Primeira derivada Se a derivada de uma função é positiva (negativa) em algum intervalo, então a função nesse intervalo é monotonicamente crescente (monotonicamente decrescente). Se a função derivada é positiva (negativa) em algum intervalo, então a função nesse intervalo é monotonicamente crescente (monotonicamente decrescente). Mais distante

Definição Uma curva é chamada convexa em um ponto se em alguma vizinhança deste ponto ela está localizada sob sua tangente em um ponto Uma curva é chamada convexa em um ponto se em alguma vizinhança deste ponto ela está localizada sob sua tangente em um ponto , está localizada acima de sua tangente em um ponto Uma curva é chamada côncava em um ponto se, em alguma vizinhança deste ponto, está localizada acima de sua tangente em um ponto

Sinal de concavidade e convexidade Se a segunda derivada de uma função em um dado intervalo é positiva, então a curva é côncava nesse intervalo, e se for negativa, é convexa nesse intervalo. Se a segunda derivada de uma função em um dado intervalo for positiva, então a curva é côncava nesse intervalo, e se for negativa, ela é convexa nesse intervalo. Definição

Planeje pesquisar a função e construir seu gráfico 1. Encontre o domínio da função e determine os pontos de quebra, se houver 1. Encontre o domínio da função e determine os pontos de quebra, se houver 2. Descubra se a função é par ou ímpar; verifique sua periodicidade 2. Descubra se a função é par ou ímpar; verifique sua periodicidade 3. Determine os pontos de interseção do gráfico da função com os eixos coordenados 3. Determine os pontos de interseção do gráfico da função com os eixos coordenados 4. Encontre os pontos críticos do 1º tipo 4. Encontre os pontos críticos do 1º tipo tipo 5. Determinar os intervalos de monotonicidade e extremos da função 5. Determinar intervalos de monotonicidade e extremos da função 6. Determinar os intervalos de convexidade e concavidade e encontrar pontos de inflexão 6. Determinar os intervalos de convexidade e concavidade e encontrar pontos de inflexão 7 . Usando os resultados do estudo, conecte os pontos obtidos de uma curva suave 7. Usando os resultados do estudo, conecte os pontos obtidos de uma curva suave Sair

O que é um derivado?
Definição e significado da derivada de uma função

Muitos ficarão surpresos com a localização inesperada deste artigo no curso do meu autor sobre a derivada de uma função de uma variável e suas aplicações. Afinal, como era na escola: um livro-texto padrão, antes de tudo, dá uma definição de derivada, seu significado geométrico, mecânico. Em seguida, os alunos encontram derivadas de funções por definição e, de fato, só então a técnica de diferenciação é aperfeiçoada usando tabelas derivadas.

Mas do meu ponto de vista, a seguinte abordagem é mais pragmática: antes de tudo, é aconselhável ENTENDER BEM limite de função, e especialmente infinitesimais. O fato é que a definição da derivada é baseada no conceito de limite, o que é pouco considerado no curso escolar. É por isso que uma parte significativa dos jovens consumidores de conhecimento do granito penetra mal na própria essência do derivado. Assim, se você não é bem versado em cálculo diferencial, ou o cérebro sábio se livrou com sucesso dessa bagagem ao longo dos anos, por favor, comece com limites de função. Ao mesmo tempo, domine / lembre-se de sua decisão.

O mesmo sentido prático sugere que é lucrativo primeiro Aprenda a encontrar derivadas, Incluindo derivadas de funções complexas. A teoria é uma teoria, mas, como dizem, você sempre quer diferenciar. A este respeito, é melhor trabalhar as lições básicas listadas e talvez tornar-se mestre de diferenciação sem sequer perceber a essência de suas ações.

Eu recomendo iniciar os materiais nesta página depois de ler o artigo. Os problemas mais simples com uma derivada, onde, em particular, é considerado o problema da tangente ao gráfico de uma função. Mas pode demorar. O fato é que muitas aplicações da derivada não requerem seu entendimento, e não é de se estranhar que a lição teórica tenha surgido bem tarde - quando precisei explicar encontrar intervalos de aumento/diminuição e extremos funções. Além disso, ele estava no assunto por um bom tempo " Funções e gráficos”, até que decidi colocar mais cedo.

