Calculatorul online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun de două sau orice alt număr de numere.
Calculator pentru găsirea GCD și NOC
Găsiți GCD și NOC
GCD și NOC găsite: 5806
Cum se folosește calculatorul
- Introduceți numere în câmpul de introducere
- În cazul introducerii unor caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
- apăsați butonul „Găsiți GCD și NOC”
Cum se introduc numerele
- Numerele sunt introduse separate prin spații, puncte sau virgule
- Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea mcd și mcm al numerelor lungi nu va fi dificilă
Ce este NOD și NOK?
Cel mai mare divizor comun a mai multor numere este cel mai mare întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.
Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?
Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, se poate verifica divizibilitatea după unele dintre ele și combinațiile lor.
Câteva semne de divizibilitate a numerelor
1. Semnul divizibilității unui număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Decizie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul este divizibil cu doi.
2. Semnul divizibilității unui număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu 3. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor s-a dovedit a fi foarte mare, puteți repeta același proces din nou.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Decizie: numărăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.
3. Semnul divizibilității unui număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Decizie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.
4. Semnul divizibilității unui număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Decizie: calculăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.
Cum să găsiți MCD și LCM a două numere
Cum să găsiți GCD-ul a două numere
Cel mai simplu mod de a calcula cel mai mare divizor comun a două numere este de a găsi toți divizorii posibili ai acestor numere și de a alege cel mai mare dintre ei.
Luați în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):
- Factorizăm ambele numere: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
- Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 \u003d 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.
Cum se găsește LCM a două numere
Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima modalitate este că puteți scrie primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre ei un astfel de număr care va fi comun ambelor numere și, în același timp, cel mai mic. Și al doilea este să găsiți GCD-ul acestor numere. Să ne gândim doar la asta.
Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:
- Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36) este deja cunoscut ca fiind 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Găsirea GCD și LCM pentru numere multiple
Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere și nu doar pentru două. Pentru aceasta, numerele care trebuie căutate după cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, pentru a găsi GCD-ul mai multor numere, puteți utiliza următoarea relație: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c).
O relație similară se aplică și celui mai mic multiplu comun de numere: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.
- Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Să găsim factori comuni: 1, 2 și 2 .
- Produsul lor va da mcd: 1 2 2 = 4
- Acum să găsim LCM: pentru aceasta găsim mai întâi LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , MCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Una dintre sarcinile care cauzează o problemă școlarilor moderni, care sunt obișnuiți să folosească calculatoare încorporate în gadgeturi la locul lor și în afara locului, este să găsească cel mai mare divizor comun (MCD) a două sau mai multe numere.
Este imposibil să rezolvi orice problemă de matematică dacă nu se știe ce se întreabă de fapt. Pentru a face acest lucru, trebuie să știți ce înseamnă cutare sau cutare expresie. folosit în matematică.
Trebuie să știu:
- Dacă un anumit număr poate fi folosit pentru a număra diverse obiecte, de exemplu, nouă stâlpi, șaisprezece case, atunci este firesc. Cel mai mic dintre ei va fi unul.
- Când un număr natural este divizibil cu un alt număr natural, se spune că numărul mai mic este un divizor al celui mai mare.
- Dacă două sau mai multe numere diferite sunt divizibile cu un anumit număr fără rest, atunci ei spun că acesta din urmă va fi divizorul lor comun (OD).
- Cel mai mare dintre OD se numește cel mai mare divizor comun (GCD).
- Într-un astfel de caz, când un număr are doar doi divizori naturali (el însuși și unul), se numește prim. Cel mai mic dintre ei este un doi, în plus, este singurul număr par din seria lor.
- Dacă două numere au un divizor comun maxim de unu, atunci ele vor fi coprime.
- Un număr cu mai mult de doi divizori se numește număr compus.
- Procesul în care se găsesc toți factorii primi, care, înmulțiți între ei, vor da valoarea inițială a produsului în matematică, se numește descompunere în factori primi. Mai mult decât atât, aceiași factori de expansiune pot apărea de mai multe ori.
În matematică sunt acceptate următoarele notații:
- Divizori D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
- OD (8;18) = (1;2).
- GCD (8;18) = 2.
Diferite moduri de a găsi GCD
Cea mai ușoară întrebare de răspuns cum să găsești NOD când numărul mai mic este un divizor al celui mai mare. Va fi cel mai mare divizor comun în acest caz.
