В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x) . Зафиксируем точку М(х 0 ; f (x 0)) . Придадим абсциссе х 0 приращение Δх . Мы получим новую абсциссу х 0 +Δх . Это абсцисса точки N , а ордината будет равна f (х 0 +Δх ). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy .

Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Через точки M и N проведем секущую MN , которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох . Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN .

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ , а угол φ станет углом α . Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ :

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох :

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Лекция: Понятие о производной функции, геометрический смысл производной

Понятие о производной функции

Рассмотрим некоторую функцию f(x), которая будет непрерывной на всем промежутке рассмотрения. На рассматриваемом промежутке выберем точку х 0 , а также величину функции в данной точке.

Итак, давайте рассмотрим график, на котором отметим нашу точку х 0 , а также точку (х 0 + ∆х). Напомним, что ∆х – это расстояние (разница) между двумя выбранными точками.

Так же стоит понимать, что каждому х соответствует собственное значение функции у.

Разница значений функции в точке х 0 и (х 0 + ∆х) называется приращением данной функции: ∆у = f(х 0 + ∆х) - f(х 0).

Давайте обратим внимание на дополнительную информацию, которая имеется на графике – это секущая, которая названа КL, а также треугольник, который она образует с интервалами KN и LN.

Угол, под которым находится секущая, называется её углом наклона и обозначается α. Легко можно определить, что градусная мера угла LKN так же равна α.

А теперь давайте вспомним соотношения в прямоугольном треугольнике tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

То есть тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента.

В свое время, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента на бесконечно малых интервалах.

Производная определяет скорость, с которой происходит изменение функции на некотором участке.

Геометрический смысл производной

Если найти производную любой функции в некоторой точке, то можно определить угол, под которым будет находится касательная к графику в данной токе, относительно оси ОХ. Обратите внимание на график – угол наклона касательно обозначается буквой φ и определяется коэффициентом k в уравнении прямой: y = kx + b.

То есть можно сделать вывод, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной в некоторой точке функции.

Цели урока:

Учащиеся должны знать:

• что называется угловым коэффициентом прямой;
• углом между прямой и осью Ох;
• в чем состоит геометрический смысл производной;
• уравнение касательной к графику функции;
• способ построения касательной к параболе;
• уметь применять теоретические знания на практике.

Задачи урока:

Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.

Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.

Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.

Методы организации учебно-познавательной деятельности:

• наглядные;
• практические;
• по мыслительной деятельности: индуктивный;
• по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;
• по степени самостоятельности: лабораторная работа;
• стимулирующие: поощрения;
• контроля: устный фронтальный опрос.

План урока

1. Устные упражнения (найти производную)
2. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.
3. Изучение нового материала
4. Физ. Минутка.
5. Решение заданий.
6. Лабораторная работа.
7. Подведение итогов урока.
8. Комментирование домашнего задания.

Оборудование: мультимедийный проектор (презентация), карточки (лабораторная работа).

Ход урока

“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”

Л. Фейербах

I. Организационный момент.

Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.

Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.

Определить значимость изучаемого материала как в данной теме, так и во все курсе.

Устный счет

1. Найдите производные:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

5х 3 -6х	15х 2 -6	30х
2sinx	2cosx …
cos2x	… …

II. Сообщение ученика на тему “Причины появления математического анализа”.

Общее направление развития науки, в конечном счете, обусловлено требованиями практики человеческой деятельности. Существование древних государств со сложной иерархической системой управления было бы невозможно без достаточного развития арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабжения армии, строительство дворцов и пирамид, создание оросительных систем требовали выполнения сложных расчетов. В эпоху Возрождения расширяются связи между различными частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла. Начинается быстрый подъем технического уровня производства, промышленное применение получают новые источники энергии, не связанные с мускульными усилиями человека или животных. В XI-XII столетии появляются сукновальные и ткацкие станки, а в середине XV - печатный станок. В связи с потребностью в быстром развитии общественного производства в этот период изменяется сущность естественных наук, носивших со времен древности описательный характер. Целью естествознания становится углубленное изучение естественных процессов, а не предметов. Описательному естествознанию древности соответствовала математика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо было создать математический аппарат, который давал бы описание не результата процесса, а характера его течения и свойственных ему закономерностей. В итоге к концу XII столетия, Ньютон в Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания математического анализа. Что же такое “математический анализ”? Как можно охарактеризовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Использовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того или иного явления?

III. Изучение нового материала.

Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.

Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.

Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой. k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.