Portanto, queridos bules, não se apressem em absorver a essência do derivado, como animais famintos, porque a saturação será insípida e incompleta.

O conceito de crescente, decrescente, máximo, mínimo de uma função

Muitos tutoriais levam ao conceito de derivação com a ajuda de alguns problemas práticos, e também criei um exemplo interessante. Imagine que temos que viajar para uma cidade que pode ser alcançada de diferentes maneiras. Descartamos imediatamente os caminhos sinuosos curvos e consideraremos apenas linhas retas. No entanto, as direções em linha reta também são diferentes: você pode chegar à cidade por uma autoestrada plana. Ou em uma estrada montanhosa - para cima e para baixo, para cima e para baixo. Outra estrada só sobe, e outra desce o tempo todo. Os caçadores de emoções escolherão uma rota pelo desfiladeiro com um penhasco íngreme e uma subida íngreme.

Mas quaisquer que sejam as suas preferências, é desejável conhecer a área, ou pelo menos ter um mapa topográfico da mesma. E se não houver essa informação? Afinal, você pode escolher, por exemplo, um caminho plano, mas, como resultado, tropeçar em uma pista de esqui com finlandeses engraçados. Não o fato de que o navegador e até mesmo uma imagem de satélite fornecerão dados confiáveis. Portanto, seria bom formalizar o relevo do caminho por meio da matemática.

Considere alguma estrada (vista lateral):

Por precaução, lembro-lhe um fato elementar: a viagem acontece da esquerda para a direita. Por simplicidade, assumimos que a função contínuo na área considerada.

Quais são as características deste gráfico?

Nos intervalos função aumenta, ou seja, cada um de seus próximos valores mais o anterior. Grosso modo, o cronograma vai baixo cima(subimos o morro). E no intervalo a função diminuindo- cada próximo valor menor o anterior, e nossa agenda vai careca(descendo a ladeira).

Vamos também prestar atenção a pontos especiais. No ponto em que chegamos máximo, ou seja existir tal seção do caminho em que o valor será o maior (mais alto). No mesmo ponto, mínimo, e existir tal sua vizinhança, em que o valor é o menor (menor).

Terminologia e definições mais rigorosas serão consideradas na lição. sobre os extremos da função, mas por enquanto vamos estudar mais uma característica importante: nos intervalos a função é crescente, mas é crescente em velocidades diferentes. E a primeira coisa que chama sua atenção é que o gráfico sobe no intervalo muito mais legal do que no intervalo. É possível medir a inclinação da estrada usando ferramentas matemáticas?

Taxa de alteração de função

A ideia é esta: tirar algum valor (leia "delta x"), que chamaremos incremento de argumento, e vamos começar a "experimentar" em vários pontos do nosso caminho:

1) Vejamos o ponto mais à esquerda: contornando a distância , subimos a encosta até uma altura (linha verde). O valor é chamado incremento de função, e neste caso este incremento é positivo (a diferença de valores ao longo do eixo é maior que zero). Vamos fazer a relação , que será a medida da inclinação da nossa estrada. Obviamente, é um número muito específico, e como ambos os incrementos são positivos, então .

Atenção! A designação é 1 símbolo, ou seja, você não pode “arrancar” o “delta” do “x” e considerar essas letras separadamente. Claro, o comentário também se aplica ao símbolo de incremento da função.

Vamos explorar a natureza da fração resultante mais significativa. Suponha que inicialmente estamos a uma altura de 20 metros (no ponto preto à esquerda). Vencida a distância de metros (linha vermelha à esquerda), estaremos a uma altura de 60 metros. Então o incremento da função será metros (linha verde) e: . Por isso, em cada metro este troço da estrada altura aumenta média por 4 metros… você esqueceu seu equipamento de escalada? =) Em outras palavras, a razão construída caracteriza a TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (neste caso, crescimento) da função.

