Расчет погрешностей при прямых и косвенных измерениях
Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения . Измерения выполняются опытным путем с помощью специальных технических средств.
Прямыми измерениями называются измерения, результат которых получается непосредственно из опытных данных (например, измерение длины линейкой, времени – секундомером, температуры – термометром). Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых получают в процессе прямых измерений (например, определение скорости по пройденному пути и времени https://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Всякое измерение, как бы оно тщательно не было выполнено, обязательно сопровождается погрешностью (ошибкой) – отклонением результата измерений от истинного значения измеряемой величины.
Систематические погрешности – это погрешности, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, в одних и тех же условиях. Систематические погрешности происходят:
В результате несовершенства приборов, используемых при измерениях (например, стрелка амперметра может быть отклонена от нулевого деления в отсутствие тока; у коромысла весов могут быть неравные плечи и др.);
В результате недостаточно полной разработки теории метода измерений, т. е. метод измерений содержит в себе источник ошибок (например, возникает ошибка, когда в калориметрических работах не учитывается потеря тепла в окружающую среду или когда взвешивание на аналитических весах производится без учета выталкивающей силы воздуха);
В результате того, что не учитывается изменение условий опыта (например, при долговременном прохождении тока по цепи в результате теплового действия тока меняются электрические параметры цепи).
Систематические погрешности можно исключить, если изучить особенности приборов, полнее разработать теорию опыта и на основе этого вносить поправки в результаты измерений.
Случайные погрешности – это погрешности, величина которых различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Причины их кроются как в несовершенстве наших органов чувств, так и во многих других обстоятельствах, сопровождающих измерения, и которые нельзя учесть заранее (случайные ошибки возникают, например, если равенство освещенностей полей фотометра устанавливается на глаз; если момент максимального отклонения математического маятника определяется на глаз; при нахождении момента звукового резонанса на слух; при взвешивании на аналитических весах, если колебания пола и стен передаются весам и т. д.).
Случайных погрешностей избежать нельзя. Их возникновение проявляется в том, что при повторении измерений одной и той же величины с одинаковой тщательностью получаются числовые результаты, отличающиеся друг от друга. Поэтому, если при повторении измерений получались одинаковые значения, то это указывает не на отсутствие случайных погрешностей, а на недостаточную чувствительность метода измерений.
Случайные погрешности изменяют результат как в одну, так и в другую сторону от истинного значения, поэтому, чтобы уменьшить влияние случайных ошибок на результат измерений, обычно многократно повторяют измерения и берут среднее арифметическое всех результатов измерений.
Заведомо неверные результаты - промахи возникают вследствие нарушения основных условий измерения, в результате невнимательности или небрежности экспериментатора. Например, при плохом освещении вместо “3” записывают “8”; из-за того, что экспериментатора отвлекают, он может сбиться при подсчете количества колебаний маятника; из-за небрежности или невнимательности он может перепутать массы грузов при определении жесткости пружины и т. д. Внешним признаком промаха является резкое отличие результата по величине от результатов остальных измерений. При обнаружении промаха результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить. Выявлению промахов способствует также сравнение результатов измерений, полученных разными экспериментаторами.
Измерить физическую величину это значит найти доверительный интервал , в котором лежит ее истинное значение https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21">..png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> случаев истинное значение измеряемой величины попадет в доверительный интервал. Величина выражается или в долях единицы, или в процентах. При большинстве измерений ограничиваются доверительной вероятностью 0,9 или 0,95. Иногда, когда требуется чрезвычайно высокая степень надежности, задают доверительную вероятность 0,999. Наряду с доверительной вероятностью часто пользуются уровнем значимости , который задает вероятность того, истинное значение не попадает в доверительный интервал. Результат измерения представляют в виде
где https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> – абсолютная погрешность. Таким образом, границы интервала , https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> лежит в пределах этого интервала.
Для того чтобы найти и , выполняют серию однократных измерений. Рассмотрим конкретный пример..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height="23">.png" width="72" height="24">. Значения могут и повторяться, как значения и https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png" width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Соответственно уровень значимости .