Рисунок 1

Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)

Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС <МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Рисунок 2

Рисунок 3

Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.

Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .

Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х –> 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.

Механический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .

IV. Физкультминутка.

V. Решение заданий.

№91(1) стр 91 – показать на доске.

Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.

№91 (3,5) – под диктовку.

№92(1) – на доске по желанию.

№ 92 (3) – самостоятельно с устной проверкой.

№92 (5) – за доской.

Ответы: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .

VI. Лабораторная работа.

Цель: отработка понятия “механический смысл производной”.

Приложения производной к механике.

Задан закон прямолинейного движения точки х = х(t), t.

1. Среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
2. Скорость и ускорение в момент времени t 04
3. Моменты остановки; продолжает ли точка после момента остановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в противоположном направлении;
4. Наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.

Работа выполняется по 12 вариантам, задания дифференцированы по уровню сложности (первый вариант - наименьший уровень сложности).

Перед началом работы беседа по вопросам:

1. Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).
2. Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).
3. Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).
4. Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).

Образец выполнения работы учащимся.

х(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Рисунок 4

В противоположном направлении.

Начертим схематично график скорости. Наибольшая скорость достигается в точке

t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

Рисунок 5

VII. Подведение итогов урока

1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?
3) Сделайте вывод о своей работе.

VIII. Комментирование домашнего задания.

Стр.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стр. 92 №112.

Используемая литература

• Учебник Алгебра и начала анализа.
  Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунина.
  Под редакцией А. Б. Жижченко.
• Алгебра 11 класс. Поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова. Часть 1.
• Интернет-ресурсы:

Геометрический смысл производной. Задачи на экзамене связанные данной темой у выпускников вызывают некоторые затруднения. Большинство же из них, на самом деле, очень просты. В этой статье разберём задания, в которых требуется найти производную при заданном графике функции и касательной к графику в определённой точке

*При чём в этих задачах на эскизе явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения?

Построим произвольный график некой функции y = f (x) на координатной плоскости, построим касательную в точке x о , обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)

Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:

То есть производная функции y = f (x ) в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной:

А угловой коэффициент в свою очередь равен тангенсу угла α (альфа), то есть:

Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю.

Проиллюстрируем, два случая:

1. Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).

2. Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох ).

То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).

Ниже рассмотрим решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох ), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите!

Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах).

Что ещё потребуется - это знание для тангенса тупого угла.

y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям. В данной задаче это точки (–5; –4), (1; 5).

Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катеты определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, ох . Значит

Ответ: 1,5

y = f (x ) x 0 y = f (x ) в точке x 0 .

Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–5; –7), (3; 3).

Катеты также определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох . Значит

Ответ: 1,25

На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 .

Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–3; 3) и (5; 11). Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы получился внешний угол.

Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох. Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:

Значит

*Длины катетов считаем по количеству клеток.

Ответ: -1,75

На рисунке изображены график функции y = f (x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции y = f (x ) в точке x 0 . х 0

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Тип задания: 7

Условие

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Обозначим через C(-6; 1) точку пересечения прямых x=-6 и y=1, а через \alpha угол ABC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \pi -\alpha, который является тупым.

Как известно, tg(\pi -\alpha) и будет значением производной функции f(x) в точке x_0. Заметим, что tg \alpha =\frac{AC}{CB}=\frac{2-1}{-1-(-6)}=\frac15. Отсюда по формулам приведения получаем: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=-2x-4 является касательной к графику функции y=16x^2+bx+12. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=16x^2+bx+12, через которую

проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=32x_0+b=-2. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть 16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. Получаем систему уравнений \begin{cases} 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end{cases}

Решая систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания больше нуля, поэтому x_0=1, тогда b=-2-32x_0=-34.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6.

Показать решение

Решение

Прямая y=6 параллельна оси Ox . Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 4 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

Прямая y=4x-6 параллельна касательной к графику функции y=x^2-4x+9. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=x^2-4x+9 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=2x-4, значит, y"(x_0)=2x_0-4. Угловой коэффициент касательной y=4x-7, указанной в условии, равен 4 . Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что 2x_0-4=4. Получаем: x_0=4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции

Условие

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Показать решение

Решение

По рисунку определяем, что касательная проходит через точки A(1; 1) и B(5; 4). Обозначим через C(5; 1) точку пересечения прямых x=5 и y=1, а через \alpha угол BAC (на рисунке видно, что он острый). Тогда прямая AB образует с положительным направлением оси Ox угол \alpha.