Observação : Os valores numéricos do exemplo em questão correspondem às proporções do desenho apenas aproximadamente.

2) Agora vamos percorrer a mesma distância do ponto preto mais à direita. Aqui o aumento é mais suave, então o incremento (linha carmesim) é relativamente pequeno, e a relação em relação ao caso anterior será bastante modesta. Relativamente falando, metros e taxa de crescimento da funçãoé . Ou seja, aqui para cada metro de estrada há média meio metro de altura.

3) Uma pequena aventura na montanha. Vejamos o ponto preto superior localizado no eixo y. Vamos supor que esta seja uma marca de 50 metros. Mais uma vez superamos a distância, pelo que nos encontramos mais baixos - no nível de 30 metros. Desde que o movimento foi feito careca(na direção "oposta" do eixo), então o final o incremento da função (altura) será negativo: metros (linha marrom no desenho). E neste caso estamos falando de taxa de decaimento recursos: , ou seja, para cada metro do trajeto deste trecho, a altura diminui média por 2 metros. Cuide das roupas no quinto ponto.

Agora vamos fazer a pergunta: qual é o melhor valor de "padrão de medição" a ser usado? É claro que 10 metros é muito difícil. Uma boa dúzia de solavancos pode caber facilmente neles. Por que existem solavancos, pode haver um desfiladeiro profundo abaixo e depois de alguns metros - seu outro lado com uma subida ainda mais íngreme. Assim, com um de dez metros, não obteremos uma característica inteligível de tais seções do caminho através da razão.

Da discussão acima, segue a seguinte conclusão: quanto menor o valor, mais precisamente descreveremos o relevo da estrada. Além disso, os seguintes fatos são verdadeiros:

– Para qualquer pontos de elevação você pode escolher um valor (ainda que muito pequeno) que se encaixe nos limites de um ou outro aumento. E isso significa que o incremento de altura correspondente será garantido como positivo, e a desigualdade indicará corretamente o crescimento da função em cada ponto desses intervalos.

- Da mesma maneira, para qualquer ponto de inclinação, existe um valor que caberá completamente nesta inclinação. Portanto, o aumento correspondente na altura é inequivocamente negativo, e a desigualdade mostrará corretamente a diminuição da função em cada ponto do intervalo dado.

– De particular interesse é o caso em que a taxa de variação da função é zero: . Primeiro, um incremento de altura zero () é um sinal de um caminho par. E em segundo lugar, existem outras situações curiosas, cujos exemplos você vê na figura. Imagine que o destino nos levou ao topo de uma colina com águias voando ou ao fundo de uma ravina com sapos coaxando. Se você der um pequeno passo em qualquer direção, a mudança na altura será desprezível e podemos dizer que a taxa de mudança da função é realmente zero. O mesmo padrão é observado em pontos.

Assim, nos aproximamos de uma oportunidade incrível para caracterizar com precisão a taxa de variação de uma função. Afinal, a análise matemática nos permite direcionar o incremento do argumento para zero: ou seja, torná-lo infinitesimal.

Como resultado, surge outra questão lógica: é possível encontrar para a estrada e seu horário outra função, que nos diria sobre todos os planos, subidas, descidas, picos, planícies, bem como a taxa de aumento/diminuição em cada ponto do caminho?

O que é um derivado? Definição de um derivado.
O significado geométrico da derivada e diferencial

Por favor, leia atentamente e não muito rapidamente - o material é simples e acessível a todos! Tudo bem se em alguns lugares algo não parecer muito claro, você sempre pode retornar ao artigo mais tarde. Direi mais, é útil estudar a teoria várias vezes para entender qualitativamente todos os pontos (o conselho é especialmente relevante para estudantes “técnicos”, para quem a matemática superior desempenha um papel significativo no processo educacional).

Naturalmente, na própria definição da derivada em um ponto, vamos substituí-la por:

A que chegamos? E chegamos à conclusão de que para uma função de acordo com a lei está alinhado outra função, que é chamado função derivada(ou simplesmente derivado).