Среднее значение измеряемой величины
Измерительный прибор также вносит свой вклад в погрешность измерений. Эта погрешность обусловлена конструкцией прибора (трением в оси стрелочного прибора, округлением, производимым цифровым или дискретным стрелочным прибором и пр.). По своей природе это систематическая ошибка, но ни величина, ни знак ее для данного конкретного прибора неизвестны. Приборную погрешность оценивают в процессе испытаний большой серии однотипных приборов.
Нормированный ряд классов точности измерительных приборов включает такие значения: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности прибора равен выраженной в процентах относительной ошибке прибора по отношению к полному диапазону шкалы. Паспортная погрешность прибора
Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до 
с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность 
, где 
и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина 
называется абсолютной погрешностью
(ошибкой) измерения, а выражение 
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.
Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.
Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.
Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.
Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком
Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.
Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.
Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.
2 . Оценка систематической (приборной) погрешности
При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.
Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна 
мВ.
Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна 
кг/м 3 .
Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.
При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений
функциональной величины 
используется формула
, (1)
где 
- приборные ошибки прямых измерений величины 
, 
- частные производные функции по переменной .
В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид
.
Частные производные по переменным d и h будут равны
, 
.
Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид
,
где 
и 
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра
3. Оценка случайной погрешности.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.
погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,
чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.
График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид
, (2)
где 
- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки 
, σ – средняя квадратичная ошибка.
Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.
Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического 
. Величина которой определяется по формуле
, (3)
где 
- результат i
-го измерения; 
- среднее арифметическое полученных значений; n
– число измерений.
Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде 
.
Интервал значений от 
до 
, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом.
Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью,
или надежностью
измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)
Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента.
Это распределение вероятностей случайной величины 
, называемой коэффициентом Стьюдента
, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .
. (4)
Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.
Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α
Таблица 1.
Пользуясь данными таблицы, можно:
определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;
выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.
При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле
. (5)
Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.
Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.
Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей
, (6)
где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.
В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.
, α=…, Е=…
(7)
Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n
с большой ошибкой. При вычислении Δх
при числе измерений 
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх
= 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх
=0,04, а если Δх
=0,123, то пишем Δх
=0,12.
Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.
4. Методика расчета погрешностей измерений.
Погрешности прямых измерений
При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.
. (8)
.
.
Определяется суммарная погрешность
Оценивается относительная погрешность результата измерений
.
Записывается окончательный результат в виде
, с α=… Е=…%.
5. Погрешность косвенных измерений
При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин 
, можно использовать два способа.
Первый способ
используется, если величина y
определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется 
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y
i
. (9)
Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.
Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле
Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде
, с α=… Е=…%.
6. Пример оформления лабораторной работы
Лабораторная работа №1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА
Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.
Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.
Порядок выполнения работы
Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.
Расчетная формула для вычисления объема цилиндра
где d – диаметр цилиндра; h – высота.
Результаты измерений
Таблица 2.
№ измерения | ||||||
| ; |
; 
.
; Е = 0,5%.
, Е = 0,5%.
В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы
где r – плотность тела, m – масса тела, d – диаметр цилиндра, h – его высота.
Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:
где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X 1 , X 2 ,... , X n – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m , d , и h .
Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X 1 , X 2 , ... , X n всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность)полученного значения DY и относительную погрешность e.
При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:
1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX 1 ñ, áX 2 ñ, …, áX n ñ;
2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áY ñ, подставив вформулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;
3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX 1 , DX 2 , ..., DX n , воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);
4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;
6) записать результат измерения с учетом погрешности.
Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):
где ¶Y¤¶X 1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X 1 , X 2 , …, X n (когда берется частная производная, например по X 1 , то все остальные величины X i в формуле считаются постоянными), DX i – абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).
Рассчитав DY, находят относительную погрешность .
Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.
Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y , получим
Но так как , то можно записать
Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную .
В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:
ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h ,
а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что
Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим .
Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Y i . Далее, принимая каждое из значений Y i (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áY ñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.
Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:
где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y .
