Общий метод линеаризации
В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения ᴇᴦο обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).
Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида
Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.
Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь значения где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х10.
Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем˸ а также .
Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.
Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) должна быть записано для установившего состояния в виде
Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора
где D – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .
В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.
Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в данном уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях˸
В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют из себянекоторые постоянные коэффициенты в том случае, в случае если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.
Общий метод линеаризации - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Общий метод линеаризации" 2015, 2017-2018.
В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).
Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида
Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.
Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь значения где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х10.
Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем: а также .
Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.
Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде
Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора
где D – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .
В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.
Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:
В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.
Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид
где введены следующие обозначения
Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями
И т.д. (2.7)
Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде
Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.
Коэффициенты Т1 и Т2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.8) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность (или px2) отличается от размерности х2 на секунду в минус первой степени (). Поэтому коэффициенты Т1 и Т2 называют постоянными времени .
Коэффициент k1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.
Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии . Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена , то линеаризация дает или . Коэффициент передачи k1 будет представлять собой тангенс угла наклона касательной в той точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х1 и х2.
Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.
Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C, определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k1 = tg c учетом масштабов чертежа и размерности x2. Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.
Размерность коэффициента k2 равна размерности коэффициента передачи k1, умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде
где – постоянная времени.
Постоянные времени Т1, Т2 и Т3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.
Коэффициент k3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.
В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).
Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:
Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.
В этих формулах RВ и RЯ – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; ІВ и ІЯ – токи в этих цепях; UВ и UЯ – напряжения, приложенные к этим цепям; wВ – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток; Ω – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил; J – приведенный момент инерции двигателя; СЕ и
СМ – коэффициенты пропорциональности.
Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:
Если теперь напряжение возбуждения получит приращение UВ = UВ0 + ΔUВ, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: ІВ = ІВ0 + ΔІВ; Ф = Ф0 + ΔФ; IЯ = IЯ0 + ΔІЯ; Ω = Ω0 + ΔΩ.
Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем:
Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:
В этих уравнениях введен коэффициент пропорциональности между приращением потока и приращением тока возбуждения определяемый из кривой намагничивания электродвигателя (рис. 2.5).
Совместное решение системы (2.13) даёт
где коэффициент передачи, ,
электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,
где LB = a wB – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,
Из выражений (2.15) – (2.17) видно, что рассматриваемая система является по существу нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени, на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.
Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме UB0 = 0; ІB0 = 0; Ф0 = 0 и Ω0 = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид
В этом случае статическая характеристика будет связывать приращение ускорения двигателя и приращение напряжения в цепи возбуждения.
Контрольные вопросы
1. Опишите линейные и нелинейные САР.
2. Дайте понятие линеаризации и объясните ее необходимость.
3. Изложите общий метод линеаризации.
4. Какова стандартная форма записи дифференциальных уравнений?
В
Рис. 2.2. Звено САР
Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида
Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.
Основанием для линеаризации служит
предположение о достаточной малости
отклонений всех переменных, входящих
в уравнение динамики звена, так как
именно на достаточно малом участке
криволинейную характеристику можно
заменить отрезком прямой. Отклонения
переменных отсчитываются при этом от
их значений в установившемся процессе
или в определенном равновесном состоянии
системы. Пусть, например, установившийся
процесс характеризуется постоянным
значением переменной Х 1 ,
которое обозначим Х 10 .
В процессе регулирования (рис. 2.3)
переменная Х 1 будет иметь значениягде
обозначает отклонение переменнойX 1 от установившегося значения Х 10 .
А
Рис. 2.3. Процесс
регулирования в звене
.
Далее можно записать:
;
и
,
так как
и
Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.
Установившееся состояние звена определяется значениями Х 10 , Х 20 и F 0 . Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде
Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора
где
– члены высшего порядка. Индекс 0 при
частных производных означает, что после
взятия производной в её выражение надо
подставить установившееся значение
всех переменных
.
В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.
Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:
В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.
Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид
где введены следующие обозначения
.
(2.6)
Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями
Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде
Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.
Коэффициенты Т 1 и Т 2 имеют размерность времени – секунды.
Это вытекает из того, что все слагаемые
в уравнении (2.8) должны иметь одинаковую
размерность, а например, размерность
(илиpx 2)
отличается от размерности х 2 на секунду в минус первой степени (
).