A derivada caracteriza taxa de variação funções . Como? O pensamento vai como um fio vermelho desde o início do artigo. Considere algum ponto domínios funções . Seja a função diferenciável em um dado ponto. Então:

1) Se , então a função aumenta no ponto . E obviamente existe intervalo(mesmo que muito pequeno) contendo o ponto em que a função cresce, e seu gráfico vai “de baixo para cima”.

2) Se , então a função diminui no ponto . E há um intervalo contendo um ponto no qual a função diminui (o gráfico vai “de cima para baixo”).

3) Se , então infinitamente perto próximo ao ponto, a função mantém sua velocidade constante. Isso acontece, como observado, para uma constante de função e em pontos críticos da função, em particular nos pontos mínimo e máximo.

Alguma semântica. O que significa o verbo "diferenciar" em sentido amplo? Diferenciar significa destacar uma característica. Diferenciando a função , "selecionamos" a taxa de sua variação na forma de uma derivada da função . E o que, a propósito, significa a palavra "derivada"? Função ocorrido da função.

Os termos interpretam com muito sucesso o significado mecânico da derivada :
Vamos considerar a lei da mudança das coordenadas do corpo, que depende do tempo, e a função da velocidade de movimento do corpo dado. A função caracteriza a taxa de variação da coordenada do corpo, portanto é a primeira derivada da função em relação ao tempo: . Se o conceito de “movimento do corpo” não existisse na natureza, então não existiria derivado conceito de "velocidade".

A aceleração do corpo é a taxa de variação da velocidade, portanto: . Se os conceitos originais de “movimento do corpo” e “velocidade de movimento do corpo” não existissem na natureza, então não haveria derivado o conceito de aceleração de um corpo.

Se seguirmos a definição, então a derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de incremento da função Δ y para o incremento do argumento Δ x:

Tudo parece estar claro. Mas tente calcular por esta fórmula, digamos, a derivada da função f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x pecado x. Se você fizer tudo por definição, depois de algumas páginas de cálculos, você simplesmente adormecerá. Portanto, existem maneiras mais simples e eficazes.

Para começar, notamos que as chamadas funções elementares podem ser distinguidas de toda a variedade de funções. São expressões relativamente simples, cujas derivadas há muito são calculadas e inseridas na tabela. Essas funções são fáceis de lembrar, juntamente com suas derivadas.

Derivadas de funções elementares

Funções elementares são todas listadas abaixo. As derivadas dessas funções devem ser conhecidas de cor. Além disso, não é difícil memorizá-los - é por isso que são elementares.

Então, as derivadas de funções elementares:

Nome	Função	Derivado
Constante	f(x) = C, C ∈ R	0 (sim, sim, zero!)
Grau com expoente racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Seio	f(x) = pecado x	porque x
Cosseno	f(x) = co x	− pecado x(menos seno)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Co-tangente	f(x) = ctg x	− 1/sen2 x
Logaritmo natural	f(x) = log x	1/x
Logaritmo arbitrário	f(x) = log uma x	1/(x ln uma)
Função exponencial	f(x) = e x	e x(nada mudou)

Se uma função elementar é multiplicada por uma constante arbitrária, a derivada da nova função também é facilmente calculada:

(C · f)’ = C · f ’.

Em geral, as constantes podem ser retiradas do sinal da derivada. Por exemplo:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Obviamente, funções elementares podem ser adicionadas umas às outras, multiplicadas, divididas e muito mais. É assim que surgirão novas funções, não mais elementares, mas também diferenciáveis ​​de acordo com certas regras. Essas regras são discutidas abaixo.