De exemplu, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.
Dar astfel de cazuri în matematică sunt foarte rare, prin urmare, pentru a găsi GCD-ul, se folosesc tehnici mai complexe, deși este încă foarte recomandat să verificați această opțiune înainte de a începe lucrul.
Metoda de descompunere în factori primi
Dacă trebuie să găsiți GCD-ul a două sau mai multe numere diferite, este suficient să descompuneți fiecare dintre ei în factori simpli și apoi să efectuați procesul de înmulțire a celor care se află în fiecare dintre numere.
Exemplul 1
Luați în considerare cum să găsiți GCD 36 și 90:
- 36 = 1*2*2*3*3;
- 90 = 1*2*3*3*5;
GCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.
Acum să vedem cum să găsim același lucru în cazul a trei numere, luați de exemplu 54; 162; 42.
Știm deja cum să descompunăm 36, să ne ocupăm de restul:
- 162 = 1*2*3*3*3*3;
- 42 = 1*2*3*7;
Astfel, GCD (36;162;42) = 1*2*3 = 6.
Trebuie remarcat faptul că este absolut opțional să scrieți unitatea în extensie.
Luați în considerare calea cât de ușor este de factorizat, pentru aceasta, în stânga, vom scrie numărul de care avem nevoie, iar în dreapta, vom scrie divizori simpli.
Coloanele pot fi separate fie printr-un semn de divizare, fie printr-o simplă bară verticală.
- 36 / 2 vom continua procesul de divizare;
- 18 / 2 mai departe;
- 9 / 3 și din nou;
- 3/3 este acum destul de elementar;
- 1 - rezultatul este gata.
36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3 dorit.
Calea euclidiană
Această opțiune este cunoscută omenirii încă de pe vremea civilizației grecești antice, este mult mai simplă și este atribuită marelui matematician Euclid, deși înainte s-au folosit algoritmi foarte similari. Această metodă este de a utiliza următorul algoritm, împărțim numărul mai mare cu rest la cel mai mic. Apoi împărțim divizorul nostru la rest și continuăm să acționăm în acest fel într-un cerc până când împărțirea este completă. Ultima valoare se va dovedi a fi cel mai mare divizor comun dorit.
Să dăm un exemplu de utilizare a acestui algoritm:
Să încercăm să aflăm care GCD pentru 816 și 252:
- 816 / 252 = 3 iar restul este 60. Acum împărțim 252 la 60;
- 252 / 60 = 4, restul de data aceasta va fi 12. Să continuăm procesul nostru circular, împărțind șaizeci la doisprezece;
- 60 / 12 = 5. Întrucât de data aceasta nu am primit niciun rest, avem rezultatul gata, doisprezece va fi valoarea pe care o căutăm.
Deci, la sfârșitul procesului nostru am primit NOD (816;252) = 12.
Acțiuni dacă este necesar să se determine GCD dacă sunt specificate mai mult de două valori
Ne-am dat deja seama ce să facem în cazul în care există două numere diferite, acum vom învăța cum să acționăm dacă există. 3 sau mai multe.
În ciuda complexității aparente, această sarcină nu ne va cauza probleme. Acum alegem oricare două numere și determinăm valoarea pe care o căutăm pentru ele. Următorul pas este găsirea GCD-ului pentru rezultatul obținut și a treia dintre valorile date. Apoi din nou acționăm conform principiului deja cunoscut nouă pentru a patra cincime și așa mai departe.
Concluzie
Deci, cu complexitatea aparent mare a sarcinii puse în fața noastră inițial, de fapt, totul este simplu, principalul lucru este să puteți efectua procesul de împărțire fără eroriși rămâneți la oricare dintre cei doi algoritmi descriși mai sus.
Deși ambele metode sunt destul de acceptabile, într-o școală cuprinzătoare prima metodă este mult mai des folosită.. Acest lucru se datorează faptului că va fi necesară descompunerea în factori primi atunci când se studiază următoarea temă educațională - definiția celui mai mare multiplu comun (LCM). Dar totuși, merită remarcat încă o dată că utilizarea algoritmului lui Euclid nu poate fi în niciun caz considerată eronată.
Video
Cu ajutorul videoclipului, puteți afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun.
Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.
