Uma das ciências mais importantes, cuja aplicação pode ser vista em disciplinas como química, física e até biologia, é a matemática. O estudo desta ciência permite desenvolver algumas qualidades mentais, melhorar a capacidade de concentração. Um dos tópicos que merecem atenção especial na disciplina "Matemática" é a adição e subtração de frações. Muitos alunos têm dificuldade para estudar. Talvez nosso artigo ajude a entender melhor esse tópico.

Como subtrair frações cujos denominadores são iguais

Frações são os mesmos números com os quais você pode realizar várias ações. Sua diferença dos inteiros está na presença de um denominador. É por isso que ao realizar ações com frações, você precisa estudar alguns de seus recursos e regras. O caso mais simples é a subtração de frações ordinárias, cujos denominadores são representados como o mesmo número. Não será difícil realizar esta ação se você conhecer uma regra simples:

• Para subtrair o segundo de uma fração, é necessário subtrair o numerador da fração a ser subtraída do numerador da fração reduzida. Escrevemos esse número no numerador da diferença e deixamos o denominador o mesmo: k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemplos de subtração de frações cujos denominadores são iguais

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Do numerador da fração reduzida "7" subtraímos o numerador da fração subtraída "3", obtemos "4". Escrevemos esse número no numerador da resposta e colocamos no denominador o mesmo número que estava nos denominadores da primeira e segunda frações - "19".

A imagem abaixo mostra mais alguns exemplos desse tipo.

Considere um exemplo mais complexo onde frações com os mesmos denominadores são subtraídas:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Do numerador da fração reduzida "29", subtraindo, por sua vez, os numeradores de todas as frações subsequentes - "3", "8", "2", "7". Como resultado, obtemos o resultado "9", que escrevemos no numerador da resposta, e no denominador escrevemos o número que está nos denominadores de todas essas frações - "47".

Adição de frações com o mesmo denominador

A adição e a subtração de frações ordinárias são realizadas de acordo com o mesmo princípio.

• Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar os numeradores. O número resultante é o numerador da soma, e o denominador permanece o mesmo: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vamos ver como fica em um exemplo:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Ao numerador do primeiro termo da fração - "1" - adicionamos o numerador do segundo termo da fração - "2". O resultado - "3" - é escrito no numerador da quantidade, e o denominador é deixado o mesmo que estava presente nas frações - "4".

Frações com denominadores diferentes e sua subtração

Já consideramos a ação com frações que têm o mesmo denominador. Como você pode ver, conhecer regras simples, resolver esses exemplos é bastante fácil. Mas e se você precisar realizar uma ação com frações com denominadores diferentes? Muitos estudantes do ensino médio ficam confusos com esses exemplos. Mas mesmo aqui, se você conhece o princípio da solução, os exemplos não serão mais difíceis para você. Há também uma regra aqui, sem a qual a solução de tais frações é simplesmente impossível.

Para subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador menor.



Falaremos com mais detalhes sobre como fazer isso.

Propriedade de fração

Para reduzir várias frações ao mesmo denominador, você precisa usar a propriedade principal da fração na solução: depois de dividir ou multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número, você obtém uma fração igual à dada.

Assim, por exemplo, a fração 2/3 pode ter denominadores como "6", "9", "12", etc., ou seja, pode se parecer com qualquer número que seja múltiplo de "3". Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador por "2", obtemos uma fração de 4/6. Depois de multiplicarmos o numerador e o denominador da fração original por "3", obtemos 6/9 e, se realizarmos uma ação semelhante com o número "4", obtemos 8/12. Em uma equação, isso pode ser escrito como:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Como trazer várias frações para o mesmo denominador

Considere como reduzir várias frações ao mesmo denominador. Por exemplo, pegue as frações mostradas na figura abaixo. Primeiro você precisa determinar qual número pode se tornar o denominador de todos eles. Para facilitar, vamos decompor os denominadores disponíveis em fatores.

O denominador da fração 1/2 e a fração 2/3 não podem ser fatorados. O denominador de 7/9 tem dois fatores 7/9 = 7/(3 x 3), o denominador da fração 5/6 = 5/(2 x 3). Agora você precisa determinar quais fatores serão os menores para todas essas quatro frações. Como a primeira fração tem o número “2” no denominador, significa que ela deve estar presente em todos os denominadores, na fração 7/9 existem duas triplas, o que significa que elas também devem estar presentes no denominador. Diante do exposto, determinamos que o denominador consiste em três fatores: 3, 2, 3 e é igual a 3 x 2 x 3 = 18.



Considere a primeira fração - 1/2. Seu denominador contém "2", mas não há um único "3", mas deve haver dois. Para fazer isso, multiplicamos o denominador por dois triplos, mas, de acordo com a propriedade da fração, devemos multiplicar o numerador por dois triplos:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 18/09.

Da mesma forma, realizamos ações com as frações restantes.