Derivada de soma e diferença

Deixe as funções f(x) e g(x), cujos derivados são conhecidos por nós. Por exemplo, você pode pegar as funções elementares discutidas acima. Então você pode encontrar a derivada da soma e diferença dessas funções:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Assim, a derivada da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) das derivadas. Pode haver mais termos. Por exemplo, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Estritamente falando, não há conceito de "subtração" em álgebra. Existe um conceito de "elemento negativo". Portanto, a diferença f − g pode ser reescrito como uma soma f+ (−1) g, e então resta apenas uma fórmula - a derivada da soma.

f(x) = x 2 + senx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Função f(x) é a soma de duas funções elementares, então:

f ’(x) = (x 2+ pecado x)’ = (x 2)' + (pecado x)’ = 2x+ cosx;

Argumentamos de forma semelhante para a função g(x). Só que já existem três termos (do ponto de vista da álgebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Responda:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivado de um produto

A matemática é uma ciência lógica, então muitas pessoas acreditam que se a derivada da soma é igual à soma das derivadas, então a derivada do produto batida"\u003e igual ao produto das derivadas. Mas figos para você! A derivada do produto é calculada usando uma fórmula completamente diferente. A saber:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A fórmula é simples, mas muitas vezes esquecida. E não só os alunos, mas também os alunos. O resultado são problemas resolvidos incorretamente.

Tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = x 3 cox; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Função f(x) é um produto de duas funções elementares, então tudo é simples:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−pecado x) = x 2 (3cos x − x pecado x)

Função g(x) o primeiro multiplicador é um pouco mais complicado, mas o esquema geral não muda a partir disso. Obviamente, o primeiro multiplicador da função g(x) é um polinômio, e sua derivada é a derivada da soma. Nós temos:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Responda:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x pecado x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Observe que na última etapa, a derivada é fatorada. Formalmente, isso não é necessário, mas a maioria das derivadas não é calculada por conta própria, mas para explorar a função. Isso significa que mais a derivada será igualada a zero, seus sinais serão descobertos e assim por diante. Nesse caso, é melhor ter uma expressão decomposta em fatores.

Se houver duas funções f(x) e g(x), e g(x) ≠ 0 no conjunto de nosso interesse, podemos definir uma nova função h(x) = f(x)/g(x). Para tal função, você também pode encontrar a derivada:

Não é fraco, certo? De onde veio o menos? Por que g 2? Mas assim! Esta é uma das fórmulas mais complexas - você não pode descobrir sem uma garrafa. Portanto, é melhor estudá-lo com exemplos específicos.

Tarefa. Encontre derivadas de funções:

Existem funções elementares no numerador e denominador de cada fração, então tudo o que precisamos é a fórmula para a derivada do quociente:

Por tradição, fatoramos o numerador em fatores - isso simplificará bastante a resposta:

Uma função complexa não é necessariamente uma fórmula com meio quilômetro de comprimento. Por exemplo, basta tomar a função f(x) = pecado x e substitua a variável x, digamos, em x 2+ln x. Acontece que f(x) = pecado ( x 2+ln x) é uma função complexa. Ela também tem uma derivada, mas não funcionará para encontrá-la de acordo com as regras discutidas acima.

Como ser? Nesses casos, a substituição de uma variável e a fórmula para a derivada de uma função complexa ajudam:

f ’(x) = f ’(t) · t', E se xé substituído por t(x).

Via de regra, a situação com a compreensão desta fórmula é ainda mais triste do que com a derivada do quociente. Portanto, também é melhor explicá-lo com exemplos específicos, com uma descrição detalhada de cada etapa.

Tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = pecado ( x 2+ln x)

Observe que se na função f(x) em vez da expressão 2 x+ 3 será fácil x, então obtemos uma função elementar f(x) = e x. Portanto, fazemos uma substituição: seja 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Estamos procurando a derivada de uma função complexa pela fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

E agora - atenção! Executando uma substituição reversa: t = 2x+ 3. Obtemos:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Agora vamos ver a função g(x). Obviamente precisa ser substituído. x 2+ln x = t. Nós temos:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = co t · t ’

Substituição reversa: t = x 2+ln x. Então:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Isso é tudo! Como pode ser visto na última expressão, todo o problema foi reduzido ao cálculo da derivada da soma.