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерением называют нахождение значений физических величин опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения бывают прямые и косвенные. При прямом измерении искомое значение физической величины находят непосредственно с помощью измерительных приборов (например, измерение размеров тел с помощью штангенциркуля). Косвенным называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят на основании известной функциональной зависимости между измеряемой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, при определении объема V цилиндра измеряют его диаметр D и высоту Н, а затем по формуле p D 2 /4 вычисляют его объем.
Вследствие неточности измерительных приборов и трудности учета всех побочных явлений при измерениях неизбежно возникают погрешности измерений. Погрешностью или ошибкой измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.
Классификация погрешностей измерений
Погрешности разделяют на три вида:
1) грубые или промахи,
2) систематические,
3) случайные .
Грубые погрешности - это ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.
Систематические погрешности - ошибки, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль). Для того, чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.
Случайные погрешности - это ошибки, причина которых заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.). Случайные погрешности являются неустранимыми, они неизбежно присутствуют во всех измерениях, но их можно оценить, применяя методы теории вероятностей.
Обработка результатов прямых измерений
Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений:
x 1 , x 2 , ... x n .
Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.
Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое
. (1)
Здесь x i – результат i–го измерения; n – число измерений. Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной абсолютной погрешности D x, которую вычисляют по формуле
,
(2)
где t(a ,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a . Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.
Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятного для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.
Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.
Таблица 1
|
Число измерений n |
Доверительная вероятность a |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Из табл. 1 видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a . Практически выбирают a =0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.
Поясним смысл терминов абсолютная погрешность
D
x
и доверительная вероятность
a
,
используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины
Рис.1
Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины x ист попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a .
Вычислив величину абсолютной погрешности
D
x
по формуле (2), истинное значение x измеряемой физической величины можно
записать в виде x=
Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность , которую обычно выражают в процентах,
. (3)
Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:
1. Провести измерения n раз.
2. Вычислить среднее арифметическое значение по формуле (1).
3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a =0.95).
4. По таблице 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.
5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (2) и сравнить ее с аппаратурной. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше.
6. По формуле (3) вычислить относительную ошибку e .
7. Записать окончательный результат
x=
Обработка результатов косвенных измерений
Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x 1 , x 2 , ... x k некоторой функциональной зависимостью
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
Среди величин x 1 , x 2 , ... x k имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную D y и относительную e погрешности величины y.
В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем – абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения
.
(5)
Здесь
,
где
- частная производная функции по переменной x i, при вычислении
которой все величины, кроме x i , считаются
постоянными;
D
x i
– абсолютная погрешность величины x i . Если x i
получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение
Запишем конечный результат:
y=
Здесь
Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле
.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить объем цилиндра:
. (6)
Здесь D – диаметр цилиндра, H – его высота,
измеренная штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм. В результате многократных
измерений найдем средние значения
,
(7)
где D D и D H – абсолютные ошибки прямых измерений диаметра и высоты. Их величины рассчитываем по формуле (2): D D=0.01 мм; D H=0.13 мм. Сравним вычисленные ошибки с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D не 0.01 мм, а 0.1 мм.
Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной ошибкой Dp / p в формуле (7) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных ошибок D D и D H видно, что наибольший вклад в относительную ошибку измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает e H =0.01. Следовательно, значение p нужно взять 3.14. В этом случае Dp / p » 0.001 (Dp =3.142-3.14=0.002).
В абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.
Примечания.
1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).
2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка последней значащей цифры.
Действия с приближенными числами
Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
1) когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 – четыре значащих цифры);
2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 – только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.
Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил.
1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934+3,24+1,188=5,3214 » 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632 ´ 2,8 ´ 3,53. Вместо этого выражения следует вычислять
8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата нужно вычислить за ней цифру. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу. Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.
3. Результат расчета значений функций x n ,
,
lg(x
) некоторого приближенного числа x
должен содержать
столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x
. Например:
.
Построение графиков
Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того, чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.
Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс, а значения функции – на оси ординат. Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).
Рис.2
Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1;10;100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин (рис. 2).
Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.
Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рисунок 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.
Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И УЧЕТ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx o , для второго - допускаемая погрешность Δx д . Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δx :
.
Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора.
Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора, но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.
Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.
Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек ± 1 мм.
Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± (3–4) мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0–25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равно цене деления, т.е. 0,01 мм.