Поэтому коэффициенты Т 1 и Т 2
называютпостоянными времени
.
Коэффициент k 1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называетсякоэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.
Коэффициент передачи характеризует
статические свойства звена, так как в
установившемся состоянии
.
Следовательно, он определяет крутизну
статической характеристики при малых
отклонениях. Если изобразить всю реальную
статическую характеристику звена
,
то линеаризация дает
или
.
Коэффициент передачи k 1 будет представлять
собой тангенс угла наклона
касательной в той точкеC(см. рис. 2.3), от которой отсчитываются
малые отклонения х 1 и х 2 .
Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.
Кроме того, отсюда вытекает другой,
графический способ линеаризации. Если
известна статическая характеристика
и точка C, определяющая
установившееся состояние, около которого
происходит процесс регулирования, то
коэффициент передачи в уравнении звена
определяется графически из чертежа по
зависимости k 1 = tg
cучетом масштабов чертежа
и размерностиx 2 .
Во многих случаяхграфический метод
линеаризации
оказывается более
удобным и быстрее приводит к цели.
Размерность коэффициента k 2 равна размерности коэффициента передачи k 1 , умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде
где
– постоянная времени.
П
Рис. 2.4. Двигатель
независимого возбуждения
Коэффициент k 3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.
В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).
Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:
;
.
Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.
В этих формулах R В и R Я – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; І В и І Я – токи в этих цепях; U В и U Я – напряжения, приложенные к этим цепям; В – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток; Ω – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил;J– приведенный момент инерции двигателя; С Е и С М – коэффициенты пропорциональности.
Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:
(2.11)
Если теперь напряжение возбуждения получит приращение U В = U В0 + ΔU В, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I Я = I Я0 + ΔІ Я; Ω = Ω 0 + ΔΩ.
Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем:
(2.12)
Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:
(2.13)
В
Рис. 2.5.
Кривая намагничивания
определяемый из кривой намагничивания
электродвигателя (рис. 2.5).
Совместное решение системы (2.13) даёт
где коэффициент передачи,
,
;
(2.15)
электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,
(2.16)
где L B = a B – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,
.
(2.17)
Из выражений (2.15) – (2.17) видно, что рассматриваемая система является по существу нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени, на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.
Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме U B0 = 0; І B0 = 0; Ф 0 = 0 и Ω 0 = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид
.
(2.18)
В этом случае статическая характеристика
будет связывать приращение ускорения
двигателя
и приращение напряжения в цепи возбуждения.
Я должен был выложить эту статью вчера вечером, как и обещал, но этому мне помешала советская виниловая техника, которая требует полного разбора независимо от серьезности поломки.
Продолжу делаться секретами ТАУ. На этот раз вопрос коснется линеаризации. Очень часто два параметра связаны между собой нелинейной зависимостью. Гиперболической, параболической, логарифмической и т. п. Это очень неудобно при ведении расчетов. К примеру, у нас имеется энкодер на выходе которого серия импульсов. Частота вращения энкодера обратно-пропорциональна периоду следования импульсов. Общая задача - получить обратную связь по скорости. Вся шкала от 0 до 100% должна получиться относительно линейной, дабы впоследствии обеспечить стабилизацию скорости.
По катом графики из Calca, много воды и капелька теории:
В openOffice Calc построим нашу кривую по исходной зависимости:
Зависимость частоты вращения энкодера в процентах от периода следования импульсов в тиках таймера.
Как видите, для нахождения частоты вращения придется делить. Это ресурсозатратно. Более того, это у нас гипербола, а где-то может быть логарифм. Это еще хуже. Нужно упрощать. Нужно линеаризовать. В чем заключается линеаризация? Тут может быть два подхода.
Возьмем, к примеру, кривую насыщения стали:
Если работать в диапазоне 0-а, то можно считать, что данный элемент линеен. Смысл такой задачи -ограничить себя в рабочем диапазоне. Где-то это подходит. Где-то нет.
В нашем случае правильным решением будет другой способ - мы разобьем нашу кривую на интервалы. К примеру кривую насыщения можно разбить на участки 0-а, а-б, б-… Внутри этого участка зависимость между напряженностью магнитного поля и намагниченностью грубо говоря прямо пропорциональна.