Responda:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Muitas vezes nas minhas aulas, em vez do termo “derivado”, uso a palavra “stroke”. Por exemplo, o traço da soma é igual à soma dos traços. Isso é mais claro? Bem, isso é bom.

Assim, o cálculo da derivada se resume a se livrar desses mesmos traços de acordo com as regras discutidas acima. Como exemplo final, voltemos à potência derivada com um expoente racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Poucos sabem que no papel n pode ser um número fracionário. Por exemplo, a raiz é x 0,5. Mas e se houver algo complicado sob a raiz? Novamente, uma função complexa resultará - eles gostam de dar essas construções em testes e exames.

Tarefa. Encontre a derivada de uma função:

Primeiro, vamos reescrever a raiz como uma potência com um expoente racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Agora fazemos uma substituição: seja x 2 + 8x − 7 = t. Encontramos a derivada pela fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t-0,5 t ’.

Fazemos uma substituição inversa: t = x 2 + 8x− 7. Temos:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Por fim, de volta às raízes:

Definição. Seja a função \(y = f(x) \) definida em algum intervalo contendo o ponto \(x_0 \) dentro. Vamos incrementar \(\Delta x \) no argumento para não sair desse intervalo. Encontre o incremento correspondente da função \(\Delta y \) (ao passar do ponto \(x_0 \) para o ponto \(x_0 + \Delta x \)) e componha a relação \(\frac(\Delta y )(\Delta x)\). Se houver um limite desta relação em \(\Delta x \rightarrow 0 \), então o limite especificado é chamado função derivada\(y=f(x) \) no ponto \(x_0 \) e denotam \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

O símbolo y é frequentemente usado para denotar a derivada. Observe que y" = f(x) é uma nova função, mas naturalmente associada à função y = f(x), definida em todos os pontos x nos quais existe o limite acima. Essa função é chamada assim: derivada da função y \u003d f (x).

O significado geométrico da derivada consiste no seguinte. Se uma tangente que não é paralela ao eixo y pode ser desenhada no gráfico da função y \u003d f (x) em um ponto com a abcissa x \u003d a, então f (a) expressa a inclinação da tangente:
\(k = f"(a)\)

Como \(k = tg(a) \), a igualdade \(f"(a) = tg(a) \) é verdadeira.

E agora interpretamos a definição da derivada em termos de igualdades aproximadas. Seja a função \(y = f(x) \) ter uma derivada em um ponto particular \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Isso significa que perto do ponto x, a igualdade aproximada \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ou seja, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). O significado significativo da igualdade aproximada obtida é o seguinte: o incremento da função é “quase proporcional” ao incremento do argumento, e o coeficiente de proporcionalidade é o valor da derivada em um dado ponto x. Por exemplo, para a função \(y = x^2 \) a igualdade aproximada \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) é válida. Se analisarmos cuidadosamente a definição da derivada, descobriremos que ela contém um algoritmo para encontrá-la.

Vamos formular.

Como encontrar a derivada da função y \u003d f (x) ?

1. Corrija o valor \(x \), encontre \(f(x) \)
2. Incremente o argumento \(x \) \(\Delta x \), mova para um novo ponto \(x+ \Delta x \), encontre \(f(x+ \Delta x) \)
3. Encontre o incremento da função: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Componha a relação \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcule $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Este limite é a derivada da função em x.

Se a função y = f(x) tem uma derivada no ponto x, então ela é dita diferenciável no ponto x. O procedimento para encontrar a derivada da função y \u003d f (x) é chamado diferenciação funções y = f(x).

Vamos discutir a seguinte questão: como a continuidade e a diferenciabilidade de uma função em um ponto estão relacionadas?

Seja a função y = f(x) diferenciável no ponto x. Então, uma tangente pode ser desenhada para o gráfico da função no ponto M (x; f (x)) e, lembre-se, a inclinação da tangente é igual a f "(x). Tal gráfico não pode "quebrar" em o ponto M, ou seja, a função deve ser contínua em x.