• 2/3 - falta um três e um dois no denominador:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 18/12.
• 7/9 ou 7/(3 x 3) - faltam dois no denominador:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ou 5/(2 x 3) - falta um triplo no denominador:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Tudo junto fica assim:



Como subtrair e adicionar frações com denominadores diferentes

Como mencionado acima, para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo denominador e, em seguida, usar as regras para subtração de frações com o mesmo denominador, que já foram descritas.

Considere isso com um exemplo: 18/04 - 15/03.

Encontrando múltiplos de 18 e 15:

• O número 18 consiste em 3 x 2 x 3.
• O número 15 consiste em 5 x 3.
• O múltiplo comum consistirá dos seguintes fatores 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Depois de encontrado o denominador, é necessário calcular um fator que será diferente para cada fração, ou seja, o número pelo qual será necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador. Para fazer isso, dividimos o número encontrado (múltiplo comum) pelo denominador da fração para a qual fatores adicionais precisam ser determinados.

• 90 dividido por 15. O número resultante "6" será um multiplicador para 3/15.
• 90 dividido por 18. O número resultante "5" será um multiplicador para 4/18.

O próximo passo em nossa solução é trazer cada fração para o denominador "90".

Já discutimos como isso é feito. Vamos ver como isso é escrito em um exemplo:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Se frações com números pequenos, você pode determinar o denominador comum, como no exemplo mostrado na imagem abaixo.



Produzidos de forma semelhante e com denominadores diferentes.

Subtração e tendo partes inteiras

Subtração de frações e sua adição, já analisamos em detalhes. Mas como subtrair se a fração tem uma parte inteira? Novamente, vamos usar algumas regras:

• Converta todas as frações que têm uma parte inteira em impróprias. Em palavras simples, remova a parte inteira. Para fazer isso, o número da parte inteira é multiplicado pelo denominador da fração, o produto resultante é adicionado ao numerador. O número que será obtido após essas ações é o numerador de uma fração imprópria. O denominador permanece inalterado.
• Se as frações tiverem denominadores diferentes, elas devem ser reduzidas ao mesmo.
• Efetue adição ou subtração com os mesmos denominadores.
• Ao receber uma fração imprópria, selecione a parte inteira.



Existe outra maneira pela qual você pode adicionar e subtrair frações com partes inteiras. Para isso, as ações são realizadas separadamente com partes inteiras, e separadamente com frações, e os resultados são registrados em conjunto.



O exemplo acima consiste em frações que têm o mesmo denominador. Caso os denominadores sejam diferentes, eles devem ser reduzidos ao mesmo e, em seguida, seguir os passos mostrados no exemplo.

Subtraindo frações de um número inteiro

Outra das variedades de ações com frações é o caso em que a fração deve ser subtraída de À primeira vista, tal exemplo parece difícil de resolver. No entanto, tudo é muito simples aqui. Para resolvê-lo, é necessário converter um inteiro em uma fração, e com tal denominador, que está na fração a ser subtraída. Em seguida, realizamos uma subtração semelhante à subtração com os mesmos denominadores. Por exemplo, fica assim:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A subtração de frações dadas neste artigo (6º ano) é a base para a resolução de exemplos mais complexos, que são considerados nas aulas subsequentes. O conhecimento deste tópico é usado posteriormente para resolver funções, derivadas e assim por diante. Portanto, é muito importante entender e entender as ações com frações discutidas acima.

Encontre o numerador e o denominador. Uma fração consiste em dois números: o número acima da linha é chamado de numerador e o número abaixo da linha é chamado de denominador. O denominador indica o número total de partes em que um todo é dividido e o numerador é o número considerado de tais partes.

• Por exemplo, na fração ½, o numerador é 1 e o denominador é 2.

Determine o denominador. Se duas ou mais frações têm um denominador comum, tais frações têm o mesmo número abaixo da linha, ou seja, neste caso, algum inteiro é dividido no mesmo número de partes. Adicionar frações com denominador comum é muito fácil, pois o denominador da fração total será o mesmo das frações que estão sendo somadas. Por exemplo:

• As frações 3/5 e 2/5 têm denominador comum 5.
• As frações 3/8, 5/8, 17/8 têm um denominador comum 8.

Determine os numeradores. Para somar frações com denominador comum, some seus numeradores e escreva o resultado acima do denominador das frações somadas.

• As frações 3/5 e 2/5 têm numeradores 3 e 2.
• As frações 3/8, 5/8, 17/8 têm numeradores 3, 5, 17.

Some os numeradores. No problema 3/5 + 2/5 some os numeradores 3 + 2 = 5. No problema 3/8 + 5/8 + 17/8 some os numeradores 3 + 5 + 17 = 25.