Разобьем наш график на два участка. Вот так:
Грубовато выглядит, согласен. Лучшим вариантом бы было разбить кривую на три участка. Но в нашем случае и этого достаточно.
Воспользуемся формулой отрезка:
Из графика определим координаты:
И вычислим наши функции:
Для участка малых скоростей:
Для участка больших скоростей:
Посмотрим что у нас получилось:
Да, вполне сойдет. Как раз на больших скоростях малая погрешность. Теперь посмотрим как выглядит зависимость между абсолютной и относительной скоростями:
Ну, в области малых скоростей все выглядит не самым лучшим образом, но на глаз мы там толком ничего и не увидим, а вот в области больших скоростей относительно линейно. Лично меня вполне устраивает подобный результат.
Теперь все что нужно - по приходу очередного импульса от энкодера использовать следующий код:
//у меня этот код вызывается таймером, отвечающим за ШИМ привода.
tic++;
if (Encoder.Impulse){
if (tic>130)//частота вращения больше 22%
speed=-0,016*tic+24;
else //частота вращения меньше 22%
speed=-0,76*tic+121;
tic=0;
}
else{//на нулевой скорости период следования импульсов равен бесконечности
if (tic>2000){//поэтому если мы превысили некоторую мыслимую величину
speed=0;//то считаем что энкодер неподвижен.
tic-=1000;//тики приравнивать к нулю при этом нельзя -если следующим тиком придет импульс, то привод насчитает огромную скорость.
}
}
Описанный здесь метод не претендует на звание единственного и повторимого. Основной смысл данной статьи - рекомендация моделировать и рассчитывать подобные вещи.
В следующие разы мы рассмотрим цифровые реализации типовых звеньев и постепенно создадим библиотеку компонентов.
Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графическом виде (см. рис.30). Максимальная метка °С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывается на 40 клетках, что соответствует очень удобному разделению по 10 клеток на кажые 50°С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расставить их через 2 клетки, что придаст простоту определения координаты, так как интервал между такими рисками будет соответствовать 10°С, что очень удобно.
А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на кажые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному использованию площади бумаги. Но, посудите сами, если разделить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить координату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соответствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси.
Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откроем методические указания по выполнению лабораторных работ на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую зависимость сопротивления полупроводника от темепературы ,
где – ширина запрещенной зоны, – постоянная Больцмана, – некоторая константа, имеющая размерность сопротивления, и, наконец, температура , выраженная в Кельвинах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, температуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе задачу не только нарисовать новый график , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого прологарифмируем экспоненциальную зависимость и получим 
Обозначим , , и . Тогда получим линейную зависимость ,
которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответствующие значениям и , запишем в таблицу 9.
Таблица 9. Пересчет данных таблицы 8.
| номер точки | ||||||||||
| T, K | ||||||||||
| 1/T , 10 –3 K –1 | 3,34 | 3,19 | 3,00 | 2,83 | 2,68 | 2,54 | 2,42 | 2,31 | 2,21 | 2,11 |
| lnR , Ом | 7,62 | 7,51 | 7,25 | 7,06 | 6,99 | 6,74 | 6,61 | 6,56 | 6,36 | 6,34 |
Если по данным таблицы 9 построить график зависимости на рис.31, то все экспериментальные точки займут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Почему так получилось? Потому что по осям Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, например, начинаются только со значения . Обязательно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятником Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересечение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной , соответствующая коэффициенту наклона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно расставлять метки на осях, начиная с 0.
Изучая данные из табл.9 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью сказать, что ориентацию миллиметровой бумаги нужно изменить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите выбранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоретической прямой (проведенной на глаз наилучшим способом между экспериментальными точками) поставим две точки А и В с координатами и . Коэффициент наклона выразим через координаты этих точек по формуле
И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны
Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент и его погрешность , для этого рассмотрим пары точек из таблицы 9:
1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10.
Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них
Среднее значение
, 
Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны и ее погрешность .
Таким образом мы пришли к ответу
эВ
Самостоятельная работа.
Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – статический и динамический.
Кратко рассмотрим эти методы.
Статический метод.
Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой , то пружина растянется на согласно закону Гука, где – длина растянутой пружины, а – длина нерастянутой пружины (начальная длина).
Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины абсолютному удлинению , т.е. , где – коэффициент упругости (или жесткость) пружины.
В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесится силой упругости и мы можем написать . Раскроем скобки и увидим зависимость длины пружины от массы груза
Если сделать замену переменных , то получится уравнение прямой . Не надо делать линеаризацию!
Итак, перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 10, которые были занесены туда юным Экспериментатором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажного дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел десяток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметровой линейки.
Задание 1.
1. Выберите номер пружины из таблицы 10.
2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите силу тяжести , где – масса груза (в кг), м/с 2 . Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пружины (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений и .
Таблица 10.
| m, г | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см |
| 11,8 | 15,4 | 17,6 | 19,4 | 13,2 | 15,4 | 19,6 | 21,4 | 11,2 | |
| 12,3 | 16,5 | 18,3 | 21,5 | 14,3 | 16,5 | 21,3 | 22,4 | 11,7 | |
| 13,6 | 17,6 | 19,3 | 21,6 | 14,8 | 16,5 | 22,1 | 22,6 | 12,7 | |
| 14,1 | 18,2 | 21,5 | 22,1 | 15,6 | 17,3 | 21,5 | 23,7 | 13,1 | |
| 16,6 | 22,3 | 22,5 | 24,9 | 17,6 | 19,9 | 23,9 | 25,5 | 15,4 | |
| 21,6 | 25,6 | 27,4 | 29,5 | 21,4 | 23,8 | 27,7 | 29,9 | 18,3 | |
| 22,5 | 26,4 | 28,8 | 31,4 | 22,6 | 24,2 | 28,8 | 32,1 | 19,6 | |
| 23,3 | 27,9 | 29,4 | 31,7 | 23,8 | 25,6 | 29,5 | 31,7 | 22,1 | |
| 26,2 | 32,1 | 32,0 | 34,3 | 25,5 | 27,9 | 31,9 | 33,6 | 22,2 | |
| 27,8 | 31,4 | 33,7 | 35,3 | 27,6 | 29,1 | 33,2 | 35,3 | 23,1 |
Таблица 10 (продолжение)
| m, г | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см |
| 15,1 | 17,1 | 19,3 | 11,4 | 15,3 | 19,0 | 10,8 | 15,2 | 19,1 | |
| 15,6 | 17,7 | 19,7 | 11,6 | 15,6 | 19,6 | 11,5 | 15,3 | 19,3 | |
| 16,7 | 18,5 | 21,2 | 12,0 | 16,1 | 20,4 | 12,3 | 16,3 | 20,2 | |
| 17,3 | 19,3 | 21,4 | 12,5 | 16,5 | 20,7 | 12,4 | 16,7 | 20,4 | |
| 19,4 | 21,1 | 23,5 | 14,9 | 18,9 | 22,4 | 14,2 | 18,0 | 21,8 | |
| 22,3 | 24,6 | 26,3 | 17,4 | 21,4 | 25,8 | 16,5 | 20,7 | 24,4 | |
| 23,5 | 25,6 | 27,0 | 18,2 | 22,3 | 26,1 | 17,2 | 21,6 | 25,7 | |
| 24,4 | 26,1 | 28,5 | 19,4 | 23,3 | 27,0 | 18,4 | 22,0 | 26,4 | |
| 26,4 | 28,5 | 31,1 | 20,3 | 24,5 | 28,6 | 19,3 | 23,5 | 27,3 | |
| 27,0 | 29,0 | 31,4 | 21,9 | 25,8 | 29,9 | 20,7 | 24,7 | 28,5 |
3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.
4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле
И т.д.
5. Найдите среднее значение , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины .
6. Найдите среднеквадратичное отклонение 
, доверительный интервал 
, (т.к. получено 7 значений ). Представьте результат в виде
Дополнительное задание (необязательное)
7. Рассчитайте начальную длину пружины. Для этого получите выражение для коэффициента из уравнения равновесия и подставьте в него средние значения
8. Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента
9. Учитывая, что , рассчитайте начальную длину пружины и доверительный интервал для нее
, 
Динамический метод
Подвесим груз массы к закрепленной вертикальной пружине жесткости и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармонические колебания, период которых равен (см. , стр 76). Выразим массу груза через период колебаний