Era raciocinar "nos dedos". Vamos apresentar um argumento mais rigoroso. Se a função y = f(x) é diferenciável no ponto x, então a igualdade aproximada \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) é válida. zero, então \(\Delta y \ ) também tenderá a zero, e esta é a condição para a continuidade da função em um ponto.

Então, se uma função é diferenciável em um ponto x, então ela também é contínua nesse ponto.

O inverso não é verdadeiro. Por exemplo: função y = |x| é contínua em todos os lugares, em particular no ponto x = 0, mas a tangente ao gráfico da função no “ponto comum” (0; 0) não existe. Se em algum ponto for impossível desenhar uma tangente ao gráfico da função, então não há derivada neste ponto.

Mais um exemplo. A função \(y=\sqrt(x) \) é contínua em toda a reta numérica, inclusive no ponto x = 0. E a tangente ao gráfico da função existe em qualquer ponto, inclusive no ponto x = 0 . Mas neste ponto a tangente coincide com o eixo y, ou seja, é perpendicular ao eixo das abcissas, sua equação tem a forma x \u003d 0. Não há inclinação para essa linha reta, o que significa que \ ( f "(0) \) também não existe

Então, nos familiarizamos com uma nova propriedade de uma função - diferenciabilidade. Como você pode saber se uma função é diferenciável do gráfico de uma função?

A resposta é realmente dada acima. Se em algum ponto uma tangente pode ser desenhada no gráfico de uma função que não é perpendicular ao eixo x, então neste ponto a função é diferenciável. Se em algum ponto a tangente ao gráfico da função não existir ou for perpendicular ao eixo x, então neste ponto a função não é diferenciável.

Regras de diferenciação

A operação de encontrar a derivada é chamada diferenciação. Ao realizar esta operação, muitas vezes você precisa trabalhar com quocientes, somas, produtos de funções, bem como com "funções de funções", ou seja, funções complexas. Com base na definição da derivada, podemos derivar regras de diferenciação que facilitam este trabalho. Se C é um número constante e f=f(x), g=g(x) são algumas funções diferenciáveis, então as seguintes são verdadeiras regras de diferenciação:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivada da função composta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela de derivadas de algumas funções

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

A derivada de uma função é um dos tópicos mais difíceis do currículo escolar. Nem todo graduado responderá à pergunta sobre o que é um derivado.

Este artigo explica de forma simples e clara o que é um derivado e por que ele é necessário.. Não nos esforçaremos agora pelo rigor matemático da apresentação. O mais importante é entender o significado.

Vamos lembrar a definição:

A derivada é a taxa de variação da função.

A figura mostra gráficos de três funções. Qual você acha que cresce mais rápido?

A resposta é óbvia - a terceira. Tem a maior taxa de variação, ou seja, a maior derivada.

Aqui está outro exemplo.

Kostya, Grisha e Matvey conseguiram empregos ao mesmo tempo. Vejamos como sua renda mudou durante o ano:

Você pode ver tudo no gráfico imediatamente, certo? A renda de Kostya mais que dobrou em seis meses. E a renda do Grisha também aumentou, mas só um pouquinho. E a renda de Matthew caiu para zero. As condições de partida são as mesmas, mas a taxa de variação da função, ou seja, derivado, - diferente. Quanto a Matvey, a derivada de sua renda é geralmente negativa.

Intuitivamente, podemos facilmente estimar a taxa de variação de uma função. Mas como fazemos isso?

O que estamos realmente vendo é quão abruptamente o gráfico da função sobe (ou desce). Em outras palavras, quão rápido y muda com x. Obviamente, a mesma função em pontos diferentes pode ter um valor diferente da derivada - ou seja, pode mudar mais rápido ou mais devagar.

A derivada de uma função é denotada por .

Vamos mostrar como encontrar usando o gráfico.

Um gráfico de alguma função é desenhado. Dê um ponto nele com uma abcissa. Desenhe uma tangente ao gráfico da função neste ponto. Queremos avaliar a inclinação do gráfico da função. Um valor útil para isso é tangente da inclinação da tangente.