Anote o total. Lembre-se de que ao adicionar frações com denominador comum, ele permanece inalterado - apenas os numeradores são adicionados.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Converta a fração, se necessário.Às vezes, uma fração pode ser escrita como um número inteiro em vez de uma fração comum ou decimal. Por exemplo, a fração 5/5 converte-se facilmente em 1, pois qualquer fração cujo numerador seja igual ao denominador é 1. Imagine uma torta cortada em três partes. Se você comer todas as três partes, você comerá a torta inteira (uma).

• Qualquer fração comum pode ser convertida em decimal; Para fazer isso, divida o numerador pelo denominador. Por exemplo, a fração 5/8 pode ser escrita assim: 5 ÷ 8 = 0,625.

Simplifique a fração se possível. Uma fração simplificada é uma fração cujo numerador e denominador não possuem um divisor comum.

• Por exemplo, considere a fração 3/6. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm um divisor comum igual a 3, ou seja, o numerador e o denominador são completamente divisíveis por 3. Portanto, a fração 3/6 pode ser escrita da seguinte forma: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Se necessário, converta a fração imprópria em uma fração mista (número misto). Para uma fração imprópria, o numerador é maior que o denominador, por exemplo, 25/8 (para uma fração própria, o numerador é menor que o denominador). Uma fração imprópria pode ser convertida em uma fração mista, que consiste em uma parte inteira (ou seja, um número inteiro) e uma parte fracionária (ou seja, uma fração própria). Para converter uma fração imprópria como 25/8 em um número misto, siga estas etapas:

• Divida o numerador da fração imprópria pelo seu denominador; anote o quociente incompleto (a resposta inteira). Em nosso exemplo: 25 ÷ 8 = 3 mais algum resto. Nesse caso, a resposta inteira é a parte inteira do número misto.
• Encontre o resto. Em nosso exemplo: 8 x 3 = 24; subtraia o resultado do numerador original: 25 - 24 \u003d 1, ou seja, o restante é 1. Nesse caso, o restante é o numerador da parte fracionária do número misto.
• Escreva uma fração mista. O denominador não muda (ou seja, é igual ao denominador da fração imprópria), então 25/8 = 3 1/8.

Você pode executar várias ações com frações, por exemplo, adicionar frações. A adição de frações pode ser dividida em vários tipos. Cada tipo de adição de frações tem suas próprias regras e algoritmo de ações. Vamos dar uma olhada em cada tipo de adição.

Adição de frações com os mesmos denominadores.

Por exemplo, vamos ver como adicionar frações com um denominador comum.

Os caminhantes fizeram uma caminhada do ponto A ao ponto E. No primeiro dia, eles caminharam do ponto A ao B, ou \(\frac(1)(5)\) todo o caminho. No segundo dia eles foram do ponto B ao D ou \(\frac(2)(5)\) todo o caminho. Que distância eles percorreram desde o início da jornada até o ponto D?

Para encontrar a distância do ponto A ao ponto D, some as frações \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Somar frações com denominadores iguais é que você precisa somar os numeradores dessas frações, e o denominador permanecerá o mesmo.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

Na forma literal, a soma das frações com os mesmos denominadores ficará assim:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Resposta: os turistas viajaram \(\frac(3)(5)\) todo o caminho.

Adição de frações com denominadores diferentes.

Considere um exemplo:

Adicione duas frações \(\frac(3)(4)\) e \(\frac(2)(7)\).

Para somar frações com denominadores diferentes, você deve primeiro encontrar e, em seguida, use a regra para adicionar frações com os mesmos denominadores.

Para os denominadores 4 e 7, o denominador comum é 28. A primeira fração \(\frac(3)(4)\) deve ser multiplicada por 7. A segunda fração \(\frac(2)(7)\) deve ser multiplicado por 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ vezes \color(vermelho) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Na forma literal, obtemos a seguinte fórmula:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Adição de números mistos ou frações mistas.

A adição ocorre de acordo com a lei da adição.

Para frações mistas, adicione as partes inteiras às partes inteiras e as partes fracionárias às partes fracionárias.

Se as partes fracionárias de números mistos tiverem os mesmos denominadores, adicione os numeradores e o denominador permanece o mesmo.

Adicione números mistos \(3\frac(6)(11)\) e \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( azul) (\frac(6)(11)) + \color(azul) (\frac(3)(11))) = \color(vermelho)(4) + (\color(azul) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)

Se as partes fracionárias de números mistos têm denominadores diferentes, encontramos um denominador comum.

Vamos adicionar números mistos \(7\frac(1)(8)\) e \(2\frac(1)(6)\).

O denominador é diferente, então você precisa encontrar um denominador comum, é igual a 24. Multiplique a primeira fração \(7\frac(1)(8)\) por um fator adicional de 3 e a segunda fração \( 2\frac(1)(6)\) em 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24) ) = 9\frac(7)(24)\)

Perguntas relacionadas:
Como somar frações?
Resposta: primeiro você precisa decidir a que tipo a expressão pertence: as frações têm os mesmos denominadores, denominadores diferentes ou frações mistas. Dependendo do tipo de expressão, procedemos ao algoritmo de solução.