Să rezolvăm problema. Avem două tipuri de cookie-uri. Unele sunt de ciocolată, iar altele sunt simple. Sunt 48 de bucăți de ciocolată, iar simple 36. Este necesar să faceți cât mai mare număr posibil de cadouri din aceste fursecuri, și trebuie folosite toate.
Mai întâi, să notăm toți divizorii fiecăruia dintre aceste două numere, deoarece ambele numere trebuie să fie divizibile cu numărul de cadouri.
Primim
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Să găsim printre divizori pe cei comuni pe care îi au atât primul cât și al doilea număr.
Divizorii comuni vor fi: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Cel mai mare divizor comun dintre toate este 12. Acest număr se numește cel mai mare divizor comun dintre 36 și 48.
Pe baza rezultatului, putem concluziona că din toate prăjiturile pot fi făcute 12 cadouri. Un astfel de cadou va contine 4 fursecuri de ciocolata si 3 fursecuri obisnuite.
Găsirea celui mai mare divizor comun
- Cel mai mare număr natural cu care două numere a și b sunt divizibile fără rest se numește cel mai mare divizor comun al acestor numere.
Uneori, abrevierea GCD este folosită pentru a prescurta intrarea.
Unele perechi de numere au unul ca cel mai mare divizor comun. Se numesc astfel de numere numere coprime. De exemplu, numerele 24 și 35. Au GCD =1.
Cum să găsiți cel mai mare divizor comun
Pentru a găsi cel mai mare divizor comun, nu este necesar să scrieți toți divizorii acestor numere.
Puteți face altfel. Mai întâi, factorizează ambele numere în factori primi.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Acum, din factorii care sunt incluși în extinderea primului număr, îi ștergem pe toți cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. În cazul nostru, acestea sunt două două.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Rămân factorii 2, 2 și 3. Produsul lor este 12. Acest număr va fi cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36.
Această regulă poate fi extinsă la cazul trei, patru și așa mai departe. numerele.
Schema generală pentru găsirea celui mai mare divizor comun
- 1. Descompune numerele în factori primi.
- 2. Din factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere.
- 3. Calculați produsul factorilor rămași.
Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.
de exemplu:
Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.
Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte numărul dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit. Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.
Divizor comun a două numere date Ași b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b. Divizor comun al numerelor multiple (GCD) este numărul care servește drept divizor pentru fiecare dintre ele.
Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b sunt scrise astfel:
Exemplu: mcd (12; 36) = 12.
Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera „D”.
Exemplu:
mcd (7; 9) = 1
Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere sunt numite coprimechi slam.
Numerele coprime sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. MCD-ul lor este 1.
Cel mai mare divizor comun (GCD), proprietăți.
- Proprietatea principală: cel mai mare divizor comun mși n este divizibil cu orice divizor comun al acestor numere. Exemplu: pentru numerele 12 și 18 cel mai mare divizor comun este 6; este divizibil cu toți divizorii comuni ai acestor numere: 1, 2, 3, 6.
- Corolarul 1: mulțime de divizori comuni mși n coincide cu setul de divizori gcd( m, n).
- Corolarul 2: set de multipli comuni mși n coincide cu setul de LCM-uri multiple ( m, n).
Aceasta înseamnă, în special, că pentru a reduce o fracție la o formă ireductibilă, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul acesteia la mcd-ul lor.
- Cel mai mare divizor comun al numerelor mși n poate fi definit ca cel mai mic element pozitiv al mulțimii tuturor combinațiilor lor liniare:
și deci reprezintă ca o combinație liniară de numere mși n:
Acest raport se numește Raportul lui Bezout, și coeficienții uși v — coeficienții bezout. Coeficienții Bézout sunt calculați eficient prin algoritmul Euclid extins. Această afirmație este generalizată la mulțimi de numere naturale - semnificația sa este că subgrupul grupului generat de mulțime este ciclic și este generat de un element: mcd ( A 1 , A 2 , … , un n).
Calculul celui mai mare divizor comun (mcd).
Modalități eficiente de a calcula mcd-ul a două numere sunt algoritmul lui Euclidși binaralgoritm. În plus, valoarea GCD ( m,n) poate fi ușor de calculat dacă se cunoaște extinderea canonică a numerelor mși n pentru factorii primi:
unde sunt numere prime distincte și și sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune). Apoi gcd ( m,n) și LCM ( m,n) sunt exprimate prin formulele:
Dacă există mai mult de două numere: , GCD-ul lor este găsit conform următorului algoritm:
- acesta este GCD-ul dorit.