A derivada de uma função em um ponto é igual à tangente da inclinação da tangente traçada ao gráfico da função naquele ponto.

Observe - como o ângulo de inclinação da tangente, tomamos o ângulo entre a tangente e a direção positiva do eixo.

Às vezes, os alunos perguntam qual é a tangente ao gráfico de uma função. Esta é uma linha reta que tem o único ponto em comum com o gráfico desta seção, além disso, como mostra nossa figura. Parece uma tangente a um círculo.

Vamos encontrar . Lembramos que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o adjacente. Do triângulo:

Encontramos a derivada usando o gráfico sem sequer conhecer a fórmula da função. Tais tarefas são frequentemente encontradas no exame de matemática sob o número.

Há outra correlação importante. Lembre-se que a reta é dada pela equação

A quantidade nesta equação é chamada inclinação de uma linha reta. É igual à tangente do ângulo de inclinação da linha reta ao eixo.

.

Nós entendemos isso

Vamos lembrar desta fórmula. Ela expressa o significado geométrico da derivada.

A derivada de uma função em um ponto é igual à inclinação da tangente traçada ao gráfico da função naquele ponto.

Em outras palavras, a derivada é igual à tangente da inclinação da tangente.

Já dissemos que a mesma função pode ter derivadas diferentes em pontos diferentes. Vamos ver como a derivada está relacionada ao comportamento da função.

Vamos desenhar um gráfico de alguma função. Deixe essa função aumentar em algumas áreas e diminuir em outras, e em taxas diferentes. E deixe esta função ter pontos de máximo e mínimo.

Em um ponto, a função é crescente. A tangente ao gráfico, desenhada no ponto, forma um ângulo agudo; com direção de eixo positiva. Portanto, a derivada é positiva no ponto.

Nesse ponto, nossa função está diminuindo. A tangente neste ponto forma um ângulo obtuso; com direção de eixo positiva. Como a tangente de um ângulo obtuso é negativa, a derivada no ponto é negativa.

Aqui está o que acontece:

Se uma função é crescente, sua derivada é positiva.

Se diminuir, sua derivada será negativa.

E o que acontecerá nos pontos máximo e mínimo? Vemos que em (ponto máximo) e (ponto mínimo) a tangente é horizontal. Portanto, a tangente da inclinação da tangente nesses pontos é zero, e a derivada também é zero.

O ponto é o ponto máximo. Neste ponto, o aumento da função é substituído por uma diminuição. Consequentemente, o sinal da derivada muda no ponto de "mais" para "menos".

No ponto - o ponto mínimo - a derivada também é igual a zero, mas seu sinal muda de "menos" para "mais".

Conclusão: com a ajuda da derivada, você pode descobrir tudo o que nos interessa sobre o comportamento da função.

Se a derivada for positiva, então a função é crescente.

Se a derivada for negativa, então a função é decrescente.

No ponto máximo, a derivada é zero e muda o sinal de mais para menos.

No ponto mínimo, a derivada também é zero e muda o sinal de menos para mais.

Escrevemos essas descobertas na forma de uma tabela:

	aumenta	ponto máximo	diminuindo	ponto mínimo	aumenta
+	0	-	0	+

Vamos fazer dois pequenos esclarecimentos. Você precisará de um deles ao resolver o problema. Outra - no primeiro ano, com um estudo mais sério de funções e derivadas.

Um caso é possível quando a derivada de uma função em algum ponto é igual a zero, mas a função não tem máximo nem mínimo nesse ponto. Este chamado :

Em um ponto, a tangente ao gráfico é horizontal e a derivada é zero. No entanto, antes do ponto a função aumentou - e depois do ponto continua a aumentar. O sinal da derivada não muda - permaneceu positivo como estava.

Acontece também que no ponto de máximo ou mínimo, a derivada não existe. No gráfico, isso corresponde a uma quebra acentuada, quando é impossível traçar uma tangente em um determinado ponto.

Mas como encontrar a derivada se a função é dada não por um gráfico, mas por uma fórmula? Neste caso, aplica-se