Como resolver frações com denominadores diferentes?
Resposta: você precisa encontrar um denominador comum e seguir a regra de adicionar frações com os mesmos denominadores.

Como resolver frações mistas?
Resposta: Adicione partes inteiras a partes inteiras e partes fracionárias a partes fracionárias.

Exemplo 1:
A soma de dois pode resultar em uma fração própria? Fração errada? Dar exemplos.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

A fração \(\frac(5)(7)\) é uma fração própria, é o resultado da soma de duas frações próprias \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

A fração \(\frac(58)(45)\) é uma fração imprópria, é o resultado da soma das frações próprias \(\frac(2)(5)\) e \(\frac(8) (9)\).

Resposta: A resposta é sim para ambas as perguntas.

Exemplo #2:
Adicione frações: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Exemplo nº 3:
Escreva a fração mista como a soma de um número natural e uma fração própria: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Exemplo #4:
Calcule a soma: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7))) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13)\)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Tarefa nº 1:
No jantar eles comeram \(\frac(8)(11)\) do bolo, e à noite no jantar eles comeram \(\frac(3)(11)\). Você acha que o bolo foi completamente comido ou não?

Solução:
O denominador da fração é 11, indica em quantas partes o bolo foi dividido. No almoço, comemos 8 pedaços de bolo de 11. No jantar, comemos 3 pedaços de bolo de 11. Vamos somar 8 + 3 = 11, comemos pedaços de bolo de 11, ou seja, o bolo inteiro.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Resposta: Eles comeram o bolo inteiro.

Hoje vamos falar sobre frações.. Que horror esta palavra inspira em muitos alunos, mas em vão... Trabalhar com frações na verdade não é tão difícil. O importante é entender as regras. O que vamos fazer hoje.

Infelizmente, esse tópico é um elo fraco para muitos alunos, embora seja um dos mais básicos no estudo da matemática.

Então, vamos descobrir. Vamos começar com o que geralmente é necessário.

Em nossa vida, há situações em que é necessário dividir qualquer objeto inteiro em um certo número de partes (na vida - cortar, serrar, quebrar etc.). Vamos pegar a pizza como exemplo:

Digamos que você e sua família pediram uma pizza (ou speck - como preferir). Há quatro pessoas em sua família ... Você terá que compartilhar)) E provavelmente você tentará dividir a pizza em pedaços iguais para não ofender ninguém. Como resultado, cada membro de sua família receberá um pedaço de pizza (assim como o resto da família). E apenas neste caso, o conceito de fração nos ajudará. O numerador da fração indicará a parte da pizza que você recebeu e o denominador indicará o número total de partes (partes iguais).

Você pode cortar a pizza em 6 partes iguais e em 7 e em 12 ....

E agora alguma teoria:

• qualquer fração consiste em um numerador (o número escrito acima do sinal de fração) e um denominador (o número escrito abaixo do sinal de fração);
• o denominador mostra em quantas partes o objeto é dividido e o numerador mostra quantas dessas partes são tomadas para qualquer finalidade.
• fração mostra atitude partes tomadas para o número total de partes do objeto.

Sugiro que você realize os exercícios propostos (simuladores) durante o estudo (repetição) do tema. Isso ajudará a consolidar o conhecimento e ganhar a habilidade de aplicá-lo na prática. Recomenda-se trabalhar com simuladores exatamente na ordem em que são apresentados neste artigo.

Com o uso de frações em nossas vidas, descobrimos isso. Agora vamos ver os tipos de frações. As frações ordinárias são certas e erradas...

Só não geme e suspira)) Ainda é mais fácil.

• correto uma fração é uma fração cujo numerador é menor que o denominador;
• errado Uma fração é uma fração cujo numerador é maior que o denominador.

Como eu disse acima, frações (agora estamos falando de frações com os mesmos denominadores) podem ser comparadas. Por esta é necessário comparar seus numeradores(os denominadores são os mesmos...)

Você notou que, se o numerador e o denominador são iguais, obtemos um objeto inteiro?))

Portanto, eles dizem que se o numerador e o denominador são iguais, então a fração é igual a um.

E mais um ponto importante: espero que você tenha notado))) o ícone da barra fracionária significa a ação “dividir”. E então fica bem claro que se o número for dividido por ele mesmo, o resultado será um. Mas aqui estou me adiantando e, de forma mais semelhante, falaremos sobre isso em um artigo sobre redução de frações ...

Agora vamos ver a adição e subtração de frações com os mesmos denominadores. A regra é muito simples: para somar (subtrair) frações com os mesmos denominadores, você deve somar (subtrair) seus numeradores e deixar o denominador igual.