При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г – 50 мг, при нагрузке меньше 20 г – 25 мг.
Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.
Формулы вычисления погрешностей косвенных измерений основаны на представлениях дифференциального исчисления.
Пусть зависимость величины Y от измеряемой величины Z имеет простой вид: .
Здесь и - постоянные, значения которых известны. Если z увеличить или уменьшить на некоторое число , то соответственно изменится на :
Если - погрешность измеренной величины Z , то соответственно будет погрешностью вычисляемой величины Y .
Получим формулу абсолютной погрешности в общем случае функции одной переменной . Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рис.1. Точному значению аргумента z 0 соответствует точное значение функцииy 0 = f(z 0).
Измеренное значение аргумента отличается от точного значения аргумента на величину Δz вследствие ошибок измерений. Значение функции будет отличаться от точного на величину Δy.
Из геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке (рис. 1) следует:
. (10)
Формула для относительной погрешности косвенного измерения в случае функции одной переменной будет иметь вид:
. (11)
Учитывая, что дифференциал функции равен , получим
(12)
Если косвенное измерение представляет собой функцию m
переменных 
, то погрешность косвенного измерения будет зависеть от погрешностей прямых измерений . Частную погрешность, связанную с ошибкой измерения аргумента , обозначим . Она составляет приращение функции за счет приращения при условии, что все остальные аргументы неизменны. Таким образом, частную абсолютную погрешность запишем согласно (10) в следующем виде:
(13)
Таким образом, чтобы найти частную погрешность косвенного измерения , надо, согласно (13), частную производную умножить на погрешность прямого измерения . При вычислении частной производной функции по остальные аргументы считаются постоянными.
Результирующая абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле, в которую входят квадраты частных погрешностей
косвенного измерения :
или с учетом (13)
(14)
Относительная погрешность косвенного измерения определяется по формуле:
Или с учетом (11) и (12)
. (15)
Пользуясь (14) и (15), находят одну из погрешностей, абсолютную или относительную, в зависимости от удобства вычислений. Так, например, если рабочая формула имеет вид произведения, отношения измеряемых величин, ее легко логарифмировать и по формуле (15) определить относительную погрешность косвенного измерения. Затем абсолютную погрешность вычислить по формуле (16):
Для иллюстрации вышеизложенного порядка определения погрешности косвенных измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника».
Рабочая формула (1) имеет вид отношения измеряемых величин:
Поэтому начнем с определения относительной погрешности. Для этого прологарифмируем данное выражение, а затем вычислим частные производные:
; ; 
.
Подстановка в формулу (15) приводит к формуле относительной погрешности косвенного измерения:
(17)
После подстановка результатов прямых измерений
{ 
; 
} в (17) получаем:
(18)
Для вычисления абсолютной погрешности используем выражение (16) и ранее вычисленное значение (9) ускорения свободного падения g :
Результат вычисления абсолютной погрешности округляем до одной значащей цифры. Вычисленное значение абсолютной погрешности определяет точность записи окончательного результата:
, α ≈ 1. (19)
При этом доверительная вероятность определяется доверительной вероятностью тех из прямых измерений, которые внесли решающий вклад в погрешность косвенного измерения. В данном случае это измерения периода.
Таким образом, с вероятностью близкой к 1 величина g лежит в пределах от 8 до 12 .
Для получения более точного значения ускорения свободного падения g необходимо совершенствовать методику измерений. С этой целью надо уменьшить относительную погрешность , которая в основном, как следует из формулы (18), определяется погрешностью измерения времени.
Для этого надо измерять время не одного полного колебания, а, например, 10-ти полных колебаний. Тогда, как следует из (2), формула относительной погрешности примет вид:
. (20)
В табл.4 представлены результаты измерения времени для N = 10
Для величины L возьмем результаты измерений из табл.2. Подставляя результаты прямых измерений в формулу (20), найдем относительную погрешность косвенного измерения:
По формуле (2) вычислим значение косвенно измеряемой величины:
.
.
Окончательный результат записывается в виде:
; ; .
В этом примере показана роль формулы относительной погрешности в анализе возможных направлений совершенствования методики измерений.
