inteiros −8 , 52 , 16 e −12 , é igual a 4 , ou seja, mdc(−8, 52, 16, −12)=4 . Isso pode ser verificado escrevendo todos os divisores dos números fornecidos, selecionando os divisores comuns deles e determinando o máximo divisor comum.
Observe que o máximo divisor comum de inteiros pode ser igual a um desses números. Esta afirmação é verdadeira se todos os números dados são divisíveis por um deles (a prova é dada no próximo parágrafo deste artigo). Por exemplo, mdc(15, 60, −45)=15 . Isso é verdade porque 15 divide 15 , 60 e −45 , e não há divisor comum de 15 , 60 e −45 que seja maior que 15 .
De particular interesse são os chamados números relativamente primos, - tais números inteiros, cujo máximo divisor comum é igual a um.
Propriedades do Máximo Divisor Comum, Algoritmo de Euclides
O máximo divisor comum tem uma série de resultados característicos, ou seja, uma série de propriedades. Vamos agora listar os principais propriedades do máximo divisor comum (mdc), vamos formulá-los na forma de teoremas e imediatamente daremos provas.
Formularemos todas as propriedades do máximo divisor comum para inteiros positivos, enquanto consideraremos apenas divisores positivos desses números.
O máximo divisor comum de a e b é igual ao máximo divisor comum de b e a , ou seja, gcd(a, b)=gcd(a, b) .
Esta propriedade GCD segue diretamente da definição do máximo divisor comum.
Se a é divisível por b , então o conjunto dos divisores comuns de a e b é o mesmo que o conjunto dos divisores de b , em particular gcd(a, b)=b .
Prova.
Qualquer divisor comum dos números a e b é um divisor de cada um desses números, incluindo o número b. Por outro lado, como a é um múltiplo de b, então qualquer divisor do número b também é um divisor do número a devido ao fato de que a divisibilidade tem a propriedade da transitividade, portanto, qualquer divisor do número b é um divisor comum dos números a e b. Isso prova que se a é divisível por b, então o conjunto dos divisores dos números a e b coincide com o conjunto dos divisores de um número b. E como o maior divisor do número b é o próprio número b, então o máximo divisor comum dos números a e b também é igual a b , ou seja, gcd(a, b)=b .
Em particular, se os números a e b são iguais, então mdc(a, b)=mdc(a, a)=mdc(b, b)=a=b. Por exemplo, mdc(132, 132)=132 .
A propriedade comprovada do maior divisor nos permite encontrar o mdc de dois números quando um deles é divisível pelo outro. Nesse caso, o GCD é igual a um desses números, pelo qual outro número é divisível. Por exemplo, mdc(8, 24)=8 já que 24 é um múltiplo de oito.
Se a=b q+c , onde a , b , c e q são inteiros, então o conjunto dos divisores comuns dos números a e b coincide com o conjunto dos divisores comuns dos números b e c , em particular, gcd( a, b) = gcd (b, c).
Vamos justificar esta propriedade do GCD.
Como a igualdade a=b·q+c é válida, então qualquer divisor comum dos números aeb também divide c (isso decorre das propriedades da divisibilidade). Pela mesma razão, todo divisor comum de b e c divide a . Portanto, o conjunto dos divisores comuns dos números a e b é o mesmo que o conjunto dos divisores comuns dos números b e c. Em particular, o maior desses divisores comuns também deve corresponder, ou seja, a igualdade a seguir deve ser válida gcd(a, b)=gcd(b, c) .
Agora formulamos e provamos um teorema, que é Algoritmo de Euclides. O algoritmo de Euclides permite que você encontre o GCD de dois números (consulte encontrar o GCD usando o algoritmo de Euclides). Além disso, o algoritmo de Euclides nos permitirá provar as seguintes propriedades do máximo divisor comum.
Antes de dar a declaração do teorema, recomendamos atualizar a memória do teorema da seção de teoria, que afirma que o dividendo a pode ser representado como b q + r, onde b é um divisor, q é algum inteiro chamado quociente parcial, e r é um inteiro que satisfaz a condição, chamado de resto.
Então, sejam dois inteiros positivos diferentes de zero a e b, uma série de igualdades é verdadeira 
terminando quando r k+1 =0 (o que é inevitável, já que b>r 1 >r 2 >r 3 , … é uma série de números inteiros decrescentes, e esta série não pode conter mais do que um número finito de números positivos), então r k – é o máximo divisor comum de a e b , ou seja, r k =gcd(a, b) .
Prova.
Vamos primeiro provar que r k é um divisor comum dos números a e b , após o que mostraremos que r k não é apenas um divisor, mas o máximo divisor comum dos números a e b .