E, finalmente, vamos testar nossos conhecimentos com um quiz. Este teste só pode ser aprovado se você concluir todas as tarefas corretamente. Somente neste caso podemos dizer que o tópico foi dominado. Você pode fazer o teste um número infinito de vezes. E mesmo que você tenha passado 100% no teste na primeira vez, visite esta página em alguns dias e verifique seus conhecimentos novamente. Isso só fortalecerá seu conhecimento e desenvolverá a habilidade de trabalhar com essas frações.

P.S. Mas nem tudo são frações, porque elas não são apenas ordinárias, mas também decimais. E também ocorrem em um número misto (um número em que há uma parte inteira e uma parte fracionária) ... Mas mais sobre isso nos artigos seguintes. Não perca.

Um estudo realizado por Alysheva T.V. 1, indica a conveniência, ao estudar as ações de adição e subtração de frações ordinárias com os mesmos denominadores, usar a analogia com adição e subtração já conhecida pelos alunos

Alysheva T. V. O estudo de operações aritméticas com frações ordinárias por alunos de uma escola auxiliar //Defectologia.-1992.- № 4.- A PARTIR DE. 25-27.

os valores obtidos como resultado da medição dos valores e realizar a atribuição de ações pelo método dedutivo, ou seja, "do geral ao frequente".

Primeiro, a adição e a subtração de números são repetidas com os nomes das medidas de valor, comprimento. Por exemplo, 8 p. 20 k. ± 4 p. 15 mil.

Ao realizar adição e subtração oral, você precisa adicionar

3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - primeiro adicione (subtraia) metros e depois centímetros.

; Ao adicionar e subtrair frações, considere em geralacontecendo: realizando essas ações com frações mistas (os denominadores são os mesmos): 3-?- ± 1-g. Nesse caso, é necessário: “Adicione (subtraia) números inteiros, depois numeradores e o denominador permanece o mesmo.” Esta regra geral se aplica a todos os casos de adição e subtração de frações. Casos particulares são introduzidos gradualmente: adição de um número misto com uma fração 1y + -= = \-= \, depois

(1 1\ ^ "

número misto com inteiro \-= + 4 = 5 anos. Depois disso, casos mais difíceis de subtração são considerados: 1) frações de um número misto: 4d~n=4d-; 2) de um inteiro misto: 4d-2=2-d-.

Depois de dominar esses casos bastante simples de subtração, os alunos se familiarizam com casos mais difíceis em que é necessária uma redução: subtração de uma unidade inteira ou de várias unidades, por exemplo:

\ OOO2, lO<-)Э Oh p~

1 ~b-~b~b-~5" 6 ~~5~ 2 b~"5- 2 "5-

No primeiro caso, a unidade deve ser representada como uma fração com denominador igual ao denominador do subtraendo. No segundo caso, pegamos uma unidade de um inteiro e também a escrevemos como uma fração imprópria com um denominador subtraendo, obtemos um número misto em um número reduzido. A subtração é realizada de acordo com a regra geral.

Finalmente, o caso mais difícil de subtração é considerado: de um número misto, e o numerador da parte fracionária é menor que

numerador no subtraendo: 5^- ^. Neste caso, o minuendo deve ser alterado para que a regra geral possa ser aplicada, ou seja, no minuendo, pegue uma unidade do todo e divida

em quintos, obtemos 1 \u003d -g, e mesmo -g, obtemos -g, aprox<-|>

ficará assim: 4^~ ^, para sua solução já pode ser aplicada

regra geral.

A utilização do método dedutivo de ensino de adição e subtração de frações contribuirá para o desenvolvimento da capacidade dos alunos de generalizar, comparar, diferenciar, incluir casos individuais de cálculos no sistema geral de conhecimento sobre operações com frações.

2. Adição e subtração de frações e números mistos com denominadores diferentes *.

a) o maior denominador é NOZ:

o?+|, H; 2) 1|+", 4-sh" 3> 4+4 4-4

b) o denominador maior não é um NOZ:

n 3 4 7 2. 9 d.3, 7, 3 2. 04 ^ 2 .. 1 g3 9 2 1) B-+7 "8-9" 2) %+8" 1 5-5" 3)%+%" 5 T- 2 3"

Adicionar e subtrair frações com denominadores diferentes apresenta dificuldades significativas para crianças em idade escolar com retardo mental, pois antes de realizar ações, é necessário trazer as frações para o menor denominador, em relação ao qual a atenção dos alunos é voltada para uma operação adicional (a expressão é alongado - é necessário reescrever a expressão várias vezes, colocando um sinal de igual). Isso exige que os alunos se concentrem. E a atenção dos alunos com deficiência intelectual é caracterizada, como você sabe, pela distração, pela distração. Isso geralmente leva à perda de números inteiros, um sinal de igual e até mesmo um componente. Para evitar tais erros, é possível, em um primeiro momento, oferecer aos alunos um registro da expressão para falar oralmente, ou seja, dizer quais operações devem ser realizadas e em que sequência: 1) reduzir frações ao menor denominador; 2) realizar uma ação; 3) realizar, se necessário, uma transformação na resposta.