De asemenea, pentru a găsi cel mai mare divizor comun, puteți descompune fiecare dintre numerele date în factori primi. Apoi scrieți separat numai acei factori care sunt incluși în toate numerele date. Apoi înmulțim numerele scrise între ele - rezultatul înmulțirii este cel mai mare divizor comun .
Să analizăm pas cu pas calculul celui mai mare divizor comun:
1. Descompuneți divizorii numerelor în factori primi:
Calculele sunt scrise convenabil folosind o bară verticală. În stânga liniei, notați mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Mai departe în coloana din stânga notăm valorile private. Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorizăm numerele 28 și 64 în factori primi.
2. Subliniem aceiași factori primi în ambele numere:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Găsim produsul factorilor primi identici și notăm răspunsul:
GCD (28; 64) = 2. 2 = 4
Răspuns: GCD (28; 64) = 4
Puteți aranja locația GCD în două moduri: într-o coloană (cum s-a făcut mai sus) sau „în linie”.
Prima modalitate de a scrie GCD:
Găsiți GCD 48 și 36.
GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
A doua modalitate de a scrie GCD:
Acum să scriem soluția de căutare GCD într-o linie. Găsiți GCD 10 și 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D(15) = (1, 3, 5, 15)
D(10, 15) = (1, 5)
Pentru a afla cum să găsiți cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere, trebuie să înțelegeți ce sunt numerele naturale, prime și complexe.
Un număr natural este orice număr care este folosit pentru a număra numerele întregi.
Dacă un număr natural poate fi împărțit doar la el însuși și la unu, atunci se numește prim.
Toate numerele naturale pot fi împărțite la ele însele și unul, dar singurul număr prim par este 2, toate celelalte pot fi împărțite la doi. Prin urmare, numai numerele impare pot fi prime.
Există o mulțime de numere prime, nu există o listă completă a acestora. Pentru a găsi GCD, este convenabil să folosiți tabele speciale cu astfel de numere.
Majoritatea numerelor naturale pot fi împărțite nu numai la unul, ele însele, ci și la alte numere. Deci, de exemplu, numărul 15 poate fi împărțit la 3 și 5. Toate se numesc divizori ai numărului 15.
Astfel, divizorul oricărui A este numărul cu care poate fi împărțit fără rest. Dacă un număr are mai mult de doi divizori naturali, se numește compus.
Numărul 30 are divizori precum 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Puteți vedea că 15 și 30 au aceiași divizori 1, 3, 5, 15. Cel mai mare divizor comun al acestor două numere este 15.
Astfel, divizorul comun al numerelor A și B este numărul cu care le puteți împărți complet. Maximul poate fi considerat numărul total maxim cu care pot fi împărțiți.
Pentru a rezolva probleme, se folosește următoarea inscripție prescurtată:
GCD (A; B).
De exemplu, GCD (15; 30) = 30.
Pentru a scrie toți divizorii unui număr natural, se folosește notația:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
mcd (9; 15) = 1
În acest exemplu, numerele naturale au un singur divizor comun. Se numesc coprime, respectiv, unitatea este cel mai mare divizor comun al lor.
Cum să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor
Pentru a găsi GCD-ul mai multor numere, aveți nevoie de:
Găsiți separat toți divizorii fiecărui număr natural, adică descompuneți-i în factori (numere prime);
Selectați toți aceiași factori pentru numere date;
Înmulțiți-le împreună.
De exemplu, pentru a calcula cel mai mare divizor comun al numerelor 30 și 56, ați scrie următoarele:
Pentru a nu fi confundat cu , este convenabil să scrieți multiplicatorii folosind coloane verticale. În partea stângă a liniei, trebuie să plasați dividendul, iar în dreapta - divizorul. Sub dividend, ar trebui să indicați coeficientul rezultat.
Deci, în coloana din dreapta vor fi toți factorii necesari pentru soluție.
Divizorii identici (factorii găsiți) pot fi subliniați pentru comoditate. Ele ar trebui rescrise și înmulțite, iar cel mai mare divizor comun trebuie notat.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Este chiar atât de simplu să găsești cel mai mare divizor comun al numerelor. Cu puțină practică, o poți face aproape automat.