Vamos nos mover ao longo das igualdades escritas de baixo para cima. Da última igualdade, podemos dizer que r k−1 é divisível por r k . Dado este fato, assim como a propriedade anterior do GCD, a penúltima igualdade r k−2 =r k−1 q k +r k nos permite afirmar que r k−2 é divisível por r k , pois r k−1 é divisível por r k e r k é divisível por r.k. Por analogia, da terceira igualdade de baixo concluímos que r k−3 é divisível por r k . E assim por diante. Da segunda igualdade obtemos que b é divisível por r k , e da primeira igualdade obtemos que a é divisível por r k . Portanto, r k é um divisor comum de a e b.
Resta provar que r k =gcd(a, b) . Pois, basta mostrar que qualquer divisor comum dos números a e b (nós o denotamos por r 0 ) divide r k .
Vamos mover ao longo das igualdades iniciais de cima para baixo. Em virtude da propriedade anterior, segue-se da primeira igualdade que r 1 é divisível por r 0 . Então, da segunda igualdade, obtemos que r 2 é divisível por r 0 . E assim por diante. Da última igualdade obtemos que r k é divisível por r 0 . Assim, r k = gcd(a, b) .
Segue-se da propriedade considerada do máximo divisor comum que o conjunto dos divisores comuns dos números aeb coincide com o conjunto dos divisores do máximo divisor comum desses números. Este corolário do algoritmo de Euclides nos permite encontrar todos os divisores comuns de dois números como divisores da mdc desses números.
Sejam a e b inteiros diferentes de zero ao mesmo tempo, então existem tais inteiros u 0 e v 0 , então a igualdade gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 é verdadeira. A última igualdade é uma representação linear do máximo divisor comum dos números a e b, essa igualdade é chamada de razão de Bezout, e os números u 0 e v 0 são os coeficientes de Bezout.
Prova.
De acordo com o algoritmo de Euclides, podemos escrever as seguintes igualdades
Da primeira igualdade temos r 1 =a−b q 1 , e, denotando 1=s 1 e −q 1 =t 1 , esta igualdade toma a forma r 1 =s 1 a+t 1 b , e os números s 1 e t1 são inteiros. Então da segunda igualdade obtemos r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Denotando −s 1 q 2 =s 2 e 1−t 1 q 2 =t 2 , a última igualdade pode ser escrita como r 2 =s 2 a+t 2 b , e s 2 e t 2 são inteiros (porque a soma , diferença e produto de inteiros é um inteiro). Da mesma forma, da terceira igualdade obtemos r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, da quarta r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b, e assim por diante. Finalmente, r k =s k ·a+t k ·b , onde s k e t k são inteiros. Como r k = gcd(a, b) , e denotando s k =u 0 et k =v 0 , obtemos uma representação linear do gcd da forma requerida: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .
Se m é qualquer número natural, então mdc(m a, m b)=m mdc(a, b).
A justificativa para essa propriedade do máximo divisor comum é a seguinte. Se multiplicarmos por m ambos os lados de cada uma das igualdades do algoritmo de Euclides, obtemos que gcd(m a, m b)=m r k , e r k é gcd(a, b) . Consequentemente, mdc(m a, m b)=m mdc(a, b).
Esta propriedade do máximo divisor comum é a base para o método de encontrar GCD usando fatoração primária.
Seja p qualquer divisor comum dos números a e b, então mdc(a:p, b:p)=mdc(a, b):p, em particular, se p=gcd(a, b) temos mdc(a:mdc(a, b), b:mdc(a, b))=1, ou seja, os números a:gcd(a, b) e b:gcd(a, b) são primos.
Como a=p (a:p) e b=p (b:p) , e devido à propriedade anterior, podemos escrever uma cadeia de igualdades da forma mdc(a, b)=mdc(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , de onde segue a igualdade a ser provada.
A propriedade do máximo divisor comum acaba de ser provada.
Agora vamos expressar a propriedade GCD, que reduz o problema de encontrar o máximo divisor comum de três ou mais números para encontrar sucessivamente o MDC de dois números.
O máximo divisor comum dos números a 1 , a 2 , ..., a k é igual ao número d k , que é encontrado no cálculo sequencial de GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .
A prova é baseada em um corolário do algoritmo de Euclides. Os divisores comuns dos números a 1 e a 2 são os mesmos que os divisores de d 2 . Então os divisores comuns dos números a 1 , a 2 e a 3 coincidem com os divisores comuns dos números d 2 e a 3 , portanto, coincidem com os divisores de d 3 . Os divisores comuns dos números a 1 , a 2 , a 3 e a 4 são os mesmos que os divisores comuns de d 3 e a 4 , portanto iguais aos divisores de d 4 . E assim por diante. Finalmente, os divisores comuns dos números a 1 , a 2 , …, a k coincidem com os divisores de d k . E como o maior divisor do número d k é o próprio número d k, então GCD(a 1 , a 2 , …, a k) = d k.
Isso conclui a revisão das principais propriedades do máximo divisor comum.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino.
- Vinogradov I. M. Fundamentos da teoria dos números.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teoria dos Números.
- Kulikov L.Ya. e outros Coleção de problemas em álgebra e teoria dos números: livro didático para estudantes de fiz.-mat. especialidades dos institutos pedagógicos.