Ao somar uma fração com um número misto, os alunos devem prestar atenção ao valor da soma e de cada termo, comparando-o com a propriedade da soma dos inteiros.

O mesmo deve ser feito na reunião. Com subtração de frações, enfatizando a generalidade das propriedades da diferença entre números inteiros e fracionários.

Para fazer isso, é aconselhável resolver e comparar pares de exemplos para encontrar a soma e a diferença de números inteiros e fracionários: 310

4.3. 3 , -1 5 + 5" 1 PARA +5 PARA

Conclusão: a soma é maior que cada um dos termos, a diferença é menor ou igual ao reduzido.

A adição e a subtração de frações devem estar associadas a tarefas práticas e exercícios que podem ser realizados oralmente. Por exemplo:

“Para a decoração da blusa cortaram -^ m de branco e -^ m de trança azul.

Quanta trança foi usada para aparar a blusa?

b- - cerca de -3

“De uma ripa de 2 m de comprimento, uma peça foi serrada -% m e

o segundo tem 4" m de comprimento. Qual é o comprimento do trilho restante?"

Observe que nestes problemas são dados os números obtidos a partir da medição de quantidades. Isso permite que você fixe na memória dos alunos as proporções mais comuns na vida cotidiana: k-m é 50 cm, -^ m é 25 cm, -? m é 20 cm, -^ h é 15 minutos, etc.

Durante este período, os alunos devem resolver exemplos para encontrar componentes desconhecidos de adição e subtração, comparando o achado de componentes desconhecidos de adição e subtração de números fracionários e inteiros.

Os alunos devem certificar-se de que a lei comutativa e associativa das operações aritméticas em números inteiros também se aplica a operações em números fracionários. Assim como no estudo de ações com números inteiros, os alunos recebem

apenas um conhecimento prático das leis - seu uso

3 para agilizar os cálculos. Por exemplo, resolva um exemplo -^+2

mais conveniente reorganizando os termos, ou seja, usando a lei comutativa da adição.

Resolver exemplos com consideração preliminar da ordem das ações desenvolve raciocínio rápido, engenhosidade, evita estereótipos e é de grande valor corretivo.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES*

Na escola do tipo VIII, considera-se apenas a multiplicação e divisão de frações e números mistos por um inteiro. Estudando esses

ações, bem como o estudo de adição e subtração, dá em paralelo.

Para facilitar a apresentação, consideraremos primeiro a técnica de compreensão com a multiplicação de uma fração por um inteiro e, em seguida, a divisão da fração por um inteiro.

Antes de apresentar aos alunos a multiplicação de uma fração por um inteiro, é necessário revisar a multiplicação de inteiros.

Ao considerar a multiplicação de uma fração por um inteiro, é necessário | podemos observar uma certa sequência de casos diferentes] que é determinada pelo grau de sua dificuldade.

Multiplicando uma fração por um inteiro.

Multiplicando um número misto por um inteiro. Tarefas preparatórias para explicar a multiplicação

para um inteiro são tarefas para multiplicar inteiros | substituição posterior da ação de multiplicação pela ação de adições, por exemplo: substituir a multiplicação 7-3=21 pela adição 7+7+7=21| substitua a ação da multiplicação (o primeiro fator é uma fração, o segundo fator é um inteiro) pela ação do complexo” d-x3 = d- + d-4-d-=-d. Ao mesmo tempo, chama a atenção o numerador, denominador do produto e o primeiro fator. Com a ajuda de perguntas: “O denominador da fração mudou durante a multiplicação? Qui| aconteceu com o numerador da fração? - os alunos chegam à conclusão de que o numerador aumentou 3 vezes, mas o denominador não mudou. mais alguns exemplos:

2

2,2,2 2+2+2 =++ 7 = ~7~

3 6

- ~- 7 ;

3 2 6 3~

A exatidão das respostas nestes exemplos deve ser confirmada pela demonstração das figuras.

Nos exemplos considerados, deve-se chamar a atenção dos alunos para o fato de que no numerador a soma de termos idênticos (três dois) pode ser substituída pelo produto (2 3). Isso vai decepcioná-los

eu » 2 o 2 3 6

para uma notação mais abreviada: y 3 \u003d - ^ - \u003d y e, portanto, também k

derivação de regras. Além disso, ao multiplicar uma fração por um número inteiro, obtém-se um produto maior que o primeiro fator. Depois de dominar a regra para multiplicar uma fração por um inteiro, é necessário mostrar aos alunos que antes de multiplicar o numerador por um inteiro 312

Também é necessário comparar esses números com o denominador e, se tiverem um divisor comum, dividir por ele e só então produzir-multiplicar. Este método de redução preliminar de números,

escrito no numerador e denominador, facilita os cálculos, exemplo: -r-10=-?-=-r-=8. Realizamos a mesma ação com uma redução preliminar do numerador e denominador por um divisor comum:

I Crianças com subdesenvolvimento intelectual raramente recorrem a | métodos racionais de cálculo, usando, como regra, apenas aqueles métodos que se tornaram estereotipados. Portanto, o professor precisa, às vezes, simplesmente exigir que os alunos usem formas racionais de agir.

Antes de explicar a multiplicação de um número misto por um inteiro, é necessário repetir a multiplicação de números obtidos por valores medidos, da forma 15 p. 32 k.-3. Primeiro, você deve fornecer um registro detalhado ao resolver este exemplo: 1 p. = 100k.

15 p. \u003d 100 k.-15 \u003d 1500 k. 1500 k. + 32 k. \u003d 1532 k.

No entanto, é imediatamente necessário mostrar que alguns exemplos são mais fáceis de resolver na mente, multiplicando o número de rublos e copeques separadamente.

Ao multiplicar um número misto por um inteiro, chama-se a atenção para o fato de que o número misto deve ser expresso (escrito) como uma fração imprópria e, em seguida, a multiplicação é realizada de acordo com a regra de multiplicar uma fração por um inteiro, por exemplo:

-

4 _ 35 „

(Compare com a multiplicação de 15 p. 32 k. pelo inteiro 3.)

A desvantagem deste método de cálculo é sua inconveniência: grandes números que são obtidos no numerador dificultam os cálculos. No entanto, esse método tem uma vantagem: no futuro, quando os alunos se familiarizarem com a divisão de um número misto por um inteiro, antes de realizar a ação, eles precisarão expressar o número misto como uma fração imprópria.

Os alunos mais fortes também podem ser mostrados no segundo sp | multiplicando um número misto por um inteiro (sem escrever misto | números como uma fração imprópria), por exemplo:

(

Compare com a multiplicação de números obtidos a partir da medição dos rostos, oralmente: 15 p. 32 k. -3 \u003d 45 p. 96k.)

Nesse caso, um inteiro é multiplicado por um inteiro, obtido ”, o produto é escrito como um inteiro, depois multiplique!, a parte fracionária do número de acordo com a regra de multiplicar uma fração por um inteiro.

Ao estudar o tópico “Multiplicação de uma fração por um inteiro”, o seguinte *! não há problema em resolver exemplos e tarefas para aumentar frações por vários!

2 vezes. É necessário mostrar aos alunos que o exemplo y 3 pode ser feito *

o produto de y e 3; fatores de y e 3, encontre o produto. Depois!

solução do exemplo uZ = y, você deve comparar o produto e o per-

você multiplica: y é 3 vezes mais que y, = menos de 3 vezes.

É necessário resolver exemplos com numerador ou denominador desconhecido no primeiro fator da forma: --~--2=-r, t=r-2=-i-.

Você pode oferecer exemplos mais difíceis do formulário:

A, 4 1 ,-, 3 P g-, 2

1 -uma- 4 =Ъи" uma =G> P "P \u003d 5

2. A fração tg aumenta 3 vezes.

Divisão de uma fração por um inteiro dado na seguinte ordem:

Divisão de uma fração por um inteiro sem redução prévia.

Divida um número misto por um inteiro sem redução prévia.

Divisão com redução preliminar.

Os alunos também precisam mostrar esses casos de divisão de uma fração ou de um número misto por um número inteiro, quando a redução preliminar facilita o processo de execução da ação. Por exemplo:

5- 2= 7^- = 5" 3 4- 9 \u003d T ": 9 \u003d 4 ^ \u003d T2-

Com base em observações e atividades específicas, os alunos

n "multiplicar até a conclusão: ao dividir uma fração por uma fração inteira

1. SPIN menor, mas o número de ações não muda. Por exemplo,

| apodrecer pegue meia maçã e divida essa metade em 2 iguais

c.k "partes (-i-: 2] , então ficará de acordo com -t maçãs. Nós anotamos: -k\2=-^.

Cada aluno deve dividir independentemente metade do círculo (listras, segmentos) em 2 partes iguais e anotar o resultado da divisão

Partes: - ^: 3 \u003d k- Os alunos veem que obtiveram a nona ação ao dividir, mas seu número não mudou. O numerador e o denominador do quociente e do dividendo são comparados: o denominador aumentou 3 vezes e o numerador não mudou. A partir disso, podemos concluir: para dividir uma fração por um inteiro, você precisa multiplicar o denominador por esse número e deixar o numerador o mesmo. Com base na regra, um exemplo é resolvido: Em seguida, sobre os assuntos de ensino

os alunos devem, mais uma vez, mostrar o processo de divisão e certificar-se de que o exemplo foi resolvido corretamente.

A divisão de uma fração por um inteiro deve ser comparada com a multiplicação de uma fração por um inteiro, resolvendo exemplos mutuamente inversos da forma Neste caso, deve-se comparar

o produto e o quociente, respectivamente, com o primeiro fator e o dividendo. Isso é necessário para levar os alunos a uma generalização: ao multiplicar uma fração por um inteiro, o produto é tantas vezes maior que o primeiro fator quantas unidades existem no segundo fator. Uma conclusão semelhante deve ser tirada para o privado.

A divisão de um número misto por um inteiro é dada por analogia com a segunda forma de multiplicar um número misto por um inteiro, por exemplo: O número misto fica errado

fração e divisão é realizada de acordo com a regra de dividir uma fração por um inteiro.

Os alunos mais fortes também devem ser apresentados a casos especiais de divisão. Se a parte inteira do número misto é completamente divisível pelo divisor, então o número misto não se transforma em um

fração bifurcada, por exemplo: 2-^".2=\-^. Precisa compartilhar primeiro

parte, escreva o resultado em um quociente e divida a parte fracionária

a regra para dividir uma fração por um inteiro: 12^:3=47^=4-^. NO

caso, a divisão de um número misto deve ser indicada nos assuntos dos manuais. Depois de estudar todas as quatro ações com frações comuns, são oferecidos exemplos complexos com colchetes e a ordem das ações.

ENCONTRANDO UMA E MÚLTIPLAS PARTES DE UM NÚMERO

Este tópico é estudado imediatamente após estudar o tópico de fracionamento.

A explicação do novo conceito deve começar com a solução da prática! tarefa, por exemplo: “De uma tábua de 80 cm de comprimento serrada -^ frequentemente Qual o comprimento da tábua serrada? Esta tarefa deve ser mostrada para aqueles que estudam sobre ajudas de assunto. Pegue uma barra com um comprimento de 80 sc

verifique seu comprimento com uma régua de metro e, em seguida, pulverize

eu sento como encontrar -t parte desta prancha. Os alunos sabem que o plano

você precisa dividir em 4 partes iguais e cortar um quarto! papel. O pedaço de tábua serrado é medido. Seu comprimento é de 20 cm. "Como você conseguiu o número de 20 cm?" - Perguntando ao professor. A resposta a esta pergunta causa dificuldade para alguns alunos, portanto, é necessário mostrar que como a barra foi dividida em partes iguais, então, portanto, 80 cm foram divididos em 4 horas iguais Vamos escrever a solução para este problema: -% de 80 cm é 80 cm: 4- =20cm.

Encontrar várias partes de um número na escola VIII shadv é feito usando duas operações aritméticas. Na primeira ação, uma parte do número é determinada, e na segunda

rum - várias partes. Por exemplo, você precisa encontrar -5- de 15. Encontre 1 21

D- de 15, 15:3=5; -? mais de -o- 2 vezes, então 5 deve ser multiplicado por 2. Encontre * de 15, 5-2 \u003d 10.

3 de 15 15:3=5; | de 15 5-2=10.

ENCONTRANDO UM NÚMERO EM UMA DE SUA PARTE *

|Trabalho neste tópico deve ser associado a tarefas puramente] I

| conteúdo kticheskogo, por exemplo: "Sabe-se que ^ p. co-

| vlyat 50 k. Qual é o número inteiro? (Quantos copeques no total?) "Os alunos sabem que um rublo inteiro é 100 k. I Se isso é conhecido, então sabendo a que sua * parte é igual, eles determinam um número desconhecido, * uma parte do rublo, ou seja, 50 k., multiplique por! (o denominador da fração).

Assim, consideramos a solução de uma série de tarefas relacionadas a certas experiências de vida e observações dos alunos-K: "-t-m é 25 cm. Quantos centímetros existem em 1 m?"

Solução. 25 cm-4 = 100 cm.

“3 m de matéria foram gastos no vestido, que é -3- de toda a matéria cativa. Quanto material você comprou? Solução. 3 mx3 = 9 m - esta é toda a matéria comprada. Agora precisamos ter certeza de que - ^ de 9 m é 3 m, ou seja, podemos verificar que - d - de 9 m podemos encontrar. Você precisa de 9 m: 3 = 3 m. 3 m faz parte de toda a matéria comprada. Assim o problema foi resolvido corretamente.

Quando os alunos aprendem a resolver problemas para encontrar um número por uma parte, é necessário comparar a solução desses problemas com os já conhecidos, ou seja, com problemas para encontrar uma parte de um número, revelando semelhanças, diferenças de condição, pergunta e Solução de problemas.

Somente o método de análise comparativa permitirá diferenciar as tarefas desses dois tipos e abordar conscientemente sua solução. Para comparação, é mais eficaz, como mostra a experiência, oferecer tarefas com o mesmo enredo:

“Há 16 alunos na classe. As meninas fazem -t- parte de todos os alunos. Quantas meninas há na classe? Encontrar solução -G de 16 alunos. 16 contas: 4=4 contas

Responda. Há 4 meninas na classe.

“Há 4 meninas na classe, que é parte de todos os alunos)! classe. Quantos estudantes estão na aula?

4 contas -4=16 contas

Responda. Há 16 alunos na classe.